Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 3 - Cánh diều

Câu 1 : Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất một ẩn là

A.
$2 x + 1 = 0$ .
B.
$\frac{1}{x} + 2 = 0$ .
C.
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .
D.
$x^{2} - 1 = 0$ .

Câu 2 : Phương trình nào sau đây nhận $m = 2$ là nghiệm?

A.
$m - 2 = 0$ .
B.
$2 m = 0$ .
C.
$m + 2 = 0$ .
D.
$- m + 3 = 0$ .

Câu 3 : Phương trình $x + 5 = x + 5$ có

A.
vô số nghiệm.
B.
vô nghiệm.
C.
1 nghiệm.
D.
2 nghiệm.

Câu 4 : Năm nay tuổi cha 39 tuổi và gấp 3 lần tuổi con năm ngoái. Vậy năm nay tuổi con là

A.
12 tuổi.
B.
13 tuổi.
C.
14 tuổi.
D.
15 tuổi.

Câu 5 : Tiền lương cơ bản của An mỗi tháng là x (triệu đồng). Tiền phụ cấp mỗi tháng là 2 000 000 (đồng). Biểu thức biểu thị tiền lương mỗi tháng của An (bằng tổng tiền lương cơ bản và tiền phụ cấp; đơn vị là triệu đồng) là:

A.
$x + 2000000$ .
B.
$x + 200$ .
C.
$x - 2$ .
D.
$x + 2$ .

Câu 6 : Cho $Δ A B C ∽ Δ D E F$ biết AB = 4 cm; AC = 6 cm; BC = 10 cm và DE = 2 cm khi đó tỉ số đồng dạng bằng

A.
3.
B.
2.
C.
5.
D.
4.

Câu 7 : Hãy chỉ ra cặp tam giác đồng dạng trong các tam giác sau

A.
Hình 1 và Hình 2.
B.
Hình 2 và Hình 3.
C.
Hình 1 và Hình 3.
D.
Đáp án A và C đều đúng.

Câu 8 : Cho $Δ G H I ∽ Δ F E I$ có các kính thước như hình vẽ, khi đó tỉ số độ dài của y và x bằng:

A.
$4$ .
B.
$\frac{2}{3}$ .
C.
$\frac{3}{2}$ .
D.
$6$ .

Câu 9 : Cho hình vẽ

Khi đó các khẳng định sau

(1) $Δ M K N ∽ Δ P K M (g .g)$ .

(2) $Δ M K P ∽ Δ M N P (g .g)$ .

Hãy chọn đáp án đúng:

A.
Chỉ có (1) đúng.
B.
Chỉ có (2) đúng.
C.
(1) và (2) đều đúng.
D.
(1) và (2) đều sai.

Câu 10 : Cho hình vẽ sau, biết $\hat{B} = \hat{D}, B C = 50 c m, A B = 40 c m, D E = 30 c m$ . Độ dài đoạn thẳng AD là:

A.
30cm.
B.
24cm.
C.
50cm.
D.
18cm.

Câu 11 : Trong các hình đã học cặp hình nào sau đây luôn đồng dạng?

A.
Hình bình hành.
B.
Hình chữ nhật.
C.
Hình thoi.
D.
Hình vuông.

Câu 12 : Trong hình dưới đây, hình b là hình a sau khi phóng to với kích thước k = 2. Nếu kích thước của hình a là 3 x 4 thì kích thước của hình b là:

A.
1,5 x 2.
B.
6 x 8.
C.
6 x 9.
D.
9 x 16.

Câu 1 : Giải các phương trình sau:

a) $2 x - 4 = 3 x + 1$

b) $7 (5 - x) = 11 - 5 x$

c) $\frac{5}{6} + \frac{x}{4} = 2 - \frac{x}{3}$

d) $\frac{2 (x + 1)}{3} = \frac{1 + 3 x}{5} + \frac{1}{2}$

Câu 2 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Có hai loại dung dịch muối I và II. Người ta hòa 200 gam dung dịch muối I với 300 gam dung dịch muối II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33%. Tính nồng độ muối trong dung dịch I và II, biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20%.

