Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 12

Câu 1 : Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{x . \sqrt[4]{x^{3} \sqrt{x}}}$ , với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

$P = x^{\frac{5}{8}}$ .
B.

$P = x^{\frac{1}{2}}$ .
C.

$P = x^{\frac{7}{12}}$ .
D.

$P = x^{\frac{7}{24}}$ .

Câu 2 : Tập xác định $D$ của hàm số $y = \ln (4 - 3 x - x^{2})$ là

A.

$D = (- 4; 1)$ .
B.

$D = (- \infty; - 4] \cup [1; + \infty)$ .
C.

$D = (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$ .
D.

$D = [- 4; 1]$ .

Câu 3 : Cho các số thực dương x, y thỏa mãn ${log}_{2} x = a$ , ${log}_{2} y = b$ . Giá trị của biểu thức ${log}_{2} (x^{2} y^{3})$ bằng

A.

$6 a b$ .
B.

$a^{2} b^{3}$ .
C.

$a^{2} + b^{3}$ .
D.

$2 a + 3 b$ .

Câu 4 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Hãy chọn khẳng định đúng.

A.

$B C ⊥ A H$ .
B.

$A H ⊥ S C$ .
C.

$S H ⊥ A C$ .
D.

$B C ⊥ A B$ .

Câu 5 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật và $S A$ vuông góc với $(A B C D)$ .

Khi đó, mặt phẳng $(S C D)$ vuông góc với mặt phẳng

A.

$(S B C)$ .
B.

$(S A C)$ .
C.

$(S A D) .$
D.

$(A B C D)$ .

Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC (tham khảo hình vẽ). Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

A.

$d (S A, B C) = B M$ .
B.

$d (S A, B C) = M N$ .
C.

$d (S A, B C) = A B$ .
D.

$d (S A, B C) = A N$ .

Câu 7 : Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 30. Xét các biến cố A: “Số được chọn chia hết cho 3”; B: “Số được chọn chia hết cho 4”. Khi đó biến cố $A \cap B$ là

A.

{12; 24}.
B.

{3; 4; 12; 24}.
C.

{3; 4; 6; 8; 9; 12; 15; 16; 20; 24; 28}.
D.

{3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30}.

Câu 8 : Cho hai biến cố A và B độc lập. Chọn khẳng định ĐÚNG.

A.

$P (A \cap B) = P (B) - P (A)$ .
B.

$P (A \cap B) = P (A) . P (B)$ .
C.

$P (A \cap B) = P (A) - P (B)$ .
D.

$P (A \cap B) = P (A) + P (B)$ .

Câu 9 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên $R$ và thỏa mãn $lim_{x \to 6} \frac{f (x) - f (6)}{x - 6} = 2$ . Khi đó f’(6) bằng bao nhiêu?

A.

$12.$
B.

$\frac{1}{3} .$
C.

$\frac{1}{2} .$
D.

$2$ .

Câu 10 : Hàm số $y = x^{2} + x + 1$ có đạo hàm trên $R$ là

A.

$y^{'} = 3 x$
B.

$y^{'} = 2 + x$
C.

$y^{'} = x^{2} + x$
D.

$y^{'} = 2 x + 1$

Câu 11 : Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$ là

A.

$y^{'} = - \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}}$
B.

$y^{'} = \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{3}}$
C.

$y^{'} = \frac{- 3}{x^{4}} - \frac{2}{x^{3}}$
D.

$y^{'} = \frac{3}{x^{4}} - \frac{1}{x^{3}}$

Câu 12 : Hàm số $y = 2^{\ln x + x^{2}}$ có đạo hàm là

A.

$(\frac{1}{x} + 2 x) 2^{\ln x + x^{2}}$
B.

$(\frac{1}{x} + 2 x) 2^{\ln x + x^{2}} . \ln 2$
C.

$\frac{2^{\ln x + x^{2}}}{\ln 2}$
D.

$(\frac{1}{x} + 2 x) \frac{2^{\ln x + x^{2}}}{\ln 2}$

Câu 1 : Cho hàm số $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x + 2$ có đồ thị (C) và điểm A(0; 2).

a) Hàm số đã cho có đạo hàm là $f^{'} (x) = x^{2} - 6 x + 7$ .

Đúng

Sai

b) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A có hệ số góc bằng -7.

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(0; 2) là y = 7x + 2.

Đúng

Sai

d) Bất phương trình có ngiệm f’(x) > 7 có tập ngiệm S = (0; 6).

