Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 10

Câu 1 : Cho hàm số $f (x) = 3^{x} + \sin x$ . Một nguyên hàm của f(x) trên $R$ là

A.

$F (x) = 3^{x} \ln 3 + \cos x$ .
B.

$F (x) = \frac{3^{x}}{\ln 3} - \sin x$ .
C.

$F (x) = \frac{3^{x}}{\ln 3} - \cos x$ .
D.

$F (x) = 3^{x} + \sin x$ .

Câu 2 : Tìm nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x + 3$ , biết $F (0) = 3$ .

A.

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + 2$
B.

$\frac{x^{5}}{5} - x^{2} + 3 x$
C.

$\frac{x^{5}}{5} - x^{2} + 3 x + 3$
D.

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x$

Câu 3 : Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = - 2$ . Giá trị của $\int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x$ bằng

A.

$3.$
B.

$- 6.$
C.

$5.$
D.

$1.$

Câu 4 : Cho hàm số f(x) liên tục trên $R$ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = -1, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Description: A black background with a black square

Description automatically generated with medium confidence

A.

$S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x$ .
B.

$S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$ .
C.

$S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$ .
D.

$S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x$ .

Câu 5 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 4 = 0. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là

A.

(3; -1; 2).
B.

(2; -1; 3).
C.

(-1; 2; 3).
D.

(2; 1; 3).

Câu 6 : Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (2; - 1; 2)$ , $B (0; - 3; - 2)$ . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ có phương trình là

A.

$x + y + 2 z - 1 = 0$ .
B.

$x + y - 2 z + 1 = 0$ .
C.

$x - y + 2 z + 1 = 0$ .
D.

$x + y + 2 z + 1 = 0$ .

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d)$ :

$\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z - 1}{2}$ .

Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ ?

A.

$\vec{u_{1}} = (3; - 2; 1)$ .
B.

$\vec{u_{2}} = (4; 5; 2)$ .
C.

$\vec{u_{3}} = (3; 2; 1)$ .
D.

$\vec{u_{4}} = (4; - 5; 2)$ .

Câu 8 : Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm $M (1; 3; - 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 3 y - 4 z + 9 = 0$ có phương trình là

A.

${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 2 - 4 t \end{cases}$
B.

${\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 2 - 4 t \end{cases}$
C.

${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 4 - 2 t \end{cases}$
D.

${\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 4 - 2 t \end{cases}$

Câu 9 : Xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng $d_{1} : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = - 2 t \end{cases}$ và $d_{2} : {\begin{cases} x = 3 + 2 u \\ y = 6 + 4 u \\ z = - 4 - 4 u \end{cases}$ .

A.
Song song.
B.
Trùng nhau.
C.
Cắt nhau.
D.
Chéo nhau.

Câu 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 0; 0) tới mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 bằng

A.

3.
B.

$\sqrt{3}$ .
C.

9.
D.

1.

Câu 11 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4$ có bán kính bằng:

A.

2.
B.

16.
C.

8.
D.

4.

Câu 12 : Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. Biết rằng $P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 3$ . Khi đó $P (A ∣ B)$ bằng

A.
0,4.
B.
0,12.
C.
0,7.
D.
0,3.

Câu 1 : Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng d có phương trình ${\begin{cases} x = - 1000 + 100 t \\ y = - 300 + 80 t \\ z = 100 \sqrt{11} \end{cases} (t \in R)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

A black background with a black square

Description automatically generated with medium confidence

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$ .

Đúng

Sai

b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M (- 500; 100; 100 \sqrt{11})$ . Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

Đúng

Sai

c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\frac{4}{3}$ giờ.

Đúng

Sai

d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.

Đúng

Sai

Câu 2 : Trong một cuộc khảo sát 1000 học sinh thì có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của nhóm khảo sát.

a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.

Đúng

Sai

b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.

Đúng

Sai

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.

Đúng

Sai

d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.

