Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 3

Câu 1 : Đạo hàm của hàm số $f (x) = {\begin{cases} \frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4} - 2}{x + 1} k h i x \neq - 1 \\ 0 k h i x = - 1 \end{cases}$ tại $x = - 1$ là:

A.
0
B.
Không tồn tại.
C.
$- \frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{2}$

Câu 2 : Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}$ là hàm số nào sau đây?

A.
$y = 12 x + 3$ .
B.
$y = \frac{8 x + 3}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}}$ .
C.
$y = \frac{1}{2 \sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}}$ .
D.
$y = \frac{8 x + 3}{2 \sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}}$ .

Câu 3 : Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ với $a, b, c, d \in R$ ; $a > 0$ và ${\begin{cases} d > 2021 \\ a + b + c + d - 2021 < 0 \end{cases}$ . Hỏi phương trình $f (x) - 2021 = 0$ có mấy nghiệm phân biệt?

A.
0
B.
3
C.
2
D.
1

Câu 4 : Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ΔABC vuông ở B. AH là đường cao của ΔSAB. Khẳng định nào sau đây sai ?

A.
$S A ⊥ B C$
B.
$A H ⊥ B C$
C.
$A H ⊥ A C$
D.
$A H ⊥ S C$

Câu 5 : Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x - 2}$ , tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có phương trình là:

A.
$y = - x + 1$
B.
$y = - x + 2$
C.
$y = - 2 x + 1$
D.
$y = - x - 1$

Câu 6 : Trong không gian, cho $α$ là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) nào đó. Hỏi góc $α$ thuộc đoạn nào?

A.
$[0^{0}; 90^{0}]$
B.
$[0^{0}; 180^{0}]$
C.
$[90^{0}; 180^{0}]$
D.
$[- 90^{0}; 90^{0}]$

Câu 7 : Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ , các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.
Hàm số liên tục tại $x = 2$
B.
Hàm số liên tục tại $x = 3$
C.
Hàm số liên tục tại $x = 1$
D.
Hàm số liên tục tại $x = - 1$

Câu 8 : Kết quả khảo sát cân nặng của 20 quả táo ở mỗi lô hàng A và B được cho bởi bảng sau:

Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở hai lô hàng trên.

A.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là 162,75 g; Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là 161,75 g
B.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là 162,5 g; Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là 161,5 g
C.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là 163 g; Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là 162 g.
D.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là 162,5 g; Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là 161,75 g.

Câu 9 : Cho hàm số $y = s i n x - \cos x - 2 x$ . Bất phương trình $y^{'} < 0$ có tập nghiệm T là :

A.
$T = (0; \frac{π}{2})$
B.
$T = (\frac{π}{2}; 2 π)$
C.
$T = (- 2 π; 2 π)$
D.
$T = R$

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình vuông. Hỏi mp(SCD) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau ?

A.
$m p (S B D)$
B.
$m p (S A C)$
C.
$m p (S A B)$
D.
$m p (S A D)$

Câu 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và C. Hỏi khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) bằng:

A.
$\frac{a \sqrt{3}}{3}$
B.
$\frac{a \sqrt{3}}{2}$
C.
$\frac{a \sqrt{3}}{4}$
D.
$\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 12 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông tâm O, gọi I là trung điểm của cạnh AD. Hỏi góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là:

A.
$\hat{S I O}$
B.
$\hat{S O I}$
C.
$\hat{O S I}$
D.
$\hat{S A O}$

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s = s (t) = 2 t^{2} + t - 1$ (t được tính bằng giây, s được tính bẳng mét)

a) Đạo hàm của hàm số $s (t)$ tại thời điểm $t_{0}$ là: $t_{0} + 4$

Đúng

Sai

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 2$ là $9 (m / s)$

Đúng

Sai

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 5$ là 12 $(m / s)$

Đúng

Sai

d) Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ $t = 0$ tới $t = 2 s$ là 5 (m/s)

