Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 9

Câu 1 : Khai triển nhị thức Newton của ${(a - 2 b)}^{5}$ thành tổng các đơn thức. Số hạng chứa $b^{5}$ là:

A.

$- b^{5}$ .
B.

$- 32 b^{5}$ .
C.

$32 b^{5}$ .
D.

$- 2 b^{5}$ .

Câu 2 : Cho parabol $(P) : y = 2 x^{2} - 4 x + 3$ , hoành độ đỉnh I của (P) là:

A.

x = 1.
B.

x = -2.
C.

x = -1.
D.

x = 2.

Câu 3 : Giải phương trình: $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 2} = \sqrt{x^{2} - x - 2}$ , ta có nghiệm là:

A.

x = 2.
B.

x = 0; x = 2.
C.

x = 0.
D.

x = 0; x = -2.

Câu 4 : Đường tròn ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ có bán kính R bằng bao nhiêu?

A.

R = 4.
B.

R = 5.
C.

R = 16.
D.

R = 8.

Câu 5 : Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc đồng chất. Xác suất để mặt 3 chấm xuất hiện là

A.

$\frac{1}{2}$ .
B.

$\frac{1}{6}$ .
C.

$\frac{5}{6}$ .
D.

$\frac{1}{3}$ .

Câu 6 : Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: "Mặt sấp xuất hiện đúng 2 lần".

A.

$P (A) = \frac{1}{4}$ .
B.

$P (A) = \frac{3}{8}$ .
C.

$P (A) = \frac{1}{2}$ .
D.

$P (A) = \frac{7}{8}$ .

Câu 7 : Bạn An có 5 quyển sách Tiếng Anh khác nhau, 6 quyển sách Toán khác nhau và 8 quyển sách Tiếng Việt khác nhau. Bạn An có bao nhiêu cách chọn 1 quyển sách để đọc:

A.

19.
B.

6.
C.

24.
D.

8.

Câu 8 : Cho Elip (E): $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ tọa độ 2 tiêu điểm của (E) là:

A.

$F_{1} (0; - 5), F_{2} (0; 5)$ .
B.

$F_{1} (- \sqrt{11}; 0), F_{2} (\sqrt{11}; 0)$ .
C.

$F_{1} (- 5; 0), F_{2} (5; 0)$ .
D.

$F_{1} (- 6; 0), F_{2} (6; 0)$ .

Câu 9 : Một nhóm học sinh có 6 nam và 5 nữ. Có mấy cách chọn 3 học sinh để trực nhật:

A.

$\frac{3!}{6.7}$ .
B.

$A_{11}^{3}$ .
C.

$\frac{11!}{3!}$ .
D.

$C_{11}^{3}$ .

Câu 10 : Tập nghiệm S của bất phương trình $x^{2} - 6 x + 8 < 0$ là:

A.

$S = (2; 4)$ .
B.

$S = {2; 4}$ .
C.

$S = R ∖ {2; 4}$ .
D.

$S = (- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$ .

Câu 11 : Gieo hai đồng tiền đồng chất một lần. Quan tâm đến tính SẤP, NGỬA của nó. Xác định biến cố M: "Hai đồng tiền xuất hiện các mặt không giống nhau".

A.

M = {SS; NS}.
B.

M = {NN; SS}.
C.

M = {NS; NN}.
D.

M = {NS; SN}.

Câu 12 : Cho đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = 3 + \sqrt{2} t \\ y = 1 - \sqrt{3} t \end{cases}$ , một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là:

A.

$\vec{a} = (\sqrt{2}; - \sqrt{3})$ .
B.

$\vec{a} = (3; 1)$ .
C.

$\vec{a} = (\sqrt{3}; \sqrt{2})$ .
D.

$\vec{a} = (\sqrt{2}; \sqrt{3})$ .

Câu 1 : Lớp 10B có 40 học sinh, trong đó có 4 bạn là cán bộ lớp gồm: Việt, Đức, Cường, Thịnh. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 2 bạn trong lớp để kiểm tra bài cũ. Khi đó:

a) Xác suất của biến cố "Có đúng một bạn trong nhóm cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{12}{67}$ .

Đúng

Sai

b) Số cách chọn ra 2 bạn trong 40 bạn lớp 10B là: 780 (cách).

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố "Không bạn nào trong nhóm cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{21}{26}$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố "Bạn Việt và một bạn không phải cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{7}{130}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Elip ( E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ có tiêu cự bằng $\sqrt{41}$ .

