Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 11
Đề bài
Câu 1 : Rút gọn biểu thức $P = x^{\dfrac{2}{5}}.\sqrt[3]{x}$, với x là số thực dương, được kết quả
-
A.
$P = x^{\frac{17}{5}}$.
-
B.
$P = x^{\frac{2}{15}}$.
-
C.
$P = x^{\frac{11}{15}}$.
-
D.
$P = x^{\frac{6}{5}}$.
Câu 2 : Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số $y = log_{3}\left\lbrack {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \right\rbrack$?
-
A.
7.
-
B.
8.
-
C.
Vô số.
-
D.
9.
Câu 3 : Cho a là số thực dương khác 2. Tính $I = \log_{\frac{a}{2}}\left( \frac{a^{3}}{8} \right)$.
-
A.
$I = - 3$.
-
B.
$I = \dfrac{1}{3}$.
-
C.
$I = - \dfrac{1}{3}$.
-
D.
$I = 3$.
Câu 4 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
-
A.
$SC \perp (ABCD)$.
-
B.
$SO \perp (ABCD)$.
-
C.
$SB \perp (ABCD)$.
-
D.
$SA \perp (ABCD)$.
Câu 5 : Cho hình chóp S.ABC có $SA\bot\left( {ABC} \right),$ tam giác ABC vuông tại B, kết luận nào sau đây sai?
-
A.
$\left( {SAC} \right)\bot\left( {SBC} \right)$.
-
B.
$\left( {SAC} \right)\bot\left( {ABC} \right)$.
-
C.
$\left( {SAB} \right)\bot\left( {ABC} \right)$.
-
D.
$\left( {SAB} \right)\bot\left( {SBC} \right)$.
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot\left( {ABCD} \right)$, ABCD là hình chữ nhật. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là độ dài đoạn thẳng nào dưới đây?
-
A.
AC.
-
B.
AB.
-
C.
BD.
-
D.
SA
Câu 7 : Cho hai biến cố A và B. Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là
-
A.
Không giao với nhau.
-
B.
Biến cố đối của nhau.
-
C.
Xung khắc với nhau.
-
D.
Độc lập với nhau.
Câu 8 : Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Công thức nào sau đây đúng?
-
A.
$P\left( {AB} \right) = P(A) - P(B)$.
-
B.
$P\left( {AB} \right) = P(A) + P(B) + P\left( {A \cup B} \right)$.
-
C.
$P\left( {AB} \right) = P(A) + P(B)$.
-
D.
$P\left( {AB} \right) = P(A).P(B)$.
Câu 9 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\). Kết quả đúng là
-
A.
f’(2) = 3
-
B.
f’(x) = 2
-
C.
f’(x) = 3
-
D.
f’(3) = 2
Câu 10 : Đạo hàm của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 1 \) là
-
A.
\( y' = x^2 - 2x \).
-
B.
\( y' = x^2 - 2x + 1 \).
-
C.
\( y' = x^3 - 2x \).
-
D.
\( y' = \frac{1}{3}x^2 - 2x \).
Câu 11 : Đạo hàm của hàm số \({x^2} + {3^x}\) trên \(\mathbb{R}\) là
-
A.
\(y' = 2x + {3^x}\)
-
B.
\(y' = 2x + {3^x}\ln 3\)
-
C.
\(y' = 2x + x{3^{x - 1}}\)
-
D.
\(y' = x + {3^x}\ln 3\)
Câu 12 : Đạo hàm của hàm số \(y = {\sin ^2}2x\) là
-
A.
\(2\sin 2x.\)
-
B.
\(2\sin 4x.\)
-
C.
\(2\cos 2x.\)
-
D.
\(\sin 4x.\)
Câu 1 : Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - 2x^{2} - 5x + 1$ có đồ thị (C).
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(0; 1) là y = -5x – 1.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ bằng -8.
c) Đạo hàm cấp hai f’’(-2) = 0.
d) $f'(x) = 3x^{2} - 4x - 5$.
Câu 2 : Một hộp chứa các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau gồm 5 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi từ hộp, trong đó có x viên bi trắng, y viên bi đỏ và z viên bi xanh.
a) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{19}^{5}$.
b) Xác suất lấy được 5 viên bi đều màu xanh là $\dfrac{1}{2907}$.
c) Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh nhỏ hơn 0,94.
d) Xác suất lấy được 5 viên đủ cả ba màu, đồng thời ba số x - y, y - z, z - x theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng $\dfrac{215}{969}$.
