Đề thi thử THPT môn Toán năm 2026 trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Khánh Hòa
Đề bài
Câu 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(3; -4; -2) và có một vectơ chỉ phương ⃗u=(5;−4;7) là:
-
A.
x+35=y−4−4=z−27.
-
B.
x−53=y+4−4=z−7−2.
-
C.
x+53=y−4−4=z+7−2.
-
D.
x−35=y+4−4=z+27.
Câu 2 : Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = 3a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a (tham khảo hình bên).
Thể tích khối chóp đã cho bằng
-
A.
3a3.
-
B.
2a3.
-
C.
9a3.
-
D.
6a3.
Câu 3 : Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): y + 2z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:
-
A.
⃗n=(0;1;2).
-
B.
⃗n=(1;0;2).
-
C.
⃗n=(1;2;−1).
-
D.
⃗n=(2;1;−1).
Câu 4 : Phương trình cosx=0 có tập nghiệm là
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Câu 5 : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (xem hình dưới).
Đường thẳng CC' song song với mặt phẳng nào sau đây?
-
A.
(ABCD).
-
B.
(BCC'B').
-
C.
(ABB'A').
-
D.
(ACC'A').
Câu 6 : Một nguyên hàm của hàm số là
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Câu 7 : Cho hình chóp S.ABC (xem hình bên). Gọi G là trọng tâm . Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Câu 8 : Nghiệm của phương trình là
-
A.
x = 3.
-
B.
x = 1.
-
C.
x = 2.
-
D.
x = 5.
-
A.
x = -3.
-
B.
x = -7.
-
C.
x = 1.
-
D.
x = -1.
Câu 10 : Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b khi xoay quanh trục Ox được xác định bởi công thức nào sau đây?
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Câu 11 : Cho cấp số cộng với và công sai d = -3. Giá trị của bằng
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Câu 12 : Số lần ném vào rổ của 30 vận động viên khi ném 30 lần được thống kê lại bảng sau.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn đến hàng phần mười)
-
A.
6,3.
-
B.
5,8.
-
C.
24,1.
-
D.
2,4.
Câu 1 : Cho hàm số .
a) f(5) = 64.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là .
c) Tổng các nghiệm của phương trình là .
d) Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [1; 3] bằng 1.
Câu 2 : Trong một buổi học liên môn Toán – Lịch sử, thầy giáo nhắc lại chiến công hiển hách của nghĩa quân Tây Sơn do Quang Trung lãnh đạo trong mùa xuân Kỷ Dậu. Thầy đọc mấy câu thơ mở đầu buổi học:
Xuân Kỷ Dậu trống vang trời,
Tây Sơn thần tốc rạng ngời non sông.
Đồng Đa giặc vỡ từng dòng,
Quang Trung đại thẳng, núi sông yên bình.
Để minh họa cho việc một đại lượng thay đổi theo thời gian trong một mô hình toán học đơn giản, thầy giả sử hàm số y(t) (với t > 0, tính bằng ngày) biểu diễn mức suy giảm sức chống cự của quân địch theo thời gian kể từ khi nghĩa quân Tây Sơn mở cuộc tiến công.
Sau khi phân tích dữ liệu mô phỏng, người ta nhận thấy đại lượng này có dạng y(t) với (a là các hằng số thực).
Biết rằng, mô hình thu được các dữ liệu sau:
Tại thời điểm t = 1 (ngày) và (ngày) thì y(1) = 5 và .
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) y(t) = at + b (b là hằng số thực).
b) a = -2.
c) .
d) Sau 10 ngày, sức chống cự của quân địch nhỏ hơn 0,4.
Câu 3 : Trước khi tham gia thi trung học phổ thông (THPT) quốc gia 2026, trường THPT X khảo sát 500 thí sinh về việc tham gia xét tuyển đại học bằng học bạ. Kết quả thống kê như sau: chỉ có 360 học sinh trả lời "sẽ xét học bạ", số còn lại trả lời "không xét học bạ". Kinh nghiệm mỗi năm của trường THPT X cho thấy tỉ lệ học sinh tham gia xét tuyển học bạ tương ứng với những cách trả lời "sẽ xét học bạ" và "không xét học bạ" lần lượt là 70% và 20%.
Gọi A là biến cố "Học sinh thực sự xét học bạ".
Gọi B là biến cố "Học sinh trả lời xét học bạ".
a) Xác suất và .
b) Xác suất có điều kiện .
c) Xác suất P(A) = 0,56.
d) Trong số những học sinh thực sự xét học bạ có ít hơn 80% học sinh đã trả lời sẽ xét học bạ.
Câu 4 : Trong hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km), một số người gặp nạn đã chế tạo ra máy phát tín hiệu cứu nạn đặt tại vị trí T(-2; 1; 4) với bán kính phát tín hiệu tối đa là 10 km. Cách đó có một chiếc trực thăng tuần tra của cảnh sát không gian đang bay từ vị trí P(8; 3; 14) theo phương vectơ với tốc 200 km/h (tham khảo hình vẽ).
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Phương trình đường bay của cảnh sát tuần tra là .
b) Phương trình vùng phủ sóng cứu nạn là .
c) Khi máy bay bay đến vị trí (-2; 7; 12) thì phát hiện tín hiệu cứu nạn.
d) Khi vừa phát hiện tín hiệu cứu nạn, máy bay cần 2 phút để đến vị trí người gặp nạn (giả sử tốc độ bay của máy bay cứu nạn không thay đổi).
Câu 1 : Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao là 1 và AC = 2 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng bao nhiêu? (không làm tròn phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 2 : Vào mùa du lịch hè tại Khánh Hòa, một cơ sở sản xuất “nước ép xoài đóng chai” cung cấp cho các quầy giải khát ở khu vực biển. Theo kế hoạch sản xuất, nếu trong một tháng cơ sở sản xuất và bán hết x chai nước ép thì doanh thu thu được (tính bằng nghìn đồng) được ước tính bởi hàm . Do chi phí nguyên liệu, đóng chai, bảo quản và vận chuyển thay đổi theo quy mô sản xuất nên chi phí sản xuất trung bình cho mỗi chai (tính bằng nghìn đồng) được cho bởi . Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ hết trong tháng. Hỏi trong một tháng, cơ sở phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chai nước ép để lợi nhuận thu được không ít hơn 120 triệu đồng?
Câu 3 : Trong một trò chơi “giải mật mã tại ngày hội khoa học”, ban tổ chức chuẩn bị một hộp chứa 9 tấm thẻ được ghi các số từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Một người chơi rút ngẫu nhiên 5 tấm thẻ khác nhau từ hộp. Sau đó các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thành a < b < c < d < e. Người chơi được coi là giải được mật mã nếu trong năm số này tồn tại bốn số liên tiếp tạo thành một cấp số cộng. Biết xác suất để người chơi giải được mật mã là A. Giá trị là bao nhiêu?
Câu 4 : Một cơ sở thủ công mỹ nghệ ở Khánh Hòa sản xuất các chân đế kim loại để trưng bày quả cầu pha lê trong cửa hàng lưu niệm. Ban đầu, người ta đúc một khối kim loại hình trụ đặc có đường kính đáy 12 cm và chiều cao 10 cm. Sau đó, để đặt vừa quả cầu pha lê, người thợ khoét ở mặt trên của khối trụ một phần của khối cầu bán kính 5 cm. Phần của khối cầu nhô lên khỏi mặt trên của khối trụ 4 cm như hình minh họa. Biết thể tích kim loại còn lại của chân đế sau khi khoét là . Giá trị của m là bao nhiêu?
Câu 5 : Trong dịp gây quỹ cho chương trình “Áo ấm mùa đông”, câu lạc bộ tình nguyện của Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tổ chức một gian hàng bán đồ ăn nhanh trong ngày hội của trường. Hai món được nhiều học sinh yêu thích là Nước chanh và Khoai tây chiên. Để thuận tiện cho việc bán hàng, câu lạc bộ thiết kế hai loại combo:
- Combo A giá 40 nghìn đồng, gồm 2 cốc nước chanh và 1 phần khoai tây chiên.
- Combo B giá 60 nghìn đồng, gồm 3 cốc nước chanh và 2 phần khoai tây chiên.
