Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 12 - Chân trời sáng tạo

Câu 1 : Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A.
$\frac{1}{2} = \frac{- 2}{4}$ .
B.
$\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ .
C.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ .
D.
$\frac{1}{2} = \frac{- 2}{- 6}$ .

Câu 2 : Giá trị x thoả mãn tỉ lệ thức: $\frac{6}{x} = \frac{- 10}{5}$

A.
$- 30.$
B.
$- 3.$
C.
$3 \cdot$
D.
$30.$

Câu 3 : Trong các công thức sau, công thức nào phát biểu: “Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2”?

A.
$y = 2 x .$
B.
$y = \frac{2}{x} .$
C.
$y = x + 2.$
D.
$y = x^{2} .$

Câu 4 : Biểu thức đại số biểu diễn công thức tính diện tích hình thang có 2 đáy độ dài a, b; chiều cao h ( a, b, h có cùng đơn vị đo độ dài)

A.
$a b .$
B.
$a h .$
C.
$(a + b) h .$
D.
$\frac{(a + b) h}{2} .$

Câu 5 : Hệ số tự do của đa thức $- x^{7} + 5 x^{5} - 12 x - 22$ là

A.
$- 22.$
B.
$- 1.$
C.
$5.$
D.
$22.$

Câu 6 : Giá trị của đa thức $g (x) = x^{8} + x^{4} + x^{2} + 1$ tại $x = - 1$ bằng

A.
$- 4.$
B.
$- 3.$
C.
$3.$
D.
$4.$

Câu 7 : Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên?

A.
Trong điều kiện thường nước sôi ở $100^{o} C .$
B.
Tháng tư có 30 ngày.
C.
Gieo một con xúc xắc 1 lần, số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là 7.
D.
Gieo hai con xúc xắc 1 lần, tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 7.

Câu 8 : Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 1 lần. Xác suất của biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là

A.
$\frac{1}{4} .$
B.
$\frac{1}{3} .$
C.
$\frac{1}{2} .$
D.
$1.$

Câu 9 : Cho $Δ A B C$ vuông tại A có $\hat{B} = 65^{0} .$ Chọn khẳng định đúng.

A.
$A B < B C < A C .$
B.
$B C > A C > A B .$
C.
$B C < A C < A B .$
D.
$A C < A B < B C .$

Câu 10 : Cho tam giác $A B C$ có AM là đường trung tuyến, trọng tâm $G$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$A M = 3 A G .$
B.
$A G = 2 G M .$
C.
$3 A M = 2 A G .$
D.
$A G = \frac{1}{2} G M .$

Câu 11 : Bộ ba số nào là độ dài ba cạnh của một tam giác?

A.
$4 c m, 5 c m, 10 c m .$
B.
$5 c m, 5 c m, 12 c m .$
C.
$11 c m, 11 c m, 20 c m .$
D.
$9 c m, 20 c m, 11 c m .$

Câu 12 : Cho $Δ A B C$ có $\hat{A} = 35^{0}; \hat{B} = 45^{0}$ . Số đo góc C là:

A.
$70^{0}$ .
B.
$80^{0}$ .
C.
$90^{0}$ .
D.
$100^{0}$ .

Câu 1 : a) Tính giá trị của biểu thức $A = (2 x + y) (2 x - y)$ tại $x = - 2, y = \frac{1}{3} .$

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ thoả mãn $x (3 x - 2) - 3 x^{2} = \frac{3}{4} .$

Câu 2 : Học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C làm 40 tấm thiệp để chúc mừng các thầy cô nhân ngày 20-11, biết số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là 45; 42; 33. Hỏi trong ba lớp trên mỗi lớp làm bao nhiêu tấm thiệp, biết số học sinh tỉ lệ với số thiệp cần làm.

Câu 3 : Cho hai đa thức $A (x) = 5 x^{4} - 7 x^{2} - 3 x - 6 x^{2} + 11 x - 30$ và $B (x) = - 11 x^{3} + 5 x - 10 + 13 x^{4} - 2 + 20 x^{3} - 34 x$

a) Thu gọn hai đa thức $A (x)$ và $B (x)$ và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A (x) - B (x)$ .

