Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường THPT Đông Đô - Hà Nội

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{m x + n}$ có đồ thị như Hình 1. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .
B.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .
C.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .
D.

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Câu 2 : Cho hàm số có đồ thị như hình:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là:

A.

x = -1.
B.

x = 2.
C.

y = -1.
D.

y = 2.

Câu 3 : Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = 10^{x}$ ?

A.

$y = 10^{x} ln 10$ .
B.

$y = 10^{x}$ .
C.

$y = \frac{10^{x}}{ln 10}$ .
D.

$y = \frac{10^{x + 1}}{x + 1}$ .

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, tọa độ của vectơ $⃗ u = 2 ⃗ k - 3 ⃗ j + 4 ⃗ i$ là:

A.

(2; -3; 4).
B.

(2; 3; 4).
C.

(4; 3; 2).
D.

(4; -3; 2).

Câu 5 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai điểm $A (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ bằng:

A.

$| x_{2} - x_{1} | + | y_{2} - y_{1} | + | z_{2} - z_{1} |$ .
B.

$\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$ .
C.

$\frac{| x_{2} - x_{1} | + | y_{2} - y_{1} | + | z_{2} - z_{1} |}{3}$ .
D.

$\frac{\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}}{3}$ .

Câu 6 : Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $⃗ n = (a; b; c)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình

A.

$c (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + a (z - z_{0}) = 0$ .
B.

$b (x - x_{0}) + a (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .
C.

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .
D.

$c (x - x_{0}) + a (y - y_{0}) + b (z - z_{0}) = 0$ .

Câu 7 : Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ bán kính R có phương trình là

A.

$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .
B.

$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} - (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .
C.

$(x - x_{0})^{2} - (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .
D.

$- (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .

Câu 8 : Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng

A.

$¯ x = \sqrt{\frac{n_{1} x_{1}^{2} + n_{2} x_{2}^{2} + \dots + n_{m} x_{m}^{2}}{m}}$ .
B.

$¯ x = \sqrt{\frac{n_{1} x_{1}^{2} + n_{2} x_{2}^{2} + \dots + n_{m} x_{m}^{2}}{n}}$ .
C.

$¯ x = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{m} x_{m}}{m}$ .
D.

$¯ x = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{m} x_{m}}{n}$ .

Câu 9 : Cho các biến cố A và B thỏa mãn P(A) > 0, P(B) > 0. Khi đó P(A|B) bằng biểu thức nào dưới đây?

A.

$\frac{P (A) P (B | A)}{P (B)}$ .
B.

$\frac{P (B) P (B | A)}{P (A)}$ .
C.

$\frac{P (B)}{P (A) P (B | A)}$ .
D.

$\frac{P (A)}{P (B) P (B | A)}$ .

Câu 10 : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên $R$ thỏa mãn $f (x) \geq m, \forall x \in R$ và tồn tại $a \in R$ sao cho f(a) = m thì

A.

Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng m.
B.

Hàm số y = f(x) đạt giá trị cực tiểu bằng m.
C.

Hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m.
D.

Hàm số y = f(x) đạt giá trị cực đại bằng m.

Câu 11 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $R$ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = -1 và x = 5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{5} f (x) d x$ .
B.

$S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{5} f (x) d x$ .
C.

$S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x$ .
D.

$S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x$ .

Câu 12 : Khi thống kê chiều cao (đơn vị: centimet) của học sinh lớp 12A, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như Bảng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:

A.

25 cm.
B.

5 cm.
C.

20 cm.
D.

180 cm.

Câu 1 : Một xe ô tô đang chạy với tốc độ 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = -10t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Đúng

Sai

b) $s (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ .

Đúng

Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.

Đúng

Sai

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường.

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a (Hình).

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C' bằng a.

Đúng

Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng $45^{o}$ .

Đúng

Sai

c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (ABCD) bằng $60^{o}$ .

Đúng

Sai

d) Góc nhị diện [C, BB', D] có số đo bằng $45^{o}$ .

Đúng

Sai

Câu 3 : Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: $N (t) = 100 e^{0, 012 t}$ (N(t) được tính bằng triệu người $0 \leq t \leq 50$ ). Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50].

a) Dân số của quốc gia này vào các năm 2035 (t = 12) là: $N (12) = 100 e^{0, 012.12} = 115, 488$ triệu người. (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

Đúng

Sai

b) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dần số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Ta có $N^{'} (t) = 1, 2. e^{0, 012 t}$ .

Đúng

Sai

c) Hàm số N(t) luôn đồng biến trên đoạn [0; 50].

Đúng

Sai

d) Vào năm 2045 tốc độ tăng dần số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Đúng

Sai

Câu 4 : Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I"; B: "Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I".

a) $P (B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{16}{23}$ .

Đúng

Sai

b) $P (B ∣ ∣ ∣ ¯ ¯¯ ¯ A) = \frac{15}{23}$ .

Đúng

Sai

c) $P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{8}{23}$ .

Đúng

Sai

d) $P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ ∣ ¯ ¯¯ ¯ A) = \frac{7}{23}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Câu 2 : Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như Hình với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Tìm được tọa độ của vectơ $\to A B = (a; b; c)$ , khi đó a + c bằng bao nhiêu?

Câu 3 : Khi thống kê chiều cao của học sinh khối lớp 12 trong một trường trung học, ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị centimét).

Câu 4 : Theo một cuộc điều tra thì xác suất để một hộ gia đình có máy vi tính nếu thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ được điều tra thì 60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất để một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên có thu nhập hàng năm trên 20 triệu, biết rằng hộ đó không có máy vi tính (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5 : Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Biết rằng có vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất, tính độ dài BM (đơn vị kilômét).

Câu 6 : Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích (đơn vị $c m^{3}$ ) lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{m x + n}$ có đồ thị như Hình 1. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .
B.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .
C.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .
D.

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số đồng biến trên khoảng đồ thị đi lên, hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị đi xuống.

Lời giải chi tiết :

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 2 : Cho hàm số có đồ thị như hình:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là:

A.

x = -1.
B.

x = 2.
C.

y = -1.
D.

y = 2.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và trả lời.

Lời giải chi tiết :

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = 2.

Câu 3 : Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = 10^{x}$ ?

A.

$y = 10^{x} ln 10$ .
B.

$y = 10^{x}$ .
C.

$y = \frac{10^{x}}{ln 10}$ .
D.

$y = \frac{10^{x + 1}}{x + 1}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{ln a} + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int 10^{x} d x = \frac{10^{x}}{ln 10} + C$ .

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, tọa độ của vectơ $⃗ u = 2 ⃗ k - 3 ⃗ j + 4 ⃗ i$ là:

A.

(2; -3; 4).
B.

(2; 3; 4).
C.

(4; 3; 2).
D.

(4; -3; 2).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$⃗ u = a ⃗ i + b ⃗ j + c ⃗ k = (a; b; c)$ .

Lời giải chi tiết :

$⃗ u = 2 ⃗ k - 3 ⃗ j + 4 ⃗ i = (4; - 3; 2)$ .

Câu 5 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai điểm $A (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ bằng:

A.

$| x_{2} - x_{1} | + | y_{2} - y_{1} | + | z_{2} - z_{1} |$ .
B.

$\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$ .
C.

$\frac{| x_{2} - x_{1} | + | y_{2} - y_{1} | + | z_{2} - z_{1} |}{3}$ .
D.

$\frac{\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}}{3}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.

Lời giải chi tiết :

$A B = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$ .

Câu 6 : Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $⃗ n = (a; b; c)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình

A.

$c (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + a (z - z_{0}) = 0$ .
B.

$b (x - x_{0}) + a (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .
C.

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .
D.

$c (x - x_{0}) + a (y - y_{0}) + b (z - z_{0}) = 0$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc lập phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Phương trình mặt phẳng cần tìm là $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .

Câu 7 : Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ bán kính R có phương trình là

A.

$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .
B.

$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} - (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .
C.

$(x - x_{0})^{2} - (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .
D.

$- (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc lập phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu cần tìm có phương trình $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .

Câu 8 : Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng

A.

$¯ x = \sqrt{\frac{n_{1} x_{1}^{2} + n_{2} x_{2}^{2} + \dots + n_{m} x_{m}^{2}}{m}}$ .
B.

$¯ x = \sqrt{\frac{n_{1} x_{1}^{2} + n_{2} x_{2}^{2} + \dots + n_{m} x_{m}^{2}}{n}}$ .
C.

$¯ x = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{m} x_{m}}{m}$ .
D.

$¯ x = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{m} x_{m}}{n}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải chi tiết :

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là $¯ x = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{m} x_{m}}{n}$ .

Câu 9 : Cho các biến cố A và B thỏa mãn P(A) > 0, P(B) > 0. Khi đó P(A|B) bằng biểu thức nào dưới đây?

A.

$\frac{P (A) P (B | A)}{P (B)}$ .
B.

$\frac{P (B) P (B | A)}{P (A)}$ .
C.

$\frac{P (B)}{P (A) P (B | A)}$ .
D.

$\frac{P (A)}{P (B) P (B | A)}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện.

Lời giải chi tiết :

$P (A ∣ ∣ ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)} = \frac{P (A) . P (B | A)}{P (B)}$ .

Câu 10 : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên $R$ thỏa mãn $f (x) \geq m, \forall x \in R$ và tồn tại $a \in R$ sao cho f(a) = m thì

A.

Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng m.
B.

Hàm số y = f(x) đạt giá trị cực tiểu bằng m.
C.

Hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m.
D.

Hàm số y = f(x) đạt giá trị cực đại bằng m.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào lí thuyết về GTLN, GTNN và cực trị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m.

Câu 11 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $R$ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = -1 và x = 5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{5} f (x) d x$ .
B.

$S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{5} f (x) d x$ .
C.

$S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x$ .
D.

$S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng: $S = b \int a | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết :

$S = 5 \int - 1 | f (x) | d x = 1 \int - 1 | f (x) | d x + 5 \int 1 | f (x) | d x = 1 \int - 1 f (x) d x - 5 \int 1 f (x) d x$ .

Câu 12 : Khi thống kê chiều cao (đơn vị: centimet) của học sinh lớp 12A, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như Bảng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:

A.

25 cm.
B.

5 cm.
C.

20 cm.
D.

180 cm.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa số liệu).

Lời giải chi tiết :

Khoảng biến thiên: R = 180 – 155 = 25 (cm).

Câu 1 : Một xe ô tô đang chạy với tốc độ 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = -10t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Đúng

Sai

b) $s (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ .

Đúng

Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.

Đúng

Sai

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Đúng

Sai

b) $s (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ .

Đúng

Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.

Đúng

Sai

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Ứng dụng kiến thức về nguyên hàm để giải bài toán.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường.

b) Đúng. $s (t) = \int v (t) d t = \int (- 10 t + 20) d t = - 5 t^{2} + 20 t + C$ .

Có $s (0) = 0 \Leftrightarrow - {5.0}^{2} + 20.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$ .

Vậy $s (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ .

c) Sai. Ô tô dừng hẳn khi $v (t) = 0 \Leftrightarrow - 10 t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ .

Vậy ô tô dừng hẳn sau khi đạp phanh 2 giây.

d) Đúng. Đổi: 65 km/h = $\frac{325}{18}$ m/s.

Trong 1 giây sau khi phát hiện chướng ngại vật, ô tô đi tiếp $\frac{325}{18}$ mét.

Trong 2 giây sau khi phanh, ô tô đi tiếp được $s (2) = - {5.2}^{2} + 20.2 = 20$ mét trước khi dừng hẳn.

Vậy sau khi phát hiện chướng ngại vật, ô tô đi tiếp $\frac{325}{18} + 20 \approx 38$ mét trước khi dừng hẳn, do đó ô tô không va vào chướng ngại vật.

Câu 2 : Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a (Hình).

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C' bằng a.

Đúng

Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng $45^{o}$ .

Đúng

Sai

c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (ABCD) bằng $60^{o}$ .

Đúng

Sai

d) Góc nhị diện [C, BB', D] có số đo bằng $45^{o}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C' bằng a.

Đúng

Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng $45^{o}$ .

Đúng

Sai

c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (ABCD) bằng $60^{o}$ .

Đúng

Sai

d) Góc nhị diện [C, BB', D] có số đo bằng $45^{o}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng các quy tắc xác định khoảng cách và góc trong không gian.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vì BB’ là đoạn vuông góc chung của AB và B’C’ nên $d (A B, B^{'} C^{'}) = B B^{'} = a$ .

b) Đúng. Vì BD // B’D’ nên $(A B, B^{'} D^{'}) = (A B, B D) = ˆ A B D = 45^{o}$ .

c) Sai. Vì CD là hình chiếu của CD’ lên (ABCD) nên $(C D^{'}, (A B C D)) = (C D^{'}, C D) = ˆ D C D^{'} = 45^{o}$ .

d) Đúng. Ta có $(B C C^{'} B^{'}) \cap (B D D^{'} B^{'}) = B B^{'}$ , $B C ⊥ B B^{'}$ , $B D ⊥ B B^{'}$ nên $[C, B B^{'}, D] = ˆ C B D = 45^{o}$ .