Đúng

Sai

Câu 2 : Trong vòng chung kết của cuộc thi ĐƯỜNG ĐẾN VINH QUANG có 4 thí sinh An, Bình, Toàn và Phương tham gia thi đấu. Sau khi An, Bình và Toàn hoàn thành phần thi cuối của mình, điểm số của ba bạn đạt được lần lượt là 180 điểm, 200 điểm và 170 điểm. Bạn Phương là thí sinh cuối cùng bước vào phần thi cuối với điểm số hiện có là 190 điểm.

Tại phần thi cuối, mỗi thí sinh phải trả lời 3 câu hỏi thuộc ba lĩnh vực: Tự nhiên, Xã hội và Tiếng Anh. Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm, trả lời sai hoặc không trả lời bị trừ 10 điểm. Thí sinh có quyền sử dụng "Ngôi sao hy vọng" tối đa một lần cho một trong ba câu hỏi, nếu trả lời đúng nhận được 40 điểm, trả lời sai hoặc không trả lời bị trừ 20 điểm.

Biết xác suất Phương trả lời đúng câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên, Xã hội và Tiếng Anh lần lượt là 0,7; 0,4 và 0,3.

Giả thiết rằng việc trả lời đúng mỗi câu hỏi không làm thay đổi xác suất trả lời đúng hoặc sai các câu hỏi còn lại.

a) Xác suất để Phương trả lời sai câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên là 0,3.

Đúng

Sai

b) Xác suất để Phương trả lời đúng cả ba câu hỏi là 0,084.

Đúng

Sai

c) Xác suất để Phương trả lời đúng ít nhất một trong ba câu hỏi là 0,916.

Đúng

Sai

d) Nếu Phương chọn "Ngôi sao hy vọng" ở câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên thì xác suất để Phương trở thành quán quân của cuộc thi này là 0,736.

Đúng

Sai

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động nhanh dần đều với quãng đường $S (t) = 10 t^{2}$ mét, t là thời gian chuyển động của chất điểm (tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời đểm t = 2 giây là bao nhiêu $m/s$ ?

Câu 2 : Trong khoa học môi trường, người ta sử dụng công thức $A = k . D^{b}$ để ước tính tuổi của một cây dựa vào đường kính của thân cây, trong đó: A là tuổi của cây (tính bằng năm), D là đường kính thân cây (tính bằng cm), k và b là các hằng số phụ thuộc vào loại cây.

Với một loại cây rừng đặc biệt có đường kính 30 cm, các nhà nghiên cứu xác định được rằng k = 2,5 và b = 1,3.

Hãy tính tuổi của cây rừng trên. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 3 : Một người môi giới bất động sản có 8 chìa khóa để mở 8 ngôi nhà mới. Mỗi chìa khóa chỉ mở được đúng 1 ngôi nhà. Biết có 3 ngôi nhà thường không khóa cửa, người môi giới chọn ngẫu nhiên 3 chìa khóa mang theo. Hỏi nếu người môi giới chọn ngẫu nhiên một nhà để vào thì xác suất để người môi giới này có thể vào được là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4 : Cô Hà có 10 khay làm đá giống nhau (như hình dưới), mỗi khay sẽ tạo được 6 viên đá. Các viên đá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh của đáy lớn bằng 3 cm, cạnh của đáy nhỏ bằng 1,5 cm và cao 3 cm.

Hỏi cô Hà cần dùng bao nhiêu lít nước để làm đá nếu cô dùng hết cả 10 khay? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1 : Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \cos (\frac{π}{4} - 2 x) .$

Câu 2 : Giải các bất phương trình sau:

a) $\log_{2} (x - 2) < 2$ ;

b) $\log (x + 1) \geq \log (2 x - 1)$ .

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\hat{A B C} = 60^{o}$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng $S O ⊥ (A B C D)$ , $S O = \frac{3 a}{4}$ . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)?

Câu 1 : Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{x . \sqrt[4]{x^{3} \sqrt{x}}}$ , với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

$P = x^{\frac{5}{8}}$ .
B.

$P = x^{\frac{1}{2}}$ .
C.

$P = x^{\frac{7}{12}}$ .
D.

$P = x^{\frac{7}{24}}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng các tính chất của căn bậc n.

