Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 7

Câu 1 : Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos x + 6 x$ là

A.

$\sin x + 3 x^{2} + C$ .
B.

$- \sin x + 3 x^{2} + C$ .
C.

$\sin x + 6 x^{2} + C$ .
D.

$- \sin x + C$ .

Câu 2 : Biết $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{x}$ và $F (1) = 1$ . Khi đó $F (3)$ bằng bao nhiêu?

A.

$\ln 3 + 1$ .
B.

$\frac{1}{2}$ .
C.

$\ln \frac{3}{2}$ .
D.

$\ln 3$ .

Câu 3 : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $[1; 2]$ và $\int_{1}^{2} (4 f (x) - 2 x) d x = 1$ . Tính tích phân $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .

A.

$1$ .
B.

$- 1$ .
C.

$- 3$ .
D.

$3$ .

Câu 4 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng $y = x - 2$ được minh họa là phần gạch sọc như hình vẽ. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ là

A.

$S = \frac{8}{3}$ .
B.

$S = \frac{11}{3}$ .
C.

$S = \frac{10}{3}$ .
D.

$S = \frac{7}{3}$ .

Câu 5 : Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(α) : x - 2 y + z - 4 = 0$ đi qua điểm nào sau đây?

A.

Q(1; -1; 1).
B.

N(0; 2; 0).
C.

P(0; 0; -4).
D.

M(1; 0; 0).

Câu 6 : Trong không gian tọa độ $O x y z$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (1; 2; 3)$ và song song với mặt phẳng $(O x y)$ có phương trình là

A.

$y = 2$ .
B.

$x + 2 y - 5 = 0$ .
C.

$z = 3$ .
D.

$x = 1$ .

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : {\begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 2 - t \end{cases}$ . Vectơ nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A.

$\vec{u} = (1; 0; - 1)$ .
B.

$\vec{u} = (0; 1; - 1)$ .
C.

$\vec{u} = (0; 0; 2)$ .
D.

$\vec{u} = (0; 1; 2)$ .

Câu 8 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; -2) và B(2; -2; -1). Phương trình đường thẳng AB là

A.

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{- 5} = \frac{z - 2}{1}$ .
B.

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{- 2}$ .
C.

$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z + 1}{1}$ .
D.

$\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{- 5} = \frac{z - 1}{1}$ .

Câu 9 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1}$ : $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 3}{- 3}$ và $d_{2}$ : ${\begin{cases} x = 3 t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 0 \end{cases}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

$d_{1}$ và $d_{2}$ trùng nhau
B.

$d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau
C.

$d_{1}$ và $d_{2}$ song song
D.

$d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau

Câu 10 : Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

A.

$90^{\circ}$ .
B.

$45^{\circ}$ .
C.

$30^{\circ}$ .
D.

$60^{\circ}$ .

Câu 11 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

A.

I(1; -3; 2), R = 4.
B.

I(1; -3; 2), R = 2.
C.

I(-1; 3; -2), R = 2.
D.

I(-1; 3; -2), R = 4.

Câu 12 : Gieo con xúc xắc 1 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm. B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Xác suất P(A|B) là

A.

$\frac{1}{2}$ .
B.

$\frac{1}{3}$ .
C.

$\frac{2}{3}$ .
D.

$\frac{1}{6}$ .

Câu 1 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 9), đường thẳng $d : {\begin{cases} x = t \\ y = - 1 - t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$ và mặt phẳng $(α) : x + y - z + 3 = 0$ .

a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là $\vec{n} = (1; 1; - 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm M thuộc đường thẳng d.

Đúng

Sai

c) Điểm A có tọa độ dạng $A (t; - 1 - t; 2 + 2 t)$ với $t \in R$ thì A thuộc đường thẳng d.

Đúng

Sai

d) Đường thẳng $Δ$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(α)$ có phương trình là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{5}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I"; B: "Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I".

a) $P (B | A) = \frac{16}{23}$ .

Đúng

Sai

b) $P (B | \bar{A}) = \frac{15}{23}$ .

Đúng

Sai

c) $P (\bar{B} | A) = \frac{8}{23}$ .