Câu 3 : Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: $N (t) = 100 e^{0, 012 t}$ (N(t) được tính bằng triệu người $0 \leq t \leq 50$ ). Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50].

a) Dân số của quốc gia này vào các năm 2035 (t = 12) là: $N (12) = 100 e^{0, 012.12} = 115, 488$ triệu người. (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

Đúng

Sai

b) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dần số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Ta có $N^{'} (t) = 1, 2. e^{0, 012 t}$ .

Đúng

Sai

c) Hàm số N(t) luôn đồng biến trên đoạn [0; 50].

Đúng

Sai

d) Vào năm 2045 tốc độ tăng dần số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Dân số của quốc gia này vào các năm 2035 (t = 12) là: $N (12) = 100 e^{0, 012.12} = 115, 488$ triệu người. (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

Đúng

Sai

b) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dần số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Ta có $N^{'} (t) = 1, 2. e^{0, 012 t}$ .

Đúng

Sai

c) Hàm số N(t) luôn đồng biến trên đoạn [0; 50].

Đúng

Sai

d) Vào năm 2045 tốc độ tăng dần số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

N(t) là dân số thì N’(t) là tốc độ gia tăng dân số. Thay số vào công thức để giải.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Dân số của quốc gia này vào các năm 2035 (t = 12) là:

$N (12) = 100 e^{0, 012.12} = 115, 488$ triệu người.

(Kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Đúng. Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dần số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Ta có:

$N^{'} (t) = 100.0, 012. e^{0, 012 t} = 1, 2. e^{0, 012 t}$ .

c) Đúng. Hàm số N(t) luôn đồng biến trên đoạn [0; 50] vì $N^{'} (t) = 1, 2. e^{0, 012 t}$ . với mọi t thuộc [0; 50].

d) Sai. Có 2045 – 2023 = 22. Tốc độ tăng dần số của quốc gia đó vào năm 2045 là:

$N^{'} (t) = 1, 2. e^{0, 012.22} \approx 1, 563$ (triệu người/năm).

Câu 4 : Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I"; B: "Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I".

a) $P (B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{16}{23}$ .

Đúng

Sai

b) $P (B ∣ ∣ ∣ ¯ ¯¯ ¯ A) = \frac{15}{23}$ .

Đúng

Sai

c) $P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{8}{23}$ .

Đúng

Sai

d) $P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ ∣ ¯ ¯¯ ¯ A) = \frac{7}{23}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) $P (B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{16}{23}$ .

Đúng

Sai

b) $P (B ∣ ∣ ∣ ¯ ¯¯ ¯ A) = \frac{15}{23}$ .

Đúng

Sai

c) $P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{8}{23}$ .

Đúng

Sai

d) $P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ ∣ ¯ ¯¯ ¯ A) = \frac{7}{23}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng định nghĩa xác suất có điều kiện.

Lời giải chi tiết :

$¯ ¯¯ ¯ A$ : "Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại II"; $¯ ¯¯ ¯ B$ : "Lần thứ hai lấy ra chai nước loại II";

a) Sai. Sau khi A xảy ra thì két còn 15 chai nước loại I trong số 23 chai. Khi đó: $P (B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{15}{23}$ .

b) Sai. Sau khi $¯ ¯¯ ¯ A$ xảy ra thì két vẫn còn nguyên 16 chai nước loại I trong số 23 chai. Khi đó: $P (B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{16}{23}$ .

c) Đúng. Sau khi A xảy ra thì két vẫn còn nguyên 8 chai nước loại II trong số 23 chai. Khi đó: $P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ ∣ A) = \frac{8}{23}$ .

d) Đúng. Sau khi $¯ ¯¯ ¯ A$ xảy ra thì két còn 7 chai nước loại II trong số 23 chai. Khi đó: $P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ ∣ ¯ ¯¯ ¯ A) = \frac{7}{23}$ .

Câu 1 : Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Phương pháp giải :

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính mặt cầu (S).

Xác định bán kính mặt cầu bằng công thức $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ , từ đó suy ra đường kính.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính mặt cầu (S).

Ta có bán kính mặt cầu (S) là $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} - 5} = 3$ (km). Vậy đường kính của (S) bằng 6 km.

Câu 2 : Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như Hình với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Tìm được tọa độ của vectơ $\to A B = (a; b; c)$ , khi đó a + c bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ. Tìm tọa độ điểm A, B rồi tính tọa độ vectơ $\to A B$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$\to O A = 10 ⃗ k \Rightarrow A (0; 0; 10)$ .

Xét $Δ O H B$ vuông tại $H$ :

$O H = O B . cos ˆ H O B = O B . cos 30^{o} = \frac{15 \sqrt{3}}{2}$ .

Xét $Δ O K B$ vuông tại $K$ :

$O K = O B . cos ˆ K O B = O B . cos (90^{o} - 30^{o}) = \frac{15}{2}$ .

Suy ra $B (\frac{15}{2}; \frac{15 \sqrt{3}}{2}; 0)$

$\Rightarrow \to A B = (\frac{15}{2}; \frac{15 \sqrt{3}}{2}; - 10)$ .

Vậy $a + c = \frac{15}{2} + (- 10) = - 2, 5$ .

Câu 3 : Khi thống kê chiều cao của học sinh khối lớp 12 trong một trường trung học, ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị centimét).

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Tổng số học sinh là: 5 + 18 + 40 + 26 + 8 + 3 = 100.

Số trung bình:

$¯ ¯ ¯ x = \frac{153.5 + 159.18 + 165.40 + 171.26 + 177.8 + 183.3}{100} = 166, 38$ .

Phương sai:

$s^{2} = \frac{1}{100} . ({5.153}^{2} + {18.159}^{2} + {40.165}^{2} + {26.171}^{2} + {8.177}^{2} + {3.183}^{2}) - 166, 38^{2} = 42, 3756$ .

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{42, 3756} \approx 6, 51$ (cm).

Câu 4 : Theo một cuộc điều tra thì xác suất để một hộ gia đình có máy vi tính nếu thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ được điều tra thì 60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất để một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên có thu nhập hàng năm trên 20 triệu, biết rằng hộ đó không có máy vi tính (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

A: “Hộ gia đình có thu nhập trên 20 triệu”.

B: “Hộ gia đình có máy vi tính”, $¯ ¯¯ ¯ B$ : “Hộ gia đình không có máy vi tính”.

Theo đề bài: P(B|A) = 0,75; P(A) = 60% = 0,6; P(B) = 52% = 0,52.

Ta có $P (¯ ¯¯ ¯ B) = 1 - P (B) = 1 - 0, 52 = 0, 48$ ;

$P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ A) = 1 - P (B ∣ ∣ A) = 1 - 0, 75 = 0, 25$ .

Xác suất cần tính là:

$P (A ∣ ∣ ∣ ∣ ¯ ¯¯ ¯ B) = \frac{P (A) P (¯ ¯¯ ¯ B ∣ ∣ A)}{P (¯ ¯¯ ¯ B)} = \frac{0, 6.0, 25}{0, 48} \approx 0, 31$ .

Câu 5 : Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Biết rằng có vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất, tính độ dài BM (đơn vị kilômét).

Phương pháp giải :

Đặt BM = x. Lập hàm số biểu diễn tổng chi phí lắp đặt theo x, ứng dụng đạo hàm tìm x để hàm số đạt GTNN.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Đặt BM = x (km; $0 \leq x \leq 10$ ).

Khi đó AM = AB – BM = 10 – x (km); $C M = \sqrt{x^{2} + 4^{2}}$ (km).

Tổng chi phí lắp đặt là: $P = 30. A M + 50. C M$

$= 30 (10 - x) + 50 \sqrt{x^{2} + 4^{2}} = 300 - 30 x + 50 \sqrt{x^{2} + 16}$ (triệu đồng).

$P^{'} = - 30 + \frac{50 x}{\sqrt{x^{2} + 16}} = 0 \Leftrightarrow x = 3$ .

Ta có P(0) = 500; P(3) = 460; P(10) $\approx$ 538,5.

Vậy để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất thì BM = 3 km.

Câu 6 : Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích (đơn vị $c m^{3}$ ) lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể ứng dụng tích phân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Đặt R = 6 (cm), h = 10 (cm). Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x $(- 6 \leq x \leq 6)$ cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S(x).

Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác ABC vuông tại B như trong hình vẽ.

Ta có $S (x) = S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot B C$

$= \frac{1}{2} B C^{2} tan α = \frac{1}{2} (R^{2} - x^{2}) \frac{h}{R} = \frac{5 (36 - x^{2})}{6}$ .

Vậy thể tích lượng nước trong cốc là:

$V = \int_{- 6}^{6} S (x) d x = \int_{- 6}^{6} \frac{5 (36 - x^{2})}{6} d x = 240$ $({cm}^{3})$ .