Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 3 - Kết nối tri thức

Câu 1 : Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất một ẩn là

A.
$2 x + 1 = 0$ .
B.
$\frac{1}{x} + 2 = 0$ .
C.
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .
D.
$x^{2} - 1 = 0$ .

Câu 2 : Phương trình nào sau đây nhận $m = 2$ là nghiệm?

A.
$m - 2 = 0$ .
B.
$2 m = 0$ .
C.
$m + 2 = 0$ .
D.
$- m + 3 = 0$ .

Câu 3 : Đường thẳng $y = 3 x + 2023$ tạo với trục Ox một góc như thế nào?

A.
Góc nhọn
B.
Góc tù
C.
Góc vuông
D.
Góc bẹt

Câu 4 : Cho mặt phẳng tọa độ Oxy và điểm A (như hình vẽ).

Khi đó tọa độ của điểm A là:

A.
(1; -2).
B.
(2; 1).
C.
(1; 2).
D.
(2; -1).

Câu 5 : Một hộp có 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt: 2; 3; 4; 5. Chọn ngẫu nhiên một thẻ từ hộp, kết quả thuận lợi cho biến cố “Số ghi trên thẻ chia hết cho 5” là thẻ

A.
ghi số 2.
B.
ghi số 3.
C.
ghi số 4.
D.
ghi số 5.

Câu 6 : Bạn An gieo một con xúc xắc 50 lần và thống kê kết quả các lần gieo ở bảng sau:

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt số chấm là số nguyên tố” là

A.
$\frac{3}{5}$ .
B.

$\frac{9}{25}$ .
C.
$\frac{2}{5}$ .
D.
$\frac{1}{5}$ .

Câu 7 : Cục Rubik ở hình nào có dạng hình chóp tam giác đều?

A.
Hình 1.
B.
Hình 2.
C.
Hình 3.
D.
Hình 4.

Câu 8 : Kim tự tháp Louvre (xây dựng vào năm 1988). Người ta làm mô hình một kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Louvre. Mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều có chiều cao 21 m, độ dài cạnh đáy là 34 m. Tính thể tích của kim tự tháp Louvre?

A.
$24 276 m^{3}$ .
B.
$14 994 m^{3}$ .
C.
$8 092 m^{3}$ .
D.
$4 998 m^{3}$ .

Câu 9 : Cho hình vẽ

Khi đó các khẳng định sau

(1) $Δ M K N ∽ Δ P K M (g .g)$ .

(2) $Δ M K P ∽ Δ M N P (g .g)$ .

Hãy chọn đáp án đúng:

A.
Chỉ có (1) đúng.
B.
Chỉ có (2) đúng.
C.
(1) và (2) đều đúng.
D.
(1) và (2) đều sai.

Câu 10 : Cho hình vẽ sau, biết $\hat{B} = \hat{D}, B C = 50 c m, A B = 40 c m, D E = 30 c m$ . Độ dài đoạn thẳng AD là:

A.
30cm.
B.
24cm.
C.
50cm.
D.
18cm.

Câu 11 : Trong các hình đã học cặp hình nào sau đây luôn đồng dạng?

A.
Hình bình hành.
B.
Hình chữ nhật.
C.
Hình thoi.
D.
Hình vuông.

Câu 12 : Trong hình dưới đây, hình b là hình a sau khi phóng to với kích thước k = 2. Nếu kích thước của hình a là 3 x 4 thì kích thước của hình b là:

A.
1,5 x 2.
B.
6 x 8.
C.
6 x 9.
D.
9 x 16.

Câu 1 : a) Giải phương trình $\frac{2 (x + 1)}{3} = \frac{1 + 3 x}{4} + \frac{1}{2}$ .

b) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1.

c) Cho hàm số bậc nhất $y = a x + b (a \neq 0)$ . Tìm các hệ số a và b, biết rằng khi x = 0 thì y = 5 và khi x = 2 thì y = 3.

Câu 2 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Có hai loại dung dịch muối I và II. Người ta hòa 200 gam dung dịch muối I với 300 gam dung dịch muối II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33%. Tính nồng độ muối trong dung dịch I và II, biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20%.

