Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 13

Câu 1 : Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ , tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

$S A ⊥ B C$ .
B.

$S A ⊥ A B$ .
C.

$S B ⊥ B C$ .
D.

$A B ⊥ S C$ .

Câu 2 : Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$S A ⊥ (S C D)$ .
B.

$A D ⊥ (S A B)$ .
C.

$B C ⊥ (S A D)$ .
D.

$S A ⊥ (S B C)$ .

Câu 3 : Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (3 - x)$ là

A.

$(- \infty; 3)$ .
B.

$(3; + \infty)$ .
C.

$[3; + \infty)$ .
D.

$(- \infty; 3]$ .

Câu 4 : Cho hình chóp cụt đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có diện tích các tam giác $A B C$ và $A^{'} B^{'} C^{'}$ lần lượt bằng $9$ và $4$ ; khoảng cách giữa hai đáy của hình chóp cụt bằng $6$ . Thể tích của khối chóp cụt đã cho là

A.

$114$ .
B.

$19$ .
C.

$38$ .
D.

$57$ .

Câu 5 : Cho hàm số $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ . Bất phương trình $f (x) \geq 3$ có tập nghiệm là

A.

$(- \infty; 7)$ .
B.

$[9; + \infty)$ .
C.

$[7; + \infty)$ .
D.

$(9; + \infty)$ .

Câu 6 : Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Gọi $A$ là biến cố “mặt xuất hiện có số chấm là chẵn”, $B$ là biến cố “mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 3”. Số phần tử của biến cố giao của $A$ và $B$ là

A.

$3$ .
B.

$0$ .
C.

$1$ .
D.

$2$ .

Câu 7 : Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A.

$y = \log x$ .
B.

$y = {(\frac{2}{5})}^{x}$ .
C.

$y = e^{- x}$ .
D.

$y = \log_{\frac{1}{3}} x$ .

Câu 8 : Nghiệm của phương trình $5^{x - 1} = 125$ là

A.

$x = 2$ .
B.

$x = 3$ .
C.

$x = 26$ .
D.

$x = 4$ .

Câu 9 : Đạo hàm của hàm số $y = 2 x + 1$ tại điểm $x = 2$ có giá trị là

A.

$4$ .
B.

$5$ .
C.

$1$ .
D.

$2$ .

Câu 10 : Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có $O$ là tâm của đáy $A B C D$ . Góc giữa đường thẳng $S B$ với mặt phẳng $(A B C D)$ là góc nào sau đây?

A.

$\hat{S B O}$ .
B.

$\hat{S B A}$ .
C.

$\hat{S B C}$ .
D.

$\hat{O S B}$ .

Câu 11 : Đạo hàm của hàm số $y = \sin 2 x - x$ trên tập số thực là

A.

$y^{'} = 2 \cos 2 x + 1$ .
B.

$y^{'} = 2 \cos 2 x - x$ .
C.

$y^{'} = 2 \cos 2 x - 1$ .
D.

$y^{'} = \cos 2 x + 1$ .

Câu 12 : Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Công thức nào sau đây đúng?

A.

$P (A B) = P (A) - P (B)$ .
B.

$P (A B) = P (A) + P (B) + P (A \cup B)$ .
C.

$P (A B) = P (A) + P (B)$ .
D.

$P (A B) = P (A) . P (B)$ .

Câu 1 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và $S A = a \sqrt{3}$ .

a) $S A ⊥ B D$ .

Đúng

Sai

b) $(S A C) ⊥ (S B D)$ .

Đúng

Sai

c) Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $30^{\circ}$ .

Đúng

Sai

d) Tang của góc giữa hai mặt phẳng $(S B D)$ và $(A B C D)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Hai vận động viên cùng tham gia một cuộc thi bắn súng. Ban tổ chức trang bị hai phòng thi độc lập có cách âm và bia tính điểm riêng biệt nên kết quả bắn súng của hai vận động viên không bị ảnh hưởng lẫn nhau. Biết rằng xác suất bắn trúng vòng điểm 10 của người thứ nhất là 0,9 còn xác suất bắn trúng vòng điểm 10 của người thứ hai là 0,8.

a) Xác suất của biến cố người thứ nhất không bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 1$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất của biến cố cả hai người cùng bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 72$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố có đúng một người bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 18$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố có ít nhất một người bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 98$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng 6, tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2 : Bác Nam gửi ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 1 năm, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Sau $n$ năm gửi thì tổng số tiền bác Nam thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau: $T = 100 {(1 + 0, 06)}^{n}$ (triệu đồng). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác Nam thu được là không dưới 150 triệu đồng?

Câu 3 : Một chất điểm chuyển động nhanh dần đều với quãng đường $S (t) = 10 t^{2}$ mét, t là thời gian chuyển động của chất điểm (tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời đểm t = 2 giây là bao nhiêu m/s?

Câu 4 : Cho tứ diện đều $A B C D$ có cạnh bằng $12$ . Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $B C D$ . Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(A C D)$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1 : Giải bất phương trình $e^{x^{2} - 2 x - 3} \geq 1$ .

Câu 2 : Cho hàm số $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ .

a) Tính đạo hàm của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 0.

Câu 3 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật và $S A ⊥ (A B C D)$ .

a) Chứng minh rằng $B C ⊥ (S A B)$ .

b) Cho $S A = A B = a, A D = a \sqrt{3}$ . Gọi $φ$ là số đo góc phẳng của nhị diện $[B, S C, D]$ . Tính $\cos φ$ .

Câu 1 : Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ , tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

$S A ⊥ B C$ .
B.

$S A ⊥ A B$ .
C.

$S B ⊥ B C$ .
D.

$A B ⊥ S C$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đường thẳng vuông với mặt phẳng nào thì đường thẳng đó vuông góc với các cạnh thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Hình chóp $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ nên ta có $S A ⊥ A B$ .

$\begin{array}{l} A B ⊥ A C \\ A B ⊥ S A \end{array}} \Rightarrow A B ⊥ (S A C) \Rightarrow A B ⊥ S C$ .

Câu 2 : Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$S A ⊥ (S C D)$ .
B.

$A D ⊥ (S A B)$ .
C.

$B C ⊥ (S A D)$ .
D.

$S A ⊥ (S B C)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng vuông với mặt phẳng nào thì đường thẳng đó vuông góc với các cạnh thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ nên ta có $\begin{array}{l} A B ⊥ A D \\ A D ⊥ S A \end{array}} \Rightarrow A D ⊥ (S A B)$ .

Câu 3 : Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (3 - x)$ là

A.

$(- \infty; 3)$ .
B.

$(3; + \infty)$ .
C.

$[3; + \infty)$ .
D.

$(- \infty; 3]$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \log_{a} x$ xác định khi $x > 0, a > 0, a \neq 1$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \log_{3} (3 - x)$ xác định khi $3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3$ .

Câu 4 : Cho hình chóp cụt đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có diện tích các tam giác $A B C$ và $A^{'} B^{'} C^{'}$ lần lượt bằng $9$ và $4$ ; khoảng cách giữa hai đáy của hình chóp cụt bằng $6$ . Thể tích của khối chóp cụt đã cho là

A.

$114$ .
B.

$19$ .
C.

$38$ .
D.

$57$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về thể tích khối chop cụt đều có chiều cao h và diện tích 2 đáy S, S’ là $V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S + \sqrt{S . S^{'}} + S^{'})$ .

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp cụt ta có:

$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (9 + \sqrt{9.4} + 4) = 114$ $({cm}^{3})$ .

Câu 5 : Cho hàm số $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ . Bất phương trình $f (x) \geq 3$ có tập nghiệm là

A.

$(- \infty; 7)$ .
B.

$[9; + \infty)$ .
C.

$[7; + \infty)$ .
D.

$(9; + \infty)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình logarit.

Lời giải chi tiết :

$f (x) \geq 3 \Leftrightarrow \log_{2} (x - 1) \geq 3$

$\Leftrightarrow x - 1 \geq 2^{3} \Leftrightarrow x \geq 8 + 1 = 9$ .

Câu 6 : Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Gọi $A$ là biến cố “mặt xuất hiện có số chấm là chẵn”, $B$ là biến cố “mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 3”. Số phần tử của biến cố giao của $A$ và $B$ là

A.

$3$ .
B.

$0$ .
C.

$1$ .
D.

$2$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xác định số phần tử của biến cố “Số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc chia hết cho cả 2 và 3”.

Lời giải chi tiết :

$A \cap B$ là biến cố “Số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc chia hết cho cả 2 và 3”.

Suy ra $A \cap B = {6}$ gồm 1 phần tử.

Câu 7 : Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A.

$y = \log x$ .
B.

$y = {(\frac{2}{5})}^{x}$ .
C.

$y = e^{- x}$ .
D.

$y = \log_{\frac{1}{3}} x$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số mũ và hàm số logarit đồng biến nếu cơ số lớn hơn 1.

Lời giải chi tiết :

$y = \log x$ đồng biến trên tập xác định vì có cơ số 10 > 1.

Câu 8 : Nghiệm của phương trình $5^{x - 1} = 125$ là

A.

$x = 2$ .
B.

$x = 3$ .
C.

$x = 26$ .
D.

$x = 4$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa hai vế về cùng cơ số.

Lời giải chi tiết :

$5^{x - 1} = 125 \Leftrightarrow 5^{x - 1} = 5^{3} \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$

Câu 9 : Đạo hàm của hàm số $y = 2 x + 1$ tại điểm $x = 2$ có giá trị là

A.

$4$ .
B.

$5$ .
C.

$1$ .
D.

$2$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm đạo hàm của y, rồi thay x = 2 vào tìm giá trị của đạo hàm tại điểm đó.

Lời giải chi tiết :

Ta có đạo hàm của hàm số là $y = 2 x + 1 \Leftrightarrow y^{'} = 2$ .

Vậy đạo hàm của hàm số $y = 2 x + 1$ luôn bằng 2 với mọi giá trị của x.

Câu 10 : Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có $O$ là tâm của đáy $A B C D$ . Góc giữa đường thẳng $S B$ với mặt phẳng $(A B C D)$ là góc nào sau đây?

A.

$\hat{S B O}$ .
B.

$\hat{S B A}$ .
C.

$\hat{S B C}$ .
D.

$\hat{O S B}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

$S . A B C D$ là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của đáy.

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow (S B, (A B C D)) = (S B, O B) = \hat{S B O}$ .

Câu 11 : Đạo hàm của hàm số $y = \sin 2 x - x$ trên tập số thực là

A.

$y^{'} = 2 \cos 2 x + 1$ .
B.

$y^{'} = 2 \cos 2 x - x$ .
C.

$y^{'} = 2 \cos 2 x - 1$ .
D.

$y^{'} = \cos 2 x + 1$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết :

Đạo hàm của $y = \sin 2 x - x \Leftrightarrow y^{'} = 2 \cos 2 x - 1$ .

Câu 12 : Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Công thức nào sau đây đúng?

A.

$P (A B) = P (A) - P (B)$ .
B.

$P (A B) = P (A) + P (B) + P (A \cup B)$ .
C.

$P (A B) = P (A) + P (B)$ .
D.

$P (A B) = P (A) . P (B)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, $P (A B) = P (A) . P (B)$ .

Lời giải chi tiết :

Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập $P (A B) = P (A) . P (B)$ .

Câu 1 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và $S A = a \sqrt{3}$ .

a) $S A ⊥ B D$ .

Đúng

Sai

b) $(S A C) ⊥ (S B D)$ .

Đúng

Sai

c) Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $30^{\circ}$ .

Đúng

Sai

d) Tang của góc giữa hai mặt phẳng $(S B D)$ và $(A B C D)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) $S A ⊥ B D$ .

Đúng

Sai

b) $(S A C) ⊥ (S B D)$ .

Đúng

Sai

c) Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $30^{\circ}$ .

Đúng

Sai

d) Tang của góc giữa hai mặt phẳng $(S B D)$ và $(A B C D)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Dựa vào lý thuyết quan hệ vuông góc trong không gian.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $S A ⊥ (A B C D)$ và $B D \subset (A B C D)$ nên $S A ⊥ B D$ .

b) Đúng. $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ A C$ , $S A ⊥ B D$ , do đó: $(S A C) ⊥ (S B D)$ .

c) Sai. Xét tam giác SAB vuông tại $A$ có $S A = a \sqrt{3}$ , $A B = a$ nên áp dụng định lý Pythagore:

$S B^{2} = S A^{2} + A B^{2} = 3 a^{2} + a^{2} = 4 a^{2} \Rightarrow S B = 2 a$ .

