Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 6

Câu 1 : Cho số thực $x > 0$ , biểu thức $\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x}}$ bằng

A.
$x^{\frac{6}{5}}$ .
B.
$x^{\frac{5}{6}}$ .
C.
$x^{\frac{3}{2}}$ .
D.
$x^{\frac{4}{5}}$ .

Câu 2 : Đạo hàm của hàm số $f (x) = \log_{2} (x^{2} + 1)$ là

A.
$f^{'} (x) = \frac{1}{(x^{2} + 1) \ln 2}$ .
B.
$f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .
C.
$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln 2}$ .
D.
$f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Câu 3 : Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 6}{x + 9}$ :

A.
$- \frac{3}{{(x + 9)}^{2}}$
B.
$\frac{15}{{(x + 9)}^{2}}$
C.
$\frac{3}{{(x + 9)}^{2}}$
D.
$- \frac{15}{{(x + 9)}^{2}}$

Câu 4 : Tập nghiệm của phương trình $l o g_{3} (x^{2} - 7) = 2$ là

A.
${- 4; 4}$
B.
${4}$
C.
${2}$
D.
${16}$

Câu 5 : Giải phương trình $f^{″} (x) = 0$ , biết $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ .

A.
$x = 0$
B.
$x = 2$
C.
$x = 0, x = 2$
D.
$x = 1$

Câu 6 : Đạo hàm của hàm số $y = 2 x^{2} - 3 x + 7$ là:

A.
$y^{'} = 4 x - 3$
B.
$y^{'} = 2 x^{2} + 7$
C.
$y^{'} = 4 x + 7$
D.
$y^{'} = 2 x^{2} - 3$

Câu 7 : Cho A,B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
B.
$P (A \cup B) = P (A) \cdot P (B)$ .
C.
$P (A \cup B) = P (A) - P (B)$ .
D.
$P (A \cap B) = P (A) + P (B)$ .

Câu 8 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và $O A = O B = O C = a$ . Thể tích của khối tứ diện OABC bằng

A.
$\frac{a^{3}}{2}$ .
B.
$\frac{a^{3}}{3}$ .
C.
$\frac{a^{3}}{12}$ .
D.
$\frac{a^{3}}{6}$ .

Câu 9 : Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{2^{x}} > 8$ là

A.
$(- \infty; 3)$ .
B.
$(- \infty; - 3)$ .
C.
$(3; + \infty)$ .
D.
$(- 3; + \infty)$ .

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, $A B = B C = a, S A = a \sqrt{3},$ $S A ⊥ (A B C)$ . Số đo của góc phẳng nhị diện $[S, B C, A]$ là

A.
$90^{\circ}$ .
B.
$30^{\circ}$ .
C.
$45^{\circ}$ .
D.
$60^{\circ}$ .

Câu 11 : Hàm số $y = \cos^{2} 3 x$ có đạo hàm là

A.
$y^{'} = 6 \sin 6 x .$
B.
$y^{'} = 2 \cos 3 x .$
C.
$y^{'} = - 3 \sin 6 x .$
D.
$y^{'} = - 3 \sin 3 x .$

Câu 12 : Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Gọi $A$ là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ". Khi đó, xác suất của biến cố $A$ là bao nhiêu?

A.
$P (A) = \frac{12}{35}$ .
B.
$P (A) = \frac{1}{25}$ .
C.
$P (A) = \frac{4}{49}$ .
D.
$P (A) = \frac{2}{35}$ .

Câu 13 : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với $A B = a, A D = 2 a$ . Biết $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{15}$ . Tính góc giữa SC và mặt phẳng $(A B C D)$ .

A.
$30^{\circ}$ .
B.
$60^{\circ}$ .
C.
$45^{\circ}$ .
D.
$90^{\circ}$ .

Câu 14 : Tìm tọa độ tiếp điểm của các tiếp tuyến $Δ$ với đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $2 x - y - 1 = 0$ .