Câu 3 : 1. Một cái lều ở trại hè của học sinh có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là 2,24m và cạnh đáy bằng 2m. Tính diện tích vải bạt cần thiết để dựng lều (không tính đến đường viền, nếp gấp), biết lều này không có đáy.

2. Cho tam giác ANE vuông tại A có đường cao AB.

a) Chứng minh $Δ A N E ∽ Δ B E A$ .

b) Chứng minh $A N^{2} = N B . N E$ .

c) Cho $A N = 15 c m, N E = 25 c m$ . Tia phân giác của góc N cắt cạnh AB tại I. Tính NI?

Câu 4 : Tỉ lệ học sinh nam của lớp 8A là 60%, tổng số bạn lớp 8A là 40. Ngẫu nhiên gặp 1 thành viên nữ. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Gặp một học sinh nữ của lớp”?

Câu 5 : Cho $a_{1}; a_{2}; . . .; a_{2024}$ là 2024 số thực thỏa mãn $a_{k} = \frac{2 k + 1}{{(k^{2} + k)}^{2}}$ với $k \in {1; 2; . . .; 2024}$ .

Tính tổng $S_{2024} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{2024}$ .

Câu 1 : Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất một ẩn là

A.
$2 x + 1 = 0$ .
B.
$\frac{1}{x} + 2 = 0$ .
C.
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .
D.
$x^{2} - 1 = 0$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $a x + b = 0$ với $a \neq 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình $2 x + 1 = 0$ .

Đáp án A.

Câu 2 : Phương trình nào sau đây nhận $m = 2$ là nghiệm?

A.
$m - 2 = 0$ .
B.
$2 m = 0$ .
C.
$m + 2 = 0$ .
D.
$- m + 3 = 0$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay m = 2 vào phương trình để xác định.

Lời giải chi tiết :

Ta có: 2 – 2 = 0 nên phương trình m – 2 nhận m = 2 là nghiệm.

Đáp án A.

Câu 3 : Đường thẳng $y = 3 x + 2023$ tạo với trục Ox một góc như thế nào?

A.
Góc nhọn
B.
Góc tù
C.
Góc vuông
D.
Góc bẹt

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng $y = a x + b$ và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $90^{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì 3 > 0 nên đường thẳng $y = 3 x + 2023$ tạo với trục Ox một góc nhọn.

Đáp án A.

Câu 4 : Cho mặt phẳng tọa độ Oxy và điểm A (như hình vẽ).

Khi đó tọa độ của điểm A là:

A.
(1; -2).
B.
(2; 1).
C.
(1; 2).
D.
(2; -1).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị để trả lời.

Lời giải chi tiết :

Tọa độ của điểm A là (1; 2).

Đáp án C.

Câu 5 : Một hộp có 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt: 2; 3; 4; 5. Chọn ngẫu nhiên một thẻ từ hộp, kết quả thuận lợi cho biến cố “Số ghi trên thẻ chia hết cho 5” là thẻ

A.
ghi số 2.
B.
ghi số 3.
C.
ghi số 4.
D.
ghi số 5.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xác định kết quả thuận lợi cho biến cố.

Lời giải chi tiết :

Vì chỉ có $5 ⋮ 5$ nên kết quả thuận lợi cho biến cố “Số ghi trên thẻ chia hết cho 5” là thẻ ghi số 5.

Đáp án D.

Câu 6 : Bạn An gieo một con xúc xắc 50 lần và thống kê kết quả các lần gieo ở bảng sau:

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt số chấm là số nguyên tố” là

A.
$\frac{3}{5}$ .
B.

$\frac{9}{25}$ .
C.
$\frac{2}{5}$ .
D.
$\frac{1}{5}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính số lần xuất hiện mặt chấm là số nguyên tố.

Tính xác suất thực nghiệm của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với tổng số kết quả.

Lời giải chi tiết :

Các số nguyên tố là 2; 3; 5.

Số lần xuất hiện mặt chấm là số nguyên tố là:

8 + 6 + 4 = 18

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt số chấm là số nguyên tố” là:

$\frac{18}{50} = \frac{9}{25}$

Đáp án B.

Câu 7 : Cục Rubik ở hình nào có dạng hình chóp tam giác đều?

