Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 6

Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$cos α = cos (\to A B, \to C D)$ .
B.

$cos α = ∣ ∣ ∣ cos (\to A B, \to C D) ∣ ∣ ∣$ .
C.

$cos α = ∣ ∣ ∣ sin (\to A B, \to C D) ∣ ∣ ∣$ .
D.

$cos α = - ∣ ∣ ∣ cos (\to A B, \to C D) ∣ ∣ ∣$ .

Câu 2 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0.$ Tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$ lần lượt là

A.

$I (2; - 4)$ , $R = 9$ .
B.

$I (1; - 2)$ , $R = 3$ .
C.

$I (1; - 2)$ , $R = 9$ .
D.

$I (1; 2)$ , $R = 1$ .

Câu 3 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho hai điểm $M (6; 3)$ , $N (- 3; 6)$ . Gọi $P (x; y)$ là điểm trên trục hoành sao cho ba điểm $M$ , $N$ , $P$ thẳng hàng. Khi đó $x + y$ có giá trị là

A.

-3.
B.

5.
C.

-15.
D.

15.

Câu 4 : Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là

A.
$7$ .
B.
$A_{7}^{3}$ .
C.
$\frac{7!}{3!}$ .
D.
$C_{7}^{3}$ .

Câu 5 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho elip $(E)$ có tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên $(E)$ đến hai tiêu điểm bằng $8$ và tiêu cự của $(E)$ bằng $2 \sqrt{7}$ . Phương trình chính tắc của $(E)$ là

A.
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ .
B.
$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .
C.
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .
D.
$9 x^{2} + 16 y^{2} = 1$ .

Câu 6 : Cho $a$ là số tự nhiên có 10 chữ số. Tìm hàng quy tròn của $a$ với độ chính xác $d = 999$ .

A.
Hàng trăm.
B.
Hàng nghìn.
C.
Hàng chục nghìn.
D.
Hàng chục.

Câu 7 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $2 x + 3 y - 4 = 0$ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của $d ?$

A.
$⃗ u = (3; - 2)$ .
B.
$⃗ u = (2; 3)$ .
C.
$⃗ u = (- 3; - 2)$ .
D.
$⃗ u = (3; 2)$ .

Câu 8 : Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng (đơn vị là ki-lô-gam) của các bạn tổ 2 lớp 10A:

$3840554450827865484454$

Trung vị của mẫu số liệu trên là

A.
$50$ .
B.
$49$ .
C.
$54$ .
D.
$48$ .

Câu 9 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ , cho đường thẳng $d : x - 2 y + 1 = 0$ và điểm $M (2; 3)$ . Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$ là

A.
$x + 2 y - 8 = 0$ .
B.
$x - 2 y + 4 = 0$ .
C.
$2 x + y - 7 = 0$ .
D.
$2 x - y - 1 = 0$ .

Câu 10 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho tam giác $A B C$ có $A (3; 5)$ , $B (1; 2)$ , $C (5; 2)$ . Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ .

A.
$G (- 3; 4)$ .
B.
$G (\sqrt{2}; 3)$ .
C.
$G (3; 3)$ .
D.
$G (4; 0)$ .

Câu 11 : Lớp 10A có 40 học sinh. Cô giáo chủ nhiệm cần chọn ra 3 học sinh làm các chức vụ lớp trưởng, bí thư, lớp phó học tập. Giả sử các bạn trong lớp đều có khả năng làm các chức vụ trên là như nhau. Khi đó, cô giáo có số cách chọn là

A.
$A_{40}^{3}$ .
B.
$3!$ .
C.
$40^{3} .$
D.
$C_{40}^{3}$ .

Câu 12 : Hệ số của $x^{3}$ trong khai triển ${(3 + x)}^{7}$ là

A.
$81$ .
B.
$35$ .
C.
$256$ .
D.
$2835$ .

Câu 1 : Một nhóm gồm 8 học sinh trong đó có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ.

a) Số cách xếp nhóm học sinh trên theo một hàng dọc và học sinh cùng giới đứng cạnh nhau là $1440$ (cách).

Đúng

Sai

b) Số cách chọn hai bạn từ nhóm học sinh trên để một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là 28 (cách).

