Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 1 - Cánh diều

Câu 1 : Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

A.
$1 - x^{2} = 0$ .
B.
$2 x - 5 = 0$ .
C.
$\frac{2}{x - 3} + 1 = 0$ .
D.
$x^{3} - x + 2 = 0$ .

Câu 2 : Với $m = - 1$ thì phương trình $(2 m^{2} - 2) x = m + 1$

A.
vô nghiệm.
B.
vô số nghiệm.
C.
có nghiệm duy nhất là $x = m - 1$ .
D.
Có 1 nghiệm là $x = \frac{1}{m - 1}$ .

Câu 3 : Phương trình $4 x - 2 = 0$ có nghiệm là

A.
$x = 2$ .
B.
$x = 0$ .
C.
$x = - 2$ .
D.
$x = \frac{1}{2}$ .

Câu 4 : Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ thì 1 giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể?

A.
$1$ .
B.
$\frac{1}{4}$ .
C.
$\frac{1}{5}$ .
D.
$5$ .

Câu 5 : Một tam giác có độ dài các cạnh là $x + 3$ ; $x + 1$ ; $x + 5$ . Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là

A.
$3 x + 9$
B.
$x + 9$
C.
$3 x - 9$
D.
$3 x + 16$

Câu 6 : Năm nay chị 27 tuổi và tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi. Vậy năm sau tuổi em là

A.
21 tuổi
B.
22 tuổi
C.
23 tuổi
D.
24 tuổi

Câu 7 : Hãy chọn câu khẳng định đúng.

A.
Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
B.
Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
C.
Hai tam giác cân luôn đồng dạng.
D.
Hai tam giác vuông luôn đồng dạng.

Câu 8 : $Δ A B C ∽ Δ D E F$ theo tỉ số đồng dạng k. Vậy k bằng tỉ số nào sau đây?

A.
$k = \frac{A B}{B C}$ .
B.
$k = \frac{A C}{D F}$ .
C.
$k = \frac{D E}{A B}$ .
D.
$k = \frac{D E}{D F}$ .

Câu 9 : Cho hình sau. Biết $Δ A B C, Δ A D E$ là hai tam giác cân.

Chọn kết luận đúng trong các câu sau:

A.
$Δ A D E ∽ Δ A B C (g . g)$ với $k = 2$ .
B.
$Δ A D E ∽ Δ A B C (c . c . c)$ với $k = \frac{2}{3}$ .
C.
$Δ A B C ∽ Δ A D E (c . g . c)$ với $k = \frac{3}{2}$ .
D.
$Δ A B C ∽ Δ A D E (g . g)$ với $k = \frac{1}{2}$ .

Câu 10 : Cho hình vẽ sau. Độ lớn x bằng bao nhiêu để hai tam giác đồng dạng?

A.
$x = 3$ .
B.
$x = 4$ .
C.
$x = \frac{5}{2}$ .
D.
$x = \frac{3}{2}$ .

Câu 11 : Cho hình dưới đây. Biết AB // DE. Chọn hệ thức sai trong các câu sau:

A.
$A B . E C = A C . D C$ .
B.
$A B . D E = B C . D C$ .
C.
$A C . D E = B C . E C$ .
D.
$A B . A C = D E . D C$ .

Câu 12 : Cặp hình đồng dạng trong hình dưới đây là:

A.
Hình 1 và hình 2.
B.
Hình 1 và hình 3.
C.
Hình 2 và hình 3.
D.
Không có hình nào đồng dạng.

Câu 1 : Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{3} x + 2 \frac{1}{2} = 0$

b) $4 - 3 x = 5$

c) $\frac{7 x - 1}{6} = \frac{16 - x}{5} - 2 x$

Câu 2 : Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được $\frac{3}{4}$ quãng đường AB, xe con tăng vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại thì đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút. Tính quãng đường AB.

Câu 3 : Tìm m để phương trình $2 (x - 1) - m x = 3$ :

a) Vô nghiệm

b) Có nghiệm duy nhất

Câu 4 : Cho $Δ A B C$ nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ $H M ⊥ A B$ và $H N ⊥ A C$ .

a) Chứng minh $Δ A M H ∽ Δ A H B$ .

b) Chứng minh $A N . A C = A H^{2}$ .

c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh $\hat{A E F} = \hat{A B C}$ .