A.
Hình 1.
B.
Hình 2.
C.
Hình 3.
D.
Hình 4.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tam giác đều.

Lời giải chi tiết :

Cục Rubik có dạng hình chóp tam giác đều là Hình 1.

Đáp án A.

Câu 8 : Kim tự tháp Louvre (xây dựng vào năm 1988). Người ta làm mô hình một kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Louvre. Mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều có chiều cao 21 m, độ dài cạnh đáy là 34 m. Tính thể tích của kim tự tháp Louvre?

A.
$24 276 m^{3}$ .
B.
$14 994 m^{3}$ .
C.
$8 092 m^{3}$ .
D.
$4 998 m^{3}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều.

Lời giải chi tiết :

Thể tích của kim tự tháp Louvre là:

$V = \frac{1}{3} {.34}^{2} .21 = 8 092 (m^{3})$ .

Đáp án C.

Câu 9 : Cho hình vẽ

Khi đó các khẳng định sau

(1) $Δ M K N ∽ Δ P K M (g .g)$ .

(2) $Δ M K P ∽ Δ M N P (g .g)$ .

Hãy chọn đáp án đúng:

A.
Chỉ có (1) đúng.
B.
Chỉ có (2) đúng.
C.
(1) và (2) đều đúng.
D.
(1) và (2) đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác định xem $Δ M K N ∽ Δ P K M$ và $Δ M K P ∽ Δ M N P$ có đúng hay không.

Lời giải chi tiết :

$Δ M K N$ và $Δ P K M$ có $\hat{N}$ chung, $\hat{M} = \hat{K} = 90^{0}$ nên $Δ M K N ∽ Δ P K M$ (g.g) suy ra khẳng định (1) đúng.

Tương tự $Δ M K P ∽ Δ N M P$ (g.g). Khẳng định (2) không đúng vì các đỉnh của hai tam giác đồng dạng chưa được viết chính xác.

Vậy chỉ có khẳng định (1) đúng.

Đáp án A.

Câu 10 : Cho hình vẽ sau, biết $\hat{B} = \hat{D}, B C = 50 c m, A B = 40 c m, D E = 30 c m$ . Độ dài đoạn thẳng AD là:

A.
30cm.
B.
24cm.
C.
50cm.
D.
18cm.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ A D E$ suy ra tỉ số giữa các cạnh tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Xét $Δ A B C$ và $Δ A D E$ có:

$\hat{B} = \hat{D}$

$\hat{C A B} = \hat{E A D} (= 90^{0})$

Suy ra $Δ A B C ∽ Δ A D E$ (g.g) suy ra $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D E}$ hay $\frac{40}{50} = \frac{A D}{30}$ suy ra $A D = 30. \frac{40}{50} = 24$ (cm).

Đáp án B.

Câu 11 : Trong các hình đã học cặp hình nào sau đây luôn đồng dạng?

A.
Hình bình hành.
B.
Hình chữ nhật.
C.
Hình thoi.
D.
Hình vuông.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào đặc điểm của các hình để xác định.

Lời giải chi tiết :

Trong các hình trên chỉ có hình vuông là hình có các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau nên luôn đồng dạng.

Đáp án D.

Câu 12 : Trong hình dưới đây, hình b là hình a sau khi phóng to với kích thước k = 2. Nếu kích thước của hình a là 3 x 4 thì kích thước của hình b là:

A.
1,5 x 2.
B.
6 x 8.
C.
6 x 9.
D.
9 x 16.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào tỉ số k tính kích thước cạnh hình b.

Lời giải chi tiết :

Vì hình b là hình a sau khi phóng to với kích thước k = 2 nên cạnh của hình b gấp 2 lần cạnh của hình a.

Ta có: 3.2 = 6; 4.2 = 8

$\Rightarrow$ Kích thước hình b là 6 x 8.

Đáp án B.

Câu 1 : a) Giải phương trình $\frac{2 (x + 1)}{3} = \frac{1 + 3 x}{4} + \frac{1}{2}$ .

b) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1.

c) Cho hàm số bậc nhất $y = a x + b (a \neq 0)$ . Tìm các hệ số a và b, biết rằng khi x = 0 thì y = 5 và khi x = 2 thì y = 3.

