Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 liên trường THPT Nghệ An

Câu 1 : Trong không gian Oxyz cho $\to a = \to i - 2 \to j + 3 \to k$ . Tọa độ của $\to a$ là

A.

(1; -2; 3).
B.

(3; -2; 1).
C.

(-1; 2; 3).
D.

(-1; 2; -3).

Câu 2 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ trên đoạn [0; 2] bằng

A.

2.
B.

-2.
C.

4.
D.

3.

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\to u = (1; 2; - 2)$ và $\to v = (2; - 2; 3)$ . Tọa độ của vectơ $\to u - \to v$ là

A.

(-5; 4; -1).
B.

(1; -4; 5).
C.

(3; 0; 1).
D.

(-1; 4; -5).

Câu 4 : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = 2$ , $u_{3} = 6$ . Khi đó số hạng thứ 4 của cấp số nhân đó là:

A.

$u_{4} = 18$ .
B.

$u_{4} = - 18$ .
C.

$u_{4} = 72$ .
D.

$u_{4} = 12$ .

Câu 5 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' vectơ nào sau đây bằng vectơ $- - \to A B$ ?

A.

$- -- \to B^{'} A^{'}$ .
B.

$- -- \to D^{'} C^{'}$ .
C.

$- - \to C D$ .
D.

$- - \to B C$ .

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên được như sau:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

$(1; + \infty)$ .
B.

$(- 2; 1)$ .
C.

$(- 2; 3)$ .
D.

$(- \infty; - 2)$ .

Câu 7 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên $R ∖ {- 1}$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình:

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A.

0.
B.

2.
C.

1.
D.

3.

Câu 8 : Phương trình $cos x = 1$ có các nghiệm là:

A.

$x = k 2 π$ với $k \in Z$ .
B.

$x = \frac{π}{2} + k 2 π$ và $x = - \frac{π}{2} + k 2 π$ với $k \in Z$ .
C.

$x = π + k 2 π$ với $k \in Z$ .
D.

$x = \frac{π}{2} + k 2 π$ với $k \in Z$ .

Câu 9 : Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

A.

$y = - x^{4} + 3 x + 1$ .
B.

$y = x^{3} - 3 x + 1$ .
C.

$y = - x^{2} + 3 x + 1$ .
D.

$y = - x^{3} + 3 x + 1$ .

Câu 10 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:

Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) là:

A.

1.
B.

5.
C.

0.
D.

-3.

Câu 11 : Phương trình ${log}_{2} (3 x - 1) = 3$ có nghiệm là:

A.

$x = \frac{7}{3}$ .
B.

$x = \frac{8}{3}$ .
C.

$x = 3$ .
D.

$x = \frac{10}{3}$ .

Câu 12 : Bảng điểm bài kiểm tra môn Toán của lớp 10A được cho ở bảng sau:

Số trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các nhóm dưới đây?

A.

[6; 8).
B.

[8; 10).
C.

[4; 6).
D.

[2; 4).

Câu 1 : Trang trại nhà Ông A chuyên sản xuất các loại thực phẩm cho nhà hàng của ông B. Hai ông thỏa thuận rằng, hằng ngày ông A cung cấp cho B số lượng thực phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 kg thực phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x kg thực phẩm thì giá bán cho mỗi kg được biểu diễn bởi công thức: $P (x) = 30 - \frac{1}{1000} x^{2}$ (ngàn đồng). Chi phí để ông A sản xuất x kg sản phẩm là C(x) = 200 + 15x (ngàn đồng). Khi đó:

a) Chi phí sản xuất 100 kg thực phẩm là 350 ngàn đồng.

Đúng

Sai

b) Số tiền thu được khi bán 100 kg thực phẩm cho nhà hàng ông B là 200 ngàn đồng.

Đúng

Sai

c) Lợi nhuận ông A thu được khi bán x kg $x \in (0; 100)$ thực phẩm cho ông B là L(x) = xP(x) - C(x).

Đúng

Sai

d) Lợi nhuận lớn nhất mà ông A có được trong 1 ngày là 507 ngàn đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x + b}{c x - 1}$ (với a, b, c là các số thực) có đồ thị được cho ở hình:

a) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = 1 và một đường tiệm cận ngang y = -1.

Đúng

Sai

b) Giá trị của a + 2b - 3c = 5.

Đúng

Sai

c) Đạo hàm của f'(x) < 0 với mọi số $x \in R ∖ {1}$ .

Đúng

Sai

d) M, N là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị. Khi đó MN ngắn nhất bằng $\sqrt{10}$ .

Đúng

Sai

Câu 3 : Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên được cho như bảng sau:

a) f(2025) > f(2026).

Đúng

Sai

b) Hàm số đạt cực đại tại x = 3.

Đúng

Sai

c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên $(- \infty; 3]$ bằng 0.

Đúng

Sai

d) Trong bốn hệ số a, b, c, d chỉ có hệ số b nhận giá trị âm.

Đúng

Sai

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ ABC'.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6, cạnh bên có độ dài bằng 5. Gốc tọa độ O là trung điểm cạnh AC, các điểm B, C, A' theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz như hình.

a) Gọi M là trung điểm BC, E là trung điểm A'B' khi đó tọa độ $- - \to M E = (0; 0; - 4)$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ điểm $B (3 \sqrt{3}; 0; 0)$ .

Đúng

Sai

c) $cos (- - \to A^{'} B, - - \to B C) > 0$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng ME với AA' bằng $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Bạn Tiến làm một bài kiểm tra gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 0,5 điểm. Bạn ấy đã làm đúng 15 câu, trong những câu còn lại có 2 câu bạn ấy đã loại được một phương án sai. Do quá sát giờ nộp bài nên bạn ấy đã trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn Tiến được 9 điểm. (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt tại điểm M(1; 2; 3) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(3; 6; -12). Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 2 thuộc mặt phẳng (Oxy) bắt đầu xuất phát đi thẳng theo hướng vecto $⃗ j = (0; 1; 0)$ với tốc độ không đổi v = 5 (cm/s). Tính khoảng thời gian mà trong quá trình di chuyển tấm bìa đã che khuất tầm nhìn của người quan sát. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. (Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 cm).

Câu 3 : Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại trong một ngày của mỗi học sinh trong lớp học có 42 học sinh thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Biết thời gian sử dụng điện thoại trung bình của lớp trên là 40 phút. Hỏi lớp học trên có nhiều nhất bao nhiêu bạn có thời gian sử dụng điện thoại dưới mức trung bình của lớp.

Câu 4 : Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = (x^{2} + x + 1) e^{- x}$ trên đoạn [-1; 0] (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 5 : Người ta bơm xăng vào bình xăng của một chiếc xe ô tô. Biết thể tích V (lít) của xăng được bơm vào bình phụ thuộc theo thời gian t (phút) được cho bởi công thức $V (t) = \frac{35}{4} (3 t - t^{2} + t^{3}) + 4$ với $0 \leq t \leq 1$ . Gọi V'(t) là tốc độ bơm của xăng vào bình. Xác định thể tích (lít) của xăng trong bình tại thời điểm mà tốc độ bơm đạt nhỏ nhất (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác đều và SCD là tam giác vuông cân tại đỉnh S. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1 : Trong không gian Oxyz cho $\to a = \to i - 2 \to j + 3 \to k$ . Tọa độ của $\to a$ là

A.

(1; -2; 3).
B.

(3; -2; 1).
C.

(-1; 2; 3).
D.

(-1; 2; -3).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$\to a (x; y; z) \Leftrightarrow \to a = x \to i + y \to j + z \to k$ .

Lời giải chi tiết :

$\to a = \to i - 2 \to j + 3 \to k = (1; - 2; 3)$ .

Câu 2 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ trên đoạn [0; 2] bằng

A.

2.
B.

-2.
C.

4.
D.

3.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a; b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc đoạn [a; b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a; b]. Tức là tính các giá trị $f (a), f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (b)$ .

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a; b].

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 x = \pm 1 \end{matrix}$

Xét trên đoạn [0; 2]: f(0) = 3, f(1) = 2, f(2) = 11.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 2] là 2.

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\to u = (1; 2; - 2)$ và $\to v = (2; - 2; 3)$ . Tọa độ của vectơ $\to u - \to v$ là

A.

(-5; 4; -1).
B.

(1; -4; 5).
C.

(3; 0; 1).
D.

(-1; 4; -5).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$\to a - \to b = (x_{a} - x_{b}; y_{a} - y_{b}; z_{a} - z_{b})$ .

Lời giải chi tiết :

$\to u - \to v = (1 - 2; 2 + 2; - 2 - 3) = (- 1; 4; - 5)$ .

Câu 4 : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = 2$ , $u_{3} = 6$ . Khi đó số hạng thứ 4 của cấp số nhân đó là:

A.

$u_{4} = 18$ .
B.

$u_{4} = - 18$ .
C.

$u_{4} = 72$ .
D.

$u_{4} = 12$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của cấp số nhân: ${u_{n}}^{2} = u_{n - 1} u_{n + 1}$ $(n \geq 2)$ .

Lời giải chi tiết :

$u_{2} u_{4} = {u_{3}}^{2} \Leftrightarrow u_{4} = \frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}} = \frac{6^{2}}{2} = 18$ .

Câu 5 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' vectơ nào sau đây bằng vectơ $- - \to A B$ ?

A.

$- -- \to B^{'} A^{'}$ .
B.

$- -- \to D^{'} C^{'}$ .
C.

$- - \to C D$ .
D.

$- - \to B C$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hai vecto bằng nhau là hai vecto có cùng hướng và độ dài.

Lời giải chi tiết :

$- - \to A B = - -- \to D^{'} C^{'}$ vì chúng có cùng hướng và độ dài.

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên được như sau:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

$(1; + \infty)$ .
B.

$(- 2; 1)$ .
C.

$(- 2; 3)$ .
D.

$(- \infty; - 2)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng f(x) liên tục và f’(x) > 0.

Lời giải chi tiết :

Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 1).

Câu 7 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên $R ∖ {- 1}$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình:

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A.

0.
B.

2.
C.

1.
D.

3.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng $y = y_{0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

$lim x \to + \infty f (x) = y_{0}$ hoặc $lim x \to - \infty f (x) = y_{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Quan sát bảng biến thiên, thấy $lim x \to - \infty f (x) = 2$ và $lim x \to + \infty f (x) = - 1$ .

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.

Câu 8 : Phương trình $cos x = 1$ có các nghiệm là:

A.

$x = k 2 π$ với $k \in Z$ .
B.

$x = \frac{π}{2} + k 2 π$ và $x = - \frac{π}{2} + k 2 π$ với $k \in Z$ .
C.

$x = π + k 2 π$ với $k \in Z$ .
D.

$x = \frac{π}{2} + k 2 π$ với $k \in Z$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết :

$cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π$ với $k \in Z$ .

Câu 9 : Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

A.

$y = - x^{4} + 3 x + 1$ .
B.

$y = x^{3} - 3 x + 1$ .
C.

$y = - x^{2} + 3 x + 1$ .
D.

$y = - x^{3} + 3 x + 1$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào hình dạng đồ thị.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên đây là đồ thị của hàm số bậc ba.

Thấy $lim x \to + \infty y = - \infty \Rightarrow$ Hệ số của $x^{3}$ nhỏ hơn 0.

Câu 10 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:

Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) là:

A.

1.
B.

5.
C.

0.
D.

-3.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) là 0.

Câu 11 : Phương trình ${log}_{2} (3 x - 1) = 3$ có nghiệm là:

A.

$x = \frac{7}{3}$ .
B.

$x = \frac{8}{3}$ .
C.

$x = 3$ .
D.

$x = \frac{10}{3}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

${log}_{a} f (x) = b \Leftrightarrow {\begin{matrix} f (x) > 0 f (x) = a^{b} \end{matrix}$

Lời giải chi tiết :

${log}_{2} (3 x - 1) = 3 \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 x - 1 > 0 3 x - 1 = 2^{3} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x > \frac{1}{3} x = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow x = 3$ .

Câu 12 : Bảng điểm bài kiểm tra môn Toán của lớp 10A được cho ở bảng sau:

Số trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các nhóm dưới đây?

A.

[6; 8).
B.

[8; 10).
C.

[4; 6).
D.

[2; 4).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Gọi n là cỡ mẫu. Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Tổng số học sinh: n = 0 + 2 + 10 + 18 + 10 = 40.

Ta có $2 + 10 < \frac{40}{2} < 2 + 10 + 18$ nên trung vị thuộc khoảng [6; 8).

Câu 1 : Trang trại nhà Ông A chuyên sản xuất các loại thực phẩm cho nhà hàng của ông B. Hai ông thỏa thuận rằng, hằng ngày ông A cung cấp cho B số lượng thực phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 kg thực phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x kg thực phẩm thì giá bán cho mỗi kg được biểu diễn bởi công thức: $P (x) = 30 - \frac{1}{1000} x^{2}$ (ngàn đồng). Chi phí để ông A sản xuất x kg sản phẩm là C(x) = 200 + 15x (ngàn đồng). Khi đó:

a) Chi phí sản xuất 100 kg thực phẩm là 350 ngàn đồng.

Đúng

Sai

b) Số tiền thu được khi bán 100 kg thực phẩm cho nhà hàng ông B là 200 ngàn đồng.

Đúng

Sai

c) Lợi nhuận ông A thu được khi bán x kg $x \in (0; 100)$ thực phẩm cho ông B là L(x) = xP(x) - C(x).

Đúng

Sai

d) Lợi nhuận lớn nhất mà ông A có được trong 1 ngày là 507 ngàn đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Chi phí sản xuất 100 kg thực phẩm là 350 ngàn đồng.

Đúng

Sai

b) Số tiền thu được khi bán 100 kg thực phẩm cho nhà hàng ông B là 200 ngàn đồng.

Đúng

Sai

c) Lợi nhuận ông A thu được khi bán x kg $x \in (0; 100)$ thực phẩm cho ông B là L(x) = xP(x) - C(x).

Đúng

Sai

d) Lợi nhuận lớn nhất mà ông A có được trong 1 ngày là 507 ngàn đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức: Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.

Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN của hàm lợi nhuận.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Chi phí sản xuất 100 kg thực phẩm:

C(100) = 200 + 15.100 = 1 700 (ngàn đồng).

b) Sai. Số tiền thu được khi bán 100 kg thực phẩm cho nhà hàng ông B:

$100. P (100) = 100 (30 - \frac{1}{1000} {.100}^{2}) \approx 2360$ (ngàn đồng).

c) Đúng. Lợi nhuận ông A thu được khi bán x kg $x \in (0; 100)$ thực phẩm cho ông B là L(x) = xP(x) - C(x).

d) Đúng. $L (x) = x P (x) - C (x)$

$= x (30 - \frac{1}{1000} x^{2}) - (200 + 15 x) = - \frac{1}{1000} x^{3} + 15 x - 200$ .

Xét trên [0; 100]: $L^{'} (x) = - \frac{3}{1000} x^{2} + 15 = 0 \Leftrightarrow x = 50 \sqrt{2}$ .

L(0) = -200; $L (50 \sqrt{2}) \approx 507$ ; L(100) = 300.

Vậy lợi nhuận lớn nhất ông A có được trong 1 ngày là 507 ngàn đồng.

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x + b}{c x - 1}$ (với a, b, c là các số thực) có đồ thị được cho ở hình:

a) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = 1 và một đường tiệm cận ngang y = -1.

Đúng

Sai

b) Giá trị của a + 2b - 3c = 5.

Đúng

Sai

c) Đạo hàm của f'(x) < 0 với mọi số $x \in R ∖ {1}$ .

Đúng

Sai

d) M, N là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị. Khi đó MN ngắn nhất bằng $\sqrt{10}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = 1 và một đường tiệm cận ngang y = -1.

Đúng

Sai

b) Giá trị của a + 2b - 3c = 5.

Đúng

Sai

c) Đạo hàm của f'(x) < 0 với mọi số $x \in R ∖ {1}$ .

Đúng

Sai

d) M, N là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị. Khi đó MN ngắn nhất bằng $\sqrt{10}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Nhìn đồ thị xác định các đường tiệm cận, các điểm thuộc đồ thị để tìm công thức hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = 1 và một đường tiệm cận ngang y = -1.

b) Sai. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, suy ra $\frac{b}{- 1} = - 2 \Leftrightarrow b = 2$ .

Đồ thị có tiệm cận đứng $x = 1 \Leftrightarrow c .1 - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1$ .

Đồ thị có tiệm cận ngang $y = - 1 \Leftrightarrow \frac{a}{c} = - 1 \Leftrightarrow a = - 1. c = - 1.1 = - 1$ .

Vậy a + 2b – 3c = -1 + 2.2 – 3.1 = 0.

c) Sai. Đạo hàm của f(x) < 0 với mọi số $x \in R ∖ {1}$ .

d) Sai. Tâm đối xứng của đồ thị là I(1; -1).

MN ngắn nhất khi I là trung điểm của MN và M, N cùng nằm trên đường phân giác d của góc tạo bởi hai đường tiệm cận (d cắt đồ thị hàm số).

Đường thẳng d: y = px + q tạo với Ox góc $45^{o}$ nên hệ số góc của d là $p = tan 45^{o} = 1$ .

Đường thẳng d đi qua I(1; -1) nên $- 1 = 1.1 + q \Leftrightarrow q = - 2$ .

Vậy d: y = x – 2. Phương trình hoành độ giao điểm của d với đồ thị hàm số:

$x - 2 = \frac{- x + 2}{x - 1} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 x = 2 \end{matrix} \Rightarrow$ M(0; -2) và N(2; 0).

$M N = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(0 + 2)}^{2}} = 2 \sqrt{2}$ .

Câu 3 : Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên được cho như bảng sau:

a) f(2025) > f(2026).

Đúng

Sai

b) Hàm số đạt cực đại tại x = 3.

Đúng

Sai

c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên $(- \infty; 3]$ bằng 0.

Đúng

Sai

d) Trong bốn hệ số a, b, c, d chỉ có hệ số b nhận giá trị âm.

Đúng

Sai

Đáp án

a) f(2025) > f(2026).

Đúng

Sai

b) Hàm số đạt cực đại tại x = 3.

Đúng

Sai

c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên $(- \infty; 3]$ bằng 0.

Đúng

Sai

d) Trong bốn hệ số a, b, c, d chỉ có hệ số b nhận giá trị âm.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(3; + \infty)$ nên f(2025) < f(2026).

b) Sai. Hàm số đạt cực đại tại x = 0.

c) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số trên $(- \infty; 3]$ bằng 2.

d) Đúng. Ta có $lim x \to + \infty f (x) = + \infty \Rightarrow a > 0$ .

Vì đồ thị có hai điểm cực trị nên phương trình $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 b x + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 3.

Theo Viete, ta có ${\begin{matrix} \frac{- 2 b}{3} > 0 \frac{c}{3} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} b < 0 c = 0 \end{matrix}$

Theo bảng biến thiên, khi x = 0 thì y = 2 nên d = 2 > 0.

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ ABC'.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6, cạnh bên có độ dài bằng 5. Gốc tọa độ O là trung điểm cạnh AC, các điểm B, C, A' theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz như hình.

a) Gọi M là trung điểm BC, E là trung điểm A'B' khi đó tọa độ $- - \to M E = (0; 0; - 4)$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ điểm $B (3 \sqrt{3}; 0; 0)$ .

Đúng

Sai

c) $cos (- - \to A^{'} B, - - \to B C) > 0$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng ME với AA' bằng $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Gọi M là trung điểm BC, E là trung điểm A'B' khi đó tọa độ $- - \to M E = (0; 0; - 4)$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ điểm $B (3 \sqrt{3}; 0; 0)$ .

Đúng

Sai

c) $cos (- - \to A^{'} B, - - \to B C) > 0$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng ME với AA' bằng $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ các điểm rồi áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. $B O = \frac{\sqrt{3}}{2} .6 = 3 \sqrt{3} \Rightarrow B (3 \sqrt{3}; 0; 0)$ ;

$A O = C O = \frac{A C}{2} = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow {\begin{matrix} C (0; 3; 0) A (0; - 3; 0) \end{matrix}$

$M = (\frac{3 \sqrt{3} + 0}{2}; \frac{0 + 3}{2}; \frac{0 + 0}{2}) = (\frac{3 \sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2}; 0)$ .

$A^{'} O = \sqrt{A^{'} A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 \Rightarrow A^{'} (0; 0; 4)$ .

$- - \to A^{'} E = \frac{1}{2} - - \to A B = (\frac{3 \sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2}; 0) \Rightarrow E (\frac{3 \sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2}; 4)$ .

$- - \to M E = (\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2} - \frac{3}{2}; 4 - 0) = (0; 0; 4)$ .

b) Đúng. $B O = \frac{\sqrt{3}}{2} .6 = 3 \sqrt{3} \Rightarrow B (3 \sqrt{3}; 0; 0)$ .

c) Sai. $- - \to A^{'} B = (3 \sqrt{3}; 0; - 4) \Rightarrow A^{'} B = \sqrt{43}$ ; $- - \to B C = (- 3 \sqrt{3}; 3; 0)$ .

$cos (- - \to A^{'} B, - - \to B C) = \frac{3 \sqrt{3} . (- 3 \sqrt{3}) + 0.3 - 4.0}{\sqrt{43} .6} = \frac{- 27}{6 \sqrt{43}} < 0$ .

d) Đúng. $- - \to A A^{'} = (0; 3; 4)$ , $- - \to A M = (\frac{3 \sqrt{3}}{2}; \frac{9}{2}; 0)$ .

$d (M E, A A^{'}) = \frac{∣ ∣ ∣ [- - \to A A^{'}, - - \to M E] . - - \to A M ∣ ∣ ∣}{∣ ∣ ∣ [- - \to A A^{'}, - - \to M E] ∣ ∣ ∣} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 1 : Bạn Tiến làm một bài kiểm tra gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 0,5 điểm. Bạn ấy đã làm đúng 15 câu, trong những câu còn lại có 2 câu bạn ấy đã loại được một phương án sai. Do quá sát giờ nộp bài nên bạn ấy đã trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn Tiến được 9 điểm. (làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Chia trường hợp và áp dụng các quy tắc đếm, tổ hợp để tính xác suất.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Để được 9 điểm, Tiến phải làm đúng 18 câu. Vì đã làm đúng 15 câu nên Tiến phải làm đúng thêm 3 câu nữa.

Trong 5 câu còn lại, có 2 câu xác suất Tiến làm đúng là $\frac{1}{3}$ , 3 câu xác suất Tiến làm đúng là $\frac{1}{4}$ .

TH1: Tiến làm đúng 2 câu đã loại đáp án và 1 câu chưa loại đáp án:

$C_{2}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} C_{3}^{1} (\frac{1}{4}) {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{3}{64}$ .

TH2: Tiến làm đúng 1 câu đã loại đáp án và 2 câu chưa loại đáp án:

$C_{2}^{1} (\frac{1}{3}) (\frac{2}{3}) C_{3}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} (\frac{3}{4}) = \frac{1}{16}$ .

TH3: Tiến làm đúng 3 câu chưa loại đáp án:

$C_{2}^{0} {(\frac{2}{3})}^{2} C_{3}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3} = \frac{1}{144}$ .

Xác suất để Tiến được 9 điểm là: $\frac{3}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{144} \approx 0, 12$ .

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt tại điểm M(1; 2; 3) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(3; 6; -12). Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 2 thuộc mặt phẳng (Oxy) bắt đầu xuất phát đi thẳng theo hướng vecto $⃗ j = (0; 1; 0)$ với tốc độ không đổi v = 5 (cm/s). Tính khoảng thời gian mà trong quá trình di chuyển tấm bìa đã che khuất tầm nhìn của người quan sát. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. (Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 cm).

Phương pháp giải :

Tìm giao điểm P của MN và (Oxy). Trên mặt phẳng (Oxy), tính thời gian tấm bìa đi qua điểm P.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$- -- \to M N = (3 - 1; 6 - 2; - 12 - 3) = (2; 4; - 15)$ .

Phương trình đường thẳng MN: $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 1 + 2 t y = 2 + 4 t z = 3 - 15 t \end{matrix}$ $(t \in R)$ .

MN giao với mặt phẳng (Oxy): z = 0 tại: $3 - 15 t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{5}$ .

Thay $t = \frac{1}{5}$ vào phương trình của MN, ta tìm được giao điểm là $P (\frac{7}{5}; \frac{14}{5}; 0)$ .

Xét trên mặt phẳng (Oxy): $P (\frac{7}{5}; \frac{14}{5})$ , đường tròn (C): $x^{2} + y^{2} = 4$ .

Giả sử đường thẳng d: $x = \frac{7}{5}$ cắt (C) tại A và B.

(C) di chuyển cùng hướng với tia Oy nên đoạn thẳng AB trên tấm bìa sẽ chắn tầm nhìn (vì đường thẳng AB đi qua P).

Thay $x = \frac{7}{5}$ vào phương trình (C), được $y = \pm \frac{\sqrt{51}}{5} \Rightarrow A B = \frac{2 \sqrt{51}}{5}$ (cm).

Thời gian tấm bìa che khuất tầm nhìn của người quan sát là $\frac{A B}{5} \approx 0, 57$ (giây).

Câu 3 : Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại trong một ngày của mỗi học sinh trong lớp học có 42 học sinh thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Biết thời gian sử dụng điện thoại trung bình của lớp trên là 40 phút. Hỏi lớp học trên có nhiều nhất bao nhiêu bạn có thời gian sử dụng điện thoại dưới mức trung bình của lớp.

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính số trung bình để tìm a, b, từ đó đưa ra kết luận.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Thời gian sử dụng điện thoại trung bình là:

$\frac{10.7 + 30 a + 50 b + 70.6 + 90.3}{7 + a + b + 6 + 3} = 40 \Leftrightarrow a - b = 12$ .

Mà $7 + a + b + 6 + 3 = 42 \Leftrightarrow a + b = 26$ .

Suy ra a = 19, b = 7.

Vậy lớp học trên có nhiều nhất 7 + 19 = 26 học sinh sử dụng điện thoại dưới mức trung bình của lớp.

Câu 4 : Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = (x^{2} + x + 1) e^{- x}$ trên đoạn [-1; 0] (làm tròn đến hàng phần chục).

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a; b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị thuộc đoạn [a; b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a; b]. Tức là tính các giá trị .

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a; b].

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = (2 x + 1) e^{- x} + (x^{2} + x + 1) . (- e^{- x})$

$= e^{x} (2 x + 1 - x^{2} - x - 1) = e^{x} (- x^{2} + x)$ .

Xét trên [-1; 0]: $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Ta có y(-1) = e, y(0) = 1.

Tổng GTLN và GTNN của hàm số là $e + 1 \approx 3, 7$ .

Câu 5 : Người ta bơm xăng vào bình xăng của một chiếc xe ô tô. Biết thể tích V (lít) của xăng được bơm vào bình phụ thuộc theo thời gian t (phút) được cho bởi công thức $V (t) = \frac{35}{4} (3 t - t^{2} + t^{3}) + 4$ với $0 \leq t \leq 1$ . Gọi V'(t) là tốc độ bơm của xăng vào bình. Xác định thể tích (lít) của xăng trong bình tại thời điểm mà tốc độ bơm đạt nhỏ nhất (làm tròn đến hàng phần chục).

Phương pháp giải :

Tìm t sao cho V’(t) nhỏ nhất, từ đó tính V(t).

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$V^{'} (t) = \frac{35}{4} (3 - 2 t + 3 t^{2})$ , $V^{''} (t) = \frac{35}{4} (- 2 + 6 t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$ .

Ta có $V^{'} (0) = \frac{105}{4}$ , $V^{'} (\frac{1}{3}) = \frac{70}{3}$ , $V^{'} (1) = 35$ .

Tốc độ bơm V’(t) nhỏ nhất tại $t = \frac{1}{3}$ , khi đó thể tích xăng là $V (\frac{1}{3}) \approx 12, 1$ (lít).

Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác đều và SCD là tam giác vuông cân tại đỉnh S. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD (làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Chứng minh SH là chiều cao của khối chóp với H là hình chiếu của S lên MN.

Sử dụng hệ thức lượng và các công thức tính diện tích tam giác để tính SH. Từ đó tính thể tích khối chóp.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.

Vì SAB là tam giác đều nên $S N ⊥ A B$ , vì SCD là tam giác cân nên $S M ⊥ C D \Rightarrow S M ⊥ A B$ (vì AB // CD).

$\begin{matrix} S N ⊥ A B S M ⊥ A B \end{matrix}} \Rightarrow A B ⊥ (S M N) \Rightarrow (A B C D) ⊥ (S M N)$ .

Giao tuyến của (ABCD) và (SMN) là đường thẳng MN.

Xét trong mặt phẳng (SMN), gọi H là hình chiếu của S lên MN, khi đó $S H ⊥ (A B C D)$ .

Ta có $S N = \frac{4 \sqrt{3}}{2}$ , SM = CM = DM = 2, MN = 4.

Đặt $p = \frac{S N + S M + M N}{2} = 3 + \sqrt{3}$ .

Xét tam giác SMN: $S_{S M N} = \sqrt{p (p - S N) (p - S M) (p - M N)} = 2 \sqrt{3}$ .

Mặt khác: $S_{S M N} = \frac{1}{2} S H . M N \Leftrightarrow 2 \sqrt{3} = \frac{1}{2} S H .4 \Leftrightarrow S H = \sqrt{3}$ .

Vậy $V_{S . A C B D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \sqrt{3} {.4}^{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \approx 9, 24$ .