Đúng

Sai

b) Đường tròn (C): ${(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ tọa độ tâm là: I(4; -5).

Đúng

Sai

c) Đường thẳng d: $2 x + 3 y - 4 = 0$ có một véc tơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 3)$ .

Đúng

Sai

d) Parabol (P): $y^{2} = 6 x$ có phương trình đường chuẩn là $x = \frac{- 3}{2}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Ở một khu công nghiệp A, người ta làm một cổng chào hình parabol biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 20 mét, ở vị trí cách chân cổng 2 mét người ta đo được độ cao 3,6 mét. Khi đó đỉnh của Parabol có chiều cao bao nhiêu mét?

Câu 2 : Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau?

Câu 3 : Tổng các nghiệm nguyên dương của bất phương trình $2 x^{2} - 13 x - 15 < 0$ bằng bao nhiêu?

Câu 4 : Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính số phần tử của biến cố B: "3 viên bi lấy ra có đúng 1 bi màu đỏ"?

Câu 1 : Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} + 2 x - 4} = x - 1$ .

Câu 2 : Cho đường thẳng $d : x . \sin a^{o} + y . \cos a^{o} - 1 = 0$ với a là số thực thuộc khoảng (0; 180).

a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d?

b) Chứng minh rằng khi a thay đổi, luôn tồn tại một đường tròn cố định tiếp xúc với đường thẳng d. Viết phương trình đường tròn đó?

Câu 3 : Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh tham gia lao động. Tính xác suất sao cho:

a) Chọn 5 học sinh có đúng 3 học sinh nam và 2 nữ?

b) Chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam?

Câu 1 : Khai triển nhị thức Newton của ${(a - 2 b)}^{5}$ thành tổng các đơn thức. Số hạng chứa $b^{5}$ là:

A.

$- b^{5}$ .
B.

$- 32 b^{5}$ .
C.

$32 b^{5}$ .
D.

$- 2 b^{5}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$(a + b)^{5} = C_{5}^{0} a^{5} + C_{5}^{1} a^{4} b + C_{5}^{2} a^{3} b^{2} + C_{5}^{3} a^{2} b^{3} + C_{5}^{4} a b^{4} + C_{5}^{5} b^{5}$

$= a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$ .

Lời giải chi tiết :

$(x + y)^{5} = C_{5}^{0} x^{5} + C_{5}^{1} x^{4} y + C_{5}^{2} x^{3} y^{2} + C_{5}^{3} x^{2} y^{3} + C_{5}^{4} x y^{4} + C_{5}^{5} y^{5}$

$= a^{5} - 10 a^{4} b + 40 a^{3} b^{2} - 80 a^{2} b^{3} + 80 a b^{4} - 32 b^{5}$ .

Số hạng chứa $b^{5}$ là: $- 32 b^{5}$ .

Câu 2 : Cho parabol $(P) : y = 2 x^{2} - 4 x + 3$ , hoành độ đỉnh I của (P) là:

A.

x = 1.
B.

x = -2.
C.

x = -1.
D.

x = 2.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ , ta có hoành độ đỉnh là $x = - \frac{- b}{2 a}$ .

Lời giải chi tiết :

$x_{I} = - \frac{- 4}{2.2} = 1$ .

Câu 3 : Giải phương trình: $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 2} = \sqrt{x^{2} - x - 2}$ , ta có nghiệm là:

A.

x = 2.
B.

x = 0; x = 2.
C.

x = 0.
D.

x = 0; x = -2.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 2} = \sqrt{x^{2} - x - 2}$

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x - 2$

$x^{2} - 2 x = 0$

Giải phương trình bậc hai trên được nghiệm x = 0, x = 2.

Thay vào phương trình ban đầu, thấy chỉ có nghiệm x = 2 thỏa mãn.

Câu 4 : Đường tròn ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ có bán kính R bằng bao nhiêu?

A.

R = 4.
B.

R = 5.
C.

R = 16.
D.

R = 8.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ có bán kính R.

Lời giải chi tiết :

$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ có bán kính R = 4.

Câu 5 : Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc đồng chất. Xác suất để mặt 3 chấm xuất hiện là

A.

$\frac{1}{2}$ .
B.

$\frac{1}{6}$ .
C.

$\frac{5}{6}$ .
D.

$\frac{1}{3}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra là một biến cố. Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức $\frac{n (A)}{n (Ω)}$ , trong đó n(A), n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập hợp A và Ω.

Lời giải chi tiết :

Không gian mẫu: $n (Ω) = 6$ . A là biến cố “Mặt 3 chấm xuất hiện”.