Câu 5 : Giải phương trình:

$(\frac{1}{1.51} + \frac{1}{2.52} + . . . + \frac{1}{10.60}) x = (\frac{1}{1.11} + \frac{1}{2.12} + . . . + \frac{1}{50.60})$

Câu 1 : Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

A.
$1 - x^{2} = 0$ .
B.
$2 x - 5 = 0$ .
C.
$\frac{2}{x - 3} + 1 = 0$ .
D.
$x^{3} - x + 2 = 0$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $a x + b = 0$ với $a \neq 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình $2 x - 5 = 0$ có dạng $a x + b = 0$ với $a = 2$ nên ta chọn đáp án B.

Đáp án B.

Câu 2 : Với $m = - 1$ thì phương trình $(2 m^{2} - 2) x = m + 1$

A.
vô nghiệm.
B.
vô số nghiệm.
C.
có nghiệm duy nhất là $x = m - 1$ .
D.
Có 1 nghiệm là $x = \frac{1}{m - 1}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay m vào phương trình, đưa phương trình về dạng ax + b = 0 để giải.

Lời giải chi tiết :

Thay $m = - 1$ vào phương trình $(2 m^{2} - 2) x = m + 1$ , ta có:

$\begin{array}{l} [2 {(- 1)}^{2} - 2] x = - 1 + 1 \\ (2 - 2) x = 0 \end{array}$

$0. x = 0$ (luôn đúng).

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

Đáp án B.

Câu 3 : Phương trình $4 x - 2 = 0$ có nghiệm là

A.
$x = 2$ .
B.
$x = 0$ .
C.
$x = - 2$ .
D.
$x = \frac{1}{2}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải phương trình có dạng $a x + b = 0$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l} 4 x - 2 = 0 \\ 4 x = 2 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án D.

Câu 4 : Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ thì 1 giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể?

A.
$1$ .
B.
$\frac{1}{4}$ .
C.
$\frac{1}{5}$ .
D.
$5$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Coi bể nước bằng 1. Tính số phần bể mà vòi chảy được trong 1 giờ.

Lời giải chi tiết :

Coi bể nước là 1. Vì vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ nên trong 1 giờ vòi chảy được là:

$1 : 5 = \frac{1}{5}$ (bể)

Đáp án C.

Câu 5 : Một tam giác có độ dài các cạnh là $x + 3$ ; $x + 1$ ; $x + 5$ . Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là

A.
$3 x + 9$
B.
$x + 9$
C.
$3 x - 9$
D.
$3 x + 16$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính chu vi tam giác để viết biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là:

$x + 3 + x + 1 + x + 5 = 3 x + 9$ .

Đáp án A.

Câu 6 : Năm nay chị 27 tuổi và tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi. Vậy năm sau tuổi em là

A.
21 tuổi
B.
22 tuổi
C.
23 tuổi
D.
24 tuổi

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi tuổi của em là x, biểu thị tuổi của chị theo tuổi của em và tính tuổi em năm sau.

Lời giải chi tiết :

Gọi tuổi của em là x (tuổi), $x \in N *$ .

Vì tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi nên x + 5 = 27

Giải phương trình ta được x = 27 – 5 = 22 (tuổi) (TM)

Vậy năm sau tuổi của em là: 22 + 1 = 23 tuổi.

Đáp án C.

Câu 7 : Hãy chọn câu khẳng định đúng.

A.
Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
B.
Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
C.
Hai tam giác cân luôn đồng dạng.
D.
Hai tam giác vuông luôn đồng dạng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng nên ta chọn đáp án A.

Đáp án A.

Câu 8 : $Δ A B C ∽ Δ D E F$ theo tỉ số đồng dạng k. Vậy k bằng tỉ số nào sau đây?

A.
$k = \frac{A B}{B C}$ .
B.
$k = \frac{A C}{D F}$ .
C.
$k = \frac{D E}{A B}$ .
D.
$k = \frac{D E}{D F}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

$Δ A B C ∽ Δ D E F$ nên $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = k$ .

Vậy $k = \frac{A C}{D F}$ .

Đáp án B.