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hàm số có đồ thị (C): $y = f (x) = x^{2} + 2 x - 4 (C)$

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ thuộc $(C)$ là k = 2

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_{0} = 0$ thuộc $(C)$ là $y = 2 x - 4$

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ $y_{0} = - 1$ là: $y = 4 x - 5$ hoặc $y = - 4 x - 13$

Đúng

Sai

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến $k = - 4$ là $y = - 4 x - 13$

Đúng

Sai

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SA vuông góc với đáy. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD

a) $C D ⊥ (S A D)$

Đúng

Sai

b) $S C ⊥ (S A C)$

Đúng

Sai

c) $S C ⊥ H K$

Đúng

Sai

d) $H K ⊥ A I$

Đúng

Sai

Câu 4 : Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a) Không gian mẫu là Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}.

Đúng

Sai

b) Số phần tử của biến cố A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10" là n(A) = 6 và số phần tử của biến cố B: "Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần" là n(B) = 11.

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{1}{6}$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố B là $P (B) = \frac{5}{36}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Tính thời gian trung bình giải bài tập của học sinh lớp 11A được cho trong bảng sau:

Câu 2 : Cho hàm số : $f (x) = \sin^{3} (\frac{π}{3} - 2 x)$ . Tính $f^{'} (\frac{π}{3})$ .

Câu 3 : Sau khi đỗ Đại học bạn Nam được bố mua cho chiếc xe máy để sử dụng. Xe có giá trị ban đầu là 20 triệu, sau mỗi năm giá trị xe giảm 10% so với năm trước đó. Hỏi sau bao nhiêu năm thì giá trị của xe còn lại là 12 triệu.

Câu 4 : Tìm a để hàm số $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2}{x - 1}; k h i x \neq 1 \\ 2 x + a; k h i x = 1 \end{cases}$ liên tục trên R

Câu 5 : Cho hình chóp $S . A B C$ có cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ và $A B C$ là tam giác đều cạnh bằng $a .$ Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bàng $a \sqrt{\frac{6}{11}}$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C$

Câu 6 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B .$ Biết $A D = 2 a, A B = B C = S A = a .$ Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt đáy, gọi $M$ là trung điểm của $A D .$ Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(S C D)$ theo $a .$

Câu 1 : Đạo hàm của hàm số $f (x) = {\begin{cases} \frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4} - 2}{x + 1} k h i x \neq - 1 \\ 0 k h i x = - 1 \end{cases}$ tại $x = - 1$ là:

A.
0
B.
Không tồn tại.
C.
$- \frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng Định nghĩa đạo hàm :

$f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ hoặc $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} f^{'} (- 1) = lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4} - 2}{x + 1} - 0}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4} - 2}{{(x + 1)}^{2}} \\ = lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4 - 4}{{(x + 1)}^{2} (\sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4} + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 2 x^{2} + x}{{(x + 1)}^{2} (\sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4} + 2)} \\ = lim_{x \to - 1} \frac{x (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (\sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4} + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{x}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + x + 4} + 2} = \frac{- 1}{4} \end{array}$

Đáp án C.

Câu 2 : Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}$ là hàm số nào sau đây?

A.
$y = 12 x + 3$ .
B.
$y = \frac{8 x + 3}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}}$ .
C.
$y = \frac{1}{2 \sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}}$ .
D.
$y = \frac{8 x + 3}{2 \sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp $y^{'} = {(\sqrt{u})}^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = {(\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1})}^{'} = \frac{{(4 x^{2} + 3 x + 1)}^{'}}{2 \sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}} = \frac{8 x + 3}{2 \sqrt{4 x^{2} + 3 x + 1}}$

Đáp án D.

Câu 3 : Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ với $a, b, c, d \in R$ ; $a > 0$ và ${\begin{cases} d > 2021 \\ a + b + c + d - 2021 < 0 \end{cases}$ . Hỏi phương trình $f (x) - 2021 = 0$ có mấy nghiệm phân biệt?