Câu 4 : Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ $B H ⊥ A C; C K ⊥ A B$ ( $H \in A C;$ $K \in A B$ ).

a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân

b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của $\hat{B I C}$ .

c) Chứng minh: $H K / / B C$ .

Câu 5 : Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn:

$\frac{2 z - 4 x}{3} = \frac{3 x - 2 y}{4} = \frac{4 y - 3 z}{2}$ và $200 < y^{2} + z^{2} < 450$ .

Câu 1 : Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A.
$\frac{1}{2} = \frac{- 2}{4}$ .
B.
$\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ .
C.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ .
D.
$\frac{1}{2} = \frac{- 2}{- 6}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về tỉ lệ thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} \neq \frac{- 2}{4}$ nên A sai.

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ nên B đúng.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} \neq \frac{3}{4}$ nên C sai.

$\frac{1}{2} = \frac{- 3}{- 6} \neq \frac{- 2}{- 6}$ nên D sai.

Đáp án B.

Câu 2 : Giá trị x thoả mãn tỉ lệ thức: $\frac{6}{x} = \frac{- 10}{5}$

A.
$- 30.$
B.
$- 3.$
C.
$3 \cdot$
D.
$30.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về tỉ lệ thức: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $a d = b c$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{6}{x} = \frac{- 10}{5}$ nên

$\begin{array}{l} 6.5 = (- 10) . x \\ x = \frac{6.5}{- 10} \\ x = - 3 \end{array}$

Đáp án B.

Câu 3 : Trong các công thức sau, công thức nào phát biểu: “Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2”?

A.
$y = 2 x .$
B.
$y = \frac{2}{x} .$
C.
$y = x + 2.$
D.
$y = x^{2} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ thuận: Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là a thì ta có công thức $y = a x$

Lời giải chi tiết :

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2 nên y = 2x.

Đáp án A.

Câu 4 : Biểu thức đại số biểu diễn công thức tính diện tích hình thang có 2 đáy độ dài a, b; chiều cao h ( a, b, h có cùng đơn vị đo độ dài)

A.
$a b .$
B.
$a h .$
C.
$(a + b) h .$
D.
$\frac{(a + b) h}{2} .$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang để viết biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức đại số biểu diễn công thức tính diện tích hình thang có 2 đáy độ dài a, b; chiều cao h ( a, b, h có cùng đơn vị đo độ dài) là: $\frac{(a + b) . h}{2}$ .

Đáp án D.

Câu 5 : Hệ số tự do của đa thức $- x^{7} + 5 x^{5} - 12 x - 22$ là

A.
$- 22.$
B.
$- 1.$
C.
$5.$
D.
$22.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Lời giải chi tiết :

Hệ số tự do của đa thức $- x^{7} + 5 x^{5} - 12 x - 22$ là – 22.

Đáp án A.

Câu 6 : Giá trị của đa thức $g (x) = x^{8} + x^{4} + x^{2} + 1$ tại $x = - 1$ bằng

A.
$- 4.$
B.
$- 3.$
C.
$3.$
D.
$4.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thay $x = - 1$ vào đa thức để tính giá trị.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = - 1$ vào đa thức g(x) ta được:

$g (x) = {(- 1)}^{8} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2} + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

Đáp án D.

Câu 7 : Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên?

A.
Trong điều kiện thường nước sôi ở $100^{o} C .$
B.
Tháng tư có 30 ngày.
C.
Gieo một con xúc xắc 1 lần, số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là 7.
D.
Gieo hai con xúc xắc 1 lần, tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 7.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về các loại biến cố.

Lời giải chi tiết :

Biến cố “Gieo hai con xúc xắc 1 lần, tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 7” là biến cố ngẫu nhiên.

Đáp án D.

Câu 8 : Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 1 lần. Xác suất của biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là

A.
$\frac{1}{4} .$
B.
$\frac{1}{3} .$
C.
$\frac{1}{2} .$
D.
$1.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về xác suất của các biến cố đồng khả năng.