Câu 9 : Cho hình sau. Biết $Δ A B C, Δ A D E$ là hai tam giác cân.

Chọn kết luận đúng trong các câu sau:

A.
$Δ A D E ∽ Δ A B C (g . g)$ với $k = 2$ .
B.
$Δ A D E ∽ Δ A B C (c . c . c)$ với $k = \frac{2}{3}$ .
C.
$Δ A B C ∽ Δ A D E (c . g . c)$ với $k = \frac{3}{2}$ .
D.
$Δ A B C ∽ Δ A D E (g . g)$ với $k = \frac{1}{2}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chứng minh $Δ A D E ∽ Δ A B C$ theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Lời giải chi tiết :

Vì $Δ A B C, Δ A D E$ cân nên $A B = A C$ ; $A D = A E (= 6 c m)$ .

Xét $Δ A B C$ và $Δ A D E$ có:

$\hat{A}$ chung

$\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ (vì $A B = A C; A D = A E$ )

suy ra $Δ A B C ∽ Δ A D E (c . g . c)$

suy ra $k = \frac{A C}{A E} = \frac{A E + E C}{A E} = \frac{6 + 3}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ .

Đáp án C.

Câu 10 : Cho hình vẽ sau. Độ lớn x bằng bao nhiêu để hai tam giác đồng dạng?

A.
$x = 3$ .
B.
$x = 4$ .
C.
$x = \frac{5}{2}$ .
D.
$x = \frac{3}{2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào các trường hợp đồng dạng của hai tam giác để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Để hai tam giác đồng dạng thì $\frac{2}{3} = \frac{x}{6}$ suy ra $x = \frac{2}{3} .6 = 4$ .

Đáp án B.

Câu 11 : Cho hình dưới đây. Biết AB // DE. Chọn hệ thức sai trong các câu sau:

A.
$A B . E C = A C . D C$ .
B.
$A B . D E = B C . D C$ .
C.
$A C . D E = B C . E C$ .
D.
$A B . A C = D E . D C$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào AB // DE suy ra $\hat{A B C} = \hat{E D C}$ .

Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ C D E (g . g)$ suy ra tỉ số giữa các cặp cạnh tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Vì AB // DE nên $\hat{A B C} = \hat{E D C}$ (hai góc đồng vị)

Xẻ $Δ A B C$ và $Δ C D E$ có:

$\hat{A} = \hat{C} (= 90^{0})$

$\hat{A B C} = \hat{E D C}$ (cmt)

Suy ra $Δ A B C ∽ Δ C D E (g . g)$ . Từ đó ta được:

$\frac{A B}{A C} = \frac{C D}{C E}$ suy ra $A B . C E = A C . C D$ . (A đúng)

$\frac{A B}{B C} = \frac{C D}{D E}$ suy ra $A B . D E = B C . C D$ (B đúng)

$\frac{A C}{B C} = \frac{C E}{D E}$ suy ra $A C . D E = C E . B C$ (C đúng)

Vậy D sai (vì không có tỉ lệ nào suy ra $A B . A C = D E . D C$ ).

Đáp án D.

Câu 12 : Cặp hình đồng dạng trong hình dưới đây là:

A.
Hình 1 và hình 2.
B.
Hình 1 và hình 3.
C.
Hình 2 và hình 3.
D.
Không có hình nào đồng dạng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Kiểm tra tỉ số các cặp cạnh của các hình trên.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{2}{2, 5} = \frac{4}{5} \neq \frac{3}{6}$ nên hình 1 và hình 2 là hai hình đồng dạng

Đáp án A.

Câu 1 : Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{3} x + 2 \frac{1}{2} = 0$

b) $4 - 3 x = 5$

c) $\frac{7 x - 1}{6} = \frac{16 - x}{5} - 2 x$

Phương pháp giải :

Đưa phương trình về dạng ax + b = 0 để giải.