Do đó, $\sin θ = \frac{S A}{S B} = \frac{a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow θ = 60^{^{\circ}}$

d) Sai. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa đường cao SA và hình chiếu của đường SD lên đáy.

Dựng tam giác vuông SAH với H là hình chiếu vuông góc từ A xuống BD.

⇒ $\tan φ = \frac{S A}{A H}$ .

Gọi $A (0, 0)$ , $B (a, 0)$ , $D (0, a)$ ⇒ Phương trình đường chéo BD: $x + y = a$ .

⇒ Hình chiếu $H$ của $A$ lên BD là $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ .

⇒ $A H = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Khi đó, ta có: $\tan φ = \frac{S A}{A H} = \frac{a \sqrt{3}}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$ .

Câu 2 : Hai vận động viên cùng tham gia một cuộc thi bắn súng. Ban tổ chức trang bị hai phòng thi độc lập có cách âm và bia tính điểm riêng biệt nên kết quả bắn súng của hai vận động viên không bị ảnh hưởng lẫn nhau. Biết rằng xác suất bắn trúng vòng điểm 10 của người thứ nhất là 0,9 còn xác suất bắn trúng vòng điểm 10 của người thứ hai là 0,8.

a) Xác suất của biến cố người thứ nhất không bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 1$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất của biến cố cả hai người cùng bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 72$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố có đúng một người bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 18$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố có ít nhất một người bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 98$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Xác suất của biến cố người thứ nhất không bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 1$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất của biến cố cả hai người cùng bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 72$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất của biến cố có đúng một người bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 18$ .

Đúng

Sai

d) Xác suất của biến cố có ít nhất một người bắn trúng vòng tròn điểm 10 là $0, 98$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức cộng, công thức nhân xác suất để tính toán.

Lời giải chi tiết :

Giả sử hai vận động viên bắn độc lập.

Gọi $A$ : người thứ nhất bắn trúng vòng 10, $P (A) = 0, 9$ .

Gọi $B$ : người thứ hai bắn trúng vòng 10, $P (B) = 0, 8$ .

a) Đúng. Xác suất người thứ nhất không bắn trúng vòng 10:

$P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0, 9 = 0, 1$ .

b) Đúng. Xác suất cả hai cùng bắn trúng vòng 10:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) = 0, 9 \cdot 0, 8 = 0, 72$ .

c) Sai. Xác suất đúng một người bắn trúng vòng 10:

$P (A \cap \bar{B}) + P (\bar{A} \cap B) = 0, 9 \cdot 0, 2 + 0, 1 \cdot 0, 8$

$= 0, 18 + 0, 08 = 0, 26$ .

d) Đúng. Xác suất có ít nhất một người bắn trúng vòng 10:

$P = 1 - P (\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - (0, 1) (0, 2)$

$= 1 - 0, 02 = 0, 98$

Câu 1 : Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng 6, tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Phương pháp giải :

Thể tích $V = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S O$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Vẽ đường cao SO của tam giác đều SAB.

Ta có $(S A B) ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Do đó $S O$ là đường cao của hình nón $S . A B C D$ và $S O = \frac{6 a \sqrt{3}}{2} = 3 a \sqrt{3}$ .

Thể tích của khối chóp S.ABCD:

$V = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S O = \frac{1}{3} . {(6 a)}^{2} .3 a \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} a^{3}$ .

Câu 2 : Bác Nam gửi ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 1 năm, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Sau $n$ năm gửi thì tổng số tiền bác Nam thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau: $T = 100 {(1 + 0, 06)}^{n}$ (triệu đồng). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác Nam thu được là không dưới 150 triệu đồng?

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình mũ.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta cần tổng số tiền sau n năm không dưới 150 triệu, tức là

$100 {(1, 06)}^{n} \geq 150$ hay $n \geq 7$ .

Vây cần ít nhất 7 năm để được số tiền không dưới 150 triệu đồng.

Câu 3 : Một chất điểm chuyển động nhanh dần đều với quãng đường $S (t) = 10 t^{2}$ mét, t là thời gian chuyển động của chất điểm (tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời đểm t = 2 giây là bao nhiêu m/s?

Phương pháp giải :

Đạo hàm của quãng đường đi được là vận tốc tức thời của chất điểm.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Đạo hàm của quãng đường đi được là vận tốc tức thời của chất điểm.

