Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 10

Câu 1 : Cho k, n là các số tự nhiên $(0 \leq k \leq n)$ . Công thức nào sau đây đúng?

A.

$C_{n}^{k} = \frac{k!}{(n - k)! n!}$ .
B.

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ .
C.

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$ .
D.

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k) k!}$ .

Câu 2 : Trong khai triển nhị thức Niutơn ${(2 x - 3)}^{5}$ , số hạng chứa $x^{2}$ là:

A.

$- 720 x^{2}$ .
B.

$- 1080 x^{2}$ .
C.

$1080 x^{2}$ .
D.

$720 x^{2}$ .

Câu 3 : Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x - 1} = 2 - x$ là:

A.

S = {1; 5}.
B.

S = {1}.
C.

S = {5}.
D.

S = {2; 3}.

Câu 4 : Có 5 người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế là:

A.

100.
B.

125.
C.

130.
D.

120.

Câu 5 : Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên cả hai con xúc xắc bằng 9 là

A.

$\frac{1}{9}$ .
B.

$4$ .
C.

$36$ .
D.

$\frac{1}{6}$ .

Câu 6 : Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường tròn?

A.

$x^{2} + y^{2} = 4$ .
B.

${(x + 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 4$ .
C.

${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ .
D.

${(x + 1)}^{2} + {(2 - y)}^{2} = 4$ .

Câu 7 : Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị như hình vẽ. Đặt $Δ = b^{2} - 4 a c$ , tìm dấu của a và $Δ$ .

A.

$a < 0, Δ = 0$ .
B.

$a > 0, Δ = 0$ .
C.

$a < 0, Δ > 0$ .
D.

$a > 0, Δ > 0$ .

Câu 8 : Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách chọn bộ “quần-áo-cà vạt” khác nhau?

A.

13.
B.

12.
C.

72.
D.

30.

Câu 9 : Một hộp có bốn loại bi gồm bi xanh, bi đỏ, bi trắng và bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Gọi A là biến cố: “Lấy được viên bi xanh”. Biến cố đối của A là biến cố

A.

Lấy được viên bi đỏ.
B.

Lấy được viên bi vàng hoặc viên bi trắng, hoặc viên bi đỏ.
C.

Lấy được viên bi trắng.
D.

Lấy được viên bi vàng hoặc viên bi trắng.

Câu 10 : Parabol $y = x^{2} + 4 x - 5$ có trục đối xứng là đường thẳng:

A.

x = -4.
B.

x = -2.
C.

x = 4.
D.

x = 2.

Câu 11 : Cho hàm số $f (x) = \sqrt{5 x + 1}$ . Giá trị f(3) bằng:

A.

4.
B.

Không xác định.
C.

16.
D.

3.

Câu 12 : Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d: 3x – 6y – 9 = 0 và d’: x – 2y + 3 = 0.

A.

Cắt nhau nhưng không vuông góc.
B.

Trùng nhau.
C.

Song song với nhau.
D.

Cắt nhau và vuông góc.

Câu 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $Δ$ có phương trình 2x + y – 1 = 0.

a) Điểm M(1; -1) thuộc đường thẳng $Δ$ .

Đúng

Sai

b) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là ${\vec{u}}_{_{Δ}} = (2; 1)$ .

Đúng

Sai

c) Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1) và vuông góc với đường thẳng $Δ$ có phương trình là x – 2y – 2 = 0.

Đúng

Sai

d) Đường tròn tâm I(2; 2) tiếp xúc với đường thẳng $Δ$ có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Lớp 10C1 có 16 học sinh nam và 18 học sinh nữ, giả sử tất cả các học sinh trong lớp đều có thể đảm nhận các vị trí, nhiệm vụ được giao.

a) Chọn hai học sinh trong lớp 10C1 gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 288 (cách).

Đúng

Sai

b) Chọn 4 học sinh trong lớp 10C1 tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 11900 (cách).

Đúng

Sai

c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10C1 vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư. Khi đó số cách chọn là 560 (cách).

Đúng

Sai

d) Chọn một học sinh trong lớp 10C1 vào vị trí lớp trưởng. Khi đó số cách chọn là 34 (cách).

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho phương trình $\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 4} = 5 x - 6$ . Tổng các nghiệm của phương trình bằng $\frac{a}{b}$ với $a, b \in N^{*}$ và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tìm a + b.

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tính tiêu cự của elip đã cho?

Câu 3 : Có một lưới ô vuông với kích thước 5x10 (hình vẽ). Một con ốc sên bò từ A đến B đi theo cạnh của các hình vuông nhỏ chỉ theo hướng từ dưới lên trên hoặc từ trái qua phải. Tính xác suất để ốc sên đi qua điểm C.