Đúng

Sai

Câu 1 : Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox (đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x + 1}$ , đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 2 : Một sân bóng đá tiêu chuẩn có dạng hình chữ nhật với kích thước đường biên ngang là 68 m; có khung thành rộng 7,32 m và cao 2,44 m nằm ở chính giữa đường biên ngang. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O là điểm đá phạt góc, trục Ox nằm trên đường biên ngang, trục Oy nằm trên đường biên dọc, trục Oz vuông góc với sân bóng, đơn vị trên mỗi trục là mét (tham khảo hình vẽ). Một quả bóng được đá từ vị trí P(6; 22; 0) với vận tốc 28 m/s theo hướng của vectơ $\vec{v} = (15; - 11; 1)$ về phía khung thành. Giả sử quả bóng là một điểm, quỹ đạo bay của quả bóng là một đường thẳng và khung thành là một phần của mặt phẳng (Ozx). Thời gian bóng từ vị trí điểm P đến khung thành là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3 : Một máy phát tín hiệu P được đặt cố định ở một địa điểm và ta có thể nhận được tín hiệu của máy phát này trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính R của nó. Một người cầm máy dò tín hiệu A chuyển động trên đường thẳng d (như hình).

Nếu chọn điểm đặt máy phát tín hiệu P là gốc tọa độ O của hệ trục tọa độ Oxyz thì máy dò A di chuyển theo đường thẳng có phương trình ${\begin{cases} x = 5 - t \\ y = 5 - t \\ z = 7 - 2 t \end{cases}$ (trong đó t(h) là thời gian chuyển động). Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a;b;c). Tính P = a + b + c.

Câu 4 : Để điều khiển được 1 tàu thủy, thuyền trường A cần đảm bảo rằng hệ thống điều khiển bánh lái và bánh lái không bị hỏng. Biết rằng xác suất để hệ thống điều khiến bánh lái hoạt động bình thường là 0,8 và bánh lái không bị hỏng là 0,75. Thông qua thực tế thì người ta nhận thấy xác suất ca hai bộ phận này cũng hỏng là 0,03. Hỏi xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng trong hai bộ phận kiểm tra là bao nhiêu?

Câu 1 : Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của a thuộc $[π; 10 π]$ sao cho $\int_{0}^{a} \cos x d x = \frac{1}{2}$ . Số phần tử của S là bao nhiêu?

Câu 2 : Viết phương trình tham số của đường thẳng $a$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng $a$ đi qua điểm $M (0; - 2; - 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (1; - 5; 0)$

b) Đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $A (0; 0; 2)$ và $B (3; - 2; 5)$ .

Câu 3 : Cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 10 z + 2 = 0$ . Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Câu 1 : Cho hàm số $f (x) = 3^{x} + \sin x$ . Một nguyên hàm của f(x) trên $R$ là

A.

$F (x) = 3^{x} \ln 3 + \cos x$ .
B.

$F (x) = \frac{3^{x}}{\ln 3} - \sin x$ .
C.

$F (x) = \frac{3^{x}}{\ln 3} - \cos x$ .
D.

$F (x) = 3^{x} + \sin x$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$\int \sin x d x = - \cos x + C$ ; $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

Lời giải chi tiết :

$\int f (x) d x = \int (3^{x} + \sin x) d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} - \cos x + C$ .

Vậy một nguyên hàm của f(x) trên $R$ là $F (x) = \frac{3^{x}}{\ln 3} - \cos x$ .

Câu 2 : Tìm nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x + 3$ , biết $F (0) = 3$ .

A.

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + 2$
B.

$\frac{x^{5}}{5} - x^{2} + 3 x$
C.

$\frac{x^{5}}{5} - x^{2} + 3 x + 3$
D.

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ .

Thay x = 0 vào phương trình $F (x) = 3$ để tìm C.

Lời giải chi tiết :

$\int (x^{4} - 2 x + 3) d x = \frac{x^{5}}{5} - x^{2} + 3 x + C$ .

$F (0) = 3$ suy ra $\frac{0^{5}}{5} - 0^{2} + 3.0 + C = 3 \Leftrightarrow C = 3$ .

Vậy $F (x) = \frac{x^{5}}{5} - x^{2} + 3 x + 3$ .

Câu 3 : Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = - 2$ . Giá trị của $\int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x$ bằng

A.

$3.$
B.

$- 6.$
C.

$5.$
D.

$1.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} g (x) d x = 3 + (- 2) = 1$ .

Câu 4 : Cho hàm số f(x) liên tục trên $R$ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = -1, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Description: A black background with a black square

Description automatically generated with medium confidence

A.