Đúng

Sai

d) $P (\bar{B} | \bar{A}) = \frac{7}{23}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Bạn An xác định được phần thân của ấm đun nước siêu tốc được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi một parabol quay quanh trục của nó. Các kích thước của ấm bạn đo được như sau: đường kính đáy ấm bằng 14 cm, đường kính miệng ấm bằng 8 cm, chiều cao thân ấm (phần đựng nước không kể nắp) bằng 20 cm. Hỏi thể tích phần thân ấm là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 2 : Ông An đang xây một ngôi nhà, trong quá trình xây phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm B trên một chân tường và điểm C trên cột góc nhà, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm A trên chân tường còn lại cách điểm O ở góc giao hai chân tường một khoảng 5 m, ông cũng tận dụng một chiếc cột có sẵn để chống mặt ghép (xem hình dưới). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà, cột có chiều cao 1 m và cách hai bức tường với cùng khoảng cách 1 m (đỉnh cột là điểm M). Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 3 : Một bồn chứa khí hình cầu K có đường kính 10 m tiếp xúc trực tiếp với một bức tường thẳng đứng tại điểm T(-6; 0; 5).

Bồn được che chắn bằng một tấm chắn nghiêng, cố định xuống mặt đất tại các điểm A(0; 16,25; 0) và B(-12; 16,25; 0), đồng thời được chống đỡ bởi các thanh thẳng đứng tại các điểm C(0; 5; 15) và D(-12; 5; 15).

Khoảng cách an toàn giữa tấm chắn E và mặt cầu K là bao nhiêu mét?

Câu 4 : Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ để kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về báo cáo kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là 8000, trong số đó có 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 70% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Trong 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 5% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Chọn ngẫu nhiên một người trong số 8000 nghìn người trên. Tính xác suất để người được chọn bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết người đó có kết quả thử nghiệm dương tính (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Câu 1 : Cho $F (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$ . Tính tổng $S = a + b + c$ ?

Câu 2 : Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d$ đi qua điểm $A (1; - 5; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (2; 0; 7)$ ;

b) $d$ đi qua hai điểm $M (3; - 1; - 1), N (5; 1; 2)$ .

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$ và điểm $A (2; 2; - 1)$ .

a) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

Câu 1 : Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos x + 6 x$ là

A.

$\sin x + 3 x^{2} + C$ .
B.

$- \sin x + 3 x^{2} + C$ .
C.

$\sin x + 6 x^{2} + C$ .
D.

$- \sin x + C$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa và hàm số lượng giác:

$\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ , $\int \cos x d x = \sin x + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int (\cos x + 6 x) d x = \sin x + 3 x^{2} + C$ .

Câu 2 : Biết $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{x}$ và $F (1) = 1$ . Khi đó $F (3)$ bằng bao nhiêu?

A.

$\ln 3 + 1$ .
B.

$\frac{1}{2}$ .
C.

$\ln \frac{3}{2}$ .
D.

$\ln 3$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .

Từ $F (1) = 1$ tìm C.

Có C, ta tính $F (3)$ .

Lời giải chi tiết :

$\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .

$F (1) = 1 \Leftrightarrow \ln | 1 | + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$ .

$F (3) = \ln | 3 | + 1 = \ln 3 + 1$ .

Câu 3 : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $[1; 2]$ và $\int_{1}^{2} (4 f (x) - 2 x) d x = 1$ . Tính tích phân $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .

A.

$1$ .
B.

$- 1$ .
C.

$- 3$ .
D.

$3$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b], $c \in (a; b)$ , k là số thực. Khi đó:

+ $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ ;

+ $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ ;

+ $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$ ;

+ $\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{1}^{2} (4 f (x) - 2 x) d x = 1$

$\Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f (x) d x - 2 \int_{1}^{2} x d x = 1$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 1$ .

Câu 4 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng $y = x - 2$ được minh họa là phần gạch sọc như hình vẽ. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ là

A.

$S = \frac{8}{3}$ .
B.

$S = \frac{11}{3}$ .
C.

$S = \frac{10}{3}$ .
D.

$S = \frac{7}{3}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân: $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết :

$S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{2}^{4} [\sqrt{x} - (x - 2)] d x = \frac{10}{3}$ .

Câu 5 : Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(α) : x - 2 y + z - 4 = 0$ đi qua điểm nào sau đây?

A.

Q(1; -1; 1).
B.

N(0; 2; 0).
C.

P(0; 0; -4).
D.

M(1; 0; 0).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có 0 – 2.2 + 0 – 4 = 0 nên tọa độ điểm N(0; 2; 0) thỏa mãn phương trình mặt phẳng. Vậy $N \in (α)$ .

Câu 6 : Trong không gian tọa độ $O x y z$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (1; 2; 3)$ và song song với mặt phẳng $(O x y)$ có phương trình là

A.