Câu 1 : Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = 3\sin 2t + 2\cos 2t$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động được của chất điểm trong t giây tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm đó khi $t = \dfrac{\pi}{4}$ bằng bao nhiêu $m/s^{2}$?
Câu 2 : Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép (tức là tiền lãi được cộng vào vốn của kỳ kế tiếp). Ban đầu người đó gửi với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 2,1%/kỳ hạn, sau 2 năm người đó thay đổi phương thức gửi, chuyển thành kỳ hạn 1 tháng với lãi suất 0,65%/tháng.
Tính tổng số tiền lãi nhận được sau 5 năm (đơn vị là triệu đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 3 : Bạn Tiến làm một bài kiểm tra gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 0,5 điểm. Bạn ấy đã làm đúng 15 câu, trong những câu còn lại có 2 câu bạn ấy đã loại được một phương án sai. Do quá sát giờ nộp bài nên bạn ấy đã trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn Tiến được 9 điểm. (làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 4 : Một người cần sơn các mặt của một cái bục (trừ đáy lớn) để đặt một bức tượng. Bục có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn. (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải và đáp án
Câu 1 : Rút gọn biểu thức $P = x^{\dfrac{2}{5}}.\sqrt[3]{x}$, với x là số thực dương, được kết quả
-
A.
$P = x^{\frac{17}{5}}$.
-
B.
$P = x^{\frac{2}{15}}$.
-
C.
$P = x^{\frac{11}{15}}$.
-
D.
$P = x^{\frac{6}{5}}$.
Đáp án : C
Áp dụng tính chất của căn bậc n và lũy thừa.
\(P = {x^{\frac{2}{5}}}.\sqrt[3]{x} = {x^{\frac{2}{5}}}.{x^{\frac{1}{3}}}\)
\(= {x^{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{{11}}{{15}}}}\).
Câu 2 : Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số $y = log_{3}\left\lbrack {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \right\rbrack$?
-
A.
7.
-
B.
8.
-
C.
Vô số.
-
D.
9.
Đáp án : A
Tập xác định của $\log_{a}x(x > 0)$.
Điều kiện: $\ (6 - x)(x + 2) > 0$
$\Leftrightarrow - 2 < x < 6 $
Mà $x \in Z\Rightarrow x \in \left\{ - 1;0;1;2;3;4;5 \right\} $.
Vậy có 7 số nguyên thuộc tập xác định của hàm số.
Câu 3 : Cho a là số thực dương khác 2. Tính $I = \log_{\frac{a}{2}}\left( \frac{a^{3}}{8} \right)$.
-
A.
$I = - 3$.
-
B.
$I = \dfrac{1}{3}$.
-
C.
$I = - \dfrac{1}{3}$.
-
D.
$I = 3$.
Đáp án : D
Áp dụng tính chất của logarit.
\(I = {\log _{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^3}}}{8}} \right) = {\log _{\frac{a}{2}}}{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = 3\).
Câu 4 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
-
A.
$SC \perp (ABCD)$.
-
B.
$SO \perp (ABCD)$.
-
C.
$SB \perp (ABCD)$.
-
D.
$SA \perp (ABCD)$.
Đáp án : B
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng thuộc (P).
Vì O là tâm hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD. Khi đó, hai tam giác SAC và SBD cùng cân tại S có SO là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao.
\(\left. \begin{array}{l}SO \bot AC\\SO \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot (ABCD)\).
Câu 5 : Cho hình chóp S.ABC có $SA\bot\left( {ABC} \right),$ tam giác ABC vuông tại B, kết luận nào sau đây sai?
-
A.
$\left( {SAC} \right)\bot\left( {SBC} \right)$.
-
B.
$\left( {SAC} \right)\bot\left( {ABC} \right)$.
-
C.
$\left( {SAB} \right)\bot\left( {ABC} \right)$.
-
D.
$\left( {SAB} \right)\bot\left( {SBC} \right)$.
Đáp án : A
Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) chứa d cũng vuông góc với (P).