Câu 4 : Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{2} y^{3}$ trong khai triển ${(2 x - y)}^{5}$ .

Câu 1 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(1; 2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua M và nhận $\vec{u} (3; - 4)$ làm vectơ chỉ phương.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: 4x + 2y + 1 = 0.

Câu 2 : Một viên bi được ném xiên từ vị trí A cách mặt đất 2 m theo quỹ đạo dạng parabol như hình vẽ bên. Tìm khoảng cách từ vị trí E đến vị trí F, biết rằng vị trí E là nơi viên bi rơi xuống chạm mặt đất.

Câu 3 : Một cuộc họp có sự tham gia của 21 nhà khoa học, chia thành ba lĩnh vực: Toán học, Vật lí và Hóa học. Trong đó lĩnh vực Toán học gồm có 4 nam và 2 nữ; lĩnh vực Vật lí gồm có 3 nam và 4 nữ; lĩnh vực Hóa học gồm có 4 nam và 4 nữ. Người ta muốn lập một ban thư kí gồm 4 nhà khoa học. Tính xác suất để ban thư kí được chọn có đủ cả ba lĩnh vực và có cả nam lẫn nữ.

Câu 1 : Cho k, n là các số tự nhiên $(0 \leq k \leq n)$ . Công thức nào sau đây đúng?

A.

$C_{n}^{k} = \frac{k!}{(n - k)! n!}$ .
B.

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ .
C.

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$ .
D.

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k) k!}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhớ lại công thức tính số tổ hợp.

Lời giải chi tiết :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$ .

Câu 2 : Trong khai triển nhị thức Niutơn ${(2 x - 3)}^{5}$ , số hạng chứa $x^{2}$ là:

A.

$- 720 x^{2}$ .
B.

$- 1080 x^{2}$ .
C.

$1080 x^{2}$ .
D.

$720 x^{2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$(a + b)^{5} = C_{5}^{0} a^{5} + C_{5}^{1} a^{4} b + C_{5}^{2} a^{3} b^{2} + C_{5}^{3} a^{2} b^{3} + C_{5}^{4} a b^{4} + C_{5}^{5} b^{5}$

$= a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$ .

Lời giải chi tiết :

$(2 x - 3)^{5} = 32 x^{5} - 240 x^{4} + 720 x^{3} - 1080 x^{2} + 810 x - 243$ .

Số hạng chứa $x^{2}$ là $- 1080 x^{2}$ .

Câu 3 : Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x - 1} = 2 - x$ là:

A.

S = {1; 5}.
B.

S = {1}.
C.

S = {5}.
D.

S = {2; 3}.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ và bình phương hai vế để giải.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt{2 x - 1} = 2 - x \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 x - 1 > 0 \\ 2 x - 1 = (2 - x)^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ 2 x - 1 = 4 - 4 x + x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ 5 - 6 x + x^{2} = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5 \end{array}$

Câu 4 : Có 5 người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế là:

A.

100.
B.

125.
C.

130.
D.

120.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính số hoán vị.

Lời giải chi tiết :

Số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế là 5! = 120.

Câu 5 : Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên cả hai con xúc xắc bằng 9 là

A.

$\frac{1}{9}$ .
B.

$4$ .
C.

$36$ .
D.

$\frac{1}{6}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân và phương pháp liệt kê.

Lời giải chi tiết :

Số phần tử của không gian mẫu: 6.6 = 36.

Cặp số có tổng bằng 9 có thể xuất hiện trên xúc xắc là (3; 6) và (4; 5).

Giả sử con xúc xắc đầu tiên xuất hiện 3 chấm, khi đó con xúc xắc thứ hai chỉ có thể là 6 chấm.

Có tất cả 4 trường hợp ứng với 4 số 3, 6, 4, 5 cho con xúc xắc thứ nhất.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ .

Câu 6 : Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường tròn?

A.

$x^{2} + y^{2} = 4$ .
B.

${(x + 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 4$ .
C.

${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ .
D.

${(x + 1)}^{2} + {(2 - y)}^{2} = 4$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình đường tròn có dạng $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

${(x + 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 4$ không phải phương trình đường tròn.

Câu 7 : Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị như hình vẽ. Đặt $Δ = b^{2} - 4 a c$ , tìm dấu của a và $Δ$ .

A.

$a < 0, Δ = 0$ .
B.

$a > 0, Δ = 0$ .
C.

$a < 0, Δ > 0$ .
D.