Lời giải chi tiết :

$P = \sqrt[3]{x . \sqrt[4]{x^{3} \sqrt{x}}} = \sqrt[3]{x . \sqrt[4]{x^{3} x^{\frac{1}{2}}}}$

$= \sqrt[3]{x . \sqrt[4]{x^{\frac{7}{2}}}} = \sqrt[3]{x . x^{\frac{7}{8}}}$

$= \sqrt[3]{x^{\frac{15}{8}}} = x^{\frac{15}{24}} = x^{\frac{5}{8}}$ .

Câu 2 : Tập xác định $D$ của hàm số $y = \ln (4 - 3 x - x^{2})$ là

A.

$D = (- 4; 1)$ .
B.

$D = (- \infty; - 4] \cup [1; + \infty)$ .
C.

$D = (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$ .
D.

$D = [- 4; 1]$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình $4 - 3 x - x^{2} > 0$ , từ đó tìm được tập xác định của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \ln (4 - 3 x - x^{2})$ xác định khi:

$4 - 3 x - x^{2} > 0$

$\Leftrightarrow - 4 < x < 1$ .

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là $D = (- 4; 1)$ .

Câu 3 : Cho các số thực dương x, y thỏa mãn ${log}_{2} x = a$ , ${log}_{2} y = b$ . Giá trị của biểu thức ${log}_{2} (x^{2} y^{3})$ bằng

A.

$6 a b$ .
B.

$a^{2} b^{3}$ .
C.

$a^{2} + b^{3}$ .
D.

$2 a + 3 b$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng các tính chất logarit.

Lời giải chi tiết :

$l o g_{2} (x^{2} y^{3}) = \log_{2} x^{2} + \log_{2} y^{3}$

$= 2 \log_{2} x + 3 \log_{2} y = 2 a + 3 b$ .

Câu 4 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Hãy chọn khẳng định đúng.

A.

$B C ⊥ A H$ .
B.

$A H ⊥ S C$ .
C.

$S H ⊥ A C$ .
D.

$B C ⊥ A B$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C \\ S H ⊥ B C \end{array}} \Rightarrow B C ⊥ (S A H) \Rightarrow B C ⊥ A H$ .

Câu 5 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật và $S A$ vuông góc với $(A B C D)$ .

Khi đó, mặt phẳng $(S C D)$ vuông góc với mặt phẳng

A.

$(S B C)$ .
B.

$(S A C)$ .
C.

$(S A D) .$
D.

$(A B C D)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\begin{array}{l} C D ⊥ S A \\ C D ⊥ A D \end{array} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow (S C D) ⊥ (S A D)$ .

Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC (tham khảo hình vẽ). Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

A.

$d (S A, B C) = B M$ .
B.

$d (S A, B C) = M N$ .
C.

$d (S A, B C) = A B$ .
D.

$d (S A, B C) = A N$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm đoạn vuông góc chung của SA và BC.

Lời giải chi tiết :

Có ${\begin{cases} S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ A B \\ B C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B$ là đoạn vuông góc chung của SA và BC, hay $d (S A, B C) = A B$ .

Câu 7 : Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 30. Xét các biến cố A: “Số được chọn chia hết cho 3”; B: “Số được chọn chia hết cho 4”. Khi đó biến cố $A \cap B$ là

A.

{12; 24}.
B.

{3; 4; 12; 24}.
C.

{3; 4; 6; 8; 9; 12; 15; 16; 20; 24; 28}.
D.

{3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30}.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Viết tập hợp A, B rồi tìm giao của A và B (gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B).

Lời giải chi tiết :

A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30}.

B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}.

$A \cap B = {12; 24}$ .

Câu 8 : Cho hai biến cố A và B độc lập. Chọn khẳng định ĐÚNG.

A.

$P (A \cap B) = P (B) - P (A)$ .
B.

$P (A \cap B) = P (A) . P (B)$ .
C.

$P (A \cap B) = P (A) - P (B)$ .
D.

$P (A \cap B) = P (A) + P (B)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nhân xác suất hai biến cố độc lập.

Lời giải chi tiết :

$P (A \cap B) = P (A) . P (B)$ .

Câu 9 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên $R$ và thỏa mãn $lim_{x \to 6} \frac{f (x) - f (6)}{x - 6} = 2$ . Khi đó f’(6) bằng bao nhiêu?

A.

$12.$
B.

$\frac{1}{3} .$
C.

$\frac{1}{2} .$
D.

$2$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa đạo hàm: $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (6) = lim_{x \to 6} \frac{f (x) - f (6)}{x - 6} = 2$ .

Câu 10 : Hàm số $y = x^{2} + x + 1$ có đạo hàm trên $R$ là

A.