$y = 2$ .
B.

$x + 2 y - 5 = 0$ .
C.

$z = 3$ .
D.

$x = 1$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

Lời giải chi tiết :

Ta có (Oxy): z = 0.

Vì (P) // (Oxy) nên (P): $z - z_{0} = 0$ .

Mà M(1; 2; 3) thuộc (P) nên $z - 3 = 0 \Leftrightarrow z = 3$ .

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : {\begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 2 - t \end{cases}$ . Vectơ nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A.

$\vec{u} = (1; 0; - 1)$ .
B.

$\vec{u} = (0; 1; - 1)$ .
C.

$\vec{u} = (0; 0; 2)$ .
D.

$\vec{u} = (0; 1; 2)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ $(t \in R)$ hoặc phương trình chính tắc tương ứng $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ (trong trường hợp $a b c \neq 0$ ).

Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u} = (a; b; c)$ . Ngoài ra $k \vec{u} = (k a; k b; k c)$ (k là số thực) cũng là một vecto chỉ phương của d.

Lời giải chi tiết :

Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u} = (0; 1; - 1)$ .

Câu 8 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; -2) và B(2; -2; -1). Phương trình đường thẳng AB là

A.

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{- 5} = \frac{z - 2}{1}$ .
B.

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{- 2}$ .
C.

$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z + 1}{1}$ .
D.

$\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{- 5} = \frac{z - 1}{1}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đường thẳng đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{u} = (a; b; c)$ có phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $\vec{A B} = (1; - 5; 1)$ .

Đường thẳng $A B$ đi qua điểm $B (2; - 2; - 1)$ và nhận véc-tơ $\vec{A B} = (1; - 5; 1)$ làm véc-tơ chỉ phương có phương trình là $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z + 1}{1}$ .

Câu 9 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1}$ : $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 3}{- 3}$ và $d_{2}$ : ${\begin{cases} x = 3 t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 0 \end{cases}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

$d_{1}$ và $d_{2}$ trùng nhau
B.

$d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau
C.

$d_{1}$ và $d_{2}$ song song
D.

$d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào vecto chỉ phương của hai đường thẳng và xét xem hai đường thẳng có giao điểm không.

Lời giải chi tiết :

Vecto chỉ phương của $d_{1}$ , $d_{2}$ lần lượt là $\vec{u_{1}} = (1; 2; - 3)$ và $\vec{u_{2}} = (3; 2; 0)$ .

Hai vecto trên không cùng phương với nhau nên hai đường thẳng chéo nhau hoặc cắt nhau.

Phương trình tham số của $d_{1}$ là ${\begin{cases} x = 1 + t^{'} \\ y = - 3 + 2 t^{'} \\ z = - 3 - 3 t^{'} \end{cases}$ $(t \in R)$ .

Xét ${\begin{cases} 3 t = 1 + t^{'} \\ - 1 + 2 t = - 3 + 2 t^{'} \\ 0 = - 3 - 3 t^{'} \end{cases}$ . Hệ này vô nghiệm.

Do đó $d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau.

Câu 10 : Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

A.

$90^{\circ}$ .
B.

$45^{\circ}$ .
C.

$30^{\circ}$ .
D.

$60^{\circ}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{a^{'}} = ({a_{1}}^{'}; {a_{2}}^{'}; {a_{3}}^{'})$ . Khi đó:

$\cos (d, d^{'}) = \frac{| \vec{a} . \vec{a^{'}} |}{| \vec{a} | . | \vec{a^{'}} |} = \frac{| a_{1} {a_{1}}^{'} + a_{2} {a_{2}}^{'} + a_{3} {a_{3}}^{'} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}} . \sqrt{a_{1}^{' 2} + a_{2}^{' 2} + a_{3}^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

$d_{1}, d_{2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (1; - 1; 2)$ và $\vec{u_{2}} = (- 1; 1; 1)$ .

$\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{| \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | . | \vec{u_{2}} |} = \frac{| 1. (- 1) - 1.1 + 2.1 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = 0$ .

Vậy $(d_{1}, d_{2}) = 90^{o}$ .

Câu 11 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

A.

I(1; -3; 2), R = 4.
B.

I(1; -3; 2), R = 2.
C.

I(-1; 3; -2), R = 2.
D.

I(-1; 3; -2), R = 4.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt cầu $(S) : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - z)}^{2} = R^{2}$ có tâm I(a; b; c), bán kính R.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ có tâm I(-1; 3; -2), bán kính 2.