Phương pháp giải :

a) Đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ để giải.

b) Lấy hai điểm thuộc đồ thị hàm số và vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

c) Thay các giá trị x và y đã cho vào hàm số để tìm a, b.

Lời giải chi tiết :

a) $\frac{2 (x + 1)}{3} = \frac{1 + 3 x}{5} + \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \frac{10.2 (x + 1)}{30} = \frac{6 (1 + 3 x)}{30} + \frac{15}{30} \\ 20 (x + 1) = 6 (1 + 3 x) + 15 \\ 20 x + 20 = 6 + 18 x + 15 \\ 20 x - 18 x = 6 + 15 - 20 \\ 2 x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy $x = \frac{1}{2}$ .

b) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1:

- Cho x = 0 thì y = 2.0 – 1 = -1, ta được điểm $A (0; - 1)$ thuộc đồ thị hàm số.

- Cho y = 0 thì 0 = 2x – 1 suy ra x = $\frac{1}{2}$ ta được điểm $B (\frac{1}{2}; 0)$ thuộc đồ thị hàm số.

Đường thẳng AB chính là đồ thị hàm số y = 2x – 1.

c) Ta có:

+ Khi x = 0 thì y = 5, thay vào hàm số $y = a x + b (a \neq 0)$ ta được:

$5 = a .0 + b$ hay $b = 5$ .

Hàm số bậc nhất cần tìm trở thành $y = a x + 5$ .

+ Khi x = 2 thì y = 3, thay vào hàm số $y = a x + 5$ ta được:

$3 = 2. a + 5$ hay $a = - 1$ .

Vậy hệ số $a = - 1$ và $b = 5$ .

Câu 2 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Có hai loại dung dịch muối I và II. Người ta hòa 200 gam dung dịch muối I với 300 gam dung dịch muối II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33%. Tính nồng độ muối trong dung dịch I và II, biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20%.

Phương pháp giải :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là x (%) (x > 0)

Biểu diễn nồng độ muối trong dung dịch II, khối lượng muối trong hai dung dịch theo x và lập phương trình (Sử dụng công thức $C % = \frac{m_{c t} .100 %}{m_{h h}}$ ).

Giải phương trình và kiểm tra nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là $x (%) (x > 0)$ .

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là:

$200. x % = 200 \frac{x}{100} = 2 x$ (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là $x - 20 (%)$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là:

$300. (x - 20) % = 300. \frac{x - 20}{100} = 3 (x - 20)$ (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là:

$2 x + 3 (x - 20)$ (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: $200 + 300 = 500$ (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: $\frac{2 x + 3 (x - 20)}{500} .100 % = 33 %$ hay $2 x + 3 (x - 20) = 165$

Giải phương trình ta được $x = 45$ (thỏa mãn).

Suy ra nồng độ muối trong dung dịch II là: $40 - 20 = 25 (%)$

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là 45% và 25%.

Câu 3 : 1. Một cái lều ở trại hè của học sinh có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là 2,24m và cạnh đáy bằng 2m. Tính diện tích vải bạt cần thiết để dựng lều (không tính đến đường viền, nếp gấp), biết lều này không có đáy.

2. Cho tam giác ANE vuông tại A có đường cao AB.

a) Chứng minh $Δ A N E ∽ Δ B E A$ .

b) Chứng minh $A N^{2} = N B . N E$ .

c) Cho $A N = 15 c m, N E = 25 c m$ . Tia phân giác của góc N cắt cạnh AB tại I. Tính NI?

Phương pháp giải :

1. Số bạt cần thiết để dựng lều chính là diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của chóp tứ giác đều.

2. a) Chứng minh $Δ A N E ∽ Δ B E A$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $Δ A N B ∽ Δ E N A$ (g.g) suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau suy ra $A N^{2} = N E . N B$ .

c) Dựa vào $A N^{2} = N E . N B$ để tính NB.

Áp dụng định lí Pythagore vào $Δ A N B$ để tính AB.

Áp dụng tính chất tia phân giác để tính BI suy ra BI.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $Δ B I N$ để tính NI.

Lời giải chi tiết :

1.

Gọi hình mô tả của cái lều là hình chóp S.ABCD (như hình vẽ).

Diện tích vải lều (diện tích xung quanh của chiếc lều) là:

$S_{x q} = \frac{4.2}{2} .2, 24 = 8, 96 (m^{2})$

Vậy diện tích vải bạt cần thiết để dựng lều là $8, 96 m^{2}$ .

2.

a) Xét $Δ A N E$ và $Δ B E A$ có:

$\hat{N A E} = \hat{E B A} = 90^{0}$

$\hat{E}$ chung

Suy ra $Δ A N E ∽ Δ B E A$ (g.g). (đpcm)

b) Xét $Δ A N B$ và $Δ E N A$ có:

$\hat{A B N} = \hat{E A N} = 90^{0}$

$\hat{N}$ chung

Suy ra $Δ A N B ∽ Δ E N A$ (g.g).

Suy ra $\frac{A N}{N B} = \frac{N E}{A N}$ hay $A N^{2} = N E . N B$ (đpcm).

c) Thay $A N = 15 c m, N E = 25 c m$ vào $A N^{2} = N E . N B$ (cmt), ta được:

$15^{2} = 25. N B$ suy ra $N B = \frac{15^{2}}{25} = 9 (c m)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ANB vuông tại B, ta có:

$A B^{2} = A N^{2} - N B^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144$ suy ra $A B = \sqrt{144} = 12 (c m)$

NI là tia phân giác của góc ANB nên ta có:

$\frac{A N}{N B} = \frac{A I}{I B}$ hay $\frac{A N}{A I} = \frac{B N}{B I}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{A N}{A I} = \frac{B N}{B I} = \frac{A N + B N}{A I + B I} = \frac{15 + 9}{A B} = \frac{24}{12} = 2$

Suy ra $B I = \frac{B N}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5 (c m)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BIN ta có:

$N I = \sqrt{B N^{2} + B I^{2}} = \sqrt{9^{2} + 4, 5^{2}} = \frac{9 \sqrt{5}}{2} (c m)$

Vậy $N I = \frac{9 \sqrt{5}}{2} c m$ .

Câu 4 : Tỉ lệ học sinh nam của lớp 8A là 60%, tổng số bạn lớp 8A là 40. Ngẫu nhiên gặp 1 thành viên nữ. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Gặp một học sinh nữ của lớp”?

Phương pháp giải :

Tính số học sinh nữ của lớp.

Tính xác suất thực nghiệm của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với tổng số kết quả.

Lời giải chi tiết :

Số học sinh nam của lớp là:

$60 % .40 = 24$ (học sinh)

Số học sinh nữ của lớp là:

40 – 24 = 16 (học sinh)

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gặp một học sinh nữ của lớp” là: $\frac{16}{40} = \frac{2}{5}$ .

Câu 5 : Cho $a_{1}; a_{2}; . . .; a_{2024}$ là 2024 số thực thỏa mãn $a_{k} = \frac{2 k + 1}{{(k^{2} + k)}^{2}}$ với $k \in {1; 2; . . .; 2024}$ .

Tính tổng $S_{2024} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{2024}$ .

Phương pháp giải :

Phân tích $a_{k} = \frac{2 k + 1}{{(k^{2} + k)}^{2}} = \frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{{(k + 1)}^{2}}$

Từ đó tính $S_{2024}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$a_{k} = \frac{2 k + 1}{{(k^{2} + k)}^{2}} = \frac{2 k + 1}{{[k (k + 1)]}^{2}} = \frac{{(k + 1)}^{2} - k^{2}}{k^{2} {(k + 1)}^{2}} = \frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{{(k + 1)}^{2}}$

Do đó:

$\begin{array}{l} S_{2024} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{2024} \\ = (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}}) + (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}) + (\frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}}) + . . . + (\frac{1}{2023^{2}} - \frac{1}{2024^{2}}) \\ = 1 - \frac{1}{2024^{2}} \\ = \frac{2024^{2} - 1}{2024^{2}} \end{array}$

Vậy $S_{2024} = \frac{2024^{2} - 1}{2024^{2}}$