Lời giải chi tiết :

Do đồng xu cân đối nên biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” và “Đồng xu xuất hiện mặt sấp” là đồng khả năng nên xác suất của 2 biến cố này bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}$ .

Đáp án C.

Câu 9 : Cho $Δ A B C$ vuông tại A có $\hat{B} = 65^{0} .$ Chọn khẳng định đúng.

A.
$A B < B C < A C .$
B.
$B C > A C > A B .$
C.
$B C < A C < A B .$
D.
$A C < A B < B C .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh đối nhau trong một tam giác và định lí tổng ba góc của một tam giác bằng $180^{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B} = 65^{0}$ nên

$\hat{C} = 180^{0} - \hat{A} - \hat{B} = 180^{0} - 90^{0} - 65^{0} = 25^{0}$ .

Vì $\hat{A} > \hat{B} > \hat{C} (90^{0} > 65^{0} > 25^{0})$ nên $B C > A C > A B$ .

Đáp án B.

Câu 10 : Cho tam giác $A B C$ có AM là đường trung tuyến, trọng tâm $G$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$A M = 3 A G .$
B.
$A G = 2 G M .$
C.
$3 A M = 2 A G .$
D.
$A G = \frac{1}{2} G M .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về trọng tâm của tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $A G = \frac{2}{3} A M$ suy ra $G M = A M - A G = A M - \frac{2}{3} A M = \frac{1}{3} A M$ .

Suy ra $\frac{G M}{A G} = \frac{\frac{1}{3} A M}{\frac{2}{3} A M} = \frac{1}{2}$ hay $A G = 2 G M$ .

Đáp án B.

Câu 11 : Bộ ba số nào là độ dài ba cạnh của một tam giác?

A.
$4 c m, 5 c m, 10 c m .$
B.
$5 c m, 5 c m, 12 c m .$
C.
$11 c m, 11 c m, 20 c m .$
D.
$9 c m, 20 c m, 11 c m .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của một tam giác.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

4 + 5 = 9 < 10, ba độ dài $4 c m, 5 c m, 10 c m$ không thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

5 + 5 = 10 < 12, ba độ dài $5 c m, 5 c m, 12 c m$ không thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

11 > 20 – 11 = 9, ba độ dài $11 c m, 11 c m, 20 c m$ thỏa mãn điều kiện của bất đẳng thức tam giác nên đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

11 = 20 – 9, ba độ dài $9 c m, 20 c m, 11 c m$ không thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Đáp án C.

Câu 12 : Cho $Δ A B C$ có $\hat{A} = 35^{0}; \hat{B} = 45^{0}$ . Số đo góc C là:

A.
$70^{0}$ .
B.
$80^{0}$ .
C.
$90^{0}$ .
D.
$100^{0}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định lí tổng ba góc của một tam giác bằng $180^{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Số đo góc C là:

$\begin{array}{l} \hat{C} = 180^{0} - \hat{A} - \hat{B} \\ = 180^{0} - 35^{0} - 45^{0} \\ = 100^{0} \end{array}$

Đáp án D.

Câu 1 : a) Tính giá trị của biểu thức $A = (2 x + y) (2 x - y)$ tại $x = - 2, y = \frac{1}{3} .$

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ thoả mãn $x (3 x - 2) - 3 x^{2} = \frac{3}{4} .$

Phương pháp giải :

a) Thay $x = - 2, y = \frac{1}{3}$ vào A để tính giá trị biểu thức.

b) Sử dụng các phép tính với đa thức một biến để tìm giá trị của x.

Lời giải chi tiết :

a) Tại $x = - 2, y = \frac{1}{3}$ ta có

$\begin{array}{l} A = [2 \cdot (- 2) + \frac{1}{3}] [2 \cdot (- 2) - \frac{1}{3}] \\ = (- 4 + \frac{1}{3}) (- 4 - \frac{1}{3}) \\ = \frac{- 11}{3} . \frac{- 13}{3} \\ = \frac{143}{9} . \end{array}$

b) $x (3 x - 2) - 3 x^{2} = \frac{3}{4}$

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} = \frac{3}{4} \\ - 2 x = \frac{3}{4} \\ x = \frac{- 3}{8} . \end{array}$

Vậy $x = \frac{- 3}{8}$ .

