Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 6
Đề bài
Câu 1 : Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + x\) là
-
A.
\({e^x} + {x^2} + C\)
-
B.
\({e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)
-
C.
\(\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)
-
D.
\({e^x} + 1 + C\)
Câu 2 : Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6x^{5} + \dfrac{1}{x^{3}}$ thỏa mãn F(1) = 0. Tìm F(x).
-
A.
$F(x) = x^{6} - \dfrac{1}{2x^{2}} + \dfrac{1}{2}$.
-
B.
$F(x) = x^{6} - \dfrac{1}{2x^{2}} - \dfrac{1}{2}$.
-
C.
$F(x) = x^{6} + \dfrac{1}{2x^{2}} - \dfrac{3}{2}$.
-
D.
$F(x) = x^{6} - \dfrac{3}{x^{2}} + 2$.
Câu 3 : Nếu ${\int\limits_{1}^{3}f}(x)\text{d}x = 4$ thì $\int\limits_{1}^{3}{\left\lbrack {f(x) + 2x} \right\rbrack dx}$ bằng
-
A.
$18$.
-
B.
$12$.
-
C.
$20$.
-
D.
$10$.
Câu 4 : Cho hai hàm số $f(x) = - \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} + 1$ và $g(x) = - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện tích phần gạch chéo trong hình bằng
-
A.
8.
-
B.
1.
-
C.
4.
-
D.
2.
Câu 5 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$: x + 2y - 3z + 2 = 0?
-
A.
K(1; 0; 1).
-
B.
N(3; 4; -2).
-
C.
M(-1; 3; 0).
-
D.
P(2; -3; 1).
Câu 6 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 4; 0), B(-1; 2; 2), C(2; -1; 3). Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình tổng quát là:
-
A.
3x - 3y + z + 9 = 0.
-
B.
3x - 3y + z - 9 = 0.
-
C.
x + y + 5z - 5 = 0.
-
D.
x + y + 5z + 5 = 0.
Câu 7 : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{- 2} = \dfrac{z + 1}{3}$. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d?
-
A.
Q(2; 1; 1).
-
B.
M(1; 2; 3).
-
C.
P(2; 1; -1).
-
D.
N(1; -2; 3).
Câu 8 : Đường thẳng d đi qua M(2; 0; -1) và có véctơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{a} = \left( {2; - 3;1} \right)$ có phương trình
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 4 + 2t} \\ {y = - 3t} \\ {z = 2 + t} \end{array} \right.$.
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 2t} \\ {y = - 3t} \\ {z = 1 + t} \end{array} \right.$.
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = - 3t} \\ {z = - 1 + t} \end{array} \right.$.
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 4t} \\ {y = - 6t} \\ {z = 1 + 2t} \end{array} \right.$.
Câu 9 : Trong không gian Oxyz, tìm vị trí tương đối của d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t'}\\{y = - 1 - 2t'}\\{z = 5 - 2t'}\end{array}} \right.\)
-
A.
Trùng nhau
-
B.
Cắt nhau
-
C.
Chéo nhau
-
D.
Song song
Câu 10 : Trong không gian Oxyz, cosin của góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0 bằng
-
A.
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
-
B.
$\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
-
C.
$- \dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
-
D.
$- \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Câu 11 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu $(S):\left( {x + 2} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} + z^{2} = 4$ có tâm I và bán kính R lần lượt là
-
A.
I(2; -1; 0), R = 2.
-
B.
I(2; -1; 0), R = 4.
-
C.
I(-2; 1; 0), R = 4.
-
D.
I(-2; 1; 0), R = 2.
Câu 12 : Cho hai biến cố A và B có P(B) = 0,6; P(AB) = 0,18. Tính P(A|B).
-
A.
0,3.
-
B.
0,24.
-
C.
0.9.
-
D.
0,02.
Câu 1 : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = - 2 + t} \\ {y = 2t} \\ {z = 1 - 3t} \end{array} \end{array} \right.$ và điểm M(2; -2; 1).
a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $OI = \sqrt{5}$.
b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = - 2 - 2t} \\ {z = 1} \end{array} \end{array} \right.$.
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\Delta$ là $\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z - 1}{- 3}$.
d) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (1;2; - 3)$.
