Đề thi học kì 2 Toán 10

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

A. \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\).

B. \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{x}\).                                        

C. \(y = \frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}\).       

D. \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\).

Câu 2. Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x}  - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).

A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).                                   

B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).    

C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).                                   

D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).

Câu 3. Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\), đỉnh của \(\left( P \right)\) được xác định bởi công thức nào?

A. \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).                                   

B. \(I\left( { - \frac{b}{a};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).       

C. \(I\left( {\frac{b}{{2a}};\;\;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).                    

D. \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\;\;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Câu 4. Xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4x - b\) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 5} \right)\).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right..\)                                    

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\)      

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right..\)    

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right..\)

Câu 5. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(\Delta  = {b^2} - 4ac\), tìm dấu của \(a\) và \(\Delta \).

 

A. \(a > 0\), \(\Delta  > 0\). 

B. \(a < 0\), \(\Delta  > 0\). 

C. \(a > 0\), \(\Delta  = 0\). 

D.\(a < 0\), \(,{\rm{ }}\Delta  = 0\).

Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 4}} \le 0\)là.

A. \(S = \left[ { - 2;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]\).     

B. \(S = \left( { - 2;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]\).

C. \(S = \left( { - 2;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right]\).

D. \(S = \left[ { - 2;2} \right] \cup \left( {3;4} \right)\).

Câu 7. Phương trình \(\sqrt {x - 1}  = x - 3\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).    

B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).

C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).    

D. \(S = \emptyset \).

Câu 8. Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)là

A. Vô số.                          

B. 2.                                  

C. 1.                                  

D. 0.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là

A. \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\)               

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\)                           

C. \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;3} \right)\)               

D. \(\overrightarrow n  = \left( {1;3} \right)\)

Câu 10. Cho đường thẳng \(d:7x + 3y - 1 = 0\). Vectơ nào sau đây là Vectơ chỉ phương của d ?

A. \(\overrightarrow u  = \left( {7;3} \right)\).                 

B. \(\overrightarrow u  = \left( {3;7} \right)\).                          

C. \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;7} \right)\).              

D. \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\).

Câu 11. Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là

A. \(3x - 2y - 7 = 0\).           

B. \(2x + 3y + 4 = 0\).          

C. \(x + 3y + 5 = 0\).   

D. \(2x + 3y - 3 = 0\).

Câu 12. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. \(x + 2y + 1 = 0\).            B. \(2x - y = 0\).                   C. \( - x + 2y + 1 = 0\).    D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).

Câu 13. Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(5x - 12y - 6 = 0\) là

A. \(13\).                           

B. \( - 13\).                         

C. \( - 1\).                          

D. \(1\).

Câu 14. Xác định tất cả các giá trị của \(a\) để góc tạo bởi đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) bằng \(45^\circ \).

A. \(a = 1\), \(a =  - 14\).     

B. \(a = \frac{2}{7}\), \(a =  - 14\).                                  

C. \(a =  - 2\), \(a =  - 14\).                 

D. \(a = \frac{2}{7}\), \(a = 14\).

Câu 15. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Đường tròn có tâm và bán kính là

A. \(I\left( {2;3} \right),\,\,R = 9\).                                  

B. \(I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3\).                                         

C. \(I\left( { - 3;2} \right),\,\,R = 3\).  

D. \(I\left( { - 2;3} \right),\,\,R = 3\).

Câu 16. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).                                                            

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).                      

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Câu 17.Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là

A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).                              

B. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\).                             

D. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).

Câu 18. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).                         

B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).                                 

D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).

Câu 19. Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\), \({B_2}\). Độ dài \({B_1}{B_2}\) bằng

A. \(2\sqrt 7 \).                

B. \(\sqrt 7 \).                   

C. \(3\).                            

D. \(6\).

Câu 20. Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là

A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).                                      

B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).                    

D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Câu 21. Một tổ có  học sinh nữ và  học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.

A. \(20\).                           

B. \(11\).                            

C. \(30\).                           

D. \(10\).

Câu 22. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

 

A. 9.                                   B. 10.                                 C. 18.                                 D. 24.

Câu 23. Từ các số  lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ

A. 360                                B. 343                                C. 480                                D. 347

Câu 24. Tính số chỉnh hợp chập \(4\) của \(7\) phần tử?

A. \(24\).                            B. \(720\).                           C. \(840\).                          D. \(35\).

Câu 25. Công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)            

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)                        

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)          

D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Câu 26. Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?

A. \({5^5}\).                        B. \(5!\).                             C. \(4!\).                             D. \(5\).

Câu 27. Một lớp có \(15\) học sinh nam và \(20\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn \(5\) bạn học sinh sao cho trong đó có đúng \(3\) học sinh nữ?

A. \(110790.\)                    

B. \(119700.\)                    

C. \(117900.\)                    

D. \(110970.\)

Câu 28. Có \(15\) học sinh giỏi gồm \(6\) học sinh khối \(12\), \(4\) học sinh khối \(11\) và \(5\) học sinh khối \(10\). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất \(1\) học sinh?

A. \(4249\).                        

B. \(4250\).                        

C. \(5005\).                        

D. \(805\).

Câu 29. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\), số hạng tổng quát của khai triển là

A. \(C_4^k{2^k}{3^{4 - k}}.{x^{4 - k}}\).                          

B. \(C_4^k{2^{4 - k}}{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{4 - k}}\).             

C. \(C_4^k{2^{4 - k}}{3^k}.{x^{4 - k}}\).   

D. \(C_4^k{2^k}{\left( { - 3} \right)^{4 - k}}.{x^{4 - k}}\).

Câu 30. Gieo một đồng tiền liên tiếp \(3\) lần thì \(n(\Omega )\) là bao nhiêu?

A. \(4\).                            

B. \(6\).                            

C. \(8\).                            

D. \(16\).

Câu 31. Cho \({\rm{A}}\), \(\overline {\rm{A}} \) là hai biến cố đối nhau trong cùng một phép thử T; xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(\frac{1}{5}\). Xác suất để xảy ra biến cố \(\overline {\rm{A}} \) là

A. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 1.\)       

B. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{4}.\)

C. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{5}.\)    

D. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{4}{5}.\)

Câu 32. Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. \(0,2\).                           B. \(0,3\).                            C. \(0,4\).                           D. \(0,5\).

Câu 33. Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là?

A. \(\frac{{12}}{{36}}.\)       

B. \(\frac{{11}}{{36}}.\)       

C. \(\frac{6}{{36}}.\)           

D. \(\frac{8}{{36}}.\)

Câu 34.  Một đội gồm \(5\) nam và \(8\) nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất \(3\) nữ.

A. \(\frac{{70}}{{143}}.\)     

B. \(\frac{{73}}{{143}}.\)     

C. \(\frac{{56}}{{143}}.\)     

D. \(\frac{{87}}{{143}}.\)

Câu 35.  Có \(13\) học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối \(12\) có \(8\) học sinh nam và \(3\) học sinh nữ, khối \(11\) có \(2\) học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để \(3\) học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối \(11\) và khối \(12\).

A. \(\frac{{57}}{{286}}.\)     

B. \(\frac{{24}}{{143}}.\)     

C. \(\frac{{27}}{{143}}.\)     

D. \(\frac{{229}}{{286}}.\)

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36 ( 1 điểm)  Xác định hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các tham số, biết rằng hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằng \(5\) tại \(x =  - 2\) và có đồ thị đi qua điểm \(M\left( {1\,;\, - 1} \right)\).

Câu 37 ( 1 điểm) Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).

Câu 38 (0,5điểm) Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển biểu thức \({x^2}{\left( {2x - 1} \right)^8} + {\left( {3x - 1} \right)^{10}}\)

Câu 39 (0,5 điểm) Có bao nhiêu cách xếp \(7\) bạn nam và \(5\) bạn nữ vào một bàn tròn có 12 chỗ ngồi, sao cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1.  Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định là R ?

A. \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\).

B. \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{x}\).                                        

C. \(y = \frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}\).       

D. \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\).

Phương pháp

- Hàm đa thức có tập xác định R

Lời giải

Chọn A

Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) là hàm đa thức bậc ba nên tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Câu 2.  Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x}  - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).

A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).                                   

B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).    

C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).                                   

D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).

Phương pháp

- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0.

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x >  - 4\end{array} \right..\)

Vậy \(D = \left( { - 4;2} \right]\).

Câu 3.  Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\), đỉnh của \(\left( P \right)\) được xác định bởi công thức nào?

A. \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).                                   

B. \(I\left( { - \frac{b}{a};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).       

C. \(I\left( {\frac{b}{{2a}};\;\;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).                    

D. \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\;\;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Phương pháp

Đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Lời giải

Chọn A

Đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Câu 4.  Xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4x - b\) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 5} \right)\).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right..\)                                    

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\)      

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right..\)    

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right..\)

Phương pháp

Đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Lời giải

Chọn C

Ta có: \({x_I} =  - 1 \Rightarrow  - \frac{4}{{2a}} =  - 1 \Rightarrow a = 2.\)

Hơn nữa \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)

Câu 5.  Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(\Delta  = {b^2} - 4ac\), tìm dấu của \(a\) và \(\Delta \).

 

A. \(a > 0\), \(\Delta  > 0\). 

B. \(a < 0\), \(\Delta  > 0\). 

C. \(a > 0\), \(\Delta  = 0\). 

D.\(a < 0\), \(,{\rm{ }}\Delta  = 0\).

Phương pháp

* Đồ thị hàm số là một Parabol quay bề lõm lên trên nên \(a > 0\) và đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt nên \(\Delta  > 0\).

Lời giải

Chọn A

* Đồ thị hàm số là một Parabol quay bề lõm lên trên nên \(a > 0\) và đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt nên \(\Delta  > 0\).

Câu 6.  Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 4}} \le 0\)là.

A. \(S = \left[ { - 2;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]\).     

B. \(S = \left( { - 2;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]\).

C. \(S = \left( { - 2;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right]\).    

D. \(S = \left[ { - 2;2} \right] \cup \left( {3;4} \right)\).

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai rồi lập bảng xét dấu

Lời giải

Chọn C

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 4}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}\).

\({x^2} - 7x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 4\end{array} \right.\).

\({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)

 

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - 2;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right]\).

Câu 7.  Phương trình \(\sqrt {x - 1}  = x - 3\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).    

B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).

C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).    

D. \(S = \emptyset \).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình để đưa về giải phương trình bậc hai.

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 5 \right\}\).

Câu 8.  Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)là

A. Vô số.                           B. 2.                                   C. 1.                                   D. 0.

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình để đưa về giải phương trình bậc hai.

Lời giải

Chọn C

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)

\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 = 1 - x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(x = 1\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Câu 9.  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là

A. \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\)               

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\)                           

C. \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;3} \right)\)              

D. \(\overrightarrow n  = \left( {1;3} \right)\)

Phương pháp

Vecto pháp tuyến của đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

Lời giải

Chọn A

Câu 10. Cho đường thẳng \(d:7x + 3y - 1 = 0\). Vectơ nào sau đây là Vectơ chỉ phương của d?

A. \(\overrightarrow u  = \left( {7;3} \right)\).                 

B. \(\overrightarrow u  = \left( {3;7} \right)\).                          

C. \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;7} \right)\).              

D. \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\).

Phương pháp

Vecto pháp tuyến của đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow u  = \left( { - b;a} \right)\)

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng d có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {7;3} \right)\)nên d có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;7} \right)\).

Câu 11.  Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:

A. \(3x - 2y - 7 = 0\).           

B. \(2x + 3y + 4 = 0\).          

C. \(x + 3y + 5 = 0\).   

D. \(2x + 3y - 3 = 0\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm vecto pháp      tuyến là : \(d:a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\)

Lời giải

Chọn B

Do \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} \left( {2;3} \right)\)

Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có phương trình: \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d:2x + 3y + 4 = 0\).

Câu 12. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. \(x + 2y + 1 = 0\).           

B. \(2x - y = 0\).                  

C. \( - x + 2y + 1 = 0\).    

D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải

Chọn D

Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng

+) Với \(d{}_1:x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_1\).

+) Với \(d{}_2:2x - y = 0\) có \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow d\)cắt \(d{}_2\).

+) Với \(d{}_3: - x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{{ - 1}}{1} = \frac{2}{{ - 2}} \ne \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow d\)trùng \(d{}_3\).

+) Với \(d{}_4: - 2x + 4y - 1 = 0\) có \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow d\) song song \(d{}_4\)

Câu 13.  Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(5x - 12y - 6 = 0\) là

A. \(13\).                            B. \( - 13\).                          C. \( - 1\).                           D. \(1\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn D

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :5x - 12y - 6 = 0\) là

\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.1 - 12.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\).

Câu 14. Xác định tất cả các giá trị của \(a\) để góc tạo bởi đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) bằng \(45^\circ \).

A. \(a = 1\), \(a =  - 14\).     

B. \(a = \frac{2}{7}\), \(a =  - 14\).                                  

C. \(a =  - 2\), \(a =  - 14\).                 

D. \(a = \frac{2}{7}\), \(a = 14\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:  \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Lời giải

Chọn B

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {a\,; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) có vectơ chỉ phương là \(\vec v = \left( {4\,; - 3} \right)\).

Ta có \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\vec u,\vec v} \right)} \right|\) \( \Leftrightarrow \cos 45^\circ  = \frac{{\left| {\vec u.\vec v} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {4a + 6} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + 4}  = \sqrt 2 \left| {4a + 6} \right|\)\( \Leftrightarrow 25{a^2} + 100 = 32{a^2} + 96a + 72\)

\( \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{2}{7}\\a =  - 14\end{array} \right.\).

Câu 15.  Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Đường tròn có tâm và bán kính là

A. \(I\left( {2;3} \right),\,\,R = 9\).                                  

B. \(I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3\).                                         

C. \(I\left( { - 3;2} \right),\,\,R = 3\).    

D. \(I\left( { - 2;3} \right),\,\,R = 3\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn B

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Câu 16.  Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).                                       

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).                                        

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Câu 17.  Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là

A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).                              

B. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\).                             

D. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).

Lời giải

Chọn A

Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).

Câu 18. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.

A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).                         

B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).                                 

D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).

Lời giải

Chọn C

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\). Đường tròn này đi qua 3 điểm \(A,B,C\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\\c =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

Câu 19. Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\), \({B_2}\). Độ dài \({B_1}{B_2}\) bằng

A. \(2\sqrt 7 \).                

B. \(\sqrt 7 \).                   

C. \(3\).                           

D. \(6\).

Phương pháp

 Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài \({B_1}{B_2} = 2b\)

Lời giải

Chọn A

Ta có \(x = 0 \Rightarrow y =  \pm \sqrt 7 \).

Elip cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\left( {0; - \sqrt 7 } \right)\), \({B_2}\left( {0;\sqrt 7 } \right)\). Suy ra \({B_1}{B_2} = 2\sqrt 7 \).

Câu 20.  Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là

A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).                                      

B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).                    

D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Phương pháp

Phương trình Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tọa độ hai tiêu điểm là \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) với \({c^2} = {a^2} + {b^2}\)

Lời giải

Chọn D

Gọi \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\).

Từ phương trình \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\), ta có: \({a^2} = 4\) và \({b^2} = 3\) suy ra \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 7 \Rightarrow c = \sqrt 7 ,\left( {c > 0} \right)\).

Vậy tọa độ các tiêu điểm của \(\left( H \right)\)là \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Câu 21. Một tổ có  học sinh nữ và  học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.

A. \(20\).                            B. \(11\).                             C. \(30\).                            D. \(10\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải

Chọn B

Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ \(11\) học sinh, ta có \(11\) cách chọn.

Câu 22.  Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

 

A. 9.                                   B. 10.                                 C. 18.                                 D. 24.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải.

Chọn D

\( \bullet \) Từ  có \(4\) cách.

\( \bullet \) Từ  có \(2\) cách.

\( \bullet \) Từ  có \(2\) cách.

Vậy theo qui tắc nhân ta có \(4 \times 2 \times 3 = 24\) cách.

Câu 23. Từ các số  lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ

A. 360                                B. 343                                C. 480                                D. 347

Phương pháp

 Áp dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng

Lời giải

Chọn C

Gọi số cần lập ;  và  đôi một khác nhau.

Vì số  cần lập là số lẻ nên  phải là số lẻ. Ta lập  qua các công đoạn sau.

Bước 1: Có 4 cách chọn d

Bước 2: Có 6 cách chọn a

Bước 3: Có 5 cách chọn b

Bước 4: Có 4 cách chọn c

Vậy có 480 số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 24.  Tính số chỉnh hợp chập \(4\) của \(7\) phần tử?

A. \(24\).                            B. \(720\).                           C. \(840\).                          D. \(35\).

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp : \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(A_7^4 = \frac{{7!}}{{3!}} = 840\).

Câu 25. Công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)            

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)                        

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)          

D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp : \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Lời giải

Chọn C

\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Câu 26. Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?

A. \({5^5}\).                        B. \(5!\).                             C. \(4!\).                             D. \(5\).

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn B

Số cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc là \(5!\).

Câu 27. Một lớp có \(15\) học sinh nam và \(20\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn \(5\) bạn học sinh sao cho trong đó có đúng \(3\) học sinh nữ?

A. \(110790.\)                     B. \(119700.\)                     C. \(117900.\)                     D. \(110970.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải.

Chọn B

Số cách chọn \(3\) học sinh nữ là: \(C_{20}^3 = 1140\) cách.

Số cách chọn \(2\) bạn học sinh nam là: \(C_{15}^2 = 105\) cách.

Số cách chọn \(5\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(1140 \times 105 = 119700.\)

Câu 28. Có \(15\) học sinh giỏi gồm \(6\) học sinh khối \(12\), \(4\) học sinh khối \(11\) và \(5\) học sinh khối \(10\). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất \(1\) học sinh?

A. \(4249\).                         B. \(4250\).                         C. \(5005\).                         D. \(805\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn B

Số cách chọn \(6\) học sinh bất kỳ trong \(15\) học sinh là \(C_{15}^6 = 5005\).

Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(12\) là \(C_6^6 = 1\) cách.

Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(10\) và \(11\) là \(C_9^6 = 84\) cách.

Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(10\) và \(12\) là \(C_{11}^6 - C_6^6 = 461\) cách.

Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(11\) và \(12\) là \(C_{10}^6 - C_6^6 = 209\) cách.

Do đó số cách chọn \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất \(1\) học sinh là \(5005 - 1 - 84 - 461 - 209 = 4250\) cách.

Câu 29. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\), số hạng tổng quát của khai triển là

A. \(C_4^k{2^k}{3^{4 - k}}.{x^{4 - k}}\).                          

B. \(C_4^k{2^{4 - k}}{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{4 - k}}\).             

C. \(C_4^k{2^{4 - k}}{3^k}.{x^{4 - k}}\).

D. \(C_4^k{2^k}{\left( { - 3} \right)^{4 - k}}.{x^{4 - k}}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Chọn B

Số hạng tổng quát của khai triển \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) là \(C_4^k{\left( {2x} \right)^{4 - k}}{\left( { - 3} \right)^k} = C_4^k{2^{4 - k}}{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{4 - k}}\).

Câu 30. Gieo một đồng tiền liên tiếp \(3\) lần thì \(n(\Omega )\) là bao nhiêu?

A. \(4\).                             B. \(6\).                             C. \(8\).                             D. \(16\).

Phương pháp

Sử dụng quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

\(n(\Omega ) = 2.2.2 = 8\).

Câu 31.  Cho \({\rm{A}}\), \(\overline {\rm{A}} \) là hai biến cố đối nhau trong cùng một phép thử T; xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(\frac{1}{5}\). Xác suất để xảy ra biến cố \(\overline {\rm{A}} \) là

A. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 1.\)       

B. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{4}.\)

C. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{5}.\)    

D. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{4}{5}.\)

Phương pháp

Theo tính chất xác suất ta có \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)

Lời giải

Chọn D

Theo tính chất xác suất ta có \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)

Câu 32. Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là

A. \(0,2\).                           B. \(0,3\).                            C. \(0,4\).                           D. \(0,5\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu:\(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Biến cố xuất hiện mặt chẵn: \(A = \left\{ {2;4;6} \right\}\)

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{2}\).

Câu 33. Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là

A. \(\frac{{12}}{{36}}.\)       

B. \(\frac{{11}}{{36}}.\)       

C. \(\frac{6}{{36}}.\)           

D. \(\frac{8}{{36}}.\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải.

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36.\)

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm\(''\). Để tìm số phần tử của biến cố \(A\), ta đi tìm số phần tử của biến cố đối \(\overline A \) là \(''\)Không xuất hiện mặt sáu chấm\(''\)

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{11}}{{36}}\).

Câu 34.  Một đội gồm \(5\) nam và \(8\) nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất \(3\) nữ.

A. \(\frac{{70}}{{143}}.\)     

B. \(\frac{{73}}{{143}}.\)     

C. \(\frac{{56}}{{143}}.\)     

D. \(\frac{{87}}{{143}}.\)

 Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải.

Chọn A

Không gian mẫu là chọn tùy ý \(4\) người từ \(13\) người.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_{13}^4 = 715\).

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)4 người được chọn có ít nhất 3 nữ\(''\). Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) như sau:

● TH1: Chọn 3 nữ và 1 nam, có \(C_8^3C_5^1\) cách.

● TH2: Chọn cả 4 nữ, có \(C_8^4\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_8^3C_5^1 + C_8^4 = 350\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{350}}{{715}} = \frac{{70}}{{143}}\).

Câu 35. Có \(13\) học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối \(12\) có \(8\) học sinh nam và \(3\) học sinh nữ, khối \(11\) có \(2\) học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để \(3\) học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối \(11\) và khối \(12\).

A. \(\frac{{57}}{{286}}.\)     

B. \(\frac{{24}}{{143}}.\)     

C. \(\frac{{27}}{{143}}.\)     

D. \(\frac{{229}}{{286}}.\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải.

Chọn A

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh từ \(13\) học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_{13}^3 = 286\).

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)\(3\) học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối \(11\) và khối \(12\)\(''\). Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) là:

● TH1: Chọn \(1\) học sinh khối \(11\); \(1\) học sinh nam khối \(12\) và \(1\) học sinh nữ khối \(12\) nên có \(C_2^1C_8^1C_3^1 = 48\) cách.

● TH2: Chọn \(1\) học sinh khối \(11\); \(2\) học sinh nữ khối \(12\) có \(C_2^1C_3^2 = 6\) cách.

● TH3: Chọn \(2\) học sinh khối \(11\); \(1\) học sinh nữ khối \(12\) có \(C_2^2C_3^1 = 3\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 48 + 6 + 3 = 57\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{57}}{{286}}.\)

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36 ( 1 điểm)  Xác định hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các tham số, biết rằng hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằng \(5\) tại \(x =  - 2\) và có đồ thị đi qua điểm \(M\left( {1\,;\, - 1} \right)\).

Phương pháp

Thay các giá trị đề bài cho vào hàm số y.

Lời giải

Tập xác định \(D = R\).

Trên R, do hàm \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt giá trị lớn nhất nên \(a < 0\).

Do đó theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} =  - 2\\4a - 2b + c = 5\\a + b + c =  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{2}{3}\\b =  - \frac{8}{3}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\) (nhận).

Vậy hàm số cần tìm là \(y =  - \frac{2}{3}{x^2} - \frac{8}{3}x + \frac{7}{3}\).

Câu 37( 1 điểm) Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\)

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}}  \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ  \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) =  - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy \(m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài

Câu 38 (0,5điểm) Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển biểu thức \({x^2}{\left( {2x - 1} \right)^8} + {\left( {3x - 1} \right)^{10}}\)

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton.

Lời giải

\({x^2}{\left( {2x - 1} \right)^8} + {\left( {3x - 1} \right)^{10}}\)=\({x^2}\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k.{{\left( {2x} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}}  + \sum\limits_{m = 0}^{10} {C_{10}^m.{{\left( {3x} \right)}^{10 - m}}{{\left( { - 1} \right)}^m}} \)

\( = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{.2}^{8 - k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}} {x^{10 - k}} + \sum\limits_{m = 0}^{10} {C_{10}^m{{.3}^{10 - m}}{{\left( { - 1} \right)}^m}} {x^{10 - m}}\)

Hệ số \({x^7}\) ứng với \(k = 3\); \(m = 3\).

Hệ số cần tìm là \(C_8^3{.2^5}{\left( { - 1} \right)^3} + C_{10}^3{.3^7}{\left( { - 1} \right)^3} =  - 264232\)

Câu 39 (0,5 điểm) Có bao nhiêu cách xếp \(7\) bạn nam và \(5\) bạn nữ vào một bàn tròn có 12 chỗ ngồi, sao cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

Phương pháp

Sử dụng các công thức đếm.

Lời giải

Xếp \(7\) bạn nam vào bàn tròn có \(1.6.5.4.3.2.1 = 720\) cách xếp.

Khi đó 7 bạn nam chia vòng tròn quanh bàn thành \(7\) khoảng trống.

Xếp 5 bạn nữ vào \(7\) khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nữ. Số cách xếp 5 bạn nữ là: \(7.6.5.4.3 = 2520\) cách xếp.

Theo quy tắc nhân có: \(720 \times 2520 = 1814400\) cách xếp.

---------Hết----------

Đề bài

 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1:         Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 6} \) là

A. \(( - \infty ;6{\rm{]}}.\)                  

B. \([6; + \infty ).\)                            

C. \((6; + \infty ).\)                           

D. \(( - \infty ;6).\)

Câu 2:         Cho đồ thị của hàm số bậc hai như hình vẽ, trục đối xứng của đồ thị là

 

A. \(x = 1.\)                                      

B. \(y = 1.\)                                      

C. \(y = 0.\)                                      

D. \(x = 0.\)

Câu 3:         Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\)là tam thức bậc hai.

B. \(f\left( x \right) = 2x - 4\)là tam thức bậc hai.

C. \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2x - 1\) là tam thức bậc hai.

D. \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 1\) là tam thức bậc hai.

Câu 4:         Nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 5}  = 2\) là

A. \(x =  - 1\).                                   

B. \(x = 0\).                                      

C. \(x = 4\).                                      

D. \(x =  - \frac{1}{3}\).

Câu 5:         Cho đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0.\) Một vectơ pháp tuyến của \(d\) là

A. \(\overrightarrow n  = (1;1).\)       

B. \(\overrightarrow x  = (1; - 3).\)     

C. \(\overrightarrow e  = ( - 1; - 1).\)  

D. \(\overrightarrow a  = (1; - 1).\)

Câu 6:         Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = 3 +3t\end{array} \right.\) là

A. \(\overrightarrow x  = (3;1).\)        

B. \(\overrightarrow e  = (5;3).\)        

C. \(\overrightarrow a  = (3; - 5).\)    

D. \(\overrightarrow u  = ( - 1;3).\)

Câu 7:      Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).

A. Trùngnhau.                                

B. Song song.

C. Vuôn góc với nhau.                   

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 8:         Khoảng cách từ điểm \(M\left( { - 1; - 1} \right)\) đến dường thẳng \(\Delta :4x + 3y - 18 = 0\)

bằng

A. \( - 5.\)                                        

B. \(\frac{7}{5}.\)                              

C. \( - \frac{7}{5}.\)                           

D. \(5.\)

Câu 9:         Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - x - y + 9 = 0\).       

B. \({x^2} + {y^2} - x = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2xy - 1 = 0.\)                                              

D. \({x^2} - {y^2} - 2x + 3y - 1 = 0.\)

Câu 10:      Đường tròn \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4\) có bán kính là

A. \(4.\)                                           

B. \(2.\)                                            

C. \(16.\)                                          

D. \(1\).

Câu 11:      Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?

A. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{3} =  - 1\).                        

B. \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).                            

C. \(\frac{x}{9} + \frac{y}{8} = 1\).      

D. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

Câu 12:      Có bao nhiêu cách chọn 1 viên bi trong chiếc hộp có 5 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu vàng?

A. \(8\).                                           

B. \(15\).                                          

C. \(6\).                                           

D. \(4\).

Câu 13:      Có \(10\) cái bút khác nhau và \(8\)quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn \(1\) cái bút và \(1\) quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?

A. \(80\).                                          

B. \(60\).                                          

C. \(90\).                                          

D. \(70\).

Câu 14:      Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?

A. \({5^5}.\).                                    

B. \(5!\).                                          

C. \(4!\).                                          

D. \(5\).

Câu 15:      Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là

A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).                      

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\).                   

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).                      

D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\).

Câu 16:      Số cách chọn ra \(3\)học sinh trong \(10\) học sinh bất kì là

A. \(120\).                                        

B. \(6\).                                            

C. \(30\).                                          

D. \(720\).

Câu 17:      Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {a + b} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?

A. \(6\).                                           

B. \(3\).                                            

C. \(5\).                                           

D. \(4\).

Câu 18:      Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là

A. \(9\).                                           

B. \(18\).                                          

C. \(12\).                                          

D. \(36\).

Câu 19:      Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một chiếc hộp chứa \(20\) thẻ được đánh số từ \(1\) đến \(20\). Số phần tử của không gian mẫu là

A. \(n\left( \Omega  \right) = 20\).    

B. \(n\left( \Omega  \right) = 1\).      

C. \(n\left( \Omega  \right) = 10\).    

D. \(n\left( \Omega  \right) = 15\).

Câu 20:      Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con thì \(n\left( \Omega  \right)\) bằng bao nhiêu?

A. \(140608\).                                  

B. \(156\).                                        

C. \(132600\).                                  

D. \(22100\).

Câu 21:      Tập giá trị của hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \) là:

A. \(( - \infty ;0{\rm{]}}.\)         

B. \([0; + \infty ).\)       

C. \((1; + \infty ).\)       

D. \(\left[ { - 1; + \infty } \right).\)

Câu 22:      Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình dưới đây?

 

A. \(y = {x^2} - 3x + 1\).                     

B. \(y =  - {x^2} + 3x - 1\).                  

C. \(y =  - 2{x^2} + 3x - 1\).                

D. \(y = 2{x^2} - 3x + 1\).

Câu 23:      Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 8x - 8\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi\(x \in \mathbb{R}\).             

B. \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi\(x \in \mathbb{R}\).

C. \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi\(x \in \mathbb{R}\).          

D. \(f\left( x \right) > 0\) với mọi\(x \in \mathbb{R}\).

Câu 24:      Phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 4x}  = 2x - 2\) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(3\).                                           

B. \(0\).                                            

C. \(2\).                                           

D. \(1\).

Câu 25:      Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( {1; - 1} \right)\), \(N\left( {4;3} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 - t\end{array}\right.\).                                                                 

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).                               

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = 4 - 3t\end{array} \right.\).                                                         

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - 1 + 4t\end{array} \right.\).

Câu 26:      Góc giữa hai đường thẳng \(a:\,\sqrt 3 x - y + 7 = 0\) và \(b:x - \sqrt 3 y - 1 = 0\) là

A. \(30^\circ \).                                

B. \(90^\circ \).                                

C. \(60^\circ \).                                

D. \(45^\circ \).

Câu 27:      Đường tròn tâm \(I( - 1;2)\) và đi qua điểm \(M(2;1)\) có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0\).   

B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 3 = 0.\)

C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\).    

D. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 5 = 0.\)

Câu 28:      Đường tròn đi qua \(3\) điểm \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;2} \right),{\rm{ }}C(1;1 + \sqrt2 )\)có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + 2x + 2y - \sqrt 2  = 0\).                               

B. \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\).    

D. \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + \sqrt 2  = 0\).

Câu 29:      Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng \(8\), trục nhỏ bằng \(6\) là

A. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\).             

B. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).      

C. \(9{x^2} + 16{y^2} = 1\).                                                     

D. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Câu 30:      Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số?

A. \(5040\).                                      

B. \(4536\).                                      

C. \(10000\).                                    

D. \(9000\).

Câu 31:      Một tổ gồm \(7\)nam và \(6\)nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(4\) em đi trực sao cho có đúng

\(3\) nam và \(1\) nữ

A. \(204\).                                        

B. \(1260\).                                      

C. \(315\).                                        

D. \(210\).

Câu 32:      Số cách sắp xếp \(6\) nam sinh và \(4\) nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có \(10\) chỗ ngồi là

A. \(6!.4!\).                                      

B. \(10!\).                                         

C. \(6! + 4!\).                                   

D. \(6! - 4!\).

Câu 33:      Một hội nghị có \(15\) nam và \(6\) nữ. Chọn ngẫu nhiên \(3\) người vào ban tổ chức. Tính xác

suất để 3 người được chọn đều là nam.

A. \(\frac{1}{2}\)                               

B. \(\frac{{13}}{{38}}.\)                     

C. \(\frac{4}{{33}}\).                         

D. \(\frac{1}{{11}}\).

Câu 34:      Gieo hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con súc sắc bằng \(7\) là

A. \(\frac{6}{7}\).                              

B. \(\frac{1}{7}\).                              

C. \(\frac{1}{6}\).                              

D. \(\frac{5}{6}\).

Câu 35:      Một tổ có \(6\) nam và \(4\) nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tính xác suất sao cho trong hai người được chọn có ít nhất một người là nữ.

A. \(\frac{4}{5}\)                               

B. \(\frac{2}{3}\).                              

C. \(\frac{2}{{15}}\).                         

D. \(\frac{1}{3}\).

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36:      Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x + 2y - 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) và cách điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) một khoảng bằng \(\sqrt {13} .\)

Câu 37:      Từ tập hợp \(E = \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\) có thể lập được bao nhiêu số chẵn có \(5\) chữ số đôi một khác nhau?

Câu 38:      Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là \(12m\), khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là \(3m\). Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao \(2,8m\)thì có chiều rộng không quá \(3m\). Hỏi chiếc xe tải có chiều cao \(2,8m\)có thể đi qua hầm được không?

Câu 39:      Cho tập \(X = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}.\)Gọi \(S\)là tập các số tự nhiên gồm \(6\)chữ số lấy từ \ (X.\). Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S.\)Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn chữ số \(1\) xuất hiện hai lần, các chữ số khác xuất hiện đúng một lần.

---------- HẾT ----------

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

  

Câu 1:         Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 6} \) là

A. \(( - \infty ;6{\rm{]}}.\)                  

B. \([6; + \infty ).\)                            

C. \((6; + \infty ).\)                           

D. \(( - \infty ;6).\)

Phương pháp

- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định: \(x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 6\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 6} \) là \(D = [6; + \infty ).\)

Câu 2:         Cho đồ thị của hàm số bậc hai như hình vẽ, trục đối xứng của đồ thị là

 

A. \(x = 1.\)                                      

B. \(y = 1.\)                                      

C. \(y = 0.\)                                      

D. \(x = 0.\)

Phương pháp

Parabol\(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Lời giải

Chọn A

Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\), với \(\frac{{ - b}}{{2a}}\) là hoành độ của đỉnh

Câu 3:         Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\)là tam thức bậc hai.

B. \(f\left( x \right) = 2x - 4\)là tam thức bậc hai.

C. \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2x - 1\)là tam thức bậc hai.

D. \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 1\)là tam thức bậc hai.

Phương pháp

Tam thức bậc hai có bậc cao nhất là 2.

Lời giải

Chọn A

Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\)là tam thức bậc hai.