Câu 12 : Gieo con xúc xắc 1 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm. B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Xác suất P(A|B) là

A.

$\frac{1}{2}$ .
B.

$\frac{1}{3}$ .
C.

$\frac{2}{3}$ .
D.

$\frac{1}{6}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện.

Lời giải chi tiết :

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{3}$ .

Câu 1 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 9), đường thẳng $d : {\begin{cases} x = t \\ y = - 1 - t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$ và mặt phẳng $(α) : x + y - z + 3 = 0$ .

a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là $\vec{n} = (1; 1; - 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm M thuộc đường thẳng d.

Đúng

Sai

c) Điểm A có tọa độ dạng $A (t; - 1 - t; 2 + 2 t)$ với $t \in R$ thì A thuộc đường thẳng d.

Đúng

Sai

d) Đường thẳng $Δ$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(α)$ có phương trình là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{5}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là $\vec{n} = (1; 1; - 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm M thuộc đường thẳng d.

Đúng

Sai

c) Điểm A có tọa độ dạng $A (t; - 1 - t; 2 + 2 t)$ với $t \in R$ thì A thuộc đường thẳng d.

Đúng

Sai

d) Đường thẳng $Δ$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(α)$ có phương trình là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{5}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến có tọa độ (A;B;C).

b, c) Thay tọa độ điểm M vào phương trình d, nếu có giá trị t thỏa mãn hệ thì M thuộc d.

d) Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $Δ$ và đường thẳng $d$ . Biểu diễn tọa độ $\vec{M N}$ theo t.

Vì $Δ ∥ (α)$ nên tích vô hướng của VTCP của $Δ$ và VTPT của (\alpha\) bằng 0. Từ đó giải ra t và lập phương trình đường thẳng $Δ$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là $\vec{n} = (1; 1; - 1)$ .

b) Sai. ${\begin{array}{l} 3 = t \\ 1 = - 1 - t \\ 9 = 2 + 2 t \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} t = 3 \\ t = - 2 \\ t = \frac{7}{2} \end{array}$ (vô lí)

Vậy điểm $M$ không thuộc đường thẳng $d$ .

c) Đúng. ${\begin{array}{l} t = t \\ - 1 - t = - 1 - t \\ 2 + 2 t = 2 + 2 t \end{array}$ (luôn đúng)

Vậy điểm $A$ có tọa độ dạng $A (t; - 1 - t; 2 + 2 t)$ với $t \in R$ thì $A$ thuộc đường thẳng $d$ .

d) Đúng. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $Δ$ và đường thẳng $d$ . Khi đó tọa độ của $N$ có dạng $N (t; - 1 - t; 2 + 2 t)$ .

Ta có: $\vec{M N} = (t - 3; - 2 - t; - 7 + 2 t)$ .

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là $\vec{n} = (1; 1; - 1)$ .

Vì $Δ ∥ (α)$ nên $\vec{M N} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow t - 3 - 2 - t + 7 - 2 t = 0 \Leftrightarrow t = 1$ .

Suy ra $N (1; - 2; 4)$ và $\vec{M N} = (- 2; - 3; - 5)$ .

Vậy đường thẳng $Δ$ đi qua $N (1; - 2; 4)$ và có một vecto chỉ phương là $(2; 3; 5)$ nên phương trình đường thẳng $Δ$ là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{5}$ .

Câu 2 : Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I"; B: "Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I".

a) $P (B | A) = \frac{16}{23}$ .

Đúng

Sai

b) $P (B | \bar{A}) = \frac{15}{23}$ .

Đúng

Sai

c) $P (\bar{B} | A) = \frac{8}{23}$ .

Đúng

Sai

d) $P (\bar{B} | \bar{A}) = \frac{7}{23}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) $P (B | A) = \frac{16}{23}$ .

Đúng

Sai

b) $P (B | \bar{A}) = \frac{15}{23}$ .

Đúng

Sai

c) $P (\bar{B} | A) = \frac{8}{23}$ .

Đúng

Sai

d) $P (\bar{B} | \bar{A}) = \frac{7}{23}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng định nghĩa xác suất có điều kiện.