Số kết quả có thể xảy ra (mặt 3 chấm xuất hiện): n(A) = 1.

Vậy xác suất mặt 3 chấm xuất hiện là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{1}{6}$ .

Câu 6 : Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: "Mặt sấp xuất hiện đúng 2 lần".

A.

$P (A) = \frac{1}{4}$ .
B.

$P (A) = \frac{3}{8}$ .
C.

$P (A) = \frac{1}{2}$ .
D.

$P (A) = \frac{7}{8}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra là một biến cố. Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức $\frac{n (A)}{n (Ω)}$ , trong đó n(A), n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập hợp A và Ω.

Lời giải chi tiết :

Không gian mẫu: $n (Ω) = 2^{3} = 8$ .

Số kết quả có thể xảy ra (mặt sấp xuất hiện đúng 2 lần): $n (A) = C_{3}^{2} = 3$ .

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{3}{8}$ .

Câu 7 : Bạn An có 5 quyển sách Tiếng Anh khác nhau, 6 quyển sách Toán khác nhau và 8 quyển sách Tiếng Việt khác nhau. Bạn An có bao nhiêu cách chọn 1 quyển sách để đọc:

A.

19.
B.

6.
C.

24.
D.

8.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết :

Bạn An có tất cả 5 + 6 + 8 = 19 quyển sách, do đó có 19 cách chọn 1 quyển sách để đọc.

Câu 8 : Cho Elip (E): $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ tọa độ 2 tiêu điểm của (E) là:

A.

$F_{1} (0; - 5), F_{2} (0; 5)$ .
B.

$F_{1} (- \sqrt{11}; 0), F_{2} (\sqrt{11}; 0)$ .
C.

$F_{1} (- 5; 0), F_{2} (5; 0)$ .
D.

$F_{1} (- 6; 0), F_{2} (6; 0)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ta có thể xác định được hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ ; $F_{2} (c; 0)$ với $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Từ phương trình (E), ta có $a^{2} = 36$ , $b^{2} = 25$ .

Ta có $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11}$ .

Vậy tiêu điểm của (E) là $F_{1} (- \sqrt{11}; 0)$ , $F_{2} (\sqrt{11}; 0)$ .

Câu 9 : Một nhóm học sinh có 6 nam và 5 nữ. Có mấy cách chọn 3 học sinh để trực nhật:

A.

$\frac{3!}{6.7}$ .
B.

$A_{11}^{3}$ .
C.

$\frac{11!}{3!}$ .
D.

$C_{11}^{3}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính số tổ hợp.

Lời giải chi tiết :

Nhóm có tổng 6 + 5 = 11 học sinh.

Số cách chọn 3 học sinh để trực nhật là $C_{11}^{3}$ .

Câu 10 : Tập nghiệm S của bất phương trình $x^{2} - 6 x + 8 < 0$ là:

A.

$S = (2; 4)$ .
B.

$S = {2; 4}$ .
C.

$S = R ∖ {2; 4}$ .
D.

$S = (- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai để giải.

Lời giải chi tiết :

$x^{2} - 6 x + 8 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 4$ .

Câu 11 : Gieo hai đồng tiền đồng chất một lần. Quan tâm đến tính SẤP, NGỬA của nó. Xác định biến cố M: "Hai đồng tiền xuất hiện các mặt không giống nhau".

A.

M = {SS; NS}.
B.

M = {NN; SS}.
C.

M = {NS; NN}.
D.

M = {NS; SN}.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xác định biến cố sao cho xuất hiện các mặt không giống nhau.

Lời giải chi tiết :

M = {NS; SN}.

Câu 12 : Cho đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = 3 + \sqrt{2} t \\ y = 1 - \sqrt{3} t \end{cases}$ , một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là:

A.

$\vec{a} = (\sqrt{2}; - \sqrt{3})$ .
B.

$\vec{a} = (3; 1)$ .
C.

$\vec{a} = (\sqrt{3}; \sqrt{2})$ .
D.

$\vec{a} = (\sqrt{2}; \sqrt{3})$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Từ phương trình tham số ${\begin{cases} x = x_{0} + m t \\ y = y_{0} + n t \end{cases}$ , ta xác định được vecto chỉ phương $\vec{u} = (m; n)$ .

Lời giải chi tiết :

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là $\vec{a} = (\sqrt{2}; - \sqrt{3})$ .

