Đề thi học kì 2 Toán 10

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1. Xét hai đại lượng \(x,y\) phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Trường hợp nào thì \(y\)là hàm số của \(x\)

A. \(y = 2x - 1\).

B. \(\left| y \right| = {x^2}\).

C. \({y^2} = x\).

D. \({y^2} = {x^2} + 1\).

Câu 2. Tập xác định \(D\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2 - x} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\) là

A. \(D = \left( {1;{\rm{ }}2} \right]\).

B. \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

C. \(D = \left( { - \infty ;2} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\).

D. \(D = \left( { - \infty ;2} \right]\).

Câu 3. Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a \ne 0)\) là đường thẳng nào dưới đây?

A. \(x = - \frac{b}{{2a}}.\)

B. \(x = - \frac{c}{{2a}}.\)

C. \(x = - \frac{\Delta }{{4a}}.\)

D. \(x = \frac{b}{{2a}}\).

Câu 4. Biết đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + m\) đi qua điểm \(A( - 1;4)\). Tính \(m\).

A. \(m = 6\).

B. \(m = 7\).

C. \(m = - 25\).

D. \(m = 5\).

Câu 5. Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện cần và đủ để \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).

Câu 6. Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \( - 2{x^2} + 5x + 7 \le 0\) là

A. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\frac{7}{2}; + \infty } \right).\)

B. \(S = \left( { - 1;\frac{7}{2}} \right).\)

C. \(S = \left[ { - 1;\frac{7}{2}} \right].\)

D. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\frac{7}{2}; + \infty } \right).\)

Câu 7. Phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 2} = \sqrt {2{x^2} + x - 1} \) có một nghiệm là

A. \(x = 3\).

B. \(x = 2\).

C. \(x = 1\).

D. \(x = - 1\).

Câu 8. Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x + 4} = - 2x + 2\) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(0\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(1\).

Câu 9. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.\). Tọa độ một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là

A. \(\overrightarrow {{n_3}} = (3;2).\)

B. \(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 3)\).

C. \(\overrightarrow {{n_4}} = (2;3)\).

D. \(\overrightarrow {{n_1}} = ( - 2; - 3)\).

Câu 10. Phương trình nào là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. \({y^2} = 3x\).

B. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2t}\\{y = 1 + 3t{\rm{ }}}\end{array}} \right.\).

D. \(2x - y - 1 = 0\).

Câu 11. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;1),B(0;2),C( - 2;6)\). Viết phương trình tổng quát của trung tuyến \(AM\).

A. \(3x - 2y - 1 = 0\).

B. \(3x - 2y + 11 = 0\).

C. \(3x + 2y - 5 = 0\).

D. \(3x + 2y + 5 = 0\).

Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x + y - 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

A. \(x - 2y - 5 = 0\).

B. \( - 2x - y + 5 = 0\).

C. \(2x + y + 5 = 0\).

D. \(x - 2y + 5 = 0\).

Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Khi đó góc \(\varphi \) giữa hai đường thẳng được xác định thông qua công thức

A. \(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

B. \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

C. \(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

D. \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

Câu 14. Tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :4x--3y + 3 = 0\).

A. \(\frac{{18}}{{25}}\).

B. \(\frac{{18}}{5}\).

C. \(\frac{{9\sqrt {10} }}{5}\).

D. \(\frac{9}{5}\).

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?

A. \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\).

C. \({x^2} - {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\).

D. \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).

Câu 16. Tìm tọa độ tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của đường tròn \((C):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9\).

A. \(I( - 2;5),\,\,R = 81.\)

B. \(I(2; - 5),\,\,R = 9.\)

C. \(I(2; - 5),\,\,R = 3.\)

D. \(I( - 2;5),\,\,R = 3.\)

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm \(I\left( {1;1} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):3x + 4y - 2 = 0\). Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\).

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\).

Câu 18. Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 4 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\).

A. \(y - 5 = 0\).

B. \(y + 5 = 0\).

C. \(x - 1 = 0\).

D. \(x - y - 6 = 0\).

Câu 19. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của hyperbol?

A. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{8} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{4} = 1\).

B. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{4} - \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{8} = - 1\).

C. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{8} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{4} = - 1\).

D. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{8} - \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{4} = 1\).

Câu 20. Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng \(6\), trục nhỏ bằng \(4\) là

A. \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

B. \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

C. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

D. \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Câu 21. Một tổ có 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?

A. \(35\).

B. \(7\).

C. \(5\).

D. \(12\).

Câu 22. Bạn An có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay và 2 kiểu dây. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

A. 5.

B. 3.

C. 12.

D. 6.

Câu 23. Từ các chữ số \(1;2;3;5;6;9\) lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. \(432\). B. \(120\). C. \(240\). D. \(180\).

Câu 24. Cho hai số tự nhiên \(k,\,\,n\) thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là

A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\).

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).

D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

Câu 25. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Trong giờ học thể dục thầy giáo yêu cầu tổ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

A. \(3!\). B. \(3!.4!\). C. \(10!\). D. \(7!.\)

Câu 26. Số tập con có \(9\) phần tử của tập hợp có \(15\) phần tử là

A. \(\frac{{15!}}{{9!}}\).

B. \(5004\).

C. \(5005\).

D. \(A_{15}^9\).

Câu 27. Tổ một của lớp 11/3 có 8 học sinh trong đó có bạn Nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trực lớp trong đó phải có Nam?

A. \(35\). B. \(56\). C. \(70.\) D. \(210\).

Câu 28. Tổ \(1\) lớp 11/3 có \(6\) học sinh nam và \(5\) học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra \(4\) học sinh của tổ \(1\) để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(4\) học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam?

A. \(600\). B. \(25\). C. \(325\). D. \(30\).

Câu 29. Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {3x - 1} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?

A. \(6\). B. \(3\). C. \(5\). D. \(4\).

Câu 30. Tung ngẫu nhiên 1 đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right)\) bằng

A. \(4\). B. \(8\). C. \(2\). D. \(36\).

Câu 31. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là

A. \(1\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{1}{3}\).

D. \(\frac{1}{6}\).

Câu 32. Một lớp có \(20\) học sinh nam và \(18\) học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên \(1\) học sinh. Tính xác suất chọn được \(1\) học sinh nữ.

A. \(\frac{{10}}{{19}}.\)

B. \(\frac{1}{{18}}.\)

C. \(\frac{9}{{19}}.\)

D. \(\frac{1}{{38}}.\)

Câu 33. Gieo 1 con súc sắc 2 lần. Xác suất của biến cố \(A\) sao cho tổng số chấm xuất hiện trong 2 lần gieo không nhỏ hơn 8 là

A. \(P\left( A \right) = \frac{{13}}{{36}}\).

B. \(P\left( A \right) = \frac{5}{{18}}\).

C. \(P\left( A \right) = \frac{5}{{12}}\).

D. \(P\left( A \right) = \frac{2}{9}\).

Câu 34. Trên kệ có 5 quyển sách toán, 3 quyển sách lý và 4 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển. Xác suất để 3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển sách toán là

A. \(\frac{{41}}{{55}}\).

B. \(\frac{7}{{44}}\).

C. \(\frac{{14}}{{55}}\).

D. \(\frac{{37}}{{44}}\).

Câu 35. Có 2 cái hộp: Hộp thứ nhất có 5 bi xanh và 4 bi đỏ; hộp thứ hai có 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc mỗi hộp 2 bi. Tính xác suất để lấy được đúng 1 bi xanh.

A. \(\frac{{20}}{{63}}\).

B. \(\frac{{41}}{{756}}\).

C. \(\frac{4}{{63}}\).

D. \(\frac{{11}}{{63}}\).

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {x - 2m + 1} \) xác định trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm \(A(4; - 1);B( - 2;5).\) Viết phương trình đường tròn đường kính \(AB\).

Câu 38. Một nhóm có 9 học sinh gồm 6 học sinh nam (trong đó có Hiệp) và 3 học sinh nữ. Xếp 9 học sinh đó thành một hàng ngang. Tính xác suất để Hiệp không đứng cạnh bạn nữ nào.

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật \(ABCD\) biết \(BC\) có phương trình \(6x - 7y + 32 = 0\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BD\) là \(K\left( {1;3} \right)\) và đường thẳng \(BD\) đi qua điểm \(H\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(A\).

---------- HẾT ----------

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1. Xét hai đại lượng \(x,y\) phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Trường hợp nào thì \(y\) là hàm số của \(x\)?

A. \(y = 2x - 1\).

B. \(\left| y \right| = {x^2}\).

C. \({y^2} = x\).

D. \({y^2} = {x^2} + 1\).

Phương pháp

Khái niệm hàm số: Nếu với mỗi giá trị của \(x\) thuộc tập hợp số \(D\) có một và chỉ một giá trị tương ứng của \(y\) thuộc tập số thực \(\mathbb{R}\) thì ta có một hàm số.

Lời giải

Ta có \(y = 2x - 1\).

Chọn A.

Câu 2. Tập xác định \(D\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2 - x} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\) là

A. \(D = \left( {1;{\rm{ }}2} \right]\).

B. \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

C. \(D = \left( { - \infty ;2} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\).

D. \(D = \left( { - \infty ;2} \right]\).

Phương pháp

-Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0.

Lời giải

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho \(D = \left( {1;{\rm{ }}2} \right]\).

Chọn A.

Câu 3. Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a \ne 0)\) là đường thẳng nào dưới đây?

A. \(x = - \frac{b}{{2a}}.\)

B. \(x = - \frac{c}{{2a}}.\)

C. \(x = - \frac{\Delta }{{4a}}.\)

D. \(x = \frac{b}{{2a}}\).

Phương pháp

Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình \(x = - \frac{b}{{2a}}.\)

Lời giải

Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình \(x = - \frac{b}{{2a}}.\)

Chọn A.

Câu 4. Biết đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + m\) đi qua điểm \(A( - 1;4)\). Tính \(m\).

A. \(m = 6\). B. \(m = 7\). C. \(m = - 25\). D. \(m = 5\).

Phương pháp

Thay tọa độ điểm A vào hàm số để tìm m

Lời giải

Đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + m\) đi qua điểm \(A( - 1;4)\) nên \(4 = {\left( { - 1} \right)^2} + 2\left( { - 1} \right) + m \Leftrightarrow m = 5\).

Chọn D.

Câu 5. Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện cần và đủ để \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).

Phương pháp

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Lời giải

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Chọn B.

Câu 6. Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \( - 2{x^2} + 5x + 7 \le 0\) là

A. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\frac{7}{2}; + \infty } \right).\)

B. \(S = \left( { - 1;\frac{7}{2}} \right).\)

C. \(S = \left[ { - 1;\frac{7}{2}} \right].\)

D. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\frac{7}{2}; + \infty } \right).\)

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Ta có :

\( - 2{x^2} + 5x + 7 \le 0 \Leftrightarrow x \le - 1\) hoặc \(x \ge \frac{7}{2}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\frac{7}{2}; + \infty } \right).\)

Chọn A.

Câu 7. Phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 2} = \sqrt {2{x^2} + x - 1} \) có một nghiệm là

A. \(x = 3\).

B. \(x = 2\).

C. \(x = 1\).

D. \(x = - 1\).

Phương pháp

Bình phương 2 vế của phương trình

Lời giải

Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được

\({x^2} - x - 2 = 2{x^2} + x - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)

Thử lại ta thấy \(x = - 1\) thỏa mãn.

Vậy tập phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 1\).

Chọn D.

Câu 8. Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x + 4} = - 2x + 2\) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(0\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(1\).

Phương pháp

Bình phương 2 vế của phương trình

Lời giải

Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được

\({x^2} - 5x + 4 = {\left( { - 2x + 2} \right)^2} \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\end{array} \right.\)

Thử lại ta thấy \(x = - 1\); \(x = 0\) thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Chọn B.

Câu 9. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.\). Tọa độ một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là

A. \(\overrightarrow {{n_3}} = (3;2).\)

B. \(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 3)\).

C. \(\overrightarrow {{n_4}} = (2;3)\).

D. \(\overrightarrow {{n_1}} = ( - 2; - 3)\).

Phương pháp

Đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) có một véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\)

Lời giải

Đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.\) có một véctơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_3}} = (3;2).\)

Chọn A.

Câu 10. Phương trình nào là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. \({y^2} = 3x\).

B. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2t}\\{y = 1 + 3t{\rm{ }}}\end{array}} \right.\).

D. \(2x - y - 1 = 0\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: \(ax + by + c = 0\)

Lời giải

Ta có \({y^2} = 3x\) là phương trình parabol;

\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) là phương trình elip;

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2t}\\{y = 1 + 3t{\rm{ }}}\end{array}} \right.\) là phương trình tham số của đường thẳng.

Chọn D.

Câu 11. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;1),B(0;2),C( - 2;6)\). Viết phương trình tổng quát của trung tuyến \(AM\).

A. \(3x - 2y - 1 = 0\).

B. \(3x - 2y + 11 = 0\).

C. \(3x + 2y - 5 = 0\).

D. \(3x + 2y + 5 = 0\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) làm vecto pháp tuyến là : \(d:a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\)

Lời giải

\(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(M\left( { - 1;4} \right)\).

Đường trung tuyến \(AM\) đi qua \(A,M\) nên nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 2;3} \right)\) làm véctơ chỉ phương. Suy ra \(AM\) có một véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;2} \right)\).

Vậy \(AM\) có phương trình tổng quát \(3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0\) hay \(3x + 2y - 5 = 0\).

Chọn C.

Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x + y - 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

A. \(x - 2y - 5 = 0\).

B. \( - 2x - y + 5 = 0\).

C. \(2x + y + 5 = 0\).

D. \(x - 2y + 5 = 0\).

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 5 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right.\) vô nghiệm nên đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x + y - 5 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình \(2x + y + 5 = 0\).

Chọn C.

Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Khi đó góc \(\varphi \) giữa hai đường thẳng được xác định thông qua công thức

A. \(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

B. \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

C. \(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

D. \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

Phương pháp

Góc \(\varphi \) giữa hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) được tính theo công thức \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

Lời giải

Góc \(\varphi \) giữa hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) được tính theo công thức \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

Chọn B.

Câu 14. Tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :4x--3y + 3 = 0\).

A. \(\frac{{18}}{{25}}\).

B. \(\frac{{18}}{5}\).

C. \(\frac{{9\sqrt {10} }}{5}\).

D. \(\frac{9}{5}\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :4x--3y + 3 = 0\)

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{18}}{5}\)

Chọn A.

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?

A. \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\).

C. \({x^2} - {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\).

D. \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).

Phương pháp

Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} - c > 0\) là phương trình của một đường tròn.

Lời giải

Phương trình của một đường tròn là \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)

Chọn B.

Câu 16. Tìm tọa độ tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của đường tròn \((C):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9\).

A. \(I( - 2;5),\,\,R = 81.\)

B. \(I(2; - 5),\,\,R = 9.\)

C. \(I(2; - 5),\,\,R = 3.\)

D. \(I( - 2;5),\,\,R = 3.\)

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Đường tròn \((C):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\) nên đường tròn \((C):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 2;5} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Chọn D.

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm \(I\left( {1;1} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):3x + 4y - 2 = 0\). Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\).

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\).

Phương pháp

- Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

- Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Đường tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có bán kính \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1\) nên có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

Chọn C.

Câu 18. Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 4 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\).

A. \(y - 5 = 0\).

B. \(y + 5 = 0\).

C. \(x - 1 = 0\).

D. \(x - y - 6 = 0\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) làm vecto pháp tuyến là : \(d:a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\)

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right)\), nên có phương trình \(0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 5 = 0\).

Chọn A.

Câu 19. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của hyperbol?

A. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{8} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{4} = 1\).

B. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{4} - \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{8} = - 1\).

C. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{8} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{4} = - 1\).

D. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{8} - \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{4} = 1\).

Phương pháp

Phương trình \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(a,b > 0\) là phương trình chính tắc của hyperbol.

Lời giải

Phương trình \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{8} - \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{4} = 1\) là phương trình chính tắc của hyperbol.

Chọn D.

Câu 20. Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng \(6\), trục nhỏ bằng \(4\) là

A. \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

B. \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

C. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

D. \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Phương pháp

Phương trình \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(a,b > 0\) là phương trình chính tắc của elip (E)

Lời giải

\(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng \(6\), trục nhỏ bằng \(4\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 6\\2b = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Chọn C.

Câu 21. Một tổ có 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?

A. \(35\).

B. \(7\).

C. \(5\).

D. \(12\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải

Chọn 1 học sinh nữ có 7 cách.

Chọn 1 học sinh nam có 5 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có 7 + 5 = 12 cách.

Chọn D.

Câu 22. Bạn An có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay và 2 kiểu dây. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

A. 5. B. 3. C. 12. D. 6.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn 1 mặt đồng hồ có 3 cách.

Chọn 1 dây có 2 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có 3.2 = 6 cách.

Chọn D.

Câu 23. Từ các chữ số \(1;2;3;5;6;9\) lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. \(432\). B. \(120\). C. \(240\). D. \(180\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Gọi số cần lập là \(\overline {abcd} \).

Chọn \(d\) có 2 cách; chọn \(a\) có 5 cách; chọn \(b\) có 4 cách; chọn \(c\) có 3 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có 2.5.4.3 = 120 số cần lập.

Chọn B.

Câu 24. Cho hai số tự nhiên \(k,\,\,n\) thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là

A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\).

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).

D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

Phương pháp

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử được tính theo công thức \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).

Lời giải

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử được tính theo công thức \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).

Chọn C.

Câu 25. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Trong giờ học thể dục thầy giáo yêu cầu tổ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

A. \(3!\). B. \(3!.4!\). C. \(10!\). D. \(7!.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Sắp xếp 10 học sinh thành một dọc có \(10!\) cách xếp.

Chọn C.

Câu 26. Số tập con có \(9\) phần tử của tập hợp có \(15\) phần tử là

A. \(\frac{{15!}}{{9!}}\).

B. \(5004\).

C. \(5005\).

D. \(A_{15}^9\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Số tập con có \(9\) phần tử của tập hợp có \(15\) phần tử là \(C_{15}^9 = 5005\).

Chọn C.

Câu 27. Tổ một của lớp 11/3 có 8 học sinh trong đó có bạn Nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trực lớp trong đó phải có Nam?

A. \(35\). B. \(56\). C. \(70.\) D. \(210\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

+ Chọn Nam: có 1 cách

+ Chọn thêm 3 học sinh từ 7 học sinh còn lại: có \(C_7^3 = 35\) cách.

Vậy có \(1.C_7^3 = 35\) cách.

Chọn A.

Câu 28. Tổ \(1\) lớp 11/3 có \(6\) học sinh nam và \(5\) học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra \(4\) học sinh của tổ \(1\) để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(4\) học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam?

A. \(600\). B. \(25\). C. \(325\). D. \(30\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

+ Chọn 4 học sinh bất kỳ từ 11 học sinh: có \(C_{11}^4 = 330\) cách.

+ Chọn 4 học sinh đều là nữ có \(C_5^4 = 5\) cách.

Vậy có \(330 - 5 = 325\) cách chọn \(4\) học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam.

Chọn C.

Câu 29. Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {3x - 1} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?

A. \(6\). B. \(3\). C. \(5\). D. \(4\).

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {3x - 1} \right)^4}\) có \(4 + 1 = 5\) số hạng.

Chọn C.

Câu 30. Tung ngẫu nhiên 1 đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right)\) bằng

A. \(4\). B. \(8\). C. \(2\). D. \(36\).

Phương pháp

Sử dụng quy tắc đếm

Lời giải

\(\Omega = \left\{ {{\rm{SS}}{\rm{,SN}}{\rm{,NS}}{\rm{,NN}}} \right\}\) \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 4\).

Chọn A.

Câu 31. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là

A. \(1\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{1}{3}\).

D. \(\frac{1}{6}\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

\(\Omega = \left\{ {{\rm{1;2;3;4;5;6}}} \right\}\) \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6\).

Gọi \(A\) là biến cố: “mặt có số chấm chẵn xuất hiện” \( \Rightarrow A = \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 3\).

Xác suất để \(A\) xảy ra: \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Chọn B.

Câu 32. Một lớp có \(20\) học sinh nam và \(22\) học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên \(1\) học sinh. Tính xác suất chọn được \(1\) học sinh nữ.

A. \(\frac{1}{{22}}.\)

B. \(\frac{1}{{20}}.\)

C. \(\frac{{11}}{{21}}.\)

D. \(\frac{{10}}{{21}}.\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 20 + 22 = 42\).

Gọi \(A\) là biến cố: “chọn được \(1\) học sinh nữ” \( \Rightarrow n\left( A \right) = 22\).

Xác suất để \(A\) xảy ra: \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{22}}{{42}} = \frac{{11}}{{21}}\).

Chọn C.

Câu 33. Gieo 1 con súc sắc 2 lần. Xác suất của biến cố \(A\) sao cho tổng số chấm xuất hiện trong 2 lần gieo không nhỏ hơn 8 là

A. \(P\left( A \right) = \frac{{13}}{{36}}\).

B. \(P\left( A \right) = \frac{5}{{18}}\).

C. \(P\left( A \right) = \frac{5}{{12}}\).

D. \(P\left( A \right) = \frac{2}{9}\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

\(n\left( \Omega \right) = 36\).

\(A = \{ \left( {2;6} \right),\left( {3;5} \right),\left( {3;6} \right),\left( {4;4} \right),\left( {4;5} \right),\left( {4;6} \right),\left( {5;3} \right),\left( {5;4} \right),\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right)\\\left( {6;2} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right)\} \)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 15\).

Xác suất để \(A\) xảy ra: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}}\).

Chọn C.

Câu 34. Trên kệ có 5 quyển sách toán, 3 quyển sách lý và 4 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển. Xác suất để 3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển sách toán là

A. \(\frac{{41}}{{55}}\).

B. \(\frac{7}{{44}}\).

C. \(\frac{{14}}{{55}}\).

D. \(\frac{{37}}{{44}}\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^3 = 220\).

Gọi \(A\) là biến cố: “có ít nhất một quyển sách Toán” \( \Rightarrow n\left( A \right) = 5.C_7^2 + C_5^2.7 + C_5^3 = 185\).

Xác suất để \(A\) xảy ra: \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{185}}{{220}} = \frac{{37}}{{44}}\).

Chọn D.

Câu 35. Có 2 cái hộp: Hộp thứ nhất có 5 bi xanh và 4 bi đỏ; hộp thứ hai có 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc mỗi hộp 2 bi. Tính xác suất để lấy được đúng 1 bi xanh.

A. \(\frac{{20}}{{63}}\).

B. \(\frac{{41}}{{756}}\).

C. \(\frac{4}{{63}}\).

D. \(\frac{{11}}{{63}}\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_9^2.C_7^2\).

Gọi \(A\) là biến cố: “lấy được đúng 1 bi xanh”.

+ Lấy đúng 1 viên bi xanh ở hộp thứ nhất: có \(5.4.C_3^2\) cách.

+ Lấy đúng 1 viên bi xanh ở hộp thứ hai: có \(4.3.C_4^2\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 5.4.C_3^2 + 4.3.C_4^2\).

Xác suất để \(A\) xảy ra: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{5.4.C_3^2 + 4.3.C_4^2}}{{C_9^2.C_7^2}} = \frac{{11}}{{63}}\).

Chọn D.

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {x - 2m + 1} \) xác định trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Phương pháp

Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0

Lời giải

+ Hàm số xác định khi \(x - 2m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2m - 1\).

\( \Rightarrow \) tập xác định của hàm số \(D = \left[ {2m - 1; + \infty } \right)\).

+ Hàm số xác định trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) khi \(\left( {1; + \infty } \right) \subset \left[ {2m - 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2m - 1 \le 1 \Leftrightarrow m \le 1\).

Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm \(A(4; - 1);B( - 2;5).\) Viết phương trình đường tròn đường kính \(AB\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

+ Gọi \(I\) là trung điểm \(AB \Rightarrow I\left( {1;2} \right)\).

+ Đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {5 + 1} \right)}^2}} }}{2} = 3\sqrt 2 \) nên có phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 18\).

Câu 38. Một nhóm có 9 học sinh gồm 6 học sinh nam (trong đó có Hiệp) và 3 học sinh nữ. Xếp 9 học sinh đó thành một hàng ngang. Tính xác suất để Hiệp không đứng cạnh bạn nữ nào.

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 9!\).

Gọi A là biến cố: “Hiệp không đứng cạnh bạn nữ nào”.

Có 2 trường hợp:

* Trường hợp 1: Hiệp đứng đầu hoặc cuối hàng.

+ Xếp chỗ ngồi cho Hiệp, có 2 cách.

+ Chọn 3 chỗ từ 7 chỗ không kề với Hiệp và xếp cho 3 bạn nữ, có \(A_7^3\) cách.

+ Xếp chỗ ngồi cho 5 bạn nam còn lại, có \(5!\) cách.

Suy ra trường hợp 1 có: 2.\(A_7^3\). \(5!\) = 50400 cách xếp.

* Trường hợp 2: Hiệp không đứng đầu hoặc cuối hàng.

+ Xếp chỗ ngồi cho Hiệp, có 7 cách.

+ Chọn 3 chỗ từ 6 chỗ không kề với Hiệp và xếp cho 3 bạn nữ, có \(A_6^3\) cách.

+ Xếp chỗ ngồi cho 5 bạn nam còn lại, có \(5!\) cách.

Suy ra trường hợp 2 có 7.\(A_6^3\).\(5!\) = 100800 cách xếp.

Khi đó, ta có số phần tử biến cố A: \(n\left( A \right) = 50400 + 100800 = 151200\).

Vậy xác suất cần tính: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{12}}\).

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật \(ABCD\) biết \(BC\) có phương trình \(6x - 7y + 32 = 0\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BD\) là \(K\left( {1;3} \right)\) và đường thẳng \(BD\) đi qua điểm \(H\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(BD\) và tìm tọa độ điểm \(A\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) làm vecto pháp tuyến là : \(d:a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\)

Lời giải

+ Đường thẳng \(BD\) đi qua 2 điểm \(H,K\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow {HK} = \left( {2;\frac{1}{2}} \right)\) làm vectơ chỉ phương

\( \Rightarrow BD\) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4} \right)\) nên \(BD\) có phương trình \(x - 4y + 11 = 0\).

+ \(B = BC \cap BD \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 7y + 32 = 0\\x - 4y + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.\).

Suy ra \(B\left( { - 3;2} \right)\).

+ Đường thẳng \(AB\) vuông góc với \(BC\) nên \(AB\) có dạng \(7x + 6y + c = 0\).

\(AB\) đi qua điểm \(B\left( { - 3;2} \right)\) nên \(7\left( { - 3} \right) + 6.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 9\).

Vậy \(AB\) có phương trình\(7x + 6y + 9 = 0\)

+ Đường thẳng \(AK\) đi qua điểm \(K\) và vuông góc với \(BD\) nên có phương trình \(4x + y - 7 = 0\).

+ \(A = AB \cap AK \Rightarrow A\left( {3; - 5} \right)\).

---------- HẾT ----------

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1: Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}x + 1,\,\,khi\,\,x \ge 2\\2 - x,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\),Tính giá trị của hàm số tại \(3\).

A. 3. B. -1. C. 4. D. 1.

Câu 2: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị \(m\)nguyên để \(f(x) = {x^2} + (m + 1)x - m > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.

Câu 4: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 1} = 2x - 1\) bằng

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Câu 5: Viết phương trình đường thẳng \(d\) song song với \(d':x + 2y - 1 = 0\) và cách \(d'\) một khoảng bằng \(\sqrt 5 \).

A. \(x + 2y + 4 = 0\) hoặc \(x + 2y - 6 = 0\).

B. \(x + 2y + 4 = 0\).

C. \(x + 2y - 6 = 0\).

D. \(x + 2y + \sqrt 5 = 0\).

Câu 6: Viết phương trình đường thẳng \(d \bot d':x - y + 1 = 0\)và đi qua điểm \(A(1;\,\,2).\)

A. \(x + y - 3 = 0\).

B. \(x + y + 3 = 0\).

C. \( - x + y - 1 = 0\).

D. \( - x - y - 3 = 0\).

Câu 7: Viết phương trình đường tròn đường kính \(AB\), với \(A(1;\,3);\,\,B( - 2; - 1)\).

A. \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\).

B. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\)

C. \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\).

D. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\).

Câu 8: Cho tam giác \(ABC\)có \(A(2;0);\,\,B( - 1;0);\,\,C(1;2)\), viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

A. \({x^2} + {y^2} - x - y - 2 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - x - y + 2 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + x + y + 2 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + x - y - 2 = 0\).

Câu 9: Cho hai điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) cố định và một độ dài không đổi \(2a\) lớn hơn \({F_1}{F_2}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} - M{F_2} = 2a.\)

B. Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a.\)

C. Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} = M{F_2}.\)

D. Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = a.\)

Câu 10: Có 10 hộp sữa trong đó có 3 hộp bị hỏng. Chọn ngẫu nhiên 4 hộp, xác suất để lấy được 4 hộp mà không có hộp nào bị hỏng?

A. \(\frac{1}{6}\)

B. \(\frac{{41}}{{42}}\)

C. \(\frac{1}{{21}}\)

D. \(\frac{1}{{41}}\)

Câu 11: Một túi có 15 viên bi trong đó có 7 bi đỏ, 5 bi xanh và 3 bi vàng. Số cách chọn hai viên bi khác màu là

A. 105. B. 210. C. 71. D. 74.

Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ tập \(A = {\rm{\{ 0;1;2;5;7\} }}\)

A. 16 B. 20 C. 25 D. 26

Câu 13: Gieo 3 đồng xu cân đối đồng chất mô tả không gian mẫu của phép thử:

A. {NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS, NSS, SNN}.

B. {NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS}.

C. {NN, NS, SN, SS}.

D. {NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, NSS, SNN}.

Câu 14: Rút ra hai lá bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 lá. Xác suất để rút được ít nhất một lá ách (A) là bao nhiêu?

A. \(\frac{{33}}{{221}}\).

B. \(\frac{{32}}{{221}}\).

C. \(\frac{1}{{221}}\).

D. \(\frac{1}{{1326}}\).

Câu 15: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 10 bằng bao nhiêu?

A. \(\frac{5}{6}\).

B. \(\frac{1}{6}\).

C. \(\frac{1}{{36}}\).

D. \(\frac{7}{{36}}\).

Câu 16: Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là đồng biến trên \((a;b)\)nếu:

A. \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).

B. \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

C. \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \le f({x_2})\).

D. \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ge f({x_2})\).

Câu 17: Hoành độ đỉnh của Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\)có công thức:

A. \(\frac{{ - b}}{{2a}}\).

B. \(\frac{b}{{2a}}\).

C. \(\frac{{ - b}}{a}\).

D. \(\frac{b}{a}\).

Câu 18: Bạn An giải phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 4} = x - 2\) như sau:

Bước 1: Bình phương 2 vế ta có PT hệ quả: \( - {x^2} + 2x + 4 = {(x - 2)^2}\)

Bước 2: Thu gọn ta được PT: \( - 2{x^2} + 6x = 0\). Giải và tìm được \(x = 0\)hoặc \(x = 3\).

Bước 3: Kết luận tập nghiệm của PT là \(S = \left\{ {0;3} \right\}\)

Bài làm của bạn An đúng hay sai?

A. Đúng.

B. Sai từ Bước 1.

C. Sai từ Bước 2.

D. Sai từ Bước 3.

Câu 19: Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3.\)

B. \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow - 1 < x < 3.\)

C. \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow x > 3.\)

D. \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow x < - 1.\)

Câu 20: Một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(y = 3x - 2\)

A. \(\overrightarrow n = (3;1)\).

B. \(\overrightarrow n = (3; - 1)\).

C. \(\overrightarrow n = (3; - 2)\).

D. \(\overrightarrow n = (3;2)\).

Câu 21: Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M({x_0};{y_0})\)và có Véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b)\):

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} - bt}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + bt}\\{y = {y_0} + at}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} - bt}\\{y = {y_0} - at}\end{array}} \right.\).

Câu 22: Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\),Elip \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\)có độ dài tiêu cự:

A. \(2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

B. \(\sqrt {2{a^2} - {b^2}} \).

C. \(\sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

D. \(\sqrt {2{a^2} - 2{b^2}} \).

Câu 24: Xác định công thức đúng.

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).

C. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{(n - k)!k!}}\).

D. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{(n - k)!n!}}\)

Câu 25: Số tập hợp con của tập hợp có \(n\)phần tử

A. \({2^n}\). B. \(2n\). C. \({3^n}\). D. \(3n\).

Câu 26: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn vào một ghế dài 3 chỗ ngồi.

A. 6. B. 12. C. 9. D. 27.

Câu 27: Minh có 3 cái áo sơ mi và 5 cái quần. Số cách để minh phối một bộ đồ (gồm 1 áo và 1 quần) là:

A. 8. B. 15. C. 2. D. 45.

Câu 28: Gieo 1 con súc sắc 2 lần thì có thể có bao nhiêu kết quả xảy ra?

A. 36. B. 12. C. 6. D. 4.

Câu 29: Hệ số trong khai triển \({(a + b)^4}\)là:

A. 1;4;6;4;1.

B. 1;3;3;1.

C. 1;5;10;10;5;1.

D. 1;2;4;2;1.

Câu 30: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\).

A. \(I(1;1);\,\,R = 1.\)

B. \(I( - 1; - 1);\,\,R = 1.\)

C. \(I(1;1);\,\,R = 3.\)

D. \(I( - 1; - 1);\,\,R = - 1.\)

Câu 31: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình đường tròn

A. \({x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 3 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} + 2x + 2y + 3 = 0\).

C. \(2{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 3 = 0\).

D. \({x^2} - {y^2} + 2x + 2y - 3 = 0\).

Câu 32: Một hộp chứa 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ. Lấy ra hai viên bi. Tính xác suất để hai viên bi được lấy ra là hai bi đỏ.

A. \(\frac{1}{6}\).

B. \(\frac{4}{9}\).

C. \(\frac{5}{9}\).

D. \(\frac{5}{{18}}\).

Câu 33: Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn tròn

A. 10!. B. 9! C. 8!. D. 11!.

Câu 34: Trong thùng xăm có 25 xăm tốt, 15 xăm xấu; anh An rút một xăm. Tính xác suất để anh An rút được xăm tốt.

A. \(\frac{5}{8}\).

B. \(\frac{3}{8}\).

C. \(\frac{8}{5}\).

D. \(\frac{8}{3}\).

Câu 35: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\, - x + y + 1 = 0\) và \({d_2}:2\,x + 2y - 3 = 0.\) Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng

A. \(45^\circ .\)

B. \(60^\circ .\)

C. \(90^\circ .\)

D. \(30^\circ .\)

II. TỰ LUẬN(4câu - 3,0 điểm).

Câu 36: Giải phương trình sau \(\sqrt {2x + 2\sqrt {2x - 1} } = x + 1\)

Câu 37: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {1;\,2} \right),\,B( - 1;1)\)và đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm \(M \in d\) để \(AM + BM\) nhỏ nhất.

Câu 38: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A(2;1)\). Đường cao đi qua \(B\) có phương trình \(x - 3y - 7 = 0\), đường trung tuyến qua đỉnh \(C\)có phương trình \(x + y + 1 = 0\). Xác định tọa độ điểm \(B,\,C\).

Câu 39: Tìm \(m\) để \(f(x) = ({m^2} - 1){x^2} + (m - 1)x - 2m - 1 < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

---------- HẾT ----------

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1: Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}x + 1,\,\,khi\,\,x \ge 2\\2 - x,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\),Tính giá trị của hàm số tại \(3\).

A. 3. B. -1. C. 4. D. 1.

Phương pháp

- Thay x vào hàm số đã cho.

Lời giải

Vì \(x = 3 > 2\) nên giá trị của hàm số tại 3 bằng 4

Chọn C

Câu 2: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?

Phương pháp

Hình dáng của đồ thị bậc hai Parabol.

Lời giải

Vì \(a = 1 > 0\) nên bề lõm quay lên trên

Mặt khác hàm số có tọa độ đỉnh là \(I(2; - 2)\), khi \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)

Chọn C

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị \(m\)nguyên để \(f(x) = {x^2} + (m + 1)x - m > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.

Phương pháp

Sử dụng công thức dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

\(\begin{array}{l}f(x) = {x^2} + (m + 1)x - m > 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 4m < 0\\ \Leftrightarrow - 3 - 2\sqrt 2 < m < - 3 + 2\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy có 5 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

Câu 4: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 1} = 2x - 1\) bằng

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình rồi giải.

Lời giải

\(\sqrt {{x^2} + 2x + 1} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\{x^2} + 2x + 1 = 4{x^2} - 4x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\3{x^2} - 6x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\).

Tổng các nghiệm của phương trình là \(2\).

Chọn A

Câu 5: Viết phương trình đường thẳng \(d\) song song với \(d':x + 2y - 1 = 0\) và cách \(d'\) một khoảng bằng \(\sqrt 5 \).

A. \(x + 2y + 4 = 0\) hoặc \(x + 2y - 6 = 0\).

B. \(x + 2y + 4 = 0\).

C. \(x + 2y - 6 = 0\).

D. \(x + 2y + \sqrt 5 = 0\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

\(d\) song song với \(d'\) nên \(d:x + 2y + m = 0\).

\(A(1;0) \in d'\)

\(d(d,d') = d(A,d) = \frac{{\left| {1 + 2.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 5\\m + 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 6\end{array} \right..\)

Chọn A

Câu 6: Viết phương trình đường thẳng \(d \bot d':x - y + 1 = 0\)và đi qua điểm \(A(1;\,\,2).\)

A. \(x + y - 3 = 0\).

B. \(x + y + 3 = 0\).

C. \( - x + y - 1 = 0\).

D. \( - x - y - 3 = 0\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) làm vecto pháp tuyến là : \(d:a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\)

Lời giải

Vì \(d \bot d'\) nên \(d\) có dạng \(x + y + m = 0\)

Mặt khác \(A \in d\) nên \(1 + 2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 3\).

Chọn A

Câu 7: Viết phương trình đường tròn đường kính \(AB\), với \(A(1;\,3);\,\,B( - 2; - 1)\).

A. \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\).

B. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\)

C. \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\).

D. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 3; - 4) \Rightarrow AB = 5\).

Suy ra bán kính đường tròn đường kính \(AB\)là \(R = \frac{5}{2}\).

Tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\) là \(I\left( {\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\).

Phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\).

Chọn A

Câu 8: Cho tam giác \(ABC\)có \(A(2;0);\,\,B( - 1;0);\,\,C(1;2)\), viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

A. \({x^2} + {y^2} - x - y - 2 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - x - y + 2 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + x + y + 2 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + x - y - 2 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Phương trình đường tròn cần tìm có dạng \({x^2} + {y^2} + a.x + b.y + c = 0\)

Vì đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + c = - 4\\ - a + c = - 1\\a + 2b + c = - 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\\c = - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm có dạng \({x^2} + {y^2} - x - y - 2 = 0\)

Chọn A

Câu 9: Cho hai điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) cố định và một độ dài không đổi \(2a\) lớn hơn \({F_1}{F_2}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} - M{F_2} = 2a.\)

B. Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a.\)

C. Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} = M{F_2}.\)

D. Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = a.\)

Phương pháp

Định nghĩa của Elip

Lời giải

Chọn B

Elip là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a.\)

Câu 10: Có 10 hộp sữa trong đó có 3 hộp bị hỏng. Chọn ngẫu nhiên 4 hộp, xác suất để lấy được 4 hộp mà không có hộp nào bị hỏng?

A. \(\frac{1}{6}\)

B. \(\frac{{41}}{{42}}\)

C. \(\frac{1}{{21}}\)

D. \(\frac{1}{{41}}\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = C_{10}^4 = 210\).

Gọi A là biến cố chọn 4 hộp mà không có hộp nào hỏng

Số phần tử của biến cố A là \(n(A) = C_7^4 = 35\).

Xác suất để lấy được 4 hộp mà không có hộp nào hỏng là \(P = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{35}}{{210}} = \frac{1}{6}\)

Chọn A

Câu 11: Một túi có 15 viên bi trong đó có 7 bi đỏ, 5 bi xanh và 3 bi vàng. Số cách chọn hai viên bi khác màu là

A. 105. B. 210. C. 71. D. 74.

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải.

Chọn hai viên bi khác màu ta sẽ có các trường hợp sau

TH 1: 1 bi đỏ; 1 bi xanh

Chọn một bi đỏ, một viên bi xanh có \(C_7^1.C_5^1 = 35\) cách chọn

TH 2: 1 bi đỏ; 1 bi vàng

Chọn một bi đỏ, một viên bi vàng có \(C_7^1.C_3^1 = 21\) cách chọn

TH 3: 1 bi xanh; 1 bi vàng

Chọn một bi đỏ, một viên bi vàng có \(C_5^1.C_3^1 = 15\) cách chọn

Vậy để chọn 2 viên bi trong 15 viên bi khác màu là:\(35 + 21 + 15 = 71\).

Chọn C

Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ tập \(A = {\rm{\{ 0;1;2;5;7\} }}\)

A. 16 B. 20 C. 25 D. 26.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng \(\overline {ab} \)

Chọn \(a\) có bốn cách chọn

Chọn \(b\) có bốn cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân ta có 4.4=16 số tự nhiên cần tìm.

Chọn A

Câu 13: Gieo 3 đồng xu cân đối đồng chất mô tả không gian mẫu của phép thử:

A. {NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS, NSS, SNN}.

B. {NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS}.

C. {NN, NS, SN, SS}.

D. {NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, NSS, SNN}.

Phương pháp

Áp dụng Một đồng xu có hai mặt, mỗi lần gieo như vậy có hai khả năng xuất hiện hoặc sấp, hoặc ngửa.

Lời giải

Một đồng xu có hai mặt, mỗi lần gieo như vậy có hai khả năng xuất hiện hoặc sấp, hoặc ngửa.

Chọn A

Câu 14: Rút ra hai lá bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 lá. Xác suất để rút được ít nhất một lá ách (A) là bao nhiêu?

A. \(\frac{{33}}{{221}}\).

B. \(\frac{{32}}{{221}}\).

C. \(\frac{1}{{221}}\).

D. \(\frac{1}{{1326}}\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải:

Số cách rút ra hai lá bài trong cỗ bài tú lơ khơ 52 lá là \(C_{52}^2 = 1326\)

Gọi A là biến cố rút ra hai lá được ít nhất một lá ách

Số phần tử của biến cố là: \(4.C_{48}^1 + C_4^2 = 192 + 6 = 198\)

Xác suất của biến cố A là \(P = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{198}}{{1326}} = \frac{{33}}{{221}}\)

Chọn A

Câu 15: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 10 bằng bao nhiêu?

A. \(\frac{5}{6}\).

B. \(\frac{1}{6}\).

C. \(\frac{1}{{36}}\).

D. \(\frac{7}{{36}}\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải:

Gieo con súc sắc cân đối đồng chất hai lần số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 36\).

Gọi A là biến cố gieo con súc sắc mà tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 10.

Suy ra \(\overline A \) là biến cố gieo con súc sắc mà tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10.

Suy ra \(n\left( {\overline A } \right) = 1.1 + 1.2 + 1.3 = 6\)

Vậy \(P(A) = 1 - \frac{6}{{36}} = \frac{5}{6}\)

Chọn A

Câu 16: Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là đồng biến trên \((a;b)\)nếu:

A. \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).

B. \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

C. \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \le f({x_2})\).

D. \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ge f({x_2})\).

Phương pháp

Dựa vào định nghĩa đồng biến của hàm số.

Lời giải

Chọn A

\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b):{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Câu 17: Hoành độ đỉnh của Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\)có công thức:

A. \(\frac{{ - b}}{{2a}}\).

B. \(\frac{b}{{2a}}\).

C. \(\frac{{ - b}}{a}\).

D. \(\frac{b}{a}\).

Phương pháp

Theo công thức tọa độ đỉnh của (P)

Lời giải

Chọn A

Hoành độ đỉnh của Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\)có công thức: \(\frac{{ - b}}{{2a}}\).

Câu 18: Bạn An giải phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 4} = x - 2\) như sau:

Bước 1: Bình phương 2 vế ta có PT hệ quả: \( - {x^2} + 2x + 4 = {(x - 2)^2}\)

Bước 2: Thu gọn ta được PT: \( - 2{x^2} + 6x = 0\). Giải và tìm được \(x = 0\)hoặc \(x = 3\).

Bước 3: Kết luận tập nghiệm của PT là \(S = \left\{ {0;3} \right\}\)

Bài làm của bạn An đúng hay sai?

A. Đúng.

B. Sai từ Bước 1.

C. Sai từ Bước 2.

D. Sai từ Bước 3.

Phương pháp

Giải phương trình đưa được về phương trình bậc hai.

Lời giải

Khi biến đổi phương trình hệ quả hay bình phương hai vế ta cần thử lại nghiệm

Chọn D

Câu 19: Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3.\)

B. \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow - 1 < x < 3.\)

C. \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow x > 3.\)

D. \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow x < - 1.\)

Phương pháp

Sử dụng quy tắc dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Chọn A

\(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3.\)

Câu 20: Một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(y = 3x - 2\)

A. \(\overrightarrow n = (3;1)\).

B. \(\overrightarrow n = (3; - 1)\).

C. \(\overrightarrow n = (3; - 2)\).

D. \(\overrightarrow n = (3;2)\).

Phương pháp

Vecto pháp tuyến của đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\)

Lời giải

\(y = 3x - 2 \Leftrightarrow 3x - y - 2 = 0\)

Vậy vecto pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow n (3; - 1)\)

Chọn B

Câu 21: Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M({x_0};{y_0})\)và có Véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b)\):

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} - bt}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + bt}\\{y = {y_0} + at}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} - bt}\\{y = {y_0} - at}\end{array}} \right.\).

Phương pháp

Theo định nghĩa phương trình tham số đường thẳng

Lời giải

Chọn A

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M({x_0};{y_0})\)và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b)\)

là :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.\)

Câu 22: Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải

Chọn C

Có 3 vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng

Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\),Elip \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\)có độ dài tiêu cự:

A. \(2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

B. \(\sqrt {2{a^2} - {b^2}} \).

C. \(\sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

D. \(\sqrt {2{a^2} - 2{b^2}} \).

Phương pháp

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\),Elip \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\)có độ dài tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Lời giải

Độ dài tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Chọn A

Câu 24: Xác định công thức đúng.

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).

C. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{(n - k)!k!}}\).

D. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{(n - k)!n!}}\)

Phương pháp

Theo định nghĩa chỉnh hợp

Lời giải

Chọn A

\(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\)

Câu 25: Số tập hợp con của tập hợp có \(n\)phần tử

A. \({2^n}\). B. \(2n\). C. \({3^n}\). D. \(3n\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải

Chọn A.\({2^n}\)

Câu 26: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn vào một ghế dài 3 chỗ ngồi.

A. 6. B. 12. C. 9. D. 27.

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Xếp bạn vào một ghế dài có 3!=6 cách xếp

Chọn A

Câu 27: Minh có 3 cái áo sơ mi và 5 cái quần. Số cách để minh phối một bộ đồ (gồm 1 áo và 1 quần) là:

A. 8. B. 15. C. 2. D. 45.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn 1 cái áo trong 3 áo có 3 cách chọn

Chọn 1 cái quần trong 5 quần có 5 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân ta có 3.5=15 cách chọn một bộ quần áo.

Chọn B

Câu 28: Gieo 1 con súc sắc 2 lần thì có thể có bao nhiêu kết quả xảy ra?

A. 36. B. 12. C. 6. D. 4.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Một lần gieo con súc sắc có 6 khả năng xảy ra

Nên gieo hai lần có 6.6=36 kết quả xảy ra

Chọn A

Câu 29: Hệ số trong khai triển \({(a + b)^4}\)là:

A. 1;4;6;4;1. B. 1;3;3;1. C. 1;5;10;10;5;1. D. 1;2;4;2;1.

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Ta có \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)

Chọn A

Câu 30: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\).

A. \(I(1;1);\,\,R = 1.\)

B. \(I( - 1; - 1);\,\,R = 1.\)

C. \(I(1;1);\,\,R = 3.\)

D. \(I( - 1; - 1);\,\,R = - 1.\)

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Tâm \(I(1;1)\), bán kính \(R = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} - 1} = 1\).

Chọn A

Câu 31: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình đường tròn

A. \({x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 3 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} + 2x + 2y + 3 = 0\).

C. \(2{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 3 = 0\).

D. \({x^2} - {y^2} + 2x + 2y - 3 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Đáp án A \({( - 1)^2} + {( - 1)^2} + 3 > 0\)

Đáp án C và D không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \({x^2};\,\,\,{y^2}\) khác nhau.

Đáp B không phải là phương trình đường tròn vì \({( - 1)^2} + {( - 1)^2} - 3 < 0\)

Chọn A

Câu 32: Một hộp chứa 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ. Lấy ra hai viên bi. Tính xác suất để hai viên bi được lấy ra là hai bi đỏ.

A. \(\frac{1}{6}\).

B. \(\frac{4}{9}\).

C. \(\frac{5}{9}\).

D. \(\frac{5}{{18}}\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = C_9^2\)

Gọi A là biến cố lấy ra hai bi đều màu đỏ, số phần tử của biến cố A là \(n(A) = C_4^2\)

Xác suất của biến cố A là \(P = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{6}\)

Chọn A

Câu 33: Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn tròn

A. 10!. B. 9! C. 8!. D. 11!

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Vì đây là bàn tròn nên ta không phân biệt đâu là chỗ ngồi đầu

Xếp người đầu tiên vào một chỗ để làm mốc

Xếp 9 người còn lại vào 9 chỗ ngồi ta có 9! Cách xếp

Chọn B

Câu 34: Trong thùng xăm có 25 xăm tốt, 15 xăm xấu; anh An rút một xăm. Tính xác suất để anh An rút được xăm tốt.

A. \(\frac{5}{8}\).

B. \(\frac{3}{8}\).

C. \(\frac{8}{5}\).

D. \(\frac{8}{3}\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 40\).

Gọi A là biến cố rút ra được xăm tốt, số phần tử của biến cố A là \(n(A) = 25\)

Xác suất của biến cố A là \(P = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8}\)

Chọn A

Câu 35: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\, - x + y + 1 = 0\) và \({d_2}:2\,x + 2y - 3 = 0.\) Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng

A. \(45^\circ .\)

B. \(60^\circ .\)

C. \(90^\circ .\)

D. \(30^\circ .\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có: \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Lời giải

Ta có vectơ pháp tuyến của \({d_1}\); \({d_2}\) lần lượt là\(\overrightarrow n ( - 1;1);\,\,\overrightarrow {n'} (2;2)\)

Ta có \(\overrightarrow n .\,\,\overrightarrow {n'} = - 1.2 + 1.2 = 0\)

Suy ra \({d_1} \bot {d_2}\) hay góc giữa hai đường thẳng bằng \({90^0}\)

Chọn C

II. TỰ LUẬN(4câu - 3,0 điểm).

Câu 36: Giải phương trình sau \(\sqrt {2x + 2\sqrt {2x - 1} } = x + 1\)

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình để đưa về dạng phương trình bậc hai

Lời giải

Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}\)

\(\sqrt {2x + 2\sqrt {2x - 1} } = x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{(\sqrt {2x - 1} + 1)}^2}} = x + 1 \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1} = x\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 1\} \)

Câu 37: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {1;\,2} \right),\,B( - 1;1)\)và đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm \(M \in d\) để \(AM + BM\) nhỏ nhất.

Phương pháp

Vẽ hình

Lời giải

Đặt \(f(x,y) = x - y + 3\)

Vì \(f(1;2).f( - 1;1) > 0\) nên hai điểm \(A,\,B\)nằm về cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Gọi \(B'\) đối xứng với \(B\) qua d suy ra tọa độ của \(B'\)(2; 2)

Suy ra \(AM + BM = AM + B'M \ge AB'\)

Nên \(AM + BM\) nhỏ nhất khi \(A,\,M,\,B'\)thẳng hàng hay M là giao điểm của \(d\,\)và \(AB'\)

Suy ra M có tọa độ là \(( - 1;\,2)\).

Câu 38: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A(2;1)\). Đường cao đi qua \(B\) có phương trình \(x - 3y - 7 = 0\), đường trung tuyến qua đỉnh \(C\)có phương trình \(x + y + 1 = 0\). Xác định tọa độ điểm \(B,\,C\).

Phương pháp

Toa độ C là giao điểm của đương thẳng AC và đường trung tuyến đi qua đỉnh C.

Tọa độ B tìm thông qua trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Lời giải

Phương trình đường thẳng AC có dạng \(3x + y - 7 = 0\)

Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\3x + y - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 5\end{array} \right.\)

Gọi \(I(a; - a - 1)\) là tọa độ trung điểm của AB

Suy ra tọa độ \(B(2a - 2; - 2a - 1)\) hay \(2a - 2 + 6a + 3 - 7 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow B\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\).

Câu 39: Tìm \(m\) để \(f(x) = ({m^2} - 1){x^2} + (m - 1)x - 2m - 1 < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

TH 1: \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\)

Khi \(m = 1\) thì \(f(x) = - 2.1 - 1 = - 3 < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Khi \(m = - 1\) thì \(f(x) = - 2.x + 1 < 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)

TH 2: \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}f(x) = ({m^2} - 1){x^2} + (m - 1)x - 2m - 1 < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\\Delta = {(m - 1)^2} - 4.({m^2} - 1)( - 2m - 1) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\m - 1 + 8{m^2} + 4m + 8m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\8{m^2} + 13m + 3 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\\frac{{ - 13 - \sqrt {73} }}{{16}} < m < \frac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}}\end{array}\)

Vậy \(m \in \left( { - 1;\frac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}}} \right) \cup \left\{ 1 \right\}\) thì \(f(x) = ({m^2} - 1){x^2} + (m - 1)x - 2m - 1 < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

………. HẾT……….

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 3 - Kết nối tri thức

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1: Cho hàm số có tập xác định là và đồ thị của nó được biểu diễn bởi hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng và .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng và .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 2: Tập xác định của hàm số là

A. .

B. .

C. .

D.

Câu 3: Cho hàm số bậc hai có đồ thị , đỉnh của được xác định bởi công thức nào?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 4: Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 5: Cho tam thức . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. với mọi x thuộc khi .

B. với mọi x thuộc khi .

C. với mọi x thuộc khi .

D. với mọi x thuộc khi .

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 7: Giá trị là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 8: Tập nghiệm của phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 10: Phuong trình tổng quát đường thẳng đi qua A(1; 3) có vectơ pháp tuyến có dạng:

A.

B.

C.

D.

Câu 11: Cho 2 điểm ,. Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng

A. 3. B. . C. 5. D. .

Câu 13: Cho và . Vị trí của và d là:

A. Song song với nhau.

B. Trùng nhau

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Câu 14: Góc giữa hai đường thẳng và là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ , phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 16: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

A. Tâm bán kính .

B. Tâm bán kính .

C. Tâm bán kính .

D. Tâm bán kính .

Câu 17: Cho phương trình . Điều kiện của để là phương trình của đường tròn.

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường tròn có tâm và bán kính . Viết phương trình của đường tròn (C).

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 19: Parbol có tiêu điểm là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 20: Phương trình chính tắc của e líp có độ dài trục lớn bằng , trục nhỏ bằng là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 21: Bình có 4 cây bút chì khác nhau và 5 cây bút mực khác nhau. Bình cần chọn một cây bút để tặng bạn, hỏi Bình có bao nhiêu cách chọn?

A. B. C. D.

Câu 22: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm món ăn trong món, loại quả tráng miệng trong loại quả tráng miệng và một nước uống trong loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn.

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau:

A. B. . C. . D. .

Câu 24: Cho hai số tự nhiên thỏa . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 25: Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn thành một hàng dọc?

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Tổ 1 của lớp 10A có 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn 7 em đi lao động, trong đó có 4 nam và 3 nữ. Hỏi cô giáo chủ nhiệm có tất cả bao nhiêu cách chọn?

A. B. C. D.

Câu 27: Có 5 quyển sách khác nhau gồm 3 quyển sách Văn và 2 quyển sách Toán. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách trên lên kệ sách dài (xếp hàng ngang) sao cho tất cả quyển sách cùng môn phải đứng cạnh nhau?

A. 12 cách. B. 24 cách. C. 120 cách. D. 16 cách.

Câu 28: Cho hai đường thẳng song song và . Trên đường thẳng có 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng có 7 điểm phân biệt. Tính số tam giác có 3 đỉnh lấy từ các điểm trên hai đường thẳng và .

A. 175 tam giác. B. 220 tam giác. C. 45 tam giác. D. 350 tam giác.

Câu 29: Khai triển nhị thức . Ta được kết quả là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 30: Gieo 3 đồng tiền là một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là:

A. {NN, NS, SN, SS}

B. .{NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS}

C. .{NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS, NSS,SNN}

D. .{NNN, SSS, NNS, SSN, NSS, SNN}

Câu 31: Cho A là một biến cố liên quan phép thử T. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. là số lớn hơn 0.

B. .

C. .

D. là số nhỏ hơn 1.

Câu 32: Gieo một đồng tiền liên tiếp lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 8.

Câu 33: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2 B. 0,3. C. 0,4 D. 0,5.

Câu 34: Một hộp đựng bi xanh và bi đỏ, lần lượt rút viên bi. Xác suất để rút được một bi xanh và 1 bi đỏ là:

A.

B.

C. .

D. .

Câu 35: Có hai hộp bi, hộp thứ nhất có 4 bi đỏ và 3 bi trắng, hộp thứ hai có 2 bi đỏ và 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu.

A. .

B. .

C. .

D. .

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 37: Tìm để bất phương trình vô nghiệm.

Câu 38: Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có tọa độ ( 163,0) . Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10,43).

Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Câu 39: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm , và đường thẳng .

a. Viết phương trình chính tắc của Elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn bằng 6 và có một tiêu điểm là A.

b. Gọi (C) là đường tròn đường kính AB; tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho qua M vẽ được

hai tiếp tuyến MP, MQ đến (C) (P,Q là hai tiếp điểm) mà đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất.

---------- HẾT ----------

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1: Cho hàm số có tập xác định là và đồ thị của nó dược biểu diễn bởi hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng và .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng và .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Phương pháp

- Hàm số có chiều đi lên từ trái sang phải là đồng biến.

- Hàm số có chiều đi xuống từ trái sang phải là nghịch biến.

Lời giải

Chọn B

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng và .

Câu 2: Tập xác định của hàm số là

A. .

B. .

C. .

D.

Phương pháp

- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0.

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định khi . Vậy tập xác định của hàm số là

Câu 3: Cho hàm số bậc hai có đồ thị , đỉnh của được xác định bởi công thức nào?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Tọa độ đỉnh của (P): là

Lời giải

Chọn A

Tọa độ đỉnh của (P): là

Câu 4: Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Hình dáng của đồ thị bậc hai Parabol.

Lời giải

Chọn B

Đây là đồ thị của hàm số bậc hai nên loại đáp án D

Bề lõm quay lên tức nên loại đáp án C

Đồ thị có trục đối xứng là nên ta chọn hàm số

Câu 5: Cho tam thức . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. với mọi x thuộc khi .

B. với mọi x thuộc khi .

C. với mọi x thuộc khi .

D. với mọi x thuộc khi .

Phương pháp

Sử dụng quy tắc dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Chọn D

với mọi x thuộc khi .

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Sử dụng quy tắc dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Chọn B

Tam thức có hai nghiệm , hệ số . Do đó tập nghiệm của bất phương trình là .

Câu 7: Giá trị là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Thử giá trị của x vào phương trình trong các đáp án.

Lời giải

Chọn C

Ta thay vào pt có:

Câu 8: Tập nghiệm của phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Thử các giá trị của x trong đáp án vào phương trình.

Lời giải

Chọn A

Cách 2: thử đáp án.

Thay vào phương trình ta được (sai).

Thay vào phương trình ta được (đúng).

Vậy là nghiệm của phương trình.

Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Vecto pháp tuyến của đường thẳng là

Lời giải

Chọn C

Câu 10: Phuong trình tổng quát đường thẳng đi qua A(1; 3) có vectơ pháp tuyến có dạng:

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vecto pháp tuyến là :

Lời giải

Chọn C

Phương trình đường thẳng đi qua A(1; 3)và có vtpt

Câu 11: Cho 2 điểm ,. Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng .

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vecto pháp tuyến là :

Lời giải

Chọn D

Ta có

Gọi là trung điểm . Tọa độ điểm .

Đường trung trực của đoạn thẳng đi qua và nhận là vectơ pháp tuyến nên phương trình đường trung trực của đoạn thẳng có dạng: .

Câu 12: Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:

Lời giải

Chọn A

Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng bằng

Câu 13: Cho và . Vị trí của và d là:

A. Song song với nhau.

B. Trùng nhau

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải

Chọn D

Ta có d cắt . Mặt khác ta có

. Vậy cắt d và không vuông góc với nhau.

Câu 14: Góc giữa hai đường thẳng và là:

A. . B. . C. . D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có: .

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là: ;

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là: .

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:

. Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng .

Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ , phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Chọn B

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của và phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.

Ta có: vô lý.

Ta có: là phương trình đường tròn tâm , bán kính .

Câu 16: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

A. Tâm bán kính .

B. Tâm bán kính .

C. Tâm bán kính .

D. Tâm bán kính .

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Chọn A

Câu 17: Cho phương trình . Điều kiện của để là phương trình của đường tròn.

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Chọn B

là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi .

Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường tròn có tâm và bán kính . Viết phương trình của đường tròn (C).

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Chọn D

Câu 19: Parbol có tiêu điểm là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Phương trình chính tắc của parabol:

Tiêu điểm của parabol là

Lời giải

Chọn A

Từ phương trình chính tắc của parabol: ta có .

Tiêu điểm của parabol là

Câu 20: Phương trình chính tắc của e líp có độ dài trục lớn bằng , trục nhỏ bằng là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Phương trình Elip

Lời giải

Chọn D

Theo bài ra ta có độ dài trục lớn

Độ dài trục nhỏ

Vậy phương trình chính tắc của e líp là

Câu 21: Bình có 4 cây bút chì khác nhau và 5 cây bút mực khác nhau. Bình cần chọn một cây bút để tặng bạn, hỏi Bình có bao nhiêu cách chọn?

A. B. C. D.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải

Chọn C

Theo quy tắc cộng ta có:

Câu 22: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm món ăn trong món, loại quả tráng miệng trong loại quả tráng miệng và một nước uống trong loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn.

A. . B. . C. . D. .

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn B

Theo quy tắc nhân ta có: cách chọn thực đơn.

Câu 23: Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau:

A. B. . C. . D. .

Phương pháp

Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải

Chọn D

TH1: số có chữ số thì có cách.

TH2: số có chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì cósố.

TH3: số có chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì cósố

Vậy cósố.

Câu 24: Cho hai số tự nhiên thỏa . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp :

Lời giải

Chọn C

Ta có

Câu 25: Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn thành một hàng dọc?

A. . B. . C. . D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn D

Mỗi cách xếp là một hoán vị. Số cách xếp là

Câu 26: Tổ 1 của lớp 10A có 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn 7 em đi lao động, trong đó có 4 nam và 3 nữ. Hỏi cô giáo chủ nhiệm có tất cả bao nhiêu cách chọn?

A. B. C. D.

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn D

Số cách chọn:

Câu 27: Có 5 quyển sách khác nhau gồm 3 quyển sách Văn và 2 quyển sách Toán. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách trên lên kệ sách dài (xếp hàng ngang) sao cho tất cả quyển sách cùng môn phải đứng cạnh nhau?

A. 12 cách. B. 24 cách. C. 120 cách. D. 16 cách.

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn B

Các quyển sách cùng môn ta xếp chung một nhóm

Có 2 cách xếp hai nhóm môn Toán và văn

Có cách xếp sách Văn

Có cách xếp sách Toán

Vậy có cách xếp sao cho tất cả quyển sách cùng môn phải đứng cạnh nhau

Câu 28: Cho hai đường thẳng song song và . Trên đường thẳng có 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng có 7 điểm phân biệt. Tính số tam giác có 3 đỉnh lấy từ các điểm trên hai đường thẳng và .

A. 175 tam giác. B. 220 tam giác. C. 45 tam giác. D. 350 tam giác.

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn B

TH1: Chọn một trên đường thẳng và hai điểm trên đường thẳng có:Tam giác

TH1: Chọn hai trên đường thẳng và một điểm trên đường thẳng có:Tam giác

Vậy có tam giác

Câu 29: Khai triển nhị thức . Ta được kết quả là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Chọn B

Câu 30: Gieo 3 đồng tiền là một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là:

A. {NN, NS, SN, SS}

B. .{NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS}

C. .{NNN, SSS, NNS, SSN, NSN, SNS, NSS,SNN}

D. .{NNN, SSS, NNS, SSN, NSS, SNN}

Phương pháp

Quy tắc đếm trong xác suất

Lời giải

Chọn C

Ta có

Câu 31: Cho A là một biến cố liên quan phép thử T. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. là số lớn hơn 0.

B. .

C. .

D. là số nhỏ hơn 1.

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn B

Câu 32: Gieo một đồng tiền liên tiếp lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 8.

Phương pháp

Quy tắc đếm trong xác suất

Lời giải

Chọn C

Câu 33: Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2. B. 0,3. C. 0,4. D. 0,5.

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu:

Biến cố xuất hiện mặt chẵn:

Suy ra .

Câu 34: Một hộp đựng bi xanh và bi đỏ, lần lượt rút viên bi. Xác suất để rút được một bi xanh và 1 bi đỏ là:

A.

B.

C. .

D. .

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn D

Phép thử: Rút lần lượt hai viên bi

Ta có: Biến cố : Rút được một bi xanh, một bi đỏ

Câu 35: Có hai hộp bi, hộp thứ nhất có 4 bi đỏ và 3 bi trắng, hộp thứ hai có 2 bi đỏ và 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu.

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn C

Phép thử: Rút mỗi hộp một viên bi

Ta có

Biến cố : Rút được hai viên bi cùng mẫu

TH1: Hai viên màu đỏ có cách

TH2: Hai viên màu trắng có cách

.

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36: Tìm để bất phương trình vô nghiệm.

Phương pháp

Dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Bất phương trình vô nghiệm khi

Vậy .

Câu 37: Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có tọa độ ( 163,0) . Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10,43).

Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Phương pháp

Hình dáng của đồ thị bậc hai

Lời giải

Từ đồ thị ta thấy các điểm thuộc đồ thị là:

Gọi hàm số là

Thay tọa độ các điểm vào ta được hệ:

Từ đó ta có

Hoành độ đỉnh của đồ thị là:

Khi đó: (m)

Vậy chiều cao của cổng là 186m.

Câu 38: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm , và đường thẳng .

a. Viết phương trình chính tắc của Elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn bằng 6 và có một tiêu điểm là A.

b. Gọi (C) là đường tròn đường kính AB; tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho qua M vẽ được

hai tiếp tuyến MP, MQ đến (C) (P,Q là hai tiếp điểm) mà đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất.

Phương pháp

Phương trình Elip

Lời giải

a. phương trình chính tắc của elip (E) có dạng

+ (E) có độ dài trục lớn bằng 6 nên a=3.

+ (E) có một tiêu điểm là nên c=2.

.

Suy ra phương trình chính tắc của elip (E) là

b.

+ Đường tròn (C) có tâm I(0;1), bán kính

.

+ nên (C) và d không có điểm chung.

+ Gọi H là trung điểm của PQ. Suy ra PQ có độ dài nhỏ nhất khi PH có độ dài nhỏ nhất.

+ . Suy ra PH có độ dài nhỏ nhất khi PM có độ dài nhỏ nhất.

+ . Suy ra PM có độ dài nhỏ nhất khi IM có độ dài nhỏ nhất.

+ IM có độ dài nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên d.

+ Xác định được điểm .

---------- HẾT ----------

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 4 - Kết nối tri thức

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Câu 2: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 1;khi{\rm{ }}x \le 1{\rm{ }}\\ - x + 2{\rm{ }};khi{\rm{ }}x > 1\end{array} \right.\). Tính \(f\left( { - 2} \right)\).

A. \( - 1\). B. \(4\). C. \( - 7\). D. \(0\).

Câu 3: Cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = 3{x^2} - 2x + 4\). Tìm trục đối xứng của parabol.

A. \(x = - \frac{2}{3}\). B. \(x = - \frac{1}{3}\). C. \(x = \frac{2}{3}\). D. \(x = \frac{1}{3}\).

Câu 4: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

A. \(y = - {x^2} + 2x - 3\). B. \(y = - {x^2} + 4x - 3\).

C. \(y = {x^2} - 4x + 3\). D. \(y = {x^2} - 2x - 3\).

Câu 5: Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right),\) \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Ta có \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)khi và chỉ khi:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm

A. \( - 4 \le m \le 4\).

B. \(m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\).

C. \(m \le - 2\;\;hay\;\;m \ge 2\).

D. \( - 2 \le m \le 2\).

Câu 7: Số nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) là

A. \(0\). B. \(1\). B. \(2\). D. \(3\).

Câu 8: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \) là

A. \(3\). B. \( - 3\). C. \( - 2\). D. \(1\).

Câu 9: Cho đường thẳng \(\left( d \right):3x + 2y - 10 = 0\). Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của \(\left( d \right)\)?

A. \(\overrightarrow u = \left( {3\,;\,2} \right)\).

B. \(\overrightarrow u = \left( {3\,;\, - 2} \right)\).

C. \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\, - 3} \right)\).

D. \(\overrightarrow u = \left( { - 2\,;\, - 3} \right)\).

Câu 10: Trong hệ trục \(Oxy\), đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d':x + y - 1 = 0\) có phương trình là

A. \(x + y - 1 = 0\). B. \(x - y = 0\). C. \( - x + y - 1 = 0\). D. \(x + y - 2 = 0\).

Câu 11: Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A\left( {1; - 4} \right)\) và \(B\left( {5;2} \right)\) có phương trình là:

A. \(2x + 3y - 3 = 0.\) B. \(3x + 2y + 1 = 0.\) C. \(3x - y + 4 = 0.\) D. \(x + y - 1 = 0.\)

Câu 12: Góc giữa hai đường thẳng \(a:\,\sqrt 3 x - y + 7 = 0\) và \(b:x - \sqrt 3 y - 1 = 0\)là:

A. \(30^\circ \). B. \(90^\circ \). C. \(60^\circ \). D. \(45^\circ \).

Câu 13: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng \(\Delta :3x + y + 4 = 0\) bằng:

A. \(2\sqrt {10} \).

B. \(\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\).

C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).

D. \(2\).

Câu 14: Cho hai đường thẳng \(\;{d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \(\;{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 22 + 2t}\\{y = 55 + 5t}\end{array}} \right.\). Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho.

A. \(\left( {2;5} \right).\)

B. \(\left( {10;25} \right).\)

C. \(\left( { - 1;7} \right).\)

D. \(\left( {5;2} \right).\)

Câu 15: Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9.\)

A. Tâm \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 3\).

B. Tâm \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 9\).

C. Tâm \(I\left( {1; - 2} \right),\) bán kính \(R = 3\).

D. Tâm \(I\left( {1; - 2} \right),\) bán kính \(R = 9\).

Câu 16: Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\).

D. \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).

Câu 17: Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\), \(B\left( {5;3} \right)\) và có tâm \(I\) thuộc trục hoành có phương trình là

A. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).

B. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).

C. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).

D. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).

Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình của đường tròn có tâm là gốc tọa độ \(O\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \): \(x + y - 2 = 0\) là

A. \({x^2} + {y^2} = 2\).

B. \({x^2} + {y^2} = \sqrt 2 \).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \sqrt 2 \).

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2\).

Câu 19: Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có độ dài trục lớn bằng

A. \(5\). B. \(10\). C. \(25\). D. \(50\).

Câu 20: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {2;\,\sqrt 3 } \right)\) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

A. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

B. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).

C. \(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

D. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Câu 21: Một người có \(4\) cái quần khác nhau, \(6\) cái áo khác nhau, \(3\)chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là:

A. \(13.\) B. \(72.\) C. \(12.\) D. \(30.\)

Câu 22: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

A. 9. B. 10. C. 18. D. 24.

Câu 23: Từ các chữ số \(1,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7\) có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có \(4\) chữ số?

A. \(324.\) B. \(256.\) C. \(248.\) D. \(124.\)

Câu 24: Từ các chữ số \(1\); \(2\); \(3\); \(4\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau?

A. \(12\). B. \(24\). C. \(42\). D. \({4^4}\).

Câu 25: Cần chọn \(3\) người đi công tác từ một tổ có \(30\) người, khi đó số cách chọn là

A. \(A_{30}^3\). B. \({3^{30}}\). C. \(10\). D. \(C_{30}^3\).

Câu 26: Số véctơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu, điểm cuối là hai trong \(6\) đỉnh của lục giác \(ABCDEF\) là

A. \({P_6}.\) B. \(C_6^2.\) C. \(A_6^2.\) D. \(36.\)

Câu 27: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải?

A. \(3766437.\) B. \(3764637.\) C. \(3764367.\) D. \(3764376.\)

Câu 28: Cho tập \(A = \left\{ {0,1,{\rm{ }}2,{\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}9} \right\}.\) Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập \(A\) là?

A. \(30420.\) B. \(27162.\) C. \(27216.\) D. \(30240.\)

Câu 29: Số số hạng trong khai triển \({\left( {x + 2} \right)^{50}}\) là

A. \(49\). B. \(50\). C. \(52\). D. \(51\).

Câu 30: Gieo một đồng tiền liên tiếp \(3\) lần thì \(n(\Omega )\) là bao nhiêu?

A. \(4\). B. \(6\). C. \(8\). D. \(16\).

Câu 31: Rút ra một lá bài từ bộ bài \(52\) lá. Xác suất để được lá bích là:

A. \(\frac{1}{{13}}\) B. \(\frac{1}{4}\) C. \(\frac{{12}}{{13}}\) D. \(\frac{3}{4}\)

Câu 32: Cho \(A\) và \(\overline A \) là hai biến cố đối nhau. Chọn câu đúng.

A. \(P\left( A \right) = 1 + P\left( {\overline A } \right)\)

B. \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right)\)

C. \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)

D. \(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 0\)

Câu 33: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng \(11\) là:

A. \(\frac{1}{{18}}\)

B. \(\frac{1}{6}\)

C. \(\frac{1}{8}\)

D. \(\frac{2}{{25}}\)

Câu 34: Một lô hàng gồm \(1000\) sản phẩm, trong đó có \(50\) phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó \(1\) sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:

A. \(0,94\).

B. \(0,96\).

C. \(0,95\).

D. \(0,97\).

Câu 35: Một đội gồm \(5\) nam và \(8\) nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất \(3\) nữ.

A. \(\frac{{70}}{{143}}.\)

B. \(\frac{{73}}{{143}}.\)

C. \(\frac{{56}}{{143}}.\)

D. \(\frac{{87}}{{143}}.\)

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36: Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\). (xem hình vẽ bên dưới)

Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác \(ABC\) cân, cạnh đáy \(BC:\) \(x + 3y + 1 = 0,\) cạnh bên \(AB:\) \(x - y + 5 = 0;\) đường thẳng chứa \(AC\) đi qua \(M\left( { - 4; - 1} \right).\) Tìm tọa độ đỉnh \(C.\)

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) và các đường thẳng \({d_1}:mx + y - m - 1 = 0,\) \({d_2}:x - my + m - 1 = 0.\) Tìm các giá trị của tham số m để mỗi đường thẳng \({d_1},{d_2}\) cắt \(\left( C \right)\)tại 2 điểm phân biệt sao cho 4 điểm đó lập thành 1 tứ giác có diện tích lớn nhất. Khi đó hãy tính tổng của tất cả các giá trị tham số m.

Câu 39: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 2{x^2}} \right)^{12}}\)thành đa thức.

---------- HẾT ----------

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Phương pháp

- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

Lời giải

Điều kiện xác định: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Chọn C

Câu 2: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 1;khi{\rm{ }}x \le 1{\rm{ }}\\ - x + 2{\rm{ }};khi{\rm{ }}x > 1\end{array} \right.\). Tính \(f\left( { - 2} \right)\).

A. \( - 1\). B. \(4\). C. \( - 7\). D. \(0\).

Phương pháp

- Thay \(x = - 2\) vào hàm số đã cho

Lời giải

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 1;khi{\rm{ }}x \le 1{\rm{ }}\\ - x + 2{\rm{ }};khi{\rm{ }}x > 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + 3.\left( { - 2} \right) + 1 = - 1\).

Chọn A

Câu 3: Cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = 3{x^2} - 2x + 4\). Tìm trục đối xứng của parabol.

A. \(x = - \frac{2}{3}\). B. \(x = - \frac{1}{3}\). C. \(x = \frac{2}{3}\). D. \(x = \frac{1}{3}\).

Phương pháp

- Trục đối xứng của parabol : \(x = - \frac{b}{{2a}}\)

Lời giải

+ Có \(a = 3\); \(b = - 2\); \(c = 4\).

+ Trục đối xứng của parabol là \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)\( = \frac{1}{3}\).

Chọn D

Câu 4: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

A. \(y = - {x^2} + 2x - 3\). B. \(y = - {x^2} + 4x - 3\).

C. \(y = {x^2} - 4x + 3\). D. \(y = {x^2} - 2x - 3\).

Phương pháp

Dựa vào hình dạng của Parabol

Lời giải

Dựa vào đồ thị suy ra: \(a < 0\) và hoành độ đỉnh là 2.

\(y = - {x^2} + 4x - 3 \Rightarrow a = - 1;\,I\left( {2;1} \right)\)

Chọn B

Câu 5: Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right),\) \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Ta có \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)khi và chỉ khi:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).

Phương pháp

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)

Chọn A

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm

A. \( - 4 \le m \le 4\).

B. \(m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\).

C. \(m \le - 2\;\;hay\;\;m \ge 2\).

D. \( - 2 \le m \le 2\).

Phương pháp

Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\)

Lời giải

Phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 16 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\)

Chọn B

Câu 7: Số nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) là

A. \(0\). B. \(1\). B. \(2\). D. \(3\).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

\(\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 5\)

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có một nghiệm \(x = 4\).

Chọn B

Câu 8: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \) là

A. \(3\). B. \( - 3\). C. \( - 2\). D. \(1\).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

Chọn D

Câu 9: Cho đường thẳng \(\left( d \right):3x + 2y - 10 = 0\). Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của \(\left( d \right)\)?

A. \(\overrightarrow u = \left( {3\,;\,2} \right)\).

B. \(\overrightarrow u = \left( {3\,;\, - 2} \right)\).

C. \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\, - 3} \right)\).

D. \(\overrightarrow u = \left( { - 2\,;\, - 3} \right)\).

Phương pháp

Tìm vecto pháp tuyến sau đó suy ra vecto chỉ phương

Lời giải

Đường thẳng \(\left( d \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3\,;\,2} \right)\) nên \(\left( d \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\, - 3} \right)\).

Chọn C

Câu 10: Trong hệ trục \(Oxy\), đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d':x + y - 1 = 0\) có phương trình là

A. \(x + y - 1 = 0\). B. \(x - y = 0\). C. \( - x + y - 1 = 0\). D. \(x + y - 2 = 0\).

Phương pháp

Tìm vecto pháp tuyến sau đó viết phương trình đường thẳng d

Lời giải

Do đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(d':x + y - 1 = 0\) nên đường thẳng \(d\) nhận véc tơ \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến.

Khi đó đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1;1} \right)\) và nhận véc tơ \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - 2 = 0\).

Chọn D

Câu 11: Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A\left( {1; - 4} \right)\) và \(B\left( {5;2} \right)\) có phương trình là:

A. \(2x + 3y - 3 = 0.\)

B. \(3x + 2y + 1 = 0.\)

C. \(3x - y + 4 = 0.\)

D. \(x + y - 1 = 0.\)

Phương pháp

Sử dụng công thức trung điểm để tìm trung điểm của đoạn thẳng AB, vecto pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB chính là vecto AB.

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB và \(d\) là trung trực đoạn AB. Ta có

Chọn A

Câu 12: Góc giữa hai đường thẳng \(a:\,\sqrt 3 x - y + 7 = 0\) và \(b:x - \sqrt 3 y - 1 = 0\)là:

A. \(30^\circ \). B. \(90^\circ \). C. \(60^\circ \). D. \(45^\circ \).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)

Lời giải

Đường thẳng \(a\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\, - 1} \right)\);

Đường thẳng \(b\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - \sqrt 3 } \right)\).

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:

\(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{1.\sqrt 3 + \left( { - 1} \right)\left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{2.2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng \(30^\circ \).

Chọn A

Câu 13: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng \(\Delta :3x + y + 4 = 0\) bằng:

A. \(2\sqrt {10} \).

B. \(\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\).

C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).

D. \(2\).

Phương Pháp

Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng thứ nhất rồi tính khoảng cách từ điểm bất kì đó đến đường thẳng thứ hai.

Lời giải

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \to A\left( { - 1;1} \right) \to d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}.\)

Chọn C

Câu 14: Cho hai đường thẳng \(\;{d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \(\;{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 22 + 2t}\\{y = 55 + 5t}\end{array}} \right.\). Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho.

A. \(\left( {2;5} \right).\)

B. \(\left( {10;25} \right).\)

C. \(\left( { - 1;7} \right).\)

D. \(\left( {5;2} \right).\)

Phương pháp

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của cả hai phương trình đường thẳng đó

Lời giải

Chọn A

Câu 15: Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9.\)

A. Tâm \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 3\).

B. Tâm \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 9\).

C. Tâm \(I\left( {1; - 2} \right),\) bán kính \(R = 3\).

D. Tâm \(I\left( {1; - 2} \right),\) bán kính \(R = 9\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9.\) là \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 3\).

Chọn A

Câu 16: Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\). B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\). D. \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0\) vô lý.

Ta có:\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Chọn B

Câu 17: Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\), \(B\left( {5;3} \right)\) và có tâm \(I\) thuộc trục hoành có phương trình là

A. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).

B. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).

C. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).

D. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Gọi \(I\left( {x;0} \right) \in Ox\); \(I{A^2} = I{B^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {1^2} = {\left( {5 - x} \right)^2} + {3^2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 1 = {x^2} - 10x + 25 + 9\) \( \Leftrightarrow x = 4\). Vậy tâm đường tròn là \(I\left( {4;0} \right)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có dạng \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).

Chọn B

Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình của đường tròn có tâm là gốc tọa độ \(O\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \): \(x + y - 2 = 0\) là

A. \({x^2} + {y^2} = 2\).

B. \({x^2} + {y^2} = \sqrt 2 \).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \sqrt 2 \).

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\), bán kính \(R\) tiếp xúc với \(\Delta \) nên có:

\(R = d\left( {O\,;\,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 2\).

Chọn A

Câu 19: Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có độ dài trục lớn bằng:

A. \(5\). B. \(10\). C. \(25\). D. \(50\).

Phương pháp

Độ dài trục lớp của Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là \({A_1}{A_2} = 2a.\)

Lời giải

Gọi phương trình của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) có độ dài trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a.\)

Xét

Chọn B

Câu 20: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {2;\,\sqrt 3 } \right)\) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

A. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

B.\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).

C. \(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

D.\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) với \(a > b > 0.\)

Elip đi qua điểm \(A\left( {2;\sqrt 3 } \right)\) suy ra \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{3}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\) suy ra \(\frac{{2a}}{{2c}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {c^2} = \frac{3}{4}{a^2}.\)

Kết hợp với điều kiện \({b^2} = {a^2} - {c^2},\) ta được \({b^2} = {a^2} - \frac{3}{4}{a^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow {a^2} = 4{b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{3}{{{b^2}}} = 1\\{a^2} = 4{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{4{b^2}}} + \frac{3}{{{b^2}}} = 1\\{a^2} = 4{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{{b^2}}} = 1\\{a^2} = 4{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 4\end{array} \right..\)

Vậy phương trình cần tìm là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

Chọn A

Câu 21: Một người có \(4\) cái quần khác nhau, \(6\) cái áo khác nhau, \(3\)chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là:

A. \(13.\) B. \(72.\) C. \(12.\) D. \(30.\)

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải.

\( \bullet \) Nếu chọn một cái quần thì sẽ có \(4\) cách.

\( \bullet \) Nếu chọn một cái áo thì sẽ có \(6\) cách.

\( \bullet \) Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có \(3\) cách.

Theo qui tắc cộng, ta có \(4 + 6 + 3 = 13\) cách chọn.

Chọn A

Câu 22: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

A. 9. B. 10. C. 18. D. 24.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải.

\( \bullet \) Từ có \(4\) cách.

\( \bullet \) Từ có \(2\) cách.

Vậy theo qui tắc nhân ta có \(4 \times 2 \times 3 = 24\) cách.

Chọn D

Câu 23: Từ các chữ số \(1,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7\) có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có \(4\) chữ số?

A. \(324.\) B. \(256.\) C. \(248.\) D. \(124.\)

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Lời giải.

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \) với \(\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {1,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7} \right\}.\)

Vì số cần tìm có \(4\) chữ số không nhất thiết khác nhau nên:

 \(a\) được chọn từ tập \(A\) nên có \(4\) cách chọn.

 \(b\) được chọn từ tập \(A\) nên có \(4\) cách chọn.

 \(c\) được chọn từ tập \(A\) nên có \(4\) cách chọn.

 \(d\) được chọn từ tập \(A\) nên có \(4\) cách chọn.

Như vậy, ta có \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\) số cần tìm.

Chọn B

Câu 24: Từ các chữ số \(1\); \(2\); \(3\); \(4\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau?

A. \(12\). B. \(24\). C. \(42\). D. \({4^4}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Mỗi số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số \(1\); \(2\); \(3\); \(4\) là một hoán vị của \(4\) phần tử. Vậy số các số cần tìm là: \(4! = 24\) số.

Chọn B

Câu 25: Cần chọn \(3\) người đi công tác từ một tổ có \(30\) người, khi đó số cách chọn là

A. \(A_{30}^3\). B. \({3^{30}}\). C. \(10\). D. \(C_{30}^3\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Số cách chọn \(3\) người bất kì trong \(30\) là: \(C_{30}^3\).

Chọn D

Câu 26: Số véctơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu, điểm cuối là hai trong \(6\) đỉnh của lục giác \(ABCDEF\) là

A. \({P_6}.\) B. \(C_6^2.\) C. \(A_6^2.\) D. \(36.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Số véc-tơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu, điểm cuối là hai trong \(6\) đỉnh của lục giác \(ABCDEF\) là\(A_6^2\).

Chọn C

Câu 27: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải?

A. \(3766437.\) B. \(3764637.\) C. \(3764367.\) D. \(3764376.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Nếu người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải thì:

\( \bullet \) Người giữ vé số 47 có 4 cách chọn giải.

\( \bullet \) Ba giải còn lại ứng với một chỉnh hợp chấp 3 của 99 phần tử, do đó ta có \(A_{99}^3 = 941094\)cách.

Vậy số kết quả bằng \(4 \times A_{99}^3 = 4 \times 941094 = 3764376\) kết quả.

Chọn D

Câu 28: Cho tập \(A = \left\{ {0,1,{\rm{ }}2,{\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}9} \right\}.\) Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập \(A\) là?

A. \(30420.\) B. \(27162.\) C. \(27216.\) D. \(30240.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải.

Gọi số cần tìm là \(\overline {abcde} ,\,a \ne 0\).

\( \bullet \) Chọn \(a\) có 9 cách.

\( \bullet \) Chọn \(b,\,c,\,d,\,e\) từ 9 số còn lại có \(A_9^4 = 3024\)cách.

Vậy có \(9 \times 3024 = 27216\).

Chọn C

Câu 29: Số số hạng trong khai triển \({\left( {x + 2} \right)^{50}}\) là

A. \(49\). B. \(50\). C. \(52\). D. \(51\).

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Số số hạng trong khai triển là: \(n + 1 = 50 + 1 = 51\).

Chọn D

Câu 30: Gieo một đồng tiền liên tiếp \(3\) lần thì \(n(\Omega )\) là bao nhiêu?

A. \(4\). B. \(6\). C. \(8\). D. \(16\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

\(n(\Omega ) = 2.2.2 = 8\).

Chọn C

Câu 31: Rút ra một lá bài từ bộ bài \(52\) lá. Xác suất để được lá bích là:

A. \(\frac{1}{{13}}\) B. \(\frac{1}{4}\) C. \(\frac{{12}}{{13}}\) D. \(\frac{3}{4}\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử không gian mẫu:\(n\left( \Omega \right) = 52\)

Số phần tử của biến cố xuất hiện lá bích: \(n\left( A \right) = 13\)

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{13}}{{52}} = \frac{1}{4}\).

Chọn B

Câu 32: Cho \(A\) và \(\overline A \) là hai biến cố đối nhau. Chọn câu đúng.

A. \(P\left( A \right) = 1 + P\left( {\overline A } \right)\).

B. \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right)\).

C. \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\).

D. \(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 0\).

Phương pháp

Biến cố đối của biến cố A.

Lời giải

Theo tính chất xác suất ta có \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)

Chọn C

Câu 33: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng \(11\) là:

A. \(\frac{1}{{18}}\)

B. \(\frac{1}{6}\)

C. \(\frac{1}{8}\)

D. \(\frac{2}{{25}}\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử không gian mẫu:\(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\)

Biến cố tổng hai mặt là \(11\): \(A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\) nên \(n\left( A \right) = 2\).

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}\).

Chọn A

Câu 34: Một lô hàng gồm \(1000\) sản phẩm, trong đó có \(50\) phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó \(1\) sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:

A. \(0,94\). B. \(0,96\). C. \(0,95\). D. \(0,97\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: “lấy được \(1\) sản phẩm tốt.“

- Không gian mẫu: \(\left| \Omega \right| = C_{1000}^1 = 1000\).

- \(n\left( A \right) = C_{950}^1 = 950\).

\( \Rightarrow \) \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{950}}{{1000}} = 0,95\).

Chọn C

Câu 35: Một đội gồm \(5\) nam và \(8\) nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất \(3\) nữ.

A. \(\frac{{70}}{{143}}.\) B. \(\frac{{73}}{{143}}.\) C. \(\frac{{56}}{{143}}.\) D. \(\frac{{87}}{{143}}.\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải.

Không gian mẫu là chọn tùy ý \(4\) người từ \(13\) người.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{13}^4 = 715\).

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)4 người được chọn có ít nhất 3 nữ\(''\). Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) như sau:

● TH1: Chọn 3 nữ và 1 nam, có \(C_8^3C_5^1\) cách.

● TH2: Chọn cả 4 nữ, có \(C_8^4\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_8^3C_5^1 + C_8^4 = 350\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{350}}{{715}} = \frac{{70}}{{143}}\).

Chọn A

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36: Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\). (xem hình vẽ bên dưới)

Phương pháp

Sử dụng công thức lập phương trình Parabol.

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\).

Do parabol \(\left( P \right)\) đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng \(x = 0 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\).

Chiều cao của cổng parabol là 4m nên \(G\left( {0;4} \right)\) \( \Rightarrow c = 4\).

\( \Rightarrow \left( P \right)\): \(y = a{x^2} + 4\)

Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m nên \(E\left( {2;3} \right),\;F\left( { - 2;3} \right)\) \( \Rightarrow 3 = 4a = 4 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{4}\).

Vậy \(\left( P \right)\): \(y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Ta có \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\) nên \(A\left( { - 4;0} \right)\), \(B\left( {4;0} \right)\) hay \(AB = 8\)(m).

Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác \(ABC\) cân, cạnh đáy \(BC:\) \(x + 3y + 1 = 0,\) cạnh bên \(AB:\) \(x - y + 5 = 0;\) đường thẳng chứa \(AC\) đi qua \(M\left( { - 4; - 1} \right).\) Tìm tọa độ đỉnh \(C.\)

Phương pháp

Viết phương trình đường thẳng các đường đi qua điểm C.

Lời giải

Đường thẳng d đi qua \(M\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(d//BC\) nên d có VTPT \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;3} \right)\). Đường thẳng d có phương trình: \(1\left( {x + 4} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 7 = 0\).

Gọi \(M' = d \cap AB.\) Tọa độ M’ là nghiệm của hệ

phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 7 = 0\\x - y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{11}}{2}\\y = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - \frac{{11}}{2}; - \frac{1}{2}} \right).\)

I là trung điểm của MM’. Suy ra: \(I\left( { - \frac{{19}}{4}; - \frac{3}{4}} \right).\)

Đường cao AH đi qua I và vuông góc với BC nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( {3; - 1} \right).\) AH có phương trình: \(3\left( {x + \frac{{19}}{4}} \right) - 1\left( {y + \frac{3}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 2y + 27 = 0.\)

Cách 1. \(H = AH \cap BC \Rightarrow \)tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y + 27 = 0\\x + 3y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{83}}{{20}}\\y = \frac{{21}}{{20}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{{83}}{{20}};\frac{{21}}{{20}}} \right).\)

H là trung điểm của BC nên \(C\left( { - \frac{{43}}{{10}};\frac{{11}}{{10}}} \right).\)

Cách 2.

Ta có: \(A = AH \cap AB\). Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y + 27 = 0\\x - y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{17}}{4}\\y = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - \frac{{17}}{4};\frac{3}{4}} \right).\)

AC đi qua M(- 4; - 1) và nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{7}{4}} \right)\) làm VTCP, do đó AC có VTPT \(\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {7;1} \right).\) AC có phương trình: \(7\left( {x + 4} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x + y + 29 = 0.\)

\(C = AC \cap BC \Rightarrow C\left( {\frac{{ - 43}}{{10}};\frac{{11}}{{10}}} \right).\)

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) và các đường thẳng \({d_1}:mx + y - m - 1 = 0,\) \({d_2}:x - my + m - 1 = 0.\) Tìm các giá trị của tham số m để mỗi đường thẳng \({d_1},{d_2}\) cắt \(\left( C \right)\)tại 2 điểm phân biệt sao cho 4 điểm đó lập thành 1 tứ giác có diện tích lớn nhất. Khi đó hãy tính tổng của tất cả các giá trị tham số m.

Phương pháp

Sử dụng công thức tính diện tích , khoảng cách .

Lời giải

Ta có \((C)\left\{ \begin{array}{l}I(1;2)\\R = 2\end{array} \right.\)

Ta dễ thấy đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm \(M\left( {1;1} \right)\) cố định nằm trong đường tròn \(\left( C \right)\) và \({d_1} \bot {d_2}\). Gọi \(A,B\) là giao điểm của \({d_1}\) và \(\left( C \right)\), \(C,D\) là giao điểm của \({d_2}\) và \(\left( C \right)\). \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(I\) trên \({d_1}\) và \({d_2}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AB.CD = 2AH.CK = 2\sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I,{d_1}} \right)} \right]}^2}} .\sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I,{d_2}} \right)} \right]}^2}} \\{\rm{ }} = 2\sqrt {4 - \frac{1}{{{m^2} + 1}}} \sqrt {4 - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}} {\rm{ = 2}}\frac{{\sqrt {\left( {4{m^2} + 3} \right)\left( {3{m^2} + 4} \right)} }}{{{m^2} + 1}} \le \frac{{4{m^2} + 3 + 3{m^2} + 4}}{{{m^2} + 1}} = 7\end{array}\)

Do đó \(\max {S_{ABCD}} = 7\) khi \(m = \pm 1\). Khi đó tổng các giá trị của \(m\) bằng \(0.\)

Câu 39: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 2{x^2}} \right)^{12}}\)thành đa thức.

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newwton

Lời giải

Khai triển: \(P\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{2^k}{x^{2k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {{a_k}{x^{2k}}} \) với \({a_k} = C_{12}^k{2^k}\).

\({a_{k + 1}} > {a_k}\)\( \Leftrightarrow \)\(C_{12}^{k + 1}{2^{k + 1}} > C_{12}^k{2^k}\) \( \Leftrightarrow \) \(\frac{2}{{k + 1}} > \frac{1}{{12 - k}} \Leftrightarrow k < \frac{{23}}{3} \Leftrightarrow k \le 7\).

Như vậy \({a_0} < {a_1} < {a_2} < ... < {a_8}\).

\({a_{k + 1}} < {a_k}\) \( \Leftrightarrow \)\(C_{12}^{k + 1}{2^{k + 1}} < C_{12}^k{2^k}\) \( \Leftrightarrow \) \(\frac{2}{{k + 1}} < \frac{1}{{12 - k}} \Leftrightarrow k > \frac{{23}}{3} \Leftrightarrow k \ge 8\).

Như vậy \({a_8} > {a_9} > {a_{10}} > ... > {a_{12}}\).

Vậy hệ số có giá trị lớn nhất là \({a_8} = C_{12}^8{2^8} = 126720\).

---------- HẾT ----------

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 5 - Kết nối tri thức

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1: T ập xác định của hàm số là

A. .

B.

C.

D.

Câu 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Chọn đáp án sai.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng .

Câu 3: Khoảng đồng biến của hàm số là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 4: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào trong các phương án A;B;C;D sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Cho tam thức bậc hai . Tìm tất cả giá trị của để .

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 6: Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt

A.

B.

C.

D.

Câu 7: Tập nghiệm của phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Câu 8: Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Vectơ chỉ phương của đường thẳng : là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm và là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 11: Trong mặt phẳng , cho đường thẳng , một véctơ pháp tuyến của là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 12: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 13: Cho đường thẳng và . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. và cắt nhau và không vuông góc với nhau.

B. và song song với nhau.

C. và trùng nhau.

D. và vuông góc với nhau.

Câu 14: Cho đường thẳng và điểm . Tọa độ hình chiếu vuông góc của trên là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 15: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

A. Tâm bán kính .

B. Tâm bán kính .

C. Tâm bán kính .

D. Tâm bán kính .

Câu 16: Đường tròn có tâm , bán kính là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 17: Đường tròn tâm và bán kính có phương trình là

A. B.

C. D.

Câu 18: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm là:

A.

B.

C.

D.

Câu 19: Elip có độ dài trục bé bằng:

A. 8 B. 10 C. 16 D. 20

Câu 20: Elip có hai đỉnh là và có hai tiêu điểm là Phương trình chính tắc của elip là:

A.

B.

C.

D.

Câu 21: Trong một trường THPT, khối có học sinh nam và học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

A. 45 B. 28 C. 325 D. 605

Câu 22: Từ các số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ

A. 360 B. 343 C. 480 D. 347

Câu 23: Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

A. 4. B. 7. C. 12. D. 16.

Câu 24: Có bao nhiêu cách sắp xếp nữ sinh, nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ:

A. 6. B. 72. C. 720. D. 144.

Câu 25: Từ các chữ số , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau:

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Một câu lạc bộ có thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí là:

A. . B. . C. 6500. D. .

Câu 27: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Trong một buổi khiêu vũ có nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 29: Tính số cách sắp xếp nam sinh và nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có chỗ ngồi sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.

A. .

B.

C.

D.

Câu 30: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn .

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 31: Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 32: Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ con thì bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất lần. Tính số phần tử không gian mẫu.

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 34: Từ một hộp chứa quả cầu màu đỏ và quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được quả cầu màu xanh

A.

B.

C.

D.

Câu 35: Một tổ có học sinh nam và học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên học sinh. Xác suất để trong học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là

A. .

B. .

C. .

D. .

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 1. Giải phương trình .

Câu 2. Cho điểm và . Viết phương trình tham số của đường thẳng D đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

Câu 3. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

Câu 4. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua và tiếp xúc với hai trục toạ độ và

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1: Tập xác định của hàm số là

A. .

B.

C.

D.

Phương pháp

- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

Lời giải

Điều kiện: .

Vậy tập xác định của hàm số là: .

Chọn D

Câu 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Chọn đáp án sai.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng .

Phương pháp

- Hàm số có chiều đi lên từ trái sang phải là đồng biến.

- Hàm số có chiều đi xuống từ trái sang phải là nghịch biến.

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: và .

Hàm số đồng biến trong các khoảng: và .

Chọn C

Câu 3: Khoảng đồng biến của hàm số là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Sử dụng công thức dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

Hàm số có nên đồng biến trên khoảng .

Vì vậy hàm số đồng biến trên .

Chọn D

Câu 4: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào trong các phương án A;B;C;D sau đây?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Hình dáng của đồ thị bậc hai Parabol.

Lời giải

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng nên loại B và C

Hoành độ của đỉnh là nên ta loại A và chọn D.

Chọn D

Câu 5: Cho tam thức bậc hai . Tìm tất cả giá trị của để .

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Sử dụng quy tắc dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Ta có , .

Mà hệ số nên: .

Chọn C.

Câu 6: Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy .

Chọn B

Câu 7: Tập nghiệm của phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Thử các giá trị của x trong đáp án vào phương trình.

Lời giải

Thay các giá trị vào phương trình có vào thỏa mãn phương trình.

Chọn B

Câu 8: Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. . B. . C. . D. .

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình rồi giải.

Lời giải

.

Vậy là nghiệm của phương trình.

Chọn D

Câu 9: Vectơ chỉ phương của đường thẳng : là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Vecto chỉ phương của đường thẳng là

Lời giải

Đường thẳng : có vectơ chỉ phương là .

Chọn A.

Câu 10: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm và là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vecto chỉ phương là :

Lời giải

Vectơ chỉ phương .

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vecto chỉ phương là :

Chọn D

Câu 11: Trong mặt phẳng , cho đường thẳng , một véctơ pháp tuyến của là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Vecto pháp tuyến của đường thẳng là

Lời giải

Chọn B

Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng là .

Câu 12: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của cả hai phương trình đường thẳng đó

Lời giải

Ta có tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và là nghiệm của hệ phương trình .

Chọn A

Câu 13: Cho đường thẳng và . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. và cắt nhau và không vuông góc với nhau.

B. và song song với nhau.

C. và trùng nhau.

D. và vuông góc với nhau.

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải

Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là và đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là .

Ta thấy và .

Vậy và cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Chọn A

Câu 14: Cho đường thẳng và điểm . Tọa độ hình chiếu vuông góc của trên là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

Lời giải

Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với .

Ta có phương trình của là:

Tọa độ hình chiếu vuông góc của trên là nghiệm của hệ phương trình: .

Chọn B

Câu 15: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

A. Tâm bán kính .

B. Tâm bán kính .

C. Tâm bán kính .

D. Tâm bán kính .

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Tâm và bán kính của đường tròn là bán kính .

Chọn A

Câu 16: Đường tròn có tâm , bán kính là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Tâm , bán kính .

Chọn D

Câu 17: Đường tròn tâm và bán kính có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Phương trình đường tròn có tâm , bán kính là:

Chọn C

Câu 18: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm là:

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Phương trình đường thẳng nhận vecto pháp tuyến và đi qua điểm là

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm nên tiếp tuyến tại M có VTPT là nên có phương trình là:

Chọn D

Câu 19: Elip có độ dài trục bé bằng:

A. 8 B. 10 C. 16 D. 20

Phương pháp

Độ dài trục lớp của Elip là

Lời giải

Gọi phương trình của Elip là có độ dài trục bé

Xét

Chọn C

Câu 20: Elip có hai đỉnh là và có hai tiêu điểm là Phương trình chính tắc của elip là:

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Phương trình Elip

Lời giải

Elip có hai đỉnh là suy ra a = 3

Elip có hai tiêu điểm là suy ra c = 1

Khi đó, .

Phương trình chính tắc của Elip là (E) .

Chọn C

Câu 21: Trong một trường THPT, khối có học sinh nam và học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

A. 45 B. 28 C. 325 D. 605

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải.

Nếu chọn một học sinh nam có cách.

Nếu chọn một học sinh nữ có cách.

Theo qui tắc cộng, ta có cách chọn.

Chọn D

Câu 22: Từ các số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ

A. 360 B. 343 C. 480 D. 347

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Gọi số cần lập ; và đôi một khác nhau.

Vì số cần lập là số lẻ nên phải là số lẻ. Ta lập qua các công đoạn sau.

Bước 1: Có 4 cách chọn d

Bước 2: Có 6 cách chọn a

Bước 3: Có 5 cách chọn b

Bước 4: Có 4 cách chọn c

Vậy có 480 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C

Câu 23: Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

A. 4. B. 7. C. 12. D. 16.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải.

Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có:

Có 3 cách chọn mặt.

Có 4 cách chọn dây.

Vậy theo qui tắc nhân ta có cách.

Chọn C

Câu 24: Có bao nhiêu cách sắp xếp nữ sinh, nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ:

A. 6. B. 72. C. 720. D. 144.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn vị trí 3 nam và 3 nữ: cách chọn.

Xếp 3 nam có: cách xếp.

Xếp 3 nữ có: cách xếp.

Vậy có cách xếp.

Chọn B

Câu 25: Từ các chữ số , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau:

A. . B. . C. . D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Mỗi số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập từ các số , , , , là một hoán vị của phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là (số).

Chọn A

Câu 26: Một câu lạc bộ có thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí là:

A. . B. . C. 6500. D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Mỗi cách chọn người ở vị trí là một chỉnh hợp chập của thành viên.

Số cách chọn là: .

Chọn A

Câu 27: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

Vậy có tập con cần tìm.

Chọn A

Câu 28: Trong một buổi khiêu vũ có nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn một nam trong nam có cách.

Chọn một nữ trong nữ có cách.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn một đôi nam nữ là .

Chọn D

Câu 29: Tính số cách sắp xếp nam sinh và nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có chỗ ngồi sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.

A. .

B.

C.

D.

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải:

Sắp xếp nữ sinh vào ghế: cách.

Xem nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với nam sinh: có cách

vậy có cách sắp xếp.

Chọn B

Câu 30: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn .

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Ta có:

Hay .

Chọn A

Câu 31: Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Gọi cặp số là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.

Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.

Các kết quả của biến cố A là: .

Suy ra .

Chọn A

Câu 32: Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ con thì bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Ta có .

Chọn D

Câu 33: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất lần. Tính số phần tử không gian mẫu.

A. . B. . C. . D. .

Phương pháp

Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải

Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có .

Số phần tử không gian mẫu là .

Chọn C

Câu 34: Từ một hộp chứa quả cầu màu đỏ và quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được quả cầu màu xanh

A.

B.

C.

D.

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu .

Gọi là biến cố " quả cầu lấy được đều là màu xanh". Suy ra .

Vậy xác suất cần tìm là .

Chọn D

Câu 35: Một tổ có học sinh nam và học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên học sinh. Xác suất để trong học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

.

Gọi là biến cố:” trong học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”

Vậy xác suất của biến cố là .

Chọn C

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 1. Giải phương trình .

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình

Lời giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được

Sau khi thu gọn ta được . Tử đó hoặc .

Thay lần lượt hai giá trị này của vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là .

Câu 2. Cho điểm và . Viết phương trình tham số của đường thẳng D đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

Phương pháp

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vecto chỉ phương là :

Lời giải

Vì nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của là .

Vậy phương trình tham số của đường thẳng là

Câu 3. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

ĐK: .

Câu 4. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua và tiếp xúc với hai trục toạ độ và

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải:

Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng trong đó R là bán kính đường tròn (C).

Ta có:

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: và

---------- HẾT ----------

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP10

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub