Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 sở GD&ĐT Lạng Sơn

Câu 1 : Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 4$ . Số hạng thứ tư là

A.

$u_{4} = 9$ .
B.

$u_{4} = 12$ .
C.

$u_{4} = 13$ .
D.

$u_{4} = 10$ .

Câu 2 : Trong không gian, cho hình hộp ABCD.EFGH. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E} = \vec{A G}$ .
B.

$\vec{D A} + \vec{D C} + \vec{D E} = \vec{D F}$ .
C.

$\vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B E} = \vec{B H}$ .
D.

$\vec{E A} + \vec{E F} + \vec{E B} = \vec{E C}$ .

Câu 3 : Một học sinh tiến thành thống kê nhiệt độ trung bình tại nơi mình sống trong vòng 40 ngày và thu được bảng số liệu sau:

Tứ phân vị thứ nhất của bảng số liệu trên bằng

A.

23,5.
B.

27.
C.

26,5.
D.

22,6.

Câu 4 : Nghiệm của phương trình cos2x = 1 là

A.

$x = k π, k \in Z$ .
B.

$x = π + k 2 π, k \in Z$ .
C.

$x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ .
D.

$x = π + k π, k \in Z$ .

Câu 5 : Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{3} (9 a)$ bằng

A.

$3 + a$ .
B.

$2 + \log_{3} a$ .
C.

$3 + \log_{3} a$ .
D.

$2 \log_{3} a$ .

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như bên dưới:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A.

(0; 2).
B.

(-1; 1).
C.

(-1; 0).
D.

(1; 2).

Câu 7 : Cho hình chóp SABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

IJ // (SAB).
B.

IJ // (SAC).
C.

IJ // (ABC).
D.

IJ // (SBC).

Câu 8 : Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là

A.

F(x) = -tan x + C.
B.

F(x) = cos x + C.
C.

F(x) = -cos x + C.
D.

F(x) = tan x + C.

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 4z - 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của (P) là

A.

$\vec{n_{3}} = (2; 1; 4)$ .
B.

$\vec{n_{4}} = (2; 4; - 1)$ .
C.

$\vec{n_{1}} = (- 2; 1; - 4)$ .
D.

$\vec{n_{2}} = (2; - 1; - 1)$ .

Câu 10 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A.

$S C ⊥ (A B C D)$ .
B.

$S O ⊥ (A B C D)$ .
C.

$S B ⊥ (A B C D)$ .
D.

$S A ⊥ (A B C D)$ .

Câu 11 : Trong không gian Oxyz, cho các vectơ $\vec{u} = (1; - 2; 2)$ và $\vec{v} = (1; 3; - 5)$ . Tọa độ của vectơ $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$ là

A.

(2; 1; -3).
B.

(0; 1; -3).
C.

(0; -5; 7).
D.

(0; 5; -7).

Câu 12 : Cho hàm số f(x) liên tục trên $R$ , thỏa mãn $\int_{0}^{4} f (x) d x = - 3$ và $\int_{4}^{3} f (x) d x = 2.$ Khi đó, $\int_{0}^{3} f (x) d x$ bằng

A.

-5.
B.

-1.
C.

1.
D.

5.

Câu 1 : Giả sử rằng khi được t năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R^{'} (t) = 588 - 3 t^{2}$ (triệu đồng/năm), thời điểm t = 0 tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C^{'} (t) = 48 + 12 t^{2}$ (triệu đồng/năm), ở đây C(t) là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được t năm tuổi. Khi đó:

a) Doanh thu sau 10 năm của máy A là $\int_{0}^{10} (588 - 3 t^{2}) d t$ (triệu đồng).

Đúng

Sai

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1152 (triệu đồng).

Đúng

Sai

c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó tạo ra bất đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 8 năm.

Đúng

Sai

d) Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2180 (triệu đồng).

Đúng

Sai

Câu 2 : Có tám bạn học sinh ngồi quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cảm một đồng xu (các đồng xu đều cân đối, đồng chất). Tất cả tám bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn nào gieo được mặt ngửa sẽ đứng lên. Khi đó:

a) Số phần tử của không gian mẫu khi tám bạn cùng tung đồng xu bằng 256.

Đúng

Sai

b) Số kết quả của phép thử sao cho có đúng một bạn đứng lên là 8.

Đúng

Sai

c) Số kết quả của phép thử sao cho có đúng hai bạn đứng lên, và hai bạn đó không đứng cạnh nhau là 8.

Đúng

Sai

d) Xác suất để có ít nhất hai bạn ngồi liền kề nhau phải đứng lên là $\frac{105}{128}$ .

Đúng

Sai

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + z + 4 = 0. Khi đó:

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3; - 2; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm M không thuộc mặt phẳng (P).

Đúng

Sai

c) Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là 3x - 2y + z + 7 = 0.

Đúng

Sai

d) Mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và cách điểm M một khoảng bằng $\frac{11}{\sqrt{14}}$ có phương trình là 3x - 2y + z - 18 = 0.

Đúng

Sai

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $R$ và đồ thị như hình sau.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Đúng

Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = 1$ .

Đúng

Sai

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên khoảng $(- \infty; - 1)$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 0] bằng -3.

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB = 2, AC = 3, AA' = 4. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và CM bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -2; -5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. Biết mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C. Thể tích tứ diện OABC bằng bao nhiêu?

Câu 3 : Ở giai đoạn thải trừ, giai đoạn cuối sau khi một người uống một liều thuốc, nồng độ thuốc trong máu, ký hiệu là C(t) (đơn vị: mg/l), giảm dần sau t giờ kể từ khi giai đoạn này bắt đầu. Khi đó, tốc độ giảm nồng độ C'(t) tỉ lệ với chính nồng độ hiện có, tức là: $\frac{C^{'} (t)}{C (t)} = - k$ ( $k$ là một hằng số dương). Biết rằng khi bắt đầu giai đoạn thải trừ, nồng độ thuốc còn lại là 12 mg/l và sau 6 giờ kể từ lúc bắt đầu thải trừ, nồng độ đo được là 3 mg/l. Sau khoảng bao nhiêu giờ thì nồng độ còn lại bằng 2 mg/l? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 4 : Một màn chơi của một trò chơi điện tử được thiết kế như sau: có năm vị trí A, B, C, D, E, được đặt ở năm đỉnh của một hình chóp tứ giác. Nhân vật sẽ được đặt ở một vị trí bất kỳ, và có thể di chuyển tự do giữa các đỉnh với nhau, mỗi lần di chuyển đều phải từ đỉnh này đi chuyển đến đỉnh khác. Giả sử khi bắt đầu, nhân vật được đặt ở vị trí A. Số cách di chuyển để sau sáu bước nhảy, nhân vật quay lại vị trí A là bao nhiêu?

Câu 5 : Một nhà máy sản xuất x sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất x sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C (x) = 16000 + 500 x - 1, 6 x^{2} + 0, 004 x^{3}$ (nghìn đồng). Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x và được cho bởi công thức p(x) = 1700 - 7x (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Câu 6 : Tại chương trình "Gian hàng khởi nghiệp" của nhà trường, bạn tổ chức mở một gian hàng "Vòng quay may mắn", toàn bộ số tiền thu được sẽ được quyền góp vào quỹ "Mùa xuân cho em". Luật chơi của gian hàng như sau: Một vòng quay được chia thành 40 ô, có kích thước bằng nhau, gồm:

- 1 ô ghi "Phần quá trị giá 200 nghìn đồng".

- 4 ô ghi "Phần quá trị giá 50 nghìn đồng".

- 10 ô ghi "Phần quá trị giá 20 nghìn đồng".

- 25 ô ghi "Chúc bạn may mắn lần sau".

Mỗi lượt chơi, người tham gia sẽ trả 25 nghìn đồng để quay vòng quay và nhận phần quà có trị giá tương ứng với ô mà mỗi tên trên vòng quay chỉ vào. Hỏi trung bình, bạn tổ chức thu được bao nhiêu nghìn đồng trên một lượt từ mỗi người chơi?

Câu 1 : Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 4$ . Số hạng thứ tư là

A.

$u_{4} = 9$ .
B.

$u_{4} = 12$ .
C.

$u_{4} = 13$ .
D.

$u_{4} = 10$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

Lời giải chi tiết :

$u_{2} = u_{1} + d \Leftrightarrow 4 = 1 + d \Leftrightarrow d = 3$ .

$u_{4} = u_{1} + 3 d = 1 + 3.3 = 10$ .

Câu 2 : Trong không gian, cho hình hộp ABCD.EFGH. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E} = \vec{A G}$ .
B.

$\vec{D A} + \vec{D C} + \vec{D E} = \vec{D F}$ .
C.

$\vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B E} = \vec{B H}$ .
D.

$\vec{E A} + \vec{E F} + \vec{E B} = \vec{E C}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết :

Theo quy tắc hình hộp: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E} = \vec{A G}$ .

Câu 3 : Một học sinh tiến thành thống kê nhiệt độ trung bình tại nơi mình sống trong vòng 40 ngày và thu được bảng số liệu sau:

Tứ phân vị thứ nhất của bảng số liệu trên bằng

A.

23,5.
B.

27.
C.

26,5.
D.

22,6.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải chi tiết :

$Q_{1} = 22 + \frac{\frac{40}{4} - 7}{15} (25 - 22) = 22, 6$ .

Câu 4 : Nghiệm của phương trình cos2x = 1 là

A.

$x = k π, k \in Z$ .
B.

$x = π + k 2 π, k \in Z$ .
C.

$x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ .
D.

$x = π + k π, k \in Z$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π$ , $k \in Z$ .

Lời giải chi tiết :

$\cos 2 x = 1 \Leftrightarrow 2 x = k 2 π \Leftrightarrow x = k π$ , $k \in Z$ .

Câu 5 : Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{3} (9 a)$ bằng

A.

$3 + a$ .
B.

$2 + \log_{3} a$ .
C.

$3 + \log_{3} a$ .
D.

$2 \log_{3} a$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức: $\log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{3} (9 a) = \log_{3} 9 + \log_{3} a = 2 + \log_{3} a$ .

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như bên dưới:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A.

(0; 2).
B.

(-1; 1).
C.

(-1; 0).
D.

(1; 2).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị liên tục đi từ trên xuống.

Lời giải chi tiết :

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 0).

Câu 7 : Cho hình chóp SABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

IJ // (SAB).
B.

IJ // (SAC).
C.

IJ // (ABC).
D.

IJ // (SBC).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nếu d song song với một đường thẳng d’ thuộc (P).

Lời giải chi tiết :

Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB nên IJ // AB.

$\begin{array}{l} I J / / A B \\ A B \subset (A B C) \\ I J ⊄ (A B C) \end{array}} \Rightarrow I J / / (A B C)$ .

Câu 8 : Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là

A.

F(x) = -tan x + C.
B.

F(x) = cos x + C.
C.

F(x) = -cos x + C.
D.

F(x) = tan x + C.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là F(x) = -cos x + C.

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 4z - 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của (P) là

A.

$\vec{n_{3}} = (2; 1; 4)$ .
B.

$\vec{n_{4}} = (2; 4; - 1)$ .
C.

$\vec{n_{1}} = (- 2; 1; - 4)$ .
D.

$\vec{n_{2}} = (2; - 1; - 1)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 nhận vectơ có tọa độ (a; b; c) và các vectơ cùng phương với nó làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết :

Một vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (2; - 1; 4)$ , mà $\vec{n_{1}} = (- 2; 1; - 4)$ cùng phương với $\vec{n} = (2; - 1; 4)$ nên cũng là một vectơ pháp tuyến của (P).

Câu 10 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A.

$S C ⊥ (A B C D)$ .
B.

$S O ⊥ (A B C D)$ .
C.

$S B ⊥ (A B C D)$ .
D.

$S A ⊥ (A B C D)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng thuộc (P).

Lời giải chi tiết :

Vì O là tâm hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD. Khi đó, hai tam giác SAC và SBD cùng cân tại S có SO là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao.

$\begin{array}{l} S O ⊥ A C \\ S O ⊥ B D \end{array}} \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Câu 11 : Trong không gian Oxyz, cho các vectơ $\vec{u} = (1; - 2; 2)$ và $\vec{v} = (1; 3; - 5)$ . Tọa độ của vectơ $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$ là

A.

(2; 1; -3).
B.

(0; 1; -3).
C.

(0; -5; 7).
D.

(0; 5; -7).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$\vec{a} - \vec{b} = (x_{a} - x_{b}; y_{a} - y_{b}; z_{a} - z_{b})$ .

Lời giải chi tiết :

$\vec{w} = \vec{u} - \vec{v} = (1 - 1; - 2 - 3; 2 + 5) = (0; - 5; 7)$ .

Câu 12 : Cho hàm số f(x) liên tục trên $R$ , thỏa mãn $\int_{0}^{4} f (x) d x = - 3$ và $\int_{4}^{3} f (x) d x = 2.$ Khi đó, $\int_{0}^{3} f (x) d x$ bằng

A.

-5.
B.

-1.
C.

1.
D.

5.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $\int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{3}^{4} f (x) d x$ , suy ra:

$\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{4} f (x) d x - \int_{3}^{4} f (x) d x$

$= \int_{0}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{3} f (x) d x = - 3 + 2 = - 1$ .

Câu 1 : Giả sử rằng khi được t năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R^{'} (t) = 588 - 3 t^{2}$ (triệu đồng/năm), thời điểm t = 0 tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C^{'} (t) = 48 + 12 t^{2}$ (triệu đồng/năm), ở đây C(t) là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được t năm tuổi. Khi đó:

a) Doanh thu sau 10 năm của máy A là $\int_{0}^{10} (588 - 3 t^{2}) d t$ (triệu đồng).

Đúng

Sai

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1152 (triệu đồng).

Đúng

Sai

c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó tạo ra bất đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 8 năm.

Đúng

Sai

d) Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2180 (triệu đồng).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Doanh thu sau 10 năm của máy A là $\int_{0}^{10} (588 - 3 t^{2}) d t$ (triệu đồng).

Đúng

Sai

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1152 (triệu đồng).

Đúng

Sai

c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó tạo ra bất đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 8 năm.

Đúng

Sai

d) Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2180 (triệu đồng).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Doanh thu của máy là nguyên hàm của hàm số R’(t).

b) Tính $\int_{0}^{6} C^{'} (t) d t$ .

c) Tìm hàm lợi nhuận L(t). L(t) giảm khi L’(t) < 0, từ đó tìm t và kết luận.

d) Tính L(t) với t là tuổi thọ hữu ích của máy.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Doanh thu sau 10 năm của máy A là $\int_{0}^{10} (588 - 3 t^{2}) d t$ (triệu đồng).

b) Đúng. Chi phí vận hành và bảo trì trong 6 năm là:

$\int_{0}^{6} C^{'} (t) d t = \int_{0}^{6} (48 + 12 t^{2}) d t = 1152$ (triệu đồng).

c) Sai. Xét t không âm:

Doanh thu sau t năm: $\int R^{'} (t) d t = \int (588 - 3 t^{2}) d t = 588 t - t^{3} + C_{1}$ (triệu đồng).

Chi phí vận hành và bảo trì sau t năm: $\int C^{'} (t) d t = \int (48 + 12 t^{2}) d t = 48 t + 4 t^{3} + C_{2}$ (triệu đồng).

Lợi nhuận sau t năm: $L (t) = R (t) - C (t) = 540 t - 5 t^{3} + C_{1} - C_{2}$ (triệu đồng).

Lợi nhuận L(t) giảm khi L’(t) < 0. Ta có $L^{'} (t) = 540 - 15 t^{2} < 0 \Leftrightarrow t > 6$ .

Vậy tuổi thọ hữu ích của máy A là 6 năm.

d) Sai. Vì ở thời điểm ban đầu t = 0, máy chưa tạo ra lợi nhuận nên ta có:

$L (0) = 0 \Leftrightarrow 540.0 - {5.0}^{3} + C_{1} - C_{2} = 0 \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = 0$ .

Lợi nhuận máy A tạo ra trong 6 năm tuổi thọ hữu ích là: $L (6) = 540.6 - {5.6}^{3} = 2160$ (triệu đồng).

Câu 2 : Có tám bạn học sinh ngồi quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cảm một đồng xu (các đồng xu đều cân đối, đồng chất). Tất cả tám bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn nào gieo được mặt ngửa sẽ đứng lên. Khi đó:

a) Số phần tử của không gian mẫu khi tám bạn cùng tung đồng xu bằng 256.

Đúng

Sai

b) Số kết quả của phép thử sao cho có đúng một bạn đứng lên là 8.

Đúng

Sai

c) Số kết quả của phép thử sao cho có đúng hai bạn đứng lên, và hai bạn đó không đứng cạnh nhau là 8.

Đúng

Sai

d) Xác suất để có ít nhất hai bạn ngồi liền kề nhau phải đứng lên là $\frac{105}{128}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Số phần tử của không gian mẫu khi tám bạn cùng tung đồng xu bằng 256.

Đúng

Sai

b) Số kết quả của phép thử sao cho có đúng một bạn đứng lên là 8.

Đúng

Sai

c) Số kết quả của phép thử sao cho có đúng hai bạn đứng lên, và hai bạn đó không đứng cạnh nhau là 8.

Đúng

Sai

d) Xác suất để có ít nhất hai bạn ngồi liền kề nhau phải đứng lên là $\frac{105}{128}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp liệt kê, phương pháp tổ hợp.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Mỗi bạn có thể nhận ngẫu nhiên 1 trong 2 kết quả, do đó số phần tử của không gian mẫu là: $2^{8} = 256$ .

b) Đúng. Số kết quả sao cho có đúng 1 bạn đứng lên là: 8 (tương ứng với 8 bạn).

c) Sai. Giả sử đánh số thứ tự từ 1 đến 8 cho 8 bạn. 2 bạn bất kì đứng cạnh nhau có cặp số thứ tự là 1 trong 8 cặp sau: (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6), (6; 7), (7; 8), (8; 1). Có 8 cặp số tất cả.

Số kết quả của phép thử sao cho có đúng 2 bạn đứng lên và không đứng cạnh nhau là:

$C_{8}^{2} - 8 = 20$ .

d) Sai. Ta tính xác suất của biến cố đối: không có 2 bạn nào liền kề nhau đứng lên.

+) Số kết quả để có không có bạn nào đứng lên: 1.

+) Số kết quả để có 1 bạn đứng lên: 8 (theo câu a).

+) Số kết quả để có 2 bạn không liền kề nhau đứng lên: 20 (theo câu b).

+) Số kết quả để có 3 bạn không liền kề nhau đứng lên: $C_{8}^{3} - 8 - 8.4 = 16$ .

(8: số kết quả để 3 bạn kề nhau đứng lên;

8.4: số kết quả 2 bạn kề nhau đứng lên cùng 1 bạn không kề).

+) Số kết quả để có 4 bạn không liền kề nhau đứng lên: 2.

+) Nếu có từ 5 bạn đứng lên, luôn có 2 bạn kề nhau nên loại các trường hợp này.

Xác suất không có 2 bạn nào liền kề nhau đứng là $\frac{1 + 8 + 20 + 16 + 2}{256} = \frac{47}{256}$ .

Xác suất để có ít nhất 2 bạn ngồi liền kề nhau phải đứng lên là $1 - \frac{47}{256} = \frac{209}{256}$ .

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + z + 4 = 0. Khi đó:

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3; - 2; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm M không thuộc mặt phẳng (P).

Đúng

Sai

c) Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là 3x - 2y + z + 7 = 0.

Đúng

Sai

d) Mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và cách điểm M một khoảng bằng $\frac{11}{\sqrt{14}}$ có phương trình là 3x - 2y + z - 18 = 0.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3; - 2; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm M không thuộc mặt phẳng (P).

Đúng

Sai

c) Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là 3x - 2y + z + 7 = 0.

Đúng

Sai

d) Mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và cách điểm M một khoảng bằng $\frac{11}{\sqrt{14}}$ có phương trình là 3x - 2y + z - 18 = 0.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 có một vecto pháp tuyến là $\vec{n} = (a; b; c)$ .

Điểm M thuộc (P) nếu thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) thấy thỏa mãn.

Mặt phẳng song song với (P) có phương trình dạng ax + by + cz + d’ = 0.

Khoảng cách từ M đến (P): $d (M, (P)) = \frac{| a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3; - 2; 1)$ .

b) Đúng. Thay tọa độ điểm M vào phương trình của (P):

$3.1 - 2 (- 1) + 2 + 4 = 11 \neq 0$ , do đó M không thuộc (P).

c) Sai. (Q) // (P) nên phương trình của (Q) có dạng 3x - 2y + z + d = 0.

M thuộc (Q) nên $3.1 - 2 (- 1) + 2 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 7$ .

Vậy (Q): 3x - 2y + z - 7 = 0.

d) Đúng. (R) // (P) nên phương trình của (R) có dạng 3x - 2y + z + e = 0.

$d (M, (R)) = \frac{11}{\sqrt{14}} \Leftrightarrow \frac{| 3.1 - 2 (- 1) + 2 + e |}{\sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{11}{\sqrt{14}}$

$\Leftrightarrow | 7 + e | = 11 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} e = 4 \\ e = - 18 \end{array}$ . Ta loại giá trị e = 4 vì khi đó (R) trùng (P).

Vậy (R): 3x - 2y + z - 18 = 0.

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $R$ và đồ thị như hình sau.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Đúng

Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = 1$ .

Đúng

Sai

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên khoảng $(- \infty; - 1)$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 0] bằng -3.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Đúng

Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = 1$ .

Đúng

Sai

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên khoảng $(- \infty; - 1)$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 0] bằng -3.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Hàm số nghịch biến trên (-1; 1) vì đồ thị đi từ trên xuống trên khoảng này.

b) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = 1$ .

c) Đúng. Đồ thị hàm số đi từ dưới lên trên khoảng $(- \infty; - 1)$ , do đó hàm số đồng biến và đạo hàm nhận giá trị dương trên khoảng đó.

d) Sai. Hàm số đạt giá trị -3 tại $x = 1 \notin [- 1; 0]$ .

Câu 1 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB = 2, AC = 3, AA' = 4. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và CM bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tọa độ hóa.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với gốc tọa độ, B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, A’ thuộc tia Oz.

Khi đó (0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), A’(0; 0; 4), M(1; 0; 0).

$\vec{A^{'} B} = (2; 0; - 4)$ , $\vec{C M} = (1; - 3; 0)$ , $\vec{B M} = (- 1; 0; 0)$ .

$d (A^{'} B, C M) = \frac{| [\vec{A^{'} B}, \vec{C M}] . \vec{M B} |}{| [\vec{A^{'} B}, \vec{C M}] |} = \frac{6}{7} \approx 0, 86$ .

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -2; -5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. Biết mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C. Thể tích tứ diện OABC bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Lập phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M, nhận $\vec{O M}$ làm vecto pháp tuyến. Từ đó, tìm tọa độ các điểm A, B, C và tính thể tích khối tứ diện.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

(P) qua M và cách O một khoảng lớn nhất, khi đó $O M ⊥ (A B C)$ và $\vec{O M} = (1; - 2; - 5)$ là một vecto pháp tuyến của (ABC). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$1 (x - 1) - 2 (y + 2) - 5 (z + 5) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 y - 5 z - 30 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{30} + \frac{y}{- 15} + \frac{z}{- 6} = 1$ .

Giả sử A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz.

Khi đó A(30; 0; 0), B(0; -15; 0), C(0; 0; -6).

$V_{O A B C} = \frac{1}{3} . O A . S_{O B C}$

$= \frac{1}{6} O A . O B . O C$

$= \frac{1}{6} .30 .15 .6 = 450$ (đvtt).

Câu 3 : Ở giai đoạn thải trừ, giai đoạn cuối sau khi một người uống một liều thuốc, nồng độ thuốc trong máu, ký hiệu là C(t) (đơn vị: mg/l), giảm dần sau t giờ kể từ khi giai đoạn này bắt đầu. Khi đó, tốc độ giảm nồng độ C'(t) tỉ lệ với chính nồng độ hiện có, tức là: $\frac{C^{'} (t)}{C (t)} = - k$ ( $k$ là một hằng số dương). Biết rằng khi bắt đầu giai đoạn thải trừ, nồng độ thuốc còn lại là 12 mg/l và sau 6 giờ kể từ lúc bắt đầu thải trừ, nồng độ đo được là 3 mg/l. Sau khoảng bao nhiêu giờ thì nồng độ còn lại bằng 2 mg/l? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Phương pháp giải :

Nguyên hàm hai vế $\frac{C^{'} (t)}{C (t)} = - k$ , dựa vào giả thiết C(0) = 12, C(6) = 3 để tìm công thức của C(t). Tìm t để C(t) = 2.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$\frac{C^{'} (t)}{C (t)} = - k \Rightarrow \int \frac{C^{'} (t)}{C (t)} d t = \int - k d t$

$\Rightarrow \ln | C (t) | = - k t + m$ (m là hằng số).

Vì C(t) > 0 nên ta có $C (t) = e^{- k t + m}$

$= e^{m} . e^{- k t} = A e^{- k t}$ (đặt hằng số $e^{m} = A$ ).

$C (0) = 12 \Leftrightarrow A e^{- k .0} = 12 \Leftrightarrow A = 12$ .

$C (6) = 3 \Leftrightarrow 12 e^{- k .6} = 3 \Leftrightarrow e^{- 6 k} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow k = - \frac{1}{6} \ln \frac{1}{4}$ .

$C (t) = 2 \Leftrightarrow 12 e^{\frac{1}{6} (\ln \frac{1}{4}) t} = 2 \Leftrightarrow e^{\frac{1}{6} (\ln \frac{1}{4}) t} = \frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{6} (\ln \frac{1}{4}) t = \ln \frac{1}{6} \Leftrightarrow t = \frac{6 \ln \frac{1}{6}}{\ln \frac{1}{4}} \approx 7, 8$ .

Câu 4 : Một màn chơi của một trò chơi điện tử được thiết kế như sau: có năm vị trí A, B, C, D, E, được đặt ở năm đỉnh của một hình chóp tứ giác. Nhân vật sẽ được đặt ở một vị trí bất kỳ, và có thể di chuyển tự do giữa các đỉnh với nhau, mỗi lần di chuyển đều phải từ đỉnh này đi chuyển đến đỉnh khác. Giả sử khi bắt đầu, nhân vật được đặt ở vị trí A. Số cách di chuyển để sau sáu bước nhảy, nhân vật quay lại vị trí A là bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp liệt kê và các quy tắc đếm.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi K = {B, C, D, E}.

Số cách đi từ A → K bất kì: 4 cách.

Số cách đi từ K → K khác: 3 cách.

Số cách đi từ K → A: 1 cách.

TH1: Quay lại A đúng 1 lần:

A → K → K → K → K → K → A.

Có 4.3.3.3.3.1 = 324 cách.

TH2: Quay lại A đúng 2 lần:

A → K → A → K → K → K → A.

Có 4.1.4.3.3.1 = 144 cách.

A → K → K → A → K → K → A.

Có 4.3.1.4.3.1 = 144 cách.

A → K → K → K → A → K → A.

Có 4.3.3.1.4.1 = 144 cách.

TH3: Quay lại A đúng 3 lần:

A → K → A → K → A → K → A.

Có 4.1.4.1.4.1 = 64 cách.

Vậy có tất cả 324 + 144.3 + 64 = 820 cách di chuyển thỏa mãn.

Câu 5 : Một nhà máy sản xuất x sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất x sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C (x) = 16000 + 500 x - 1, 6 x^{2} + 0, 004 x^{3}$ (nghìn đồng). Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x và được cho bởi công thức p(x) = 1700 - 7x (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Phương pháp giải :

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.

Lập hàm lợi nhuận theo x, tìm x để hàm đạt GTLN.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Doanh thu nhà máy mỗi tháng là:

$x . p (x) = 1700 x - 7 x^{2}$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận của nhà máy mỗi tháng là:

$L (x) = x p (x) - C (x)$

$= - 16000 + 1200 x - 5, 4 x^{2} - 0, 004 x^{3}$ (nghìn đồng).

$L^{'} (x) = - 0, 012 x^{2} - 10, 8 x + 1200 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 100 \\ x = - 1000 \end{array}$

Vì x là số sản phẩm nên ta nhận giá trị x = 100. Lập bảng biến thiên, thấy hàm L(x) đạt GTLN tại x = 100. Vậy, mỗi tháng nhà máy nên sản xuất 100 sản phẩm.

Câu 6 : Tại chương trình "Gian hàng khởi nghiệp" của nhà trường, bạn tổ chức mở một gian hàng "Vòng quay may mắn", toàn bộ số tiền thu được sẽ được quyền góp vào quỹ "Mùa xuân cho em". Luật chơi của gian hàng như sau: Một vòng quay được chia thành 40 ô, có kích thước bằng nhau, gồm:

- 1 ô ghi "Phần quá trị giá 200 nghìn đồng".

- 4 ô ghi "Phần quá trị giá 50 nghìn đồng".

- 10 ô ghi "Phần quá trị giá 20 nghìn đồng".

- 25 ô ghi "Chúc bạn may mắn lần sau".

Mỗi lượt chơi, người tham gia sẽ trả 25 nghìn đồng để quay vòng quay và nhận phần quà có trị giá tương ứng với ô mà mỗi tên trên vòng quay chỉ vào. Hỏi trung bình, bạn tổ chức thu được bao nhiêu nghìn đồng trên một lượt từ mỗi người chơi?

Phương pháp giải :

Tính giá trị trung bình 1 ô trên vòng quay. Lấy số tiền người chơi phải trả trừ giá trị trung bình đó, ta được số tiền ban tổ chức thu được từ một lượt chơi.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Giá trị trung bình 1 ô trên vòng quay là:

$\frac{1}{40} .200 + \frac{4}{40} .50 + \frac{10}{40} .20 + \frac{25}{40} .0 = 15$ (nghìn đồng).

Mỗi lượt chơi, ban tổ chức thu được 25 nghìn đồng, do đó ban tổ chức thu được trung bình từ mỗi lượt chơi số tiền là 25 – 15 = 10 nghìn đồng.