A.
0
B.
3
C.
2
D.
1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng ứng dụng tính liên tục của hàm số trong chứng minh phương trình có nghiệm

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} g (x) = f (x) - 2021 = a x^{3} + b x^{2} + c x + d - 2021 \\ g (0) = d - 2021 > 0 \\ g (1) = a + b + c + d - 2021 < 0 \end{array}$

Ta có: $lim_{x \to \infty} (a x^{3} + b x^{2} + c x + d - 2021) = + \infty$

Suy ra, tồn tại giá trị $x_{1} > 1$ sao cho $g (x_{1}) > 0$

Ta có: $lim_{x \to - \infty} (a x^{3} + b x^{2} + c x + d - 2021) = - \infty$

Suy ra, tồn tại $x_{2} < 0$ sao cho $g (x_{2}) > 0$

Ta có: ${\begin{cases} g (x_{1}) . g (1) < 0 \\ g (0) . g (1) < 0 \\ g (x_{2}) . g (0) < 0 \end{cases}$

Suy ra, $g (x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt

Đáp án B.

Câu 4 : Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ΔABC vuông ở B. AH là đường cao của ΔSAB. Khẳng định nào sau đây sai ?

A.
$S A ⊥ B C$
B.
$A H ⊥ B C$
C.
$A H ⊥ A C$
D.
$A H ⊥ S C$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý đường vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Đáp án B,D.

Ta có: ${\begin{cases} B C ⊥ B A \\ B C ⊥ S A \\ S A, B A \subset (S A B) \\ S A \cap B A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$

Mặt khác:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} A H ⊥ B C \\ A H ⊥ S B \\ S B, B C \subset (S B C) \\ S B \cap B C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \\ \Rightarrow A H ⊥ B C; A H ⊥ S C \end{array}$

Đáp án A: $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C$

Đáp án C.

Câu 5 : Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x - 2}$ , tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có phương trình là:

A.
$y = - x + 1$
B.
$y = - x + 2$
C.
$y = - 2 x + 1$
D.
$y = - x - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M (x_{0}, f (x_{0}))$ là: $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$

Lời giải chi tiết :

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $M (1; 0)$

$\begin{array}{l} y^{'} = {(\frac{x - 1}{x - 2})}^{'} = \frac{- 1}{{(x - 2)}^{2}} \\ y^{'} (1) = - 1 \end{array}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là:

$\begin{array}{l} y = f^{'} (1) (x - 1) + 0 = - 1 (x - 1) + 0 \\ y = - x + 1 \end{array}$

Đáp án A.

Câu 6 : Trong không gian, cho $α$ là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) nào đó. Hỏi góc $α$ thuộc đoạn nào?

A.
$[0^{0}; 90^{0}]$
B.
$[0^{0}; 180^{0}]$
C.
$[90^{0}; 180^{0}]$
D.
$[- 90^{0}; 90^{0}]$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa trên lý thuyết về góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa hai đường thẳng:

1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P) và (Q). Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a và b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

2. Với hai đường thẳng a, b bất kỳ: $0^{0} \leq (a, b) \leq 90^{0}$

Lời giải chi tiết :

Góc $α \in [0^{0}; 90^{0}]$

Đáp án A.

Câu 7 : Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ , các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.
Hàm số liên tục tại $x = 2$
B.
Hàm số liên tục tại $x = 3$
C.
Hàm số liên tục tại $x = 1$
D.
Hàm số liên tục tại $x = - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

1.Hàm số $y = f (x)$ xác định trên $K, x_{0} \in K$ . Khi đó, $y = f (x)$ liên tục tại $x_{0}$ khi $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

2. Hàm số $y = f (x)$ gián đoạn (không liên tục) tại điểm $x_{0}$ khi tồn tại 1 điểm $x_{0}$ làm cho hàm số $f (x_{0})$ không liên tục.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $f (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ xác định trên $R ∖ {1}$

Nên hàm số không liên tục tại $x = 1$

Đáp án C.