Câu 2 : Lớp 12B có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, 16 học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy, 12 học sinh vừa tham gia câu lạc bộ tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhảy. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xét các biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”;
B: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Nhảy”.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) $P(A) = \dfrac{5}{9}$.
b) $P(B) = \dfrac{16}{45}$.
c) $P\left( A \middle| B \right) = 0,75$.
d) $P\left( B \middle| A \right) = 0,48$.
Câu 1 : Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là \(1600\pi \) \((c{m^2})\), chiều dài của trống là 1 m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Câu 2 : Để chuẩn bị cho ngày hội thao, người ta dựng bốn chiếc cột tại bốn góc của một sân bóng hình chữ nhật với kích thước là 15 m x 25 m. Bốn chiếc cột vuông góc với mặt sân và có chiều cao lần lượt là 3 mét, 4 mét, 6 mét và c mét. Một tấm bạt lớn được căng phẳng với bốn góc được cố định vào đầu bốn cột.
Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên (đơn vị trên các trục là mét) thì điểm D’ có tọa độ là (a; b; c). Tìm a – 2b + c.
Câu 3 : Một người muốn lắp mạng wifi trong nhà. Ông ấy muốn lắp điểm phát wifi sao cho có thể phát sóng đến mọi nơi trong căn nhà mình. Vì thế ông ấy đã xác định một số điểm phát sóng tối đa mà sóng wifi có thể tới trong nhà mình như sau:
+ Cổng nhà để lắp camera an ninh được gắn với điểm A(2; 0; 0).
+ Góc phòng làm việc được gắn với điểm B(1; 3; 0).
+ Sân sau vườn nhà để gắn camera an ninh sau vườn được gắn với điểm C(-1; 0; 3).
+ Góc trong cùng của tầng 2 nhà ông ấy được gắn với điểm D(1; 2; 3).
Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là bao nhiêu, biết wifi phát sóng được xem như là hình cầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 4 : Công ty X giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất 10000 sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất 4000 sản phẩm và có tỷ lệ phế phẩm là 6%, xí nghiệp II có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó chỉ phát hiện được 95% và hệ thống dự đoán đúng được 92%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Tính xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm (làm tròn kết quả đến hàng phầm trăm).
Lời giải và đáp án
Câu 1 : Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + x\) là
-
A.
\({e^x} + {x^2} + C\)
-
B.
\({e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)
-
C.
\(\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)
-
D.
\({e^x} + 1 + C\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức \(\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} + C\) và \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\).
\(\int {({e^x} + x)dx = {e^x} + \frac{1}{2}} {x^2} + C\).
Câu 2 : Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6x^{5} + \dfrac{1}{x^{3}}$ thỏa mãn F(1) = 0. Tìm F(x).
-
A.
$F(x) = x^{6} - \dfrac{1}{2x^{2}} + \dfrac{1}{2}$.
-
B.
$F(x) = x^{6} - \dfrac{1}{2x^{2}} - \dfrac{1}{2}$.
-
C.
$F(x) = x^{6} + \dfrac{1}{2x^{2}} - \dfrac{3}{2}$.
-
D.
$F(x) = x^{6} - \dfrac{3}{x^{2}} + 2$.
Đáp án : B
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(\int {f(x)dx} = \int {\left( {6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx} \)
\(= \int {\left( {6{x^5} + {x^{ - 3}}} \right)dx} = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
\(F(1) = 0 \Leftrightarrow {1^6} - \frac{1}{{{{2.1}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Câu 3 : Nếu ${\int\limits_{1}^{3}f}(x)\text{d}x = 4$ thì $\int\limits_{1}^{3}{\left\lbrack {f(x) + 2x} \right\rbrack dx}$ bằng
-
A.
$18$.
-
B.
$12$.
-
C.
$20$.
-
D.
$10$.
Đáp án : B
Áp dụng tính chất của tích phân.
\(\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + 2x} \right]dx} = \int\limits_1^3 {f(x)dx} + \int\limits_1^3 {2xdx} = 4 + 8 = 12\).
Câu 4 : Cho hai hàm số $f(x) = - \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} + 1$ và $g(x) = - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện tích phần gạch chéo trong hình bằng
-
A.
8.
-
B.
1.
-
C.
4.
-
D.
2.
Đáp án : D
Áp dụng công thức tính diện tích bằng tích phân.