Câu 3 : Cho $Δ A B C$ vuông tại A có $A B = 6 c m$ và $A C = 8 c m$ . Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ C kẻ $C E ⊥ B D$ kẻ E.

a) Tính độ dài BC và tỉ số $\frac{A D}{D C}$ .

b) Chứng minh $Δ A B D ∽ Δ E B C$ . Từ đó suy ra $B D . E C = A D . B C$ .

c) Chứng minh $\frac{C D}{B C} = \frac{C E}{B E}$ .

d) Gọi EH là đường cao của $Δ E B C$ . Chứng minh $C H . C B = E D . E B$ .

Câu 4 : Chu vi của một mảnh vườn hình chữ nhật là 42 m. Biết chiều rộng ngắn hơn chiều dài 3 m. Tìm chiều dài của mảnh vườn.

Câu 5 : Cho $a_{1}; a_{2}; . . .; a_{2024}$ là 2024 số thực thỏa mãn $a_{k} = \frac{2 k + 1}{{(k^{2} + k)}^{2}}$ với $k \in {1; 2; . . .; 2024}$ .

Tính tổng $S_{2024} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{2024}$ .

Câu 1 : Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất một ẩn là

A.
$2 x + 1 = 0$ .
B.
$\frac{1}{x} + 2 = 0$ .
C.
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .
D.
$x^{2} - 1 = 0$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $a x + b = 0$ với $a \neq 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình $2 x + 1 = 0$ .

Đáp án A.

Câu 2 : Phương trình nào sau đây nhận $m = 2$ là nghiệm?

A.
$m - 2 = 0$ .
B.
$2 m = 0$ .
C.
$m + 2 = 0$ .
D.
$- m + 3 = 0$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay m = 2 vào phương trình để xác định.

Lời giải chi tiết :

Ta có: 2 – 2 = 0 nên phương trình m – 2 nhận m = 2 là nghiệm.

Đáp án A.

Câu 3 : Phương trình $x + 5 = x + 5$ có

A.
vô số nghiệm.
B.
vô nghiệm.
C.
1 nghiệm.
D.
2 nghiệm.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình để tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} x + 5 = x + 5 \\ x - x = 5 - 5 \end{array}$

$0 = 0$ (luôn đúng)

Vậy phương trình $x + 5 = x + 5$ có vô số nghiệm.

Đáp án A.

Câu 4 : Năm nay tuổi cha 39 tuổi và gấp 3 lần tuổi con năm ngoái. Vậy năm nay tuổi con là

A.
12 tuổi.
B.
13 tuổi.
C.
14 tuổi.
D.
15 tuổi.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi tuổi con hiện tại là x.

Lập phương trình.

Giải phương trình để tìm tuổi con. Kiểm tra kết quả.

Lời giải chi tiết :

Gọi tuổi của con hiện tại là x $(x > 1, x \in N *)$

Vì năm nay cha 39 tuổi và gấp 3 lần tuổi con năm ngoái nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} 3 (x - 1) = 39 \\ x - 1 = 13 \\ x = 14 (T M) \end{array}$

Vậy năm nay con 14 tuổi.

Đáp án C.

Câu 5 : Tiền lương cơ bản của An mỗi tháng là x (triệu đồng). Tiền phụ cấp mỗi tháng là 2 000 000 (đồng). Biểu thức biểu thị tiền lương mỗi tháng của An (bằng tổng tiền lương cơ bản và tiền phụ cấp; đơn vị là triệu đồng) là:

A.
$x + 2000000$ .
B.
$x + 200$ .
C.
$x - 2$ .
D.
$x + 2$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biểu diễn tiền lương mỗi tháng theo x.

Lời giải chi tiết :

Vì tiền lương mỗi tháng của An bằng tổng tiền lương cơ bản và tiền phụ cấp nên ta có biểu thức:

$x + 2$ (triệu đồng)

Đáp án D.

Câu 6 : Cho $Δ A B C ∽ Δ D E F$ biết AB = 4 cm; AC = 6 cm; BC = 10 cm và DE = 2 cm khi đó tỉ số đồng dạng bằng

A.
3.
B.
2.
C.
5.
D.
4.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra tỉ số dựa vào tỉ số các cạnh tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Vì $Δ A B C ∽ Δ D E F$ nên tỉ số đồng dạng là: $k = \frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F}$ hay $k = \frac{A B}{D E} = \frac{4}{2} = 2$ .

Đáp án B.

Câu 7 : Hãy chỉ ra cặp tam giác đồng dạng trong các tam giác sau

A.
Hình 1 và Hình 2.
B.
Hình 2 và Hình 3.
C.
Hình 1 và Hình 3.
D.
Đáp án A và C đều đúng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c.

Lời giải chi tiết :

Xét hình 1 và hình 2 có một góc $45^{0}$ , tỉ số hai cạnh kề góc dó là $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ nên hình 1 và hình 2 là hai tam giác đồng dạng.

Xét hình 1 và hình 2 có một góc $45^{0}$ , tỉ số hai cạnh kề góc dó là $\frac{4}{6} = \frac{2}{3} \neq \frac{2}{4}$ nên hình 1 và hình 3 không là hai tam giác đồng dạng.

Từ đó suy ra hình 2 và hình 3 cũng không đồng dạng.

Vậy A đúng.

Đáp án A.

Câu 8 : Cho $Δ G H I ∽ Δ F E I$ có các kính thước như hình vẽ, khi đó tỉ số độ dài của y và x bằng:

A.
$4$ .
B.
$\frac{2}{3}$ .
C.
$\frac{3}{2}$ .
D.
$6$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Từ hai tam giác đồng dạng suy ra tỉ số đồng dạng

Lời giải chi tiết :

Vì $Δ G H I ∽ Δ F E I$ nên $\frac{y}{x} = \frac{I F}{G I} = \frac{E F}{G H} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ .

Đáp án C.

Câu 9 : Cho hình vẽ

Khi đó các khẳng định sau

(1) $Δ M K N ∽ Δ P K M (g .g)$ .

(2) $Δ M K P ∽ Δ M N P (g .g)$ .

Hãy chọn đáp án đúng:

A.
Chỉ có (1) đúng.
B.
Chỉ có (2) đúng.
C.
(1) và (2) đều đúng.
D.
(1) và (2) đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác định xem $Δ M K N ∽ Δ P K M$ và $Δ M K P ∽ Δ M N P$ có đúng hay không.

Lời giải chi tiết :

$Δ M K N$ và $Δ P K M$ có $\hat{N}$ chung, $\hat{M} = \hat{K} = 90^{0}$ nên $Δ M K N ∽ Δ P K M$ (g.g) suy ra khẳng định (1) đúng.

Tương tự $Δ M K P ∽ Δ N M P$ (g.g). Khẳng định (2) không đúng vì các đỉnh của hai tam giác đồng dạng chưa được viết chính xác.

Vậy chỉ có khẳng định (1) đúng.

Đáp án A.

Câu 10 : Cho hình vẽ sau, biết $\hat{B} = \hat{D}, B C = 50 c m, A B = 40 c m, D E = 30 c m$ . Độ dài đoạn thẳng AD là:

A.
30cm.
B.
24cm.
C.
50cm.
D.
18cm.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ A D E$ suy ra tỉ số giữa các cạnh tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Xét $Δ A B C$ và $Δ A D E$ có:

$\hat{B} = \hat{D}$

$\hat{C A B} = \hat{E A D} (= 90^{0})$

Suy ra $Δ A B C ∽ Δ A D E$ (g.g) suy ra $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D E}$ hay $\frac{40}{50} = \frac{A D}{30}$ suy ra $A D = 30. \frac{40}{50} = 24$ (cm).

Đáp án B.

Câu 11 : Trong các hình đã học cặp hình nào sau đây luôn đồng dạng?

A.
Hình bình hành.
B.
Hình chữ nhật.
C.
Hình thoi.
D.
Hình vuông.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào đặc điểm của các hình để xác định.

Lời giải chi tiết :

Trong các hình trên chỉ có hình vuông là hình có các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau nên luôn đồng dạng.

Đáp án D.

Câu 12 : Trong hình dưới đây, hình b là hình a sau khi phóng to với kích thước k = 2. Nếu kích thước của hình a là 3 x 4 thì kích thước của hình b là:

A.
1,5 x 2.
B.
6 x 8.
C.
6 x 9.
D.
9 x 16.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào tỉ số k tính kích thước cạnh hình b.

