Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 8

Câu 1 : Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 8 chiếc ghế kê thành hàng ngang bằng

A.

$C_{8}^{5}$ .
B.

$5!$ .
C.

$A_{8}^{5}$ .
D.

$8!$ .

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) và đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là

A.

x + 2y – 1 = 0.
B.

2x – y = 0.
C.

x + 2y – 5 = 0.
D.

2x – y – 5 = 0.

Câu 3 : Tiêu điểm của parabol $y^{2} = \sqrt{3} x$ là

A.

$F (- \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ .
B.

$F (- \frac{\sqrt{3}}{4}; 0)$ .
C.

$F (\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ .
D.

$F (\frac{\sqrt{3}}{4}; 0)$ .

Câu 4 : Khai triển biểu thức ${(x^{2} + 2 y)}^{5}$ là

A.

$x^{10} + 10 x^{8} y + 40 x^{6} y^{2} + 80 x^{4} y^{3} + 80 x^{2} y^{4} + 32 y^{5}$ .
B.

$32 x^{10} + 80 x^{8} y + 80 x^{6} y^{2} + 40 x^{4} y^{3} + 10 x^{2} y^{4} + y^{5}$ .
C.

$32 x^{10} - 80 x^{8} y + 80 x^{6} y^{2} - 40 x^{4} y^{3} + 10 x^{2} y^{4} - y^{5}$ .
D.

$x^{10} - 10 x^{8} y + 40 x^{6} y^{2} - 80 x^{4} y^{3} + 80 x^{2} y^{4} - 32 y^{5}$ .

Câu 5 : Cho parabol (P): $y = a x^{2} + b x + c$ đi qua điểm A(0; 3) và có đỉnh I(-1; 2). Tính S = a + b + c.

A.

-6.
B.

5.
C.

-5.
D.

6.

Câu 6 : Một tổ có 6 học sinh nữ và 8 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?

A.

8.
B.

28.
C.

48.
D.

14.

Câu 7 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $(C) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$ . Đường tròn (C) có toạ độ tâm I và bán kính R bằng

A.

I(2; -4); R = 4.
B.

I(-2; 4); R = 4.
C.

I(-2; 4); R = 16.
D.

I(2; -4); R = 16.

Câu 8 : Biết rằng biến cố A liên quan đến một phép thử nào đó có xác suất là $\frac{1}{5}$ . Xác suất của biến cố $¯ ¯¯ ¯ A$ là

A.

$\frac{5}{1}$ .
B.

$\frac{2}{5}$ .
C.

$\frac{4}{5}$ .
D.

$- \frac{1}{5}$ .

Câu 9 : Khi gieo một đồng tiền (có hai mặt S, N) cân đối và đồng chất hai lần. Không gian mẫu của phép thử là:

A.

{SS, NN, SN}.
B.

{SS, NN, SN, NS}.
C.

{S, N}.
D.

{SS, SN, NS}.

Câu 10 : Cho tam thức bậc hai y = f(x) có bảng xét dấu như hình sau

Nhận xét nào sau đây đúng về dấu của tam thức bậc hai trên.

A.

$f (x) > 0, \forall x \in (3; + \infty)$ .
B.

$f (x) < 0, \forall x \in (- \infty; - 1)$
C.

$f (x) < 0, \forall x \in (- 1; 4)$ .
D.

$f (x) > 0, \forall x \in (- 1; + \infty)$ .

Câu 11 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định phương trình chính tắc của elip biết Elip có hai tiêu điểm $F_{1} (- 2; 0)$ ; $F_{2} (2; 0)$ , elip đi qua $M (0; \sqrt{32})$ .

A.

$\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .
B.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .
C.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 0$ .
D.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ .

Câu 12 : Bác An có một mảnh đất hình tam giác vuông có cạnh huyền bằng 100 m. Bác đã dùng 240 m hàng rào để rào mảnh đất và trồng hoa. Biết mỗi mét vuông trồng hoa hết 10.000 đồng. Tính số tiền bác An đầu tư để trồng hoa (đơn vị là triệu đồng).