$y^{'} = 3 x$
B.

$y^{'} = 2 + x$
C.

$y^{'} = x^{2} + x$
D.

$y^{'} = 2 x + 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức ${(x^{α})}^{'} = α . x^{α - 1}$ .

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = {(x^{2} + x + 1)}^{'} = 2 x + 1$ .

Câu 11 : Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$ là

A.

$y^{'} = - \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}}$
B.

$y^{'} = \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{3}}$
C.

$y^{'} = \frac{- 3}{x^{4}} - \frac{2}{x^{3}}$
D.

$y^{'} = \frac{3}{x^{4}} - \frac{1}{x^{3}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đưa về dạng $x^{n}$ và áp dụng công thức ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ .

Lời giải chi tiết :

$y = \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} = x^{- 3} - x^{- 2}$

$\Rightarrow y^{'} = - 3 x^{- 4} - (- 2) x^{- 3} = \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{3}}$ .

Chú ý

Các em còn có thể sử dụng công thức ${(\frac{1}{x^{n}})}^{'} = - \frac{n . x^{n - 1}}{x^{2 n}}$ để tính đạo hàm các hàm số đã cho.

Một số em khi tính đạo hàm có thể sẽ thiếu dấu “ $-$ “ ở chỗ $(- 2) . x^{- 3}$ dẫn đến chọn nhầm đáp án C là sai.

Câu 12 : Hàm số $y = 2^{\ln x + x^{2}}$ có đạo hàm là

A.

$(\frac{1}{x} + 2 x) 2^{\ln x + x^{2}}$
B.

$(\frac{1}{x} + 2 x) 2^{\ln x + x^{2}} . \ln 2$
C.

$\frac{2^{\ln x + x^{2}}}{\ln 2}$
D.

$(\frac{1}{x} + 2 x) \frac{2^{\ln x + x^{2}}}{\ln 2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp: ${(a^{u})}^{'} = u^{'} . a^{u} . l n a$

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = (\frac{1}{x} + 2 x) 2^{\ln x + x^{2}} . \ln 2$

Câu 1 : Cho hàm số $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x + 2$ có đồ thị (C) và điểm A(0; 2).

a) Hàm số đã cho có đạo hàm là $f^{'} (x) = x^{2} - 6 x + 7$ .

Đúng

Sai

b) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A có hệ số góc bằng -7.

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(0; 2) là y = 7x + 2.

Đúng

Sai

d) Bất phương trình có ngiệm f’(x) > 7 có tập ngiệm S = (0; 6).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số đã cho có đạo hàm là $f^{'} (x) = x^{2} - 6 x + 7$ .

Đúng

Sai

b) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A có hệ số góc bằng -7.

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(0; 2) là y = 7x + 2.

Đúng

Sai

d) Bất phương trình có ngiệm f’(x) > 7 có tập ngiệm S = (0; 6).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.

Đạo hàm của hàm số $y = f (x)$ tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm $M_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ là $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $f^{'} (x) = x^{2} - 6 x + 7$ .

b) Sai. $f^{'} (0) = 0^{2} - 6.0 + 7 = 7$ .

c) Đúng. Phương tình tiếp tuyến:

$y = 7 (x - 0) + 2 \Leftrightarrow y = 7 x + 2$ .

d) Sai. $f^{'} (x) > 7 \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 7 > 7 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 0 \\ x < 6 \end{array}$

Tập nghiệm đúng phải là $S = (- \infty, 0) \cup (6, + \infty)$ .

Chú ý

null

Câu 2 : Trong vòng chung kết của cuộc thi ĐƯỜNG ĐẾN VINH QUANG có 4 thí sinh An, Bình, Toàn và Phương tham gia thi đấu. Sau khi An, Bình và Toàn hoàn thành phần thi cuối của mình, điểm số của ba bạn đạt được lần lượt là 180 điểm, 200 điểm và 170 điểm. Bạn Phương là thí sinh cuối cùng bước vào phần thi cuối với điểm số hiện có là 190 điểm.

Tại phần thi cuối, mỗi thí sinh phải trả lời 3 câu hỏi thuộc ba lĩnh vực: Tự nhiên, Xã hội và Tiếng Anh. Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm, trả lời sai hoặc không trả lời bị trừ 10 điểm. Thí sinh có quyền sử dụng "Ngôi sao hy vọng" tối đa một lần cho một trong ba câu hỏi, nếu trả lời đúng nhận được 40 điểm, trả lời sai hoặc không trả lời bị trừ 20 điểm.