Lời giải chi tiết :

$\bar{A}$ : "Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại II"; $\bar{B}$ : "Lần thứ hai lấy ra chai nước loại II";

a) Sai. Sau khi A xảy ra thì két còn 15 chai nước loại I trong số 23 chai. Khi đó: $P (B | A) = \frac{15}{23}$ .

b) Sai. Sau khi $\bar{A}$ xảy ra thì két vẫn còn nguyên 16 chai nước loại I trong số 23 chai. Khi đó: $P (B | A) = \frac{16}{23}$ .

c) Đúng. Sau khi A xảy ra thì két vẫn còn nguyên 8 chai nước loại II trong số 23 chai. Khi đó: $P (\bar{B} | A) = \frac{8}{23}$ .

d) Đúng. Sau khi $\bar{A}$ xảy ra thì két còn 7 chai nước loại II trong số 23 chai. Khi đó: $P (\bar{B} | \bar{A}) = \frac{7}{23}$ .

Câu 1 : Bạn An xác định được phần thân của ấm đun nước siêu tốc được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi một parabol quay quanh trục của nó. Các kích thước của ấm bạn đo được như sau: đường kính đáy ấm bằng 14 cm, đường kính miệng ấm bằng 8 cm, chiều cao thân ấm (phần đựng nước không kể nắp) bằng 20 cm. Hỏi thể tích phần thân ấm là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải :

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Tìm phương trình parabol giới hạn thân ấm.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gắn hệ trục tọa độ như hình.

Giả sử parabol giới hạn thân ấm có phương trình $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ .

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (7;0), (4;20), (-4;20) nên ta có hệ:

${\begin{cases} 0 = a {.7}^{2} + b .7 + c \\ 20 = a {.4}^{2} + b .4 + c \\ 20 = a (- 4)^{2} + b (- 4) + c \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - \frac{20}{30} \\ b = 0 \\ c = \frac{980}{33} \end{cases}$

$\Rightarrow (P) : y = - \frac{20}{30} x^{2} + \frac{980}{33} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{980 - 33 y}{20}$ .

Ta có $V = π \int_{0}^{20} \frac{980 - 33 y}{20} d y = 650 π$ $(c m^{3})$ .

Vậy thể tích thân ấm là $\frac{650 π}{1000} \approx 2, 04$ (lít).

Câu 2 : Ông An đang xây một ngôi nhà, trong quá trình xây phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm B trên một chân tường và điểm C trên cột góc nhà, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm A trên chân tường còn lại cách điểm O ở góc giao hai chân tường một khoảng 5 m, ông cũng tận dụng một chiếc cột có sẵn để chống mặt ghép (xem hình dưới). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà, cột có chiều cao 1 m và cách hai bức tường với cùng khoảng cách 1 m (đỉnh cột là điểm M). Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ở vị trí phù hợp, tìm tọa độ các điểm và lập phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó, áp dụng công thức tính diện tích $S_{A B C} = \frac{1}{2} | [\vec{A B}, \vec{A C}] |$ và ứng dụng đạo hàm, tìm GTNN.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là góc giao hai chân tường, A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz sao cho tọa độ các điểm trên đều không âm.

Khi đó O(0; 0; 0), A(5; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), M(1; 1; 1).

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì M(1; 1; 1) thuộc (ABC) nên $\frac{1}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5 b}{4 b - 5}$ .

$\vec{A B} = (- 5; b; 0)$ , $\vec{A C} = (- 5; 0; c)$ , $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (b c; 5 c; 5 b)$ .

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} | [\vec{A B}, \vec{A C}] | = \frac{1}{2} \sqrt{{(b c)}^{2} + 25 c^{2} + 25 b^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{(b . \frac{5 b}{4 b - 5})}^{2} + 25 {(\frac{5 b}{4 b - 5})}^{2} + 25 b^{2}}$ .

Ta tìm được S đạt GTNN tại b = 2,5. Khi đó S = 9,375 $\approx$ 9,38.

Câu 3 : Một bồn chứa khí hình cầu K có đường kính 10 m tiếp xúc trực tiếp với một bức tường thẳng đứng tại điểm T(-6; 0; 5).

Bồn được che chắn bằng một tấm chắn nghiêng, cố định xuống mặt đất tại các điểm A(0; 16,25; 0) và B(-12; 16,25; 0), đồng thời được chống đỡ bởi các thanh thẳng đứng tại các điểm C(0; 5; 15) và D(-12; 5; 15).

Khoảng cách an toàn giữa tấm chắn E và mặt cầu K là bao nhiêu mét?

Phương pháp giải :

Lập phương trình mặt cầu K và tấm chắn E.

Khoảng cách an toàn = OE – Bán kính mặt cầu.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

- Tường thẳng đứng là mặt phẳng y = 0.