Đúng

Sai

c) Số cách chọn 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ từ nhóm học sinh trên đi tập văn nghệ là $45$ (cách).

Đúng

Sai

d) Số cách xếp nhóm học sinh trên theo một hàng dọc là $40320$ (cách).

Đúng

Sai

Câu 2 : Thống kê điểm một bài kiểm tra môn Lịch sử của tất cả học sinh lớp 10A ta được kết quả như sau:

Điểm	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	5	8	9	15	5	3

a) Có $5$ học sinh đạt điểm $9$ trở lên.

Đúng

Sai

b) Không có học sinh nào đạt điểm dưới $5$ .

Đúng

Sai

c) Điểm kiểm tra trung bình của lớp 10A lớn hơn $8$ .

Đúng

Sai

d) Lớp 10A có $45$ học sinh.

Đúng

Sai

Câu 1 : Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(3; -1). Lấy điểm M(a; b) sao cho A là trung điểm của BM. Khi đó 3a - b bằng bao nhiêu?

Câu 2 : Trong tiết học thực hành môn Giáo dục quốc phòng, thầy giáo gọi 1 học sinh lên sân tập mẫu một số động tác cơ bản. Biết từ vị trí xuất phát thầy yêu cầu bạn này bước lên phía trước 2 bước rồi bước sang phải 3 bước thì dừng lại. Nếu coi vị trí ban đầu của bạn học sinh này là gốc tọa độ trong mặt phẳng tọa độ Oxy và từ vị trí ban đầu hướng sang phải là tia Ox, hướng lên phía trước là tia Oy và mỗi bước di chuyển của bạn này là 1 đơn vị độ dài thì khi dừng lại bạn này ở vị trí M(a; b). Tính 2a - b.

Câu 3 : Một trường THPT của tỉnh Bắc Giang có 8 giáo viên Toán gồm có 3 nữ, 5 nam và 4 giáo viên Vật lí nam. Tìm số cách chọn ra một đoàn tập huấn công tác ôn thi tốt nghiệp THPT gồm 3 giáo viên trong đó có đủ 2 môn Toán và Vật lí và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn.

Câu 4 : Bảng số liệu sau đây cho biết sản lượng chè (đơn vị tạ) thu được trong 1 năm của 16 hộ gia đình:

96	112	113	112	114	127	150	125
119	118	113	126	120	115	123	116

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho điểm $A (- 3; 1)$ và vectơ $⃗ n (2; 1) .$

a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng $Δ$ đi qua $A (- 3; 1)$ và có vectơ pháp tuyến là $⃗ n$ .

b) Viết phương trình đường tròn $(C)$ tâm O, biết $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $Δ$ .

Câu 2 : a) Khai triển nhị thức Newton sau: ${(1 - 2 x)}^{5}$ .

b) Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển biểu thức: $(x + 1) {(1 - 2 x)}^{5}$ .

Câu 3 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong mỗi số có một chữ số xuất hiện đúng ba lần, một chữ số khác xuất hiện đúng hai lần và một chữ số khác với hai chữ số trên.

Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$cos α = cos (\to A B, \to C D)$ .
B.

$cos α = ∣ ∣ ∣ cos (\to A B, \to C D) ∣ ∣ ∣$ .
C.

$cos α = ∣ ∣ ∣ sin (\to A B, \to C D) ∣ ∣ ∣$ .
D.

$cos α = - ∣ ∣ ∣ cos (\to A B, \to C D) ∣ ∣ ∣$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Ta có $cos α = ∣ ∣ ∣ cos (\to A B, \to C D) ∣ ∣ ∣$ .

Câu 2 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0.$ Tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$ lần lượt là

A.

$I (2; - 4)$ , $R = 9$ .
B.

$I (1; - 2)$ , $R = 3$ .
C.

$I (1; - 2)$ , $R = 9$ .
D.

$I (1; 2)$ , $R = 1$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình đường tròn có tâm $I (x_{0}; y_{0})$ bán kính là ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình đường tròn ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ có tâm $I (1; - 2)$ , $R = 3$ .