$S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x$ .
B.

$S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$ .
C.

$S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$ .
D.

$S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị, ta có:

$S = \int_{- 1}^{1} | f (x) | d x + \int_{1}^{2} | f (x) | d x$

$= \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x$ .

Câu 5 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 4 = 0. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là

A.

(3; -1; 2).
B.

(2; -1; 3).
C.

(-1; 2; 3).
D.

(2; 1; 3).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Một vecto pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (A; B; C)$ .

Khi đó, với số thực $k \neq 0$ , $k \vec{n} = (k A; k B; k C)$ cũng là một vecto pháp tuyến của (P).

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 3 z - 4 = 0$ có 1 VTPT là $(2; - 1; 3)$ .

Câu 6 : Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (2; - 1; 2)$ , $B (0; - 3; - 2)$ . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ có phương trình là

A.

$x + y + 2 z - 1 = 0$ .
B.

$x + y - 2 z + 1 = 0$ .
C.

$x - y + 2 z + 1 = 0$ .
D.

$x + y + 2 z + 1 = 0$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I của AB, nhận $\vec{A B}$ làm vecto pháp tuyến.

Lời giải chi tiết :

Phương trình mặt phẳng đó là:

$- 2 (x - 1) - 2 (y + 2) - 4 (z + 0) = 0$

$\Leftrightarrow - 2 x - 2 y - 4 z - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x + y + 2 z + 1 = 0$ .

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d)$ :

$\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z - 1}{2}$ .

Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ ?

A.

$\vec{u_{1}} = (3; - 2; 1)$ .
B.

$\vec{u_{2}} = (4; 5; 2)$ .
C.

$\vec{u_{3}} = (3; 2; 1)$ .
D.

$\vec{u_{4}} = (4; - 5; 2)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đường thẳng $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (a; b; c)$ .

Lời giải chi tiết :

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u_{4}} = (4; - 5; 2)$ .

Câu 8 : Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm $M (1; 3; - 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 3 y - 4 z + 9 = 0$ có phương trình là

A.

${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 2 - 4 t \end{cases}$
B.

${\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 2 - 4 t \end{cases}$
C.

${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 4 - 2 t \end{cases}$
D.

${\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 4 - 2 t \end{cases}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nhận vecto pháp tuyến của (P) làm vecto chỉ phương. Từ đó lập phương trình tham số của đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Vecto chỉ phương của đường thẳng cũng là vecto pháp tuyến của (P): $\vec{u} = (1; 3 - 4)$ .

Phương trình đường thẳng đi qua $M (1; 3; - 2)$ , nhận $\vec{u} = (1; 3 - 4)$ làm vecto chỉ phương là:

${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 3 t \\ z = - 2 - 4 t \end{cases}$ .

Câu 9 : Xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng $d_{1} : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = - 2 t \end{cases}$ và $d_{2} : {\begin{cases} x = 3 + 2 u \\ y = 6 + 4 u \\ z = - 4 - 4 u \end{cases}$ .

A.
Song song.
B.
Trùng nhau.
C.
Cắt nhau.
D.
Chéo nhau.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định vecto chỉ phương của các cặp đường thẳng trên, từ đó suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\vec{u_{1}} = (1; 2; - 2)$ , $\vec{u_{2}} = (2; 4; - 4) \Rightarrow \vec{u_{2}} = 2 \vec{u_{1}}$ .

Mặt khác điểm $M_{1} (1; 2; 0) \in d_{1}$ và $M_{1} (1; 2; 0) \in d_{2}$ nên $d_{1}$ trùng $d_{2}$ .

Câu 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 0; 0) tới mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 bằng

A.

3.
B.

$\sqrt{3}$ .
C.

9.
D.

1.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 (với $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ).

Khoảng cách từ M đến (P) được tính bằng công thức: $d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

$d (A, (P)) = \frac{| 2.1 + 2.0 - 1.0 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 1$ .

Câu 11 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4$ có bán kính bằng:

A.

2.
B.

16.
C.

8.
D.

4.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Mặt cầu phương trình ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ có bán kính bằng R.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu phương trình ${(x - 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4$ có bán kính bằng 2.

