Đề thi học kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 9

Câu 1 : Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{2}{5}} . \sqrt[6]{x}$ với x > 0.

A.

$P = \sqrt{x}$
B.

$P = x^{\frac{17}{30}}$
C.

$P = x^{\frac{1}{15}}$
D.

$P = x^{\frac{17}{15}}$

Câu 2 : Cho a > 0 và $a \neq 1$ , khi đó $\log_{a} \sqrt[3]{a}$ bằng

A.

$- \frac{1}{3}$
B.

$\frac{1}{3}$
C.

$- 3$
D.

$3$

Câu 3 : Tập xác định của hàm số $y = \log_{5} x$ là

A.

$(- \infty; + \infty)$
B.

$[0; + \infty)$
C.

$(- \infty; 0)$
D.

$(0; + \infty)$

Câu 4 : Chọn mệnh đề sai.

A.

(u.v)’ = u’.v’
B.

(u – v)’ = u’ – v’
C.

(u.v)’ = u’.v – u.v’
D.

(u + v)’ = u’ + v’

Câu 5 : Hàm số $y = x^{2} + x + 1$ có đạo hàm trên $R$ là

A.

$y^{'} = 3 x$
B.

$y^{'} = 2 + x$
C.

$y^{'} = x^{2} + x$
D.

$y^{'} = 2 x + 1$

Câu 6 : Đạo hàm của hàm số $y = 5^{x}$ là

A.

$y^{'} = - 5^{x} \ln 5$
B.

$y^{'} = \frac{5^{x}}{\ln 5}$
C.

$y^{'} = 5^{x} \ln 5$
D.

$y^{'} = \frac{- 5^{x}}{\ln 5}$

Câu 7 : Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f (x) = x^{2}$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = - 2$ là

A.

-4
B.

4
C.

2
D.

-2

Câu 8 : Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Gọi A biến cố “Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số chẵn”. Biến cố A xung khắc với biến cố nào sau đây?

A.

“Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số lẻ”
B.

“Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số chia hết cho 3”
C.

“Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số chia hết cho 6”
D.

“Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số chia hết cho 4”

Câu 9 : Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. P(A) = 0,4, P(B) = 0,3. Khi đó P(AB) bằng

A.

0,1
B.

0,58
C.

0,7
D.

0,12

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$A C ⊥ (S C D)$
B.

$A C ⊥ (S B D)$
C.

$A C ⊥ (S B C)$
D.

$A C ⊥ (S A B)$

Câu 11 : Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC vuông tại B, cạnh $S A ⊥ (A B C)$ . Chọn khẳng định đúng.

A.

$d (C, (S A B)) = C S$
B.

$d (A, (S B C)) = A B$
C.

$d (C, (S A B)) = C B$
D.

$d (S, (S B C)) = S A$

Câu 12 : Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $a^{2} \sqrt{3}$ và chiều cao bằng $2 a \sqrt{3}$ . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A.

$3 a^{3}$
B.

$2 a^{3}$
C.

$6 a^{3}$
D.

$2 a^{3} \sqrt{3}$

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động trong 60 giây đầu tiên có phương trình $s (t) = \frac{1}{12} t^{4} - \frac{2}{3} t^{3} + 6 t^{2} + 7 t$ , trong đó t > 0 và tính bằng giây (s), s(t) tính bằng mét (m).

a) Vận tốc chuyển động $v (t) = \frac{1}{3} t^{3} + 2 t^{2} + 12 t + 7$ .

Đúng

Sai

b) Gia tốc chuyển động $a (t) = v^{'} (t) = t^{2} - 4 t + 12$ .

Đúng

Sai

c) Tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng $\frac{77}{3}$ m/s.

Đúng

Sai

d) Vận tốc chuyển động tại thời điểm t = 1 là $v (t) = \frac{32}{3}$ m/s.

Đúng

Sai

Câu 2 : Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A được chế tạo cân đối. Đồng xu B được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa.

a) Xác suất đồng xu A xuất hiện mặt ngửa bằng $\frac{1}{2}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất đồng xu B xuất hiện mặt ngửa bằng $\frac{1}{4}$ .

Đúng

Sai

c) Khi gieo hai đồng xu một lần thì xác suất cả hai đều ngửa bằng $\frac{1}{12}$ .

Đúng

Sai

d) Khi gieo hai đồng xu hai lần thì xác suất cả hai đồng xu đều ngửa bằng $\frac{1}{32}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo thể thức lãi kép (tức là tiền lãi của kỳ trước được cộng vào vốn của kỳ kế tiếp) với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi tiền vào ngân hàng bằng bao nhiêu triệu đồng? Biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền lãi suất ngân hàng không thay đổi và người đó không rút tiền ra.

Câu 2 : Hai đội công nhân trong một nhà máy sản xuất có xác suất tạo ra sản phẩm tốt lần lượt là 0,75 và 0,85. Tính xác suất phế phẩm mà nhà máy đó tạo ra bởi cả hai đội (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

Câu 3 : Cho hàm số $f (x) = x^{2} e^{- 2 x}$ . Tính tổng các nghiệm của phương trình $f^{'} (x) = 0$ .

Câu 4 : Công ty sản xuất đồ chơi Electric X giao cho nhân viên thiết kế một mô hình khối hình hộp ABCD.A’B’C’ D’ có 6 mặt là hình vuông cạnh bằng 2024 (cm) như hình vẽ. Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AA′ và A′ B′. Để ghi các thông số kĩ thuật thì công ty yêu cầu nhân viên tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD trước khi sản xuất hàng loạt. Hỏi số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD là bao nhiêu độ?

Câu 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): $y = \frac{x - 2}{2 x + 1}$ tại giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = x – 2.

Câu 2 : Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} [\log_{2} (2 - x^{2})] > 0$ .

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = $\sqrt{3}$ , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng $\frac{3}{2}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 1 : Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{2}{5}} . \sqrt[6]{x}$ với x > 0.

A.

$P = \sqrt{x}$
B.

$P = x^{\frac{17}{30}}$
C.

$P = x^{\frac{1}{15}}$
D.

$P = x^{\frac{17}{15}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $x^{a} . x^{b} = x^{a + b}$ và $\sqrt[b]{x^{a}} = x^{\frac{a}{b}}$ .

Lời giải chi tiết :

$P = x^{\frac{2}{5}} . \sqrt[6]{x} = x^{\frac{2}{5}} . x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = x^{\frac{17}{30}}$ .

Câu 2 : Cho a > 0 và $a \neq 1$ , khi đó $\log_{a} \sqrt[3]{a}$ bằng

A.

$- \frac{1}{3}$
B.

$\frac{1}{3}$
C.

$- 3$
D.

$3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $\sqrt[b]{x^{a}} = x^{\frac{a}{b}}$ và $\log_{x} x^{α} = α$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{a} \sqrt[3]{a} = \log_{a} a^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$ .

Câu 3 : Tập xác định của hàm số $y = \log_{5} x$ là

A.

$(- \infty; + \infty)$
B.

$[0; + \infty)$
C.

$(- \infty; 0)$
D.

$(0; + \infty)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng lí thuyết về tập xác định của hàm số logarit.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định của hàm số $y = \log_{5} x$ là $(0; + \infty)$ .

Câu 4 : Chọn mệnh đề sai.

A.

(u.v)’ = u’.v’
B.

(u – v)’ = u’ – v’
C.

(u.v)’ = u’.v – u.v’
D.

(u + v)’ = u’ + v’

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.

Lời giải chi tiết :

Ta có (u.v)’ = u’.v – u.v’ là công thức đúng và (u.v)’ = u’.v’ là sai.

Câu 5 : Hàm số $y = x^{2} + x + 1$ có đạo hàm trên $R$ là

A.

$y^{'} = 3 x$
B.

$y^{'} = 2 + x$
C.

$y^{'} = x^{2} + x$
D.

$y^{'} = 2 x + 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức ${(x^{α})}^{'} = α . x^{α - 1}$ .

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = {(x^{2} + x + 1)}^{'} = 2 x + 1$ .

Câu 6 : Đạo hàm của hàm số $y = 5^{x}$ là

A.

$y^{'} = - 5^{x} \ln 5$
B.

$y^{'} = \frac{5^{x}}{\ln 5}$
C.

$y^{'} = 5^{x} \ln 5$
D.

$y^{'} = \frac{- 5^{x}}{\ln 5}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức đạo hàm ${(a^{x})}^{'} = a^{x} \ln a$ .

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = {(5^{x})}^{'} = 5^{x} \ln 5$ .

Câu 7 : Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f (x) = x^{2}$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = - 2$ là

A.

-4
B.

4
C.

2
D.

-2

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính $f^{'} (- 2)$ .

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = {(x^{2})}^{'} = 2 x$ .

Hệ số góc của tiếp tuyến là:

$f^{'} (- 2) = 2. (- 2) = - 4$ .