$a > 0, Δ > 0$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét dấu của a dựa vào hướng bề lõm của đồ thị, xét dấu của $Δ$ dựa vào số giao điểm với trục hoành.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hướng bề lõm lên trên, cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên $a > 0, Δ > 0$ .

Câu 8 : Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách chọn bộ “quần-áo-cà vạt” khác nhau?

A.

13.
B.

12.
C.

72.
D.

30.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết :

Số cách chọn là 4.6.3 = 72.

Câu 9 : Một hộp có bốn loại bi gồm bi xanh, bi đỏ, bi trắng và bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Gọi A là biến cố: “Lấy được viên bi xanh”. Biến cố đối của A là biến cố

A.

Lấy được viên bi đỏ.
B.

Lấy được viên bi vàng hoặc viên bi trắng, hoặc viên bi đỏ.
C.

Lấy được viên bi trắng.
D.

Lấy được viên bi vàng hoặc viên bi trắng.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến cố đối của biến cố A là biến cố “Không xảy ra A”.

Lời giải chi tiết :

“Không lấy được bi xanh” thì có thể lấy được bi vàng, trắng hoặc đỏ. Vậy biến cố đối của A là “Lấy được viên bi vàng hoặc viên bi trắng, hoặc viên bi đỏ”.

Câu 10 : Parabol $y = x^{2} + 4 x - 5$ có trục đối xứng là đường thẳng:

A.

x = -4.
B.

x = -2.
C.

x = 4.
D.

x = 2.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trục đối xứng của đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ có phương trình $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Lời giải chi tiết :

Parabol $y = x^{2} + 4 x - 5$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \frac{4}{2.1} = - 2$ .

Câu 11 : Cho hàm số $f (x) = \sqrt{5 x + 1}$ . Giá trị f(3) bằng:

A.

4.
B.

Không xác định.
C.

16.
D.

3.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay x = 3 vào công thức hàm số.

Lời giải chi tiết :

$f (3) = \sqrt{5.3 + 1} = 4$ .

Câu 12 : Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d: 3x – 6y – 9 = 0 và d’: x – 2y + 3 = 0.

A.

Cắt nhau nhưng không vuông góc.
B.

Trùng nhau.
C.

Song song với nhau.
D.

Cắt nhau và vuông góc.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét tỉ lệ các hệ số tương ứng của phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\frac{3}{1} = \frac{- 6}{- 2} \neq \frac{- 9}{3}$ nên d và d’ song song với nhau.

Câu 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $Δ$ có phương trình 2x + y – 1 = 0.

a) Điểm M(1; -1) thuộc đường thẳng $Δ$ .

Đúng

Sai

b) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là ${\vec{u}}_{_{Δ}} = (2; 1)$ .

Đúng

Sai

c) Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1) và vuông góc với đường thẳng $Δ$ có phương trình là x – 2y – 2 = 0.

Đúng

Sai

d) Đường tròn tâm I(2; 2) tiếp xúc với đường thẳng $Δ$ có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Điểm M(1; -1) thuộc đường thẳng $Δ$ .

Đúng

Sai

b) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là ${\vec{u}}_{_{Δ}} = (2; 1)$ .

Đúng

Sai

c) Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1) và vuông góc với đường thẳng $Δ$ có phương trình là x – 2y – 2 = 0.

Đúng

Sai

d) Đường tròn tâm I(2; 2) tiếp xúc với đường thẳng $Δ$ có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Thay tọa độ của M(1; -1) vào phương trình $Δ$ :

2.1 + (-1) - 1 = 0, do đó M(1; -1) thuộc đường thẳng $Δ$ .

b) Sai. $\vec{u_{Δ}} = (2; 1)$ là một VTPT của $Δ$ .

c) Sai. d có một VTPT là $\vec{u_{d}} = (1; - 2)$ , đi qua A(0; 1) nên có phương trình:

$1 (x - 0) - 2 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 2 = 0$ .

d) Đúng. Bán kính đường tròn là:

$R = d (I, Δ) = \frac{| 2.2 + 2 - 1 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{5}$ .

Phương trình đường tròn tâm I(2; 2), bán kính $R = \sqrt{5}$ :

$(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ .

Câu 2 : Lớp 10C1 có 16 học sinh nam và 18 học sinh nữ, giả sử tất cả các học sinh trong lớp đều có thể đảm nhận các vị trí, nhiệm vụ được giao.

a) Chọn hai học sinh trong lớp 10C1 gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 288 (cách).

Đúng

Sai

b) Chọn 4 học sinh trong lớp 10C1 tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 11900 (cách).

Đúng

Sai

c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10C1 vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư. Khi đó số cách chọn là 560 (cách).