Câu 3 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho hai điểm $M (6; 3)$ , $N (- 3; 6)$ . Gọi $P (x; y)$ là điểm trên trục hoành sao cho ba điểm $M$ , $N$ , $P$ thẳng hàng. Khi đó $x + y$ có giá trị là

A.

-3.
B.

5.
C.

-15.
D.

15.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng khi $\to M P = k \to M N$ .

Lời giải chi tiết :

$P (x; y)$ là điểm trên trục hoành nên suy ra $P (x; 0)$ .

Ta có: $\to M N = (- 9; 3); \to M P = (x - 6; - 3)$ .

Ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng khi $\to M P = k \to M N$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 6 = k . (- 9) - 3 = k .3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 15 k = - 1 \end{matrix}$

Vậy $P (15; 0)$ suy ra $x + y = 15$ .

Câu 4 : Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là

A.
$7$ .
B.
$A_{7}^{3}$ .
C.
$\frac{7!}{3!}$ .
D.
$C_{7}^{3}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tổ hợp để chọn 3 phần tử từ 7 phần tử.

Lời giải chi tiết :

Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là $C_{7}^{3}$ .

Câu 5 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho elip $(E)$ có tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên $(E)$ đến hai tiêu điểm bằng $8$ và tiêu cự của $(E)$ bằng $2 \sqrt{7}$ . Phương trình chính tắc của $(E)$ là

A.
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ .
B.
$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .
C.
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .
D.
$9 x^{2} + 16 y^{2} = 1$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ .

Phương trình (E) $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Lời giải chi tiết :

Tiêu cự: $F_{1} F_{2} = 2 c = 2 \sqrt{7} \Rightarrow c = \sqrt{7}$ .

$2 a = 8 \Rightarrow a = 4$ .

$7 = a^{2} - b^{2} \Rightarrow b = 3$ .

Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Câu 6 : Cho $a$ là số tự nhiên có 10 chữ số. Tìm hàng quy tròn của $a$ với độ chính xác $d = 999$ .

A.
Hàng trăm.
B.
Hàng nghìn.
C.
Hàng chục nghìn.
D.
Hàng chục.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàng quy tròn của 1 số với độ chính xác d.

Lời giải chi tiết :

Hàng quy tròn của $a$ với độ chính xác $d = 999$ là hàng nghìn.

Câu 7 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $2 x + 3 y - 4 = 0$ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của $d ?$

A.
$⃗ u = (3; - 2)$ .
B.
$⃗ u = (2; 3)$ .
C.
$⃗ u = (- 3; - 2)$ .
D.
$⃗ u = (3; 2)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0})$ có vecto chỉ phương $⃗ u = (a; b)$ là $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $d$ có phương trình $2 x + 3 y - 4 = 0$ có vecto chỉ phương $⃗ u = (2; 3)$ .

Câu 8 : Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng (đơn vị là ki-lô-gam) của các bạn tổ 2 lớp 10A:

$3840554450827865484454$

Trung vị của mẫu số liệu trên là

A.
$50$ .
B.
$49$ .
C.
$54$ .
D.
$48$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần rồi tìm số ở vị trí chính giữa.

Lời giải chi tiết :

Sắp xếp lại mẫu số liệu ta được:

38 40 44 44 48 50 54 55 65 78 82

Dãy có 11 số nên trung vị là số hạng thứ 6 trong dãy số hạng.

Vậy trung vị là 50.

Câu 9 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ , cho đường thẳng $d : x - 2 y + 1 = 0$ và điểm $M (2; 3)$ . Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$ là

A.
$x + 2 y - 8 = 0$ .
B.
$x - 2 y + 4 = 0$ .
C.
$2 x + y - 7 = 0$ .
D.
$2 x - y - 1 = 0$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng d nên vecto chỉ phương của nó là vecto pháp tuyến của d.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $d : x - 2 y + 1 = 0$ có vecto pháp tuyến là $⃗ n = (1; - 2)$ .

Phương trình đường thẳng có vecto pháp tuyển $⃗ u = (2; 1)$ và đi qua điểm $M (2; 3)$ có phương trình đường thẳng là $2 x + y - 7 = 0$ .

