Đề thi thử THPT môn Toán lần 2 năm 2026 trường THPT Phụ Dực - Hưng Yên

Câu 1 : Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A.

31,25.
B.

31,26.
C.

5,4.
D.

5,6.

Câu 2 : Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong dưới đây?

A graph of a function

Description automatically generated

A.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ .
B.

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1}$ .
C.

$y = - x^{3} + 3 x + 1$ .
D.

$y = x^{3} - 3 x + 1$ .

Câu 3 : Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau:

Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.

A.

R = 5.
B.

R = 24.
C.

R = 25.
D.

R = 10.

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biển thiên trên đoạn [0; 3] như sau:

A graph with numbers and arrows

Description automatically generated with medium confidence

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 3] là

A.

-4.
B.

1.
C.

4.
D.

0.

Câu 5 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là

A graph of a function

Description automatically generated

A.

(-2; 5).
B.

(-1; 3).
C.

(0; 1).
D.

(-2; 3).

Câu 6 : Hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

3.
B.

2.
C.

0.
D.

1.

Câu 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ , AB = a, AD = 2a, SA = 3a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

A.

$2 a^{3}$ .
B.

$a^{3}$ .
C.

$6 a^{3}$ .
D.

$3 a^{3}$ .

Câu 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là

A.

$ˆ S D A$ .
B.

$ˆ S A D$ .
C.

$ˆ D S A$ .
D.

$ˆ S D C$ .

Câu 9 : Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ là

A.

x = 1.
B.

x = 2.
C.

y = 1.
D.

y = 2.

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ , SA = AB = a, AD = 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC)?

A.

2a.
B.

a.
C.

$a \sqrt{5}$ .
D.

$\frac{a \sqrt{5}}{5}$ .

Câu 11 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là tâm của hình hộp, khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\to O A + \to O A^{'} = ⃗ 0$ .
B.

$\to O A + \to O C^{'} = ⃗ 0$ .
C.

$\to O A + \to O B = ⃗ 0$ .
D.

$\to O A + \to O D = ⃗ 0$ .

Câu 12 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $R$ và hàm số y = f’(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số y = f(x) không nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

$(- \infty; 1)$ .
B.

(-2; 0).
C.

(-1; 2).
D.

(-1; 1).

Câu 1 : Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - x - 1}{x - 2} = x + 1 + \frac{1}{x - 2}$ có đồ thị (C).

a) Tập xác định của hàm số là $D = R ∖ {2}$ .

Đúng

Sai

b) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x - 1.

Đúng

Sai

c) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

Đúng

Sai

Câu 2 : Xét hình phẳng (H) là miền giới hạn bởi các đoạn thẳng AB, AC và một phần parabol (P) như hình vẽ. Biết A trùng gốc tọa độ, B(2; 2), C(-2; 2). Parabol (P) có đỉnh I(0;6) và qua 2 điểm B, C.

a) Diện tích tam giác ABC bằng 4.

Đúng

Sai

b) Diện tích hình (H) bằng 12.

Đúng

Sai

c) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Ox thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\frac{1412 π}{15}$ .

Đúng

Sai

d) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Oy thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\frac{32 π}{3}$ .

Đúng

Sai

Câu 3 : Một gian thương đã trà trộn các sản phẩm sữa kém chất lượng (sữa giả) với các sản phẩm sữa chất lượng. Trong một lô hàng có 20 hộp sữa chất lượng và 10 hộp sữa giả. Sau khi một khách hàng đến mua 1 hộp sữa từ lô hàng trên thì lực lượng quản lý thị trường đến và lấy ngẫu nhiên 3 hộp sữa từ lô hàng đó đi kiểm tra. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Xác suất khách hàng mua phải hộp sữa giả là $\frac{1}{3}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất để lực lượng quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\frac{146}{203}$ .

Đúng

Sai

c) Nếu biết khách hàng đó đã mua phải hộp sữa giả, xác suất để quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\frac{419}{1827}$ .

Đúng

Sai

d) Nếu biết quản lý thị trường sau khi kiểm tra đã phát hiện lô hàng có hộp sữa giả, xác suất để khách hàng đó mua phải hộp sữa giả là $\frac{419}{1314}$ .

Đúng

Sai

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; -2; -1), N(4; 3; 1) và mặt phẳng (P): z = - 5. Mặt cầu (S) đi qua M, N và luôn tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại A (điểm A di động).

a) Phương trình đường thẳng MN là $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 3 + t y = - 2 + 5 t z = - 1 + 2 t \end{matrix}$ .

Đúng

Sai

b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).

Đúng

Sai

c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.