Biết xác suất Phương trả lời đúng câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên, Xã hội và Tiếng Anh lần lượt là 0,7; 0,4 và 0,3.

Giả thiết rằng việc trả lời đúng mỗi câu hỏi không làm thay đổi xác suất trả lời đúng hoặc sai các câu hỏi còn lại.

a) Xác suất để Phương trả lời sai câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên là 0,3.

Đúng

Sai

b) Xác suất để Phương trả lời đúng cả ba câu hỏi là 0,084.

Đúng

Sai

c) Xác suất để Phương trả lời đúng ít nhất một trong ba câu hỏi là 0,916.

Đúng

Sai

d) Nếu Phương chọn "Ngôi sao hy vọng" ở câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên thì xác suất để Phương trở thành quán quân của cuộc thi này là 0,736.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Xác suất để Phương trả lời sai câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên là 0,3.

Đúng

Sai

b) Xác suất để Phương trả lời đúng cả ba câu hỏi là 0,084.

Đúng

Sai

c) Xác suất để Phương trả lời đúng ít nhất một trong ba câu hỏi là 0,916.

Đúng

Sai

d) Nếu Phương chọn "Ngôi sao hy vọng" ở câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên thì xác suất để Phương trở thành quán quân của cuộc thi này là 0,736.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân xác suất cho các biến cố độc lập và công thức tính xác suất của biến cố đối. Để là quán quân, điểm của Phương phải lớn hơn 200.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Xác suất trả lời sai câu Tự nhiên là P = 1 – 0,7 = 0,3.

b) Đúng. Xác suất đúng cả 3 câu là 0,7 . 0,4 . 0,3 = 0,084.

c) Sai. Xác suất sai cả 3 câu là 0,3 . 0,6 . 0,7 = 0,126.

Xác suất đúng ít nhất một câu là 1 – 0,126 = 0,874.

d) Đúng. Phương đặt NSHV vào câu Tự nhiên. Để thắng, tổng điểm tăng thêm phải > 10.

Trường hợp 1: Đúng câu Tự nhiên (+40 điểm, xác suất 0,7).

Dù sai 2 câu còn lại thì điểm cộng thêm vẫn là 40 – 10 – 10 = 20 > 10.

Phương thắng với xác suất là 0,7.

Trường hợp 2: Sai câu Tự nhiên (-20 điểm, xác suất 0,3).

Để thắng, Phương cần đúng cả 2 câu còn lại (+20 +20 = 40).

Tổng cộng tăng -20 + 40 = 20 > 10. Xác suất là 0,3. (0,4 . 0,3) = 0,036.

Vậy xác suất Phương thành quán quân là 0,7 + 0,036 = 0,736.

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động nhanh dần đều với quãng đường $S (t) = 10 t^{2}$ mét, t là thời gian chuyển động của chất điểm (tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời đểm t = 2 giây là bao nhiêu $m/s$ ?

Phương pháp giải :

Đạo hàm của quãng đường đi được là vận tốc tức thời của chất điểm.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Đạo hàm của quãng đường đi được là vận tốc tức thời của chất điểm.

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại t = 2 là đạo hàm tại t = 2.

Ta được $S (t) = 10 t^{2} \Leftrightarrow v (2) = 2.10.2 = 40$ (m/s).

Câu 2 : Trong khoa học môi trường, người ta sử dụng công thức $A = k . D^{b}$ để ước tính tuổi của một cây dựa vào đường kính của thân cây, trong đó: A là tuổi của cây (tính bằng năm), D là đường kính thân cây (tính bằng cm), k và b là các hằng số phụ thuộc vào loại cây.

Với một loại cây rừng đặc biệt có đường kính 30 cm, các nhà nghiên cứu xác định được rằng k = 2,5 và b = 1,3.

Hãy tính tuổi của cây rừng trên. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải :

Thay số vào công thức đề bài cho.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Tuổi của cây rừng trên là:

$A = k . D^{b} = 2, {5.30}^{1, 3} \approx 208$ (tuổi).