Câu 8 : Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Gọi A biến cố “Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số chẵn”. Biến cố A xung khắc với biến cố nào sau đây?

A.

“Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số lẻ”
B.

“Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số chia hết cho 3”
C.

“Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số chia hết cho 6”
D.

“Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số chia hết cho 4”

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hai biến cố được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

Lời giải chi tiết :

Biến cố xung khắc của A là “Số chấm xuất hiện của con xúc xắc là số lẻ”.

Câu 9 : Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. P(A) = 0,4, P(B) = 0,3. Khi đó P(AB) bằng

A.

0,1
B.

0,58
C.

0,7
D.

0,12

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập: P(AB) = P(A).P(B).

Lời giải chi tiết :

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12.

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$A C ⊥ (S C D)$
B.

$A C ⊥ (S B D)$
C.

$A C ⊥ (S B C)$
D.

$A C ⊥ (S A B)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình vuông nên $A C ⊥ B D$ .

Mặt khác $S B ⊥ (A B C D)$ nên $S B ⊥ A C$ .

Do đó $A C ⊥ (S B D)$ .

Câu 11 : Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC vuông tại B, cạnh $S A ⊥ (A B C)$ . Chọn khẳng định đúng.

A.

$d (C, (S A B)) = C S$
B.

$d (A, (S B C)) = A B$
C.

$d (C, (S A B)) = C B$
D.

$d (S, (S B C)) = S A$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $d (C, (S A B)) = C B$ ;

$d (A, (S B C))$ là khoảng cách từ A đến chân đường vuông góc hạ xuống SB;

$d (S, (S B C)) = 0$ .

Câu 12 : Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $a^{2} \sqrt{3}$ và chiều cao bằng $2 a \sqrt{3}$ . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A.

$3 a^{3}$
B.

$2 a^{3}$
C.

$6 a^{3}$
D.

$2 a^{3} \sqrt{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ V = Bh.

Lời giải chi tiết :

$V = B h = a^{2} \sqrt{3} .2 a \sqrt{3} = 6 a^{3}$ .

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động trong 60 giây đầu tiên có phương trình $s (t) = \frac{1}{12} t^{4} - \frac{2}{3} t^{3} + 6 t^{2} + 7 t$ , trong đó t > 0 và tính bằng giây (s), s(t) tính bằng mét (m).

a) Vận tốc chuyển động $v (t) = \frac{1}{3} t^{3} + 2 t^{2} + 12 t + 7$ .

Đúng

Sai

b) Gia tốc chuyển động $a (t) = v^{'} (t) = t^{2} - 4 t + 12$ .

Đúng

Sai

c) Tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng $\frac{77}{3}$ m/s.

Đúng

Sai

d) Vận tốc chuyển động tại thời điểm t = 1 là $v (t) = \frac{32}{3}$ m/s.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Vận tốc chuyển động $v (t) = \frac{1}{3} t^{3} + 2 t^{2} + 12 t + 7$ .

Đúng

Sai

b) Gia tốc chuyển động $a (t) = v^{'} (t) = t^{2} - 4 t + 12$ .

Đúng

Sai

c) Tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng $\frac{77}{3}$ m/s.

Đúng

Sai

d) Vận tốc chuyển động tại thời điểm t = 1 là $v (t) = \frac{32}{3}$ m/s.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) v(t) = s’(t).

b) a(t) = v’(t).

c) Tìm $t_{0}$ sao cho gia tốc nhỏ nhất. Tính $v (t_{0})$ .

d) Tính v(1).

Lời giải chi tiết :

a) Sai. $v (t) = s^{'} (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 12 t + 7$ .

b) Đúng. $a (t) = v^{'} (t) = t^{2} - 4 t + 12$ .

c) Đúng. Gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = - \frac{- 4}{2.1} = 2$ .

Khi đó $v (2) = \frac{1}{3} {.2}^{3} - {2.2}^{2} + 12.2 + 7 = \frac{77}{3}$ (m/s).

d) Sai. $v (1) = \frac{1}{3} {.1}^{3} - {2.1}^{2} + 12.1 + 7 = \frac{52}{3}$ (m/s).

Câu 2 : Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A được chế tạo cân đối. Đồng xu B được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa.

a) Xác suất đồng xu A xuất hiện mặt ngửa bằng $\frac{1}{2}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất đồng xu B xuất hiện mặt ngửa bằng $\frac{1}{4}$ .

Đúng

Sai

c) Khi gieo hai đồng xu một lần thì xác suất cả hai đều ngửa bằng $\frac{1}{12}$ .