Lời giải chi tiết :

a) $\frac{2}{3} x + 2 \frac{1}{2} = 0$

$\begin{array}{l} \frac{2}{3} x + \frac{5}{2} = 0 \\ \frac{2}{3} x = - \frac{5}{2} \\ x = - \frac{5}{2} : \frac{2}{3} \\ x = - \frac{15}{4} \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - \frac{15}{4}$ .

b) $4 - 3 x = 5$

$\begin{array}{l} - 3 x = 5 - 4 \\ - 3 x = 1 \\ x = \frac{- 1}{3} \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{- 1}{3}$ .

c) $\frac{7 x - 1}{6} = \frac{16 - x}{5} - 2 x$

$\begin{array}{l} \frac{5 (7 x - 1)}{5.6} = \frac{6 (16 - x)}{6.5} - \frac{30.2 x}{30} \\ 5 (7 x - 1) = 6 (16 - x) - 60 x \\ 35 x - 5 = 96 - 6 x - 60 x \\ 35 x + 6 x + 60 x = 96 + 5 \\ 101 x = 101 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$

Câu 2 : Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được $\frac{3}{4}$ quãng đường AB, xe con tăng vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại thì đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút. Tính quãng đường AB.

Phương pháp giải :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0).

Biểu diễn thời gian xe tải, xe con đi theo x và lập phương trình.

Giải phương trình và kiểm tra nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Gọi quãng đường AB dài x (km) (x > 0).

Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là $\frac{x}{30}$ (giờ).

$\frac{3}{4}$ quãng đường AB là $\frac{3}{4} x$ (km), khi đó thời gian ô tô con đi hết $\frac{3}{4}$ quãng đường AB là:

$\frac{3}{4} x : 45 = \frac{x}{60}$ (giờ)

Vận tốc xe con sau khi tăng thêm 5km/h là:

45 + 5 = 50 (km/h)

Quãng đường còn lại là: $1 - \frac{3}{4} x = \frac{x}{4}$ (km)

Thời gian xe con đi hết $\frac{1}{4}$ quãng đường AB là:

$\frac{x}{4} : 50 = \frac{x}{200}$ (h)

Vì xe con đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút = $\frac{49}{20}$ h nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} \frac{x}{30} - (\frac{x}{60} + \frac{x}{200}) = \frac{49}{20} \\ \frac{20 x}{600} - \frac{10 x}{600} - \frac{3 x}{600} = \frac{1470}{600} \\ \frac{7 x}{600} = \frac{1470}{600} \\ 7 x = 1470 \\ x = 210 (T M) \end{array}$

Vậy quãng đường AB dài 210km.

Câu 3 : Tìm m để phương trình $2 (x - 1) - m x = 3$ :

a) Vô nghiệm

b) Có nghiệm duy nhất

Phương pháp giải :

Biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng ax = b:

+ Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{b}{a}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$2 (x - 1) - m x = 3$

$\begin{array}{l} 2 x - 2 - m x = 3 \\ 2 x - m x = 3 + 2 \\ (2 - m) x = 5 \end{array}$

a) Để phương trình $2 (x - 1) - m x = 3$ vô nghiệm thì:

$2 - m = 0$ suy ra $m = 2$ .

Vậy khi m = 2 thì phương trình vô nghiệm.

b) Để phương trình $2 (x - 1) - m x = 3$ có nghiệm duy nhất thì:

$2 - m \neq 0$ suy ra $m \neq 2$ .

Vậy khi $m \neq 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{5}{2 - m}$ .

Câu 4 : Cho $Δ A B C$ nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ $H M ⊥ A B$ và $H N ⊥ A C$ .

a) Chứng minh $Δ A M H ∽ Δ A H B$ .

b) Chứng minh $A N . A C = A H^{2}$ .

c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh $\hat{A E F} = \hat{A B C}$ .

Phương pháp giải :

a) Chứng minh $Δ A M H ∽ Δ A H B (g . g)$

b) Chứng minh $Δ A N H ∽ Δ A H C (g . g)$ suy ra $\frac{A N}{A H} = \frac{A H}{A C}$ suy ra $A N . A C = A H^{2}$

c) Áp dụng định lý Thales để chứng minh $\frac{A F}{A M} = \frac{A E}{A H} (= \frac{A D}{A N})$

Chứng minh $Δ A F E ∽ Δ A M H (c . g . c)$ suy ra $\hat{A E F} = \hat{A H M}$ mà $\hat{A H M} = \hat{A B C}$ nên $\hat{A E F} = \hat{A B C}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Xét $Δ A M H$ và $Δ A H B$ có:

$\hat{A M H} = \hat{A H B} (= 90^{0})$

$\hat{A}$ chung

suy ra $Δ A M H ∽ Δ A H B (g . g)$ (đpcm)

b) Xét $Δ A N H$ và $Δ A H C$ có:

$\hat{A N H} = \hat{A H C} (= 90^{0})$

$\hat{A}$ chung

suy ra $Δ A N H ∽ Δ A H C (g . g)$

suy ra $\frac{A N}{A H} = \frac{A H}{A C}$ suy ra $A N . A C = A H^{2}$ (đpcm)

c) Vì $B D$ là đường cao của $Δ A B C$ nên $B D ⊥ A C$

hay $D E ⊥ A C$ .

mà $H N ⊥ A C$ (gt)

Suy ra $D E / / H N$ (Quan hệ từ vuông góc tới song song)

Vì DF // NM nên $\frac{A F}{A M} = \frac{A D}{A N}$

Vì DE // HN nên $\frac{A E}{A H} = \frac{A D}{A N}$

suy ra $\frac{A F}{A M} = \frac{A E}{A H}$

Xét $Δ A F E$ và $Δ A M H$ có:

$\hat{A}$ chung

$\frac{A F}{A M} = \frac{A E}{A H}$

suy ra $Δ A F E ∽ Δ A M H (c . g . c)$ nên $\hat{A E F} = \hat{A H M}$

Mà $\hat{A H M} = \hat{A B C}$ (vì $Δ A M H ∽ Δ A H B$ )

Do đó $\hat{A E F} = \hat{A B C}$ (đpcm)

Câu 5 : Giải phương trình:

$(\frac{1}{1.51} + \frac{1}{2.52} + . . . + \frac{1}{10.60}) x = (\frac{1}{1.11} + \frac{1}{2.12} + . . . + \frac{1}{50.60})$

Phương pháp giải :

Biến đổi a, b trong phương trình ax = b để tìm x.

Sử dụng kiến thức: $\frac{1}{a . b} = \frac{1}{b - a} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ với b > a

Lời giải chi tiết :

Phương trình $(\frac{1}{1.51} + \frac{1}{2.52} + . . . + \frac{1}{10.60}) x = (\frac{1}{1.11} + \frac{1}{2.12} + . . . + \frac{1}{50.60})$ có dạng ax = b với $a = \frac{1}{1.51} + \frac{1}{2.52} + . . . + \frac{1}{10.60}$ và $b = \frac{1}{1.11} + \frac{1}{2.12} + . . . + \frac{1}{50.60}$

Ta có:

$\begin{array}{l} a = \frac{1}{1.51} + \frac{1}{2.52} + . . . + \frac{1}{10.60} \\ = \frac{1}{50} (\frac{50}{1.51} + \frac{50}{2.52} + . . . + \frac{50}{10.60}) \\ = \frac{1}{50} [(1 - \frac{1}{51}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{52}) + . . . + (\frac{1}{10} - \frac{1}{60})] \\ = \frac{1}{50} [(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{10}) - (\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + . . . + \frac{1}{60})] \end{array}$

$\begin{array}{l} b = \frac{1}{1.11} + \frac{1}{2.12} + . . . + \frac{1}{50.60} \\ = \frac{1}{10} (\frac{10}{1.11} + \frac{10}{2.12} + . . . + \frac{10}{50.60}) \\ = \frac{1}{10} [(1 - \frac{1}{11}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{12}) + . . . + (\frac{1}{50} - \frac{1}{60})] \\ = \frac{1}{10} [(1 + \frac{1}{2} + . . . + \frac{1}{50}) - (\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + . . . + \frac{1}{60})] \\ = \frac{1}{10} [(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{10}) - (\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + . . . + \frac{1}{60})] \\ = 5. \frac{1}{50} [(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{10}) - (\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + . . . + \frac{1}{60})] \\ = 5 a \end{array}$

Phương trình trở thành: $a x = 5 a$ suy ra $x = 5$ .

Vậy nghiệm của phương trình $(\frac{1}{1.51} + \frac{1}{2.52} + . . . + \frac{1}{10.60}) x = (\frac{1}{1.11} + \frac{1}{2.12} + . . . + \frac{1}{50.60})$ là $x = 5$ .