Câu 4:         Nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 5}  = 2\) là

A. \(x =  - 1\).                                  

B. \(x = 0\).                                     

C. \(x = 4\).                                     

D. \(x =  - \frac{1}{3}\).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

Chọn D

Bình phương hai vế của phương trình, ta được \(3x + 5 = 4\), suy ra \(x =  - \frac{1}{3}\)

Thay \(x =  - \frac{1}{3}\) vào phương trình đã cho ta thấy \(x =  - \frac{1}{3}\) thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  - \frac{1}{3}\)

Câu 5:         Cho đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0.\) Một vectơ pháp tuyến của \(d\) là

A. \(\overrightarrow n  = (1;1).\)       

B. \(\overrightarrow x  = (1; - 3).\)     

C. \(\overrightarrow e  = ( - 1; - 1).\)  

D. \(\overrightarrow a  = (1; - 1).\)

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n  = (a;b).\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0.\)có VTPT là \(\overrightarrow a  = (1; - 1).\)

Câu 6:         Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y =3 + 3t\end{array}

\right.\) là

A. \(\overrightarrow x  = (3;1).\)        

B. \(\overrightarrow e  = (5;3).\)        

C. \(\overrightarrow a  = (3; - 5).\)    

D. \(\overrightarrow u  = ( - 1;3).\)

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow u  = (a;b).\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = 3 + 3t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow u  = ( - 1;3).\)

Câu 7:         Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).

A. Trùng nhau.                               

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.                 

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải

Chọn B

Câu 8:         Khoảng cách từ điểm \(M\left( { - 1; - 1} \right)\) đến dường thẳng \(\Delta :4x + 3y - 18 =0\) bằng

A. \( - 5.\)                                        

B. \(\frac{7}{5}.\)                              

C. \( - \frac{7}{5}.\)                           

D. \(5.\)

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn D

Ta có: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {4.( - 1) + 3.( - 1) - 18} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5\)

Câu 9:         Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - x - y + 9 = 0\).       

B. \({x^2} + {y^2} - x = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2xy - 1 = 0.\)                                              

D. \({x^2} - {y^2} - 2x + 3y - 1 = 0.\)

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).

 Lời giải

Chọn B

Loại C vì có số hạng \( - 2xy\).

Loại A vì: \(a = b = \frac{1}{2},\,\,c = 9 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c < 0\) nên không phải phương trình đường tròn.

Loại D  vì trong phương trình có \( - {y^2}\).

Đáp án B có: \(a = \frac{1}{2},\,\,b = 0,\,\,c = 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\) nên là phương trình đường tròn.

Câu 10:      Đường tròn \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4\) có bán kính là

A. \(4.\)                                           

B. \(2.\)                                            

C. \(16.\)                                          

D. \(1\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn B

Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt 4  = 2\).

Câu 11:      Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?

A. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{3} =  - 1\).                        

B. \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).                            

C. \(\frac{x}{9} + \frac{y}{8} = 1\).      

D. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Câu 12:      Có bao nhiêu cách chọn 1 viên bi trong chiếc hộp có 5 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu vàng?

A. \(8\).                                           

B. \(15\).                                          

C. \(6\).                                           

D. \(4\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải

Chọn A

Cách chọn 1 viên bi đỏ: có 5 cách

Cách chọn 1 viên bi vàng: có 3 cách

Theo quy tắc cộng có 5 \( + \)3 \( = \)8 cách chọn một viên bi trong hộp.

Câu 13:      Có \(10\) cái bút khác nhau và \(8\)quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn \(1\) cái bút và \(1\) quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?

A. \(80\).                                          

B. \(60\).                                          

C. \(90\).                                          

D. \(70\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn A

Số cách chọn \(1\) cái bút có \(10\)cách, số cách chọn \(1\) quyển sách có \(8\)cách.

Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn \(1\) cái bút và \(1\) quyển sách là: \(10.8 = 80\)cách.

Câu 14:      Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?

A. \({5^5}\).                                     

B.                                          

C. \(4!\).                                          

D. \(5\).

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn B

Mỗi cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc là 1 hoán vị của 5 phần tử.

Vậy số cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc là

Câu 15:      Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là

A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).                      

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\).                   

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).                      

D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\).

Phương pháp

Số tổ hợp chập k của n phần tử là \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\)

Lời giải

Chọn B

Số tổ hợp chập k của n phần tử là \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\)

Câu 16:      Số cách chọn ra \(3\)học sinh trong \(10\) học sinh bất kì là

A. \(120\)                                         

B. \(6\).                                            

C. \(30\).                                          

D. \(720\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn A

Số cách chọn ra \(3\)học sinh trong \(10\) học sinh bất kì là \(C_{10}^3 = 120\).

Câu 17:      Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {a + b} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?

A. \(6\)                                           

B. \(3\).                                           

C. \(5\).                                          

D. \(4\).

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Chọn C

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {a + b} \right)^4}\) có \(4 + 1 = 5\) số hạng.

Câu 18:      Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là

A. 9.                                                

B. 18.                                              

C. 12.                                              

D. 36.

Phương pháp

Sử dụng công thức đếm

Lời giải

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là 6.6 \( = \)36

Câu 19:      Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một chiếc hộp chứa \(20\) thẻ được đánh số từ \(1\) đến \(20\). Số phần tử của không gian mẫu là

A. \(n\left( \Omega  \right) = 20\).    

B. \(n\left( \Omega  \right) = 1\).      

C. \(n\left( \Omega  \right) = 10\).    

D. \(n\left( \Omega  \right) = 15\).

Phương pháp

Sử dụng công thức đếm

Lời giải

Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{20}^1 = 20\)

Câu 20:      Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con thì \(n\left( \Omega  \right)\) bằng bao nhiêu?

A. \(140608\).                                  

B. \(156\).                                        

C. \(132600\).                                  

D. \(22100\).

Phương pháp

Sử dụng công thức đếm

Lời giải

Chọn D

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = C_{52}^3 = 22100\).

Câu 21:      Tập giá trị của hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \) là

A. \(( - \infty ;0{\rm{]}}.\)                  

B. \([0; + \infty ).\)                            

C. \((1; + \infty ).\)                           

D. \(\left[ { - 1; + \infty } \right).\)

Phương pháp

Căn thức có tập giá trị lớn hơn bằng 0

Lời giải

Chọn D

Vì \(\sqrt {x + 1}  \ge 0,\forall x \in D\) nên tập giá trị của hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \) là \([- 1; + \infty ).\)

Câu 22:      Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình dưới đây?

 

A. \(y = {x^2} - 3x + 1\).                     

B. \(y =  - {x^2} + 3x - 1\).                  

C. \(y =  - 2{x^2} + 3x - 1\).                

D. \(y = 2{x^2} - 3x + 1\).

Phương pháp

Dựa vào dáng điệu của parabol.

Lời giải

Chọn D

Bề lõm của parabol hướng lên trên suy ra \(a > 0\), nên loại B và C

Đồ thị đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\)nên Chọn D

Câu 23:      Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 8x - 8\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi\(x \in R\).                            

B. \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi\(x \in R\).

C. \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi\(x \in R\).                         

D. \(f\left( x \right) > 0\) với mọi\(x \in R\).

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

Chọn C

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\a =  - 2 < 0\end{array} \right.\) suy ra \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi\(x \in R\).

Câu 24:      Phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 4x}  = 2x - 2\) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(3\).                                          

B. \(0\).                                           

C. \(2\).                                          

D. \(1\).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

Chọn D

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\sqrt { - {x^2} + 4x}  = 2x - 2\)\( \Rightarrow  - {x^2} + 4x = {\left( {2x - 2} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 12x + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\).

Với hai giá trị tìm được, chỉ có \(x = 2\)thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy \(x = 2\) là nghiệm của phương trình. Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm

Câu 25:      Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( {1; - 1} \right)\), \(N\left( {4;3} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 - t\end{array} \right.\).                                                                                   

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).                      

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = 4 - 3t\end{array} \right.\).                                                                               

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - 1 + 4t\end{array} \right.\).

Phương pháp

Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), có một véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;\;b} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\), \(N\left( {4;3} \right)\) có một véctơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN}  = \left( {3;\;4} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( {1; - 1} \right)\), \(N\left( {4;3} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - 1 + 4t\end{array} \right.\).

Câu 26:      Góc giữa hai đường thẳng \(a:\,\sqrt 3 x - y + 7 = 0\) và \(b:x - \sqrt 3 y - 1 = 0\) là

A. \(30^\circ \).                              

B. \(90^\circ \).                              

C. \(60^\circ \).                              

D. \(45^\circ \).

Phương pháp               

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:  \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng \(a\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {\sqrt 3 ;\, - 1} \right)\);

Đường thẳng \(b\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\, - \sqrt 3 } \right)\).

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

\(\cos \left( {a,b} \right) = \left| {\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\sqrt 3  + \left( { - 1} \right)\left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{2.2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng \(30^\circ \).

Câu 27:      Đường tròn tâm \(I( - 1;2)\) và đi qua điểm \(M(2;1)\) có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0\).                                    

B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 3 = 0.\)

C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 5 = 0.\)

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn A

Đường tròn có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và đi qua \(M\left( {2;1} \right)\) thì có bán kính là: \(R = IM = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10} \)

Khi đó có phương trình là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0\)

Câu 28:      Đường tròn đi qua 3 điểm \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;2} \right),{\rm{ }}C(1;1 + \sqrt 2)\)có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + 2x + 2y - \sqrt 2  = 0\).                          

B. \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + \sqrt 2  = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\).

Lời giải

Chọn B

Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\).

Đường tròn đi qua 3 điểm \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;2} \right),{\rm{ }}C(1;1 + \sqrt 2 )\)nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 - 4b + c = 0\\8 - 4a - 4b + c = 0\\4 + 2\sqrt 2  - 2a - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;2} \right),{\rm{ }}C(1;1 + \sqrt 2 )\) là:

\({x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 0\)

Câu 29:      Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng \(8\), trục nhỏ bằng \(6\) là

A. \(\frac{{{x^2}}}{64} + \frac{{{y^2}}}{36} = 1\).                                                   

B. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{16} = 1\).                

C. \(9{x^2} + 16{y^2} = 1\).                                                  

D. \(\frac{{{x^2}}}{16} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải

Chọn D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 8\\2b = 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Câu 30:      Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số?

A. \(5040\).                                    

B. \(4536\).                                     

C. \(10000\).                                  

D. \(9000\).

Phương pháp

Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Lời giải

Chọn D

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(n = \overline {abcd} \), trong đó \(a,\,b,\,c,\,d \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\) và \(a \ne 0\).

Ta có: \(a\) có \(9\) cách chọn; \(b,c,d\) mỗi số có \(10\) cách chọn.

Vậy có:  \({9.10^3} = 9000\) số cần tìm.

Câu 31:      Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực sao cho có đúng 3 nam và 1 nữ

A. \(204\).                                      

B. \(1260\).                                     

C. \(315\).                                      

D. \(210\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn D

Chọn 4 em đi trực sao cho có đúng 3 nam và 1 nữ:

+ Chọn 3 nam có \(C_7^3\)cách.

+ Chọn 1 nữ có \(C_6^1\)cách

Vậy có \(C_7^3\).\(C_6^1 = 210\) cách.

Câu 32:      Số cách sắp xếp \(6\) nam sinh và \(4\) nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có \(10\) chỗ ngồi là

A. \(6!.4!\).                                     

B. \(10!\).                                       

C. \(6! + 4!\).                                  

D. \(6! - 4!\).

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn B

Có \(10\) học sinh xếp vào một dãy ngế hàng ngang có \(10\) chỗ ngồi nên có \(10!\) cách.

Câu 33:      Một hội nghị có 15 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người vào ban tổ chức. Tính xác suất để 3 người được chọn đều là nam.

A. \(\frac{1}{2}\).                            

B. \(\frac{{13}}{{38}}.\)                   

C. \(\frac{4}{{33}}\).                       

D. \(\frac{1}{{11}}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn B

 \(n\left( \Omega  \right) = C_{21}^3 = 1330\).

Gọi A là biến cố: “3 người được chọn đều là nam”. Khi đó, \(n\left( A \right) = C_{15}^3 = 455\).

Vậy xác suất để 3 người được chọn đều là nam: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{13}}{{38}}.\)

Câu 34:      Gieo hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con súc sắc bằng \(7\) là

A. \(\frac{6}{7}\).                            

B. \(\frac{1}{7}\).                            

C. \(\frac{1}{6}\).                            

D. \(\frac{5}{6}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 6 \times 6 = 36\).

Gọi \(A\) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con súc sắc bằng \(7\)”. Ta có

\(A = \left\{ {\left( {1;6} \right),\left( {2;5} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;3} \right),\left( {5;2} \right),\left( {6;1} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Câu 35:      Một tổ có \(6\) nam và \(4\) nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tính xác suất sao cho trong hai người được chọn có ít nhất một người là nữ.

A. \(\frac{4}{5}\).                            

B. \(\frac{2}{3}\).                            

C. \(\frac{2}{{15}}\).                       

D. \(\frac{1}{3}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn B

Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn \(2\) người trong \(10\) người: \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^2\).

Gọi \(A\) là biến cố hai người được chọn có ít nhất một người là nữ.

Suy ra \(\bar A\) là biến cố cả hai người là nam.

Ta có : \(n\left( {\bar A} \right) = C_6^2\).

Do đó xác suất \(P\left( A \right) = 1 - \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{3}\).

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36:      Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x + 2y - 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) và cách điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) một khoảng bằng \(\sqrt {13} .\)

Phương pháp

 Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Do \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( { - 2;3} \right)\)

Nên phương trình đường thẳng \(d\)có dạng: \( - 2x + 3y + c = 0\)

Ta có: \(d(A,d) = \frac{{\left| { - 2.( - 1) + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2}} }} = \sqrt {13} \)

Giải phương trình ta được \(c = 5\) hoặc \(c =  - 21\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là: \( - 2x + 3y + 5 = 0\) hoặc \( - 2x + 3y - 21 = 0\).

Câu 37:      Từ tập hợp \(E = \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\) có thể lập được bao nhiêu số chẵn có \(5\) chữ số đôi một khác nhau?

Phương pháp

Sử dụng quy tắc đếm

Lời giải

Gọi số cần tìm là \(\overline {abcde} \)

Trường hợp 1:

Chọn \(e = 0\) có 1 cách

Chọn \(a;\,b;\,c;\,d\)ta chọn \(4\) phần tử trong 7 phần tử và sắp thứ tự có \(A_7^4\)cách chọn.

Vậy có \(1.A_7^4 = 840\)số.

Trường hợp 2:

Chọn \(e \ne 0\) mà \(e\) là số chẵn có 3 cách

Chọn \(a\) có 6 cách.

Chọn \(\,b;\,c;\,d\) ta chọn 3 phần tử trong 6 phần tử và sắp thứ tự có \(A_6^3\) cách chọn.

Vậy có \(3.6.A_6^3 = 2160\)số.

\( \Rightarrow \) có \(840 + 2160 = 3000\) số có \(5\) chữ số khác nhau đôi một lấy từ \(E\) là số chẵn.

Câu 38:      Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8m thì có chiều rộng không quá 3m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8m có thể đi qua hầm được không?

 

Phương pháp

Phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\), trong đó \(a > b > 0\)

Lời giải

Phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\), trong đó \(a > b > 0\)

Do các điểm \(B(0;3)\) và \(A(6;0)\) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có \(b = 3\)và \(a = 6\), suy ra phương trình của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\,\)

Với những xe tải có chiều cao 2,8m, chiều rộng của xe tải là 3m, tương ứng với \(x = 1,5\). Thay vào phương trình của elip để tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trực Ox.

\({y_M} = 3.\sqrt {1 - \frac{{x_M^2}}{{16}}}  = 3.\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{16}}}  \approx 2,905 > 2,8.\)

Vậy Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.

Câu 39:      Cho tập \(X = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}.\)Gọi \(S\)là tập các số tự nhiên gồm \(6\)chữ số lấy từ \(X.\)Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S.\)Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn chữ số \(1\) xuất hiện hai lần, các chữ số khác xuất hiện đúng một lần.

Phương pháp

Sử dụng quy tắc đếm

Lời giải

Số các số tự nhiên gồm \(6\)chữ số lấy từ \(X\)là: 5.5.5.5.5.5=15625

Số phần tử không gian mẫu:\(n(\Omega ) = C_{15625}^1\, = 15625\,\)

Gọi A là biến cố: “Số được chọn thỏa mãn chữ số \(1\) xuất hiện hai lần, các chữ số khác xuất hiện đúng một lần.”

\( \Rightarrow n(A) = C_6^2.4! = 360 \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{360}}{{15625}} = \frac{{72}}{{3125}}.\)

---------- HẾT ---------    

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1.         Tập xác định của hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\) là

A. \(\mathbb{R}\).                            

B. \(\left( { - \infty ;2} \right)\).          

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).                         

D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Câu 2.         Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên

 

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số ?

A. \(M\left( {1; - 1} \right)\).              

B. \(N\left( { - 1;1} \right)\).               

C. \(P\left( {1;0} \right)\).                  

D. \(Q\left( {3; - 1} \right)\).

Câu 3.         Cho hàm số bậc hai \(f(x)\)có bảng biến

 

Hàm số \(f(x)\)đồng biến trên khoảng

A. \(\left( { - \infty ;5} \right)\).          

B. \(\left( { - \infty ;2} \right)\).          

C. \(\left( {5; + \infty } \right)\).         

D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Câu 4.         Tọa độ đỉnh của Parabol \(y = {x^2} - 6x + 5\) là

A. \(I\left( {3; - 4} \right)\).                

B. \(I\left( { - 3; - 4} \right)\).             

C. \(I\left( { - 4;3} \right)\).                

D. \(I\left( { - 6;5} \right)\).

Câu 5.         Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai

A. \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 3\).                                                                          

B. \(f\left( x \right) = 2x - 3\).

C. \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2{x^2} - x - 1\).                          

D. \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 1\).

Câu 6.         Cho tam thức bậc hai \(f(x) = 3 - 4x + {x^2}\) . Tìm tất cả giá trị của \(x\) để \(f\left( x \right) < 0\)

A. \(x \in \left( {1;3} \right).\)            

B. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right).\)  

C. \(x \in \left( {3; + \infty } \right).\) 

D. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)

Câu 7.         Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 1}  = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3} \) là

A. \(\left\{ 2 \right\}\).                      

B. \(\left\{ { - 2} \right\}\).                 

C. \(\left\{ { - 2;2} \right\}\).              

D. \(\emptyset \).

Câu 8.         Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + x + 3}  = 1 - x\)

 A. \( - 3\).                   

B. \(3\).                       

C. \( - 2\).                    

D. \(2\).

Câu 9.         Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(\left( d \right):\,\,2x - 3y + 1 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( d \right)\)?