Đúng

Sai

d) Khi gieo hai đồng xu hai lần thì xác suất cả hai đồng xu đều ngửa bằng $\frac{1}{32}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Xác suất đồng xu A xuất hiện mặt ngửa bằng $\frac{1}{2}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất đồng xu B xuất hiện mặt ngửa bằng $\frac{1}{4}$ .

Đúng

Sai

c) Khi gieo hai đồng xu một lần thì xác suất cả hai đều ngửa bằng $\frac{1}{12}$ .

Đúng

Sai

d) Khi gieo hai đồng xu hai lần thì xác suất cả hai đồng xu đều ngửa bằng $\frac{1}{32}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc nhân xác suất và tính xác suất của biến cố đối.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Xác suất đồng xu A ngửa bằng $\frac{1}{2}$ .

b) Đúng. Xác suất đồng xu B ngửa là x, xác suất đồng xu B sấp là 1 – x.

Vì xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa nên ta có $1 - x = 3 x$ , suy ra $x = \frac{1}{4}$ .

Vậy xác suất đồng xu B ngửa bằng $\frac{1}{4}$ .

c) Sai. Xác suất cả hai đồng xu đều ngửa là $\frac{1}{2} . \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ .

d) Sai. Xác suất cả hai đồng xu đều ngửa khi tung hai lần là ${(\frac{1}{2})}^{2} . {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{64}$ .

Câu 1 : Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo thể thức lãi kép (tức là tiền lãi của kỳ trước được cộng vào vốn của kỳ kế tiếp) với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi tiền vào ngân hàng bằng bao nhiêu triệu đồng? Biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền lãi suất ngân hàng không thay đổi và người đó không rút tiền ra.

Phương pháp giải :

- Tính số tiền có được sau 6 tháng đầu.

- Tính số tiền có được sau 1 năm gửi tiếp.

Sử dụng công thức lãi kép không kì hạn $T = A {(1 + r)}^{N}$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Số tiền người đó có sau 6 tháng = 2 quý: $T_{1} = 100 {(1 + 2 %)}^{2} = 104, 04$ triệu đồng.

Số tiền người đó có ngay sau khi gửi thêm 100 triệu là: $104, 04 + 100 = 204, 04$ triệu đồng.

Số tiền người đó có sau 1 năm = 4 quý nữa là: $T_{2} = 204, 04 {(1 + 2 %)}^{4} \approx 220$ triệu đồng.

Câu 2 : Hai đội công nhân trong một nhà máy sản xuất có xác suất tạo ra sản phẩm tốt lần lượt là 0,75 và 0,85. Tính xác suất phế phẩm mà nhà máy đó tạo ra bởi cả hai đội (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc nhân và tính xác suất của biến cố đối.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Xác suất phế phẩm mà nhà máy đó tạo ra bởi cả hai đội là $(1 - 0, 75) (1 - 0, 85) = 0, 0375 \approx 0, 04$ .

Câu 3 : Cho hàm số $f (x) = x^{2} e^{- 2 x}$ . Tính tổng các nghiệm của phương trình $f^{'} (x) = 0$ .

Phương pháp giải :

Tìm TXĐ. Tính f’(x) và giải phương trình f’(x) = 0.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = R$ .

$f^{'} (x) = {(x^{2})}^{'} e^{- 2 x} + x^{2} {(e^{- 2 x})}^{'}$

$= 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} = 2 x e^{- 2 x} (1 - x)$ .

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x e^{- 2 x} (1 - x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình f’(x) = 0 là 0 + 1 = 1.

Câu 4 : Công ty sản xuất đồ chơi Electric X giao cho nhân viên thiết kế một mô hình khối hình hộp ABCD.A’B’C’ D’ có 6 mặt là hình vuông cạnh bằng 2024 (cm) như hình vẽ. Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AA′ và A′ B′. Để ghi các thông số kĩ thuật thì công ty yêu cầu nhân viên tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD trước khi sản xuất hàng loạt. Hỏi số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD là bao nhiêu độ?

Phương pháp giải :

Gọi P là trung điểm của A’D’.

Tính $(M N, B D) = (M N, N P) = \hat{M N P}$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi P là trung điểm của A’D’.

Dễ thấy NP // B’D’ // BD. Do đó, $(M N, B D) = (M N, N P) = \hat{M N P}$ .

Ta có độ dài đường chéo các mặt của khối lập phương là $A B^{'} = A D^{'} = B^{'} D^{'} = 2024 \sqrt{2}$ .