Câu 10 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho tam giác $A B C$ có $A (3; 5)$ , $B (1; 2)$ , $C (5; 2)$ . Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ .

A.
$G (- 3; 4)$ .
B.
$G (\sqrt{2}; 3)$ .
C.
$G (3; 3)$ .
D.
$G (4; 0)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tọa độ trọng tâm G bằng tổng tọa độ của 3 đỉnh tam giác chia 3.

Lời giải chi tiết :

Tam giác $A B C$ có $A (3; 5)$ , $B (1; 2)$ , $C (5; 2)$ .

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ là $(\frac{3 + 1 + 5}{3}; \frac{5 + 2 + 2}{3}) = (3; 3)$ .

Câu 11 : Lớp 10A có 40 học sinh. Cô giáo chủ nhiệm cần chọn ra 3 học sinh làm các chức vụ lớp trưởng, bí thư, lớp phó học tập. Giả sử các bạn trong lớp đều có khả năng làm các chức vụ trên là như nhau. Khi đó, cô giáo có số cách chọn là

A.
$A_{40}^{3}$ .
B.
$3!$ .
C.
$40^{3} .$
D.
$C_{40}^{3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dùng công thức chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết :

Việc chọn 3 học sinh từ 40 học sinh và phân vào 3 chức vụ khác nhau là số chỉnh hợp chập 3 của 40. Vậy, cô giáo có số cách chọn là $A_{40}^{3}$ .

Câu 12 : Hệ số của $x^{3}$ trong khai triển ${(3 + x)}^{7}$ là

A.
$81$ .
B.
$35$ .
C.
$256$ .
D.
$2835$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${(3 + x)}^{7} = \sum_{k = 0}^{7} C_{7}^{k} 3^{7 - k} x^{k}$ .

Hệ số của $x^{3}$ ứng với $k = 3$ .

Vậy hệ số của $x^{3}$ trong khai triển trên là: $C_{7}^{3} \cdot 3^{4}$ .

Câu 1 : Một nhóm gồm 8 học sinh trong đó có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ.

a) Số cách xếp nhóm học sinh trên theo một hàng dọc và học sinh cùng giới đứng cạnh nhau là $1440$ (cách).

Đúng

Sai

b) Số cách chọn hai bạn từ nhóm học sinh trên để một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là 28 (cách).

Đúng

Sai

c) Số cách chọn 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ từ nhóm học sinh trên đi tập văn nghệ là $45$ (cách).

Đúng

Sai

d) Số cách xếp nhóm học sinh trên theo một hàng dọc là $40320$ (cách).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Số cách xếp nhóm học sinh trên theo một hàng dọc và học sinh cùng giới đứng cạnh nhau là $1440$ (cách).

Đúng

Sai

b) Số cách chọn hai bạn từ nhóm học sinh trên để một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là 28 (cách).

Đúng

Sai

c) Số cách chọn 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ từ nhóm học sinh trên đi tập văn nghệ là $45$ (cách).

Đúng

Sai

d) Số cách xếp nhóm học sinh trên theo một hàng dọc là $40320$ (cách).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tổ hợp, chỉnh hợp để tính các cách sắp xếp.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng.

- Gộp 2 nhóm: nhóm nam (5 bạn), nhóm nữ (3 bạn) nên 2 khối có thể xếp: 2! = 2 cách.

- Trong mỗi khối, xếp hoán vị các bạn: 5! và 3!.

Tổng số cách: 2.5!3! = 1440.

b) Sai. Chọn 2 bạn có phân biệt vai trò: hoán vị 2 bạn từ 8 bạn: $A_{8}^{2} = 56$ .

c) Sai.

- Chọn 3 nam từ 5: $C_{5}^{3} = 10$ .

- Chọn 2 nữ từ 3: $C_{3}^{2} = 3$ .

Tổng số cách: $10.3 = 30$ .

d) Đúng. Hoán vị 8 học sinh: 8! = 40320.

Câu 2 : Thống kê điểm một bài kiểm tra môn Lịch sử của tất cả học sinh lớp 10A ta được kết quả như sau:

Điểm	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	5	8	9	15	5	3

a) Có $5$ học sinh đạt điểm $9$ trở lên.