Đúng

Sai

d) Chọn một học sinh trong lớp 10C1 vào vị trí lớp trưởng. Khi đó số cách chọn là 34 (cách).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Chọn hai học sinh trong lớp 10C1 gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 288 (cách).

Đúng

Sai

b) Chọn 4 học sinh trong lớp 10C1 tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 11900 (cách).

Đúng

Sai

c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10C1 vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư. Khi đó số cách chọn là 560 (cách).

Đúng

Sai

d) Chọn một học sinh trong lớp 10C1 vào vị trí lớp trưởng. Khi đó số cách chọn là 34 (cách).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, tổ hợp.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Số cách chọn 1 nam, 1 nữ: 16.18 = 288 (cách).

b) Đúng. Số cách chọn 4 Thanh niên xung kích, trong đó nhiều nhất 1 nữ:

TH1: Không có nữ: $C_{16}^{4} = 1820$ (cách).

TH2: Có 1 nữ: $C_{18}^{1} C_{16}^{3} = 10080$ (cách).

Tổng số cách là 1820 + 10080 = 11900 (cách).

c) Sai. Số cách chọn 3 học sinh nam vào các vị trí khác nhau: $A_{16}^{3} = 3360$ (cách).

d) Đúng. Số cách chọn 1 lớp trưởng: 16 + 18 = 34 (cách).

Câu 1 : Cho phương trình $\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 4} = 5 x - 6$ . Tổng các nghiệm của phương trình bằng $\frac{a}{b}$ với $a, b \in N^{*}$ và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tìm a + b.

Phương pháp giải :

Bình phương hai vế, giải phương trình và thay các giá trị x vừa tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 4} = 5 x - 6$

$2 x^{2} + 3 x - 4 = (5 x - 6)^{2}$

$2 x^{2} + 3 x - 4 = 25 x^{2} - 60 x + 36$

$23 x^{2} - 63 x + 40 = 0$ .

Giải phương trình trên được x = 1 và $x = \frac{40}{23}$ .

Thay lại vào phương trình ban đầu thấy chỉ có nghiệm $x = \frac{40}{23}$ thỏa mãn.

Tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{40}{23} = \frac{a}{b} \Rightarrow 40 + 23 = 63$ .

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tính tiêu cự của elip đã cho?

Phương pháp giải :

Từ phương trình elip, xác định $a^{2}$ , $b^{2}$ . Áp dụng công thức $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Từ phương trình elip, ta xác định được $a^{2} = 25$ , $b^{2} = 9$ .

Tiêu cự của elip là:

$2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 2 \sqrt{25 - 9} = 8$ .

Câu 3 : Có một lưới ô vuông với kích thước 5x10 (hình vẽ). Một con ốc sên bò từ A đến B đi theo cạnh của các hình vuông nhỏ chỉ theo hướng từ dưới lên trên hoặc từ trái qua phải. Tính xác suất để ốc sên đi qua điểm C.

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Con ốc sên bò từ A đến B trên lưới kích thước 5 x 10. Để đi từ A đến B, sên cần đi 10 bước sang phải và 5 bước lên trên. Tổng cộng sên phải đi 10 + 5 = 15 bước. Số cách đi từ A đến B là số cách chọn 5 bước lên trên trong tổng số 15 bước: $n (Ω) = C_{15}^{5} = 3003$ .

Từ A đến C đi 6 bước sang phải và 2 bước lên trên. Tổng số bước là 6 + 2 = 8. Số cách đi từ A đến C là số cách chọn 2 bước lên trên trong tổng số 8 bước: $n (Ω) = C_{8}^{2} == 28$ .

Từ C đến B đi 4 bước sang phải và 3 bước lên trên. Tổng số bước là 4 + 3 = 7. Số cách đi từ C đến B là số cách chọn 3 bước lên trên trong tổng số 7 bước: $n (Ω) = C_{7}^{3} = 35$ .

Tổng số đường đi qua C: 28.35 = 980.

Xác suất để con ốc sên đi qua C là: $\frac{980}{3003} \approx 0, 33$ .

Câu 4 : Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{2} y^{3}$ trong khai triển ${(2 x - y)}^{5}$ .

Phương pháp giải :

Khai triển nhị thức Newton và xác định hệ số.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$(2 x - y)^{5} = 32 x^{5} - 80 x^{4} y + 80 x^{3} y^{2} - 40 x^{2} y^{3} + 10 x y^{4} - y^{5}$ .

Dựa vào khai triển trên, hệ số của $x^{2} y^{3}$ là -40.