A.
$(- 2; 3)$
B.
$(2; - 3)$
C.
$(- 2; 3)$ và $(0; - 1)$
D.
$(0; - 1)$

Câu 15 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và đường thẳng A'B hợp với mặt đáy một góc $60^{\circ}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A.
$V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$ .
B.
$V = \sqrt{3} a^{3}$ .
C.
$V = \frac{3 a^{3}}{4}$ .
D.
$V = \frac{a^{3}}{4}$ .

Câu 16 : Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $7 a^{2}$ và chiều cao bằng 9a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A.
$9 a^{3}$
B.
$21 a^{3}$
C.
$84 a^{3}$
D.
$63 a^{3}$

Câu 1 : Hai xạ A và B cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ nhất là 0,7 . Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ hai là 0,8 .

Gọi A là biến cố: “xạ thủ thứ nhất bắn trúng”,

B là biến cố: “xạ thủ thứ hai bắn trúng”

Các Khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Khi đó $A \cup B$ là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng”

Đúng

Sai

b) Biến cố $A \cup B$ và $A \cap B$ là hai biến cố xung khắc

Đúng

Sai

c) Xác suất để cả hai người bắn trượt là: 0,6

Đúng

Sai

d) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là: 0,94.

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho khối chóp đều $S \cdot A B C D$ có cạnh đáy là $a$ , các mặt bên tạo với đáy một góc $60^{\circ}$ , O là tâm đáy. Khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Thể tích hình chóp là: $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Đúng

Sai

b) Độ dài cạnh bên của hình chóp là: $\frac{a \sqrt{5}}{2}$

Đúng

Sai

c) Khoảng cách $d (O; (S C B))$ bằng: $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Đúng

Sai

d) Khoảng cách $d (A D; S C) = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Đúng

Sai

Câu 3 : Cho hàm số $f (x) = - \frac{m}{3} x^{3} + m x^{2} - 3 x + 9$ , $g (x) = 2 x^{3} - 6 x + 1$

a) Phương trình tiếp tuyến của hàm $g (x)$ tại $x = 3$ là: $y = 3 x + 107$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của $g (x)$ song song với đường thẳng $y = - 6 x - 5$ là: $y = - 6 x + 1$

Đúng

Sai

c) Phương trình $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m \in R$

Đúng

Sai

d) Để $f^{'} (x) \leq 0 \forall x \in R$ thì $m$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = t^{3} - 3 t^{2} - 9 t$ , trong đó $t > 0, t$ tính bằng giây và $s (t)$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là: …………………………………………………………………

Câu 2 : Cho A, B là hai biến cố. Biết $P = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{3}{4}; P (A \cap B) = \frac{1}{4}$ . Khi đó: $P (A \cup B)$ bằng: …………..

Câu 3 : Gọi $S$ là tập hợp gồm 6 số lẻ và 4 số chẵn. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ $S$ , xác suất để 3 số chọn ra có tích là số chẵn bằng:…………………………………………………………………………………………….

Câu 4 : Cho khối lăng trụ tam giác đều $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và đường thẳng $A^{'} B$ hợp với mặt đáy một góc $60^{\circ}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng:………………………….

Câu 5 : Phương trình $27^{2 x - 3} = {(\frac{1}{3})}^{x^{2} + 2}$ có tập nghiệm là:…………………………………………………..

Câu 6 : Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $\log_{a}^{2} (a^{2} b) \cdot \log_{a} \frac{b}{a} + 4 = 0$ Giá trị tập của $\log_{b} a$ bằng:…………………………………………………………………………………………

Câu 1 : Cho số thực $x > 0$ , biểu thức $\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x}}$ bằng

A.
$x^{\frac{6}{5}}$ .
B.
$x^{\frac{5}{6}}$ .
C.
$x^{\frac{3}{2}}$ .
D.
$x^{\frac{4}{5}}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a > 0 thì $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x}} = \sqrt[3]{x^{2} . x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{x^{\frac{5}{2}}} = x^{\frac{5}{6}}$

Đáp án B.

Câu 2 : Đạo hàm của hàm số $f (x) = \log_{2} (x^{2} + 1)$ là

A.
$f^{'} (x) = \frac{1}{(x^{2} + 1) \ln 2}$ .
B.
$f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .
C.
$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln 2}$ .
D.
$f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đạo hàm của hàm số logarit

Lời giải chi tiết :

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln 2}$

Đáp án C.