Câu 3 : Một người môi giới bất động sản có 8 chìa khóa để mở 8 ngôi nhà mới. Mỗi chìa khóa chỉ mở được đúng 1 ngôi nhà. Biết có 3 ngôi nhà thường không khóa cửa, người môi giới chọn ngẫu nhiên 3 chìa khóa mang theo. Hỏi nếu người môi giới chọn ngẫu nhiên một nhà để vào thì xác suất để người môi giới này có thể vào được là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Chia trường hợp, áp dụng phương pháp tổ hợp và các quy tắc đếm.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

TH1: Chọn vào 1 ngôi nhà không khóa:

Xác suất chọn được 1 ngôi nhà không khóa: $\frac{3}{8}$ . Chìa khóa không ảnh hưởng đến kết quả.

TH2: Chọn vào 1 ngôi nhà có khóa:

- Xác suất chọn được 1 ngôi nhà có khóa: $\frac{5}{8}$ .

- Xác suất trong 3 chìa đã chọn bao gồm 1 chìa chính xác của ngôi nhà đó: $\frac{C_{1}^{1} C_{7}^{2}}{C_{8}^{3}} = \frac{3}{8}$ .

Xác suất người môi giới vào được ngôi nhà có khóa là $\frac{5}{8} . \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$ .

Kết hợp 2 trường hợp: Xác suất để người môi giới vào được nhà là $\frac{3}{8} + \frac{15}{64} = \frac{39}{64} \approx 0, 61$ .

Câu 4 : Cô Hà có 10 khay làm đá giống nhau (như hình dưới), mỗi khay sẽ tạo được 6 viên đá. Các viên đá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh của đáy lớn bằng 3 cm, cạnh của đáy nhỏ bằng 1,5 cm và cao 3 cm.

Hỏi cô Hà cần dùng bao nhiêu lít nước để làm đá nếu cô dùng hết cả 10 khay? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều để tính thể tích 1 viên đá.

Từ đó suy ra thể tích 60 viên đá và đổi sang đơn vị lít.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Thể tích của 1 viên đá là: $V = \frac{1}{3} .3 . (3^{2} + \sqrt{3^{2} .1, 5^{2}} + 1, 5^{2}) = 15, 75$ $(c m^{3})$ .

Thể tích của 60 viên đá là: $60.15, 75 = 945$ $(c m^{3}) \approx 0, 95$ (lít).

Câu 1 : Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \cos (\frac{π}{4} - 2 x) .$

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức ${(\cos u)}^{'} = - u^{'} . \sin u$

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = - 2 {(\frac{π}{4} - 2 x)}^{,} \sin (\frac{π}{4} - 2 x) = 4 \sin (\frac{π}{4} - 2 x)$

Câu 2 : Giải các bất phương trình sau:

a) $\log_{2} (x - 2) < 2$ ;

b) $\log (x + 1) \geq \log (2 x - 1)$ .

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm ĐKXĐ.

Bước 2: Đưa 2 vế của phương trình về cùng cơ số và giải phương trình.

Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết :

a) $\log_{2} (x - 2) < 2$

Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ .

BPT $\Leftrightarrow x - 2 < 2^{2}$

$\Leftrightarrow x - 2 < 4 \Leftrightarrow x < 6$ .

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là S = (2; 6).

b) $\log (x + 1) \geq \log (2 x - 1)$

Điều kiện: ${\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2 x - 1 > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x > - 1 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$ .

BPT $\Leftrightarrow x + 1 \geq 2 x - 1$

$\Leftrightarrow - x \geq - 2 \Leftrightarrow x \leq 2$ .

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $S = (\frac{1}{2}; 2]$ .

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\hat{A B C} = 60^{o}$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng $S O ⊥ (A B C D)$ , $S O = \frac{3 a}{4}$ . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)?

Phương pháp giải :

Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ M đến (P), kí hiệu d(M, (P)).

Lời giải chi tiết :

Gọi I là hình chiếu của O trên CD, H là hình chiếu của O trên SI.

Thấy rằng $C D ⊥ (S O I)$ nên $C D ⊥ O H$ . Mà $O H ⊥ S I$ nên $O H ⊥ (S C D)$ .

Suy ra $d (O, (S C D)) = O H$ .

Vì $A B = B C$ , $\hat{A B C} = 60^{o}$ nên tam giác ABC đều.

Suy ra $O B = O D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , $O A = O C = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác vuông DOC có $O I = \frac{O B . O C}{O D} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Xét tam giác vuông SOI có:

$S I = \sqrt{S O^{2} + O I^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 a}{4})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{4})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ ;

$O H = \frac{S O . O I}{S I} = \frac{\frac{3 a}{4} . \frac{a \sqrt{3}}{4}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{3 a}{8}$ .