A. \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)\).                       

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)\).                          

C. \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;2} \right)\).                       

D. \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\).

Câu 10.       Đường thẳng \(\left( d \right):\,\,2x + 3y - 1 = 0\) đi qua điểm nào sau đây

A. \(A\left( {2; - 1} \right)\).               

B. \(B\left( {2;5} \right)\).                  

C. \(C\left( {2;3} \right)\).                  

D. \(D\left( { - 1;2} \right)\).

Câu 11.      Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(2;1)\)và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;\, - 4} \right)\) là

A. \(3x - 4y - 2 = 0\).                         

B. \(3x - 4y + 2 = 0\).                         

C. \( - 4x + 3y + 5 = 0\).                      

D. \(4x + 3y - 2 = 0\).

Câu 12.      Tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :\sqrt 3 x + y + 1 = 0\) và \(\Delta ':x + \sqrt 3 y - 1 = 0\).

A. \({90^ \circ }\).                             

B. \({120^ \circ }\).                           

C. \({60^ \circ }\).                             

D. \({30^ \circ }\).

Câu 13.      Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3\,;\, - 2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,4x - 3y + 2 = 0\) là:

A. \(5\).                                           

B. \(4\).                                            

C. \(\frac{8}{5}\).                              

D. \(\frac{{18}}{5}\).

Câu 14.       Cho hai đường thẳng \(\Delta :4x - 2y + 3 = 0\) và \(\Delta ': - 2x + y + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\Delta \) và \(\Delta '\)cắt nhau.

B. \(\Delta \) và \(\Delta '\)song song với nhau.                    

C. \(\Delta \) và \(\Delta '\)trùng nhau.                                 

D. \(\Delta \) và \(\Delta '\)vuông góc với nhau.

Câu 15.       Tọa độ tâm của đường tròn có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) là

A. \(I\left( {2; - 3} \right)\).                

B. \(I\left( {2;3} \right)\).                   

C. \(I\left( { - 2;3} \right)\).                

D. \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).

Câu 16.       Bán kính của đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 10y + 30 = 0\) là

A. \(2\).                                           

B. \(4\).                                            

C. \(16\).                                          

D. \(6\).

Câu 17.      Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\).   

B. \({x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 15 = 0\).

C. \(2{x^2} + {y^2} - 8x + 10y - 1 = 0\).                                     

D. \({x^2} + {y^2} + 5xy - 8y - 1 = 0.\).

Câu 18.       Phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính bằng \(5\) là

A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25\).     

B. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).

C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\).      

D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\).

Câu 19.      Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) có tiêu cự bằng

A. \(10\).                                          

B. \(8\).                                            

C. \(3\).                                           

D. \(6\).

Câu 20.      Tọa độ  tiêu điểm của Parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 10x\) là

A. \(F\left( {5;0} \right)\).                  

B. \(F\left( {\frac{5}{2};0} \right)\).    

C. \(F\left( { - 5;0} \right)\).               

D. \(F\left( { - \frac{5}{2};0} \right)\).

Câu 21.      Từ Đà Nẵng đi Hà Nội mỗi ngày có 7 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Bạn Anh ở Đà nẵng muốn đi Hà Nội chơi vào ngày chủ nhật bằng tàu hỏa hoặc máy bay. Bạn Anh có bao nhiêu cách chọn chuyến đi ?

A. \(7\)                                            

B. \(3\)                                             

C. \(10\)                                           

D. \(21\)

Câu 22.      Có \(10\) cái bút khác nhau và \(8\) quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn \(1\) cái bút và \(1\) quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?

A. \(80\). 

B. \(60\).  

C. \(90\). 

D. \(70\).

Câu 23.      Một người vào một nhà hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 gồm một món chính và một món tráng miệng. Nhà hàng đưa ra danh sách: Món chính có 5 loại thịt và 3 loại cá; món tráng miệng có 4 loại quả và 3 loại bánh. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn?

A. \(15\)                                           

B. \(27\)                                           

C. \(56\)                                           

D. \(180\)

Câu 24.      Cho các số \(1\),\(5\), \(6\),\(7\). Có bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho.

A. \(64\).                          B. \(24\).                        C. \(256\).                      D. \(12\).

Câu 25.      Lớp \(10A\) có 42 học sinh. Đại hội Chi đoàn \(10A\)bầu ra một ban chấp hành gồm 1 Bí thư, 1 phó Bí thư và 1 Ủy viên ( Giả sử bạn nào cũng có năng lực như nhau). Chi đoàn \(10A\) có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành?

A. \(A_{42}^3\).                B. \({P_{42}}\).               C. \(C_{42}^3\).              D. \({42^3}\).

Câu 26.      Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh đi dự trại hè từ một nhóm \(38\) học sinh?

A. \({2^{38}}\)                   B. \(C_{38}^2\)               C. \({38^2}\)                   D. \(A_{38}^2\)

Câu 27.      Ngân hàng đề thi gồm \(15\) câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và \(8\) câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và \(4\) câu hỏi tự luận khác nhau.

A. \(C_{15}^{10}.C_8^4\).                 

B. \(C_{15}^{10} + C_8^4\).               

C. \(A_{15}^{10}.A_8^4\).                 

D. \(A_{15}^{10} + A_8^4\).

Câu 28.      Một lớp có \(40\) học sinh gồm \(25\) nam và \(15\) nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn \(4\) em trực cờ đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam?

A. \(C_{40}^4 - C_{15}^4\) (cách).    

B. \(C_{25}^4\) (cách).                    

C. \(C_{25}^1C_{15}^3\) (cách).       

D. \(C_{40}^4 + C_{15}^4\) (cách).

Câu 29.      Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2021x + 2022} \right)^{2023}}\)

A. \(2021\).                      B. \(2022\).                    C. \(2023\).                    D. \(2024\).

Câu 30.      Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)         

 B. \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\)

C. \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\)          

D. \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Câu 31.      Gieo một đồng tiền hai lần. Xác định biến cố: A: “ Lần đầu xuất hiện mặt ngửa”?

A. \(A = \left\{ {NS,NN} \right\}\)       

B. \(A = \left\{ {NS,SN} \right\}\)        

C.\(A = \left\{ {NN} \right\}\)             

D. \(A = \left\{ {NS} \right\}\)

Câu 32.     Gieo một con súc sắc hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

A. \(6\).                            B. \(12\).                        C. \(18\).                        D. \(36\).

Câu 33.      Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất một lần. Xác suất để mặt chấm là số nguyên tố xuất hiện là:

A. \(\frac{1}{5}\)               B. \(\frac{3}{{10}}\).       C. \(\frac{2}{5}\)             D. \(\frac{1}{2}\).

Câu 34.      Trên giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(3\) quyển sách Vật lý, \(3\) quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu nhiên \(3\) quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để \(3\) quyển được lấy ra đều là sách Toán.

A. \(\frac{1}{40}\).              B. \(\frac{1}{{12}}\).       C. \(\frac{{1}}{{30}}\).   D. \(\frac{1}{{5}}\).

Câu 35.      Một tổ học có 5 nam và 6 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ngẫu nhiên 3 người. Xác suất để chọn được ít nhất một nam là.

A. \(\frac{{29}}{{33}}\).      B. \(\frac{{31}}{{33}}\).   C. \(\frac{2}{{33}}\).       D. \(\frac{4}{{33}}\).

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36.      Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9}  = x - 1\).

Câu 37.       Viết phương trình chính tắc đường elip \(\left( E \right)\) thãn mãn \(\left\{ {M \in \left( E \right)|\,M{F_1} + M{F_2} = 20} \right\}\), \({F_1}{F_2} = 12\)với \({F_1},\,{F_2}\,\)là các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).

Câu 38.      Xếp \(6\) học sinh nam và \(4\) học sinh nữ vào một dãy có \(10\) ghế xếp hàng ngang. Tính xác suất sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.

Câu 39.      Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho hình chữ nhật\(ABCD\) có \(AB = 2BC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD.\) Viết phương trình đường thẳng \(AD,\) biết rằng \(M\left( {1;\;2} \right)\) và \(G\left( {\frac{5}{3};\;0} \right).\)

---------- HẾT ----------

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

 

Câu 1:         Tập xác định của hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\) là

A. \(R\).                           

B. \(\left( { - \infty ;2} \right)\).                            

C. \(R\backslash \left\{ 2 \right\}\).                             

D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Phương pháp

- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

Lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Câu 2:         Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên

 

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số ?

A. \(M\left( {1; - 1} \right)\).                                   

B. \(N\left( { - 1;1} \right)\).                                       

C. \(P\left( {1;0} \right)\).                                    

D. \(Q\left( {3; - 1} \right)\).

Phương pháp

- Nhìn hình vẽ

Lời giải

Chọn A

Nhìn vào đồ thị ta thấy khi \(x = 1\) thì \(y =  - 1\) nên điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số

Câu 3:         Cho hàm số bậc hai \(f(x)\)có bảng biến

 

Hàm số \(f(x)\)đồng biến trên khoảng

A. \(\left( { - \infty ;5} \right)\).                               

B. \(\left( { - \infty ;2} \right)\).                                       

C. \(\left( {5; + \infty } \right)\).                          

D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Phương pháp

- Nhìn vào bảng biến thiên

Lời giải

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy mũi tên đi lên khi \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Câu 4:         Tọa độ đỉnh của Parabol \(y = {x^2} - 6x + 5\) là

A. \(I\left( {3; - 4} \right)\).                                     

B. \(I\left( { - 3; - 4} \right)\).                                       

C. \(I\left( { - 4;3} \right)\).                                  

D. \(I\left( { - 6;5} \right)\).

Phương pháp

Tọa độ đỉnh của Parabol là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải

Chọn A

Tọa độ đỉnh của Parabol là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) nên \(I\left( {3; - 4} \right)\)

Câu 5:         Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai

A. \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 3\).                                                          

B. \(f\left( x \right) = 2x - 3\).

C. \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2{x^2} - x - 1\).          

D. \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 1\).

Phương pháp

Tam thức bậc hai có dạng \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\,a \ne 0\)

Lời giải

Chọn A

Tam thức bậc hai có dạng \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\,a \ne 0\) nên chọn A.

Câu 6:         Cho tam thức bậc hai \(f(x) = 3 - 4x + {x^2}\) . Tìm tất cả giá trị của \(x\) để \(f\left( x \right) < 0\)

A. \(x \in \left( {1;3} \right).\)                                 

B. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right).\)                           

C. \(x \in \left( {3; + \infty } \right).\)                      

D. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Chọn A

Ta có \(f(x) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\), và a >0

Do đó \(f(x) < 0 \Rightarrow x \in \left( {1;3} \right)\).

Câu 7:         Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 1}  = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3} \) là

A. \(\left\{ 2 \right\}\).     

B. \(\left\{ { - 2} \right\}\).                                   

C. \(\left\{ { - 2;2} \right\}\).  

D. \(\emptyset \).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

Chọn C

\(\begin{array}{l}\sqrt {3{x^2} - 4x - 1}  = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3}  \Rightarrow 3{x^2} - 4x - 1 = 2{x^2} - 4x + 3\\ \Rightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x =  \pm 2\end{array}\)

Thử lại thì \(x =  \pm 2\) thõa mãn phương trình. Vậy phương trình có tập nghiệm \(\left\{ { - 2;2} \right\}\).

Câu 8:         Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + x + 3}  = 1 - x\)

 A. \( - 3\).                          B. \(3\).                                   C. \( - 2\).                           D. \(2\).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

Chọn A

Ta có 

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{x^2} + x + 3}  = 1 - x \Rightarrow 2{x^2} + x + 3 = {\left( {1 - x} \right)^2}\\ \Rightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thử lại thõa mãn .

 Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là \( - 3.\)

Câu 9:         Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(\left( d \right):\,\,2x - 3y + 1 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( d \right)\)?

A. \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)\).       

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)\).                   

C. \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;2} \right)\).    

D. \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\).

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n  = (a;b).\)

Lời giải

Chọn A

Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\). Vậy véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( d \right):\,\,2x - 3y + 1 = 0\)là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)\).

Câu 10:      Đường thẳng \(\left( d \right):\,\,2x + 3y - 1 = 0\) đi qua điểm nào sau đây

A. \(A\left( {2; - 1} \right)\).                                    

B. \(B\left( {2;5} \right)\).                                       

C. \(C\left( {2;3} \right)\).                                    

D. \(D\left( { - 1;2} \right)\).

Phương pháp

Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng (d)

Lời giải

Chọn A

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (d):ax + by + c = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).

Ta có \(2.2 + 3.\left( { - 1} \right) - 1 = 0\) nên \(A\left( {2; - 1} \right) \in \left( d \right).\)

Câu 11:      Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(2;1)\)và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;\, - 4} \right)\) là

A. \(3x - 4y - 2 = 0\).          B. \(3x - 4y + 2 = 0\).       C. \( - 4x + 3y + 5 = 0\).   D. \(4x + 3y - 2 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)là

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải

Chọn A

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(2;1)\)và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;\, - 4} \right)\) là \(3\left( {x - 2} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow 3x - 4y - 2 = 0\).

Câu 12:      Tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :\sqrt 3 x + y + 1 = 0\) và \(\Delta ':x + \sqrt 3 y - 1 = 0\).

A. \({90^ \circ }\).             B. \({120^ \circ }\).         C. \({60^ \circ }\).           D. \({30^ \circ }\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:  \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\), đường thẳng \(\Delta '\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta ,\Delta '.\)\(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\sqrt 3  + \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {1 + 3} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \alpha  = {30^ \circ }\).

Câu 13:      Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3\,;\, - 2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,4x - 3y + 2 = 0\) là:

A. \(5\).                            B. \(4\).                         C. \(\frac{8}{5}\).            D. \(\frac{{18}}{5}\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn B

Khoảng cách \(d = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 2} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{20}}{5} = 4\).

Câu 14:      Cho hai đường thẳng \(\Delta :4x - 2y + 3 = 0\) và \(\Delta ': - 2x + y + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\Delta \) và \(\Delta '\)cắt nhau.                                                          

B. \(\Delta \) và \(\Delta '\)song song với nhau.        

C. \(\Delta \) và \(\Delta '\)trùng nhau.                                                      

D. \(\Delta \) và \(\Delta '\)vuông góc với nhau.

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải

Chọn B

Ta có \(\frac{4}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{3}{3}\) nên \(\Delta \) và \(\Delta '\)song song với nhau.

Câu 15:      Tọa độ tâm của đường tròn có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) là

A. \(I\left( {2; - 3} \right)\).                                     

B. \(I\left( {2;3} \right)\).

C. \(I\left( { - 2;3} \right)\).    

D. \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).

Phương pháp

 Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn A

Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\).

Câu 16:      Bán kính của đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 10y + 30 = 0\) là

A. \(2\).                            B. \(4\).                         C. \(16\).                        D. \(6\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm và bán kính được tính bằng công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn A

Bán kính của đường tròn là \(r = \sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} - 30}  = 2\)

Câu 17:      Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\).                         B. \({x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 15 = 0\).

C. \(2{x^2} + {y^2} - 8x + 10y - 1 = 0\).                     D. \({x^2} + {y^2} + 5xy - 8y - 1 = 0.\)

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm và bán kính được tính bằng công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn A

Vì \({1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 4} \right) = 9 > 0\)nên \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\)là pt đường tròn

Vì \({\left( { - 3} \right)^2} + {1^2} - 15 =  - 5 < 0\)nên \({x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 15 = 0\) không phải pt đường tròn.

Hệ số của \({x^2},\,{y^2}\)khác nhau nên \(2{x^2} + {y^2} - 8x + 10y - 1 = 0\) không phải pt đường tròn.

Trong pt có chứa tích \(xy\) nên \({x^2} + {y^2} + 5xy - 8y - 1 = 0.\) không phải pt đường tròn.

Câu 18:      Phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính bằng \(5\) là

A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25\).                          

B. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).

C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\).                            

D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn B

Phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính bằng \(5\) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).

Câu 19:      Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) có tiêu cự bằng

A. \(10\).                          B. \(8\).                         C. \(3\).                         D. \(6\).

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu cự là 2c với \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)

Lời giải

Chọn B

Ta có \({a^2} = 25,\,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow c = 4\).

Vậy tiêu cự của elip là \(2c = 8.\)

Câu 20:      Tọa độ  tiêu điểm của Parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 10x\) là

A. \(F\left( {5;0} \right)\). 

B. \(F\left( {\frac{5}{2};0} \right)\).                       

C. \(F\left( { - 5;0} \right)\).   

D. \(F\left( { - \frac{5}{2};0} \right)\).

Phương pháp

Tọa độ  tiêu điểm của Parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 2px\) là \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

Lời giải

Chọn B

Ta có \(2p = 10 \Rightarrow p = 5\). Vậy tọa độ tiêu điểm là \(F\left( {\frac{5}{2};0} \right)\).

Câu 21:      Từ Đà Nẵng đi Hà Nội mỗi ngày có 7 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Bạn Anh ở Đà nẵng muốn đi Hà Nội chơi vào ngày chủ nhật bằng tàu hỏa hoặc máy bay. Bạn Anh có bao nhiêu cách chọn chuyến đi ?

A. \(7\).                            B. \(3\).                         C. \(10\).                        D. \(21\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải

Chọn C

Theo quy tắc cộng, Bạn Anh có số cách chọn chuyến đi là \(7 + 3 = 10\).

Câu 22:      Có \(10\) cái bút khác nhau và \(8\) quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn \(1\) cái bút và \(1\) quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?

A. \(80\).                          B. \(60\).                        C. \(90\).                        D. \(70\).

Phương pháp

 Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn A

Theo quy tắc nhân, Bạn học sinh có số cách chọn là \(10.8 = 80\)cách

Câu 23:      Một người vào một nhà hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 gồm một món chính và một món tráng miệng. Nhà hàng đưa ra danh sách: Món chính có 5 loại thịt và 3 loại cá; món tráng miệng có 4 loại quả và 3 loại bánh. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn?