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại t = 2 là đạo hàm tại t = 2.

Ta được $S (t) = 10 t^{2} \Leftrightarrow v (2) = 2.10.2 = 40$ m/s.

Câu 4 : Cho tứ diện đều $A B C D$ có cạnh bằng $12$ . Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $B C D$ . Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(A C D)$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Gọi M là trung điểm CD.

Dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta tìm được OH là khoảng cách cần tìm.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

O là trọng tâm tam giác △BCD $\Rightarrow A O ⊥ (B C D)$ .

Gọi M là trung điểm của CD $\Rightarrow B M ⊥ C D \Rightarrow O M ⊥ C D$ .

Ta có: $C D ⊥ O M \Rightarrow C D ⊥ (A O M)$ .

Mà $C D ⊥ A O$ .

Kẻ $O H ⊥ A M \Rightarrow C D ⊥ O H$ .

$\Rightarrow O H ⊥ (A C D)$ .

Khoảng cách từ O đến (ACD): $d (O; (A C D)) = O H$ .

$B M = 12 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ .

$B O = \frac{2}{3} B M = \frac{2}{3} \cdot 6 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .

$O M = \frac{1}{3} B M = \frac{1}{3} \cdot 6 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ .

Tính AO bằng định lý Pythagore:

$A O = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{12^{2} - {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

$= \sqrt{144 - 48} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6}$ .

Trong tam giác vuông △AOM, vuông tại O:

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{A O^{2}} + \frac{1}{O M^{2}} = \frac{1}{{(4 \sqrt{6})}^{2}} + \frac{1}{{(2 \sqrt{3})}^{2}}$

$= \frac{1}{96} + \frac{1}{12} = \frac{8}{96} = \frac{1}{12}$ .

Câu 1 : Giải bất phương trình $e^{x^{2} - 2 x - 3} \geq 1$ .

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình mũ.

Lời giải chi tiết :

$e^{x^{2} - 2 x - 3} \geq 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \end{matrix}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $T = (- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)$ .

Câu 2 : Cho hàm số $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ .

a) Tính đạo hàm của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 0.

Phương pháp giải :

a) Đạo hàm của một số.

b) Tìm hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại f'(0) rồi tìm tung độ tiếp tuyến. Từ đó ta viết được phương trình tiếp tuyến với điểm đã cho.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có $f^{'} (x) = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

b) Hệ số góc của tiếp tuyến $f^{'} (0) = \frac{3}{4}$ .

Tung độ tiếp điểm $y_{0} = f (0) = - \frac{1}{2}$ .

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 0 là $y = \frac{3}{4} x - \frac{1}{2}$ .

Câu 3 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật và $S A ⊥ (A B C D)$ .

a) Chứng minh rằng $B C ⊥ (S A B)$ .

b) Cho $S A = A B = a, A D = a \sqrt{3}$ . Gọi $φ$ là số đo góc phẳng của nhị diện $[B, S C, D]$ . Tính $\cos φ$ .

Phương pháp giải :

a) Đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng khác cắt nhau tại 1 điểm tạo thành 1 mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng đã cho.

b) Hạ các đường vuông góc để tìm góc phẳng nhị diện. Áp dụng định lý cosin để tìm $\cos φ$ .

Lời giải chi tiết :

a) Chứng minh $B C ⊥ (S A B)$ .

+ $B C ⊥ A B$ (ABCD là hình chữ nhật).

+ $B C ⊥ S A$ vì $S A ⊥ (A B C D)$ .

+ $A B \cap S A = A$ .

+ $A B, S A \subset (S A B)$ .

Kết luận $B C ⊥ (S A B)$ .

b) Hạ $A H ⊥ S B, A I ⊥ S C, A K ⊥ S D$ .

Ta chứng minh được $(A H I K) ⊥ S C$ .

Khi đó: $S C ⊥ I H$ , $S C ⊥ I K$ .

Vậy góc phẳng của nhị diện $[B, S C, D]$ là $\hat{H I K} = φ$ .

Tính được $I H = \frac{a \sqrt{30}}{10}$ , $I K = \frac{a \sqrt{5}}{10}, H K = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIK ta tính được:

$\cos φ = \frac{- \sqrt{6}}{4}$ .