Vì MN là đường trung bình tam giác A’B’A nên $M N = \frac{A B^{'}}{2} = \frac{2024 \sqrt{2}}{2} = 1012 \sqrt{2}$ .

Tương tự, ta có $N P = M P = 1012 \sqrt{2}$ .

Do đó, tam giác MNP là tam giác đều, suy ra $\hat{M N P} = 60^{o}$ .

Vậy góc giữa MN và BD bằng $60^{o}$ .

Câu 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): $y = \frac{x - 2}{2 x + 1}$ tại giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = x – 2.

Phương pháp giải :

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d, giải tìm nghiệm $x_{0}$ .

Phương trình tiếp tuyến của f(x) tại $x_{0}$ là $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + y_{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y^{'} = {(\frac{x - 2}{2 x + 1})}^{'} = \frac{{(x - 2)}^{'} (2 x + 1) - (x - 2) {(2 x + 1)}^{'}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

$= \frac{1. (2 x + 1) - (x - 2) .2}{{(2 x + 1)}^{2}} = \frac{2 x + 1 - 2 x + 4}{{(2 x + 1)}^{2}} = \frac{5}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là $\frac{x - 2}{2 x + 1} = x - 2 \Leftrightarrow (2 x + 1) (x - 2) = x - 2 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow 2 x (x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ .

Với $x_{0} = 2$ , ta có $y^{'} (x_{0}) = y^{'} (2) = \frac{5}{{(2.2 + 1)}^{2}} = \frac{1}{5}$ ; $y (x_{0}) = y (2) = \frac{2 - 2}{2.2 + 1} = 0$ .

Phương trình tiếp tuyến là $y = \frac{1}{5} (x - 2) + 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{5} x - \frac{2}{5}$ .

Với $x_{0} = 0$ , ta có $y^{'} (x_{0}) = y^{'} (0) = \frac{5}{{(2.0 + 1)}^{2}} = 5$ ; $y (x_{0}) = y (0) = \frac{0 - 2}{2.0 + 1} = - 2$ .

Phương trình tiếp tuyến là $y = 5 (x - 0) - 2 \Leftrightarrow y = 5 x - 2$ .

Câu 2 : Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} [\log_{2} (2 - x^{2})] > 0$ .

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: ${\begin{cases} \log_{2} (2 - x^{2}) > 0 \\ 2 - x^{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 - x^{2} > 2^{0} \\ x^{2} < 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x^{2} < 1 \\ x^{2} < 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} - 1 < x < 1 \\ - 2 < x < 2 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < x < 1$ .

Khi đó $\log_{\frac{1}{2}} [\log_{2} (2 - x^{2})] > 0 \Leftrightarrow \log_{2} (2 - x^{2}) < {(\frac{1}{2})}^{0} \Leftrightarrow \log_{2} (2 - x^{2}) < 1$

$\Leftrightarrow 2 - x^{2} < 2^{1} \Leftrightarrow x^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq 0$ .

Kết hợp ĐK, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- 1; 0) \cup (0; 1)$ .

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = $\sqrt{3}$ , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng $\frac{3}{2}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Xác định đoạn thẳng thể hiện khoảng cách giữa AB và SC. Từ đó, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm chiều cao khối chóp và tính thể tích.

Lời giải chi tiết :

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ $H K ⊥ S I$ .

SH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác cân SAB, suy ra $S H ⊥ A B$ .

Mà $(S A B) ⊥ (A B C D)$ , $(S A B) \cap (A B C D) = A B$ nên $S H ⊥ (A B C D) \Rightarrow S H ⊥ C D$ .

Ta có ${\begin{cases} S H ⊥ C D \\ H I ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S H I) \Rightarrow C D ⊥ H K$ .

Mặt khác ${\begin{cases} H K ⊥ S I \\ H K ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow H K ⊥ (S C D)$ .

Vì CD // AB nên $d (A B, D C) = d (A B, (S C D))$

$= d (H, (S C D)) = H K$ .

Ta có $H K = \frac{3}{2}$ , $H I = A D = \sqrt{3}$ .

Xét tam giác vuông SHI vuông tại H có đường cao HK:

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H S^{2}} + \frac{1}{H I^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{H S^{2}} = \frac{1}{H K^{2}} - \frac{1}{H I^{2}}$

$= \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2}} - \frac{1}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow H S = 3$ .

Thể tích khối chóp là:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{A C B D} = \frac{1}{3} . S H . A B . A D$

$= \frac{1}{3} .3 .1 . \sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1, 73$ .