A. \(15\).                          B. \(27\).                        C. \(56\).                        D. \(180\).

Phương pháp

 Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn C

Số cách chọn món chính: \(5 + 3 = 8.\)

Số cách chọn món tráng miệng: \(4 + 3 = 7.\)

Số cách chọn một thực đơn là \(8.7 = 56\).

Câu 24:      Cho các số \(1\),\(5\), \(6\),\(7\). Có bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho.

A. \(64\).                          B. \(24\).                        C. \(256\).                      D. \(12\).

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn B

Mỗi số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ \(1\),\(5\), \(6\),\(7\)là một hoán vị 4 phần tử. Do đó số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập là \(4! = 24\).

Câu 25:      Lớp \(10A\) có 42 học sinh. Đại hội Chi đoàn \(10A\)bầu ra một ban chấp hành gồm 1 Bí thư, 1 phó Bí thư và 1 Ủy viên ( Giả sử bạn nào cũng có năng lực như nhau). Chi đoàn \(10A\) có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành?

A. \(A_{42}^3\).                B. \({P_{42}}\).               C. \(C_{42}^3\).              D. \({42^3}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn A

Mỗi cách bầu một BCH gồm 3 bạn là một chỉnh hợp chập 3 của 42 phần tử. Vậy số cách bầu là \(A_{42}^3\).

Câu 26:      Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh đi dự trại hè từ một nhóm \(38\) học sinh?

A. \({2^{38}}\).                  B. \(C_{38}^2\).              C. \({38^2}\).                  D. \(A_{38}^2\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn B

Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 38 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 38 phần tử. Vậy số cách chọn là \(C_{38}^2\).

Câu 27:      Ngân hàng đề thi gồm \(15\) câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và \(8\) câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và \(4\) câu hỏi tự luận khác nhau.

A. \(C_{15}^{10}.C_8^4\). 

B. \(C_{15}^{10} + C_8^4\).                                 

C. \(A_{15}^{10}.A_8^4\).      

D. \(A_{15}^{10} + A_8^4\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn A

Số cách chọn 10 câu hỏi trắc nghiệm là \(C_{15}^{10}\)

Số cách chọn câu hỏi tự luận là \(C_8^4\)

Vậy số cách lập đề thi là \(C_{15}^{10}.C_8^4\).

Câu 28:      Một lớp có \(40\) học sinh gồm \(25\) nam và \(15\) nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn \(4\) em trực cờ đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam?

A. \(C_{40}^4 - C_{15}^4\) (cách).                         

B. \(C_{25}^4\) (cách). 

C. \(C_{25}^1C_{15}^3\) (cách).                                

D. \(C_{40}^4 + C_{15}^4\) (cách).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn A

Số cách chọn 4 bạn trong 40 bạn là \(C_{40}^4\)

Số cách chọn bốn bạn nữ trong 15 bạn nữ là \(C_{15}^4\)

Vậy số cách chọn 4 bạn có ít nhất 1 nam là: \(C_{40}^4 - C_{15}^4\).

Câu 29:      Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2021x + 2022} \right)^{2023}}\)

A. \(2021\).                      B. \(2022\).                    C. \(2023\).                    D. \(2024\).

Phương pháp

Áp dụng khai triển công thức nhị thức Newton

Lời giải

Chọn D

Tổng số số hạng của khai triển \({\left( {2021x + 2022} \right)^{2023}}\) là \(2023 + 1 = 2024.\)

Câu 30:      Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).    

B. \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

C. \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).                 

D. \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Phương pháp

Do \(A,\,B\) xung khắc nên \(A \cap B = \emptyset \). Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Lời giải

Chọn A

Do \(A,\,B\) xung khắc nên \(A \cap B = \emptyset \). Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Câu 31:      Gieo một đồng tiền hai lần. Xác định biến cố: \(A\): “ Lần đầu xuất hiện mặt ngửa”?

A. \(A = \left\{ {NS,NN} \right\}\).                           

B. \(A = \left\{ {NS,SN} \right\}\).                         

C.\(A = \left\{ {NN} \right\}\).                              

D. \(A = \left\{ {NS} \right\}\).

Phương pháp

Sử dụng quy tắc đếm.

Lời giải

Chọn A

Ta có không gian mẫu: \(\Omega  = \left\{ {SS,SN,NN,NS} \right\}\)

\(A\): “ Lần đầu xuất hiện mặt ngửa” nên \(A = \left\{ {NS,NN} \right\}\).

Câu 32:      Gieo một con xúc xắc hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

A. \(6\).                            B. \(12\).                        C. \(18\).                        D. \(36\).

Phương pháp

 Sử dụng quy tắc đếm.

Lời giải

Chọn D

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36\).

Câu 33:      Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Xác suất để mặt chấm là số nguyên tố xuất hiện là:

A. \(\frac{1}{5}\)               B. \(\frac{3}{{10}}\).       C. \(\frac{2}{5}\)             D. \(\frac{1}{2}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn D

Ta có \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\},\,\,n\left( \Omega  \right) = 6\)

Gọi biến cố \(A\): “Mặt chấm là số nguyên tố” suy ra \(A = \left\{ {2;3;5} \right\}\), \(n(A) = 3\)

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Câu 34:      Trên giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(3\) quyển sách Vật lý, \(3\) quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu nhiên \(3\) quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để \(3\) quyển được lấy ra đều là sách Toán.

A. \(\frac{1}{{40}}\).          B. \(\frac{1}{{12}}\).       C. \(\frac{1}{{30}}\).       D. \(\frac{1}{5}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn C

Số cách lấy \(3\) quyển sách là \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^3 = 120\)

Số cách lấy \(3\) quyển sách toán là \(n\left( A \right) = C_4^3 = 4\).

Vậy xác suất để \(3\) quyển được lấy ra đều là sách Toán là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{4}{{120}} = \frac{1}{{30}}\)

Câu 35:      Một tổ học có 5 nam và 6 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ngẫu nhiên 3 người. Xác suất để chọn được ít nhất một nam là.

A. \(\frac{{29}}{{33}}\).      B. \(\frac{{31}}{{33}}\).   C. \(\frac{2}{{33}}\).       D. \(\frac{4}{{33}}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn A

Số cách chọn \(3\)bạn trong 11 bạn là \(n\left( \Omega  \right) = C_{11}^3 = 165\)

Số cách chọn \(3\)bạn có ít nhất một nam là \(n\left( A \right) = C_{11}^3 - C_6^3 = 145\)

Xác suất chọn 3 bạn có ít nhất một nam là:

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{145}}{{165}} = \frac{{29}}{{33}}\) .

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36.  Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9}  = x - 1\).

Phương pháp

 Bình phương hai vế của phương trình đã cho để đưa về giải phương trình bậc hai

Lời giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

 \(2{x^2} - 5x - 9 = {x^2} - 2x + 1\).

Sau khi thu gọn ta được \({x^2} - 3x - 10 = 0\).

Từ đó tìm được \(x =  - 2\) hoặc \(x = 5\).

Thay lần lượt hai giá trị này của \(x\) vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = 5\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\).

Câu 37.   Viết phương trình chính tắc đường elip \(\left( E \right)\) thỏa mãn \(\left\{ {M \in \left( E \right)|\,M{F_1} + M{F_2} = 20} \right\}\), \({F_1}{F_2} = 12\)với \({F_1},\,{F_2}\,\)là các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).

Phương pháp

Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}M \in (E) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a \Rightarrow 2a = 20 \Rightarrow a = 10\\{F_1}{F_2} = 2c \Rightarrow 2c = 12 \Rightarrow c = 6\end{array}\)

Vậy phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

Câu 38.   Xếp \(6\) học sinh nam và \(4\) học sinh nữ vào một dãy có \(10\) ghế xếp hàng ngang. Tính xác suất sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.

Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = 10! = 3628800.\)

Gọi biến cố A: “ Không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau”

 Số cách xếp \(6\) học sinh nam thành hàng ngang là \(6! = 720\) cách.

Ứng với mỗi cách sắp xếp này, ta có \(7\) khoảng trống (\(2\) khoảng trống ở hai đầu và \(5\) khoảng trống ở giữa). Xếp \(4\) học sinh nữ vào các khoảng trống đó, có \(A_7^4 = 840\) cách.

Suy ra \(n\left( A \right) = 720.840 = 604800\). Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{604800}}{{3628800}} = \frac{1}{6}.\)

Câu 39.   Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho hình chữ nhật\(ABCD\) có \(AB = 2BC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD.\) Viết phương trình đường thẳng \(AD,\) biết rằng \(M\left( {1;\;2} \right)\) và \(G\left( {\frac{5}{3};\;0} \right).\)

Phương pháp

Đường thẳng cần viết phương trình đi qua \(A({x_0};{y_0})\)và vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (a,b)\) nên có phương trình tổng quát  \(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\)

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên \(AB\) và \(K\) là trung điểm đoạn \(CD.\)

Đặt \(BC = 3a > 0,\) suy ra \(AB = 6a,\;GH = 2a,\;HM = a.\)

 \(M{G^2} = 4{a^2} + {a^2} \Leftrightarrow \frac{{40}}{9} = 5{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{8}{9} \Leftrightarrow a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

Suy ra \(AM = 3a = 2\sqrt 2 ,\)\(AG = \frac{2}{3}AK = \frac{2}{3}\left( {3a\sqrt 2 } \right) = \frac{8}{3}.\)

Gọi \(A(x,y)\). Khi đó : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = 2\sqrt 2 }\\{AG = \frac{8}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {2 - y} \right)}^2} = 8}\\{{{\left( {\frac{5}{3} - x} \right)}^2} + {y^2} = \frac{{64}}{9}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 3}\\{x = 3y - 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3y - 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{y = \frac{8}{5}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1,y = 0}\\{x = \frac{{19}}{5},y = \frac{8}{5}}\end{array}} \right.\)       

+) Nếu \(A\left( { - 1,0} \right)\). Đường thẳng \(AD\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AM\) nên phương trình đường thẳng \(AD\) là \(x + y + 1 = 0.\)

+) Nếu \(A\left( {\frac{{19}}{5},\frac{8}{5}} \right)\). Đường thẳng \(AD\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AM\) nên phương trình đường thẳng \(AD\) là \(7x - y - 25 = 0.\)

---------- HẾT ----------

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm)

Câu 1:         Tìm \(m\) để hàm số \(y = \left( {2m + 1} \right)x + m - 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

A. \(m > \frac{1}{2}.\)       B. \(m < \frac{1}{2}.\)     C. \(m <  - \frac{1}{2}.\)  D. \(m >  - \frac{1}{2}.\)

Câu 2:         Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 3}  + \frac{1}{{x - 3}}\) là

A \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).    

B. \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\).                          

C. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\).                      

D. \(D = \left( { - \infty ;3} \right)\).

Câu 3:         Parabol \(y =  - 2{x^2} + 3x - 1\) có tọa độ đỉnh I là:

A. \(\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{8}} \right).\)             

B. \(\left( { - \frac{3}{2}; - 10} \right).\)                           

C. \(\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right).\)                      

D. \(\left( {\frac{3}{4};\frac{{17}}{8}} \right).\)

Câu 4:         Tìm parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 3x - 2,\) biết rằng parabol có trục đối xứng \(x =  - 3\)?

A. \(y = {x^2} + 3x - 2.\)    

B. \(y = \frac{1}{2}{x^2} + x - 2.\)                          

C. \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 3.\)                                    

D. \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 2.\)

Câu 5:         Cho tam thức bậc hai \(f(x) = 5x - {x^2} - 6\). Tìm \(x\) để \(f(x) \ge 0\).

A. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).                

B. \(x \in \left[ {2;3} \right]\).     

C. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).                           

D. \(x \in \left( {2;3} \right)\).

Câu 6:         Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 6\) và a là số thực lớn hơn 3. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. \(f\left( a \right) < 0.\) 

B. \(f\left( a \right) \ge 0.\)                                  

C. \(f\left( a \right) = 0.\)      

D. \(f\left( a \right) > 0.\)

Câu 7:         Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 8x + 4}  = x - 2\).

A. \(x = 4\).                     

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).                                       

C. \(x = 4 + 2\sqrt 2 \).   

D. \(x = 6\).

Câu 8:         Số nghiệm nguyên âm của phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {1 + x} \) là

A. \(3\).                            B. \(2\).                         C. \(0\).                         D. \(1\).

Câu 9:         Cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( d \right)?\)

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;2} \right)\). 

B. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 4; - 6} \right)\).     

C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {2; - 3} \right)\).                                       

D. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( { - 2;3} \right)\).

Câu 10:      Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là:

A. \(-x + 2y-4 = 0\).                                   

B. \(x-2y + 5 = 0\).        

C. \(x-2y-4 = 0\).                

D. \(x + y + 4 = 0\).

Câu 11:      Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 1 = 0\). Nếu đường thẳng \(\Delta \) qua điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) và \(\Delta \) song song với \(d\) thì \(\Delta \) có phương trình:

A. \(x - 2y - 3 = 0.\)           

B. \(x - 2y + 5 = 0.\)       

C. \(x - 2y + 3 = 0.\)       

D. \(x + 2y + 1 = 0.\)

Câu 12:      Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1\,;\, - 1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,3x - 4y - 17 = 0\) là:

A. \(\frac{2}{5}\).              B. \(2\).                         C. \(\frac{{18}}{5}\).       D. \(\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}\).

Câu 13:      Tính góc giữa hai đường thẳng: \(3x + y - 1 = 0\) và \(4x - 2y - 4 = 0\).

A. \({30^0}\).                    B. \({60^0}\).                  C. \({90^0}\).                  D. \({45^0}\).

Câu 14:      Tìm điểm \(M\) trên trục \(Ox\) sao cho nó cách đều hai đường thẳng: \({d_1}:\,3x + 2y - 6 = 0\)

và \({d_2}:\,3x + 2y + 6 = 0\)?

A. \(\left( {1\,;\,0} \right)\).                                    

B. \(\left( {0\,;\,0} \right)\).                                       

C. \(\left( {0\,;\,\sqrt 2 } \right)\).                        

D. \(\left( {\sqrt 2 \,;\,0} \right)\).

Câu 15:      Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) có dạng:

A. \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\).                     

B. \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).

C. \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\).                     

D. \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).

Câu 16:      Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0\) có bán kính bằng bao nhiêu?

A. \(6\).                            B. \(2\).                         C. \(36\).                        D. \(\sqrt 6 \).

Câu 17:      Phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\) tại điểm \(M\left( {2;1} \right)\) là:

A. \(d: - y + 1 = 0.\)          

B. \(d:4x + 3y + 14 = 0.\)

C. \(d:3x - 4y - 2 = 0.\)   

D. \(d:4x + 3y - 11 = 0.\)

Câu 18:     Với những giá trị nào của \(m\) thì đường thẳng \(\Delta :4x + 3y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 9 = 0\).

A. \(m =  - 3\).                 

B. \(m = 3\) và \(m =  - 3\).                                  

C. \(m = 3\).                         

D. \(m = 15\) và \(m =  - 15\).

Câu 19:      Phương trình của đường Elip có dạng chính tắc là

A. \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\)                               

B. \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

C. \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 0.\)                                    

D. \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 0.\)

Câu 20:      Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) là

A. \({y^2} = \frac{3}{2}x\).

B. \({y^2} = 3x\).           

C. \({y^2} = 6x\).           

D. \({y^2} = \frac{3}{4}x\).

Câu 21:      Bạn An có 4 chiếc mũ khác nhau và 3 áo khoác khác nhau để sử dụng khi đi học. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn 1 chiếc mũ và 1 áo khoác để sử dụng khi đi học?

A. 12.                              B. 7.                              C. 1.                              D. 3.

Câu 22:      Từ tập \(\left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có hai chữ số.

A. \(5\).                            B. \(25\).                        C. \(8\).                         D. \(10\).

Câu 23:      Có 3 bông hoa trắng, 2 bông hoa đỏ và 4 bông hoa tím. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 bông hoa có màu khác nhau.

A. \(26\).                          B. \(36\).                        C. \(24\).                        D. \(9\).

Câu 24:      Có bao nhiêu cách xếp 4 lá thư khác nhau vào 4 chiếc phong bì khác nhau (mỗi lá thư là một phong bì)?

A. \(12\).                          B. \(4!\).                        C. \(P_4^2\).                  D. \(3!\).

Câu 25:      Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?

A. \(15.\)                          B. \(720.\)                      C. \(30.\)                        D. \(360.\)

Câu 26:      Cho \(15\) điểm trên cùng một mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có cả ba đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho?

A. \(3375\).                      B. \(2730\).                    C. \(455\).                      D. \(45\).

Câu 27:      Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8} \right\}\). Từ tập hợp \(A\) lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số \(2\).

A. \(4200\).                      B. \(175\).                      C. \(8400\).                    D. \(6720\).

Câu 28:      Có bao nhiêu cách xếp \(5\) sách Văn khác nhau và \(7\) sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. \(2.5!.7!\).                    B. \(5!.8!\).                    C. \(12!\).                      D. \(5!.7!\).