Đúng

Sai

b) Không có học sinh nào đạt điểm dưới $5$ .

Đúng

Sai

c) Điểm kiểm tra trung bình của lớp 10A lớn hơn $8$ .

Đúng

Sai

d) Lớp 10A có $45$ học sinh.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Có $5$ học sinh đạt điểm $9$ trở lên.

Đúng

Sai

b) Không có học sinh nào đạt điểm dưới $5$ .

Đúng

Sai

c) Điểm kiểm tra trung bình của lớp 10A lớn hơn $8$ .

Đúng

Sai

d) Lớp 10A có $45$ học sinh.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Dựa vào bảng số liệu và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Số học sinh đạt điểm 9 trở lên là 5 + 3 = 8 em.

b) Đúng. Theo bảng số liệu, không có điểm nào bé hơn 5.

c) Sai. Điểm trung bình của cả lớp là:

$\frac{5.5 + 6.8 + 7.9 + 8.15 + 9.5 + 10.3}{5 + 8 + 9 + 15 + 5 + 3} \approx 7, 36$

d) Đúng. Tổng số học sinh của lớp là:

5 + 8 + 9 + 15 + 5 + 3 = 45.

Câu 1 : Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(3; -1). Lấy điểm M(a; b) sao cho A là trung điểm của BM. Khi đó 3a - b bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Dùng công thức tọa độ bằng tổng tọa độ đoạn thẳng chia 2.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Vì A là trung điểm của BM, ta có:

$⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} \frac{3 + a}{2} = 1 \frac{- 1 + b}{2} = 2 \end{matrix}$ $\Rightarrow {\begin{matrix} 3 + a = 2 \Rightarrow a = - 1 - 1 + b = 4 \Rightarrow b = 5 \end{matrix}$

Vậy 3a - b = 3.(-1) - 5 = -3 - 5 = -8.

Câu 2 : Trong tiết học thực hành môn Giáo dục quốc phòng, thầy giáo gọi 1 học sinh lên sân tập mẫu một số động tác cơ bản. Biết từ vị trí xuất phát thầy yêu cầu bạn này bước lên phía trước 2 bước rồi bước sang phải 3 bước thì dừng lại. Nếu coi vị trí ban đầu của bạn học sinh này là gốc tọa độ trong mặt phẳng tọa độ Oxy và từ vị trí ban đầu hướng sang phải là tia Ox, hướng lên phía trước là tia Oy và mỗi bước di chuyển của bạn này là 1 đơn vị độ dài thì khi dừng lại bạn này ở vị trí M(a; b). Tính 2a - b.

Phương pháp giải :

Dùng gốc tọa độ di chuyển theo Oy, Ox để xác định tọa độ điểm M là bước chân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Một bạn học sinh di chuyển từ gốc tọa độ O(0; 0).

Lên phía trước 2 bước → tức là đi theo trục Oy, nên y = 2.

Sang phải 3 bước → tức là đi theo trục Ox, nên x = 3.

Suy ra M(3; 2).

Vậy 2a - b = 2.3 - 2 = 6 - 2 = 4.

Câu 3 : Một trường THPT của tỉnh Bắc Giang có 8 giáo viên Toán gồm có 3 nữ, 5 nam và 4 giáo viên Vật lí nam. Tìm số cách chọn ra một đoàn tập huấn công tác ôn thi tốt nghiệp THPT gồm 3 giáo viên trong đó có đủ 2 môn Toán và Vật lí và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn.

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Chọn 1 nam toán, 1 nữ toán, 1 nam lý có $C_{5}^{1} . C_{3}^{1} . C_{4}^{1}$ cách.

+ Chọn 1 nữ toán, 2 nam lý: $C_{3}^{1} . C_{4}^{2}$ cách.

+ Chọn 2 nữ toán, 1 nam lý: $C_{3}^{2} . C_{4}^{1}$ cách.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có:

$C_{5}^{1} . C_{3}^{1} . C_{4}^{1} + C_{3}^{1} . C_{4}^{2} + C_{3}^{2} . C_{4}^{1} = 90$ (cách chọn).