Câu 2 : Học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C làm 40 tấm thiệp để chúc mừng các thầy cô nhân ngày 20-11, biết số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là 45; 42; 33. Hỏi trong ba lớp trên mỗi lớp làm bao nhiêu tấm thiệp, biết số học sinh tỉ lệ với số thiệp cần làm.

Phương pháp giải :

Gọi số tấm thiệp của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $x, y, z (x, y, z \in N^{*})$

Viết phương trình dựa vào đề bài.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z.

Lời giải chi tiết :

Gọi số tấm thiệp của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $x, y, z (x, y, z \in N^{*})$

Vì có 40 tấm thiệp nên x + y + z = 40

Vì số học sinh tỉ lệ với số thiệp cần làm nên ta có $\frac{x}{45} = \frac{y}{42} = \frac{z}{33}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{45} = \frac{y}{42} = \frac{z}{33} = \frac{x + y + z}{45 + 42 + 33} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}$

suy ra $x = \frac{1}{3} .45 = 15; y = \frac{1}{3} .42 = 14; z = \frac{1}{3} .33 = 11$

Vậy số tấm thiệp của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 15; 14; 11.

Câu 3 : Cho hai đa thức $A (x) = 5 x^{4} - 7 x^{2} - 3 x - 6 x^{2} + 11 x - 30$ và $B (x) = - 11 x^{3} + 5 x - 10 + 13 x^{4} - 2 + 20 x^{3} - 34 x$

a) Thu gọn hai đa thức $A (x)$ và $B (x)$ và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A (x) - B (x)$ .

Phương pháp giải :

Thực hiện tính toán với đa thức một biến.

Lời giải chi tiết :

a) $A (x) = 5 x^{4} - 7 x^{2} - 3 x - 6 x^{2} + 11 x - 30$

$\begin{array}{l} = 5 x^{4} + (- 7 x^{2} - 6 x^{2}) + (- 3 x + 11 x) - 30 \\ = 5 x^{4} - 13 x^{2} + 8 x - 30 \end{array}$

$B (x) = - 11 x^{3} + 5 x - 10 + 13 x^{4} - 2 + 20 x^{3} - 34 x$

$\begin{array}{l} = 13 x^{4} + (- 11 x^{3} + 20 x^{3}) + (5 x - 34 x) + (- 10 - 2) \\ = 13 x^{4} + 9 x^{3} - 29 x - 12 \end{array}$

b) $A (x) - B (x) = (5 x^{4} - 13 x^{2} + 8 x - 30) - (13 x^{4} + 9 x^{3} - 29 x - 12)$

$\begin{array}{l} = 5 x^{4} - 13 x^{2} + 8 x - 30 - 13 x^{4} - 9 x^{3} + 29 x + 12 \\ = (5 x^{4} - 13 x^{4}) - 9 x^{3} - 13 x^{2} + (8 x + 29 x) + (- 30 + 12) \\ = - 8 x^{4} - 9 x^{3} - 13 x^{2} + 37 x - 18 \end{array}$

Câu 4 : Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ $B H ⊥ A C; C K ⊥ A B$ ( $H \in A C;$ $K \in A B$ ).

a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân

b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của $\hat{B I C}$ .

c) Chứng minh: $H K / / B C$ .

Phương pháp giải :

a) Chứng minh $Δ A B H = Δ A C K$ theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn. suy ra AH = AK nên tam giác AKH là tam giác cân.

b) Chứng minh $\hat{P_{1}} = \hat{N_{1}}$ nên $Δ A K I = Δ A H I$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông suy ra $\hat{A I K} = \hat{A I H}$

Từ đó ta có $\hat{C I M} = \hat{B I M}$ nên IM là phân giác của góc BIC

c) Từ tam giác cân ABC và AHK ta có $\hat{A B C} = \frac{180^{\circ} - \hat{A}}{2}$ , $\hat{A K H} = \frac{180^{\circ} - \hat{A}}{2}$ nên $\hat{A B C} = \hat{A K H}$ .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // BC.