Dựa vào hình vẽ ta có hai cận lần lượt là -1 và 1.
Suy ra $S = {\int\limits_{- 1}^{1}{\left| {\left( {- \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}} \right) - \left( {- \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} + 1} \right)} \right|\text{d}x = 2}}$.
Câu 5 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$: x + 2y - 3z + 2 = 0?
-
A.
K(1; 0; 1).
-
B.
N(3; 4; -2).
-
C.
M(-1; 3; 0).
-
D.
P(2; -3; 1).
Đáp án : A
Thay tọa độ của các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.
Thấy 1 + 2.0 - 3.1 + 2 = 0 nên K(1; 0; 1) thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
Câu 6 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 4; 0), B(-1; 2; 2), C(2; -1; 3). Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình tổng quát là:
-
A.
3x - 3y + z + 9 = 0.
-
B.
3x - 3y + z - 9 = 0.
-
C.
x + y + 5z - 5 = 0.
-
D.
x + y + 5z + 5 = 0.
Đáp án : A
(P) vuông góc với BC nên (P) là mặt phẳng đi qua A, nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm vecto chỉ phương.
\(\overrightarrow {BC} = (3; - 3;1)\) là một vecto pháp tuyến của (P).
Ta phương trình tổng quát của (P):
\(3(x - 1) - 3(y - 4) + 1(z - 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x - 3y + z + 9 = 0\).
Câu 7 : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{- 2} = \dfrac{z + 1}{3}$. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d?
-
A.
Q(2; 1; 1).
-
B.
M(1; 2; 3).
-
C.
P(2; 1; -1).
-
D.
N(1; -2; 3).
Đáp án : C
Thay lần lượt tọa độ của từng điểm vào phương trình d, nếu thỏa mãn phương trình thì điểm đó thuộc d.
P(2; 1; -1) là điểm thuộc d.
Câu 8 : Đường thẳng d đi qua M(2; 0; -1) và có véctơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{a} = \left( {2; - 3;1} \right)$ có phương trình
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 4 + 2t} \\ {y = - 3t} \\ {z = 2 + t} \end{array} \right.$.
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 2t} \\ {y = - 3t} \\ {z = 1 + t} \end{array} \right.$.
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = - 3t} \\ {z = - 1 + t} \end{array} \right.$.
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 4t} \\ {y = - 6t} \\ {z = 1 + 2t} \end{array} \right.$.
Đáp án : C
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Đường thẳng d đi qua M(2; 0; -1) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
Câu 9 : Trong không gian Oxyz, tìm vị trí tương đối của d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t'}\\{y = - 1 - 2t'}\\{z = 5 - 2t'}\end{array}} \right.\)
-
A.
Trùng nhau
-
B.
Cắt nhau
-
C.
Chéo nhau
-
D.
Song song
Đáp án : D
Xét d và d’ có cùng phương hay không bằng vecto chỉ phương. Nếu cùng phương thì kiểm tra song song hoặc trùng nhau. Nếu không cùng phương thì kiểm tra cắt nhau hoặc chéo nhau.
Có vecto chỉ phương của d và d’ là \(\overrightarrow u = (1; - 1; - 1)\) và \(\overrightarrow {u'} = (2; - 2; - 2) = 2\overrightarrow u \).
Suy ra \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(\overrightarrow {u'} \). d hoặc song song hoặc trùng d’.
Chọn điểm bất kì thuộc d và kiểm tra xem điểm đó có thuộc d’ không. Ta chọn A(1; 2; 3) thuộc d.
Thay tọa độ điểm A và d’ được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 2t'}\\{2 = - 1 - 2t'}\\{3 = 5 - 2t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t' = \frac{1}{2}}\\{t' = \frac{{ - 3}}{2}}\\{t' = 1}\end{array}} \right.\).
Vậy A không thuộc d’, tức là d // d’.
Câu 10 : Trong không gian Oxyz, cosin của góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0 bằng
-
A.
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
-
B.
$\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
-
C.
$- \dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
-
D.
$- \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án : B
Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian tọa độ.
Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\left( Q \right)\) có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;\,1;\,1} \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| \)
\(= \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\).
Câu 11 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu $(S):\left( {x + 2} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} + z^{2} = 4$ có tâm I và bán kính R lần lượt là
-
A.
I(2; -1; 0), R = 2.
-
B.
I(2; -1; 0), R = 4.
-
C.
I(-2; 1; 0), R = 4.
-
D.
I(-2; 1; 0), R = 2.
Đáp án : D
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm I(a; b; c), bán kính R.
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4\) có tâm I(-2; 1; 0), bán kính R = 2.
Câu 12 : Cho hai biến cố A và B có P(B) = 0,6; P(AB) = 0,18. Tính P(A|B).
-
A.
0,3.
-
B.
0,24.
-
C.
0.9.
-
D.
0,02.
Đáp án : A
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện.
\(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,18}}{{0,6}} = 0,3\).
Câu 1 : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = - 2 + t} \\ {y = 2t} \\ {z = 1 - 3t} \end{array} \end{array} \right.$ và điểm M(2; -2; 1).
a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $OI = \sqrt{5}$.
b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = - 2 - 2t} \\ {z = 1} \end{array} \end{array} \right.$.
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\Delta$ là $\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z - 1}{- 3}$.
d) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (1;2; - 3)$.
a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $OI = \sqrt{5}$.
b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = - 2 - 2t} \\ {z = 1} \end{array} \end{array} \right.$.
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\Delta$ là $\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z - 1}{- 3}$.
d) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (1;2; - 3)$.
Áp dụng kiến thức về phương trình đường thẳng.
a) Sai. Vì \(I \in \Delta \) nên \(I( - 2 + t,2t,1 - 3t)\).
\(OI = \sqrt {{{( - 2 + t)}^2} + {{(2t)}^2} + {{(1 - 3t)}^2}} = \sqrt 5 \)
\( \Leftrightarrow {( - 2 + t)^2} + 4{t^2} + {(1 - 3t)^2} = 5\)
\( \Leftrightarrow 4 - 4t + {t^2} + 4{t^2} + 1 - 6t + 9{t^2} = 5\)
\( \Leftrightarrow 14{t^2} - 10t = 0\).
Giải phương trình ta được: \(t = 0\) hoặc \(t = \frac{5}{7}\).
Vậy có hai điểm I thỏa mãn là \({I_1}( - 2;0;1)\) và \({I_2}\left( { - \frac{9}{7};\frac{{10}}{7}; - \frac{8}{7}} \right)\).
b) Sai. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên \(\Delta \). Vì d cắt và vuông góc với \(\Delta \) tại H, nên d chính là đường thẳng MH.
\(H \in \Delta \Rightarrow H( - 2 + t,2t,1 - 3t)\).
\(\overrightarrow {MH} = ( - 4 + t,2t + 2, - 3t)\).
Vì \(MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\):
\(1.( - 4 + t) + 2.(2t + 2) - 3.( - 3t) = 0\)
\( \Leftrightarrow - 4 + t + 4t + 4 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = 0\).
Với t = 0, ta có H(-2; 0; 1).
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {MH} = ( - 4;2;0)\); chọn vectơ cùng phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2; - 1;0)\).
Đối chiếu với phương trình đề bài cho có tọa độ vectơ chỉ phương là (2; -2; 0); không cùng phương với vectơ có tọa độ (2; -1; 0).
c) Đúng. \(\Delta '\) song song với \(\Delta \) nên có cùng vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2; - 3)\); \(\Delta '\) đi qua M(2; -2; 1) nên phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - ( - 2)}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).
d) Đúng. Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2; - 3)\).
Câu 2 : Lớp 12B có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, 16 học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy, 12 học sinh vừa tham gia câu lạc bộ tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhảy. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xét các biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”;
B: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Nhảy”.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) $P(A) = \dfrac{5}{9}$.
b) $P(B) = \dfrac{16}{45}$.
c) $P\left( A \middle| B \right) = 0,75$.
d) $P\left( B \middle| A \right) = 0,48$.
a) $P(A) = \dfrac{5}{9}$.
b) $P(B) = \dfrac{16}{45}$.
c) $P\left( A \middle| B \right) = 0,75$.
d) $P\left( B \middle| A \right) = 0,48$.
Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B).
Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó: \(P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\).
a) Đúng. \(P(A) = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{9}\).
b) Đúng. \(P(B) = \frac{{16}}{{45}}\).
c) Đúng. \(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{{12}}{{45}}}}{{\frac{{16}}{{45}}}} = \frac{3}{4} = 0,75\).
d) Đúng. \(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{\frac{{12}}{{45}}}}{{\frac{5}{9}}} = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\).