Do số nguyên liệu chuẩn bị có hạn, trong ngày hôm đó câu lạc bộ chỉ có thể sử dụng không quá 180 cốc nước chanh và không quá 110 phần khoai tây chiên. Hỏi số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể thu được là bao nhiêu nghìn đồng?
Câu 6 : Trong buổi hoạt động trải nghiệm khoa học của học sinh trường Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, giáo viên chuẩn bị một bộ 8 viên bi kim loại khác nhau để thực hiện thí nghiệm về va chạm và chuyển động trên máng nghiêng. Để tiện cho việc quan sát và ghi chép kết quả, giáo viên đặt trước mặt học sinh 4 khay thí nghiệm được đánh số 1, 2, 3, 4. Trước khi tiến hành thí nghiệm, các viên bi sẽ được đặt vào các khay theo những quy tắc sau:
- Mỗi khay phải có ít nhất một viên bi để đảm bảo mỗi nhóm học sinh đều có vật mẫu quan sát.
- Các viên bi trong cùng một khay được xếp thành một hàng từ trái sang phải để thuận tiện cho việc lấy ra thí nghiệm theo thứ tự.
- Vì mỗi viên bi có khối lượng và màu sắc khác nhau, nên thứ tự các viên bi trong mỗi khay là quan trọng.
Hai cách sắp xếp được xem là giống nhau nếu:
- Mỗi khay có cùng số viên bi.
- Thứ tự các viên bi từ trái sang phải trong từng khay hoàn toàn giống nhau.
Gọi T là số cách sắp xếp khác nhau. Giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải và đáp án
Câu 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(3; -4; -2) và có một vectơ chỉ phương là:
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : D
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm và nhận làm vecto chỉ phương. Phương trình chính tắc của d: .
Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(3; -4; -2) và có một vectơ chỉ phương là .
Câu 2 : Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = 3a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a (tham khảo hình bên).
Thể tích khối chóp đã cho bằng
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : A
Áp dụng công thức thể tích khối chóp: .
.
Câu 3 : Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): y + 2z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : A
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Một vecto pháp tuyến của (P) là .
Khi đó, với số thực , cũng là một vecto pháp tuyến của (P).
(P): y + 2z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là .
Câu 4 : Phương trình có tập nghiệm là
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : A
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
, . Vậy .
Câu 5 : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (xem hình dưới).
Đường thẳng CC' song song với mặt phẳng nào sau đây?
-
A.
(ABCD).
-
B.
(BCC'B').
-
C.
(ABB'A').
-
D.
(ACC'A').
Đáp án : C
Để chứng minh d // (P), chứng minh d // d’ và d’ thuộc (P).
.
Câu 6 : Một nguyên hàm của hàm số là
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : D
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ: .
.
Câu 7 : Cho hình chóp S.ABC (xem hình bên). Gọi G là trọng tâm . Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : C
Áp dụng quy tắc trọng tâm.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên .
Câu 8 : Nghiệm của phương trình là
-
A.
x = 3.
-
B.
x = 1.
-
C.
x = 2.
-
D.
x = 5.
Đáp án : C
.
.
-
A.
x = -3.
-
B.
x = -7.
-
C.
x = 1.
-
D.
x = -1.
Đáp án : D
Đường thẳng gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
; ; ; .
Theo bảng biến thiên, có nên tiệm cận đứng của đồ thị là x = -1.
Câu 10 : Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b khi xoay quanh trục Ox được xác định bởi công thức nào sau đây?
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : B
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.
.
Câu 11 : Cho cấp số cộng với và công sai d = -3. Giá trị của bằng
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : B
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: .
.
Câu 12 : Số lần ném vào rổ của 30 vận động viên khi ném 30 lần được thống kê lại bảng sau.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn đến hàng phần mười)
-
A.
6,3.
-
B.
5,8.
-
C.
24,1.
-
D.
2,4.
Đáp án : B
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
Phương sai:
- Công thức 1: .
- Công thức 2: .
Trong đó: là cỡ mẫu; là số trung bình.
Số trung bình: .
Phương sai: .