Câu 8 : Kết quả khảo sát cân nặng của 20 quả táo ở mỗi lô hàng A và B được cho bởi bảng sau:

Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở hai lô hàng trên.

A.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là 162,75 g; Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là 161,75 g
B.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là 162,5 g; Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là 161,5 g
C.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là 163 g; Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là 162 g.
D.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là 162,5 g; Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là 161,75 g.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính giá trị trung bình

Lời giải chi tiết :

Tổng số quả táo của mỗi lô hàng A và B đều là n = 20.

Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là:

$\bar{x_{A}} = \frac{1.152, 5 + 4.157, 5 + 10.162, 5 + 3.167, 5 + 2.172, 5}{20} = \frac{651}{4} = 162, 75 (g a m)$

Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là:

$\bar{x_{A}} = \frac{2.152, 5 + 3.157, 5 + 12.162, 5 + 2.167, 5 + 1.172, 5}{20} = 161, 75 (g a m)$

Đáp án A.

Câu 9 : Cho hàm số $y = s i n x - \cos x - 2 x$ . Bất phương trình $y^{'} < 0$ có tập nghiệm T là :

A.
$T = (0; \frac{π}{2})$
B.
$T = (\frac{π}{2}; 2 π)$
C.
$T = (- 2 π; 2 π)$
D.
$T = R$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm lượng giác và hàm hợp

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} y^{'} = {(s i n x - \cos x - 2 x)}^{'} = \cos x + \sin x - 2 < 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) - 2 < 0 \\ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) < \sqrt{2} \end{array}$

Mặt khác, do $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1, \forall x \in R$ nên $\sin (x + \frac{π}{4}) < \sqrt{2}$ đúng $\forall x \in R$

Vậy BPT nghiệm đúng $\forall x \in R$

Đáp án D.

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình vuông. Hỏi mp(SCD) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau ?

A.
$m p (S B D)$
B.
$m p (S A C)$
C.
$m p (S A B)$
D.
$m p (S A D)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ S A \\ S A, A D \subset (S A D) \\ S A \cap A D \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \\ C D \subset (S C D) \Rightarrow (S C D) ⊥ (S A D) \end{array}$

Đáp án D.

Câu 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và C. Hỏi khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) bằng:

A.
$\frac{a \sqrt{3}}{3}$
B.
$\frac{a \sqrt{3}}{2}$
C.
$\frac{a \sqrt{3}}{4}$
D.
$\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hạ $A H ⊥ S B \Rightarrow d (A, (S B C)) = A H$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

${\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \\ A B, S A \subset (S A B) \\ A B \cap S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$

Mặt khác,

$\begin{array}{l} {\begin{cases} A H ⊥ S B \\ A H ⊥ B C \\ S B, B C \subset (S B C) \\ S B \cap B C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \\ \Rightarrow d (A H, (S B C)) = A H \end{array}$

Xét tam giác SAB vuông tại A ta có :

$A H = \frac{S A . A B}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{a \sqrt{3} . a}{\sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + a^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow d (A H, (S B C)) = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Đáp án B.

Câu 12 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông tâm O, gọi I là trung điểm của cạnh AD. Hỏi góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là:

A.
$\hat{S I O}$
B.
$\hat{S O I}$
C.
$\hat{O S I}$
D.
$\hat{S A O}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương tính xác định góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ADC có: OI là đường trung bình

Suy ra: $O I / / C D$ (tính chất đường trung bình)

Do ABCD là hình vuông nên $C D ⊥ A D$

Suy ra: $O I ⊥ A D$

Ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} A D ⊥ O I - c m t \\ A D ⊥ S O (S O ⊥ (A B C D)) \\ O I, S O \subset (S O I) \\ O I \cap S O \end{cases} \Rightarrow A D ⊥ (S O I) \\ \Rightarrow A D ⊥ S I \end{array}$

Ta có:

${\begin{cases} (S A D) \cap (A B C D) = A D \\ S I \subset (S A D), S I ⊥ A D \\ O I \subset (A B C D), O I ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow ((S A D), (A B C D)) = (S I, O I)$

Xét tam giác SOI vuông tại O: $(S I, O I) = \hat{S O I}$

Đáp án B.

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s = s (t) = 2 t^{2} + t - 1$ (t được tính bằng giây, s được tính bẳng mét)

a) Đạo hàm của hàm số $s (t)$ tại thời điểm $t_{0}$ là: $t_{0} + 4$

Đúng

Sai

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 2$ là $9 (m / s)$

Đúng

Sai

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 5$ là 12 $(m / s)$

Đúng

Sai

d) Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ $t = 0$ tới $t = 2 s$ là 5 (m/s)

Đúng

Sai

Đáp án

a) Đạo hàm của hàm số $s (t)$ tại thời điểm $t_{0}$ là: $t_{0} + 4$

Đúng

Sai

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 2$ là $9 (m / s)$

Đúng

Sai

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 5$ là 12 $(m / s)$

Đúng

Sai

d) Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ $t = 0$ tới $t = 2 s$ là 5 (m/s)

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Phương trình vận tốc của chất điểm: $v (t) = s^{'} (t)$

Phương trình gia tốc của chất điểm: $a (t) = v^{'} (t)$

Lời giải chi tiết :

a) Đạo hàm của hàm số $s (t)$ tại thời điểm $t_{0}$

Ta có:

$\begin{array}{l} f^{'} (t_{0}) = lim_{t \to t_{0}} \frac{f (t) - f (t_{0})}{t - t_{0}} = lim_{t \to t_{0}} (\frac{2 t^{2} + t - 1 - (2 {t_{0}}^{2} + t_{0} - 1)}{t - t_{0}}) \\ = lim_{t \to t_{0}} (\frac{(t - t_{0}) [2 (t + t_{0}) + 1]}{t - t_{0}}) = lim_{t \to t_{0}} [2 (t + t_{0}) + 1] = 4 t_{0} + 1 \end{array}$

b) Phương trình vận tốc của chất điểm là: $v (t) = s^{'} = s^{'} (t) = 4 t + 1$

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2 (s) là: $v (2) = 4.2 + 1 = 9$ $(m / s)$

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 (s) là: $v (5) = 4.5 + 1 = 21$ $(m / s)$

d) Trong khoảng thời gian từ $t = 0$ tới $t = 2 s$ thì chất điểm di chuyển được quãng đường: $4.2 + 2 - 1 = 9 (m)$

Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 2s kể từ thời điểm $t = 0$ là:

$\bar{v} = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{9 - 0}{2 - 0} = 4, 5 (m / s)$

Câu 2 : Cho hàm số có đồ thị (C): $y = f (x) = x^{2} + 2 x - 4 (C)$

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ thuộc $(C)$ là k = 2

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_{0} = 0$ thuộc $(C)$ là $y = 2 x - 4$

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ $y_{0} = - 1$ là: $y = 4 x - 5$ hoặc $y = - 4 x - 13$

Đúng

Sai

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến $k = - 4$ là $y = - 4 x - 13$

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ thuộc $(C)$ là k = 2

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_{0} = 0$ thuộc $(C)$ là $y = 2 x - 4$

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ $y_{0} = - 1$ là: $y = 4 x - 5$ hoặc $y = - 4 x - 13$

Đúng

Sai

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến $k = - 4$ là $y = - 4 x - 13$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = f^{'} (x) = {(x^{2} + 2 x - 4)}^{'} = 2 x + 2$

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ là $k = y^{'} (1) = 4$

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_{0} = 0$ thuộc $(C)$ là:

$y = y^{'} (0) (x - 0) + y (0) \Leftrightarrow y = 2 x - 4$

c) Với $y_{0} = - 1 \Rightarrow y = x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 4 = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 1 \\ x_{0} = - 3 \end{array}$ . Vậy có hai tiếp điểm thuộc $(C)$ có tung độ $y_{0} = - 1$ là $(1; - 1)$ và $(- 3; - 1)$ . Nên ta có:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1; - 1)$ là: $y = y^{'} (1) (x - 1) + y (1) \Leftrightarrow y = 4 x - 5$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(- 3; - 1)$ là: $y = y^{'} (- 3) (x + 3) + y (- 3) \Leftrightarrow y = - 4 x - 13$

d)Gọi $M (a; b)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ với hệ số góc $k = - 4$

$\Rightarrow y^{'} (a) = - 4 \Leftrightarrow 2 a + 2 = - 4 \Leftrightarrow a = - 3 \Rightarrow b = - 1$

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc $k = - 4$ là $y = - 4 (x + 3) - 1 \Leftrightarrow y = - 4 x - 13$

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SA vuông góc với đáy. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD

a) $C D ⊥ (S A D)$

Đúng

Sai

b) $S C ⊥ (S A C)$

Đúng

Sai

c) $S C ⊥ H K$

Đúng

Sai

d) $H K ⊥ A I$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $C D ⊥ (S A D)$

Đúng

Sai

b) $S C ⊥ (S A C)$

Đúng

Sai

c) $S C ⊥ H K$

Đúng

Sai

d) $H K ⊥ A I$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

a) Do ABCD là hình vuông nên $C D ⊥ A D \subset (S A D) (1)$

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ C D (2)$

Trong (SAD): $S A \cap A D = A, (3)$

Từ (1), (2) và (3) nên $C D ⊥ (S A D)$

b) Do ABCD là hình vuông nên $B D ⊥ A C (4)$

$S A ⊥ (A B C D); B D \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D (5)$

Trong (SAC): $S A \cap A C = A, (6)$

Từ (4), (5) và (6) nên $B D ⊥ (S A C)$

c)Ta có: ${\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \\ A B, S A \subset (S A B) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$ mà $A H \subset (S A B) \Rightarrow A H ⊥ B C$

Lại có $A H ⊥ S B$ nên theo hệ quả, ta được $A H ⊥ S C$

Theo câu (a), $C D ⊥ (S A D)$ mà $A K \subset (S A D)$ nên $A K ⊥ C D$

Lại có AK là đường cao của tam giác $S A D \Rightarrow A K ⊥ S D$

Nên theo hệ quả $A K ⊥ S C$

Trong tam giác AKH: $A H ⊥ S C, A K ⊥ S C$ nên theo hệ quả $H K ⊥ S C$

d)Ta có: $Δ S A B = Δ S A D (c . g . c) \Rightarrow \frac{S H}{S B} = \frac{S K}{S D} \Rightarrow H K / / B D (7)$

Theo câu (a), $B D ⊥ (S A C)$ mà $A I \subset (S A C) \Rightarrow B D ⊥ A I (8)$

Từ (7) và (8), $H K ⊥ A I$

Câu 4 : Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a) Không gian mẫu là Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}.

Đúng

Sai

b) Số phần tử của biến cố A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10" là n(A) = 6 và số phần tử của biến cố B: "Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần" là n(B) = 11.

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{1}{6}$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố B là $P (B) = \frac{5}{36}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Không gian mẫu là Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}.

Đúng

Sai

b) Số phần tử của biến cố A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10" là n(A) = 6 và số phần tử của biến cố B: "Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần" là n(B) = 11.

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{1}{6}$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố B là $P (B) = \frac{5}{36}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc tính xác suất của biến cố.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Phép thử T: "Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần".

Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.

b) Đúng. A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} nên n(A) = 6.

B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} nên n(B) = 11.

c) Đúng. $P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

d) Sai. $P (B) = \frac{11}{36}$ .

Câu 1 : Tính thời gian trung bình giải bài tập của học sinh lớp 11A được cho trong bảng sau:

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính giá trị trung bình

Lời giải chi tiết :

Tổng số học sinh là n = 45. Thời gian trung bình giải bài toán của học sinh lớp 11 A là:

$\bar{x} = \frac{6.9 + 17.12 + 17.15 + 5.18}{45} = \frac{67}{5} = 13, 4$ (phút)

Câu 2 : Cho hàm số : $f (x) = \sin^{3} (\frac{π}{3} - 2 x)$ . Tính $f^{'} (\frac{π}{3})$ .

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = 3 s i n^{2} (\frac{π}{3} - 2 x) . c o s (\frac{π}{3} - 2 x) . (- 2)$

$f^{'} (x) = - 6 s i n^{2} (\frac{π}{3} - 2 x) . c o s (\frac{π}{3} - 2 x)$

$f^{'} (\frac{π}{3}) = - \frac{9}{4}$

Câu 3 : Sau khi đỗ Đại học bạn Nam được bố mua cho chiếc xe máy để sử dụng. Xe có giá trị ban đầu là 20 triệu, sau mỗi năm giá trị xe giảm 10% so với năm trước đó. Hỏi sau bao nhiêu năm thì giá trị của xe còn lại là 12 triệu.

Phương pháp giải :

Gọi giá trị của xe năm thứ n là $x_{n} = 12.000.000$ đ, giá trị xe ban đầu là $x_{0} = 20.000.000$ đ và với hao mòn $r = 10 %$

Sau một năm giá trị của xe còn lại là: $x_{1} = x_{0} - r x_{0} = x_{0} (1 - r)$

Sau hai năm, giá trị của còn lại là: $x_{2} = x_{1} - r x_{1} = x_{1} (1 - r) = x_{0} (1 - r)^{2}$

Sau n năm, giá trị của xe còn lại là: $x_{n} = x_{n - 1} - r x_{n - 1} = x_{n - 1} (1 - r) = x_{0} (1 - r)^{n}$

Do đó, ta có: $n = \log_{(1 - r)} \frac{x_{n}}{x_{0}}$

Lời giải chi tiết :

Gọi giá trị của xe năm thứ n là $x_{n} = 12.000.000$ đ, giá trị xe ban đầu là $x_{0} = 20.000.000$ đ và với hao mòn $r = 10 %$

Sau một năm giá trị của xe còn lại là: $x_{1} = x_{0} - r x_{0} = x_{0} (1 - r)$

Sau hai năm, giá trị của còn lại là: $x_{2} = x_{1} - r x_{1} = x_{1} (1 - r) = x_{0} (1 - r)^{2}$

Sau n năm, giá trị của xe còn lại là: $x_{n} = x_{n - 1} - r x_{n - 1} = x_{n - 1} (1 - r) = x_{0} (1 - r)^{n}$

Do đó, ta có: $n = \log_{(1 - r)} \frac{x_{n}}{x_{0}} = \log_{(1 - 10 %)} \frac{12.000.000}{20.000.000} = 4.848 \approx 5$ năm

Vậy sau 5 năm thì giá trị còn lại của xe là $12.000.000$ đ

Câu 4 : Tìm a để hàm số $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2}{x - 1}; k h i x \neq 1 \\ 2 x + a; k h i x = 1 \end{cases}$ liên tục trên R

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $f (x_{0}) = f_{2} (x_{0})$

Bước 2: Tính $lim_{x \to x_{0}} f (x) = lim_{x \to x_{0}} f_{1} (x) = L$

Bước 3: Nếu $f_{2} (x_{0}) = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại $x_{0}$

Nếu $f_{2} (x_{0}) \neq L$ thì hàm số f(x) không liên tục tại $x_{0}$ _.

(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x₀, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f₂(x₀), tìm m)

Lời giải chi tiết :

Ta có hàm số liên tục trên $(- \infty; 1) v a (1; + \infty)$ .

Để hs liên tục trên R thì phải liên tục tại $x = 1 \Rightarrow \underset{x \to 1}{lim f (x)} = f (1)$

$\underset{x \to 1}{lim f (x)} = lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} (x^{2} - x + 2) = 2$

$f (1) = 2 + a$

Ta có $\underset{x \to 1}{lim f (x)} = f (1) \Leftrightarrow$ $2 + a = 2 \Leftrightarrow a = 0$ .

Câu 5 : Cho hình chóp $S . A B C$ có cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ và $A B C$ là tam giác đều cạnh bằng $a .$ Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bàng $a \sqrt{\frac{6}{11}}$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C$

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Gọi M là trung điểm của BC thì $A M ⊥ B C$

Dựng AH vuông góc với SM (H thuộc SM)

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên $S A ⊥ B C$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow B C ⊥ (S A M)$

$\Rightarrow A H ⊥ B C$

Từ (a) và (b) $\Rightarrow A H ⊥ (S B C)$

$\Rightarrow d (A, (S B C)) = A H$ = $a \sqrt{\frac{6}{11}}$

Xét $Δ S A M$ ta có

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{{(A M)}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{(a \sqrt{\frac{6}{11}})}^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$\Rightarrow S A = \sqrt{2} a$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S A = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} . \sqrt{2} a = \frac{\sqrt{6}}{12} a^{3}$

Câu 6 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B .$ Biết $A D = 2 a, A B = B C = S A = a .$ Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt đáy, gọi $M$ là trung điểm của $A D .$ Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(S C D)$ theo $a .$

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\frac{d (M, (S C D))}{d (A, (S C D))} = \frac{D M}{D A} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (M, (S C D)) = \frac{1}{2} d (A, (S C D)) .$

Vì $M$ là trung điểm của $A D$ nên có: $A M = M D = \frac{1}{2} A D = a .$

Tứ giác $A B C M$ có: $B C / / A M (g t)$ và $B C = A M = a$ nên nó là hình bình hành.

Suy ra: $C M = A B = a .$

Tam giác $A C D$ có $C M$ là đường trung tuyến và $C M = A M = M D = \frac{1}{2} A D$ nên tam giác $A C D$ là tam giác vuông tại $C .$

Suy ra: $C D ⊥ A C .$

Ta có:

${\begin{cases} C D ⊥ A C (c m t) \\ C D ⊥ S A (d o S A ⊥ (A B C D)) \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S A C) .$

Ta có:

${\begin{cases} C D ⊥ (S A C) \\ C D \subset (S C D) \end{cases} \Rightarrow (S C D) ⊥ (S A C) .$

Trong mặt phẳng $(S A C),$ kẻ $A H ⊥ S C (H \in S C) .$

Ta có:

${\begin{cases} (S C D) ⊥ (S A C) \\ (S C D) \cap (S A C) = S C \\ A H ⊥ S C \\ A H \subset (S A C) \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S C D) .$

Suy ra: $d (A, (S C D)) = A H .$

Tam giác $A B C$ vuông cân tại $B$ có $A B = B C = a$ nên $A C = a \sqrt{2} .$

Tam giác $S A C$ vuông tại $A (d o S A ⊥ (A B C D))$ có :

$A H = \frac{A S . A C}{\sqrt{A S^{2} + A C^{2}}} = \frac{a . a \sqrt{2}}{\sqrt{a^{2} + 2 a^{2}}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} .$

Suy ra: $d (A, (S C D)) = A H = \frac{a \sqrt{6}}{3} .$

Suy ra: $d (M, (S C D)) = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a \sqrt{6}}{6} .$

Vậy $d (M, (S C D)) = \frac{a \sqrt{6}}{6} .$