Câu 29:      Trong khai triển của nhị thức \({\left( {3{x^2} - y} \right)^4}\)chứa số hạng \(54{x^4}{y^k}\) thì giá trị của \(k\) là

A. \(2\).                            B. \(1\).                         C. \(3\).                         D. \(4\).

Câu 30:      Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)\) là

A. 8.                                B. 1.                              C. 2.                              D. 4.

Câu 31:      Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là

A. 12.                              B. 6.                              C. 8.                              D. 24.

Câu 32:      Cho phép thử có không gian mẫu . Các cặp biến cố không đối nhau là

A. \(A = \left\{ 1 \right\}\) và \(B = \left\{ {2,\,3,\,4,\,5,\,6} \right\}\).            

B. \(C\left\{ {1,\,4,\,5} \right\}\) và \(D = \left\{ {2,\,3,\,6} \right\}\).

C. \(E = \left\{ {1,\,4,\,6} \right\}\) và \(F = \left\{ {2,\,3} \right\}\).                

D. \(\Omega \) và \(\emptyset \).

Câu 33:      Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là

A. \(\frac{6}{{30}}\).          B. \(\frac{{12}}{{30}}\).   C. \(\frac{{10}}{{30}}\).   D. \(\frac{9}{{30}}\).

Câu 34:      Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá bích là

A. \(\frac{1}{4}.\)              B. \(\frac{{12}}{{13}}.\)   C. \(\frac{3}{4}.\)            D. \(\frac{1}{{13}}.\)

Câu 35:      Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng

A. \(\frac{{13}}{{18}}\).      B. \(\frac{5}{{18}}\).       C. \(\frac{1}{3}\).            D. \(\frac{2}{3}\).

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36:      Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth,\) trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2m\). Sau đó \(1\) giây, nó đạt độ cao \(8,5m\)và \(2\) giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao \(6m\). Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?

Câu 37:      Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có phương trình đường thẳng \(AB\) là \(2x - y - 5 = 0\), điểm \(M\left( {1;2} \right)\) nằm trên đường thẳng \(BC\). Phương trình đường thẳng \(BC\) là

Câu 38:      Gia chủ có một miếng đất có hình Elip với độ dài trục lớn bằng \({\rm{2}}\sqrt 3 {\rm{ m}}\), độ dài trục nhỏ bằng \({\rm{2 m}}\). Gia chủ muốn trồng hoa thành hình tam giác cân \(OAB\) (tham khảo hình vẽ) với điểm \(O\) là tâm của Elip, các điểm \(A\) và \(B\) thuộc đường Elip nói trên.

 

Diện tích trồng hoa lớn nhất bằng

Câu 39:      Từ các chữ số \(2,3,4,5,6,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(6\)chữ số khác nhau và tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số sau 1 đơn vị?

---------- HẾT ----------

 

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1:         Tìm \(m\) để hàm số \(y = \left( {2m + 1} \right)x + m - 3\) đồng biến trên \(R\)

A. \(m > \frac{1}{2}.\)       B. \(m < \frac{1}{2}.\)     C. \(m <  - \frac{1}{2}.\)  D. \(m >  - \frac{1}{2}.\)

Phương pháp

- Hàm số \(y = ax + b,a \ne 0\) đồng biến trên R khi a > 0

Lời giải

Chọn D

Hàm số \(y = \left( {2m + 1} \right)x + m - 3\) đồng biến trên R \( \Leftrightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{2}.\)

Câu 2:         Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 3}  + \frac{1}{{x - 3}}\) là

A \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).    

B. \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\).                           

C. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\).                      

D. \(D = \left( { - \infty ;3} \right)\).

Phương pháp

 - Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0

Lời giải

Chọn D

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3\).

Vậy TXĐ: \(D = \left( {3; + \infty } \right)\).

Câu 3:         Parabol \(y =  - 2{x^2} + 3x - 1\) có tọa độ đỉnh I là:

A. \(\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{8}} \right).\)             

B. \(\left( { - \frac{3}{2}; - 10} \right).\)                           

C. \(\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right).\)                      

D. \(\left( {\frac{3}{4};\frac{{17}}{8}} \right).\)

Phương pháp

Tọa độ đỉnh của Parabol là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải

Chọn A

\( - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{4}\) và \( - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{1}{8}\) \( \Rightarrow \) Parabol có đỉnh \(I\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{8}} \right)\)

Câu 4:         Tìm parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 3x - 2,\) biết rằng parabol có trục đối xứng \(x =  - 3\)?

A. \(y = {x^2} + 3x - 2.\)    

B. \(y = \frac{1}{2}{x^2} + x - 2.\)

C. \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 3.\)                          

D. \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 2.\)

Phương pháp

Trục đối xứng của \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) là \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Lời giải

Chọn D

Ta có trục đối xứng của \(\left( P \right):y = a{x^2} + 3x - 2\) là \(x = \frac{{ - 3}}{{2a}} =  - 3 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 2.\)

Câu 5:         Cho tam thức bậc hai \(f(x) = 5x - {x^2} - 6\). Tìm \(x\) để \(f(x) \ge 0\).

A. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).               

B. \(x \in \left[ {2;3} \right]\).

C. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).                

D. \(x \in \left( {2;3} \right)\).

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Chọn B

Ta có thể viết \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 5x - 6\).

\( - {x^2} + 5x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

 Ta có bảng xét dấu

 

Vậy \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {2;3} \right]\).

Câu 6:         Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 6\) và a là số thực lớn hơn 3. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. \(f\left( a \right) < 0.\) 

B. \(f\left( a \right) \ge 0.\)                                  

C. \(f\left( a \right) = 0.\)      

D. \(f\left( a \right) > 0.\)

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Chọn D.

Xét phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Ta có bảng xét dấu

 

 Ta thấy \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\)

 Vậy a là số thực lớn hơn 3 thì \(f\left( a \right) > 0.\)

Câu 7:         Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 8x + 4}  = x - 2\).

A. \(x = 4\).                     

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).                                       

C. \(x = 4 + 2\sqrt 2 \).   

D. \(x = 6\).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

Chọn A.

\(\sqrt {2{x^2} - 8x + 4}  = x - 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 8x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\\x = 4\,\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 4\).

Câu 8:         Số nghiệm nguyên âm của phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {1 + x} \) là

A. \(3\).                            B. \(2\).                         C. \(0\).                         D. \(1\).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

Chọn D

\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {1 + x} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

Câu 9:         Cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( d \right)?\)

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;2} \right)\). 

B. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 4; - 6} \right)\).     

C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {2; - 3} \right)\).                                       

D. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( { - 2;3} \right)\).

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n  = (a;b).\)

Lời giải

Chọn B

\(\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)\), ta có \(\frac{{ - 4}}{2} = \frac{{ - 6}}{3} \Rightarrow {\overrightarrow n _2}\) là VTPT của \(\left( d \right)\)

Câu 10:      Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là:

A. \(-x + 2y-4 = 0\).                                   

B. \(x-2y + 5 = 0\).        

C. \(x-2y-4 = 0\).                 

D. \(x + y + 4 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)là

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải

Chọn B.

Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là:

\(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).

Câu 11:      Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 1 = 0\). Nếu đường thẳng \(\Delta \) qua điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) và \(\Delta \) song song với \(d\) thì \(\Delta \) có phương trình:

A. \(x - 2y - 3 = 0.\)            B. \(x - 2y + 5 = 0.\)        C. \(x - 2y + 3 = 0.\)        D. \(x + 2y + 1 = 0.\)

Phương pháp

Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)là

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải

Chọn A.

\(D\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\).

\(d\) qua \(M\left( {1; - 1} \right)\) và \(d{\rm{//}}D\) nên \(d:{\rm{ }}1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0\).

Câu 12:      Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1\,;\, - 1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,3x - 4y - 17 = 0\) là:

A. \(\frac{2}{5}\).              B. \(2\).                         C. \(\frac{{18}}{5}\).       D. \(\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(d\left( {M,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 1} \right) - 17} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

Câu 13:      Tính góc giữa hai đường thẳng: \(3x + y - 1 = 0\) và \(4x - 2y - 4 = 0\).

A. \({30^0}\).                    B. \({60^0}\).                  C. \({90^0}\).                  D. \({45^0}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:  \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Lời giải

Chọn D.

Đường thẳng: \(3x + y - 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3\,;\,1} \right)\)

Đường thẳng: \(4x - 2y - 4 = 0\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4\,;\, - 2} \right)\)

\(\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\; \Rightarrow \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0}\).

Câu 14:      Tìm điểm \(M\) trên trục \(Ox\) sao cho nó cách đều hai đường thẳng: \({d_1}:\,3x + 2y - 6 = 0\)

và \({d_2}:\,3x + 2y + 6 = 0\)?

A. \(\left( {1\,;\,0} \right)\).                                    

B. \(\left( {0\,;\,0} \right)\).                                       

C. \(\left( {0\,;\,\sqrt 2 } \right)\).                        

D. \(\left( {\sqrt 2 \,;\,0} \right)\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn B.

Gọi \(M\left( {a\,;\,0} \right) \in Ox\; \Rightarrow \left| {3a - 6} \right| = \left| {3a + 6} \right| \Leftrightarrow a = 0\; \Rightarrow M\left( {0\,;\,0} \right)\).

Câu 15:      Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) có dạng:

A. \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\).                     

B. \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).

C. \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\).                     

D. \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn B

Theo định nghĩa đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) có dạng: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Câu 16:      Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0\) có bán kính bằng bao nhiêu?

A. \(6\).                            B. \(2\).                         C. \(36\).                        D. \(\sqrt 6 \).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm và bán kính được tính bằng công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn A.

Ta có I(5;0) và

Suy ra bán kinh \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  = \sqrt {{5^2} + {0^2} + 11}  = 6\).

Câu 17:      Phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\) tại điểm \(M\left( {2;1} \right)\) là:

A. \(d: - y + 1 = 0.\)        

B. \(d:4x + 3y + 14 = 0.\)                                  

C. \(d:3x - 4y - 2 = 0.\)        

D. \(d:4x + 3y - 11 = 0.\)

Phương pháp

Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)là

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải

Chọn D.

Đường tròn (C) có tâm \(I\left( { - 2; - 2} \right)\) nên tiếp tuyến tại M có VTPT là \(\vec n = \overrightarrow {IM}  = \left( {4;3} \right),\) nên có phương trình là: \(4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 11 = 0.\)

Câu 18:  

Với những giá trị nào của \(m\) thì đường thẳng \(\Delta :4x + 3y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 9 = 0\).

A. \(m =  - 3\).                 

B. \(m = 3\) và \(m =  - 3\).                                  

C. \(m = 3\).                         

D. \(m = 15\) và \(m =  - 15\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn D.

Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) nên \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 + 3.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm 15\).

Câu 19:      Phương trình của đường Elip có dạng chính tắc là

A. \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\)                        

B. \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).                              

C. \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 0.\)                             

D. \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 0.\)

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải

Chọn A.

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Câu 20:      Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) là

A. \({y^2} = \frac{3}{2}x\).

B. \({y^2} = 3x\).           

C. \({y^2} = 6x\).           

D. \({y^2} = \frac{3}{4}x\).

Phương pháp

Tọa độ  tiêu điểm của Parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 2px\) là \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

Lời giải

Chọn C.

Parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) \( \Rightarrow p = 3\). Vậy phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = 6x\).

Câu 21:      Bạn An có 4 chiếc mũ khác nhau và 3 áo khoác khác nhau để sử dụng khi đi học. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn 1 chiếc mũ và 1 áo khoác để sử dụng khi đi học?

A. 12.                              B. 7.                              C. 1.                              D. 3.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn A.

Công việc được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp:

Hành động 1. Chọn 1 chiếc mũ: có 4 cách chọn.

Hành động 2. Chọn 1 áo khoác: có 3 cách chọn.

Áp dụng quy quy tắc nhân, suy ra có \(4 \cdot 3 = 12\) cách.

Câu 22:      Từ tập \(\left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có hai chữ số.

A. \(5\).                            B. \(25\).                        C. \(8\).                         D. \(10\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn D

Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\overline {ab} \).

Chọn \(b\) có 2 cách;

Chọn \(a\) có 5 cách;

Suy ra có 10 số.

Câu 23:      Có 3 bông hoa trắng, 2 bông hoa đỏ và 4 bông hoa tím. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 bông hoa có màu khác nhau.

A. \(26\).                          B. \(36\).                        C. \(24\).                        D. \(9\).

Phương pháp

Áp dụng  quy tắc nhân

Lời giải

Chọn A.

TH1: 1 hoa trắng và 1 hoa đỏ:

Chọn 1 hoa trắng: có 3 cách.

Chọn 1 hoa đỏ: có 2 cách.

Vậy có \(3.2 = 6\) cách.

TH2: 1 hoa trắng và 1 hoa tím:

Chọn 1 hoa trắng: có 3 cách.

Chọn 1 hoa tím: có 4 cách.

Vậy có \(3.4 = 12\) cách.

TH3: 1 hoa đỏ và 1 hoa tím:

Chọn 1 hoa đỏ: có 2 cách.

Chọn 1 hoa tím: có 4 cách.

Vậy có \(2.4 = 8\) cách.

Áp dụng qui tắc cộng, ta có \(6 + 12 + 8 = 26\) cách.

Câu 24:      Có bao nhiêu cách xếp 4 lá thư khác nhau vào 4 chiếc phong bì khác nhau (mỗi lá thư là một phong bì)?

A. \(12\).                          B. \(4!\).                        C. \(P_4^2\).                  D. \(3!\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc hoán vị

Lời giải

Chọn B

Mỗi cách xếp 4 lá thư khác nhau vào 4 chiếc phong bì khác nhau (mỗi lá thư là một phong bì) là một hoán vị của 4 phần tử.

Do đó số cách xếp là \(4! = 24\) cách.

Câu 25:      Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?

A. \(15.\)                          B. \(720.\)                      C. \(30.\)                        D. \(360.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn D

Số cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài là số chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có \(A_6^4 = 360\) cách.

Câu 26:      Cho \(15\) điểm trên cùng một mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có cả ba đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho?

A. \(3375\).                      B. \(2730\).                    C. \(455\).                      D. \(45\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn C

Số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(C_{15}^3 = 455\).

Câu 27:      Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8} \right\}\). Từ tập hợp \(A\) lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số \(2\).

A. \(4200\).                      B. \(175\).                      C. \(8400\).                    D. \(6720\).

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn A

Gọi số có \(5\) chữ số khác nhau được lập từ \(A\) và luôn có mặt chữ số \(2\) là \(\overline {abcde} \).

Có \(5\) vị trí cho chữ số 2

Sau khi chọn vị trí cho chữ số \(2\) có \(A_7^4\) cách chọn và sắp xếp \(4\)chữ số còn lại.

Theo quy tắc nhân ta có \(5.A_7^4 = 4200\) số.

Câu 28:      Có bao nhiêu cách xếp \(5\) sách Văn khác nhau và \(7\) sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. \(2.5!.7!\).                    B. \(5!.8!\).                    C. \(12!\).                      D. \(5!.7!\).

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn B.

Ta xếp 5 cuốn sách Văn kề nhau có \(5!\) cách sắp xếp. Lúc này xem 5 cuốn sách Văn là 1 vị trí và xếp cùng với 7 cuốn sách Toán sắp xếp vào 8 vị trí trên kệ sách sẽ có \(8!\) cách.

Vậy theo quy tắc nhân ta có \(5!.8!\) cách sắp xếp.

Câu 29:      Trong khai triển của nhị thức \({\left( {3{x^2} - y} \right)^4}\)chứa số hạng \(54{x^4}{y^k}\) thì giá trị của \(k\) là

A. \(2\).                            B. \(1\).                         C. \(3\).                         D. \(4\).

Phương pháp

Áp dụng công thức khai triển nhị thức newton.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {3{x^2} - y} \right)^4} = C_4^0{\left( {3{x^2}} \right)^4} + C_4^1{\left( {3{x^2}} \right)^3}\left( { - y} \right) + C_4^2{\left( {3{x^2}} \right)^2}{\left( { - y} \right)^2} + C_4^3\left( {3{x^2}} \right){\left( { - y} \right)^3} + C_4^4{\left( { - y} \right)^4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 81{x^8} - 108{x^6}y + 54{x^4}{y^2} - 12{x^2}{y^3} + {y^4}\end{array}\).

Vậy giá trị \(k = 2\).

Câu 30:      Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)\) là

A. 8.                                B. 1.                              C. 2.                              D. 4.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải

Chọn D

\(n\left( \Omega  \right) = 2.2 = 4\).

(lần 1 có 2 khả năng xảy ra; lần 2 có 2 khả năng xảy ra).

Câu 31:      Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là

A. 12.                              B. 6.                              C. 8.                              D. 24.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải

Chọn A

Mô tả không gian mẫu ta có: \(\Omega  = \left\{ {S1;\,S2;\,S3;\,S4;\,S5;S6;N1;N2;N3;N4;N5;N6} \right\}\).

Câu 32:      Cho phép thử có không gian mẫu . Các cặp biến cố không đối nhau là

A. \(A = \left\{ 1 \right\}\) và \(B = \left\{ {2,\,3,\,4,\,5,\,6} \right\}\).            

B. \(C\left\{ {1,\,4,\,5} \right\}\) và \(D = \left\{ {2,\,3,\,6} \right\}\).

C. \(E = \left\{ {1,\,4,\,6} \right\}\) và \(F = \left\{ {2,\,3} \right\}\).                

D. \(\Omega \) và \(\emptyset \).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

Cặp biến cố không đối nhau là \(E = \left\{ {1,\,4,\,6} \right\}\) và \(F = \left\{ {2,\,3} \right\}\) do \(E \cap F = \emptyset \) và \(E \cup F \ne \Omega \).

Câu 33:      Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là

A. \(\frac{6}{{30}}\).          B. \(\frac{{12}}{{30}}\).   C. \(\frac{{10}}{{30}}\).   D. \(\frac{9}{{30}}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức xác suất

Lời giải

Chọn D

\(n\left( \Omega  \right) = C_5^2 = 10\). Gọi \(A\): “Lấy được hai quả màu trắng”.

Ta có \(n\left( A \right) = C_3^2 = 3\). Vậy \(P\left( A \right) = \frac{3}{{10}} = \frac{9}{{30}}\).

Câu 34:      Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá bích là

A. \(\frac{1}{4}.\)             

B. \(\frac{{12}}{{13}}.\)  

C. \(\frac{3}{4}.\)           

D. \(\frac{1}{{13}}.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức xác suất

Lời giải

Chọn A

Bộ bài gồm có 13 lá bài bích. Vậy xác suất để lấy được lá bích là: \(P = \frac{{C_{13}^1}}{{C_{52}^1}} = \frac{{13}}{{52}} = \frac{1}{4}\).

Câu 35:      Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng

A. \(\frac{{13}}{{18}}\).      B. \(\frac{5}{{18}}\).       C. \(\frac{1}{3}\).            D. \(\frac{2}{3}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức xác suất

Lời giải

Chọn A

Rút ra hai thẻ tùy ý từ 9 thẻ nên có \(n\left( \Omega  \right) = C_9^2\)\( = 36\).

Gọi \(A\) là biến cố: “rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn”

TH1: 1 thẻ đánh số lẻ, 1 thẻ đánh số chẵn có \(C_4^1.C_5^1 = 20\).

TH2: 2 thẻ đánh số chẵn có \(C_4^2 = 6\).

Suy ra \(n\left( A \right) = 26\).

Xác suất của \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{26}}{{36}}\)\( = \frac{{13}}{{18}}\).

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36:      Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth,\) trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2m\). Sau đó \(1\) giây, nó đạt độ cao \(8,5m\)và \(2\) giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao \(6m\). Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?

Phương pháp

Áp dụng công thức phương trình parabol

Lời giải

Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là \(h = a{t^2} + bt + c\).

Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm \(\left( {0;1;2} \right)\), \(\left( {1;8;5} \right)\) và \(\left( {2;6} \right)\).

 

Từ đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4,9\\b = 12,2\\c = 1,2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là \(h =  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).

Giải phương trình

\(h = 0 \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0\) ta tìm được một nghiệm dương là \(t \approx 2,58\).

Câu 37:      Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có phương trình đường thẳng \(AB\) là \(2x - y - 5 = 0\), điểm \(M\left( {1;2} \right)\) nằm trên đường thẳng \(BC\). Phương trình đường thẳng \(BC\) là

Phương pháp

Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)là

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) \(({a^2} + {b^2} \ne 0)\)là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\), ta có \(\widehat {ABC} = 45^\circ \) nên suy ra \(\cos \left( {AB;BC} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra \(\frac{{\left| {2a - b} \right|}}{{\sqrt {5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow 2{\left( {2a - b} \right)^2} = 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{a^2} - 8ab - 3{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3b\\b =  - 3a\end{array} \right.\).

+/ Với \(a = 3b\), chọn \(a = 3,b = 1\) ta có phương trình \(BC\) là: \(3x + y - 5 = 0\).

+/ Với \(b =  - 3a\), chọn \(a = 1,b =  - 3\) ta có phương trình \(BC\) là: \(x - 3y + 5 = 0\).

Câu 38:      Gia chủ có một miếng đất có hình Elip với độ dài trục lớn bằng \({\rm{2}}\sqrt 3 {\rm{ m}}\), độ dài trục nhỏ bằng \({\rm{2 m}}\). Gia chủ muốn trồng hoa thành hình tam giác cân \(OAB\) (tham khảo hình vẽ) với điểm \(O\) là tâm của Elip, các điểm \(A\) và \(B\) thuộc đường Elip nói trên.

 

Diện tích trồng hoa lớn nhất bằng

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ như \(\left( {Oxy} \right)\) như hình vẽ.

Khi đó phương trình đường Elip là (E): \(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)

 

Không mất tổng quát, ta chọn điểm \(A\) và \(B\) thuộc \(\left( E \right)\) sao cho điểm \(A\) và \(B\) có hoành độ dương. Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) suy ra \(A\) đối xứng với \(B\) qua\(ox\).

Gọi điểm \(A\left( {{x_0};{y_o}} \right)\)\( \Rightarrow \)\(B\left( {{x_o}; - {y_o}} \right)\);\(\left( {{x_o} > 0} \right)\)

\(A \in \left( E \right):\frac{{x_0^2}}{3} + \frac{{y_0^2}}{1} = 1 \Rightarrow \frac{{x_{}^2}}{3} + \frac{{y_{}^2}}{1} = 1 \Rightarrow \left| {{y_0}} \right| = \frac{{\sqrt {3 - x_0^2} }}{2}\)

Ta có \(AB = 2\left| {{y_0}} \right| = \sqrt {3 - x_0^2} \)

Gọi \(H\)là trung điểm \(AB\)thì \(H\left( {{x_0};0} \right) \Rightarrow OH = {x_0}\)

\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.OH.AB = \frac{1}{2}.{x_0}.\sqrt {3 - x_0^2}  = \frac{1}{2}.\sqrt {x_0^2\left( {3 - x_0^2} \right)}  \le \frac{1}{2}.\frac{{x_0^2 + 3 - x_0^2}}{2} = \frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi\(x_0^2 = 3 - x_0^2 \Rightarrow {x_0} = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow {y_0} =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{4}\)

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất bằng \(\frac{3}{4}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\).

Câu 39:      Từ các chữ số \(2,3,4,5,6,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(6\)chữ số khác nhau và tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số sau 1 đơn vị?

Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcdef} \) \(\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e \ne f;a,b,c,d,e,f \in \left\{ {2;3;4;5;6;7} \right\}} \right)\).

Theo bài ra, ta có: \(\underbrace {a + b + c}_X + 1 = \underbrace {d + e + f}_Y\).

Và tổng 6 chữa số \(\underbrace {a + b + c}_X + \underbrace {d + e + f}_Y = 27\) suy ra\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X - Y =  - 1}\\{X + Y = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = 13}\\{Y = 14}\end{array}} \right.} \right.\).

Khi đó có \(3\) bộ số thỏa mãn là:\((a;b;c) = \left\{ {\left( {3;4;6} \right),\left( {2;5;6} \right),\left( {2;4;7} \right)} \right\}\), ứng với mỗi bộ ba số \(\left( {a,b,c} \right)\) thì tổng ba chữ số còn lại bằng 14 thỏa yêu cầu đề bài.

Vậy có tất cả \(3!.3!.3 = 108\) số.

---------- HẾT ----------

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1.     Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là

A. \(\left( {0\,; + \infty } \right).\)       

B. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right) \cup \left( {0\,; + \infty } \right).\)                                 

C. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right).\)     

D. \(\left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)

Câu 2.     Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 1}  + \frac{1}{{x + 4}}\) là

A. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)         

B. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)         

C. \(\left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}.\)      

D. \(\left( { - 4; + \infty } \right).\)

Câu 3.     Cho hàm số \(.y = {x^2} + 2x - 3\) có đồ thị là parabol\((P)\). Trục đối xứng của \((P)\) là

A. \(x =  - 1.\)                                   

B. \(x = 1.\)                                      

C. \(x = 2.\)                                      

D. \(x =  - 2.\)

Câu 4.     Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;\; + \infty } \right).\)

B. \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {3;4} \right).\)

C. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1.\)

D. Đồ thị cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt.

Câu 5.     Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{    }}\left( {a \ne 0} \right),\) \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Ta có \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)khi và chỉ khi:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right..\)                                 

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\\Delta  < 0\end{array} \right..\)                                 

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right..\)                                

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right..\)

Câu 6.     Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x - 2\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi

A. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right] \cup \left[ {2\,; + \infty } \right).\)                            

B. \(x \in \left[ {1\,;2} \right].\)

C. \(x \in \left( {1\,;2} \right).\)          

D. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right) \cup \left( {2\,; + \infty } \right).\)

Câu 7.     Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\sqrt {2x - 3}  = x - 3\) là

A. \(S = \left\{ {6;2} \right\}.\)           

B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)                 

C. \(S = \left\{ 6 \right\}.\)                

D. \(S = \emptyset .\)

Câu 8.     Giải phương trình sau: \(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6}  = \sqrt {x + 2} \)

A. \(S = \left\{ 4 \right\}.\)                

B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)                 

C. \(S = \left\{ {2;4} \right\}.\)           

D. \(S = \emptyset .\)

Câu 9.     Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là

A. \(x--2y--4 = 0.\)                            

B. \(x + y + 4 = 0.\)                            

C. \(--{\rm{ }}x + 2y--4 = 0.\)              

D. \(x--2y + 5 = 0.\)

Câu 10.   Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A(3; - 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (4; - 2)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 6 - t\end{array} \right..\)                              

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 - t\end{array} \right..\)                              

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 6 + 4t\\y = 3 - 2t\end{array} \right..\)                            

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y = 1 - 2t\end{array} \right..\)

Câu 11.   Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau đây: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t'\\y =  - 15 - 5t'\end{array} \right.\).

A. \(\left( {6;5} \right).\)                    

B. \(\left( {0;0} \right).\)                    

C. \(\left( { - 5;4} \right).\)                 

D. \(\left( {2;5} \right).\)

Câu 12.   Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(2; - 1),{\rm{ }}B\left( {2;5} \right)\) là

A. \(x + y - 1 = 0.\)                            

B. \(2x - 7y + 9 = 0.\)                         

C. \(x + 2 = 0.\)                                 

D. \(x - 2 = 0.\)

Câu 13.   Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\) là

A. \(\frac{2}{5}.\)                              

B. \(2.\)   

C. \(\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\)              

D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)

Câu 14.   Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x--3y + 6 = 0\)là

A. \(30^\circ .\)                                

B. \(60^\circ .\)                                

C. \(45^\circ .\)                                

D. \(135^\circ .\)

Câu 15.   Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\). Tâm của đường tròn có tọa độ là

A. \(\left( { - 5;\,\,4} \right).\)            

B. \(\left( {4;\,\, - 5} \right).\)            

C. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right).\)                                    

D. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\, - 2} \right).\)

Câu 16.   Phương trình nào là sau đây là phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính \(R = 2?\)

A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0.\)  

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4.\)

C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 4.\)      

D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 2.\)

Câu 17.   Cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right){\rm{, }}B\left( {7;5} \right)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là

A. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0.\)

B. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y - 12 = 0.\)

C. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y - 12 = 0.\)  

D. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0.\)

Câu 18.   Một đường tròn có tâm \(I(1;3)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y = 0\). Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?

A. \(\frac{3}{5}.\)                              

B. \(1.\)   

C. \(3.\)   

D. \(15.\)

Câu 19.   Tìm các tiêu điểm của\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)

A. \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)

B. \({F_1}\left( {3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)

C. \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right).\)                      

D. \({F_1}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - \sqrt 8 } \right).\)

Câu 20.   Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}?\)

A. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{3}}} = 1.\)                        

B. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{27}}}} = 1.\)     

C. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{18}}}} = 1.\)     

D. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}} = 1.\)

Câu 21.   Một hộp có chứa 7 bóng đèn màu đỏ và 4 bóng đèn màu xanh. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn trong hộp là

A. \(11.\) 

B. \(7.\)   

C. \(4.\)   

D. \(28.\)

Câu 22.   Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh bằng

A. \(81.\) 

B. \(7.\)   

C. \(12.\) 

D. \(64.\)

Câu 23.   Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\)?

A. \(136.\)

B. \(128.\)

C. \(256.\)

D. \(1458.\)

Câu 24.   Số cách xếp \(10\)học sinh thành một hàng dọc là

A. \(5!.5!.\)                                      

B. \(10!.\)

C. \(10.\) 

D. \(25.\)

Câu 25.    Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Từ tập \(X\) lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?

A. \(100.\)

B. \(120.\)

C. \(60.\) 

D. \(125.\)

Câu 26.   Trên một đường tròn có \(8\) điểm phân biệt. Số tam giác nhận \(3\) trong số \(8\) điểm đó làm đỉnh là

A. \(58.\) 

B. \(56.\)  

C. \(54.\) 

D. \(52.\)

Câu 27.   Trong một trận chung kết bóng đá cần phải đá luân lưu 11 mét để phân định thắng thua, huấn luyện viên cần trình với trọng tài một danh sách 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ đang có trên sân để lần lượt theo thứ tự đá đủ 3 quả sút luân lưu (mỗi cầu thủ đá đúng một lần). Huấn luyện viên có tất cả bao nhiêu cách chọn?

A. \(70.\) 

B. \(2187.\)                                      

C. \(823543.\)                                  

D. \(210.\)

Câu 28.   Có \(3\) nam và \(3\) nữ xếp thành một hàng. Số cách sắp xếp để nam nữ đứng xen kẽ là:

A. \(36.\) 

B. \(72.\)  

C. \(144.\)

D. \(720.\)

Câu 29.   Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\)?

A. \(2019.\)                                      

B. \(2017.\)                                      

C. \(2018.\)                                      

D. \(2020.\)

Câu 30.   Xét phép thử tung con súc sắc \(6\) mặt hai lần. Biến cố \(A:\) “ số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau”

A. \(n\left( A \right) = 6.\)                 

B. \(n\left( A \right) = 36.\)               

C. \(n\left( A \right) = 16.\)               

D. \(n\left( A \right) = 12.\)

Câu 31.   Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con thì \(n\left( \Omega  \right)\) bằng bao nhiêu?

A. \(140608.\)                                  

B. \(156.\)

C. \(132600.\)                                  

D. \(22100.\)

Câu 32.   Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp hai lần. Tính xác suất để cả hai lần gieo đều được mặt sấp.

A. \(\frac{1}{4}.\)                              

B. \(\frac{1}{6}.\)                              

C. \(\frac{1}{8}.\)                              

D. \(\frac{1}{2}.\)

Câu 33.   Một đoàn đại biểu gồm \(5\)người được chọn ra từ một tổ gồm \(8\)nam và \(7\)nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ là

A. \(\frac{{56}}{{143}}.\)                   

B. \(\frac{{140}}{{429}}.\)                  

C. \(\frac{1}{{143}}.\)                        

D. \(\frac{{28}}{{715}}.\)

Câu 34.   Đội văn nghệ của lớp có \(5\) bạn nam và \(7\) bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ bằng:

A. \(\frac{{245}}{{792}}.\)                  

B. \(\frac{{210}}{{792}}.\)                  

C. \(\frac{{547}}{{792}}.\)                  

D. \(\frac{{582}}{{792}}.\)

Câu 35.   Gieo con xúc xắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm:

A. \(A = \left\{ {\left( {1;6} \right),\,\left( {2;6} \right),\,\left( {3;6} \right),\,\left( {4;6} \right),\,\left( {5;6} \right)} \right\}.\)

B. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right)} \right\}.\)

C. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}\)

D. \(A = \left\{ {\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36.   Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) biết \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông.

Câu 37.   Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\)trong khai triển Nhị thức Niu tơn: \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{2n}}\)\(\left( {x \ne 0} \right)\), biết số nguyên dương \(n\)thỏa mãn \(C_n^3 + A_n^2 = 50.\)

Câu 38.   Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) lần lượt có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\) và \(3x + 4y + 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \), biết \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất và \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \(45^\circ \).

Câu 39.   Một tổ có 10 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có 2 học sinh tên An và Tâm và 6 học sinh nam. Xếp 10 học sinh trong tổ ngồi thành một hàng dọc. Tính xác suất để chỉ có hai học sinh nữ An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không ngồi cạnh nhau đồng thời cũng không ngồi cạnh An và Tâm.

-----------------HẾT --------------- 

Lời giải

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1.     Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là

A. \(\left( {0\,; + \infty } \right).\)                            

B. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right) \cup \left( {0\,; + \infty } \right).\)                           

C. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right).\)                           

D. \(\left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)

Phương pháp

- Hàm đa thức có tập xác định \(D = \left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)

Lời giải

Chọn D

Ta có hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là hàm đa thức nên có tập xác định \(D = \left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)

Câu 2.     Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 1}  + \frac{1}{{x + 4}}\) là

A. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)                              

B. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)                                       

C. \(\left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}.\)                         

D. \(\left( { - 4; + \infty } \right).\)

Phương pháp

- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0.

- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 4 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne  - 4\end{array} \right.\)

Câu 3.     Cho hàm số \(.y = {x^2} + 2x - 3\) có đồ thị là parabol\((P)\). Trục đối xứng của \((P)\) là

A. \(x =  - 1.\)                    B. \(x = 1.\)                    C. \(x = 2.\)                    D. \(x =  - 2.\)

Phương pháp

\((P)\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Lời giải

Chọn A

\((P)\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\)

Câu 4.     Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;\; + \infty } \right).\)

B. \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {3;4} \right).\)

C. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1.\)

D. Đồ thị cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt.

Phương pháp

- Dựa vào hình vẽ và các công thức của Parabol

Lời giải

Chọn C

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow \) Loại A

Đỉnh \(I\left( {3;4} \right) \Rightarrow \) Loại B

Trục tung \(x = 0,\)ta có \(y > 1\) \( \Rightarrow \) C sai.

Hiển nhiên D đúng.

Câu 5.     Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{    }}\left( {a \ne 0} \right),\) \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Ta có \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in R\)khi và chỉ khi:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right..\)               

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\\Delta  < 0\end{array} \right..\)                     

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right..\)                    

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right..\)

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

Chọn A

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in R\)khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

Câu 6.     Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x - 2\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi

A. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right] \cup \left[ {2\,; + \infty } \right).\)           

B. \(x \in \left[ {1\,;2} \right].\)

C. \(x \in \left( {1\,;2} \right).\)                                                                     

D. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right) \cup \left( {2\,; + \infty } \right).\)

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

Chọn B

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)

\(x\)	\( - \infty \)                    1                              2                       \( + \infty \)
\(f(x)\)	-                          +                             -

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1{\mkern 1mu} ;2} \right]\)

Câu 7.     Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\sqrt {2x - 3}  = x - 3\) là

A. \(S = \left\{ {6;2} \right\}.\)                                

B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)                                       

C. \(S = \left\{ 6 \right\}.\)                                   

D. \(S = \emptyset .\)

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải.

Chọn C

Ta có : \(\sqrt {2x - 3}  = x - 3 \Rightarrow {(\sqrt {2x - 3} )^2} = {(x - 3)^2} \Leftrightarrow 3x - 3 = {x^2} - 6x + 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\)

Thử nghiệm :

Thay \(x = 2\) vào phương trình ta được \(\sqrt {2.2 - 3}  = 2 - 3\) (sai).

Thay \(x = 6\) vào phương trình ta được \(\sqrt {2.6 - 3}  = 6 - 3\) (đúng).

Vậy \(x = 6\) là nghiệm của phương trình.

Câu 8.     Giải phương trình sau: \(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6}  = \sqrt {x + 2} \)

A. \(S = \left\{ 4 \right\}.\)

B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)                                   

C. \(S = \left\{ {2;4} \right\}.\)     

D. \(S = \emptyset .\)

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải.