Câu 3 : Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 6}{x + 9}$ :

A.
$- \frac{3}{{(x + 9)}^{2}}$
B.
$\frac{15}{{(x + 9)}^{2}}$
C.
$\frac{3}{{(x + 9)}^{2}}$
D.
$- \frac{15}{{(x + 9)}^{2}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y^{'} = \frac{(x + 9) - (x + 6)}{{(x + 9)}^{2}} = \frac{3}{{(x + 9)}^{2}}$ .

Đáp án C.

Câu 4 : Tập nghiệm của phương trình $l o g_{3} (x^{2} - 7) = 2$ là

A.
${- 4; 4}$
B.
${4}$
C.
${2}$
D.
${16}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$\log_{a} x = b \Leftrightarrow x = a^{b}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} l o g_{3} (x^{2} - 7) = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 7 = 3^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 7 = 9 \\ \Leftrightarrow x^{2} = 16 \\ \Leftrightarrow x = \pm 4 (t m) \end{array}$

Vậy $S = {- 4; 4}$

Đáp án A.

Câu 5 : Giải phương trình $f^{″} (x) = 0$ , biết $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ .

A.
$x = 0$
B.
$x = 2$
C.
$x = 0, x = 2$
D.
$x = 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1} (x \neq - 1)$ .

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow f^{″} (x) = 6 x - 6 \\ \Rightarrow f^{″} (x) = 0 \Leftrightarrow 6 x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \end{array}$

Đáp án D.

Câu 6 : Đạo hàm của hàm số $y = 2 x^{2} - 3 x + 7$ là:

A.
$y^{'} = 4 x - 3$
B.
$y^{'} = 2 x^{2} + 7$
C.
$y^{'} = 4 x + 7$
D.
$y^{'} = 2 x^{2} - 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đạo hàm của các hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = 2 x^{2} - 3 x + 7$ $\Rightarrow y^{'} = 4 x - 3$

Đáp án A.

Câu 7 : Cho A,B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
B.
$P (A \cup B) = P (A) \cdot P (B)$ .
C.
$P (A \cup B) = P (A) - P (B)$ .
D.
$P (A \cap B) = P (A) + P (B)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho hai biến cố A, B bất kì ta có: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

Vì A,B là hai biến cố xung khắc nên $A \cap B = \emptyset$ . Từ đó suy ra $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Đáp án A.

Câu 8 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và $O A = O B = O C = a$ . Thể tích của khối tứ diện OABC bằng

A.
$\frac{a^{3}}{2}$ .
B.
$\frac{a^{3}}{3}$ .
C.
$\frac{a^{3}}{12}$ .
D.
$\frac{a^{3}}{6}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$V_{O . A B C} = \frac{1}{3} O A . S_{O B C} = \frac{1}{6} O A . O B . O C$

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta thấy $O A ⊥ (O B C)$ và OBC là tam giác vuông nên thể tích cần tìm là:

$V_{O . A B C} = \frac{1}{3} O A . S_{O B C} = \frac{1}{6} O A . O B . O C = \frac{a^{3}}{6}$

Đáp án D.

Câu 9 : Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{2^{x}} > 8$ là

A.
$(- \infty; 3)$ .
B.
$(- \infty; - 3)$ .
C.
$(3; + \infty)$ .
D.
$(- 3; + \infty)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$a^{x} < b \Leftrightarrow x > \log_{a} b$ với $0 < a < 1$

$a^{x} < b \Leftrightarrow x < \log_{a} b$ với $a > 1$

Lời giải chi tiết :

$\frac{1}{2^{x}} > 8 \Leftrightarrow 2^{- x} > 2^{3} \Leftrightarrow - x > 3 \Leftrightarrow x < - 3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; - 3)$

Đáp án B.

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, $A B = B C = a, S A = a \sqrt{3},$ $S A ⊥ (A B C)$ . Số đo của góc phẳng nhị diện $[S, B C, A]$ là

A.
$90^{\circ}$ .
B.
$30^{\circ}$ .
C.
$45^{\circ}$ .
D.
$60^{\circ}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xác định góc giữa hai mặt phẳng tạo thành.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${\begin{array}{l} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{array} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$ .

Khi đó: ${\begin{array}{l} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S B \end{array} \Rightarrow [S, B C, A] = ∠ S B A$ .

Xét vuông tại $A$ , ta có: $t a n \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 60^{\circ}$ .

Đáp án D.

Câu 11 : Hàm số $y = \cos^{2} 3 x$ có đạo hàm là

A.
$y^{'} = 6 \sin 6 x .$
B.
$y^{'} = 2 \cos 3 x .$
C.
$y^{'} = - 3 \sin 6 x .$
D.
$y^{'} = - 3 \sin 3 x .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y^{'} = 2 c o s 3 x . (- \sin 3 x) .3 = - 6 \sin 3 x . c o s 3 x = - 3 \sin 6 x$

Đáp án C.

Câu 12 : Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Gọi $A$ là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ". Khi đó, xác suất của biến cố $A$ là bao nhiêu?

A.
$P (A) = \frac{12}{35}$ .
B.
$P (A) = \frac{1}{25}$ .
C.
$P (A) = \frac{4}{49}$ .
D.
$P (A) = \frac{2}{35}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

A,B là hai biến cố độc lập nên: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi $A$ là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. "

Gọi $X$ là biến cố: "người thứ nhất ném trúng rổ" $\Rightarrow P (X) = \frac{1}{5}$ .

Gọi Y là biến cố: "người thứ hai ném trúng rổ" $\Rightarrow P (Y) = \frac{2}{7}$ .

Ta thấy biến cố X,Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P (A) = P (X \cdot Y) = P (X) \cdot P (Y) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{35}$ .

Đáp án D.

Câu 13 : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với $A B = a, A D = 2 a$ . Biết $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{15}$ . Tính góc giữa SC và mặt phẳng $(A B C D)$ .

A.
$30^{\circ}$ .
B.
$60^{\circ}$ .
C.
$45^{\circ}$ .
D.
$90^{\circ}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

$(S C, \hat{(A B D})) = (S C; \hat{(A B C D})) = (\hat{S C; A C}) = \hat{S C A} .$

Xét tam giác vuông SAC, ta có:

$\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{S A}{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}} = \frac{a \sqrt{15}}{\sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}}} = \sqrt{3} .$

Suy ra $\hat{S C A} = 60^{\circ}$ .

Đáp án B.

Câu 14 : Tìm tọa độ tiếp điểm của các tiếp tuyến $Δ$ với đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $2 x - y - 1 = 0$ .

A.
$(- 2; 3)$
B.
$(2; - 3)$
C.
$(- 2; 3)$ và $(0; - 1)$
D.
$(0; - 1)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng song song khi chúng có hệ số góc bằng nhau. Giải phương trình tìm hoành độ tiếp điểm và suy ra tọa độ tiếp điểm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $x \neq - 1$

Ta có $y = \frac{x - 1}{x + 1} \Rightarrow y^{'} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng $2 x - y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 2 x - 1$ . Khi đó ta có $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 2 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Với $x = 0 \Rightarrow y = - 1$ $\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là $y = 2 (x - 0) - 1 = 2 x - 1$ (loại)

Với $x = - 2 \Rightarrow y = 3$ $\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là $y = 2 (x + 2) + 3 = 2 x + 7$ (thỏa mãn) $\Rightarrow$ Tọa độ tiếp điểm là $(- 2; 3)$ .

Vậy tọa độ tiếp điểm cần tìm là $(- 2; 3)$ .

Đáp án A.

Câu 15 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và đường thẳng A'B hợp với mặt đáy một góc $60^{\circ}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A.
$V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$ .
B.
$V = \sqrt{3} a^{3}$ .
C.
$V = \frac{3 a^{3}}{4}$ .
D.
$V = \frac{a^{3}}{4}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ , chiều cao $h$ là $V = h . B$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A A^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow (A^{'} B, (A B C)) = (A^{'} B, A B) = \hat{A^{'} B A}$

Theo giả thiết $\hat{A^{'} B A} = 60^{\circ}$

Lại có: $\tan 60^{\circ} = \frac{A A^{'}}{A B} \Rightarrow A A^{'} = A B \tan 60^{\circ} = a \sqrt{3}$

Thể tích khối lăng trụ đã cho là $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{A B C} = a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3}}{4}$

Đáp án C.

Câu 16 : Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $7 a^{2}$ và chiều cao bằng 9a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A.
$9 a^{3}$
B.
$21 a^{3}$
C.
$84 a^{3}$
D.
$63 a^{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ , chiều cao $h$ là $V = \frac{1}{3} h . B$

Lời giải chi tiết :

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3} .7 a^{2} .9 a = 21 a^{3}$

Đáp án B.

Câu 1 : Hai xạ A và B cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ nhất là 0,7 . Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ hai là 0,8 .

Gọi A là biến cố: “xạ thủ thứ nhất bắn trúng”,

B là biến cố: “xạ thủ thứ hai bắn trúng”

Các Khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Khi đó $A \cup B$ là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng”

Đúng

Sai

b) Biến cố $A \cup B$ và $A \cap B$ là hai biến cố xung khắc

Đúng

Sai

c) Xác suất để cả hai người bắn trượt là: 0,6

Đúng

Sai

d) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là: 0,94.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Khi đó $A \cup B$ là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng”

Đúng

Sai

b) Biến cố $A \cup B$ và $A \cap B$ là hai biến cố xung khắc

Đúng

Sai

c) Xác suất để cả hai người bắn trượt là: 0,6

Đúng

Sai

d) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là: 0,94.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Dùng kiến thức về biến cố, biến cố đối, biến cố xung khắc, xác suất của biến cố

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Vì $A \cup B$ là biến cố: “xạ thủ A bắn trúng hoặc xạ thủ B bắn trúng”.

b) Sai. Vì biến cố $A \cap B$ nằm trong $A \cup B$ .

c) Sai. Vì xác suất để A và B bắn trượt lần lượt là: 0,3 và 0,4. Xác suất cả hai người bắn trượt là: 0,06

d) Đúng. Vì xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là biến cố đối của biến cố cả hai người đều bắn trượt: 1 – 0,06 = 0,94

Câu 2 : Cho khối chóp đều $S \cdot A B C D$ có cạnh đáy là $a$ , các mặt bên tạo với đáy một góc $60^{\circ}$ , O là tâm đáy. Khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Thể tích hình chóp là: $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Đúng

Sai

b) Độ dài cạnh bên của hình chóp là: $\frac{a \sqrt{5}}{2}$

Đúng

Sai

c) Khoảng cách $d (O; (S C B))$ bằng: $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Đúng

Sai

d) Khoảng cách $d (A D; S C) = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Đúng

Sai

Đáp án

a) Thể tích hình chóp là: $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Đúng

Sai

b) Độ dài cạnh bên của hình chóp là: $\frac{a \sqrt{5}}{2}$

Đúng

Sai

c) Khoảng cách $d (O; (S C B))$ bằng: $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Đúng

Sai

d) Khoảng cách $d (A D; S C) = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ , chiều cao $h$ là $V = \frac{1}{3} h . B$

b) Áp dụng định lí Pytago

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

d) $d (A D; S C) = 2 d (O; (S C B))$

Lời giải chi tiết :

a) Sai.

Gọi $M$ là trung điểm BC, Góc giữa mặt bên $(S B C)$ và mặt phẳng $(A B C D)$ là góc $\hat{S M O} = 60^{\circ}$ .

Xét $Δ S O M$ có $O M = \frac{a}{2}, S M O = 60^{\circ}$ thì

$S O = O M \cdot \tan \hat{S M O} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Nên $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O S_{A G C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} (d v t t)$ .

b) Đúng.

Đúng. Xét $Δ S O B$ vuông tại O ta có:

$S B = \sqrt{O M^{2} + O B^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} + \frac{2 a^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{5} a}{2}$ .

c) Đúng.