A.

48.
B.

24.
C.

46.
D.

47,5.

Câu 1 : Có 5 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ (mỗi bông đều khác nhau về hình dáng). Một người cần chọn một bó bông từ số bông này.

a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách.

Đúng

Sai

b) Số cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng là 40 cách.

Đúng

Sai

c) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách.

Đúng

Sai

d) Xác suất để chọn 4 bông có đủ hai màu là $\frac{20}{21}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $Δ : 3 x - 4 y + 3 = 0$ và elip (E): $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Cho M là điểm thuộc (E) thoả mãn $M F_{1} + 2 M F_{2} = 11$ . Khi đó $2 M F_{1} + M F_{2} = 13$ .

Đúng

Sai

b) Đường tròn tâm A(1; -1) tiếp xúc với $Δ$ có phương trình là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ .

Đúng

Sai

c) Một vectơ chỉ phương của $Δ$ là $⃗ u = (- 4; 3)$ .

Đúng

Sai

d) Đường thẳng d: 4x + 3y – 1 = 0 vuông góc với đường thẳng $Δ$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như hình vẽ dưới, có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm, bề sâu của gương là 15 cm. Xét trong hệ tọa độ Oxy với đơn vị đo tương ứng 1 cm. Tính khoảng cách AB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

A diagram of a cone with a point and a line

Description automatically generated with medium confidence

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy đường thẳng $Δ$ đi qua điểm A(-5; 2) và vuông góc với đường thẳng $d : {\begin{matrix} x = 2 + t y = - 3 - 2 t \end{matrix}$ có phương trình 2x + by + c = 0. Tính b + c.

Câu 3 : Một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ khác nhau và 5 quả cầu màu xanh khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu khác màu phải có đủ 2 màu?

Câu 4 : Tính $A = 4 x_{1} + 3 x_{2}$ với $x_{1}; x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ là các nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 3 x + 5} = \sqrt{- 2 x^{2} + 4 x + 1}$ .

Câu 1 : Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển biểu thức ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ , $x \neq 0$ .

Câu 2 : Một hộp đựng 12 viên bi khác nhau, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi màu đỏ.

Câu 3 : Hình vẽ bên mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí I có tọa độ (3; -1) trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).

a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí A có tọa độ (2; 2) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.

Câu 1 : Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 8 chiếc ghế kê thành hàng ngang bằng

A.

$C_{8}^{5}$ .
B.

$5!$ .
C.

$A_{8}^{5}$ .
D.

$8!$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết :

Số cách chọn 5 trong 8 ghế và xếp 5 học sinh vào: $A_{8}^{5}$ .

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) và đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là

A.

x + 2y – 1 = 0.
B.

2x – y = 0.
C.

x + 2y – 5 = 0.
D.

2x – y – 5 = 0.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng để tìm hệ số tự do và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng cần tìm song song với d nên có dạng x + 2y + c = 0.

A thuộc đường thẳng trên nên $1.1 + 2.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 5$ .

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình x + 2y – 5 = 0.

Câu 3 : Tiêu điểm của parabol $y^{2} = \sqrt{3} x$ là

A.

$F (- \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ .
B.

$F (- \frac{\sqrt{3}}{4}; 0)$ .
C.

$F (\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ .
D.

$F (\frac{\sqrt{3}}{4}; 0)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Parabol $y^{2} = 2 p x$ (với p > 0) có tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ .

Lời giải chi tiết :

$2 p = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{\sqrt{4}}{3} \Rightarrow F (\frac{\sqrt{4}}{3}; 0)$ .

Câu 4 : Khai triển biểu thức ${(x^{2} + 2 y)}^{5}$ là

A.