Câu 1 : Cho hàm số .
a) f(5) = 64.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là .
c) Tổng các nghiệm của phương trình là .
d) Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [1; 3] bằng 1.
a) f(5) = 64.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là .
c) Tổng các nghiệm của phương trình là .
d) Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [1; 3] bằng 1.
Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.
a) Đúng. .
b) Sai. .
c) Sai. .
d) Đúng. f(1) = 4, f(2) = 1, f(3) = 6. Do đó GTNN của f(x) trên [1; 3] bằng 1.
Câu 2 : Trong một buổi học liên môn Toán – Lịch sử, thầy giáo nhắc lại chiến công hiển hách của nghĩa quân Tây Sơn do Quang Trung lãnh đạo trong mùa xuân Kỷ Dậu. Thầy đọc mấy câu thơ mở đầu buổi học:
Xuân Kỷ Dậu trống vang trời,
Tây Sơn thần tốc rạng ngời non sông.
Đồng Đa giặc vỡ từng dòng,
Quang Trung đại thẳng, núi sông yên bình.
Để minh họa cho việc một đại lượng thay đổi theo thời gian trong một mô hình toán học đơn giản, thầy giả sử hàm số y(t) (với t > 0, tính bằng ngày) biểu diễn mức suy giảm sức chống cự của quân địch theo thời gian kể từ khi nghĩa quân Tây Sơn mở cuộc tiến công.
Sau khi phân tích dữ liệu mô phỏng, người ta nhận thấy đại lượng này có dạng y(t) với (a là các hằng số thực).
Biết rằng, mô hình thu được các dữ liệu sau:
Tại thời điểm t = 1 (ngày) và (ngày) thì y(1) = 5 và .
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) y(t) = at + b (b là hằng số thực).
b) a = -2.
c) .
d) Sau 10 ngày, sức chống cự của quân địch nhỏ hơn 0,4.
a) y(t) = at + b (b là hằng số thực).
b) a = -2.
c) .
d) Sau 10 ngày, sức chống cự của quân địch nhỏ hơn 0,4.
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm để giải.
a) Sai. (b là hằng số thực).
b) Đúng. Theo đề bài .
c) Đúng. .
d) Đúng. .
Câu 3 : Trước khi tham gia thi trung học phổ thông (THPT) quốc gia 2026, trường THPT X khảo sát 500 thí sinh về việc tham gia xét tuyển đại học bằng học bạ. Kết quả thống kê như sau: chỉ có 360 học sinh trả lời "sẽ xét học bạ", số còn lại trả lời "không xét học bạ". Kinh nghiệm mỗi năm của trường THPT X cho thấy tỉ lệ học sinh tham gia xét tuyển học bạ tương ứng với những cách trả lời "sẽ xét học bạ" và "không xét học bạ" lần lượt là 70% và 20%.
Gọi A là biến cố "Học sinh thực sự xét học bạ".
Gọi B là biến cố "Học sinh trả lời xét học bạ".
a) Xác suất và .
b) Xác suất có điều kiện .
c) Xác suất P(A) = 0,56.
d) Trong số những học sinh thực sự xét học bạ có ít hơn 80% học sinh đã trả lời sẽ xét học bạ.
a) Xác suất và .
b) Xác suất có điều kiện .
c) Xác suất P(A) = 0,56.
d) Trong số những học sinh thực sự xét học bạ có ít hơn 80% học sinh đã trả lời sẽ xét học bạ.
Áp dụng định nghĩa và công thức xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần.
a) Đúng. và .
b) Sai. .
c) Đúng.
.
d) Sai. .
Câu 4 : Trong hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km), một số người gặp nạn đã chế tạo ra máy phát tín hiệu cứu nạn đặt tại vị trí T(-2; 1; 4) với bán kính phát tín hiệu tối đa là 10 km. Cách đó có một chiếc trực thăng tuần tra của cảnh sát không gian đang bay từ vị trí P(8; 3; 14) theo phương vectơ với tốc 200 km/h (tham khảo hình vẽ).