Lời giải chi tiết :

Vì hình b là hình a sau khi phóng to với kích thước k = 2 nên cạnh của hình b gấp 2 lần cạnh của hình a.

Ta có: 3.2 = 6; 4.2 = 8

$\Rightarrow$ Kích thước hình b là 6 x 8.

Đáp án B.

Câu 1 : Giải các phương trình sau:

a) $2 x - 4 = 3 x + 1$

b) $7 (5 - x) = 11 - 5 x$

c) $\frac{5}{6} + \frac{x}{4} = 2 - \frac{x}{3}$

d) $\frac{2 (x + 1)}{3} = \frac{1 + 3 x}{5} + \frac{1}{2}$

Phương pháp giải :

a, b) Đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ để giải.

c, d) Quy đồng bỏ mẫu đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ để giải.

Lời giải chi tiết :

a) $2 x - 4 = 3 x + 1$

$\begin{array}{l} 2 x - 3 x = 1 + 4 \\ - x = 5 \\ x = - 5 \end{array}$

Vậy $x = - 5$ .

b) $7 (5 - x) = 11 - 5 x$

$\begin{array}{l} 35 - 7 x = 11 - 5 x \\ - 7 x + 5 x = 11 - 35 \\ - 2 x = - 24 \\ x = 12 \end{array}$

Vậy $x = 12$ .

c) $\frac{5}{6} + \frac{x}{4} = 2 - \frac{x}{3}$

$\begin{array}{l} \frac{10}{12} + \frac{3 x}{12} = \frac{24}{12} - \frac{4 x}{12} \\ 10 + 3 x = 24 - 4 x \\ 3 x + 4 x = 24 - 10 \\ 7 x = 14 \\ x = 2 \end{array}$

Vậy $x = 2$ .

d) $\frac{2 (x + 1)}{3} = \frac{1 + 3 x}{5} + \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \frac{10.2 (x + 1)}{30} = \frac{6 (1 + 3 x)}{30} + \frac{15}{30} \\ 20 (x + 1) = 6 (1 + 3 x) + 15 \\ 20 x + 20 = 6 + 18 x + 15 \\ 20 x - 18 x = 6 + 15 - 20 \\ 2 x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy $x = \frac{1}{2}$ .

Câu 2 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Có hai loại dung dịch muối I và II. Người ta hòa 200 gam dung dịch muối I với 300 gam dung dịch muối II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33%. Tính nồng độ muối trong dung dịch I và II, biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20%.

Phương pháp giải :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là x (%) (x > 0)

Biểu diễn nồng độ muối trong dung dịch II, khối lượng muối trong hai dung dịch theo x và lập phương trình (Sử dụng công thức $C % = \frac{m_{c t} .100 %}{m_{h h}}$ ).

Giải phương trình và kiểm tra nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là $x (%) (x > 0)$ .

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là:

$200. x % = 200 \frac{x}{100} = 2 x$ (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là $x - 20 (%)$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là:

$300. (x - 20) % = 300. \frac{x - 20}{100} = 3 (x - 20)$ (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là:

$2 x + 3 (x - 20)$ (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: $200 + 300 = 500$ (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: $\frac{2 x + 3 (x - 20)}{500} .100 % = 33 %$ hay $2 x + 3 (x - 20) = 165$

Giải phương trình ta được $x = 45$ (thỏa mãn).

Suy ra nồng độ muối trong dung dịch II là: $40 - 20 = 25 (%)$

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là 45% và 25%.

Câu 3 : Cho $Δ A B C$ vuông tại A có $A B = 6 c m$ và $A C = 8 c m$ . Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ C kẻ $C E ⊥ B D$ kẻ E.

a) Tính độ dài BC và tỉ số $\frac{A D}{D C}$ .

b) Chứng minh $Δ A B D ∽ Δ E B C$ . Từ đó suy ra $B D . E C = A D . B C$ .

c) Chứng minh $\frac{C D}{B C} = \frac{C E}{B E}$ .

d) Gọi EH là đường cao của $Δ E B C$ . Chứng minh $C H . C B = E D . E B$ .