$x^{10} + 10 x^{8} y + 40 x^{6} y^{2} + 80 x^{4} y^{3} + 80 x^{2} y^{4} + 32 y^{5}$ .
B.

$32 x^{10} + 80 x^{8} y + 80 x^{6} y^{2} + 40 x^{4} y^{3} + 10 x^{2} y^{4} + y^{5}$ .
C.

$32 x^{10} - 80 x^{8} y + 80 x^{6} y^{2} - 40 x^{4} y^{3} + 10 x^{2} y^{4} - y^{5}$ .
D.

$x^{10} - 10 x^{8} y + 40 x^{6} y^{2} - 80 x^{4} y^{3} + 80 x^{2} y^{4} - 32 y^{5}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$(a + b)^{5} = C_{5}^{0} a^{5} + C_{5}^{1} a^{4} b + C_{5}^{2} a^{3} b^{2} + C_{5}^{3} a^{2} b^{3} + C_{5}^{4} a b^{4} + C_{5}^{5} b^{5}$

$= a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$ .

Lời giải chi tiết :

$x^{10} - 10 x^{8} y + 40 x^{6} y^{2} - 80 x^{4} y^{3} + 80 x^{2} y^{4} - 32 y^{5}$ .

Câu 5 : Cho parabol (P): $y = a x^{2} + b x + c$ đi qua điểm A(0; 3) và có đỉnh I(-1; 2). Tính S = a + b + c.

A.

-6.
B.

5.
C.

-5.
D.

6.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thay tọa độ các điểm lần lượt vào phương trình parabol và công thức hoành độ đỉnh để tìm hệ số a, b, c.

Lời giải chi tiết :

$⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 3 = a {.0}^{2} + b .0 + c 2 = a (- 1)^{2} + b (- 1) + c - \frac{b}{2 a} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a = 1 b = 2 c = 3 \end{matrix}$

Vậy a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6.

Câu 6 : Một tổ có 6 học sinh nữ và 8 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?

A.

8.
B.

28.
C.

48.
D.

14.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết :

Tổ đó có 6 + 8 = 14 học sinh. Do đó có 14 cách chọn 1 học sinh đi trực nhật.

Câu 7 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $(C) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$ . Đường tròn (C) có toạ độ tâm I và bán kính R bằng

A.

I(2; -4); R = 4.
B.

I(-2; 4); R = 4.
C.

I(-2; 4); R = 16.
D.

I(2; -4); R = 16.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đường tròn ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ có tâm I(a; b), bán kính R.

Lời giải chi tiết :

Đường tròn (C) có toạ độ tâm I và bán kính R là I(2; -4); R = 4.

Câu 8 : Biết rằng biến cố A liên quan đến một phép thử nào đó có xác suất là $\frac{1}{5}$ . Xác suất của biến cố $¯ ¯¯ ¯ A$ là

A.

$\frac{5}{1}$ .
B.

$\frac{2}{5}$ .
C.

$\frac{4}{5}$ .
D.

$- \frac{1}{5}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$P (¯ ¯¯ ¯ A) = 1 - P (A)$ .

Lời giải chi tiết :

$P (¯ ¯¯ ¯ A) = 1 - P (A) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ .

Câu 9 : Khi gieo một đồng tiền (có hai mặt S, N) cân đối và đồng chất hai lần. Không gian mẫu của phép thử là:

A.

{SS, NN, SN}.
B.

{SS, NN, SN, NS}.
C.

{S, N}.
D.

{SS, SN, NS}.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Liệt kê các kết quả.

Lời giải chi tiết :

Không gian mẫu của phép thử là: {SS, NN, SN, NS}.

Câu 10 : Cho tam thức bậc hai y = f(x) có bảng xét dấu như hình sau

Nhận xét nào sau đây đúng về dấu của tam thức bậc hai trên.

A.

$f (x) > 0, \forall x \in (3; + \infty)$ .
B.

$f (x) < 0, \forall x \in (- \infty; - 1)$
C.