Chọn C

Ta có: \(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6}  = \sqrt {x + 2}  \Rightarrow {(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} )^2} = {(\sqrt {x + 2} )^2} \Leftrightarrow  - {x^2} + 7x - 6 = x + 2\)

\( \Leftrightarrow  - {x^2} + 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Thay 2 giá trị x tìm được vào phương trình đã cho ta thấy \(x = 4\); \(x = 2\)đều thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x = 4\); \(x = 2\)

Câu 9.     Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là

A. \(x--2y--4 = 0.\)            

B. \(x + y + 4 = 0.\)         

C. \(--{\rm{ }}x + 2y--4 = 0.\)                                       

D. \(x--2y + 5 = 0.\)

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n  = (a;b).\)

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là:

\(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).

Câu 10.   Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A(3; - 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (4; - 2)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 6 - t\end{array} \right..\)              

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 - t\end{array} \right..\)                   

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 6 + 4t\\y = 3 - 2t\end{array} \right..\)                 

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y = 1 - 2t\end{array} \right..\)

Phương pháp

Đường thẳng cần viết phương trình đi qua \(A({x_0};{y_0})\)và vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = (a,b)\) nên có phương trình tham số  \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng \(d\)có vtcp là \(\left( {4; - 2} \right)\) suy ra có vtcp là \(\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng cần viết phương trình đi qua \(A(3; - 6)\)và vtcp là \(\left( {2; - 1} \right)\) nên có phương trình tham số\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 6 - t\end{array} \right.\).

Câu 11.   Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau đây:  \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t'\\y =  - 15 - 5t'\end{array} \right.\).

A. \(\left( {6;5} \right).\)   

B. \(\left( {0;0} \right).\) 

C. \(\left( { - 5;4} \right).\)                                       

D. \(\left( {2;5} \right).\)

Phương pháp

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ hai phương trình đường thẳng trên.

Lời giải

Chọn B

Giải hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}22 + 2t = 12 + 4t'\\55 + 5t =  - 15 - 5t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 11\\t' =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 0\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là \(\left( {0;0} \right)\).

Câu 12.   Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(2; - 1),{\rm{ }}B\left( {2;5} \right)\) là

A. \(x + y - 1 = 0.\)             B. \(2x - 7y + 9 = 0.\)       C. \(x + 2 = 0.\)               D. \(x - 2 = 0.\)

Phương pháp

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A({x_0},{y_0})\) và VTPT \(\vec n = \left( {a;b} \right)\), có phương trình \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải

Chọn D

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right).\) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(2; - 1)\) và VTPT \(\vec n = \left( { - 6;0} \right)\), có phương trình

\( - 6\left( {x - 2} \right) + 0\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0.\)

Câu 13.   Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\) là

A. \(\frac{2}{5}.\)            

B. \(2.\)                        

C. \(\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\)                                       

D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)

 

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 1}}{3}\\t = \frac{{y - 2}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{4}\)\( \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0\)

Suy ra \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.2 - 3.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 2\).

Câu 14.   Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x--3y + 6 = 0\)là

A. \(30^\circ .\)                B. \(60^\circ .\)              C. \(45^\circ .\)              D. \(135^\circ .\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:  \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) có VTPT tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\, - 3} \right)\).

Ta có: \(\cos \left( {{d_1},\,{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {50} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {{d_1},\,{d_2}} \right) = 45^\circ .\)

Câu 15.   Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\). Tâm của đường tròn có tọa độ là

A. \(\left( { - 5;\,\,4} \right).\)                                  B. \(\left( {4;\,\, - 5} \right).\)                                        C. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right).\)                  D. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\, - 2} \right).\)

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm và bán kính được tính bằng công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn C

Từ phương trình tổng quát của \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\) ta suy ra \(a =  - \frac{5}{2}\), \(b = 2\). Vậy tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right)\)

Câu 16.   Phương trình nào là sau đây là phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính \(R = 2?\)

A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0.\)                       

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4.\)

C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 4.\)                           

D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 2.\)

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn A

Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\) và bán kính \(R = 2\)có dạng :

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\).

Câu 17.   Cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right){\rm{, }}B\left( {7;5} \right)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là

A. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0.\)                     

B. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y - 12 = 0.\)

C. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y - 12 = 0.\)                       

D. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0.\)

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn D

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4\\{y_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {4;3} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{6^2} + {4^2}}  = 2\sqrt {13} \)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB \Rightarrow \) \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {13} \)

Nên phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0\)

Câu 18.   Một đường tròn có tâm \(I(1;3)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y = 0\). Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?

A. \(\frac{3}{5}.\)              B. \(1.\)                         C. \(3.\)                         D. \(15.\)

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn C

Gọi \(R\)là bán kính fđường tròn, ta có: \(R = d(I;\Delta ) = \frac{{\left| {3.1 + 3.4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\)

Câu 19.   Tìm các tiêu điểm của\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)

A. \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)                     

B. \({F_1}\left( {3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)

C. \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right).\)      

D. \({F_1}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - \sqrt 8 } \right).\)

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu điểm : \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\). Mà \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {c^2} = 8 \Rightarrow c = \sqrt 8 \)

Công thức tiêu điểm : \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)\( \Rightarrow \) \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\)

Câu 20.   Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}?\)

A. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{3}}} = 1.\)       

B. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{27}}}} = 1.\)                                       

C. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{18}}}} = 1.\)                  

D. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}} = 1.\)

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải

Chọn B

Giả sử elip có phương trình tổng quát là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Do \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{36}}{{{a^2}}} = 1\\e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\c = \frac{1}{2}a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{c^2} = \frac{1}{4}{a^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{b^2} = 27\end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1\)

Câu 21.   Một hộp có chứa 7 bóng đèn màu đỏ và 4 bóng đèn màu xanh. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn trong hộp là

A. \(11.\)                          B. \(7.\)                         C. \(4.\)                         D. \(28.\)

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải

Chọn A

Để chọn 1 bóng đèn trong hộp có 2 trường hợp:

TH1: Nếu chọn màu đỏ có 7 cách

TH2: Nếu chọn màu xanh có 4 cách

Vậy có 11 cách chọn.

Câu 22.   Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh bằng

A. \(81.\)                          B. \(7.\)                         C. \(12.\)                        D. \(64.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn C

Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh là \(C_3^1.C_4^1\)\( = 3.4\)\( = 12\)

Câu 23.   Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\)?

A. \(136.\)                        B. \(128.\)                      C. \(256.\)                      D. \(1458.\)

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

 Lời giải

Chọn A

Gọi \(x = \overline {abc} \)(với \(a \ne b,\,\,b \ne c,\,\,c \ne a\)) là số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\). Vì \(x \vdots 5\)nên \(c \in \left\{ {0;5} \right\}\)

TH1: \(c = 0\)

+ Chọn \(c\): có 1 cách.

+ Chọn \(a\): có 9 cách (\(a \ne 0\)).

+ Chọn \(b\): có 8 cách (\(b \ne 0,b \ne a\)).

\( \Rightarrow \)có \(1.9.8 = 72\)số.

TH2: \(c = 5\)

+ Chọn \(c\): có 1 cách.

+ Chọn \(a\): có 8 cách (\(a \ne 5,\,a \ne 0\)).

+ Chọn \(b\): có 8 cách (\(b \ne 5,b \ne a\)).

\( \Rightarrow \)có \(1.8.8 = 64\)số.

Theo quy tắc cộng, ta có tất cả: \(72 + 64 = 136\)số thỏa ycbt.

Câu 24.   Số cách xếp \(10\) học sinh thành một hàng dọc là

A. \(5!.5!.\)                       B. \(10!.\)                      C. \(10.\)                        D. \(25.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

 Lời giải

Chọn B

Mỗi cách xếp hàng là một hoán vị của \(10\)phần tử

Vậy có \(10!\)cách xếp hàng.

Câu 25.   Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Từ tập \(X\) lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?

A. \(100.\)                       B. \(60.\)                      C. \(120.\)                    D. \(125.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn B

Mỗi số cần lập là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy có \(A_5^3 = 60\) số.

Câu 26.   Trên một đường tròn có \(8\) điểm phân biệt. Số tam giác nhận \(3\) trong số \(8\) điểm đó làm đỉnh là

A. \(58.\)                          B. \(56.\)                        C. \(54.\)                        D. \(52.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn B

Mỗi tam giác tìm được tương ứng với một tổ hợp chập \(3\) của \(8\) phần tử.

Vậy số tam giác là: \(C_8^3 = 56\).

Câu 27.   Trong một trận chung kết bóng đá cần phải đá luân lưu 11 mét để phân định thắng thua, huấn luyện viên cần trình với trọng tài một danh sách 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ đang có trên sân để lần lượt theo thứ tự đá đủ 3 quả sút luân lưu (mỗi cầu thủ đá đúng một lần). Huấn luyện viên có tất cả bao nhiêu cách chọn?

A. \(70.\)                          B. \(2187.\)                    C. \(823543.\)                D. \(210.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn D

Mỗi cách chọn ra 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ để thực hiện đá luân lưu ?là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.

Vậy số cách chọn là \(A_7^3 = 210\)cách.

Câu 28.   Có \(3\) nam và \(3\) nữ xếp thành một hàng. Số cách sắp xếp để nam nữ đứng xen kẽ là:

A. \(36.\)                          B. \(72.\)                        C. \(144.\)                      D. \(720.\)

Phương pháp

Áp dụng các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn B

Đánh số thứ tự xếp hàng từ 1 đến 6.

TH1: Nam số chẵn, nữ số lẻ.

+ Xếp 3 nam vào 3 vị trí đánh số chẵn, có \(3!\) cách xếp.

+ Xếp 3 nữ vào vào 3 vị trí đánh số lẻ, có \(3!\) cách xếp.

Vậy TH1 có \(3!.3! = 36\) cách.

TH2: Nam số lẻ, nữ số chẵn.

Tương tự TH1, trong TH2 có 36 cách xếp.

Vậy có \(36 + 36 = 72\) cách xếp.

Câu 29.   Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\)?

A. \(2019.\)                      B. \(2017.\)                    C. \(2018.\)                    D. \(2020.\)

Phương pháp

Áp dụng Khai triển nhị thức Newton.

Lời giải

Chọn A

Trong khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n}\) thì số các số hạng là \(n + 1\) nên trong khai triển \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\) có \(2019\) số hạng.

Câu 30.   Xét phép thử tung con súc sắc \(6\) mặt hai lần. Biến cố \(A:\) “ số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau”

A. \(n\left( A \right) = 6.\)                                   

B. \(n\left( A \right) = 36.\)                                       

C. \(n\left( A \right) = 16.\)                              

D. \(n\left( A \right) = 12.\)

Phương pháp

Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải

Chọn A

Ta có số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau

\(A = \left\{ {\left( {1;1} \right),\,\left( {2;2} \right),\,\left( {3;3} \right),\,\left( {4;4} \right),\,\left( {5;5} \right),\left( {6;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).

Câu 31.   Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con thì \(n\left( \Omega  \right)\) bằng bao nhiêu?

A. \(140608.\)                   B. \(156.\)                      C. \(132600.\)                D. \(22100.\)

Phương pháp

Áp dụng csc quy tắc đếm

Lời giải

Chọn D

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = C_{52}^3 = 22100\).

Câu 32.   Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp hai lần. Tính xác suất để cả hai lần gieo đều được mặt sấp.

A. \(\frac{1}{4}.\)              B. \(\frac{1}{6}.\)            C. \(\frac{1}{8}.\)            D. \(\frac{1}{2}.\)

Phương pháp

 Áp dụng công thức tính xác suất.

Lời giải

Chọn A

Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu. Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp nên \(n\left( \Omega  \right) = 2.2 = 4.\)

Gọi \(A\)” Cả hai lần gieo đều mặt sấp” nên \(n\left( A \right) = 1.1 = 1.\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{4}.\)

Câu 33.   Một đoàn đại biểu gồm \(5\)người được chọn ra từ một tổ gồm \(8\)nam và \(7\)nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ là

A. \(\frac{{56}}{{143}}.\)   

B. \(\frac{{140}}{{429}}.\)                                    

C. \(\frac{1}{{143}}.\)            

D. \(\frac{{28}}{{715}}.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất.

Lời giải

Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^5\).

Gọi biến cố \(A\): “Chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ”

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3\).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{56}}{{143}}\)

Câu 34.   Đội văn nghệ của lớp có \(5\) bạn nam và \(7\) bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ bằng:

A. \(\frac{{245}}{{792}}.\) 

B. \(\frac{{210}}{{792}}.\)                                    

C. \(\frac{{547}}{{792}}.\)      

D. \(\frac{{582}}{{792}}.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất.

Lời giải

Chọn A

Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn \(5\) bạn trong \(12\) bạn, do đó \(\left| \Omega  \right| = C_{12}^5\).

Để chọn các bạn thỏa bài toán có các phương án:

+ Chọn được \(3\) bạn nam, \(2\) bạn nữ: \(C_5^3.C_7^2\).

+ Chọn được \(4\) bạn nam, \(1\) bạn nữ: \(C_5^4.C_7^1\).

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố là \(C_5^3.C_7^2 + C_5^4.C_7^1\).

Xác suất \(\frac{{C_5^3.C_7^2 + C_5^4.C_7^1}}{{C_{12}^5}} = \frac{{245}}{{792}}\).

Câu 35.   Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm:

A. \(A = \left\{ {\left( {1;6} \right),\,\left( {2;6} \right),\,\left( {3;6} \right),\,\left( {4;6} \right),\,\left( {5;6} \right)} \right\}.\)

B. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right)} \right\}.\)

C. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)

D. \(A = \left\{ {\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)

Phương pháp

Áp dụng các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

Liệt kê ta có: \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}\).

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36.   Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) biết \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông.

Phương pháp

 Áp dụng công thức của Elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải

Gọi \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) nên: \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) \( \Leftrightarrow \,\,16{a^2} + 9{b^2} = 5{a^2}{b^2}\)\(\left( 1 \right)\)

Vì \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông nên: \(OM = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = c\)

\( \Leftrightarrow \,\,O{M^2} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,\frac{9}{5} + \frac{{16}}{5} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} - {b^2} = {c^2} = 5\) \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} = 5 + {b^2}\) thế vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(16\left( {5 + {b^2}} \right) + 9{b^2} = 5\left( {5 + {b^2}} \right){b^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,{b^4} = 16\) \( \Rightarrow \,\,{b^2} = 4\) nên \({a^2} = 9\)

Vậy: \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

Câu 37.   Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\)trong khai triển Nhị thức Niu tơn: \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{2n}}\)\(\left( {x \ne 0} \right)\), biết số nguyên dương \(n\)thỏa mãn \(C_n^3 + A_n^2 = 50.\)

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển Newton

Lời giải

Ta có \(C_n^3 + A_n^2 = 50\)\(\left( {n \ge 3,n \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}\)\( + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 50\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{1} = 50\)\( \Leftrightarrow {n^3} + 3{n^2} - 4n - 300 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 6\)

Khi đó khai triển \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{12}}\)có số hạng tổng quát \(C_{12}^k{3^{12 - k}}{.2^{ - k}}.{x^{2k - 12}}\)\(\left( {k \in \mathbb{N},k \le 12} \right)\)

Số hạng chứa \({x^8}\)\( \Rightarrow 2k - 12 = 8\)\( \Leftrightarrow k = 10\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là : \(C_{12}^{10}{.3^2}{.2^{ - 10}}\)\( = \frac{{297}}{{512}}.\)

Câu 38.   Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) lần lượt có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\) và \(3x + 4y + 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \), biết \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất và \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \(45^\circ \).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:  \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,2} \right)\), bán kính \(R = 3\)

Vì \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất nên \(\Delta \) đi qua tâm \(I\)

Gọi \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {a;\,b} \right)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \)

Suy ra \(\Delta :a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\Delta :ax + by - a - 2b = 0\)

\(d\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3;\,4} \right)\)

Ta có: \(\cos \left( {d,\,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\,\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right)} \right|\)\( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}\)

\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ  = \frac{{\left| {3a + 4b} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {3a + 4b} \right|}}{{5.\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 2 \left| {3a + 4b} \right|\)

\( \Leftrightarrow 7{a^2} - 48ab - 7{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 7b\\a =  - \frac{1}{7}b\end{array} \right.\)

+) Với \(a = 7b\). Ta chọn \(b = 1\), \(a = 7\). Suy ra \(\Delta :7x + y - 9 = 0\)

+) Với \(a =  - \frac{1}{7}b\). Ta chọn \(b =  - 7\), \(a = 1\). Suy ra \(\Delta :x - 7y + 13 = 0\)

Câu 39.   Một tổ có 10 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có 2 học sinh tên An và Tâm và 6 học sinh nam. Xếp 10 học sinh trong tổ ngồi thành một hàng dọc. Tính xác suất để chỉ có hai học sinh nữ An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không ngồi cạnh nhau đồng thời cũng không ngồi cạnh An và Tâm.

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm.

Lời giải

Không gian mẫu là số cách sắp xếp 10 học sinh ngồi theo hàng dọc: \(n(\Omega ) = 10!\)

Gọi biến cố A: “10 học sinh ngồi thành hàng dọc mà chỉ có An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh khác không ngồi cạnh nhau và không ngồi cạnh An và Tâm”

Ta xem An và Tâm như một nhóm X.

Số cách sắp xếp trong nhóm X là: 2!

Số cách sắp xếp 6 bạn nam thành một hàng dọc là: 6!

Để xảy ra biến cố A, ta xếp nhóm X và hai bạn nữ còn lại vào 7 khoảng trống do 6 bạn nam tạo ra sao cho X và hai bạn nữ không tạo thành cặp gần nhau. Số cách là: \(A_7^3\)

Vậy: \(n(A) = 2.6!A_7^3\)

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{2.6!.A_7^3}}{{10!}} = \frac{1}{{12}}.\)

---------------------------------------------------HẾT ---------------------------------------------------