Kẻ OH vuông góc với SM khi đó $d (O; (S C B)) = O H$

Xét $Δ S O M$ vuông tại O có: $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O M^{2}} = \frac{16}{3 a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

d) Sai

Vì $A D / / C B$ mà $C B \subset (S B C)$ nên

$d (A D; S C) = d (A D; (S C B)) = d (A; (S C B)) = 2 d (O; (S C B)) = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Câu 3 : Cho hàm số $f (x) = - \frac{m}{3} x^{3} + m x^{2} - 3 x + 9$ , $g (x) = 2 x^{3} - 6 x + 1$

a) Phương trình tiếp tuyến của hàm $g (x)$ tại $x = 3$ là: $y = 3 x + 107$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của $g (x)$ song song với đường thẳng $y = - 6 x - 5$ là: $y = - 6 x + 1$

Đúng

Sai

c) Phương trình $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m \in R$

Đúng

Sai

d) Để $f^{'} (x) \leq 0 \forall x \in R$ thì $m$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình tiếp tuyến của hàm $g (x)$ tại $x = 3$ là: $y = 3 x + 107$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của $g (x)$ song song với đường thẳng $y = - 6 x - 5$ là: $y = - 6 x + 1$

Đúng

Sai

c) Phương trình $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m \in R$

Đúng

Sai

d) Để $f^{'} (x) \leq 0 \forall x \in R$ thì $m$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ $x = x_{0}$ là $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

b) Hai đường thẳng song song khi chúng có hệ số góc bằng nhau

c) Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khi $Δ > 0$ hoặc $Δ^{'} > 0$

d) Chia trường hợp rồi tìm các giá trị m thỏa mãn

Lời giải chi tiết :

a) Sai

Ta có: $g^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 \Rightarrow g^{'} (3) = 48$

Ta có $x = 3 \Rightarrow g (3) = 37 \Rightarrow A (3; 37)$

Phương trình tiếp tuyến qua điểm $A (3; 37)$ là: $y = 48 (x - 3) + 37 \Rightarrow y = 3 x - 107$

b) Đúng.

Phương trình tiếp tuyến của $g (x)$ song song với đường thẳng $y = - 6 x - 5$ nên ta có hệ số góc bẳng $- 6$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 = - 6 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow g (0) = 1$ vậy $B (0; 1)$

Phương trình tiếp tuyến qua điểm $B (0; 1)$ là: $y = - 6 (x - 0) + 1 = - 6 x + 1$

c) Sai

Ta có $f^{'} (x) = g^{'} (x)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - m x^{2} + 2 m x - 3 = 6 x^{2} - 6 \\ \Leftrightarrow (m + 6) x^{2} - 2 m x - 3 = 0 \end{array}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

${\begin{cases} m + 6 \neq 0 \\ Δ^{'} = m^{2} + 3 (m + 6) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m \neq - 6 \\ Δ^{'} = m^{2} + 3 (m + 6) > 0, \forall m \in R \end{cases}$

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $m \neq - 6$ .

d) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $f^{'} (x) \leq 0 \forall x \in R$ .

$f (x) = - \frac{m}{3} x^{3} + m x^{2} - 3 x + 9$

$\Rightarrow f^{'} (x) = - m x^{2} + 2 m x - 3$

$f^{'} (x) \leq 0 \forall x \in R \Leftrightarrow - m x^{2} + 2 m x - 3 \leq 0 \forall x \in R$

$T H 1 : m = 0 \Rightarrow f^{'} (x) = - 3 \leq 0 \forall x \in R$

$T H 2 : m \neq 0$

$- m x^{2} + 2 m x - 3 \leq 0 \forall x \in R$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} - m < 0 \\ Δ^{'} = m^{2} - 3 m \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} m > 0 \\ 0 \leq m \leq 3 \end{array} \Leftrightarrow 0 < m \leq 3$

Vậy $0 \leq m \leq 3$ .