Câu 12 : Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. Biết rằng $P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 3$ . Khi đó $P (A ∣ B)$ bằng

A.
0,4.
B.
0,12.
C.
0,7.
D.
0,3.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)}$ và công thức nhân xác suất với 2 biến cố độc lập.

Lời giải chi tiết :

Do biến cố $A$ và $B$ độc lập nên:

$P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)} = \frac{P (A) . P (B)}{P (B)} = P (A) = 0, 4$ .

Câu 1 : Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng d có phương trình ${\begin{cases} x = - 1000 + 100 t \\ y = - 300 + 80 t \\ z = 100 \sqrt{11} \end{cases} (t \in R)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

A black background with a black square

Description automatically generated with medium confidence

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$ .

Đúng

Sai

b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M (- 500; 100; 100 \sqrt{11})$ . Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

Đúng

Sai

c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\frac{4}{3}$ giờ.

Đúng

Sai

d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$ .

Đúng

Sai

b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M (- 500; 100; 100 \sqrt{11})$ . Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

Đúng

Sai

c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\frac{4}{3}$ giờ.

Đúng

Sai

d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng kiến thức về phương trình mặt cầu và phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0), bán kính 600 km là:

$(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} + (z - 0)^{2} = 600^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36000$ .

b) Đúng. $O M = \sqrt{{(- 500)}^{2} + 100^{2} + {(100 \sqrt{11})}^{2}} \approx 608$ km > 600 km.

Do đó vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu.

c) Sai. Đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là lúc đường bay d nằm trong mặt cầu.

Giả sử đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm B, C. Xét:

$(- 1000 + 100 t)^{2} + (- 300 + 80 t)^{2} + (100 \sqrt{11})^{2} = 36000$

$\Leftrightarrow 164 t^{2} - 2480 t + 8400 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 10 \\ t = \frac{210}{41} \end{array}$

Với t = 10, ta có $B (0; 500; 100 \sqrt{11})$ .

Với $t = \frac{210}{41}$ , ta có $C (- \frac{20000}{41}; \frac{4500}{41}; 100 \sqrt{11})$ .

$B C = \sqrt{{(- \frac{20000}{41})}^{2} + {(\frac{4500}{41} - 500)}^{2}} \approx 625$ (km).

Thời gian máy bay bay hết quãng đường BC xấp xỉ $\frac{625}{900} \approx 0, 69$ giờ.

d) Sai. Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 600 km vì đài kiểm soát không lưu được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km.

Câu 2 : Trong một cuộc khảo sát 1000 học sinh thì có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của nhóm khảo sát.

a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.

Đúng

Sai

b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.

Đúng

Sai

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.

Đúng

Sai

d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.

Đúng

Sai

b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.

Đúng

Sai

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.

Đúng

Sai

d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng định nghĩa xác suất toàn phần, công thức nhân xác suất, xác suất toàn phần, công thức Bayes.

Lời giải chi tiết :

Xét các biến cố: $A$ : "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao";

$B$ : "Chọn được học sinh biết chơi bóng đá”.

a) Đúng. Khi đó, $P (A) = \frac{200}{1000} = 0, 2$ .

b) Sai. Khi đó, $P (B ∣ A) = 0, 85; P (B ∣ \bar{A}) = 0, 1$ .

Theo công thức nhân xác suất:

$P (A B) = P (B A) = P (A) . P (B ∣ A)$

$= 0, 2.0, 85 = 0, 17$ .

c) Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\bar{A}) \cdot P (B ∣ \bar{A})$

$= 0, 2 \cdot 0, 85 + 0, 8 \cdot 0, 1 = 0, 25$ .

$P (\bar{B}) = 1 - P (B) = 1 - 0, 25 = 0, 75$ .

d) Đúng. Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao, biết học sinh đó chơi được bóng đá là:

$P (A ∣ B) = \frac{P (A) \cdot P (B ∣ A)}{P (B)} = \frac{0, 2 \cdot 0, 85}{0, 25} = 0, 68$ .

Câu 1 : Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox (đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x + 1}$ , đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải :

Từ bán kính đáy chậu và miệng chậu suy ra cận.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Với bán kính đáy chậu là 1 dm thì $y = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ .

Với bán kính đáy chậu là 2 dm thì $y = 2 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x = 3$ .