$f (x) < 0, \forall x \in (- 1; 4)$ .
D.

$f (x) > 0, \forall x \in (- 1; + \infty)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát bảng xét dấu và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

$f (x) > 0, \forall x \in (3; + \infty)$ .

Câu 11 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định phương trình chính tắc của elip biết Elip có hai tiêu điểm $F_{1} (- 2; 0)$ ; $F_{2} (2; 0)$ , elip đi qua $M (0; \sqrt{32})$ .

A.

$\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .
B.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .
C.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 0$ .
D.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Elip có phương trình dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Từ tiêu điểm, xác định c.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình elip, xác định $b^{2}$ .

Áp dụng công thức $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ xác định $a^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Elip có phương trình dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Từ tọa độ tiêu điểm, ta xác định được c = 2.

Elip đi qua $M (0; \sqrt{32})$ nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{{(\sqrt{32})}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 32$ .

$a^{2} = b^{2} + c^{2} = 32 + 4 = 36$ .

Vậy phương trình elip là $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ .

Chú ý

null

Câu 12 : Bác An có một mảnh đất hình tam giác vuông có cạnh huyền bằng 100 m. Bác đã dùng 240 m hàng rào để rào mảnh đất và trồng hoa. Biết mỗi mét vuông trồng hoa hết 10.000 đồng. Tính số tiền bác An đầu tư để trồng hoa (đơn vị là triệu đồng).

A.

48.
B.

24.
C.

46.
D.

47,5.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính chu vi của tam giác và định lí Pythagore.

Lời giải chi tiết :

Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông của mảnh đất (m; a, b > 0).

Bác dùng An dùng 240 m hàng rào để rào mảnh đất nên chu vi tam giác bằng 240 m.

Ta có: $a + b + 100 = 240 \Leftrightarrow (a + b)^{2} = 140^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 2 a b = 19600$ .

Mà theo định lí Pythagore: $a^{2} + b^{2} = 100^{2} = 10000$ .

Do đó $2 a b = 9600 \Rightarrow S = \frac{1}{2} a b = 2400$ $(m^{2})$ .

Số tiền bác An đầu tư để trồng hoa là:

2400.10 = 24000 nghìn đồng = 24 triệu đồng.

Câu 1 : Có 5 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ (mỗi bông đều khác nhau về hình dáng). Một người cần chọn một bó bông từ số bông này.

a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách.

Đúng

Sai

b) Số cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng là 40 cách.

Đúng

Sai

c) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách.

Đúng

Sai

d) Xác suất để chọn 4 bông có đủ hai màu là $\frac{20}{21}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách.

Đúng

Sai

b) Số cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng là 40 cách.

Đúng

Sai

c) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách.

Đúng

Sai

d) Xác suất để chọn 4 bông có đủ hai màu là $\frac{20}{21}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tổ hợp.

Lời giải chi tiết :

Có tất cả 9 bông hồng.

a) Đúng. Số cách chọn 4 bông bất kì: $C_{9}^{4} = 126$ .

b) Sai. Số cách chọn 4 bông, trong đó có:

- 3 bông hồng vàng: $C_{5}^{3} . C_{4}^{1} = 40$ .

- 4 bông hồng vàng: $C_{5}^{4} = 5$ .

Vậy có tất cả 45 cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng.

c) Sai. Số cách chọn 4 bông, trong đó số bông mỗi màu bằng nhau là: $C_{5}^{2} . C_{4}^{2} = 60$ .

d) Đúng. Xác suất để chọn 4 bông không đủ hai màu: $\frac{C_{5}^{4} + C_{4}^{4}}{C_{9}^{4}} = \frac{1}{21}$ .

Xác suất để chọn 4 bông đủ hai màu: $1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$ .

