Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường Lê Thánh Tông - TP HCM

a) Sai. $y^{\prime }=\frac{3}{{(x+2)}^2}>0$ $\forall x\ne -2$.

Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(-2;+\infty \right)$. Cách viết $R\setminus \{-2\}$ là sai.

b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm của hai tiệm cận.

(C) có tiệm cận ngang là y = 1, tiệm cận đứng là x = -2. Vậy I(-2; 1).

c) Đúng. Đặt $y=f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2}$. Ta có: $f^{\prime }\left(1\right)=\frac{1}{3}$; $f\left(1\right)=0$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 1 là: $y=\frac{1}{3}(x-1)+0\iff y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$.

d) Đúng. Để tam giác ABI đều, I là tâm đối xứng thì A và B phải đối xứng nhau qua một trong hai đường phân giác ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Các đường tiệm cận song song với trục hai trục tọa độ nên góc tạo bởi lần lượt hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ với trục Ox là ${45}^o$ và ${135}^o$, do đó hệ số góc của ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ lần lượt là $k_1=\tan {45}^o=1$ và $k_2=\tan {135}^o=-1$.

${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ đi qua I(-2; 1) nên ta có: $\{\begin{array}{c}{\Delta }_1:1=1.(-2)+c_1\\ {\Delta }_2:1=-1.(-2)+c_2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{c}_1=3\\ c_2=-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\Delta }_1:y=x+3\\ {\Delta }_2:y=-x-1\end{array}$.

Ta có ${\Delta }_2$ cắt (C) nên A, B đối xứng qua ${\Delta }_2$.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường phân giác d. Trong tam giác đều ABI, góc giữa đường thẳng IA và đường phân giác d phải là ${30}^o$.

Sử dụng công thức cosin góc giữa đường thẳng IA và d: $\cos {30}^o=\frac{\left|\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{u_d}\right|}{\left|\overrightarrow{IA}\right|.\left|\overrightarrow{u_d}\right|}$.

${\Delta }_2$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=(1;-1)$.

Vì A thuộc (C) nên $A\left(x_A;\frac{x_A-1}{x_A+2}\right)$; $\overrightarrow{IA}=\left(x_A+2;\frac{x_A-1}{x_A+2}-1\right)=\left(x_A+2;\frac{-3}{x_A+2}\right)$.

Đặt $t=x_A+2\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left(t;\frac{-3}{t}\right)$.

Suy ra $\cos {30}^o=\frac{\left|t.1+\left(-\frac{3}{t}\right).(-1)\right|}{\sqrt{t^2+\frac{9}{t^2}}.\sqrt{2}}\iff \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\left|t+\frac{3}{t}\right|}{\sqrt{2\left(t^2+\frac{9}{t^2}\right)}}$.

Bình phương hai vế: $\frac{3}{4}=\frac{{\left(t+\frac{3}{t}\right)}^2}{2\left(t^2+\frac{9}{t^2}\right)}\iff \frac{3}{4}=\frac{t^2+\frac{9}{t^2}+6}{2\left(t^2+\frac{9}{t^2}\right)}$.

Đặt $u=t^2+\frac{9}{t^2}=t^2+{\left(\frac{-3}{t}\right)}^2=I{A}^2$. Ta có phương trình:

$\frac{3}{4}=\frac{u+6}{2u}\Rightarrow 6u=4u+24\Rightarrow 2u=24\Rightarrow u=12$.

Vậy $I{A}^2=12$. Vì tam giác ABI đều nên cạnh $AB=IA=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.