\(SA \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AC\\SA \bot AB\end{array} \right.\), mà \((SAB) \cap (SAC) = SA\), do đó:
\(\left( {(SAB),(SAC)} \right) = \left( {AB,AC} \right) = \widehat {BAC} \ne {90^o}\). Vậy kết luận ở đáp án A sai.
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot\left( {ABCD} \right)$, ABCD là hình chữ nhật. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là độ dài đoạn thẳng nào dưới đây?
-
A.
AC.
-
B.
AB.
-
C.
BD.
-
D.
SA
Đáp án : B
Tìm đường vuông góc chung.
Ta có $SA\bot\left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA\bot AB$, $AB\bot BC\Rightarrow AB$ là đường vuông góc chung của SA và BC nên $d\left( {SA,BC} \right) = AB$.
Câu 7 : Cho hai biến cố A và B. Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là
-
A.
Không giao với nhau.
-
B.
Biến cố đối của nhau.
-
C.
Xung khắc với nhau.
-
D.
Độc lập với nhau.
Đáp án : D
Dựa vào định nghĩa các biến cố.
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau.
Câu 8 : Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Công thức nào sau đây đúng?
-
A.
$P\left( {AB} \right) = P(A) - P(B)$.
-
B.
$P\left( {AB} \right) = P(A) + P(B) + P\left( {A \cup B} \right)$.
-
C.
$P\left( {AB} \right) = P(A) + P(B)$.
-
D.
$P\left( {AB} \right) = P(A).P(B)$.
Đáp án : D
Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, $P\left( {AB} \right) = P(A) . P(B)$.
Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập$P\left( {AB} \right) = P(A) . P(B)$.
Câu 9 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\). Kết quả đúng là
-
A.
f’(2) = 3
-
B.
f’(x) = 2
-
C.
f’(x) = 3
-
D.
f’(3) = 2
Đáp án : A
Áp dụng định nghĩa đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).
Ta có định nghĩa đạo hàm: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).
Suy ra: \(f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}\) (với \({x_0} = 2\)).
Mà theo đề bài: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\).
Do đó: \(f'(2) = 3\).
Câu 10 : Đạo hàm của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 1 \) là
-
A.
\( y' = x^2 - 2x \).
-
B.
\( y' = x^2 - 2x + 1 \).
-
C.
\( y' = x^3 - 2x \).
-
D.
\( y' = \frac{1}{3}x^2 - 2x \).
Đáp án : A
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số luỹ thừa.
\(y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 0 = x^2 - 2x\).
Câu 11 : Đạo hàm của hàm số \({x^2} + {3^x}\) trên \(\mathbb{R}\) là
-
A.
\(y' = 2x + {3^x}\)
-
B.
\(y' = 2x + {3^x}\ln 3\)
-
C.
\(y' = 2x + x{3^{x - 1}}\)
-
D.
\(y' = x + {3^x}\ln 3\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\) và \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}\ln a\).
\(y' = \left( {{x^2} + {3^x}} \right)' = 2x + {3^x}\ln 3\).
Câu 12 : Đạo hàm của hàm số \(y = {\sin ^2}2x\) là
-
A.
\(2\sin 2x.\)
-
B.
\(2\sin 4x.\)
-
C.
\(2\cos 2x.\)
-
D.
\(\sin 4x.\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức đạo hàm \({\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u'\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {\sin ^2}2x\) là:
\(y' = {\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^\prime } \)
\(= 2.\sin 2x.{\left( {\sin 2x} \right)^\prime } \)
\(= 2.\sin 2x.2\cos 2x \)
\(= 4\sin 2x\cos 2x\)
\(= 2\sin 4x\).
Câu 1 : Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - 2x^{2} - 5x + 1$ có đồ thị (C).
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(0; 1) là y = -5x – 1.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ bằng -8.
c) Đạo hàm cấp hai f’’(-2) = 0.
d) $f'(x) = 3x^{2} - 4x - 5$.
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(0; 1) là y = -5x – 1.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ bằng -8.
c) Đạo hàm cấp hai f’’(-2) = 0.
d) $f'(x) = 3x^{2} - 4x - 5$.
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \({M_0}({x_0};f({x_0}))\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({M_0}({x_0};f({x_0}))\) là \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\).
d) Sai. \(f'(x) = {x^2} - 4x - 5\).
c) Sai. \(f''(x) = 2x - 4 \Rightarrow f''( - 2) = 2( - 2) - 4 = - 8\).
b) Đúng. \(f'(1) = {1^2} - 4.1 - 5 = - 8\).
a) Sai. \(f'(0) = {0^2} - 4.0 - 5 = - 5\).