Thể tích khối chậu là:

$V = π \int_{0}^{3} {(\sqrt{x + 1})}^{2} d x = \frac{15 π}{2} \approx 23, 6$ $(d m^{3})$ .

Câu 2 : Một sân bóng đá tiêu chuẩn có dạng hình chữ nhật với kích thước đường biên ngang là 68 m; có khung thành rộng 7,32 m và cao 2,44 m nằm ở chính giữa đường biên ngang. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O là điểm đá phạt góc, trục Ox nằm trên đường biên ngang, trục Oy nằm trên đường biên dọc, trục Oz vuông góc với sân bóng, đơn vị trên mỗi trục là mét (tham khảo hình vẽ). Một quả bóng được đá từ vị trí P(6; 22; 0) với vận tốc 28 m/s theo hướng của vectơ $\vec{v} = (15; - 11; 1)$ về phía khung thành. Giả sử quả bóng là một điểm, quỹ đạo bay của quả bóng là một đường thẳng và khung thành là một phần của mặt phẳng (Ozx). Thời gian bóng từ vị trí điểm P đến khung thành là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Tìm phương trình đường thẳng d là đường bay của bóng. Tìm giao điểm Q của d và (Oxz). Tính PQ và từ đó tìm thời gian bóng bay từ P đến Q (lấy quãng đường chia vận tốc).

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Phương trình quỹ đạo bay của bóng là: ${\begin{cases} x = 6 + 15 t \\ y = 22 - 11 t \\ z = t \end{cases}$ $(t \in R)$ .

Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: y = 0.

Bóng chạm khung thành tại $y = 22 - 11 t = 0 \Leftrightarrow t = 2$ .

Điểm bóng chạm khung thành là Q(36; 0; 2).

$P Q = \sqrt{{(36 - 6)}^{2} + {(0 - 22)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = 2 \sqrt{347}$ (m).

Thời gian bóng từ điểm P đến khung thành là $\frac{2 \sqrt{347}}{28} \approx 1, 33$ (giây).

Câu 3 : Một máy phát tín hiệu P được đặt cố định ở một địa điểm và ta có thể nhận được tín hiệu của máy phát này trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính R của nó. Một người cầm máy dò tín hiệu A chuyển động trên đường thẳng d (như hình).

Nếu chọn điểm đặt máy phát tín hiệu P là gốc tọa độ O của hệ trục tọa độ Oxyz thì máy dò A di chuyển theo đường thẳng có phương trình ${\begin{cases} x = 5 - t \\ y = 5 - t \\ z = 7 - 2 t \end{cases}$ (trong đó t(h) là thời gian chuyển động). Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a;b;c). Tính P = a + b + c.

Phương pháp giải :

Xác định tọa độ của I theo t.

Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a;b;c) sao cho $I P ⊥ d \Leftrightarrow \vec{I P} . \vec{u_{d}} = 0$ .

Tìm tọa độ các vecto trên, từ đó tìm ra tham số t và kết luận.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a; b; c) sao cho $I P ⊥ d \Leftrightarrow \vec{I P} . \vec{u_{d}} = 0$ .

Vì I thuộc d nên $I (5 - t; 5 - t; 7 - 2 t)$

$\Rightarrow \vec{P I} = (5 - t; 5 - t; 7 - 2 t)$ .

Mặt khác $\vec{u_{d}} = (- 1; - 1; - 2)$ .

Do đó $\vec{I P} . \vec{u_{d}} = 0$

$\Leftrightarrow - 1 (5 - t) - 1 (5 - t) - 2 (7 - 2 t) = 0$

$\Leftrightarrow 6 t - 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4$ .

Vậy $I (1; 1; - 1)$ .

Vậy P = a + b + c = 1 + 1 – 1 = 1.

Câu 4 : Để điều khiển được 1 tàu thủy, thuyền trường A cần đảm bảo rằng hệ thống điều khiển bánh lái và bánh lái không bị hỏng. Biết rằng xác suất để hệ thống điều khiến bánh lái hoạt động bình thường là 0,8 và bánh lái không bị hỏng là 0,75. Thông qua thực tế thì người ta nhận thấy xác suất ca hai bộ phận này cũng hỏng là 0,03. Hỏi xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng trong hai bộ phận kiểm tra là bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi các biến cố:

A: “Hệ thống điều khiển bánh lái hoạt động bình thường”;

B: “Bánh lái không bị hỏng (hoạt động bình thường”;

Suy ra $\bar{A}$ : “Hệ thống điều khiển bánh lái hỏng”;

$\bar{B}$ : “Bánh lái hỏng”.