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $Δ : 3 x - 4 y + 3 = 0$ và elip (E): $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Cho M là điểm thuộc (E) thoả mãn $M F_{1} + 2 M F_{2} = 11$ . Khi đó $2 M F_{1} + M F_{2} = 13$ .

Đúng

Sai

b) Đường tròn tâm A(1; -1) tiếp xúc với $Δ$ có phương trình là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ .

Đúng

Sai

c) Một vectơ chỉ phương của $Δ$ là $⃗ u = (- 4; 3)$ .

Đúng

Sai

d) Đường thẳng d: 4x + 3y – 1 = 0 vuông góc với đường thẳng $Δ$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Cho M là điểm thuộc (E) thoả mãn $M F_{1} + 2 M F_{2} = 11$ . Khi đó $2 M F_{1} + M F_{2} = 13$ .

Đúng

Sai

b) Đường tròn tâm A(1; -1) tiếp xúc với $Δ$ có phương trình là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ .

Đúng

Sai

c) Một vectơ chỉ phương của $Δ$ là $⃗ u = (- 4; 3)$ .

Đúng

Sai

d) Đường thẳng d: 4x + 3y – 1 = 0 vuông góc với đường thẳng $Δ$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Theo tính chất Elip: $M F_{1} + M F_{2} = 2 a = 2.4 = 8$ .

Ta có ${\begin{matrix} M F_{1} + M F_{2} = 8 M F_{1} + 2 M F_{2} = 11 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} M F_{1} = 5 M F_{2} = 3 \end{matrix}$

Vậy $2 M F_{1} + M F_{2} = 2.5 + 3 = 13$ .

b) Đúng. Bán kính đường tròn là khoảng cách từ A đến $Δ$ :

$R = d (A, Δ) = \frac{| 3.1 - 4 (- 1) + 3 |}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}} = 2$ .

Vậy phương trình đường tròn là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ .

c) Sai. Một vecto pháp tuyến của $Δ$ là $- \to n_{Δ} = (3; - 4)$ , suy ra một vecto chỉ phương của $Δ$ là $- \to u_{Δ} = (4; 3)$ , không cùng phương với $\to u = (- 4; 3)$ nên $\to u = (- 4; 3)$ không phải vecto chỉ phương của $Δ$ .

d) Đúng. Vecto pháp tuyến của d là $\to n_{d} = (4; 3)$ .

Ta có $- \to n_{Δ} . \to n_{d} = 3.4 - 4.3 = 0$ nên $Δ$ vuông góc với d.

Câu 1 : Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như hình vẽ dưới, có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm, bề sâu của gương là 15 cm. Xét trong hệ tọa độ Oxy với đơn vị đo tương ứng 1 cm. Tính khoảng cách AB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

A diagram of a cone with a point and a line

Description automatically generated with medium confidence

Phương pháp giải :

Xác định phương trình parabol và tung độ của A, từ đó tính AB.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Tiêu điểm các đỉnh 5 cm nên $\frac{p}{2} = 5$ .

Mà $y^{2} = 2 p x \Rightarrow y^{2} = 20 x$ .

Khi x = 15 thì $y^{2} = 20.15 = 300 \Rightarrow y = \pm 10 \sqrt{3}$ .

Vậy $A B = 20 \sqrt{3} \approx 34, 6$ (cm).

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy đường thẳng $Δ$ đi qua điểm A(-5; 2) và vuông góc với đường thẳng $d : {\begin{matrix} x = 2 + t y = - 3 - 2 t \end{matrix}$ có phương trình 2x + by + c = 0. Tính b + c.

Phương pháp giải :

$Δ$ vuông góc với d nên nhận VTCP của d làm VTPT.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$Δ$ vuông góc với d nên nhận $\to n = (1; - 2)$ làm VTPT.

Phương trình $Δ$ là:

$1 (x + 5) - 2 (y - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 y + 9 = 0$

$\Leftrightarrow 2 x - 4 y + 18 = 0$ .

Vậy b + c = -4 + 18 = 14.