Phương trình tiếp tuyến:
\(y = - 5(x - 0) + 1 \Leftrightarrow y = - 5x + 1\).
Câu 2 : Một hộp chứa các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau gồm 5 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi từ hộp, trong đó có x viên bi trắng, y viên bi đỏ và z viên bi xanh.
a) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{19}^{5}$.
b) Xác suất lấy được 5 viên bi đều màu xanh là $\dfrac{1}{2907}$.
c) Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh nhỏ hơn 0,94.
d) Xác suất lấy được 5 viên đủ cả ba màu, đồng thời ba số x - y, y - z, z - x theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng $\dfrac{215}{969}$.
a) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{19}^{5}$.
b) Xác suất lấy được 5 viên bi đều màu xanh là $\dfrac{1}{2907}$.
c) Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh nhỏ hơn 0,94.
d) Xác suất lấy được 5 viên đủ cả ba màu, đồng thời ba số x - y, y - z, z - x theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng $\dfrac{215}{969}$.
Áp dụng phương pháp tổ hợp, tính chất của cấp số cộng.
Tổng số viên bi là: 5 + 6 + 8 = 19.
a) Đúng. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{19}^{5}$.
b) Sai. Xác suất được 5 viên bi đều màu xanh là: $\dfrac{C_{8}^{5}}{C_{19}^{5}} = \dfrac{14}{2907}$.
c) Sai. Xác suất trong 5 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào là: $\dfrac{C_{11}^{5}}{C_{19}^{5}} = \dfrac{77}{1938}$.
Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất 1 viên bi màu xanh là: $1 - \dfrac{77}{1938} \approx 0,96 > 0,94$.
d) Đúng. Theo giả thiết: x + y + z = 5 (*).
Ba số x – y, y – z, z – x theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên theo tính chất của cấp số cộng, ta có: $\left. 2(y - z) = (x - y) + (z - x)\Leftrightarrow y = z \right.$.
Thay y = z vào (*), ta được: x + 2y = 5.
Vì $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$ nên ta có các trường hợp sau:
TH1: $\left. y = 1\Rightarrow z = 1,x = 3 \right.$ (3 trắng, 1 đỏ, 1 xanh).
Số cách: $C_{5}^{3}.C_{6}^{1}.C_{8}^{1} = 10.6.8 = 480$.
TH2: $\left. y = 2\Rightarrow z = 2,x = 1 \right.$ (1 trắng, 2 đỏ, 2 xanh).
Số cách: $C_{5}^{1}.C_{6}^{2}.C_{8}^{2} = 5.15.28 = 2100$.
Tổng số cách là: 480 + 2100 = 2580. Vậy xác suất cần tìm là: $\dfrac{2580}{C_{19}^{5}} = \dfrac{215}{969}$.
Câu 1 : Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = 3\sin 2t + 2\cos 2t$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động được của chất điểm trong t giây tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm đó khi $t = \dfrac{\pi}{4}$ bằng bao nhiêu $m/s^{2}$?
+ Vì a(t) = s”(t), tìm được hàm gia tốc a(t).
+ Tính $a\left( \dfrac{\pi }{4} \right)$.
Ta có: $s’(t) = {6\cos2t - 4\sin2t}$;
$s”(t) = {-12\sin2t - 8\cos2t}$.
Do đó gia tốc của chất điểm là:
$a(t) = s”(t) = {-12\sin2t - 8\cos2t}$.
Ta có: $a\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-12\sin \left( 2\cdot \dfrac{\pi }{4} \right)-8\cos \left( 2\cdot \dfrac{\pi }{4} \right)=-12$ $\left( m/{{s}^{2}} \right)$.
Vậy gia tốc của chất điểm đó khi $t = \dfrac{\pi}{4}$ bằng $-12 m/{{s}^{2}}$.
Câu 2 : Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép (tức là tiền lãi được cộng vào vốn của kỳ kế tiếp). Ban đầu người đó gửi với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 2,1%/kỳ hạn, sau 2 năm người đó thay đổi phương thức gửi, chuyển thành kỳ hạn 1 tháng với lãi suất 0,65%/tháng.