- Mặt cầu bán kính r = 5 (m), tiếp xúc tường tại T(-6; 0; 5), suy ra tâm O(-6; 5; 5).

- Tấm chắn hiện tại E đi qua A(0; 16,25; 0), B(-12; 16,25; 0), C(0; 5; 15) và D(-12; 5; 15).

Phương trình mặt cầu K: $(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z - 5)^{2} = 25$ .

Ta có $\vec{A B} = (- 12; 0; 0)$ , $\vec{A C} = (0; - 11, 25; 15)$

$\Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] = (0; 12; 9) \Rightarrow \vec{n} = (0, 4, 3)$ .

Phương trình mặt phẳng tấm chắn E:

4y + 3z - 65 = 0.

Khoảng cách an toàn giữa E và mặt cầu:

$d (O, E) = \frac{| 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5 - 65 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{30}{5} = 6$ (m).

Khoảng hở giữa bề mặt: d - r = 6 - 5 = 1 (m).

Câu 4 : Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ để kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về báo cáo kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là 8000, trong số đó có 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 70% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Trong 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 5% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Chọn ngẫu nhiên một người trong số 8000 nghìn người trên. Tính xác suất để người được chọn bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết người đó có kết quả thử nghiệm dương tính (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi các biến cố:

A: “Người được chọn nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.

Suy ra $\bar{A}$ : “Người được chọn không nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.

B: “Dụng cụ cho kết quả dương tính”.

Suy ra $\bar{B}$ : “Dụng cụ cho kết quả âm tính”.

Cần tính $P (A | B) = \frac{P (B | A) . P (A)}{P (B)}$ .

Theo giả thiết:

Có 1200 người trong 8000 người nhiễm bệnh nên $P (A) = \frac{1200}{8000} = 0, 15$ .

Có 6800 người trong 8000 người không nhiễm bệnh nên $P (\bar{A}) = \frac{6800}{8000} = 0, 85$ .

Xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính đối với người thực sự nhiễm bệnh là 70% nên $P (B | A) = 70 % = 0, 7$ .

Xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính đối với người không nhiễm bệnh là 5% nên $P (B | \bar{A}) = 5 % = 0, 05$ .

Chọn ngẫu nhiên một người trong 8000 người, xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính là:

$P (B) = P (B | A) . P (A) + P (B | \bar{A}) . P (\bar{A})$

$= 0, 7.0, 15 + 0, 05.0, 85 = 0, 1475$ .

Chọn ngẫu nhiên một người trong 8000 người, xác suất để người đó bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết người đó có kết quả thử nghiệm dương tính là:

$P (A | B) = \frac{P (B | A) . P (A)}{P (B)} = \frac{0, 7.0, 15}{0, 1475} \approx 0, 71$ .

Câu 1 : Cho $F (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$ . Tính tổng $S = a + b + c$ ?

Phương pháp giải :

$F (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$ nên F'(x) = f(x), từ đó tìm a, b, c.

Lời giải chi tiết :

$F^{'} (x) = (2 a x + b) e^{x} + (a x^{2} + b x + c) e^{x}$

$= [a x^{2} + (2 a + b) x + b + c] e^{x}$ .

$F (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$ nên F'(x) = f(x)

${\begin{cases} a = 1 \\ 2 a + b = 0 \\ b + c = 1 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \\ c = 3 \end{cases}$

Vậy S = a + b + c = 2.

Câu 2 : Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d$ đi qua điểm $A (1; - 5; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (2; 0; 7)$ ;

b) $d$ đi qua hai điểm $M (3; - 1; - 1), N (5; 1; 2)$ .

Phương pháp giải :

Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ là: ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đường thẳng đi qua điểm $A (1; - 5; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (2; 0; 7)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 5 \\ z = 7 t \end{cases}$ .

b) Ta có $\vec{M N} = (2; 2; 3)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ .

Đường thẳng đi qua điểm $M (3; - 1; - 1)$ và nhận $\vec{M N} = (2; 2; 3)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}$ .

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$ và điểm $A (2; 2; - 1)$ .

a) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

Phương pháp giải :

a) Từ phương trình mặt cầu xác định được tâm mặt cầu I và bán kính mặt cầu R.

b) Chứng minh IA < R.

Lời giải chi tiết :

a) Từ phương trình mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$ ta có tâm của (S) là $I (1; 0; - 2)$ , bán kính là $R = 3$ .

b) Ta có $I A = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} < 3 = R$ suy ra $I A < R$ .

Vậy điểm A nằm trong mặt cầu (S).