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Phương trình đường bay của cảnh sát tuần tra là .
b) Phương trình vùng phủ sóng cứu nạn là .
c) Khi máy bay bay đến vị trí (-2; 7; 12) thì phát hiện tín hiệu cứu nạn.
d) Khi vừa phát hiện tín hiệu cứu nạn, máy bay cần 2 phút để đến vị trí người gặp nạn (giả sử tốc độ bay của máy bay cứu nạn không thay đổi).
a) Phương trình đường bay của cảnh sát tuần tra là .
b) Phương trình vùng phủ sóng cứu nạn là .
c) Khi máy bay bay đến vị trí (-2; 7; 12) thì phát hiện tín hiệu cứu nạn.
d) Khi vừa phát hiện tín hiệu cứu nạn, máy bay cần 2 phút để đến vị trí người gặp nạn (giả sử tốc độ bay của máy bay cứu nạn không thay đổi).
Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
a) Đúng. Phương trình đường bay của cảnh sát tuần tra đi qua P(8; 3; 14) và có vecto chỉ phương là .
b) Sai. Vùng phủ sóng cứu nạn là mặt cầu tâm T(-2; 1; 4), bán kính 10 km, có phương trình:
.
c) Sai. Tìm giao điểm của đường bay và mặt cầu:
Do đó đường bay giao với mặt cầu tại hai điểm và .
d) Sai. Từ chỗ phát hiện tín hiệu là d = 10 km, với tốc độ 200 km/h thì thời gian tới chỗ cứu hộ là giờ = 3 phút.
Câu 1 : Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao là 1 và AC = 2 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng bao nhiêu? (không làm tròn phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Xác định hình chiếu vuông góc của O lên (SCD) và áp dụng .
.
Gọi E là trung điểm của CD (đồng thời là hình chiếu vuông góc của O lên CD) và H là hình chiếu vuông góc của O lên SE.
.
.
Khi đó .
.
Vậy .
Câu 2 : Vào mùa du lịch hè tại Khánh Hòa, một cơ sở sản xuất “nước ép xoài đóng chai” cung cấp cho các quầy giải khát ở khu vực biển. Theo kế hoạch sản xuất, nếu trong một tháng cơ sở sản xuất và bán hết x chai nước ép thì doanh thu thu được (tính bằng nghìn đồng) được ước tính bởi hàm . Do chi phí nguyên liệu, đóng chai, bảo quản và vận chuyển thay đổi theo quy mô sản xuất nên chi phí sản xuất trung bình cho mỗi chai (tính bằng nghìn đồng) được cho bởi . Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ hết trong tháng. Hỏi trong một tháng, cơ sở phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chai nước ép để lợi nhuận thu được không ít hơn 120 triệu đồng?
Lập hàm lợi nhuận T(x). Theo giả thiết, giải bất phương trình và kết luận.
Doanh thu: .
Chi phí mỗi sản phẩm: .
Lợi nhuận = Doanh thu - Chi phí x sản phẩm
.
Đặt .
Theo giả thiết:
.
Kết hợp điều kiện và x nhỏ nhất nên x = 1253.
Câu 3 : Trong một trò chơi “giải mật mã tại ngày hội khoa học”, ban tổ chức chuẩn bị một hộp chứa 9 tấm thẻ được ghi các số từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Một người chơi rút ngẫu nhiên 5 tấm thẻ khác nhau từ hộp. Sau đó các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thành a < b < c < d < e. Người chơi được coi là giải được mật mã nếu trong năm số này tồn tại bốn số liên tiếp tạo thành một cấp số cộng. Biết xác suất để người chơi giải được mật mã là A. Giá trị là bao nhiêu?
Áp dụng phương pháp liệt kê.
+) Số cách chọn ngẫu nhiên 5 tấm thẻ khác nhau từ hộp chứa 9 tấm thẻ là một tổ hợp chập 5 của 9 phần tử: (cách).
Sau khi chọn, 5 số này luôn được sắp xếp duy nhất theo thứ tự tăng dần: a < b < c < d < e.
Để trong 5 số này tồn tại 4 số liên tiếp lập thành một cấp số cộng (CSC), về mặt vị trí sau khi sắp xếp, chỉ có 2 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: 4 số đầu (a; b; c; d) là CSC. Số còn lại e phải thỏa mãn: e > d.
Trường hợp 2: 4 số cuối (b; c; d; e) là CSC. Số còn lại a phải thỏa mãn: a < b.
Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi cho Biến cố
Gọi d là công sai của cấp số cộng gồm 4 số. Vì các số thuộc tập {1; 2; …; 9} nên công sai d chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 (nếu , bốn số nhỏ nhất là 1; 4; 7; 10 loại vì vượt quá 9).
+) TH1: Bốn số đầu (a; b; c; d) lập thành một CSC.
Khả năng 1.1: Công sai d = 1
Có 6 bộ bốn số thỏa mãn. Với mỗi bộ, ta chọn số thứ năm e sao cho e > d:
Bộ (1; 2; 3; 4): Chọn được 5 bộ 5 số.
Bộ (2; 3; 4; 5): Chọn được 4 bộ 5 số.
Bộ (3; 4; 5; 6): Chọn được 3 bộ 5 số.
Bộ (4; 5; 6; 7): Chọn được 2 bộ 5 số.
Bộ (5; 6; 7; 8): Chọn được 1 bộ 5 số.
Bộ (6; 7; 8; 9): Không có số e > 9.
Vậy số bộ 5 số ở khả năng này là: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15 bộ.
Khả năng 1.2: Công sai d = 2.
Có 3 bộ bốn số thỏa mãn. Ta chọn số thứ năm e > d:
Bộ (1; 3; 5; 7): Chọn được 2 bộ 5 số.
Bộ (2; 4; 6; 8): Chọn được 1 bộ 5 số.
Bộ (3; 5; 7; 9): Không có số e > 9.
Vậy số bộ 5 số ở khả năng này là: 2 + 1 + 0 = 3 bộ.
Tổng số bộ 5 số ở TH1 (CSC nằm đầu) là: 15 + 3 = 18 bộ.
+) TH2: Bốn số cuối (b; c; d; e) lập thành một CSC.
Khả năng 2.1: Công sai d = 1.
Có 6 bộ bốn số thỏa mãn. Với mỗi bộ, ta chọn số thứ nhất a sao cho a < b:
Bộ (1; 2; 3; 4): Không có số a < 0.
Bộ (2; 3; 4; 5): Chọn được 1 bộ 5 số.
Bộ (3; 4; 5; 6): Chọn được 2 bộ 5 số.
Bộ (4; 5; 6; 7): Chọn được 3 bộ 5 số.
Bộ (5; 6; 7; 8): Chọn được 4 bộ 5 số.
Bộ (6; 7; 8; 9): Chọn được 5 bộ 5 số.
Vậy số bộ 5 số ở khả năng này là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 bộ.
Khả năng 2.2: Công sai d = 2.
Có 3 bộ bốn số thỏa mãn. Ta chọn số thứ nhất a < b:
Bộ (1; 3; 5; 7): Không có số a < 1.
Bộ (2; 4; 6; 8): Chọn được 1 bộ 5 số.
Bộ (3; 5; 7; 9): Chọn được 2 bộ 5 số.
Vậy số bộ 5 số ở khả năng này là: bộ.
Tổng số bộ 5 số ở TH2 (CSC nằm cuối) là: 15 + 3 = 18 bộ.
+) Loại trừ các bộ trùng nhau (Phần giao của TH1 và TH2)
Một bộ 5 số bị đếm lặp ở cả TH1 và TH2 khi và chỉ khi cả 5 số đó cùng lập thành một CSC liên tiếp (vừa có 4 số đầu là CSC, vừa có 4 số cuối là CSC).
Với d = 1: Có 5 bộ gồm 5 số liên tiếp là:
{1; 2; 3; 4; 5}, {2; 3; 4; 5; 6}, {3; 4; 5; 6; 7}, {4; 5; 6; 7; 8}, {5; 6; 7; 8; 9}.
Với d = 2: Có 1 bộ gồm 5 số là: {1; 3; 5; 7; 9}.
Tổng số bộ bị trùng là: 5 + 1 = 6 bộ.
+) n(X) = 18 + 18 - 6 = 30.
Xác suất để người chơi giải được mật mã là:
.