Theo giả thiết, ta có P(A) = 0,8; P(B) = 0,75; $P (\bar{A} \bar{B}) = 0, 03$ .

Suy ra $P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ ;

$P (\bar{B}) = 1 - P (B) = 1 - 0, 75 = 0, 25$ .

Ta có $P (\bar{A}) = P (\bar{A} B) + P (\bar{A} \bar{B})$

$\Leftrightarrow 0, 2 = P (\bar{A} B) + 0, 03 \Leftrightarrow P (\bar{A} B) = 0, 17$ .

Mặt khác $P (\bar{B}) = P (A \bar{B}) + P (\bar{A} \bar{B})$

$\Leftrightarrow 0, 25 = P (A \bar{B}) + 0, 03 \Leftrightarrow P (\bar{A} B) = 0, 22$ .

Xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng là:

$P (\bar{A} B) + P (\bar{A} B) = 0, 17 + 0, 22 = 0, 39$ .

Câu 1 : Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của a thuộc $[π; 10 π]$ sao cho $\int_{0}^{a} \cos x d x = \frac{1}{2}$ . Số phần tử của S là bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc tính tích phân của hàm số lượng giác và công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Tìm số giá trị của a thuộc $[π; 10 π]$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$\int_{0}^{a} \cos x d x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x | \begin{matrix} ^{a} \\ _{0} \end{matrix} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin a - \sin 0 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin a = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = \frac{π}{6} + k 2 π \\ a = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$ $(k \in Z)$ .

Vì $a \in [π; 10 π]$ nên ta có:

TH1: $π \leq \frac{π}{6} + k 2 π \leq 10 π \Leftrightarrow \frac{5}{12} \leq k \leq \frac{59}{12} \Rightarrow$ Các giá trị k nguyên thỏa mãn là $k \in {1; 2; 3; 4}$ , do đó có 4 giá trị a thỏa mãn.

TH2: $π \leq \frac{5 π}{6} + k 2 π \leq 10 π \Leftrightarrow \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{55}{12} \Rightarrow$ Các giá trị k nguyên thỏa mãn là $k \in {1; 2; 3; 4}$ , do đó có 4 giá trị a thỏa mãn.

Vậy S có 8 phần tử.

Câu 2 : Viết phương trình tham số của đường thẳng $a$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng $a$ đi qua điểm $M (0; - 2; - 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (1; - 5; 0)$

b) Đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $A (0; 0; 2)$ và $B (3; - 2; 5)$ .

Phương pháp giải :

a) Phương trình tham số của đường thẳng $a$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ là ${\begin{cases} x = x_{0} + a_{1} t \\ y = y_{0} + a_{2} t \\ z = z_{0} + a_{3} t \end{cases}$ .

b) Đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên sẽ nhận $\vec{A B}$ là một vectơ chỉ phương. Từ đó viết phương trình đường thẳng $a$ đi qua điểm $A$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{A B}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Phương trình tham số của đường thẳng $a$ đi qua điểm $M (0; - 2; - 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (1; - 5; 0)$ là ${\begin{cases} x = 0 + 1 t \\ y = - 2 - 5 t \\ z = - 3 + 0 t \end{cases}$ hay ${\begin{cases} x = t \\ y = - 2 - 5 t \\ z = - 3 \end{cases}$ .

b) Đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $A (0; 0; 2)$ và $B (3; - 2; 5)$ nên nó nhận $\vec{A B} = (3; - 2; 3)$ là một vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng $a$ là ${\begin{cases} x = 0 + 3 t \\ y = 0 - 2 t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$ hay ${\begin{cases} x = 3 t \\ y = - 2 t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$

Câu 3 : Cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 10 z + 2 = 0$ . Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tọa độ tâm, bán kính của mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính R có là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 10 z + 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2. x .2 - 2. y .1 - 2. z .5 + 2 = 0$

$\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 28$ .

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính $R = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ .