Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 sở GD&ĐT Tuyên Quang

Câu 1 : Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), $S A = a \sqrt{2}$ , $A B = a \sqrt{2}$ (xem hình dưới).

Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

A.

$45^{o}$ .
B.

$30^{o}$ .
C.

$90^{o}$ .
D.

$60^{o}$ .

Câu 2 : Tập xác định của hàm số y = tanx là

A.

$R ∖ {0}$ .
B.

$R$ .
C.

$R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$ .
D.

$R ∖ {k π ∣ k \in Z}$ .

Câu 3 : Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x + 1 - \frac{1}{x - 2}$ là đường thẳng có phương trình

A.

y = x.
B.

x = 2.
C.

y = 1.
D.

y = x + 1.

Câu 4 : Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng và khác vectơ $\vec{0}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ .
B.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .
C.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ .
D.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ .

Câu 5 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x} - x$ là

A.

$\frac{2^{x + 1}}{x + 1} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .
B.

$\frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .
C.

$x \cdot 2^{x - 1} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .
D.

$\frac{2^{x}}{x} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

Câu 6 : Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

(-26; 6).
B.

$(- \infty; - 1)$ .
C.

$(3; + \infty)$ .
D.

(-1; 2).

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : 3 x + 2 y - 4 z + 1 = 0$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ ?

A.

$\vec{n_{3}} = (- 3; 2; - 4)$ .
B.

$\vec{n_{2}} = (3; 2; 4)$ .
C.

$\vec{n_{1}} = (3; - 2; - 4)$ .
D.

$\vec{n_{4}} = (3; 2; - 4)$ .

Câu 8 : Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh một trường THPT được cho ở bảng sau.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nửa khoảng nào sau đây?

A.

[40; 60).
B.

[20; 40).
C.

[60; 80).
D.

[0; 20).

Câu 9 : Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ và công sai d = 3. Giá trị của $u_{4}$ bằng

A.

10.
B.

13.
C.

27.
D.

4.

Câu 10 : Tập nghiệm S của phương trình sinx = 1 là

A.

$S = {k 2 π ∣ k \in Z}$ .
B.

$S = {k π ∣ k \in Z}$ .
C.

$S = {\frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}$ .
D.

$S = {- \frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}$ .

Câu 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; -4; 3) và B(2; 2; 9). Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là

A.

(2; -1; 6).
B.

(0; 6; 6).
C.

(4; -2; 12).
D.

(0; 3; 3).

Câu 12 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} - 2 x$ , trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 3 được xác định bằng công thức

A.

$S = π \int_{- 1}^{3} | x^{2} - 2 x | d x$ .
B.

$S = π \int_{- 1}^{3} {(x^{2} - 2 x)}^{2} d x$ .
C.

$S = \int_{- 1}^{3} | x^{2} - 2 x | d x$ .
D.

$S = | \int_{- 1}^{3} (x^{2} - 2 x) d x |$ .

Câu 1 : Một hộp chứa các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau gồm 5 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi từ hộp, trong đó có x viên bi trắng, y viên bi đỏ và z viên bi xanh.

a) Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{19}^{5}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất lấy được 5 viên bi đều màu xanh là $\frac{1}{2907}$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh nhỏ hơn 0,94.

Đúng

Sai

d) Xác suất lấy được 5 viên đủ cả ba màu, đồng thời ba số x - y, y - z, z - x theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng $\frac{215}{969}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 bằng 2.

Đúng

Sai

b) Hàm số đã cho có một nguyên hàm là hàm số $G (x) = \frac{x^{4}}{2} - x^{3} + x$ .

Đúng

Sai

c) F(x) là một nguyên hàm của hàm số đã cho thoả mãn F(2) = 2, khi đó $F (- 1) = \frac{1}{2}$ .

Đúng

Sai

d) Với $a \in [- 1; 2]$ , hàm số $H (a) = \int_{- 1}^{a} f (x) d x$ đạt giá trị lớn nhất tại a = 1.

Đúng

Sai

Câu 3 : Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 kilômét. Một tên lửa phóng từ vị trí gốc toạ độ O theo hướng và vận tốc không đổi. Tên lửa bay từ điểm O(0; 0; 0) đến điểm A(140; 60; 6) trong 8 phút.

a) Sau 8 phút kể từ lúc phóng, tên lửa bay được quãng đường 152,4 km (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đúng

Sai

b) Sau đúng 4 phút kể từ lúc phóng, độ cao của tên lửa là 3 km.

Đúng

Sai

c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).

Đúng

Sai

d) Gọi (P) là mặt phẳng chứa quỹ đạo bay của tên lửa và vuông góc với mặt phẳng Oxy. Phương trình mặt phẳng P là 3x - 8y = 0.

Đúng

Sai

Câu 4 : Cho hàm số f(x) = 92 – 20ln(x + 1).

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D = (- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Bất phương trình $f (x) \geq 36$ có đúng 15 nghiệm nguyên.

Đúng

Sai

c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(x) + 5x trên đoạn [1; 4] bằng 107 – 40ln2.

Đúng

Sai

Câu 1 : Ông An đang xây một ngôi nhà, trong quá trình xây phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm B trên một chân tường và điểm C trên cột góc nhà, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm A trên chân tường còn lại cách điểm O ở góc giao hai chân tường một khoảng 5 m, ông cũng tận dụng một chiếc cột có sẵn để chống mặt ghép (xem hình dưới). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà, cột có chiều cao 1 m và cách hai bức tường với cùng khoảng cách 1 m (đỉnh cột là điểm M). Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 2 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $B C = 2 \sqrt{3}$ , AB = 3. Khoảng cách giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (BCC'B') bằng bao nhiêu?

Câu 3 : Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là trà sữa và bánh ngọt. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá 40 nghìn đồng, bao gồm hai ly trà sữa và một chiếc bánh ngọt. Thực đơn 2 có giá 65 nghìn đồng, bao gồm ba ly trà sữa và hai chiếc bánh ngọt. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá 180 ly trà sữa và 110 chiếc bánh ngọt. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 4 : Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 6$ và $y = g (x) = - b x^{2} + m x + n$ trong đó $a, b, c, m, n \in R$ . Biết đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng -2; 1; 3. Chi phí trồng hoa là 150000 đồng/ $m^{2}$ và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 5 : Một khu chung cư có 120 căn hộ cho thuê. Người quản lí của khu chung cư nhận thấy rằng nếu giá thuê một căn hộ là 7 triệu đồng một tháng thì tất cả các căn hộ đều sẽ có người thuê. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê một căn hộ mỗi tháng thêm 250 nghìn đồng thì sẽ có thêm ba căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng một tháng để doanh thu một tháng là lớn nhất?

Câu 6 : Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, gọi T là xác suất số lấy được là số lẻ đồng thời tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị. Giá trị của 230T bằng bao nhiêu?

Câu 1 : Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), $S A = a \sqrt{2}$ , $A B = a \sqrt{2}$ (xem hình dưới).

Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

A.

$45^{o}$ .
B.

$30^{o}$ .
C.

$90^{o}$ .
D.

$60^{o}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d’ của d lên (P).

Lời giải chi tiết :

Vì AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên $(S B, (A B C)) = (S B, A B) = \hat{S B A}$ .

Xét tam giác SAB vuông tại A: $\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \frac{a \sqrt{2}}{a \sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \hat{S B A} = 45^{o}$ .

Câu 2 : Tập xác định của hàm số y = tanx là

A.

$R ∖ {0}$ .
B.

$R$ .
C.

$R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$ .
D.

$R ∖ {k π ∣ k \in Z}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

$y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ . ĐKXĐ: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in Z$ .

Câu 3 : Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x + 1 - \frac{1}{x - 2}$ là đường thẳng có phương trình

A.

y = x.
B.

x = 2.
C.

y = 1.
D.

y = x + 1.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đường thẳng y = ax + b $(a \neq 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Lời giải chi tiết :

Tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng y = x + 1 vì $lim_{x \to \pm \infty} [y - (x + 1)] = lim_{x \to \pm \infty} \frac{- 1}{x - 2} = 0$ .

Câu 4 : Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng và khác vectơ $\vec{0}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ .
B.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .
C.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ .
D.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết :

$\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b}) = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos 0^{o} = | \vec{a} | . | \vec{b} |$ .

Câu 5 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x} - x$ là

A.

$\frac{2^{x + 1}}{x + 1} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .
B.

$\frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .
C.

$x \cdot 2^{x - 1} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .
D.

$\frac{2^{x}}{x} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ và hàm số lũy thừa:

$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ ; $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int f (x) d x = \int (2^{x} - x) d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

Câu 6 : Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

(-26; 6).
B.

$(- \infty; - 1)$ .
C.

$(3; + \infty)$ .
D.

(-1; 2).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số nghịch biến trên khoảng y’ < 0.

Lời giải chi tiết :

Quan sát bảng biến thiên, thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 3).

Mà (-1; 2) là tập con của (-1; 3) nên hàm số nghịch biến trên (-1; 2).

Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : 3 x + 2 y - 4 z + 1 = 0$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ ?

A.

$\vec{n_{3}} = (- 3; 2; - 4)$ .
B.

$\vec{n_{2}} = (3; 2; 4)$ .
C.

$\vec{n_{1}} = (3; - 2; - 4)$ .
D.

$\vec{n_{4}} = (3; 2; - 4)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 có vecto pháp tuyến là $\vec{n} = (a; b; c)$ và các vecto cùng phương với $\vec{n}$ .

Lời giải chi tiết :

$\vec{n_{4}} = (3; 2; - 4)$ là một vecto pháp tuyến của $(α)$ .

Câu 8 : Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh một trường THPT được cho ở bảng sau.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nửa khoảng nào sau đây?

A.

[40; 60).
B.

[20; 40).
C.

[60; 80).
D.

[0; 20).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lấy số học sinh chia cho 4, so sánh với tần số tích lũy của các nhóm để xác định.

Lời giải chi tiết :

Ta có 120 : 4 = 30. Mà 25 < 30 < 25 + 35 nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nửa khoảng [20; 40).

Câu 9 : Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ và công sai d = 3. Giá trị của $u_{4}$ bằng

A.

10.
B.

13.
C.

27.
D.

4.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

Lời giải chi tiết :

$u_{4} = u_{1} + 3 d = 1 + 3.3 = 10$ .

Câu 10 : Tập nghiệm S của phương trình sinx = 1 là

A.

$S = {k 2 π ∣ k \in Z}$ .
B.

$S = {k π ∣ k \in Z}$ .
C.

$S = {\frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}$ .
D.

$S = {- \frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết :

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π$ , $k \in Z$ .

Câu 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; -4; 3) và B(2; 2; 9). Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là

A.

(2; -1; 6).
B.

(0; 6; 6).
C.

(4; -2; 12).
D.

(0; 3; 3).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu I là trung điểm của AB thì $I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

Lời giải chi tiết :

${\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6 \end{cases} \Rightarrow I (2; - 1; 6)$ .

Câu 12 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} - 2 x$ , trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 3 được xác định bằng công thức

A.

$S = π \int_{- 1}^{3} | x^{2} - 2 x | d x$ .
B.

$S = π \int_{- 1}^{3} {(x^{2} - 2 x)}^{2} d x$ .
C.

$S = \int_{- 1}^{3} | x^{2} - 2 x | d x$ .
D.

$S = | \int_{- 1}^{3} (x^{2} - 2 x) d x |$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết :

$S = \int_{- 1}^{3} | x^{2} - 2 x | d x$ .

Câu 1 : Một hộp chứa các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau gồm 5 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi từ hộp, trong đó có x viên bi trắng, y viên bi đỏ và z viên bi xanh.

a) Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{19}^{5}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất lấy được 5 viên bi đều màu xanh là $\frac{1}{2907}$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh nhỏ hơn 0,94.

Đúng

Sai

d) Xác suất lấy được 5 viên đủ cả ba màu, đồng thời ba số x - y, y - z, z - x theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng $\frac{215}{969}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{19}^{5}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất lấy được 5 viên bi đều màu xanh là $\frac{1}{2907}$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh nhỏ hơn 0,94.

Đúng

Sai

d) Xác suất lấy được 5 viên đủ cả ba màu, đồng thời ba số x - y, y - z, z - x theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng $\frac{215}{969}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tổ hợp, tính chất của cấp số cộng.

Lời giải chi tiết :

Tổng số viên bi là: 5 + 6 + 8 = 19.

a) Đúng. Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{19}^{5}$ .

b) Sai. Xác suất được 5 viên bi đều màu xanh là: $\frac{C_{8}^{5}}{C_{19}^{5}} = \frac{14}{2907}$ .

c) Sai. Xác suất trong 5 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào là: $\frac{C_{11}^{5}}{C_{19}^{5}} = \frac{77}{1938}$ .

Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất 1 viên bi màu xanh là: $1 - \frac{77}{1938} \approx 0, 96 > 0, 94$ .

d) Đúng. Theo giả thiết: x + y + z = 5 (*).

Ba số x – y, y – z, z – x theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên theo tính chất của cấp số cộng, ta có: $2 (y - z) = (x - y) + (z - x) \Leftrightarrow y = z$ .

Thay y = z vào (*), ta được: x + 2y = 5.

Vì $x, y, z \in N^{*}$ nên ta có các trường hợp sau:

TH1: $y = 1 \Rightarrow z = 1, x = 3$ (3 trắng, 1 đỏ, 1 xanh).

Số cách: $C_{5}^{3} . C_{6}^{1} . C_{8}^{1} = 10.6.8 = 480$ .

TH2: $y = 2 \Rightarrow z = 2, x = 1$ (1 trắng, 2 đỏ, 2 xanh).

Số cách: $C_{5}^{1} . C_{6}^{2} . C_{8}^{2} = 5.15.28 = 2100$ .

Tổng số cách là: 480 + 2100 = 2580. Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{2580}{C_{19}^{5}} = \frac{215}{969}$ .

Câu 2 : Cho hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 bằng 2.

Đúng

Sai

b) Hàm số đã cho có một nguyên hàm là hàm số $G (x) = \frac{x^{4}}{2} - x^{3} + x$ .

Đúng

Sai

c) F(x) là một nguyên hàm của hàm số đã cho thoả mãn F(2) = 2, khi đó $F (- 1) = \frac{1}{2}$ .

Đúng

Sai

d) Với $a \in [- 1; 2]$ , hàm số $H (a) = \int_{- 1}^{a} f (x) d x$ đạt giá trị lớn nhất tại a = 1.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 bằng 2.

Đúng

Sai

b) Hàm số đã cho có một nguyên hàm là hàm số $G (x) = \frac{x^{4}}{2} - x^{3} + x$ .

Đúng

Sai

c) F(x) là một nguyên hàm của hàm số đã cho thoả mãn F(2) = 2, khi đó $F (- 1) = \frac{1}{2}$ .

Đúng

Sai

d) Với $a \in [- 1; 2]$ , hàm số $H (a) = \int_{- 1}^{a} f (x) d x$ đạt giá trị lớn nhất tại a = 1.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm và tích phân của hàm số lũy thừa.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $S = \int_{0}^{2} | 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1 | d x = 2$ .

b) Đúng. $\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) d x$

$= 2. \frac{x^{4}}{4} - 3. \frac{x^{3}}{3} + x + C = \frac{x^{4}}{2} - x^{3} + x + C$ .

Vậy hàm số đã cho có một nguyên hàm là hàm số $G (x) = \frac{x^{4}}{2} - x^{3} + x$ .

c) Đúng. $F (2) = 2 \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{2} - 2^{3} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = 0$ .

$F (- 1) = \frac{{(- 1)}^{4}}{2} - {(- 1)}^{3} + (- 1) + 0 = \frac{1}{2}$ .

d) Sai. $H (a) = \int_{- 1}^{a} (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) d x$

$= \frac{a^{4}}{2} - a^{3} + a - [\frac{{(- 1)}^{4}}{2} - {(- 1)}^{3} + (- 1)]$

$= \frac{a^{4}}{2} - a^{3} + a - \frac{1}{2}$ .

$H^{'} (a) = 2 a^{3} - 3 a^{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - \frac{1}{2} \\ a = 1 \end{array}$

Ta có H(-1) = 0; $H (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{32}$ ; H(1) = 0, $H (2) = \frac{3}{2}$ .

Vậy H(a) đạt giá trị lớn nhất tại a = 2.

Câu 3 : Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 kilômét. Một tên lửa phóng từ vị trí gốc toạ độ O theo hướng và vận tốc không đổi. Tên lửa bay từ điểm O(0; 0; 0) đến điểm A(140; 60; 6) trong 8 phút.

a) Sau 8 phút kể từ lúc phóng, tên lửa bay được quãng đường 152,4 km (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đúng

Sai

b) Sau đúng 4 phút kể từ lúc phóng, độ cao của tên lửa là 3 km.

Đúng

Sai

c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).

Đúng

Sai

d) Gọi (P) là mặt phẳng chứa quỹ đạo bay của tên lửa và vuông góc với mặt phẳng Oxy. Phương trình mặt phẳng P là 3x - 8y = 0.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Sau 8 phút kể từ lúc phóng, tên lửa bay được quãng đường 152,4 km (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đúng

Sai

b) Sau đúng 4 phút kể từ lúc phóng, độ cao của tên lửa là 3 km.

Đúng

Sai

c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).

Đúng

Sai

d) Gọi (P) là mặt phẳng chứa quỹ đạo bay của tên lửa và vuông góc với mặt phẳng Oxy. Phương trình mặt phẳng P là 3x - 8y = 0.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto để giải.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Quãng đường tên lửa bay được sau 8 phút là:

$O A = \sqrt{140^{2} + 60^{2} + 6^{2}} \approx 152, 4$ (km).

b) Đúng. Sau 4 phút từ lúc phóng, tên lửa ở vị trí trung điểm của OA, giả sử đó là điểm I.

Ta tìm được tọa độ của I là I(70; 30; 3). Vậy độ cao của tên lửa là 3 km.

c) Sai. Giả sử tọa độ của tên lửa sau 12 phút là B(m; n; p).

Vì $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ nên $\frac{O B}{O A} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow {\begin{cases} m = \frac{3}{2} .140 = 210 \\ n = \frac{3}{2} .60 = 90 \\ p = \frac{3}{2} .6 = 9 \end{cases} \Rightarrow B (210; 90; 9)$ .

d) Sai. $\vec{k}$ là vecto chỉ phương của (Oxy), mà (Oxy) vuông góc với (P) nên $\vec{k}$ là một vecto chỉ phương của (P).

Quỹ đạo tên lửa là $\vec{u} = (70; 30; 3) = \frac{1}{2} \vec{O A}$ .

Một vecto pháp tuyến của (P) là: $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{k}] = (- 30; 70; 0)$ .

Phương trình tổng quát của (P) là:

$- 30 (x - 0) + 70 (y - 0) + 0 (z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow - 30 x + 70 y = 0 \Leftrightarrow 3 x - 7 y = 0$ .

Câu 4 : Cho hàm số f(x) = 92 – 20ln(x + 1).

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D = (- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Bất phương trình $f (x) \geq 36$ có đúng 15 nghiệm nguyên.

Đúng

Sai

c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(x) + 5x trên đoạn [1; 4] bằng 107 – 40ln2.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D = (- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Bất phương trình $f (x) \geq 36$ có đúng 15 nghiệm nguyên.

Đúng

Sai

c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(x) + 5x trên đoạn [1; 4] bằng 107 – 40ln2.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ, giải bất phương trình logarit. Ứng dụng đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. ĐKXĐ: $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$ . Vậy TXĐ là $D = (- 1; + \infty)$ .

b) Sai. $f (x) \geq 36 \Leftrightarrow 92 - 20 \ln (x + 1) \geq 36$

$\Leftrightarrow \ln (x + 1) \leq \frac{14}{5} \Leftrightarrow x + 1 \leq e^{\frac{14}{5}}$

$\Leftrightarrow x \leq e^{\frac{14}{5}} - 1 \approx 15, 4$ .

Vậy $f (x) \geq 36$ có 16 nghiệm nguyên (từ 0 đến 15).

c) Sai. $f^{'} (x) = \frac{- 20}{x + 1} < 0$ với mọi $x > - 1$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên $(- 1; + \infty)$ .

d) Sai. Xét hàm $g (x) = 92 - 20 \ln (x + 1) + 5 x$ .

$g^{'} (x) = \frac{- 20}{x + 1} + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ .

Ta có $g (1) \approx 83, 1$ ; $g (3) \approx 79, 3$ ; $g (4) \approx 79, 8$ .

Vậy GTLN của g(x) trên [1; 4] là g(1) = 97 – 20ln2.

Câu 1 : Ông An đang xây một ngôi nhà, trong quá trình xây phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm B trên một chân tường và điểm C trên cột góc nhà, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm A trên chân tường còn lại cách điểm O ở góc giao hai chân tường một khoảng 5 m, ông cũng tận dụng một chiếc cột có sẵn để chống mặt ghép (xem hình dưới). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà, cột có chiều cao 1 m và cách hai bức tường với cùng khoảng cách 1 m (đỉnh cột là điểm M). Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ở vị trí phù hợp, tìm tọa độ các điểm và lập phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó, áp dụng công thức tính diện tích $S_{A B C} = \frac{1}{2} | [\vec{A B}, \vec{A C}] |$ và ứng dụng đạo hàm, tìm GTNN.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là góc giao hai chân tường, A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz sao cho tọa độ các điểm trên đều không âm.

Khi đó O(0; 0; 0), A(5; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), M(1; 1; 1).

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì M(1; 1; 1) thuộc (ABC) nên $\frac{1}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5 b}{4 b - 5}$ .

$\vec{A B} = (- 5; b; 0)$ , $\vec{A C} = (- 5; 0; c)$ , $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (b c; 5 c; 5 b)$ .

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} | [\vec{A B}, \vec{A C}] | = \frac{1}{2} \sqrt{{(b c)}^{2} + 25 c^{2} + 25 b^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{(b . \frac{5 b}{4 b - 5})}^{2} + 25 {(\frac{5 b}{4 b - 5})}^{2} + 25 b^{2}}$ .

Ta tìm được S đạt GTNN tại b = 2,5. Khi đó S = 9,375 $\approx$ 9,38.

Câu 2 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $B C = 2 \sqrt{3}$ , AB = 3. Khoảng cách giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (BCC'B') bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Để tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), ta tính khoảng cách từ một điểm A thuộc d đến hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (P).

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ABC vuông tại A: $A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{12 - 9} = \sqrt{3}$ .

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC.

$\begin{array}{l} B B^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow B B^{'} ⊥ A H \\ B C ⊥ A H \end{array}} \Rightarrow A H ⊥ (B C C^{'} B^{'})$ .

Ta có AA’ // (BCC’B’) và H là hình chiếu của A lên (BCC’B’) nên $d (A A^{'}, (B C C^{'} B^{'})) = A H$ .

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH: $A H = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 1, 5$ .

Câu 3 : Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là trà sữa và bánh ngọt. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá 40 nghìn đồng, bao gồm hai ly trà sữa và một chiếc bánh ngọt. Thực đơn 2 có giá 65 nghìn đồng, bao gồm ba ly trà sữa và hai chiếc bánh ngọt. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá 180 ly trà sữa và 110 chiếc bánh ngọt. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?

Phương pháp giải :

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi x là số thực đơn 1, y là số thực đơn 2 câu lạc bộ bán được ( $x, y \in N$ ).

Khi đó, câu lạc bộ bán được 2x + 3y ly trà sữa và x + 2y chiếc bánh ngọt.

Ta có hệ bất phương trình: ${\begin{cases} x, y \geq 0 \\ 2 x + 3 y \leq 180 \\ x + 2 y \leq 110 \end{cases}$

Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD kể cả biên, với A(0; 0), B(0; 55), C(30; 40), D(90; 0).

Số tiền câu lạc bộ nhận được là: F(x; y) = 40x + 65y (nghìn đồng).

Ta có: F(0; 0) = 0; F(0; 55) = 3575; F(30; 40) = 3800; F(90; 0) = 3600.

Vậy tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng 3800 nghìn đồng.

Câu 4 : Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 6$ và $y = g (x) = - b x^{2} + m x + n$ trong đó $a, b, c, m, n \in R$ . Biết đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng -2; 1; 3. Chi phí trồng hoa là 150000 đồng/ $m^{2}$ và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải :

Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị và áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x) là:

$a x^{3} + b x^{2} + c x + 6 = - b x^{2} + m x + n$

$\Leftrightarrow a x^{3} + 2 b x^{2} + (c - m) x + (6 - n) = 0$ .

Đặt $h (x) = a x^{3} + 2 b x^{2} + (c - m) x + (6 - n)$ (1)

Theo đề bài, đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ x = -2, x = 1, và x = 3. Do đó, h(x) có thể được viết dưới dạng:

$h (x) = a (x + 2) (x - 1) (x - 3)$

$= a x^{3} - 2 a x^{2} - 5 a x + 6 a$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra hệ số tự do của h(x) là 6 – n = 6a.

Quan sát hình vẽ, thấy đồ thị của hàm g(x) là parabol đi qua gốc tọa độ nên ta có:

$g (0) = 0 \Leftrightarrow - b {.0}^{2} + m .0 + n = 0$

$\Leftrightarrow n = 0 \Rightarrow 6 - 0 = 6 a \Rightarrow a = 1$ .

Suy ra $h (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ .

Diện tích trồng hoa là:

$\int_{- 2}^{3} | h (x) | d x = \int_{- 2}^{3} | x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 | d x \approx 21, 08$ $(m^{2})$ .

Chi phí trồng hoa là: $150.21, 08 \approx 3163$ (nghìn đồng).

Câu 5 : Một khu chung cư có 120 căn hộ cho thuê. Người quản lí của khu chung cư nhận thấy rằng nếu giá thuê một căn hộ là 7 triệu đồng một tháng thì tất cả các căn hộ đều sẽ có người thuê. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê một căn hộ mỗi tháng thêm 250 nghìn đồng thì sẽ có thêm ba căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng một tháng để doanh thu một tháng là lớn nhất?

Phương pháp giải :

Gọi số lần tăng giá thuê là x. Lập hàm số biểu diễn doanh thu 1 tháng theo x, tìm x để hàm số đạt GTLN, từ đó suy ra giá thuê mỗi tháng.

Sử dụng lí thuyết: Đỉnh của parabol $y = a x^{2} + b x + c$ có hoành độ $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi số lần tăng giá thuê là x (lần; $x \in N$ ).