Đúng

Sai

Câu 1 : Thầy Nguyễn Công Toàn là một giáo viên dạy hóa rất giỏi ở trường THPT Phụ Dực. Thầy đặc biệt giỏi công nghệ và say mê chuyên môn. Thầy có ngân hàng đề gồm 20 câu rất hay và độc lạ. Trong một buổi giao bài tập về nhà cho đội tuyển học sinh giỏi gồm 5 bạn, thầy để AI lựa chọn ngẫu nhiên một số câu hỏi từ ngân hàng đề trên cho từng bạn. Gọi A là biến cố xảy ra đồng thời các điều kiện sau:

- Số câu hỏi chung của cả 5 bạn là 2.

- Số câu hỏi chung của nhóm gồm 4 bạn bất kì trong đội là 3.

- Số câu hỏi chung của nhóm gồm 3 bạn bất kì trong đội là 4.

Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p. Tính $10^{10} p$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 2 : Trên một hòn đảo (kí hiệu là điểm A) có một người bị tai nạn nặng không thể di chuyển người bệnh và cần cấp cứu gấp. Do điều kiện trên đảo thiếu thuốc, máu và thiết bị y tế để cấp cứu cho bệnh nhân nên bác sĩ đã cử tàu ca nô đi về đất liền ở vị trí M. Cùng lúc tàu khởi hành, bệnh viện ở vị trí C đã cử xe cứu thương đưa thuốc, máu và vật tư y tế đến vị trí M. Biết rằng BC = 60 km, AB = 20 km, tàu đi với vận tốc 60 km/h và xe cứu thương đi với vận tốc 80 km/h. Tính thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 3 : Hình bên là hình ảnh một viên gạch men có dạng một hình vuông có độ dài cạnh 8 dm. Hai hình Elip đều có độ dài trục lớn 8 dm và độ dài trục bé 4 dm (các trục song song các cạnh tương ứng của hình vuông và có tâm đối xứng là tâm hình vuông). Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh hình vuông. Ở công đoạn tráng men (chi phí nguyên liệu, thi công, kĩ thuật) với mỗi $m^{2}$ : phần tô đen có chi phí 20 nghìn đồng, phần chấm bi (là 1 trong 2 elip như hình vẽ) có chi phí 15 nghìn đồng và phần còn lại có chi phí 10 nghìn đồng. Hãy tính chi phí a triệu đồng của công đoạn tráng men khi doanh nghiệp sản xuất 100000 viên gạch như thế. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 4 : Do gặp mưa bão và sự cố nên một con tàu bị hỏng động cơ và thiết bị liên lạc. Tại thời điểm cuối cùng trước khi mất liên lạc con tàu, radar của trung tâm phòng chống lụt bão xác định được tàu ở vị trí T(60; 75; 0) trong hệ Oxyz mà mỗi đơn vị trên trục tương ứng có độ dài 1 km.

Đội cứu hộ đã ngay lập tức dùng trực thăng cứu hộ, sau 2 phút trực thăng ở vị trí A(0; 0; 2). Trong điều kiện bình thường (không gió) động cơ máy bay đẩy được máy bay bay với tốc độ tối đa 400 km/h. Lúc này, sức gió mạnh sẽ đẩy máy bay với vận tốc 50 km/h và hướng theo $_{1} = (4; 3; 0)$ . Động cơ trực thăng đẩy máy bay bay với vận tốc n km/h, hướng theo $_{2} = (a; b; 0)$ . Một chuyên gia cứu hộ ở trung tâm phân tích được gió và sóng biển đẩy con tàu đi với vận tốc 20 km/h và cũng hướng theo $_{1} = (4; 3; 0)$ nên đã sử dụng phương án tối ưu, cho máy bay bay từ A hướng đến vị trí có thể gặp được con tàu sớm nhất.

Tính từ thời điểm mất liên lạc con tàu, hãy tính thời gian sớm nhất máy bay tới được vị trí con tàu biết thời gian hạ cánh từ độ cao 2 km xuống mặt biển của máy bay là 1 phút (giả định để đảm bảo an toàn, máy bay cất và hạ cánh theo phương thẳng đứng đồng thời có cơ chế để cân bằng sức gió khi đó). (Tính theo đơn vị phút và làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 5 : Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0 < x < 3000), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F (x) = 3000 x - x^{2}$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G (x) = x^{2} + 1440 x + 50$ (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 1000). Hỏi mức thuế phụ thu t (trên 1 đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó?

Câu 6 : Người ta dựng một cái lều hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 6 m. Tính thể tích của cái lều đó. (Làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 1 : Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A.

31,25.
B.

31,26.
C.

5,4.
D.

5,6.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:

* Phương sai:
- Công thức 1: $S^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} {(c_{1} - ¯ x)}^{2} + n_{2} {(c_{2} - ¯ x)}^{2} + . . . + n_{k} {(c_{k} - ¯ x)}^{2}]$ .
- Công thức 2: $S^{2} = \frac{1}{n} (n_{1} {c_{1}}^{2} + n_{2} {c_{2}}^{2} + . . . + n_{k} {c_{k}}^{2}) - {¯ x}^{2}$ .
Trong đó: $n = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu; $¯ x = \frac{1}{n} (n_{1} c_{1} + n_{2} c_{2} + . . . + n_{k} c_{k})$ là số trung bình.
* Độ lệch chuẩn: $S = \sqrt{S^{2}}$ .

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu: n = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18.

Số trung bình: $¯ ¯ ¯ x = \frac{22, 5.6 + 27, 5.6 + 32, 5.4 + 37, 5.1 + 42, 5.1}{18} = \frac{85}{3}$ .

Phương sai: $s^{2} = \frac{1}{18} (22, 5^{2} .6 + 27, 5^{2} .6 + 32, 5^{2} .4 + 37, 5^{2} .1 + 42, 5^{2} .1) - {(\frac{85}{3})}^{2} = 31, 25$ .

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{31, 25} \approx 5, 59$ .

Câu 2 : Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong dưới đây?

A graph of a function

Description automatically generated

A.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ .
B.

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1}$ .
C.

$y = - x^{3} + 3 x + 1$ .
D.

$y = x^{3} - 3 x + 1$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát hình dạng của đồ thị.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số có dạng đồ thị của hàm số bậc ba.

Quan sát đồ thị, thấy $lim x \to + \infty y = - \infty$ nên hệ số của $x^{3}$ nhỏ hơn 0.

Câu 3 : Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau:

Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.

A.

R = 5.
B.

R = 24.
C.

R = 25.
D.

R = 10.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để tính khoảng biến thiên, lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa số liệu).

Lời giải chi tiết :

R = 175 – 150 = 25.

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biển thiên trên đoạn [0; 3] như sau:

A graph with numbers and arrows

Description automatically generated with medium confidence

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 3] là

A.

-4.
B.

1.
C.

4.
D.

0.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 3] là -4.

Câu 5 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là

A graph of a function

Description automatically generated

A.

(-2; 5).
B.

(-1; 3).
C.

(0; 1).
D.

(-2; 3).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị có tiệm cận đứng x = -1. Giả sử tiệm cận xiên của đồ thị có phương trình y = ax + b.

Tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2) và (2; 0) nên ta có hệ:

${\begin{matrix} 2 = a .0 + b 0 = a .2 + b \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = - 1 b = 2 \end{matrix} \Rightarrow y = - x + 2$ .

Hai đường tiệm cận giao nhau tại: $y = - (- 1) + 2 = 3$ .

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ (-1; 3).

Câu 6 : Hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

3.
B.

2.
C.

0.
D.

1.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm phân thức hữu tỉ dạng $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ không có điểm cực trị.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ không có điểm cực trị.

Câu 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ , AB = a, AD = 2a, SA = 3a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

A.

$2 a^{3}$ .
B.

$a^{3}$ .
C.

$6 a^{3}$ .
D.

$3 a^{3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} B h$ .

Lời giải chi tiết :

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} S A . A B . A D = \frac{1}{3} .3 a . a .2 a = 2 a^{3}$ .

Câu 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là

A.

$ˆ S D A$ .
B.

$ˆ S A D$ .
C.

$ˆ D S A$ .
D.

$ˆ S D C$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và d’ là hình chiếu của d lên (P).

Lời giải chi tiết :

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên AD là hình chiếu của SD lên (ABCD), do đó $(S D, (A B C D)) = (S D, A D) = ˆ S D A$ .

Câu 9 : Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ là

A.

x = 1.
B.

x = 2.
C.

y = 1.
D.

y = 2.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ là $c = - \frac{d}{c}$ .

Lời giải chi tiết :

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ là x = 1.

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ , SA = AB = a, AD = 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC)?

A.

2a.
B.

a.
C.

$a \sqrt{5}$ .
D.

$\frac{a \sqrt{5}}{5}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm khoảng cách từ S đến hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).

Lời giải chi tiết :

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow d (S, (A B C)) = S A = a$ .

Câu 11 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là tâm của hình hộp, khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\to O A + \to O A^{'} = ⃗ 0$ .
B.

$\to O A + \to O C^{'} = ⃗ 0$ .
C.

$\to O A + \to O B = ⃗ 0$ .
D.

$\to O A + \to O D = ⃗ 0$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng kiến thức về hai vecto đối nhau.

Lời giải chi tiết :

Vì O là trung điểm của AC’ nên $- - \to O A + - - \to O C^{'} = \to 0$ .

Câu 12 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $R$ và hàm số y = f’(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số y = f(x) không nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

$(- \infty; 1)$ .
B.

(-2; 0).
C.

(-1; 2).
D.

(-1; 1).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số y = f(x) không nghịch biến trên khoảng f’(x) > 0.

Lời giải chi tiết :

Hàm số y = f(x) không nghịch biến trên khoảng (-1; 2) vì f’(x) > 0 trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Câu 1 : Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - x - 1}{x - 2} = x + 1 + \frac{1}{x - 2}$ có đồ thị (C).

a) Tập xác định của hàm số là $D = R ∖ {2}$ .

Đúng

Sai

b) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x - 1.

Đúng

Sai

c) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Tập xác định của hàm số là $D = R ∖ {2}$ .

Đúng

Sai

b) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x - 1.

Đúng

Sai

c) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

b) Đường thẳng y = ax + b $(a \neq 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim x \to + \infty [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim x \to - \infty [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

c) Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

d) Thay tọa độ điểm A vào hàm số, nếu thỏa mãn thì A thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Hàm số xác định khi $x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$ . Vậy tập xác định của hàm số là $D = R ∖ {2}$ .

b) Sai. Ta có $lim x \to \pm \infty [y - (x + 1)] = lim x \to \pm \infty \frac{1}{x - 2} = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x + 1.

c) Đúng. Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = 2.

Tung độ giao điểm của hai tiệm cận là y = 2 + 1 = 3. Vậy tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

d) Đúng. Ta có $y (1) = 1 + 1 + \frac{1}{1 - 2} = 1$ . Vậy đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

Câu 2 : Xét hình phẳng (H) là miền giới hạn bởi các đoạn thẳng AB, AC và một phần parabol (P) như hình vẽ. Biết A trùng gốc tọa độ, B(2; 2), C(-2; 2). Parabol (P) có đỉnh I(0;6) và qua 2 điểm B, C.

a) Diện tích tam giác ABC bằng 4.

Đúng

Sai

b) Diện tích hình (H) bằng 12.

Đúng

Sai

c) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Ox thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\frac{1412 π}{15}$ .

Đúng

Sai

d) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Oy thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\frac{32 π}{3}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Diện tích tam giác ABC bằng 4.

Đúng

Sai

b) Diện tích hình (H) bằng 12.

Đúng

Sai

c) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Ox thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\frac{1412 π}{15}$ .

Đúng

Sai

d) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Oy thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\frac{32 π}{3}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Xác định phương trình parabol và các đường thẳng AC, AB. Từ đó áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} d (A, B C) . B C$

$= \frac{1}{2} .2 .4 = 4$ .

b) Sai. Giả sử parabol (P) có phương trình $y = a x^{2} + b x + c$ .

(P) đi qua các điểm B(2; 2), C(-2; 2), I(0; 6) nên ta có hệ:

$⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 6 = a {.0}^{2} + b .0 + c 2 = a {.2}^{2} + b .2 + c 2 = a (- 2)^{2} + b (- 2) + c \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a = - 1 b = 0 c = 6 \end{matrix}$ .

Vậy (P): $y = - x^{2} + 6$ .

Đường thẳng AC và AB có phương trình lần lượt là y = -x và y = x.

$S_{(H)} = 0 \int - 2 [(- x^{2} + 6) - (- x)] d x$

$+ 2 \int 0 [(- x^{2} + 6) - x] d x = \frac{44}{3}$ .

c) Sai. $V_{1} = π 0 \int - 2 [{(- x^{2} + 6)}^{2} - {(- x)}^{2}] d x$

$+ π 2 \int 0 [{(- x^{2} + 6)}^{2} - x^{2}] d x = \frac{1312}{15} π$ .

d) Đúng. (P): $y = - x^{2} + 6 \Leftrightarrow x^{2} = 6 - y$ ;

AB: x = y.

$V_{2} = π 2 \int 0 y^{2} d y + π 6 \int 2 (6 - y) d y = \frac{32}{3} π$ .

Câu 3 : Một gian thương đã trà trộn các sản phẩm sữa kém chất lượng (sữa giả) với các sản phẩm sữa chất lượng. Trong một lô hàng có 20 hộp sữa chất lượng và 10 hộp sữa giả. Sau khi một khách hàng đến mua 1 hộp sữa từ lô hàng trên thì lực lượng quản lý thị trường đến và lấy ngẫu nhiên 3 hộp sữa từ lô hàng đó đi kiểm tra. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Xác suất khách hàng mua phải hộp sữa giả là $\frac{1}{3}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất để lực lượng quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\frac{146}{203}$ .

Đúng

Sai

c) Nếu biết khách hàng đó đã mua phải hộp sữa giả, xác suất để quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\frac{419}{1827}$ .

Đúng

Sai

d) Nếu biết quản lý thị trường sau khi kiểm tra đã phát hiện lô hàng có hộp sữa giả, xác suất để khách hàng đó mua phải hộp sữa giả là $\frac{419}{1314}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Xác suất khách hàng mua phải hộp sữa giả là $\frac{1}{3}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất để lực lượng quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\frac{146}{203}$ .

Đúng

Sai

c) Nếu biết khách hàng đó đã mua phải hộp sữa giả, xác suất để quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\frac{419}{1827}$ .

Đúng

Sai

d) Nếu biết quản lý thị trường sau khi kiểm tra đã phát hiện lô hàng có hộp sữa giả, xác suất để khách hàng đó mua phải hộp sữa giả là $\frac{419}{1314}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng định nghĩa xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Lời giải chi tiết :

A: “Khách hàng mua phải hộp sữa giả”; B: “Quản lí thị trường phát hiện có sữa giả”.

a) Đúng. Vì có 10 trong tổng số 30 hộp sữa trong lô là giả nên $P (A) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ .

b) Đúng. Ta có $P (¯ ¯¯ ¯ A) = 1 - P (A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

$P (¯ ¯¯ ¯ B | A) = \frac{C_{20}^{3}}{C_{29}^{3}} = \frac{190}{609}$

$\Rightarrow P (B | A) = 1 - P (¯ ¯¯ ¯ B | A) = 1 - \frac{190}{609} = \frac{419}{609}$ .

$P (¯ ¯¯ ¯ B | ¯ ¯¯ ¯ A) = \frac{C_{19}^{3}}{C_{29}^{3}} = \frac{323}{1218}$

$\Rightarrow P (B | ¯ ¯¯ ¯ A) = 1 - P (¯ ¯¯ ¯ B | ¯ ¯¯ ¯ A) = 1 - \frac{323}{1218} = \frac{895}{1218}$ .

$P (B) = P (A) . P (B | A) + P (¯ ¯¯ ¯ A) . P (B | ¯ ¯¯ ¯ A)$

$= \frac{1}{3} . \frac{419}{609} + \frac{2}{3} . \frac{895}{1218} = \frac{146}{203}$ .

c) Sai. $P (B | A) = \frac{419}{609}$ .

d) Đúng. $P (A | B) = \frac{P (A) . P (B | A)}{P (B)} = \frac{\frac{1}{3} . \frac{419}{609}}{\frac{146}{203}} = \frac{419}{1314}$ .

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; -2; -1), N(4; 3; 1) và mặt phẳng (P): z = - 5. Mặt cầu (S) đi qua M, N và luôn tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại A (điểm A di động).

a) Phương trình đường thẳng MN là $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 3 + t y = - 2 + 5 t z = - 1 + 2 t \end{matrix}$ .

Đúng

Sai

b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).

Đúng

Sai

c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình đường thẳng MN là $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 3 + t y = - 2 + 5 t z = - 1 + 2 t \end{matrix}$ .

Đúng

Sai

b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).

Đúng

Sai

c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Đường thẳng MN đi qua M(3; -2; -1), nhận $- -- \to M N = (1; 5; 2)$ làm VTCP có phương trình là $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 3 + t y = - 2 + 5 t z = - 1 + 2 t \end{matrix}$ .

b) Đúng. Ta có: $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 3 + t y = - 2 + 5 t - 5 = - 1 + 2 t \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} t = - 2 x = 1 y = - 12 \end{matrix}$ . Vậy E(1; -12; -5).

c) Sai. $- - \to M E = (- 2; - 10; - 4) = - 2 - -- \to M N$ nên M nằm giữa N và E.

Hai tam giác EMA và EAN đồng dạng (g.g) nên $E A^{2} = E M . E N$ .

Vì N, M, E là các điểm cố định nên $E A^{2} = E M . E N$ không đổi.

Vì E cố định và độ dài EA không đổi nên A thuộc đường tròn tâm E, bán kính EA.

$E M = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 10)}^{2} + {(- 4)}^{2}} = 2 \sqrt{30}$ , $E N = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(3 + 12)}^{2} + {(1 + 5)}^{2}} = 3 \sqrt{30}$ .

$E A^{2} = E M . E N = 2 \sqrt{30} .3 \sqrt{30} = 180 \Rightarrow E A = 6 \sqrt{5} \approx 13, 42$ .

d) Đúng. Gọi H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó H(0; 0; -5).

Xét tam giác OAH vuông tại H: $O A^{2} = O H^{2} + H A^{2} = 5^{2} + H A^{2}$ .

Để OA lớn nhất thì HA lớn nhất. Khi đó, xét trên (P):

$H A_{max} = H E + E A =$

$\sqrt{{(1 - 0)}^{2} + {(- 12 - 0)}^{2} + {(- 5 + 5)}^{2}} + 6 \sqrt{5}$

$= \sqrt{145} + 6 \sqrt{5}$ .

Vậy $O A = \sqrt{5^{2} + {(\sqrt{145} + 6 \sqrt{5})}^{2}} \approx 25, 9$ .

Câu 1 : Thầy Nguyễn Công Toàn là một giáo viên dạy hóa rất giỏi ở trường THPT Phụ Dực. Thầy đặc biệt giỏi công nghệ và say mê chuyên môn. Thầy có ngân hàng đề gồm 20 câu rất hay và độc lạ. Trong một buổi giao bài tập về nhà cho đội tuyển học sinh giỏi gồm 5 bạn, thầy để AI lựa chọn ngẫu nhiên một số câu hỏi từ ngân hàng đề trên cho từng bạn. Gọi A là biến cố xảy ra đồng thời các điều kiện sau:

- Số câu hỏi chung của cả 5 bạn là 2.

- Số câu hỏi chung của nhóm gồm 4 bạn bất kì trong đội là 3.

- Số câu hỏi chung của nhóm gồm 3 bạn bất kì trong đội là 4.

Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p. Tính $10^{10} p$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải :

Phân loại mỗi câu hỏi dựa trên số lượng học sinh nhận được câu hỏi đó.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Mỗi câu hỏi trong ngân hàng 20 câu có thể được giao cho bất kỳ ai trong số 5 học sinh. Với mỗi câu hỏi, một học sinh có hai trạng thái: hoặc là được giao câu đó, hoặc là không.

- Vì có 5 học sinh, số cách phân phối một câu hỏi là $2^{5} = 32$ cách (bao gồm cả trường hợp không bạn nào nhận được hoặc cả 5 bạn cùng nhận được).

- Với 20 câu hỏi độc lập, tổng số cách phân phối là:

$n (Ω) = 32^{20} = {(2^{5})}^{20} = 2^{100}$ .

Điều kiện 1: Có đúng 2 câu chung cho cả 5 bạn.

Số cách chọn 2 câu này từ 20 câu là: $C_{20}^{2}$ .

Điều kiện 2: Có đúng 3 câu chung cho nhóm 4 bạn bất kỳ.

Lưu ý: "3 câu chung cho nhóm 4 bạn" đã bao gồm 2 câu chung của cả 5 bạn ở trên.

Vậy, với mỗi nhóm 4 bạn, có thêm 3 - 2 = 1 câu hỏi mà chỉ đúng 4 bạn đó có (bạn thứ 5 không có).

- Có $C_{5}^{4} = 5$ nhóm 4 bạn. Vậy số câu hỏi thuộc loại "chỉ 4 người có" là: 5.1 = 5 câu.

- Số cách chọn 5 câu này từ 18 câu còn lại là: $C_{18}^{5}$ .

- Số cách xếp 5 câu này vào 5 nhóm (mỗi nhóm 1 câu) là: 5! (hoặc hiểu là chọn từng câu cho từng nhóm).

Điều kiện 3: Có đúng 4 câu chung cho nhóm 3 bạn bất kỳ.

Các câu chung của nhóm 3 bạn bao gồm: câu chung của cả 5 bạn và các câu chung của nhóm 4 bạn có chứa 3 bạn đó. Với một nhóm 3 bạn bất kỳ (ví dụ bạn {1, 2, 3}):

- Số câu chung cả 5 bạn: 2 câu.

- Số câu chung của nhóm 4 bạn chứa {1, 2, 3}: Có 2 nhóm như vậy là {1, 2, 3, 4} và {1, 2, 3, 5}. Mỗi nhóm này có 1 câu riêng. Tổng là 2 câu.

Vậy hiện tại nhóm 3 bạn đã có 2 + 2 = 4 câu chung.

Theo đề bài, số câu chung của nhóm 3 bạn phải là 4. Điều này đồng nghĩa với việc không có thêm câu hỏi nào mà chỉ đúng 3 bạn có.

Số câu hỏi thuộc loại "chỉ 3 người có" là 0 câu.

Các câu hỏi còn lại:

Mỗi câu trong 13 câu còn lại này chỉ có thể rơi vào các trường hợp: có 0 người nhận, 1 người nhận, hoặc 2 người nhận.

Số cách phân bổ cho mỗi câu là: $C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} = 1 + 5 + 10 = 16$ cách.

Vậy 13 câu còn lại có: $16^{13}$ cách chọn.

Ta có $p = \frac{C_{20}^{2} . C_{18}^{5} .5! {.16}^{13}}{32^{20}}$ . Vậy $10^{10} p \approx 6940$ .

Câu 2 : Trên một hòn đảo (kí hiệu là điểm A) có một người bị tai nạn nặng không thể di chuyển người bệnh và cần cấp cứu gấp. Do điều kiện trên đảo thiếu thuốc, máu và thiết bị y tế để cấp cứu cho bệnh nhân nên bác sĩ đã cử tàu ca nô đi về đất liền ở vị trí M. Cùng lúc tàu khởi hành, bệnh viện ở vị trí C đã cử xe cứu thương đưa thuốc, máu và vật tư y tế đến vị trí M. Biết rằng BC = 60 km, AB = 20 km, tàu đi với vận tốc 60 km/h và xe cứu thương đi với vận tốc 80 km/h. Tính thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Đặt BM = x (km). Biểu diễn thời gian tàu đi từ A đến M và xe cứu thương đi từ C đến M theo x. Tìm x sao cho hai xe đến M cùng thời điểm.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Giả sử BM = x (km, $0 \leq x \leq 60$ ). Khi đó MC = BC – MB = 60 – x (km).

$A M = \sqrt{A B^{2} + B M^{2}}$

$= \sqrt{20^{2} + x^{2}} = \sqrt{400 + x^{2}}$ (km).

Thời gian tàu đi từ A đến M là $\frac{\sqrt{400 + x^{2}}}{60}$ (giờ), thời gian xe cứu thương đi từ C đến M là $\frac{60 - x}{80}$ (giờ).

Thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu là $t = \frac{2 \sqrt{400 + x^{2}}}{60} = \frac{2 (60 - x)}{80}$ (giờ).

Suy ra $\frac{\sqrt{400 + x^{2}}}{30} = \frac{60 - x}{40}$

$\Leftrightarrow 40 \sqrt{400 + x^{2}} = 1800 - 30 x$

$\Leftrightarrow 4 \sqrt{400 + x^{2}} = 180 - 3 x$

$\Leftrightarrow 16 (400 + x^{2}) = 32400 - 1080 x + 9 x^{2}$

$\Leftrightarrow 7 x^{2} + 1080 x - 26000 = 0$ .

Giải phương trình trên được nghiệm $x \approx 21, 17$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu là $\frac{2 (60 - x)}{80} \approx 0, 97$ giờ.

Câu 3 : Hình bên là hình ảnh một viên gạch men có dạng một hình vuông có độ dài cạnh 8 dm. Hai hình Elip đều có độ dài trục lớn 8 dm và độ dài trục bé 4 dm (các trục song song các cạnh tương ứng của hình vuông và có tâm đối xứng là tâm hình vuông). Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh hình vuông. Ở công đoạn tráng men (chi phí nguyên liệu, thi công, kĩ thuật) với mỗi $m^{2}$ : phần tô đen có chi phí 20 nghìn đồng, phần chấm bi (là 1 trong 2 elip như hình vẽ) có chi phí 15 nghìn đồng và phần còn lại có chi phí 10 nghìn đồng. Hãy tính chi phí a triệu đồng của công đoạn tráng men khi doanh nghiệp sản xuất 100000 viên gạch như thế. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải :

Chọn hệ trục tọa độ Oxy ở vị trí phù hợp. Xác định phương trình các đường elip, từ đó áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Chọn hệ trục Oxy sao cho O trùng với tâm viên gạch, trục hoành trùng với trục lớn của elip chấm bi.

Phương trình đường elip chấm bi là: $\frac{x^{2}}{4^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$ .

Phương trình đường elip chấm bi nằm phía trên trục hoành là $y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Phương trình elip trắng là: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = 16 - 4 x^{2}$ .

Phương trình đường elip trắng nằm phía trên trục hoành là $y = \sqrt{16 - 4 x^{2}}$ .

Xét hệ: $⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1 \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x^{2} = \frac{16}{5} y^{2} = \frac{16}{5} \end{matrix}$ .

Do đó, các giao điểm của hai elip có hoành độ là $\pm \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ .

Diện tích elip là:

$S_{E} = 2 4 \int - 4 \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} d x = 8 π$ $(d m^{2})$ .

Diện tích phần elip tô trắng là:

$S_{T} = 4 \frac{4 \sqrt{5}}{5} \int 0 (\sqrt{16 - 4 x^{2}} - \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}) d x \approx 10, 3$ $(d m^{2})$ .

Diện tích phần màu đen là:

$S_{D} = π {.4}^{2} - S_{E} - S_{T} \approx 14, 84$ $(d m^{2})$ .

Diện tích phần còn lại của viên gạch là:

$S_{C} = 8^{2} - S_{E} - S_{D} \approx 24, 03$ $(d m^{2})$ .

Chi phí tráng men là:

$100000 P = 100000 (150 S_{E} + 200 S_{D} + 100 S_{C}) \approx 9140000000$ đồng, hay 914 triệu đồng.

Câu 4 : Do gặp mưa bão và sự cố nên một con tàu bị hỏng động cơ và thiết bị liên lạc. Tại thời điểm cuối cùng trước khi mất liên lạc con tàu, radar của trung tâm phòng chống lụt bão xác định được tàu ở vị trí T(60; 75; 0) trong hệ Oxyz mà mỗi đơn vị trên trục tương ứng có độ dài 1 km.

Đội cứu hộ đã ngay lập tức dùng trực thăng cứu hộ, sau 2 phút trực thăng ở vị trí A(0; 0; 2). Trong điều kiện bình thường (không gió) động cơ máy bay đẩy được máy bay bay với tốc độ tối đa 400 km/h. Lúc này, sức gió mạnh sẽ đẩy máy bay với vận tốc 50 km/h và hướng theo $_{1} = (4; 3; 0)$ . Động cơ trực thăng đẩy máy bay bay với vận tốc n km/h, hướng theo $_{2} = (a; b; 0)$ . Một chuyên gia cứu hộ ở trung tâm phân tích được gió và sóng biển đẩy con tàu đi với vận tốc 20 km/h và cũng hướng theo $_{1} = (4; 3; 0)$ nên đã sử dụng phương án tối ưu, cho máy bay bay từ A hướng đến vị trí có thể gặp được con tàu sớm nhất.

Tính từ thời điểm mất liên lạc con tàu, hãy tính thời gian sớm nhất máy bay tới được vị trí con tàu biết thời gian hạ cánh từ độ cao 2 km xuống mặt biển của máy bay là 1 phút (giả định để đảm bảo an toàn, máy bay cất và hạ cánh theo phương thẳng đứng đồng thời có cơ chế để cân bằng sức gió khi đó). (Tính theo đơn vị phút và làm tròn đến hàng phần chục).

Phương pháp giải :

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có $∣ ∣_{1} ∣ ∣ = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 5$ .

Gọi $⃗ u = \frac{1}{5}_{1} = (\frac{4}{5}; \frac{3}{5}; 0)$ là vecto đơn vị cùng hướng với $_{1} = (4; 3; 0)$ .

Vecto vận tốc của tàu là $_{T} = 20. ⃗ u = (16; 12; 0)$ .

Vị trí của tàu sau t giờ là: $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 60 + 16 t y = 75 + 12 t z = 0 \end{matrix}$ .

Vecto vận tốc của gió là $_{G} = 50. ⃗ u = (40; 30; 0)$ .

Vecto vận tốc thực tế của máy bay là: $_{M B} =_{2} +_{G}$ .

Gọi x (giờ) là thời gian thực tế trực thăng bay ngang. Vì máy bay ở vị trí A sau 2 phút = $\frac{1}{30}$ giờ; khi máy bay hạ cánh trong 1 phút = $\frac{1}{60}$ giờ thì tàu vẫn di chuyển nên tổng thời gian từ lúc tàu mất liên lạc đến khi máy bay hạ cánh xuống tàu là $x + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = x + \frac{1}{20}$ (giờ).

Khi đó, xét trên mặt phẳng (Oxy):

$(60 + 16 (x + \frac{1}{20}); 75 + 12 (x + \frac{1}{20})) = x_{2} + (40 x; 30 x)$

$\Rightarrow (\frac{304}{5} + 16 x; \frac{378}{5} + 12 x) = x_{2} + (40 x; 30 x)$

$\Rightarrow x_{2} = (\frac{304}{5} - 24 x; \frac{378}{5} - 18 x)$ .

Suy ra $400^{2} x^{2} = {(\frac{304}{5} - 24 x)}^{2} + {(\frac{378}{5} - 18 x)}^{2}$ .

Giải phương trình trên được nghiệm dương $x \approx 0, 226$ giờ $\approx 13, 6$ phút.

Vậy thời gian sớm nhất máy bay đến được vị trí con tàu là 1 + 13,6 + 2 = 16,6 phút.

Câu 5 : Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0 < x < 3000), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F (x) = 3000 x - x^{2}$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G (x) = x^{2} + 1440 x + 50$ (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 1000). Hỏi mức thuế phụ thu t (trên 1 đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó?

Phương pháp giải :

Lập hàm lợi nhuận và sử dụng kiến thức về hàm bậc hai để giải:

Hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ với a < 0 đạt GTLN khi $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Hàm lợi nhuận: P(x) = F(x) – G(x) – xt

$= 3000 x - x^{2} - (x^{2} + 1440 x + 50) - x t$

$= - 2 x^{2} + (1560 - t) x - 50$ .

Lợi nhuận P(x) lớn nhất khi $x = - \frac{1560 - t}{2. (- 2)} = \frac{1560 - t}{4}$ .

Khi đó, số tiền thuế thu được là $x t = \frac{1560 - t}{4} . t = \frac{1560 t - t^{2}}{4}$ .

Số tiền thuế lớn nhất khi $1560 t - t^{2}$ lớn nhất, hay $t = - \frac{1560}{2. (- 1)} = 780 \in (0; 1000)$ (thỏa mãn).

Câu 6 : Người ta dựng một cái lều hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 6 m. Tính thể tích của cái lều đó. (Làm tròn đến hàng phần chục).

Phương pháp giải :

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính chiều cao SO của khối chóp và áp dụng công thức $V = \frac{1}{3} B h$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khi đó, SO là chiều cao khối chóp.

Ta có $A C = A B \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \Rightarrow A O = 3 \sqrt{2}$ .

$S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{6^{2} - {(3 \sqrt{2})}^{2}} = 3 \sqrt{2}$ .

Thể tích cái lều là:

$V = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} 3 \sqrt{2} {.6}^{2}$

$= 36 \sqrt{2} \approx 50, 9$ $(m^{3})$ .