Câu 1 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(1; 2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua M và nhận $\vec{u} (3; - 4)$ làm vectơ chỉ phương.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: 4x + 2y + 1 = 0.

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

a) PT của đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \end{cases}$ .

b) Vì $Δ_{2} / / d : 4 x + 2 y + 1 = 0 \Rightarrow Δ_{2} : 4 x + 2 y + m = 0$ , $(m \neq 1)$ .

Mà $Δ_{2}$ đi qua $M (1; 2)$ nên ta có $4.1 + 2.2 + m = 0 \Rightarrow m = - 8$ (TM).

$\Rightarrow Δ_{2} : 2 x + y - 4 = 0$ .

Câu 2 : Một viên bi được ném xiên từ vị trí A cách mặt đất 2 m theo quỹ đạo dạng parabol như hình vẽ bên. Tìm khoảng cách từ vị trí E đến vị trí F, biết rằng vị trí E là nơi viên bi rơi xuống chạm mặt đất.

Phương pháp giải :

Từ các điểm thuộc parabol, tìm phương trình của parabol, sau đó tìm giao điểm có hoành độ dương của parabol đó với trục hoành.

Lời giải chi tiết :

Giả sử gốc toạ độ tại điểm F. Đường đi của viên bi là (P) có phương trình $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ . Theo hình vẽ ta có: (P) có đỉnh là C(1; 7) và đi qua điểm A(0; 2).

Lập được hệ ${\begin{matrix} - \frac{b}{2 a} = 1 \\ a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = 7 \\ a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 a + b = 0 \\ a + b + 2 = 7 \\ c = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} a = - 5 \\ b = 10 \\ c = 2 \end{array}$ .

Do đó (P): $y = - 5 x^{2} + 10 x + 2$ .

Điểm $E$ là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên hoành độ của điểm E là nghiệm của phương trình $- 5 x^{2} + 10 x + 2 = 0$ , kết hợp với điều kiện $x_{E} > 0$ ta nhận $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{35}}{5}$ .

Vậy khoảng cách từ vị trí $E$ đến vị trí $F$ là $\frac{5 + \sqrt{35}}{5} \approx 2, 18$ mét.

Câu 3 : Một cuộc họp có sự tham gia của 21 nhà khoa học, chia thành ba lĩnh vực: Toán học, Vật lí và Hóa học. Trong đó lĩnh vực Toán học gồm có 4 nam và 2 nữ; lĩnh vực Vật lí gồm có 3 nam và 4 nữ; lĩnh vực Hóa học gồm có 4 nam và 4 nữ. Người ta muốn lập một ban thư kí gồm 4 nhà khoa học. Tính xác suất để ban thư kí được chọn có đủ cả ba lĩnh vực và có cả nam lẫn nữ.

Phương pháp giải :

Kết hợp phương pháp tổ hợp và tính xác suất của biến cố đối.

Lời giải chi tiết :

Ta có $n (Ω) = C_{21}^{4} = 5985$ .

Gọi $A$ là biến cố chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả ba lĩnh vực. Khi đó:

Số cách chọn 2 nhà Toán học, 1 nhà Vật lí, 1 nhà Hóa học là: $C_{6}^{2} . C_{7}^{1} . C_{8}^{1} = 840$ .

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 2 nhà Vật lí, 1 nhà Hóa học là: $C_{6}^{1} . C_{7}^{2} . C_{8}^{1} = 1008$ .

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 1 nhà Vật lí, 2 nhà Hóa học là: $C_{6}^{1} . C_{7}^{1} . C_{8}^{2} = 1176$ .

$\Rightarrow n (A) = 840 + 1008 + 1176 = 3024$ .

Gọi $B$ là biến cố chọn ra 4 nhà khoa học đủ cả ba lĩnh vực mà trong đó chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.

Khi đó:

- Số cách chọn chỉ có nam:

$C_{4}^{2} . C_{3}^{1} . C_{4}^{1} + C_{4}^{1} . C_{3}^{2} . C_{4}^{1} + C_{4}^{1} . C_{3}^{1} . C_{4}^{2} = 192$ .

- Số cách chọn chỉ có nữ:

$C_{2}^{2} . C_{4}^{1} . C_{4}^{1} + C_{2}^{1} . C_{4}^{2} . C_{4}^{1} + C_{2}^{1} . C_{4}^{1} . C_{4}^{2} = 112$

$\Rightarrow n (B) = 192 + 112 = 304$ .

Suy ra số cách chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả ba lĩnh vực, trong đó có cả nam lẫn nữ là: $3024 - 304 = 2720$ hay $n (A) = 2720$ .

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{2720}{5985} = \frac{544}{1197}$ .