Giá thuê 1 căn hộ sau khi tăng x lần: 7 + 0,25x (triệu đồng).

Số căn hộ được thuê sau khi tăng giá x lần: 120 – 3x (căn hộ).

Doanh thu 1 tháng là:

$D (x) = (7 + 0, 25 x) (120 - 3 x)$

$= - 0, 75 x^{2} + 9 x + 840$ .

D(x) là hàm bậc hai có đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới (do -0,75 < 0). Vì vậy, D(x) đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh là: $x = - \frac{9}{2 (- 0, 75)} = 6$ .

Vậy, để doanh thu 1 tháng là lớn nhất thì giá thuê là: 7 + 0,25.6 = 8,5 (triệu đồng/tháng).

Câu 6 : Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, gọi T là xác suất số lấy được là số lẻ đồng thời tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị. Giá trị của 230T bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp liệt kê và phương pháp tổ hợp.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Tập hợp S gồm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Số các số có thể lập được là: n(S) = 6! = 720.

Gọi số cần tìm có dạng $\bar{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}}$ . Theo đề bài:

- Chữ số cuối là số lẻ: $a_{6} \in {1; 3; 5}$ .

- Tổng chữ số: $a_{1} + a_{2} + a_{3} = (a_{4} + a_{5} + a_{6}) + 1$ .

- Tổng của cả 6 chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Đặt $X = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ và $Y = a_{4} + a_{5} + a_{6}$ .

Ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} X + Y = 21 \\ X = Y + 1 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} X = 11 \\ Y = 10 \end{cases}$

Ta cần tìm các bộ 3 số ${a_{4}; a_{5}; a_{6}}$ có tổng bằng 10; trong đó $a_{6}$ phải là số lẻ (1; 3; 5).

TH1: $a_{6} = 1$ . Khi đó $a_{4} + a_{5} = 10 - 1 = 9$ .

Các cặp ${a_{4}; a_{5}}$ từ tập {2; 3; 4; 5; 6} có tổng bằng 9 là: {3; 6} và {4; 5}.

+) Với bộ {3; 6; 1}: Các chữ số còn lại cho ${a_{1}; a_{2}; a_{3}}$ là {2; 4; 5} (tổng = 11 - TM).

Số các số: 3!.2! = 6.2 = 12 số.

+) Với bộ ${4; 5; 1}$ : Các chữ số còn lại là ${2; 3; 6}$ (tổng = 11 - TM).

Số các số: $3! .2! = 12$ số.

TH2: $a_{6} = 3$ . Khi đó $a_{4} + a_{5} = 10 - 3 = 7$ .

Các cặp ${a_{4}; a_{5}}$ từ tập {1; 2; 4; 5; 6} có tổng bằng 7 là: {1; 6} và {2; 5}.

+) Với bộ {1; 6; 3}: Các chữ số còn lại là {2; 4; 5} (tổng = 11 - TM).

Số các số: $3! .2! = 12$ số.

+) Với bộ {2; 5; 3}: Các chữ số còn lại là {1; 4; 6} (tổng = 11 - TM).

Số các số: 3!.2! = 12 số.

TH3: $a_{6} = 5$ . Khi đó $a_{4} + a_{5} = 10 - 5 = 5$ .

Các cặp ${a_{4}; a_{5}}$ từ tập {1; 2; 3; 4; 6} có tổng bằng 5 là: {1; 4} và {2; 3}.

+) Với bộ {1; 4; 5}: Các chữ số còn lại là {2; 3; 6} (tổng = 11 - TM).

Số các số: 3!.2! = 12 số.

+) Với bộ {2; 3; 5}: Các chữ số còn lại là {1; 4; 6} (tổng = 11 - TM).

Số các số: 3!.2! = 12 số.

Tổng số các số thỏa mãn điều kiện là: 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 72 (số).

Xác suất T là: $T = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}$ . Vậy $230 T = 230. \frac{1}{10} = 23$ .