Câu 1 : Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là \(1600\pi \) \((c{m^2})\), chiều dài của trống là 1 m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Gắn hệ trục tọa Oxy ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình Parabol thông qua các điểm đồ thị đi qua. Từ đó áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay để tính thể tích trống.
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.
Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn bán kính r, diện tích \(1600\pi \) \((c{m^2})\). Do đó \(\pi {r^2} = 1600\pi \Rightarrow r = 40\) (cm).
Giả sử Parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\), đỉnh I(0; 40), đi qua điểm A(50; 30). Ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}30 = a{.50^2} + b.50 + c\\40 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{250}}\\b = 0\\c = 40\end{array} \right.\)
Vậy Parabol có phương trình \(y = - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40\).
Thể tích trống là: \(V = \pi \int\limits_{ - 50}^{50} {{{\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)}^2}dx} = \frac{{406000}}{3}\pi \) \((c{m^3}) \approx 425\) (lít).
Câu 2 : Để chuẩn bị cho ngày hội thao, người ta dựng bốn chiếc cột tại bốn góc của một sân bóng hình chữ nhật với kích thước là 15 m x 25 m. Bốn chiếc cột vuông góc với mặt sân và có chiều cao lần lượt là 3 mét, 4 mét, 6 mét và c mét. Một tấm bạt lớn được căng phẳng với bốn góc được cố định vào đầu bốn cột.
Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên (đơn vị trên các trục là mét) thì điểm D’ có tọa độ là (a; b; c). Tìm a – 2b + c.
Quan sát hình vẽ, tìm tọa độ ba điểm A’, B’, C’, từ đó lập phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’).
Vì D’ thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên tìm được c.
Từ hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: A’(0; 0; 3), B’(15; 0; 4), C’(15; 25; 6), D(0; 25; c).
Suy ra \(\overrightarrow {A'B'} = (15;0;1)\), \(\overrightarrow {A'C'} = (15;25;3)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{25}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{15}\\3&{15}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{15}&0\\{15}&{25}\end{array}} \right|} \right)\)
\( = (0.3 - 25.1;1.15 - 3.15;15.25 - 15.0) = ( - 25; - 30;375)\).
Do đó \(\overrightarrow n = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = ( - 5; - 6;75)\) là một vecto pháp tuyến của (A’B’C’D’).
Phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’) là:
\( - 5(x - 0) - 6(y - 0) + 75(z - 3) = 0\)
\( \Leftrightarrow - 5x - 6y + 75z - 225 = 0\).
Vì D’(0; 25; c) thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên:
\( - 5.0 - 6.25 + 75c - 225 = 0 \Leftrightarrow c = 5\).
Suy ra D’(0; 25; 5).
Vậy a – 2b + c = 0 – 2.25 + 5 = -45.
Câu 3 : Một người muốn lắp mạng wifi trong nhà. Ông ấy muốn lắp điểm phát wifi sao cho có thể phát sóng đến mọi nơi trong căn nhà mình. Vì thế ông ấy đã xác định một số điểm phát sóng tối đa mà sóng wifi có thể tới trong nhà mình như sau:
+ Cổng nhà để lắp camera an ninh được gắn với điểm A(2; 0; 0).
+ Góc phòng làm việc được gắn với điểm B(1; 3; 0).
+ Sân sau vườn nhà để gắn camera an ninh sau vườn được gắn với điểm C(-1; 0; 3).
+ Góc trong cùng của tầng 2 nhà ông ấy được gắn với điểm D(1; 2; 3).
Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là bao nhiêu, biết wifi phát sóng được xem như là hình cầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi điểm I(a;b;c). Tìm a, b, c để AI = BI = CI = DI.
Gọi I(a; b; c) là điểm phát wifi. Vì khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến là các điểm A, B, C, D nên I(a; b; c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Do đó AI = BI = CI = DI = R. Ta có hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 3)^2} + {(c - 0)^2}\\{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a + 1)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 3)^2}\\{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 6b + 9 + {c^2}\\{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} - 6c + 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 6b = 6\\ - 6a + 6c = 6\\ - 2a + 4b + 6c = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3b = - 3\\a - c = - 1\\a - 2b - 3c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.\)
Vậy I(0; 1; 1), bán kính \(R = AI = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2}} = \sqrt 6 \).
Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là \(\sqrt 6 \approx 2,45\).
Câu 4 : Công ty X giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất 10000 sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất 4000 sản phẩm và có tỷ lệ phế phẩm là 6%, xí nghiệp II có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó chỉ phát hiện được 95% và hệ thống dự đoán đúng được 92%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Tính xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm (làm tròn kết quả đến hàng phầm trăm).
Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Gọi các biến cố:
A: “Sản phẩm do xí nghiệp I sản xuất”.
Suy ra \(\overline A \): “Sản phẩm do xí nghiệp II sản xuất.
B: “Hệ thống thông bảo sản phẩm là phế phẩm”.
Cần tính \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Xí nghiệp II sản xuất 10000 – 4000 = 6000 sản phẩm.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{4000}}{{10000}} = 0,4\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{6000}}{{10000}} = 0,6\).
Xác suất hệ thống dự đoán đúng là 0,92; do đó xác suất hệ thống dự đoán sai là 1 – 0,92 = 0,08.
Với sản phẩm của xí nghiệp I, để hệ thống thông báo phế phẩm thì:
+ Phát hiện đúng từ 6% phế phẩm: 0,95.0,06.
+ Phát hiện sai từ 94% sản phẩm tốt: 0,08.0,94.
Do đó xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ xí nghiệp I là:
\(P\left( {B|A} \right) = 0,95.0,06 + 0,08.0,94 = 0,1322\).
Với sản phẩm của xí nghiệp II, để hệ thống thông báo phế phẩm thì:
+ Phát hiện đúng từ 4% phế phẩm: 0,95.0,04.
+ Phát hiện sai từ 96% sản phẩm tốt: 0,08.0,96.
Do đó xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ xí nghiệp II là:
\(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,95.0,04 + 0,08.0,96 = 0,1148\).
Xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ cả hai xí nghiệp là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)
\( = 0,4.0,1322 + 0,6.0,1148 = 0,12176\).
Vậy xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,1322.0,4}}{{0,12176}} \approx 0,43\).
Áp dụng công thức tính tích phân của hàm lũy thừa.
$\int_{1}^{2} \left( x^2 + \frac{3}{x} \right) dx = \left( \frac{x^3}{3} + 3 \ln(x) \right) \bigg|_{1}^{2}$
$= \left( \frac{8}{3} + 3 \ln 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 3 \ln 1 \right) = \frac{7}{3} + 3 \ln 2$.
Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} \) là một vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm.
Theo đề bài phương trình tham số của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + bt\\z = - 2 + ct\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm có dạng \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 4;b;c} \right)\).
Tìm b, c sao cho \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương.
Mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 3} \right)\).
Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 3} \right)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm.
Theo đề bài phương trình tham số của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + bt\\z = - 2 + ct\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm có dạng \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 4;b;c} \right)\) (2).
Vì \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) đều là vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm nên chúng cùng phương với nhau.
Suy ra \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{1}{b} = \frac{{ - 3}}{c} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 6\end{array} \right.\)
Vậy \(P = {b^2} + {c^2} = {( - 2)^2} + {6^2} = 40\).
a) Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đường kính AB. Giả sử \(A({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(B({x_2};{y_2};{z_2})\), thì tọa độ của I là: \(I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2};\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right)\).
Bán kính \(r\) của mặt cầu bằng nửa độ dài của đoạn AB. Công thức tính độ dài đoạn AB là:
\(AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \). Vậy bán kính r là: \(r = \frac{{AB}}{2}\).
b) Phương trình của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính r là: \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\).
a) Tâm I là trung điểm của đoạn AB, nên tọa độ của I là: \(I\left( {\frac{{6 + ( - 4)}}{2};\frac{{2 + 0}}{2};\frac{{ - 5 + 7}}{2}} \right) \Rightarrow I(1;1;1)\).
b) Độ dài đoạn AB được tính như sau: \(AB = \sqrt {{{(6 - ( - 4))}^2} + {{(2 - 0)}^2} + {{( - 5 - 7)}^2}} = 2\sqrt {62} \).
Vậy bán kính r là: \(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {62} }}{2} = \sqrt {62} \).