Câu 1 : Lớp 10B có 40 học sinh, trong đó có 4 bạn là cán bộ lớp gồm: Việt, Đức, Cường, Thịnh. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 2 bạn trong lớp để kiểm tra bài cũ. Khi đó:

a) Xác suất của biến cố "Có đúng một bạn trong nhóm cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{12}{67}$ .

Đúng

Sai

b) Số cách chọn ra 2 bạn trong 40 bạn lớp 10B là: 780 (cách).

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố "Không bạn nào trong nhóm cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{21}{26}$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố "Bạn Việt và một bạn không phải cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{7}{130}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Xác suất của biến cố "Có đúng một bạn trong nhóm cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{12}{67}$ .

Đúng

Sai

b) Số cách chọn ra 2 bạn trong 40 bạn lớp 10B là: 780 (cách).

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố "Không bạn nào trong nhóm cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{21}{26}$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố "Bạn Việt và một bạn không phải cán bộ lớp được gọi" bằng: $\frac{7}{130}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tổ hợp.

Lời giải chi tiết :

Lớp 10B có 40 bạn, trong đó có 4 cán bộ lớp và 36 học sinh không phải cán bộ lớp.

a) Sai. Xác suất để có đúng một bạn cán bộ lớp được gọi là $\frac{C_{4}^{1} C_{36}^{1}}{C_{40}^{2}} = \frac{12}{65}$ .

b) Đúng. Số cách chọn 2 trong 40 bạn lớp 10B là $C_{40}^{2} = 780$ .

c) Đúng. Xác suất để không bạn nào là cán bộ lớp được gọi là $\frac{C_{36}^{2}}{C_{40}^{2}} = \frac{21}{26}$ .

d) Sai. Xác suất để bạn Việt và một bạn không phải cán bộ lớp được gọi là $\frac{C_{1}^{1} C_{36}^{1}}{C_{40}^{2}} = \frac{3}{65}$ .

Câu 2 : Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Elip ( E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ có tiêu cự bằng $\sqrt{41}$ .

Đúng

Sai

b) Đường tròn (C): ${(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ tọa độ tâm là: I(4; -5).

Đúng

Sai

c) Đường thẳng d: $2 x + 3 y - 4 = 0$ có một véc tơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 3)$ .

Đúng

Sai

d) Parabol (P): $y^{2} = 6 x$ có phương trình đường chuẩn là $x = \frac{- 3}{2}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Elip ( E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ có tiêu cự bằng $\sqrt{41}$ .

Đúng

Sai

b) Đường tròn (C): ${(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ tọa độ tâm là: I(4; -5).

Đúng

Sai

c) Đường thẳng d: $2 x + 3 y - 4 = 0$ có một véc tơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 3)$ .

Đúng

Sai

d) Parabol (P): $y^{2} = 6 x$ có phương trình đường chuẩn là $x = \frac{- 3}{2}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Từ phương trình (E) ta có tiêu cự là $2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 2 \sqrt{25 - 16} = 6$ .

b) Đúng. Tâm của (C) là I(4; -5).

c) Sai. $\vec{u} = (2; 3)$ là một vecto pháp tuyến của d.

d) Đúng. Phương trình đường chuẩn của (P) là:

$x = - \frac{p}{2} \Rightarrow x = - \frac{6}{4} \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$ .

Câu 1 : Ở một khu công nghiệp A, người ta làm một cổng chào hình parabol biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 20 mét, ở vị trí cách chân cổng 2 mét người ta đo được độ cao 3,6 mét. Khi đó đỉnh của Parabol có chiều cao bao nhiêu mét?

Phương pháp giải :

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục tung đi qua đỉnh parabol, trục hoành nằm trên mặt đất.

Xác định các điểm đi qua để tìm phương trình parabol $y = a x^{2} + b$ , từ đó tìm chiều cao h của đỉnh.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O nằm ở trung điểm của khoảng cách giữa hai chân cổng.

Khi đó, tọa độ hai chân cổng là A(-10; 0) và B(10; 0).

Phương trình parabol có dạng $y = a x^{2} + b$ (b là chiều cao của đỉnh cổng).

Vì cổng đi qua điểm (10; 0) nên:

$0 = a . 10^{2} + b \Rightarrow b = - 100 a$ .

Ở vị trí cách chân cổng 2 m (tức là x = 10 - 2 = 8), độ cao đo được là 3,6 m.

Suy ra điểm (8; 3,6) thuộc parabol:

$3, 6 = a . 8^{2} + b$ .

Thay $b = - 100 a$ vào PT trên ta được:

$3, 6 = 64 a - 100 a \Rightarrow a = - 0, 1$ .

Suy ra b = -100(-0,1) = 10.

Vậy chiều cao đỉnh cổng chào là 10 mét.

Câu 2 : Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau?

Phương pháp giải :

Áp dụng kết hợp quy tắc cộng và nhân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là $\bar{a b c}$ .

Ta có: $\bar{a b c} : 2$ .

+) TH1: c = 0.

a có 9 cách chọn.

b có 8 cách chọn.

Do đó TH1 có 1.9.8 = 72 (cách chọn).

+) TH2: $c \in {2; 4; 6; 8}$

c có 4 cách chọn.

a có 8 cách chọn.

b có 8 cách chọn.

Do đó TH2 có 4.8.8 = 256 (cách chọn).

Vậy có tổng cộng 72 + 256 = 328 cách chọn.

Câu 3 : Tổng các nghiệm nguyên dương của bất phương trình $2 x^{2} - 13 x - 15 < 0$ bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Tìm tập nghiệm của bất phương trình bậc hai, sau đó liệt kê các số nguyên dương thuộc tập nghiệm đó và tính tổng.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình $2 x^{2} - 13 x - 15 = 0$ .

Ta có: a - b + c = 2 - (-13) + (-15) = 0 nên phương trình có hai nghiệm x = -1, $x = \frac{15}{2}$ .

Vì hệ số a = 2 > 0 nên tập nghiệm của bất phương trình $2 x^{2} - 13 x - 15 < 0$ là $(- \frac{1}{2}; \frac{15}{2}) .$ .

Tập các nghiệm nguyên dương của bất phương trình là:

S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Tổng các nghiệm này là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

Câu 4 : Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính số phần tử của biến cố B: "3 viên bi lấy ra có đúng 1 bi màu đỏ"?

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân và công thức tổ hợp.

Chọn 1 bi đỏ từ 6 bi đỏ và chọn 2 bi còn lại từ các màu khác.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Số cách chọn đúng 1 viên bi màu đỏ là $C_{6}^{1}$ cách.

Khi đó, 2 viên bi còn lại phải chọn từ các viên bi xanh và trắng.

Tổng số bi xanh và trắng là: 8 + 10 = 18 viên bi.

Số cách chọn 2 viên bi không phải đỏ là $C_{18}^{2}$ cách.

Số phần tử của biến cố B là:

$C_{6}^{1} . C_{18}^{2} = 918$ .

Câu 1 : Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} + 2 x - 4} = x - 1$ .

Phương pháp giải :

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay lại các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt{2 x^{2} + 2 x - 4} = x - 1$

$2 x^{2} + 2 x - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$ .

Giải phương trình trên được x = 1 hoặc x = -5.

Thay vào phương trình ban đầu, thấy nghiệm x = 1 thỏa mãn.

Câu 2 : Cho đường thẳng $d : x . \sin a^{o} + y . \cos a^{o} - 1 = 0$ với a là số thực thuộc khoảng (0; 180).

a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d?

b) Chứng minh rằng khi a thay đổi, luôn tồn tại một đường tròn cố định tiếp xúc với đường thẳng d. Viết phương trình đường tròn đó?

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt:

$d (O; d) = \frac{| - 1 |}{\sin^{2} a^{o} + \cos^{2} a^{o}} = 1$

b) Khi a thay đổi, khoảng cách từ O đến d luôn bằng 1, nên đường thẳng d luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R = 1.

Phương trình đường tròn (C): $x^{2} + y^{2} = 1$ .

Câu 3 : Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh tham gia lao động. Tính xác suất sao cho:

a) Chọn 5 học sinh có đúng 3 học sinh nam và 2 nữ?

b) Chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam?

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tổ hợp và tính xác suất thông qua biến cố đối.

Lời giải chi tiết :

$n (Ω) = C_{35}^{5} = 324632$ .

A: “Chọn 5 học sinh có đúng 3 học sinh nam và 2 nữ”.

$n (A) = C_{15}^{3} \cdot C_{20}^{2} = 86450$ .

$P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{86450}{324632} \approx 0, 266$ .

B: “Chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam”.

Khi đó $\bar{B}$ là biến cố chọn được 5 học sinh nữ nên:

$n (\bar{B}) = C_{20}^{5} = 15504$ .

$P (B) = 1 - P (\bar{B}) = 1 - \frac{C_{20}^{5}}{C_{35}^{5}} \approx 0, 95$ .