Lời giải chi tiết :

a) Xét $Δ A B H$ và $Δ A C K$ có:

$\hat{A H B} = \hat{A K C} = 90^{\circ}$ (vì $B H ⊥ A C; C K ⊥ A B$ )

AB = AC ( $Δ A B C$ cân);

góc A chung;

Do đó: $Δ A B H = Δ A C K$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow A H = A K \Rightarrow Δ A H K$ cân tại A (đpcm).

b) Xét $Δ A K I$ và $Δ A H I$ có: $\hat{A K I} = \hat{A H I} = 90^{\circ}$ (vì $B H ⊥ A C; C K ⊥ A B$ )

AK = AH ( $Δ A H K$ cân tại A);

cạnh AI chung;

Do đó: $Δ A K I = Δ A H I$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

$\Rightarrow \hat{A I K} = \hat{A I H}$ .

Mà: $\hat{A I K} = \hat{C I M}; \hat{A I H} = \hat{B I M}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó: $\hat{C I M} = \hat{B I M}$ $\Rightarrow I M$ là phân giác của góc BIC (đpcm).

c) $Δ A B C$ cân tại A nên: $\hat{A B C} = \frac{180^{\circ} - \hat{A}}{2}$ .

$Δ A H K$ cân tại A nên: $\hat{A K H} = \frac{180^{\circ} - \hat{A}}{2}$ .

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A K H}$ .

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó: KH // BC (đpcm).

Câu 5 : Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn:

$\frac{2 z - 4 x}{3} = \frac{3 x - 2 y}{4} = \frac{4 y - 3 z}{2}$ và $200 < y^{2} + z^{2} < 450$ .

Phương pháp giải :

Biến đổi $\frac{2 z - 4 x}{3} = \frac{3 x - 2 y}{4} = \frac{4 y - 3 z}{2}$ thành $\frac{6 z - 12 x}{9} = \frac{12 x - 8 y}{16} = \frac{8 y - 6 z}{4}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để suy ra $\frac{2 z - 4 x}{3} = \frac{3 x - 2 y}{4} = \frac{4 y - 3 z}{2} = 0$

Từ đó ta có $6 z = 12 x = 8 y$ .

Đặt $6 z = 12 x = 8 y = 24 k (k > 0) \Rightarrow (x; y; z) = (2 k; 3 k; 4 k)$

Tìm k dựa vào $200 < y^{2} + z^{2} < 450$

Từ đó tính được x, y, z.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\frac{2 z - 4 x}{3} = \frac{3 x - 2 y}{4} = \frac{4 y - 3 z}{2}$ nên

$\begin{array}{l} \frac{3 (2 z - 4 x)}{3.3} = \frac{4 (3 x - 2 y)}{4.4} = \frac{2 (4 y - 3 z)}{2.2} \\ \frac{6 z - 12 x}{9} = \frac{12 x - 8 y}{16} = \frac{8 y - 6 z}{4} \end{array}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{6 z - 12 x}{9} = \frac{12 x - 8 y}{16} = \frac{8 y - 6 z}{4} = \frac{6 z - 12 x + 12 x - 8 y + 8 y - 6 z}{9 + 16 + 4} = \frac{0}{29} = 0$

Do đó ${\begin{cases} 6 z - 12 x = 0 \\ 12 x - 8 y = 0 \\ 8 y - 6 z = 0 \end{cases}$ hay $6 z = 12 x = 8 y$ .

Đặt $6 z = 12 x = 8 y = 24 k (k > 0)$ ta được $(x; y; z) = (2 k; 3 k; 4 k)$

Theo giả thiết $200 < y^{2} + z^{2} < 450$

nên $200 < (3 k)^{2} + (4 k)^{2} < 450$

$200 < 9 k^{2} + 16 k^{2} < 450$

suy ra $200 < 25 k^{2} < 450$

$8 < k^{2} < 18$

Do đó $k \in {3; 4}$

Từ đó tìm được $(x; y; z) \in {(6; 9; 12); (8; 12; 16)}$