Câu 1 : Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = t^{3} - 3 t^{2} - 9 t$ , trong đó $t > 0, t$ tính bằng giây và $s (t)$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là: …………………………………………………………………

Phương pháp giải :

Ta có: $s (t)^{″} = v (t)^{'} = a (t)$

Lời giải chi tiết :

$s = t^{3} - 3 t^{2} - 9 t \Rightarrow v (t) = 3 t^{2} - 6 t - 9 \Rightarrow a (t) = 6 t - 6$

$v = 0 \Rightarrow 3 t^{2} - 6 t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3$ .

Vậy $a (3) = 6.3 - 6 = 12 (m / s^{2})$ .

Câu 2 : Cho A, B là hai biến cố. Biết $P = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{3}{4}; P (A \cap B) = \frac{1}{4}$ . Khi đó: $P (A \cup B)$ bằng: …………..

Phương pháp giải :

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Lời giải chi tiết :

A, B là hai biến cố bất kỳ ta luôn có:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = 1$

Câu 3 : Gọi $S$ là tập hợp gồm 6 số lẻ và 4 số chẵn. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ $S$ , xác suất để 3 số chọn ra có tích là số chẵn bằng:…………………………………………………………………………………………….

Phương pháp giải :

Dùng biến cố đối

Lời giải chi tiết :

$n_{Ω} = C_{10}^{3} = 120$

Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số chẵn"

$\bar{A}$ : "Chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số lẻ".

Để chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số lẻ thì cả 3 số phải cùng lẻ

$\Rightarrow n_{\bar{A}} = C_{6}^{3} = 20 \Rightarrow n_{A} = 120 - 20 = 100.$

Vậy $P (A) = \frac{100}{120} = \frac{5}{6}$ .

Câu 4 : Cho khối lăng trụ tam giác đều $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và đường thẳng $A^{'} B$ hợp với mặt đáy một góc $60^{\circ}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng:………………………….

Phương pháp giải :

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ , chiều cao $h$ là $V = h . B$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A A^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow (A^{'} B, (A B C)) = (A^{'} B, A B) = \hat{A^{'} B A}$

Theo giả thiết $\hat{A^{'} B A} = 60^{\circ}$

Lại có: $\tan 60^{\circ} = \frac{A A^{'}}{A B} \Rightarrow A A^{'} = A B \tan 60^{\circ} = a \sqrt{3}$

Thể tích khối lăng trụ đã cho là $V_{A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{A B C} = a \sqrt{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3}}{4}$

Câu 5 : Phương trình $27^{2 x - 3} = {(\frac{1}{3})}^{x^{2} + 2}$ có tập nghiệm là:…………………………………………………..

Phương pháp giải :

$a^{x} = a^{y} \Leftrightarrow x = y$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $27^{2 x - 3} = {(\frac{1}{3})}^{x^{2} + 2} \Leftrightarrow 3^{6 x - 9} = 3^{- x^{2} - 2}$

$\Leftrightarrow 6 x - 9 = - x^{2} - 2 \Leftrightarrow x^{2} + 6 x - 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 7 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là ${1; - 7}$

Câu 6 : Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $\log_{a}^{2} (a^{2} b) \cdot \log_{a} \frac{b}{a} + 4 = 0$ Giá trị tập của $\log_{b} a$ bằng:…………………………………………………………………………………………

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức logarit để giải phương trình

Lời giải chi tiết :

$\log_{a}^{2} (a^{2} b) \cdot \log_{a} \frac{b}{a} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow {(\log_{a} a^{2} + \log_{a} b)}^{2} \cdot (\log_{a} b - \log_{a} a) = - 4$

$\Leftrightarrow {(2 + \log_{a} b)}^{2} \cdot (\log_{a} b - 1) = - 4$

$\Leftrightarrow (\log_{a}^{2} b + 4 \log_{a} b + 4) (\log_{a} b - 1) = - 4$

$\Leftrightarrow \log_{a}^{3} b + 4 \log_{a}^{2} b + 4 \log_{a} b - \log_{a}^{2} b - 4 \log_{a} b - 4 = - 4$

$\Leftrightarrow \log_{a}^{3} b + 3 \log_{a}^{2} b = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{a} b = 0 \\ \log_{a} b = - 3 \end{array}$

Vậy $S = {0; - 3}$ .