Câu 3 : Một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ khác nhau và 5 quả cầu màu xanh khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu khác màu phải có đủ 2 màu?

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Có tất cả 12 quả cầu (7 đỏ, 5 xanh).

Số cách chọn 3 quả cầu bất kì: $C_{12}^{3} = 220$ .

Số cách chọn 3 quả cầu cùng màu: $C_{7}^{3} + C_{5}^{3} = 45$ .

Số cách chọn 3 quả cầu có đủ 2 màu: 220 – 45 = 175.

Câu 4 : Tính $A = 4 x_{1} + 3 x_{2}$ với $x_{1}; x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ là các nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 3 x + 5} = \sqrt{- 2 x^{2} + 4 x + 1}$ .

Phương pháp giải :

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay vào các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$\sqrt{x^{2} - 3 x + 5} = \sqrt{- 2 x^{2} + 4 x + 1}$

$x^{2} - 3 x + 5 = - 2 x^{2} + 4 x + 1$

$3 x^{2} - 7 x + 4 = 0$

Giải phương trình trên, được x = 1 và $x = \frac{4}{3}$ .

Thay vào phương trình ban đầu thấy cả hai đều thỏa mãn.

Vậy $A = 4.1 + 3. \frac{4}{3} = 8$ .

Câu 1 : Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển biểu thức ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ , $x \neq 0$ .

Phương pháp giải :

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ .

Lời giải chi tiết :

Số hạng tổng quát thứ $k + 1$ trong khai triển trên là:

$C_{5}^{k} {(x^{2})}^{5 - k} {(\frac{2}{x})}^{k} = C_{5}^{k} {.2}^{k} . x^{10 - 3 k}$ , $0 \leq k \leq 5$ , $k \in N$ .

Số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển trên ứng với $k$ thỏa mãn:

$⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 10 - 3 k = 4 0 \leq k \leq 5 k \in N \end{matrix} \Leftrightarrow k = 2$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển trên là:

$C_{5}^{2} {.2}^{2} = 10.4 = 40$ .

Câu 2 : Một hộp đựng 12 viên bi khác nhau, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi màu đỏ.

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Lời giải chi tiết :

Mỗi cách lấy ngẫu nhiên ba viên bi từ 12 viên bi được coi là một phần tử của không gian mẫu nên số phần tử của không gian mẫu là: $n (Ω) = C_{12}^{3} = 220$ .

Gọi A là biến cố “3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ”

Để lấy được 2 viên bi màu đỏ, ta có 2 trường hợp sau:

TH1: Lấy được 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

Lấy 2 bi đỏ từ 7 bi đỏ có $C_{7}^{2}$ cách.

Lấy 1 bi xanh từ 5 bi xanh có $C_{5}^{1}$ cách.

Do đó có $C_{7}^{2} . C_{5}^{1}$ cách lấy 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

TH2: Lấy được 3 bi đỏ và không lấy bi xanh. Lấy 3 bi đỏ từ 7 bi đỏ có $C_{7}^{3}$ cách.

Kết hợp 2 trường hợp, theo quy tắc cộng ta có:

$n (A) = C_{7}^{2} . C_{5}^{1} + C_{7}^{3} = 105 + 35 = 140$ .

Xác suất cần tìm là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{140}{220} = \frac{7}{11}$ .

Câu 3 : Hình vẽ bên mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí I có tọa độ (3; -1) trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).

a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí A có tọa độ (2; 2) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.

Phương pháp giải :

a) Lập phương trình đường tròn tâm I(3; -1) và bán kính R = 3.

b) Tính IA và so sánh với R.

Lời giải chi tiết :

a) Đường tròn mô tả ranh giới có tâm I(3; -1) và bán kính R = 3.

Phương trình đường tròn ranh giới: ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ .

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí A có tọa độ (2; 2) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm này vì:

$I A = \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}} = \sqrt{10} > 3 = R$ .