Tính tổng số tiền lãi nhận được sau 5 năm (đơn vị là triệu đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Áp dụng công thức lãi kép.
Xét 2 năm đầu tiên, số tiền nhận được là:
$T_{1} = 200.10^{6}\left( {1 + 2,1\%} \right)^{\dfrac{2.12}{3}} \approx 236176000$ (đồng).
Số tiền nhận được sau 5 năm là:
$T_{2} = T_{1}\left( {1 + 0,65\%} \right)^{3.12} = 298217000$ (đồng).
Tổng số tiền lãi nhận được sau 5 năm là:
$298217000 - 200000000 = 98217000$ (đồng).
Câu 3 : Bạn Tiến làm một bài kiểm tra gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 0,5 điểm. Bạn ấy đã làm đúng 15 câu, trong những câu còn lại có 2 câu bạn ấy đã loại được một phương án sai. Do quá sát giờ nộp bài nên bạn ấy đã trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn Tiến được 9 điểm. (làm tròn đến hàng phần trăm).
Chia trường hợp và áp dụng các quy tắc đếm, tổ hợp để tính xác suất.
Để được 9 điểm, Tiến phải làm đúng 18 câu. Vì đã làm đúng 15 câu nên Tiến phải làm đúng thêm 3 câu nữa.
Trong 5 câu còn lại, có 2 câu xác suất Tiến làm đúng là \(\frac{1}{3}\), 3 câu xác suất Tiến làm đúng là \(\frac{1}{4}\).
TH1: Tiến làm đúng 2 câu đã loại đáp án và 1 câu chưa loại đáp án:
\(C_2^2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}C_3^1\left( {\frac{1}{4}} \right){\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{3}{{64}}\).
TH2: Tiến làm đúng 1 câu đã loại đáp án và 2 câu chưa loại đáp án:
\(C_2^1\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)C_3^2{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{{16}}\).
TH3: Tiến làm đúng 3 câu chưa loại đáp án:
\(C_2^0{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}C_3^3{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = \frac{1}{{144}}\).
Xác suất để Tiến được 9 điểm là: \(\frac{3}{{64}} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{144}} \approx 0,12\).
Câu 4 : Một người cần sơn các mặt của một cái bục (trừ đáy lớn) để đặt một bức tượng. Bục có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn. (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Tính diện tích đáy nhỏ và diện tích 4 mặt bên là hình thang.
Xét một mặt của hình chóp cụt tứ giác đều giả sử là hình thang cân $ABCD$, chiều cao $AH$ ta có:
$DH = 0,15$ (m).
$AH = \sqrt{0,7^2 - 0,15^2} = \frac{\sqrt{187}}{20}$ (m).
Diện tích hình thang $ABCD$ là:
$S_{ABCD} = \frac{(1+0,7)\sqrt{187}}{2.20} = \frac{17\sqrt{187}}{400}$ $(m^2)$.
Diện tích mặt đáy nhỏ là $0,7^2 = 0,49$ $(m^2)$.
Tổng diện tích cần sơn là:
$\frac{17\sqrt{187}}{400} \cdot 4 + 0,49 \approx 2,81$ $(m^2)$.
Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\).
\(y' = {\left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = - 3\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)\).
Áp dụng quy tắc giải bất phương trình logarit.
a) \({\log _3}x < 2\)
\(\Leftrightarrow 0 < x < {3^2}\)
\(\Leftrightarrow 0 < x < 9\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 9).
b) \({\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x - 5} \right) \ge - 2\)
\( \Leftrightarrow 0 < x - 5 \le {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2}}\)
\(\Leftrightarrow 5 < x \le 21\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5; 21].
Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính góc.
Có $AB\perp(BCC'B')$ nên $C'B\perp AB$ (1).
Có $(ABCD)$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $D$, bờ là đường thẳng $AB$.
Có $BC\subset(ABCD)$ và $BC\perp AB$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra góc $\widehat{C'BC}$ là góc phẳng nhị diện $[C',AB,D]$.
Tam giác $CBC'$ vuông tại $C$. Do đó:
$BC'=\sqrt{BC^{2}+CC'^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$.
Ta có $\cos\widehat{CBC'}=\frac{BC}{BC'}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$.