Câu 4 : Bảng số liệu sau đây cho biết sản lượng chè (đơn vị tạ) thu được trong 1 năm của 16 hộ gia đình:

96	112	113	112	114	127	150	125
119	118	113	126	120	115	123	116

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Phương pháp giải :

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần.

Tìm khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Sắp xếp tăng dần: 96, 112, 112, 113, 113, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 123, 125, 126, 127, 150

Nửa dưới: 96, 112, 112, 113, 113, 114, 115, 116

Nửa trên: 118, 119, 120, 123, 125, 126, 127, 150

Lấy trung bình của số thứ 4 và thứ 5 của nửa dưới:

$Q_{1} = \frac{113 + 113}{2} = 113$ .

Lấy trung bình của số thứ 4 và thứ 5 của nửa trên:

$Q_{3} = \frac{123 + 125}{2} = 124$ .

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 124 - 113 = 11$ .

Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho điểm $A (- 3; 1)$ và vectơ $⃗ n (2; 1) .$

a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng $Δ$ đi qua $A (- 3; 1)$ và có vectơ pháp tuyến là $⃗ n$ .

b) Viết phương trình đường tròn $(C)$ tâm O, biết $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $Δ$ .

Phương pháp giải :

a) Phương trình đường thẳng đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0})$ có vecto chỉ phương $⃗ u = (a; b)$ là $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .

b) Phương trình mặt cầu có tâm $I (x_{0}; y_{0})$ bán kính là ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Phương trình tổng quát đường thẳng $Δ$ đi qua $A (- 3; 1)$ và có một vectơ pháp tuyến $⃗ n (2; 1)$ là:

$2 (x + 3) + (y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x + y + 5 = 0$ .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng $Δ$ là $2 x + y + 5 = 0$ .

b) Bán kính của đường tròn $(C)$ là:

$R = d (O, Δ) = \frac{| 2.0 + 0 + 5 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{5}$ .

Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là: $x^{2} + y^{2} = 5$ .

Câu 2 : a) Khai triển nhị thức Newton sau: ${(1 - 2 x)}^{5}$ .

b) Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển biểu thức: $(x + 1) {(1 - 2 x)}^{5}$ .

Phương pháp giải :

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

Lời giải chi tiết :

a) ${(1 - 2 x)}^{5}$

$= C_{5}^{0} - C_{5}^{1} .2 x + C_{5}^{2} . {(2 x)}^{2} - C_{5}^{3} . {(2 x)}^{3} + C_{5}^{4} . {(2 x)}^{4} - C_{5}^{5} . {(2 x)}^{5}$

$= 1 - 10 x + 40 x^{2} - 80 x^{3} + 80 x^{4} - 32 x^{5}$ .

b) $(x + 1) {(1 - 2 x)}^{5}$

$= (x + 1) (1 - 10 x + 40 x^{2} - 80 x^{3} + 80 x^{4} - 32 x^{5})$

Tìm được hệ số của $x^{4}$ là: $- 80 + 80 = 0$ .

Câu 3 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong mỗi số có một chữ số xuất hiện đúng ba lần, một chữ số khác xuất hiện đúng hai lần và một chữ số khác với hai chữ số trên.

Phương pháp giải :

Dùng chỉnh hợp để tính các trường hợp sắp xếp chữ số.

Lời giải chi tiết :

Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta xét lần lượt như sau:

Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có $C_{6}^{3}$ cách chọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số đó.

Sau đó có 9 cách chọn chữ số (khác với chữ số trên) xuất hiện 2 lần và có $C_{3}^{2}$ cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số đó.

Tiếp theo có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng.

Ta được số các số đó là $10. C_{6}^{3} .9 . C_{3}^{2} .8 = 43200$ (số).

Vì vai trò của 10 chữ số 0, 1, ..., 9 như nhau nên số các số có chữ số đầu trái là 0 chiếm $\frac{1}{10}$ tổng các số trên. Do đó số các số có chữ số đầu trái khác 0 thỏa mãn bài toán bằng $\frac{9}{10} .43200 = 38880$ (số).