Câu 4 : Một cơ sở thủ công mỹ nghệ ở Khánh Hòa sản xuất các chân đế kim loại để trưng bày quả cầu pha lê trong cửa hàng lưu niệm. Ban đầu, người ta đúc một khối kim loại hình trụ đặc có đường kính đáy 12 cm và chiều cao 10 cm. Sau đó, để đặt vừa quả cầu pha lê, người thợ khoét ở mặt trên của khối trụ một phần của khối cầu bán kính 5 cm. Phần của khối cầu nhô lên khỏi mặt trên của khối trụ 4 cm như hình minh họa. Biết thể tích kim loại còn lại của chân đế sau khi khoét là . Giá trị của m là bao nhiêu?
Áp dụng công thức tính thể tích chỏm cầu: .
Thể tích khối trụ: .
Phần chỏm cầu chìm trong khối trụ có chiều cao là 10 - 4 = 6 (cm) nên thể tích phần bị chìm trong khối trụ là .
Thể tích kim loại còn lại là .
Câu 5 : Trong dịp gây quỹ cho chương trình “Áo ấm mùa đông”, câu lạc bộ tình nguyện của Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tổ chức một gian hàng bán đồ ăn nhanh trong ngày hội của trường. Hai món được nhiều học sinh yêu thích là Nước chanh và Khoai tây chiên. Để thuận tiện cho việc bán hàng, câu lạc bộ thiết kế hai loại combo:
- Combo A giá 40 nghìn đồng, gồm 2 cốc nước chanh và 1 phần khoai tây chiên.
- Combo B giá 60 nghìn đồng, gồm 3 cốc nước chanh và 2 phần khoai tây chiên.
Do số nguyên liệu chuẩn bị có hạn, trong ngày hôm đó câu lạc bộ chỉ có thể sử dụng không quá 180 cốc nước chanh và không quá 110 phần khoai tây chiên. Hỏi số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể thu được là bao nhiêu nghìn đồng?
Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.
Gọi x, y là số combo A và combo B mà câu lạc bộ bán được:
Theo giả thiết: .
F(x; y) = 40x + 60y đạt giá trị lớn nhất.
Miền nghiệm của hệ phương trình là hình không bị tô màu ở hình dưới. Các điểm O(0; 0), A(0; 55), B(30; 40), C(90; 0) là các điểm biên.
Ta thấy: F(0; 0) = 0, F(0; 55) = 3300, F(30; 40) = 3600, F(90; 0) = 3600.
Vậy số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ thu được 3600 (nghìn đồng).
Câu 6 : Trong buổi hoạt động trải nghiệm khoa học của học sinh trường Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, giáo viên chuẩn bị một bộ 8 viên bi kim loại khác nhau để thực hiện thí nghiệm về va chạm và chuyển động trên máng nghiêng. Để tiện cho việc quan sát và ghi chép kết quả, giáo viên đặt trước mặt học sinh 4 khay thí nghiệm được đánh số 1, 2, 3, 4. Trước khi tiến hành thí nghiệm, các viên bi sẽ được đặt vào các khay theo những quy tắc sau:
- Mỗi khay phải có ít nhất một viên bi để đảm bảo mỗi nhóm học sinh đều có vật mẫu quan sát.
- Các viên bi trong cùng một khay được xếp thành một hàng từ trái sang phải để thuận tiện cho việc lấy ra thí nghiệm theo thứ tự.
- Vì mỗi viên bi có khối lượng và màu sắc khác nhau, nên thứ tự các viên bi trong mỗi khay là quan trọng.
Hai cách sắp xếp được xem là giống nhau nếu:
- Mỗi khay có cùng số viên bi.
- Thứ tự các viên bi từ trái sang phải trong từng khay hoàn toàn giống nhau.
Gọi T là số cách sắp xếp khác nhau. Giá trị bằng bao nhiêu?
Áp dụng phương pháp vách ngăn.
Số cách xếp 8 viên bi ngẫu nhiên là 8! (cách).
Để 8 viên bi xếp vào 4 khay (mỗi khay có ít nhất 1 viên bi), ta xem như trải 8 viên bi thành 1 hàng, ta tạo ra 3 vách ngăn để chia làm 4 phần.
Trong 8 viên bi liên tiếp có 7 vách ngăn, chọn 3 vách ngăn có (cách).
Do đó có tất cả (cách). Vậy .