Phương pháp giải :

a) Sử dụng định lí Pythagore để tính BC, sử dụng tính chất tia phân giác để tính $\frac{A D}{D C}$ .

b) Chứng minh $Δ A B D ∽ Δ E B C$ theo trường hợp góc – góc suy ra tỉ số các cạnh tương ứng.

c) Chứng minh $\frac{C D}{B C} = \frac{C E}{B E} = \frac{A D}{A B}$

d) Chứng minh $C H . C B = E D . E B = C E^{2}$

Lời giải chi tiết :

a) Áp dụng định lí Pythagore vào $Δ A B C$ vuông tại A, ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$

Suy ra $B C = \sqrt{100} = 10$ (cm).

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ta có:

$\frac{D A}{D C} = \frac{B A}{B C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

b) Theo đề bài, $C E ⊥ B D$ tại E nên $\hat{B E C} = 90^{0}$

Xét $Δ A B D$ và $Δ E B C$ có:

$\hat{B A D} = \hat{B E C} = 90^{0}$

$\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}$ (BD là tia phân giác của góc ABC)

Suy ra $Δ A B D ∽ Δ E B C$ (g.g) (đpcm)

Suy ra $\frac{B D}{A D} = \frac{B C}{E C}$ (tỉ số các cạnh tương ứng)

Do đó $B D . E C = A D . B C$ (đpcm)

c) Vì $\frac{D A}{D C} = \frac{B A}{B C}$ nên $\frac{C D}{B C} = \frac{A D}{A B}$ (1)

Vì $Δ A B D ∽ Δ E B C$ (cmt) nên $\frac{A D}{E C} = \frac{A B}{E B}$ suy ra $\frac{A D}{A B} = \frac{E C}{E B}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{C D}{B C} = \frac{C E}{B E}$ (đpcm)

d) Xét $Δ C H E$ và $Δ C E B$ có:

$\hat{C H E} = \hat{C E B} = 90^{0}$

$\hat{C}$ chung

Suy ra $Δ C H E ∽ Δ C E B$ (g.g) nên $\frac{C H}{C E} = \frac{C E}{C B}$ suy ra $C H . C B = C E^{2}$ (3)

Tương tự, $Δ C D E ∽ Δ B C E$ (g.g) nên $\frac{E D}{E C} = \frac{C E}{B E}$ suy ra $E D . E B = C E^{2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $C H . C B = E D . E B$ (đpcm)

Câu 4 : Chu vi của một mảnh vườn hình chữ nhật là 42 m. Biết chiều rộng ngắn hơn chiều dài 3 m. Tìm chiều dài của mảnh vườn.

Phương pháp giải :

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x.

Biểu thị chiều rộng mảnh vườn theo x và giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m), x > 3.

Chiều rộng của mảnh vườn là: x – 3 (m)

Vì chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là 42m nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} 2 [x + (x - 3)] = 42 \\ 2 x - 3 = 21 \\ 2 x = 24 \\ x = 12 (T M) \end{array}$

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 12 m.

Câu 5 : Cho $a_{1}; a_{2}; . . .; a_{2024}$ là 2024 số thực thỏa mãn $a_{k} = \frac{2 k + 1}{{(k^{2} + k)}^{2}}$ với $k \in {1; 2; . . .; 2024}$ .

Tính tổng $S_{2024} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{2024}$ .

Phương pháp giải :

Phân tích $a_{k} = \frac{2 k + 1}{{(k^{2} + k)}^{2}} = \frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{{(k + 1)}^{2}}$

Từ đó tính $S_{2024}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$a_{k} = \frac{2 k + 1}{{(k^{2} + k)}^{2}} = \frac{2 k + 1}{{[k (k + 1)]}^{2}} = \frac{{(k + 1)}^{2} - k^{2}}{k^{2} {(k + 1)}^{2}} = \frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{{(k + 1)}^{2}}$

Do đó:

$\begin{array}{l} S_{2024} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{2024} \\ = (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}}) + (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}) + (\frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}}) + . . . + (\frac{1}{2023^{2}} - \frac{1}{2024^{2}}) \\ = 1 - \frac{1}{2024^{2}} \\ = \frac{2024^{2} - 1}{2024^{2}} \end{array}$

Vậy $S_{2024} = \frac{2024^{2} - 1}{2024^{2}}$