Đề thi thử vào 10 môn Toán (chung)

Đề số 1 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1 (1,5 điểm)

1) Rút gọn biểu thức

2) Rút gọn biểu thức với

Tính giá trị của B khi

Bài 2 (1,5 điểm)

Cho Parabol và đường thẳng (m là tham số).

1) Vẽ đồ thị hàm số (P).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho phương trình: , (m là tham số)

a. Giải phương trình (1) khi m = 3.

b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4  (1,5 điểm)

Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, người đó nghỉ 9 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Tính vận tốc lúc đấy của người đó.

Bài 5  (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính . Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D.

1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.

2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết . Tính diện tích của tam giác BCD.

3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh

4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.

Lời giải chi tiết

Bài 1.

Ta có

Thay vào B ta có .

Vậy khi thì

Bài 2:

1) Vẽ đồ thị hàm số :

Ta có bảng giá trị:

	-2	-1	0	1	2
	-4	-1	0	-1	-4

Đồ thị hàm số:

                                  

2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt

Vậy với thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt.

Bài 3

Ta có:

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

1)  Cho phương trình: , ( m là tham số)

a)  Giải phương trình (1) khi m = 3.

Với m = 3 ta có (1) trở thành:

Ta có:

Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là: 

Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có tập nghiệm là:

b)  Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

+) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có:

Ta có:

Thay Viet vào A ta được:

Ta có: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4:

Gọi vận tốc ban đầu của người đó là

Thời gian dự định người đó đi hết quãn đường là:

Quãng đường người đó đi được sau 1 giờ là:

Quãng đường còn lại người đó phải tăng tốc là:

Vận tốc của người đó sau khi tăng tốc là: thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là:

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy vận tốc lúc đầu của người đó là

Bài 5.

1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.

Do DB, DC là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

Xét tứ giác OBDC có  tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết . Tính diện tích của tam giác BCD.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OBD có

Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc trung trực của BC là trung trực của BC .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBD có:

Vậy

3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh

Ta có ( 2 góc so le trong do đường thẳng Ax // PQ)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB của (O)).

Xét tam giác ABC và tam giác AQP có:

chung;

4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.

Kéo dài BD cắt D tại F.

Ta có (đối đỉnh)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

(do )

cân tại D

Tương tự kéo dài DC cắt d tại G, ta chứng minh được cân tại D

Lại có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) là trung điểm của PQ.

Ta có: 

Xét tam giác và tam giác có

trithuchub.com

Đề số 2 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1. (3,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức

2. Giải hệ phương trình

3. Giải phương trình

Bài 2. (2 điểm)

Cho hai hàm số: và có đồ thị lần lượt là   và

1) Vẽ    và trên cùng hệ trục tọa độ.

2)  Bằng phép toán tìm tọa độ giao điểm của    và

Bài 3. (1 điểm)

Cho phương trình (với m là tham số).

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết BH = 3,6cm và HC = 6,4 cm. Tính độ dài BC, AH, AB, AC.

Bài 5. (3 điểm).

 Cho tam giác ABC vuông tại A , M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính  MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D.

1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.

2. Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Bài 1.

1. Rút gọn biểu thức

Ta có:

2. Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

3. Giải phương trình

Ta có:

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

Bài 2: Cho hai hàm số: và có đồ thị lần lượt là   và

1) Vẽ    và trên cùng hệ trục tọa độ.

+) Vẽ đồ thị hàm số:

+) Vẽ đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số:

           

2)  Bằng phép toán tìm tọa độ giao điểm của    và

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt và

Bài 3:

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có:

Vì

Hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

2) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

Đề bài yêu cầu tìm để Ta đưa bài toán về dạng tìm x nguyên để m nguyên.

Ta có:

Mà

Vậy với và thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4.

 

Ta có: nên :

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  ABC vuông tại A với đường cao AH ta có:

 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

Vậy: BC = 10 cm; AH = 4,8 cm; AB = 6 cm; AC = 8 cm.

Bài 5.

 

1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) .(Do B, M, D thẳng hàng)

Có (do giả thiết tam giác ABC vuông tại A)

Xét tứ giác BADC có Hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới góc 90⁰ Tứ giác BADC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

2. Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

Do BADC là tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN của đường tròn đường kính MC).

là tia phân giác của góc ADN.

3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Ta có

Tam giác ABC vuông tại A

Xét tam giác PBC có là trực tâm tam giác PBC.

.

Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC)

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng BC ta kẻ được và

hay ba điểm P, M, N thẳng hàng.

trithuchub.com

Đề số 3 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Tính giá trị của các biểu thức

                              

2. Cho biểu thức với và

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị của x, biết P > 3

Câu 2. (2 điểm)

1) Cho parabol  và  đường thẳng

a) Vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

b)  Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng bằng phép tính.

2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình sau:

Câu 3. (2,5 điểm)

1) Cho phương trình (m là tham số)   (1)   

a)  Giải phương trình (1) với

b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho:

2) Quãng đường AB dài 50 km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai 10 km/h, nên xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 15 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Câu 4. (1,0 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AC = 8cm và BC = 10 cm. Tính độ dài AB, BH, CH  và AH.

Câu 5. (2,5 điểm)

Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D; O và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của .

Lời giải chi tiết

Câu 1.

1.  Tính giá trị của các biểu thức

Ta có:

2. Cho biểu thức với và

a)  Rút gọn biểu thức P

Với và ta có:

b) Tìm giá trị của x, biết P > 3

Kết hợp với điều kiện: và ta được

Vậy với thì

Câu 2:

1) Cho parabol  và  đường thẳng

a) Vẽ    và trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

+) Vẽ đồ thị hàm số:

+) Vẽ đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số:

b)  Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt và

2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Câu 3:

1) Cho phương trình (m là tham số)   (1)   

a)  Giải phương trình (1) với

Thay vào phương trình ta được:

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm  

b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho:

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Khi đó ta có:

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy và thỏa mãn điều kiện bài toán.

2) Quãng đường AB dài 50 km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai 10 km/h, nên xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 15 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là

Vận tốc của xe thứ hai là:

Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là  ;

Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là:

Vì xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 15 phút = nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là và vận tốc xe thứ hai là

Câu 4.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AC = 8cm và BC = 10 cm. Tính độ dài AB, BH, CH  và AH.

 

+) Tính  AB

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

+) Tính BH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

+) Tính CH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

+) Tính AH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC  ta có:

Câu 5.

 

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

Ta có (Do MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O))

Xét tứ giác OAMB có: Tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh

Xét tam giác MBC và tam giác MDB có:

chung;

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

 

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của .

Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) thuộc trung trực của AB;

thuộc trung trực của AB;

là trung trực của AB

Xét tam giác vuông OMB có (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Mà

Xét tam giác MCH và MOD có :

chung ; 

; 

 

 (hai góc tương ứng) (1).

Mà Tứ giác OHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

(2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD).

Mà (3) (tam giác OCD cân tại O);

Từ (1), (2) và (3) .

.

Vậy HB là tia phân giác của góc CHD hay AB là tia phân giác của góc CHD.

trithuchub.com

Đề số 4 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1. (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình

Câu 3. (1,0 điểm) Tìm giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm .

Câu 4. (1,0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số

Câu 5. (1 điểm) Giải hệ phương trình

Câu 6. (1 điểm) Cho tam giác vuông tại có đường cao Biết Tính theo độ dài và  

Câu 7. (1 điểm) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn:

Câu 8. (1 điểm) Một đội máy xúc được thuê đào đất để mở rộng hồ Dầu Tiếng. Ban đầu đội dự định mỗi ngày đào một lượng đất nhất định để hoàn thành công việc, nhưng sau khi đào được thì đội được tăng cường thêm một số máy xúc nên mỗi ngày đào thêm được do đó đã hoàn thành công việc trong ngày. Hỏi ban đầu đội dự định mỗi ngày đào bao nhiêu đất?

Câu 9 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.

Câu 10 (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính 2R (kí hiệu (O; 2R)) và đường tròn tâm O’ bán kính R (kí hiệu (O’; R)) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Lấy điểm B trên đường tròn (O; 2R) sao cho , tia BA cắt đường tròn (O’; R) tại điểm C (C khác điểm A). Tiếp tuyến của đường tròn (O’; R) tại điểm C cắt đường thẳng BO tại điểm E. Tính theo R diện tích tam giác ABE.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Để đường thẳng  đi qua điểm thì:

Vậy m = 3 thì đường thẳng  đi qua điểm .

Câu 4.

Vẽ đồ thị hàm số

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm .

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm A, B, O, C, D có tọa độ như trên.

Câu 5:

Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 6:

Cho tam giác vuông tại có đường cao Biết Tính theo độ dài và  

 

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông tại ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông tại với đường cao ta có:

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông tại ta có:

Vậy

Câu 7:

Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Với thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: (điều kiện

Theo đề bài ta có:

 

Vậy thỏa mãn bài toán.

Câu 8:

Máy xúc đào được số đất là:

Thời gian đội máy xúc đào được đất là:   (ngày)

Sau khi được tăng thêm số máy xúc thì mỗi ngày đội máy xúc đào được số đất là:

Số ngày đội máy xúc  đào được đất là:

  (ngày).

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy mỗi ngày đội máy xúc đào được  đất.

Câu 9.

 

Ta có: D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC  nên DE là đường trung bình của tam giác ABC .

(so le trong).

Tam giác AHB vuông tại H, có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

cân tại D (hai góc ở đáy của tam giác cân).

Lại có góc DBH là góc nội tiếp chắn cung DH của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

Góc EDH nằm tạo bởi dây cung DH và tia DE với D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH, nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, chắn cung DH của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

là tiếp tuyến tại D của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

Chứng minh tương tự ta có : .

Lại có góc ECH là góc nội tiếp chắn cung EH của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

Góc DEH nằm tạo bởi dây cung EH và tia ED, nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, chắn cung EH của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

là tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.

Câu 10 :

Cho đường tròn tâm O bán kính 2R (kí hiệu (O; 2R)) và đường tròn tâm O’ bán kính R (kí hiệu (O’; R)) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Lấy điểm B trên đường tròn (O; 2R) sao cho , tia BA cắt đường tròn (O’; R) tại điểm C (C khác điểm A). Tiếp tuyến của đường tròn (O’; R) tại điểm C cắt đường thẳng BO tại điểm E. Tính theo R diện tích tam giác ABE.

Tam giác OAB có cân tại

Xét tam giác OAB có .

Tam giác O’AC có O’A = O’C cân tại O’

, mà hai góc này ở vị trí so le trong

Ta có (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC).

Xét tam giác EBC có vuông tại E.

Ta có 

 

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và AC.

(mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét vuông tại có :

Xét vuông tại có :

 

 trithuchub.com

 

Đề số 5 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1. (2,5 điểm)

1. Thực hiện phép tính

2. Rút gọn biểu thức  với   và

3. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số   đi qua hai điểm  và

Câu 2. (1.5 điểm)

1. Giải phương trình

2. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Câu 3. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nên quãng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32 km/h. Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường tròn (O) lấy điểm C bất kì (C không trùng với A và B). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BC ở điểm D. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng DO. Tia AH cắt đường tròn (O) tại điểm F (không trùng với A). Chứng minh

a)

b) Tứ giác AHCD nội tiếp.

c)

d)

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Câu 1.

1. Thực hiện phép tính

2. Rút gọn biểu thức   với   và

Điều kiện:

3. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số   đi qua hai điểm  và

Đồ thị hàm số   đi qua hai điểm  và nên ta có hệ phương trình:

Vậy ta có

Câu 2.

1. Giải phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là

2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn

+) Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có:

Từ đề bài ta có:

Lại có

Khi đó ta có:

+) TH1: kết hợp với   (2) ta được:

+)TH2: kết hợp với   (2) ta được:

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 3:

Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nên quãng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32 km/h. Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.

Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là

Thời gian ô tô đi từ A đến B là: (giờ).

Quãng đường lúc về là:

Vận tốc của ô tô lúc về là: Thời gian của ô tô lúc về là: (giờ).

Đổi:  1 giờ 45 phút giờ.

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là

Câu 4.

 

a)

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) .

Ta có: ( Do DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có .

b) Tứ giác AHCD nội tiếp.

Xét tứ giác AHCD có Hai đỉnh C và H kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới góc 90⁰

Tứ giác AHCD nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

c)

Do tứ giác AHCD nội tiếp nên (cùng bù với ).

Xét tam giác FHC và tam giác ADC có:

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).

;

Suy ra, tam giác FHC đồng dạng với tam giác ADC (g.g) => góc FCH bằng góc ACD (hai góc tương ứng)

Mà

d)

Xét tam giác vuông OAD vuông tại A có OH là đường cao ta  có (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà

Xét tam giác OBH và ODB có:

chung;

;

Suy ra, tam giác OBH đồng dạng với tam giác ODB (c.g.c) => góc OBH bằng góc OBD

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCD).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF của đường tròn (O))

Xét tam giác BHF và tam giác BAC có:

(góc BFC nội tiếp chắn nửa đường tròn (O));

;

Câu 5.

Ta có:

Áp dụng BĐT Cô si, ta có: 

. Đặt , ta có:

,

Ta chứng minh:

( do )

Do

,

Vậy, khi và chỉ khi

 trithuchub.com

 

Đề số 6 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1. (2.5 điểm)

a)  Rút gọn các biểu thức

  với   và

b)  Giải hệ phương trình

Câu 2. (2 điểm)

Cho phương trình (m là tham số )

a)  Giải phương trình (*) khi

b)  Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn

Câu 3. (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ đồ thị của (P).

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm

c) Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm Tìm tọa độ của và tính diện tích tam giác

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CA.CK = CE.CH

c) Qua điểm N kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt MK tại F. Chứng minh tam giác NFK cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh OK // MN.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a) Rút gọn các biểu thức

với   và

b) Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2.

Cho phương trình (m là tham số )

a) Giải phương trình (*) khi

Thay vào phương trình (*) ta có:

Ta có:

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy khi thì phương trình (*)  có tập nghiệm là:

b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn

+) Phương trình (*) có hai nghiệm khi và chỉ khi

+) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có:

Kết hợp (1) và (3) ta được hệ phương trình:

Thay vào (2) ta được:

Vậy   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ đồ thị của (P).

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị:

                                          

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm

Đường thẳng đi qua điểm

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

c) Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm Tìm tọa độ của và tính diện tích tam giác

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt và

Gọi là giao điểm của đường thẳng và trục

Khi đó ta có:

Ta có:

Vậy diện tích tam giác là

Câu 4.

                     

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Xét tứ giác AHEK có tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh CA.CK = CE.CH

Xét tam giác CKE và tam giác CHA có:

chung;

(đpcm).

c) Qua điểm N kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt MK tại F. Chứng minh tam giác NFK cân.

Ta có

. (từ vuông góc đến song song).

Xét tam giác OMN có 

 cân tại O.

Đường cao OH đồng thời là đường phân giác sđ cung MB = sđ cung NB.

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Ta có (đồng vị);

(so le trong);

Mà

cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh OK // MN.

Ta có vuông tại K.

Lại có KE = KC (gt) vuông cân tại K  ;

(đối đỉnh) vuông cân tại H

Tam giác OBK có cân tại O

vuông cân tại  ;

Lại có .

Vậy MN // OK.

trithuchub.com

Đề số 7 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1 (1,5 điểm) Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ   và trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Bài 2 (1 điểm). Cho phương trình   có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Bài 3 (1 điểm). Mối quan hệ giữa thang nhiệt độ F (Fahrenheit) và thang nhiệt độ C (Celsius) được cho bởi công thức trong đó là nhiệt độ tính theo độ C và là nhiệt độ tính theo độ F. Ví dụ C tương ứng với F.

a) Hỏi C tương ứng với bao nhiêu độ F ?

b) Các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ giữa là số tiếng kêu của một con dế trong một phút và là nhiệt độ cơ thể của nó bởi công thức trong đó là nhiệt độ tín theo độ F. Hỏi nếu con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ của nó khoảng bao nhiêu độ C? (làm tròn đến hàng đơn vị)

 

Bài 4: (0,75 điểm)Kim tự tháp Kheops – Ai Cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh (hình vẽ). Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214 m, cạnh đáy của nó dài 230 m.

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức , trong đó là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn).

 

Bài 5 (1 điểm). Siêu thị A thực hiện chương trình giảm giá cho khách hàng mua loại túi bột giặt 4 kg như sau: Nếu mua 1 túi thì được giảm giá 10 000 đồng so với giá niêm yết. Nếu mua 2 túi thì túi thứ nhất được giảm 10 000 đồng và túi thứ hai được giảm 20 000 đồng so với giá niêm yết. Nếu mua từ 3 túi trở lên thì ngoài 2 túi đầu được hưởng chương trình giảm giá như trên, từ túi thứ ba trở đi mỗi túi sẽ được giảm 20% so với giá niêm yết.

a) Bà Tư mua 5 túi bột giặt loại 4 kg ở siêu thị A thì phải trả số tiền là bao nhiêu, biết rằng loại túi bột giặt mà bà Tư mua có giá niêm yết là 150 000 đồng/túi.

b) Siêu thị B lại có hình thức giảm giá khác cho loại túi bột giặt nêu trên là: nếu mua từ 3 túi trở lên thì sẽ giảm giá 15% cho mỗi túi. Nếu bà Tư mua 5 túi bột giặt thì bà Tư nên mua ở siêu thị nào để số tiền phải trả ít hơn? Biết rằng giá niêm yết của hai siêu thị là như nhau.

Bài 6 (1 điểm). Nhiệt độ sôi của nước không phải lúc nào cũng là mà phụ thuộc vào độ cao của nơi đó so với mực nước biển. Chẳng hạn Thành phố Hồ Chí Minh có độ cao xem như ngang mực nước biển thì nước có nhiệt độ sôi là nhưng ở thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ cao so với mực nước biển thì nhiệt độ sôi của nước là . Ở độ cao trong khoảng vài , người ta thấy mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất có đồ thị như sau:

x: là đại lượng biểu thị cho độ cao so với mực nước biển.

y: là đại lượng biểu thị cho nhiệt độ sôi của nước.

Bài 7 (1 điểm) Năm học 2017 – 2018, trường THCS Tiến Thành có ba lớp 9 gồm 9A, 9B, 9C trong đó lớp 9A có 35 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh. Tổng kết cuối năm, lớp 9A có 15 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, lớp 9B có 12 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, lớp 9C có 20% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi và toàn khối 9 có 30% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi. Hỏi lớp 9C có bao nhiêu học sinh?

Bài 8 (3 điểm).  Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: AH vuông góc với BC.

b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp.

c) Cho . Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích của hai tam giác AED và ABC.

 

Lời giải chi tiết

Bài 1 (1,5 điểm)

Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ   và trên cùng hệ trục tọa độ.

+) Vẽ đồ thị hàm số

 Ta có bảng giá trị:

	-2	-1	0	1	2
	4	1	0	1	4

Đồ thị hàm số (P) có hình dạng đường cong đi qua các điểm

+) Vẽ đồ thị hàm số:

	1	2
	1	4

Đồ thị hàm số  là đường thẳng đi qua các điểm

Đồ thị hàm số:

b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của   và là nghiệm của phương trình:

Vậy đường thẳng   cắt tại hai điểm phân biệt: và

Bài 2 (1 điểm).

Cho phương trình   có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

.

Vậy .

Bài 3 (1 điểm):

Mối quan hệ giữa thang nhiệt độ F (Fahrenheit) và thang nhiệt độ C (Celsius) được cho bởi công thức trong đó là nhiệt độ tính theo độ C và là nhiệt độ tính theo độ F. Ví dụ C tương ứng với F.

a) Hỏi C tương ứng với bao nhiêu độ F ?

Với C thay vào biểu thức ta được F.

Vậy C tương ứng với 77 độ F.

b) Các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ giữa là số tiếng kêu của một con dế trong một phút và là nhiệt độ cơ thể của nó bởi công thức trong đó là nhiệt độ tín theo độ F. Hỏi nếu con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ của nó khoảng bao nhiêu độ C? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Con dế kêu 106 tiếng trong một phút suy ra

Mà suy ra C (làm tròn đến hàng đơn vị)

Vậy khi con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ của nó khoảng 20 độ C.

Bài 4:

 

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

ABCD là hình vuông vuông cân tại A. Theo Py-ta-go, ta có:

                                   

ABCD là hình vuông là trung điểm của BD 

vuông tại O , theo Py-ta-go, ta có:

.

b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức , trong đó là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 6 có đáp án và lời giải chi tiết thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn).

 Diện tích đáy là: 

Thể tích của hình chóp là:  .

Bài 5.

a) Bà Tư mua 5 túi bột giặt loại 4 kg ở siêu thị A thì phải trả số tiền là bao nhiêu, biết rằng loại túi bột giặt mà bà Tư mua có giá niêm yết là 150 000 đồng/túi.

Túi bột giặt thứ nhất có giá sau khi được khuyến mãi là: (đồng)

Túi bột giặt thứ hai có giá sau khi được khuyến mãi là: (đồng)

Từ túi bột giặt thứ ba, mỗi túi có giá sau khi được khuyến mãi là: (đồng)

Vậy số tiền bà Tư phải trả để mua 5 túi bột giặt loại 4kg là: (đồng)

b) Siêu thị B lại có hình thức giảm giá khác cho loại túi bột giặt nêu trên là: nếu mua từ 3 túi trở lên thì sẽ giảm giá 15% cho mỗi túi. Nếu bà Tư mua 5 túi bột giặt thì bà Tư nên mua ở siêu thị nào để số tiền phải trả ít hơn? Biết rằng giá niêm yết của hai siêu thị là như nhau.

Nếu bà Tư mua ở siêu thị B thì mỗi túi bột giặt bà phải mua với giá là: (đồng)

Do đó khi mua 5 túi bột giặt loại 4kg ở siêu thị B bà Tư phải trả số tiền là (đồng).

Ta thấy 630 000 đồng < 637 500 đồng.

Vậy Bà Tư nên mua ở siêu thị A để số tiền phải trả là ít hơn là 637 500 – 630 000 = 7 500 đồng

Bài 6 (1 điểm).

a)Xác định các hệ số a và b

Tại TP HCM: nên .

Tại thủ đô La Paz: nên .

Từ và ta có:

Vậy .

b)  Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500m so với mực nước biển. Hỏi nhiệt độ sôi của nước ở thành phố này là bao nhiêu?

 Tại Đà Lạt: .

Vậy độ sôi của nước ở Đà Lạt là khoảng .

Bài 7 (1 điểm)

Gọi số học sinh lớp 9C là (học sinh)

Khi đó số học sinh toàn khối 9 là: (học sinh).

Số học sinh giỏi lớp 9C là: (học sinh).

Số học sinh giỏi toàn khối là: (học sinh).

Khối 9 có số học sinh giỏi nên ta có phương trình:

Vậy số học sinh lớp 9C là 45 học sinh.

Bài 8.

 

a)   Chứng minh AH vuông góc với BC

 Ta có các góc

(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác ABC có H là trực tâm tam giác ABC

.

b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp

Kéo dài AH cắt BC tại F.

Xét tứ giác AEHD có Tứ giác AEDH nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Lại có K là trung điểm của AH là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.

cân tại K (1)

Xét tam giác OBD có cân tại O   (2)

Từ (1) và (2)

Chứng minh tương tự ta có:

cân tại K

Tam giác OCE có OC = OE cân tại

 

Xét tứ giác OEKD có Tứ giác OEKD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

 c) Cho . Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích hai tam giác AED và ABC.

 Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn (O)

Mà (kề bù)

+) Xét và có:

: chung

  (cmt)

đồng dạng (g-g)

(1)

+) vuông tại D

  (2)

 Từ (1), (2) suy ra :

Vậy .

+) đồng dạng với tỉ số đồng dạng

Khi đó: .

 trithuchub.com

Đề số 8 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Chọn phương án trả lời đúng trong các câu sau:

Câu 1. Phương trình \({x^2} - 3x - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\;\;{x_2}.\) Tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng:

A. 3                                         B. -3

C. 6                                         D. -6

Câu 2. Đường thẳng \(y = x + m - 2\) đi qua điểm \(E\left( {1;\;0} \right)\) khi: 

A. \(m =  - 1\)                          B. \(m = 3\)

C. \(m = 0\)                             D. \(m = 1\)

Câu 3. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\;\;\widehat {ACB} = {30^0},\;\;AB = 5cm.\) Độ dài cạnh \(AC\) là:

A. \(10cm\)  

B. \(\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}cm\)   

C. \(5\sqrt 3 cm\)   

D. \(\dfrac{5}{{\sqrt 3 }}cm\) 

Câu 4. Hình vuông cạnh bằng 1, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông là:

 A. \(\dfrac{1}{2}\)  

B. \(1\)       

C. \(\sqrt 2 \)       

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) 

Câu 5. Phương trình \({x^2} + x + a = 0\) (với x là ẩn, a là tham số) có nghiệm kép khi:

A. \(a =  - \dfrac{1}{4}\)    

B. \(a = \dfrac{1}{4}\)         

C. \(a = 4\)    

D. \( - 4\)

Câu 6. Cho \(a > 0,\) rút gọn biểu thức \(\dfrac{{\sqrt {{a^3}} }}{{\sqrt a }}\) ta được kết quả:

A.\({a^2}\)

B. \(a\)

C. \( \pm a\)       

D. \( - a\) 

PHẦN II. TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 7. (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\3x - y = 1\end{array} \right..\)

b) Tìm tọa độ giao điểm \(A,\;B\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = x + 2.\) Gọi \(D,\;C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\;B\) lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác \(ABCD.\)

Câu 8. (1 điểm)

Nhân dịp Tết Thiếu nhi 01/06, một nhóm học sinh cần chia đều một số lượng quyển vở thành các phần quà để tặng cho các em nhỏ tại một mái ấm tình thương. Nếu mỗi phần quà giảm 2 quyển thì các em sẽ có thêm 2 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần quà giảm 4 quyển thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa. Hỏi ban đầu có bao nhiêu phần quà và mỗi phần quà có bao nhiêu quyển vở?

Câu 9 (2,5 điểm)

Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn đó sao cho C, D nằm khác phía đối với đường thẳng AB, đồng thời AD > AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và AD lần lượt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I; giao điểm của MD và CN là K.

a) Chứng minh \(\widehat {ACN} = \widehat {DMN}\). Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp.

b) Chứng minh KH song song với AD.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ cung AC và sđ cung AD để AK song song với ND.

Câu 10. (1 điểm)

a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 4{a^2} + 6{b^2} + 3{c^2}\)

b) Tìm các số nguyên dương a, b biết các phương trình \({x^2} - 2ax - 3b = 0\) và \({x^2} - 2bx - 3a = 0\) (với x là ẩn) đều có nghiệm nguyên.

Lời giải chi tiết

I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

1	2	3	4	5	6
A	D	C	D	B	B

Câu 1:

Ta có: \(a = 1;\;b =  - 3;\;c =  - 6.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} = 3.\)

Chọn A.

Câu 2:

Điểm \(E\left( {1;\;\;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x + m - 2\) nên ta có:

\(0 = 1 + m - 2 \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn D.

Câu 3:

Ta có: \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \)

\(\Rightarrow AC = \dfrac{{AB}}{{\tan C}} = \dfrac{5}{{\tan {{30}^0}}} = 5:\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)\(\, = 5\sqrt 3 cm.\)

Chọn C.

Câu 4:

Xét hình vuông ABCD có các cạnh là 1.

Tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là giao điểm O của hai đường chéo AC và BD.

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC vuông tại B ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 1 + 1 = 2\) \( \Rightarrow AC = \sqrt 2 .\)

Có O là trung điểm của AC nên: \(OA = OC = R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Chọn D.

Câu 5:

Phương trình đã cho có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow 1 - 4a = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}.\)

Chọn B.

Câu 6:

Ta có: \(\dfrac{{\sqrt {{a^3}} }}{{\sqrt a }} = \sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{a}}  = \sqrt {{a^2}}  = \left| a \right| = a\;\;\left( {do\;\;a > 0} \right).\)

Chọn B.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 7. (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\3x - y = 1\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\3x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\6x - 2y = 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\y = 3x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).\)

b) Tìm tọa độ giao điểm \(A,\;B\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = x + 2.\) Gọi \(D,\;C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\;B\) lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác \(ABCD.\)

 

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \({x^2} = x + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow A\left( { - 1;\;1} \right)\\x = 2 \Rightarrow B\left( {2;\;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

C là hình chiếu của B trên trục hoành \( \Rightarrow C\left( {2;\;0} \right).\)

D là hình chiếu của A trên trục hoành \( \Rightarrow D\left( { - 1;\;0} \right).\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ABCD là hình thang vuông tại D và C.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AD + CB} \right).CD}}{2} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {AD + CB} \right).\left( {DO + OC} \right)}}{2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {1 + 4} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{2} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{15}}{2} = 7,5\;\;\left( {dvdt} \right).\end{array}\)

Vậy diện tích tứ giác ABCD là: \(7,5\;dvdt.\)

Câu 8:

Nhân dịp Tết Thiếu nhi 01/06, một nhóm học sinh cần chia đều một số lượng quyển vở thành các phần quà để tặng cho các em nhỏ tại một mái ấm tình thương. Nếu mỗi phần quà giảm 2 quyển thì các em sẽ có thêm 2 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần quà giảm 4 quyển thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa. Hỏi ban đầu có bao nhiêu phần quà và mỗi phần quà có bao nhiêu quyển vở?

Gọi số phần quà ban đầu là \(x\) (phần) \(\left( {x \in N^*} \right).\)

Gọi số quyển vở có trong mỗi phần quà là \(y\) (quyển vở) \(\left( {y \in N^*} \right).\)

\( \Rightarrow \) Tổng số quyển vở của nhóm học sinh có là: \(xy\) (quyển).

Nếu mỗi phần quà giảm 2 quyển thì số có thêm 2 phần quà nữa nên ta có phương trình:

\(xy = \left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right)\)

\(\Leftrightarrow 2y - 2x - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow y - x = 2.\;\;\left( 1 \right)\)

Nếu mỗi phần quả giảm 4 quyển thì có thêm 5 phần quà nữa nên ta có phương trình:

\(xy = \left( {x + 5} \right)\left( {y - 4} \right) \)

\(\Leftrightarrow 5y - 4x - 20 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 5y - 4x = 20\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 2\\5y - 4x = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5y - 5x = 10\\5y - 4x = 20\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\;\;\left( {tm} \right)\\y = 12\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy ban đầu có 10 phần quà và mỗi phần quà có 12 quyển vở.

 Câu 9 (2,5 điểm)

Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn đó sao cho C, D nằm khác phía đối với đường thẳng AB, đồng thời AD > AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và AD lần lượt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I; giao điểm của MD và CN là K.

 

a) Chứng minh \(\widehat {ACN} = \widehat {DMN}\). Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp.

Ta có:

\(\widehat{ACN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN; \(\widehat{DMN}\) là góc nội tiếp chắn \(\overparen{DN}\)

Mà \(\overparen{AN}\)=\(\overparen{DN}\) (gt)

\( \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {DMN}\) (Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau).

b) Chứng minh KH song song với AD.

Do đó tứ giác CMHK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {CHK} = \widehat {CMK} = \widehat {CMD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CK).

Mà \(\widehat {CMD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn (O))

\( \Rightarrow \widehat {CHK} = \widehat {CAD}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow HK//AD\).

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ cung AC và sđ cung AD để AK song song với ND.

Chứng minh tương tự ta có \(AI//KH\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác AHKI là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối song song)

Ta có AK // DN \( \Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {ADN}\) (so le trong)

Lại có \(\widehat {ADN} = \widehat {DMN} = \widehat {AMN} \)

\(\Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {DMN} = \widehat {KMI} \)

\(\Rightarrow \) tứ giác AIKM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AKI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

 \( \Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {AKI} \Rightarrow \Delta IAK\) cân tại I \( \Rightarrow IA = IK\)

\( \Rightarrow AHKI\) là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

\( \Rightarrow IH \bot AK\) (hai đường chéo của hình thoi).

\( \Rightarrow MN \bot AK\), mà \(AK//DN \Rightarrow AM \bot ND \Rightarrow \widehat {MND} = {90^0} \Rightarrow \) Góc MND nội tiếp chắn nửa đường tròn.

\( \Rightarrow MD\) là đường kính của đường tròn tâm O.

\( \Rightarrow sđ \overparen{MAD}\) = 180⁰

\( \Rightarrow sđ \overparen{MA} + sđ \overparen{AD}\) = 180⁰

\( \Rightarrow sđ \overparen{\dfrac{{AC}}{2}}+ sđ \overparen{AD}\) = 180⁰

Câu 10 (VDC) (1 điểm)

a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 4{a^2} + 6{b^2} + 3{c^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:

\(\begin{array}{l}4\left( {{a^2} + 1} \right) \ge 4.2\sqrt {{a^2}.1}  = 8a\\6\left( {{b^2} + \dfrac{4}{9}} \right) \ge 6.2\sqrt {{b^2}.\dfrac{4}{9}}  = 8b\\3\left( {{c^2} + \dfrac{{16}}{9}} \right) \ge 3.2\sqrt {{c^2}.\dfrac{{16}}{9}}  = 8c\end{array}\)

Cộng vế theo vế ta có \(A + 4 + \dfrac{8}{3} + \dfrac{{16}}{3} \ge 8\left( {a + b + c} \right) = 8.3 = 24\)

Vậy \(A \ge 12\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1\\{b^2} = \dfrac{4}{9}\\{c^2} = \dfrac{{16}}{9}\\a,b,c \ge 0\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \dfrac{2}{3}\\c = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \({A_{\min }} = 12 \Leftrightarrow \left( {a;b;c} \right) = \left( {1;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\)

b) Tìm các số nguyên dương a, b biết các phương trình \({x^2} - 2ax - 3b = 0\) và \({x^2} - 2bx - 3a = 0\), với x là ẩn, đều có nghiệm nguyên.

Xét phương trình \({x^2} - 2ax - 3b = 0\) có \({\Delta _1}' = {a^2} + 3b > 0 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = a \pm \sqrt {{a^2} + 3b} \)

Xét phương trình \({x^2} - 2bx - 3a = 0\) có \({\Delta _2}' = {b^2} + 3a > 0 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = b \pm \sqrt {{b^2} + 3a} \)

Để cả hai phương trình đều có nghiệm nguyên \( \Leftrightarrow {a^2} + 3b\) và \({b^2} + 3a\) đều là số chinh phương.

Do vai trò của a và b là như nhau, không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a \ge b\).

Ta chứng minh \({a^2} + 3b \le {\left( {a + 2} \right)^2}\).

Ta có 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{a^2} + 3b < {\left( {a + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 3b < {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow 3b < 4a + 4\end{array}\)

Luôn đúng do giả sử \(a \ge b\).

\( \Rightarrow {a^2} < {a^2} + 3b < {\left( {a + 2} \right)^2}\,\,\left( {Do\,\,b > 0} \right)\).

Mà a, b là các số nguyên dương \( \Rightarrow {a^2} + 3b = {\left( {a + 1} \right)^2}\) là số chính phương.

\( \Leftrightarrow 3b = 2a + 1 \Rightarrow a = \dfrac{{3b - 1}}{2}\)

Thay vào \({\Delta _2}'\) ta có :  \({\Delta _2}' = {b^2} + 3.\dfrac{{3b - 1}}{2} \)\(\,= {b^2} + \dfrac{9}{2}b - \dfrac{3}{2} \)\(\,= {b^2} + 2.b.\dfrac{9}{4} + \dfrac{{81}}{{16}} - \dfrac{{105}}{{16}}\)\(\, = {\left( {b + \dfrac{9}{4}} \right)^2} - \dfrac{{105}}{{16}}\) là số chính phương.

Giả sử \({\left( {b + \dfrac{9}{4}} \right)^2} - \dfrac{{105}}{{16}} = {x^2}\,\,\left( {x \in Z} \right) \)

\(\Leftrightarrow \left( {b + \dfrac{9}{4} - x} \right)\left( {b + \dfrac{9}{4} + x} \right) = \dfrac{{105}}{{16}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4b - 4x + 9}}{4}.\dfrac{{4b + 4x + 9}}{4} = \dfrac{{105}}{{16}}\\ \Leftrightarrow \left( {4b - 4x + 9} \right)\left( {4b + 4x + 9} \right) = 5.21 = 1.105\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 5\\4b + 4x + 9 = 21\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 21\\4b + 4x + 9 = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 1\\4b + 4x + 9 = 105\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 105\\4b + 4x + 9 = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\x = 13\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\x =  - 13\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 11\end{array} \right. \\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = \dfrac{{3b - 1}}{2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\a = \dfrac{{3b - 1}}{2} = 16\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {16;11} \right)} \right\}\)

Do a, b có vai trò như nhau nên \(\left( {a;b} \right) = \left( {11;16} \right)\) cũng thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy các cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {16;11} \right);\,\,\left( {11;16} \right)\).

trithuchub.com

Câu 1:

Đề số 9 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Tìm x để biểu thức có nghĩa.

b) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

c) Rút gọn biểu thức với và

Câu 2 (1,5 điểm)

a) Giải phương trình

b) Cho đường thẳng Tìm các giá trị của và để đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc bằng

Câu 3 (1 điểm)  Để phục vụ cho Festival Huế 2018, một cơ sở sản xuất nón lá dự kiến làm ra 300 chiếc nón lá trong một thời gian đã định. Do được bổ sung thêm nhân công nên mỗi ngày cơ sở đó làm ra được nhiều hơn 5 chiếc nón lá so với dự kiến ban đầu, vì vậy cơ sở sản xuất đã hoàn thành 300 chiếc nón lá sớm hơn 3 ngày so với thời gian đã định. Hỏi theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày cơ sở đó làm được ra bao nhiêu chiếc nón lá? Biết rằng số chiếc nón lá làm ra mỗi ngày là bằng nhau và nguyên chiếc.

Câu 4 (2 điểm) Cho phương trình (với là ẩn số).

a) Giải phương trình (1) khi

b) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AC (M không trùng A và C). Một đường thẳng đi qua M cắt cạnh BC tại I và cắt đường thẳng AB tại N sao cho I là trung điểm của MN. Đường phân giác trong của góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm D (D không trùng A). Chứng minh rằng:

a) và

b) Tứ giác BNDI nội tiếp

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm A) khi M di chuyển trên cạnh AC.

Bài 6 (1,0 điểm)  Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vòng ta được hình trụ có thể tích V₁ và khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vòng thì được hình trụ có thể tích V₂. Tính tỉ số

Lời giải chi tiết

Câu 1:

a) Tìm x để biểu thức có nghĩa.

có nghĩa

Vậy biểu thức có nghĩa khi

b) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

c) Rút gọn biểu thức với và

Vậy

Câu 2:

a) Giải phương trình

Đặt Khi đó ta có phương trình:

Có

phương trình  (*) có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và

b) Cho đường thẳng Tìm các giá trị của và để đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc bằng

Đường thẳng có hệ số góc bằng

Đường thẳng đi qua nên ta có:

Vậy và thỏa mãn bài toán.

Câu 3:

Để phục vụ cho Festival Huế 2018, một cơ sở sản xuất nón lá dự kiến làm ra 300 chiếc nón lá trong một thời gian đã định. Do được bổ sung thêm nhân công nên mỗi ngày cơ sở đó làm ra được nhiều hơn 5 chiếc nón lá so với dự kiến ban đầu, vì vậy cơ sở sản xuất đã hoàn thành 300 chiếc nón lá sớm hơn 3 ngày so với thời gian đã định. Hỏi theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày cơ sở đó làm được ra bao nhiêu chiếc nón lá? Biết rằng số chiếc nón lá làm ra mỗi ngày là bằng nhau và nguyên chiếc.

Gọi số chiếc nón lá mỗi ngày cơ sở đó làm được là (chiếc)

Số ngày cơ sở đó dự kiến làm hết 300 chiếc nón lá là: (ngày).

Sau khi làm tăng thêm 5 chiếc nón lá một ngày thì thời gian cơ sở đó làm hết 300 chiếc nón lá là: (ngày)

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy theo dự kiến, mỗi ngày cơ sở đó làm được 20 chiếc nón lá.

Câu 4:

Cho phương trình (với là ẩn số).

a) Giải phương trình (1) khi

Thay giá trị vào phương trình ta được:

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm

b) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 5.

 

a) và

Ta có (Do AD là tia phân giác của góc MAN)

Nên sđ cung DN = sđ cung DM (hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau)

(hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

cân tại D Trung tuyến DI đồng thời là đường cao .

b) Tứ giác BNDI nội tiếp

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM).

Mà

(Do tam giác ABC cân tại A nên phân giác AD đồng thời là đường cao, tức là: )

Mà (kề bù) tứ giác BNDI nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm A) khi M di chuyển trên cạnh AC.

Bài 6.

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được khối trụ có chiều cao h₁ = AB = 2a và bán kính đáy R₁ = BC = a.

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC ta được khối trụ có chiều cao h₂ = BC = a và bán kính đáy R₂ = AB = 2a.

Vậy .

trithuchub.com

Đề số 10 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1 (4 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

 

Câu 2 (1,5 điểm)

Cho biểu thức với

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của x để

Câu 3 (2,5 điểm)

1) Cho đường thẳng

a) Tìm để đường thẳng song song với đường thẳng

b) Gọi là giao điểm của với parabol Tìm tọa độ điểm nằm trên trục hoành sao cho nhỏ nhất.

2) Cho hệ phương trình: với là tham số.

a) Giải hệ phương trình (I) khi

b) Tìm để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất thỏa mãn là số nguyên.

Câu 4 (2 điểm)

Cho phương trình:   với là tham số,

a) Giải phương trình khi

b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm OA và dây cung MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM (K khác B, M), H là giao điểm của AK và MN.

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Xác định vị trí của điểm K để đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Câu 2:

Cho biểu thức với

a) Rút gọn biểu thức P.

Điều kiện:

b) Tìm giá trị của x để

Điều kiện:

Vậy thì

Câu 3:

1) Cho đường thẳng

a) Tìm để đường thẳng song song với đường thẳng

b) Gọi là giao điểm của với parabol Tìm tọa độ điểm nằm trên trục hoành sao cho nhỏ nhất.

1) Cho đường thẳng

a) Tìm để đường thẳng song song với đường thẳng

Đường thẳng

Vậy

b) Gọi là giao điểm của với parabol Tìm tọa độ điểm nằm trên trục hoành sao cho nhỏ nhất.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và là nghiệm của phương trình:

Khi đó    là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox thì

Khi đó ta có: nên

Mà A’, B nằm khác phía với trục Ox

Nên để NA’ + NB min thì A’, B, N thẳng hàng.

Từ đó suy ra điểm N cần tìm là giao điểm của đường thẳng A’B với trục hoành:

Gọi phương trình đường thẳng (d’) đi qua hai điểm A’, B là:

Do A’, B thuộc đường thẳng (d’) nên ta có hệ phương trình:

Ta có phương trình đường thẳng (d’) là:

Khi đó điểm N thuộc đường thẳng d’ và

Vậy khi thì .

2) Cho hệ phương trình: với là tham số.

a) Giải hệ phương trình (I) khi

Thay vào hệ phương trình ta được:

Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất thỏa mãn là số nguyên.

+) Với ta có: hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Với Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(luôn đúng).

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi

Ta có:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có:

Mà

Lại có:

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 4:

Cho phương trình:   với là tham số,

a) Giải phương trình khi

Thay vào phương trình ta có:

Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt và

b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Thế vào ta có:

Vậy

Câu 5.

 

a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác BCHK có Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Ta có tại C là trung điểm của MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

có AC là đường cao đồng thời là trung tuyến

cân tại sđ cung AM = sđ cung AN.

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tam giác AMN và AKM có:

chung;

 ;

c) Lấy điểm E thuộc KN sao cho .

Xét tam giác vuông AMB có:

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

(tính đối xứng).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN).

đều .

Ta có AB là trung trực của MN

Lại có đều và

 

Xét tam giác KMB và tam giác EMN có:

KM = EM;

MB = MN;

(hai cạnh tương ứng)

         

         

KN lớn nhất khi và chỉ khi KN là đường kính của đường tròn O, khi đó KN = 2R và

KN nhỏ nhất khi và chỉ khi

Xét tam giác vuông AMB cos

Vậy và  .

trithuchub.com

Đề số 11 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Học sinh chọn một phương án đúng nhất ở mỗi câu và viết phương án chọn vào bài làm:

Câu 1: Tìm x để biểu thức   có nghĩa.

A.                            B.

C.                          D.

Câu 2:   Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?

A.        

B.    

C.    

D.  

Câu 3:  Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình

A.     

B.         

C.         

D.   

Câu 4:  Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A.                      

B.                

C.                        

D.

Câu 5: Cho hàm số Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến với mọi           

B. Hàm số nghịch biến với mọi             

C. Hàm số đồng biến khi                 

D. Hàm số nghịch biến khi

Câu 6:   Phương trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt?

A.                    

B.                     

C.                      

D.

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 2, HC = 4. Đặt BH = x. Tính x.

A.                                 B.   

C.                               D.  

Câu 8:  Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A.    

B.              

C.         

D.  

Câu 9:  Tính chu vi C của tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn có bán kính bằng

A.               

B.                                  

C.              

D.  

Câu 10:  Cho đường tròn tâm O đường kính 10cm. Gọi H là trung điểm của dây AB. Tính độ dài đoạn OH, biết AB = 6cm.

A.                     

B.

C.                  

D.  

Câu 11 (VD):  Cho đường tròn và đường tròn có đoạn nối tâm   Biết đường tròn và cắt lần lượt tại Tính độ dài  

 

A.                                

B.

C.                                     

D.

Câu 12:  Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Khẳng định nào sau đây không đúng?

A.                                       

B.  

C.

D.  

II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Câu 13 (1,50 điểm)

a) So sánh 5 và

b) Giải phương trình

Câu 14 (1,50 điểm)

Cho phương trình (m là tham số)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.

Câu 15 (2,00 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ 30 phút. Hỏi nếu mở từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể.

Câu 16 (2,00 điểm)

Cho đường tròn đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại A, C là điểm chuyển động trên đường thẳng d. BC cắt (O) tại D . Gọi E là trung điểm của BD.

a) Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng

c) Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Biểu thức có nghĩa

Chọn D.

Câu 2:

 Theo khái niệm hàm số thì đáp án B đúng.

Chọn B.

Câu 3:

Đáp án A: A thỏa mãn.

Đáp án B: B thỏa mãn.

Đáp án C: C không thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 4:

Nhìn vào các đáp án trên chỉ có đáp án B có hệ phương trình  vô nghiệm.

Chọn B

Câu 5:

Xét hàm số có:

+) Với thì hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi

Chọn C.

Câu 6:

+) Đáp án A có: phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Câu 7:

Ta có: 

Chọn B.

Câu 8:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A.                            B.        

C.                           D.  

Xét tam giác vuông tại có: đáp án A đúng.

đáp án B đúng.

Xét tam giác vuông tại có:   đáp án C đúng.

đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 9:

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều

Khi đó O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

(tính chất đường trung tuyến trong tam giác).

Áp dụng định lý Pi-ta-go đối với tam giác vuông vuông tại ta có:

Chu vi tam giác đều là:  

Chọn C.

Câu 10:

Xét đường tròn (O) ta có H là trung điểm của dây cung AB

(mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông tại H có:

Chọn A.

Câu 11:

Ta có:

Lại có:

Chọn B.

Câu 12:

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ta có:

(hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp) đáp án A sai.

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) đáp án B đúng.

Chọn A.

II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Câu 13.

a) So sánh 5 và

Ta có

Vì

b) Giải phương trình

Đặt , khi đó phương trình trở thành

Khi .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Câu 14.

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?

Ta có

Để phương trình có nghiệm kép

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.

Để phương trình có nghiệm .

Theo hệ thức Vi-et ta có

Khi đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là :

Trong trường hợp phương trình có nghiệm kép thì hoặc , khi đó ta có hoặc .

Câu 15.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể là x (h) (ĐK: )

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy 1 mình đầy bể là y (h) (ĐK: )

Khi đó mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bể và vòi thứ hai chảy được bể.

Vì nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy nên mỗi giờ cả hai vòi chảy được bể, do đó ta có phương trình .

Vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ 30 phút = nên ta có phương trình

Thay (2) vào (1) ta có

Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đày bể là 5 giờ và thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 7,5h.

Câu 16.

a) Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp.

Vì E là trung điểm của BD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tứ giác OACE có

Tứ giác OACE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh rằng

Xét tam giác BOE và tam giác BCA có:

chung;

;

 

 

c) Chứng minh I di chuyển trên trung trực của OA.

Ta có tứ giác OACE nội tiếp Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OACE.

Tâm I thuộc đường trung trực của OA.

Mà OA cố định Trung trực của OA cố định.

Vậy khi C di chuyển trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE di chuyển trên trung trực của OA.

trithuchub.com

Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1 (2,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

b) Giải hệ phương trình:

c) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đi qua điểm

Câu 2 (2 điểm)

Cho phương trình   (x là ẩn số và m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt và với mọi Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của để

Câu 3 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 1 cm và tăng chiều rộng thêm 2 cm thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng thêm 25 cm².

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

b) KA là tia phân giác của góc MKN.

c)

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Câu 1:

a) Rút gọn biểu thức:

Vậy

b) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

c) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đi qua điểm

Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có:

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 2:

Cho phương trình   (x là ẩn số và m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi

Thay vào phương trình ta được:

Có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt và với mọi Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của để

Ta có:

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn bài toán là:

Câu 3:

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 1 cm và tăng chiều rộng thêm 2 cm thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng thêm 25 cm².

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là chiều rộng của hình chữ nhật là

Nửa chu vi của hình chữ nhật là:

Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là:

Chiều dài mới của hình chữ nhật sau khi tăng thêm là  

Chiều rộng mới của hình chữ nhật sau khi tăng thêm là

Diện tích của hình chữ nhật sau khi tăng chiều dài và chiều rộng là:

Theo đề bài ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu là chiều rộng là

Câu 4.

 

a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

Ta có : (Do AM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M)

Ta có (gt) Tứ giác AMKO có hai đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới 1 góc 90⁰

Tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) KA là tia phân giác của góc MKN.

Ta có : (Do AN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại N)

Xét tứ giác ANOK có Tứ giác ANOK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

Tứ giác AMKO nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Tứ giác ANOK nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Mà (tính chất hai tiếp tuyến AM và AN cắt nhau tại A).

là phân giác của góc MKN.

c)

Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) thuộc trung trực của MN.

thuộc trung trực của MN.

là trung trực của MN .

(cùng phụ với góc OAM).

Mà

Xét tam giác AMH và tam giác AKM có :

chung ;

 ;

Mà

Câu 5.

Cách giải :

Áp dụng BĐT :

Ta có

Dấu bằng xảy ra .

Vậy , đạt tại .

trithuchub.com

Đề số 13 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1 (4 điểm) Rút gọn biểu thức:

a)

b) (với ).

Câu 2 (4 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng Vẽ đồ thị Tìm tất cả các giá trị của sao cho cắt tại điểm có hoành độ bằng

Câu 3 (6 điểm) Cho phương trình (với m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .

Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AC (M khác A, C và điểm chính giữa AC), BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB.

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK

c) Kẻ CP vuông góc với BM và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME = 2CP

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Câu 2:

a) Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

b) Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng Vẽ đồ thị Tìm tất cả các giá trị của sao cho cắt tại điểm có hoành độ bằng

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm

Đồ thị:

 

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là nghiệm của phương trình  

Để cắt tại điểm có hoành độ bằng là nghiệm của phương trình

 

Vậy

Câu 3.

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

Thay vào :

Ta có :

Phương trình có hai nghiệm 

Vậy, với thì phương trình có hai nghiệm .

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

Để phương trình (1) có nghiệm thì .

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi-et, ta có: 

. Thay vào , ta có:

Với

Thay vào (*) ta có

Với

 Thay vào (*) ta có

Vậy hoặc .

Câu 4.

 

a) Chứng minh tứ giác CHKB là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCHK có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(giả thiết)

.

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (đpcm).

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK.

- Tứ giác BCHK nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung ).

- (góc nội tiếp cùng chắn cung MA của đường tròn tâm (O)).

Do đó hay là tia phân giác của (đpcm).

c) Chứng minh ME = 2CP.

Xét và có:

(cùng chắn cung MC của đường tròn (O))

( vuông cân)

Do đó

(cạnh tương ứng) cân tại .

Lại có (cùng chắn cung ) nên .

Vậy vuông cân tại .

Mà nên là đường cao và cũng là đường trung tuyến của .

Do đó (đpcm).

trithuchub.com

Đề số 14 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Tam giác MNP đều, nội tiếp đường tròn (O; R), khi đó số đo \(\widehat {NOP}\) là:

A. \({150^0}\)                     

B. \({60^0}\)               

C. \({30^0}\)              

D. \({120^0}\)

Câu 2:   Phương trình nào sau đây có hai nghiệm trái dấu?

A. \({x^2} - 2017x - 2018 = 0\)         

B. \({x^2} - 2018x + 2017 = 0\)              

C. \( - {x^2} + 2017x - 2018 = 0\)          

D. \({x^2} - 2019x + 2018 = 0\) 

Câu 3:  Tìm m để hàm số \(y = \dfrac{3}{{m + 2}}x + 1\) đồng biến trên tập số thực \(R.\) 

A. \(m >  - 2\)          

B. \(m <  - 2\)       

C. \(m > 2\)             

D. \(m \le  - 2\) 

Câu 4:  Biết \(\left( {a;\;b} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 2\\x + y = 4\end{array} \right..\) Khi đó giá trị của biểu thức \(2{a^2} - {b^2}\)  là:

A. 4                                         B. -12          

C. -4                                        D. 8

Câu 5: Giá trị của biểu thức \(\sin {62^0} - \cos {28^0}\) bằng:

A. 0        

B. 1      

C. \(2\sin {62^0}\)

D. \(2\cos {28^0}\)

Câu 6:   Hệ số góc của đường thẳng \(y =  - 5x + 7\) là:

A. \( - 5x\)                   

B. \(5\)             

C. \( - 5\)                

D. \(7\) 

Câu 7: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C.\) Biết \(\sin B = \dfrac{1}{3},\) khi đó \(\tan A\) bằng:

A. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)        

B. \(3\)          

C. \(2\sqrt 2 \)           

D. \(\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\) 

Câu 8:  Cho hai đường tròn \(\left( {O;\;4cm} \right)\) và đường tròn \(\left( {I;\;2cm} \right),\) biết \(OI = 6cm.\) Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó là:

A. 4                                         B. 3          

C. 2                                         D. 1

Câu 9:  Kết quả của phép tính \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt 5 \) là:

A. \(2\sqrt 5  - 2\)                 

B. \( - 2\)                          

C. \(2\)                     

D. \(2 - 2\sqrt 5 \) 

Câu 10:  Tìm m để hai đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 3x + 1\) và \(\left( {d'} \right):\;\;y = \left( {m - 1} \right)x - 2m\) song song với nhau.

A. \(m =  - \dfrac{1}{2}\)      

B. \(m = 4\)     

C. \(m =  - \dfrac{3}{2}\)       

D. \(m \ne 4\) 

Câu 11:  Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán kính 1m, người ta cắt ra một hình chữ nhật (phần tô đậm như hình vẽ). Phần hình chữ nhật có diện tích lớn nhất có thể cắt được là: 

A. \(1,6{m^2}\)               

B. \(0,5{m^2}\)                                  

C. \(1{m^2}\)           

D. \(2{m^2}\) 

Câu 12: Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AC\), có \(\widehat {BAC} = {60^0}\) (hình vẽ). Khi đó số đo của \(\widehat {ADB}\) là:

A. \({45^0}\)               B. \({60^0}\)   

C. \({40^0}\)               D. \({30^0}\).

Câu 13:  Một hình cầu có đường kính 6cm. Diện tích mặt cầu đó là: 

A. \(36\pi c{m^2}\)           

B. \(12\pi c{m^2}\)           

C. \(216\pi c{m^2}\)     

D. \(72\pi c{m^2}\) 

Câu 14: Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình \(x - 3y =  - 1?\)

A. \(\left( {2;\;0} \right)\)         

B. \(\left( {2;\;1} \right)\)     

C. \(\left( {1;\;2} \right)\)          

D. \(\left( {2;\; - 1} \right)\)

Câu 15: Trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng \(y = x + 2;\;y = 2x + 1\) và \(y = \left( {{m^2} - 1} \right)x - 2m + 1.\) Tìm giá trị của m để ba đường thẳng cùng đi qua một điểm.

A. \(m =  - 3\)           

B. \(m \in \left\{ { - 3;\;1} \right\}\)       

C. \(m \in \left\{ { - 1;\;3} \right\}\)        

D. \(m = 1\) 

Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình \(4x + y = 1\) được biểu diễn bởi đồ thị hàm số nào dưới đây?

A. \(y = 4x + 1\)            

B.  \(y =  - 4x - 1\)         

C. \(y =  - 4x + 1\)

D. \(y = 4x - 1\) 

Câu 17: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Biết \(BH = 3,2cm;\;\;BC = 5cm\) thì độ dài \(AB\)  bằng:

A. \(8cm\)                                B. -\(16cm\)

C. \(1,8cm\)                             D. \(4cm\) 

Câu 18: Biết phương trình \(3{x^2} + 6x - 9 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Giả sử \({x_1} < {x_2}\) khi đó biểu thức \(\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\) có giá trị là:

A. \(\dfrac{1}{3}\)        

B. \( - \dfrac{1}{3}\)        

C. \( - 3\)            

D. 3

Câu 19: Cho các đường tròn \(\left( {A;3cm} \right);\,\,\left( {B;\;5cm} \right);\,\,\left( {C;2cm} \right)\) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Chu vi của \(\Delta ABC\) là:

A. 20cm                 

B. \(10\sqrt 2 cm\)          

C. 10cm               

D. \(10\sqrt 3 cm\)

Câu 20: Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x - 15} \) là:

A. \(x \le  - 15\)        

B. \(x \ge 15\)      

C. \(x \ge  - 15\)          

D. \(x \le 15\)

Câu 21: Kết quả rút gọn biểu thức \(\dfrac{1}{{\sqrt {13}  + \sqrt {15} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {15}  + \sqrt {17} }}\) là:

A. \(\dfrac{{\sqrt {13}  - \sqrt {17} }}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {17}  + \sqrt {13} }}{2}\)      

C. \(\sqrt {17}  - \sqrt {13} \)         

D. \(\dfrac{{\sqrt {17}  - \sqrt {13} }}{2}\)

Câu 22: Đổ nước vào một chiếc thùng hình trụ có bán kính 20cm. Nghiêng thùng sao cho mặt nước chạm miệng thùng và đáy thùng (như hình vẽ) thì mặt nước tạo với đáy thùng một góc 45⁰. Thể tích của thùng là:

A. \(400\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)                        

B. \(32000\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)

C. \(16000\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)                      

D. \(8000\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)

Câu 23: Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,y =  - 2x + 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (d₁) và (d₂) trùng nhau       

B. (d₁) và (d₂) cắt nhau tại một điểm trên trục trung

C. (d₁) và (d₂) song song với nhau  

D. (d₁) và (d₂) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

Câu 24: Số nhà của bạn Nam là một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu thêm chữ số 7 vào bên trái số đó thì được một số kí hiệu là A. Nếu thêm chữ số 7 vào bên phải chữ số đó thì được một số kí hiệu là B. Tìm số nhà của bạn Nam biết \(A - B = 252\).

A. 45                                       B. 54     

C. 90                                       D. 49

Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x - m + 2\) và parabol: \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\). Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là trục tung:

B. \(\dfrac{4}{9} < m < 2\)       

C. \(2 < m < \dfrac{9}{4}\)        

D. \(m < \dfrac{4}{9}\)

II. PHẦN TỰ LUẬN: 45 PHÚT

Câu 1 (1,5 điểm).

a) Rút gọn biểu thức \(P = \sqrt 3 \left( {\sqrt {12}  - 3} \right) + \sqrt {27} \)

b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số \(y = m{x^2}\) đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\).

c) Giải phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\)

Câu 2 (1,5 điểm). Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2m + 3\\x + 2y = 3m + 1\end{array} \right.\) (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi \(m = 2\).

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 5\).

Câu 3 (1,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB và một dây CD vuông góc với AB tại H (H không trừng với các điểm A, B, O). Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh:

a) Bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.

b) MH vuông góc với BC.

Câu 4 (0,5 điểm)
Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  

\(A = \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{2}{{{y^2} + {z^2}}} + \dfrac{2}{{{z^2} + {x^2}}}\)\(\, - \dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{2xyz}}\)

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM:

Câu 1:

Tam giác \(MNP\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat M = \widehat N = \widehat P = {60^0}.\)

Xét đường tròn \(\left( {O;\;R} \right)\) ta có: \(\widehat {NMP}\) là góc nội tiếp chắn cung \(NP.\)

\(\widehat {NOP}\) là góc ở tâm chắn cung \(NP.\)

\( \Rightarrow \widehat {NOP} = 2.\widehat {NMP} = {2.60^0} = {120^0}.\)

Chọn D.

Câu 2:

+) Phương trình  \({x^2} - 2017x - 2018 = 0\) có \(ac = 1.\left( { - 2018} \right) =  - 2018 < 0 \)

\(\Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Chọn A.

Câu 3:

Hàm số đồng biến trên \(R \Leftrightarrow \dfrac{3}{{m + 2}} > 0\)

\(\Leftrightarrow m + 2 > 0\;\;\left( {do\;\;3 > 0} \right) \)

\(\Leftrightarrow m >  - 2.\)  

Chọn A.

Câu 4:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 2\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 2\\3x + 3y = 12\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 14\\y = 4 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {a;\;b} \right) = \left( {2;\;2} \right)\) hay \(a = 2,\;\;b = 2.\)

\( \Rightarrow 2{a^2} - {b^2} = {2.2^2} - {2^2} = 4.\)

Chọn A.

Câu 5:

Ta có: \({28^0} = {90^0} - {62^0} \Rightarrow \cos {28^0} = \sin {62^0}.\)

\( \Rightarrow \sin {62^0} - \cos {28^0} = \sin {62^0} - \sin {62^0} = 0.\)

Chọn A.

Câu 6:

Hệ số góc của đường thẳng \(y =  - 5x + 7\) là: \(a =  - 5.\)

Chọn C.

Câu 7:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow AB = 3AC.\)

Mà áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\)

\(\Leftrightarrow {\left( {3AC} \right)^2} = A{C^2} + B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow 8A{C^2} = B{C^2} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = 8 \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{BC}}{{AC}} = 2\sqrt 2  = \tan A.\)

Chọn C.

Câu 8:

\( \Rightarrow \left( {O;\;4cm} \right)\) tiếp xúc ngoài với  \(\left( {I;\;2cm} \right).\)Ta có: \(OI = 6cm = 4 + 2 = R + r.\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn này có 3 đường tiếp tuyến chung.

Chọn B.

Câu 9:

\(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt 5  = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| - \sqrt 5  \)\(\,= \sqrt 5  - 2 - \sqrt 5  =  - 2.\)\(\;\;\;\left( {do\;\;2 - \sqrt 5  < 0} \right).\)

Chọn B.

Câu 10:

Ta có:\(d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 3\\1 \ne  - 2m\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\m \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 4.\)

Chọn B.

Câu 11:

Gọi kích thước của miếng tôn như hình vẽ.

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:

\({a^2} + {\left( {\dfrac{b}{2}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{{4 - {b^2}}}{4} \)

\(\Leftrightarrow a = \dfrac{{\sqrt {4 - {b^2}} }}{2}.\)

Khi đó diện tích miếng tôn hình chữ nhật là:

\(S = ab = \dfrac{{b\sqrt {4 - {b^2}} }}{2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có: \({b^2} + \sqrt {{{\left( {4 - {b^2}} \right)}^2}}  \ge 2b\sqrt {4 - {b^2}} \)

\(\Leftrightarrow b\sqrt {4 - {b^2}}  \le \dfrac{{{b^2} + 4 - {b^2}}}{2} = 2.\)

\( \Rightarrow S = \dfrac{{b\sqrt {4 - {b^2}} }}{2} \le \dfrac{2}{2} = 1.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow b = \sqrt {4 - {b^2}}  \)

\(\Leftrightarrow {b^2} = 4 - {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = 2 \Leftrightarrow b = \sqrt 2 .\)

Vậy diện tích lớn nhất có thể là \(1{m^2}.\)

Chọn C.

Câu 12:

Ta có: \(\widehat {ADC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\(\widehat {BDC} = \widehat {BAC} = {60^0}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\)).

Do đó \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} - \widehat {BDC} \)\(\,= {90^0} - {60^0} = {30^0}\).

Chọn D.

Câu 13:

Ta có diện tích mặt cầu đó là: \(S = 4\pi .{\left( {\dfrac{6}{2}} \right)^2} = 36\pi c{m^2}.\)

Chọn A.

Câu 14:

Thay \(\left( {2;\;0} \right)\) vào phương trình ta được: \(2 - 3.0 = 2 \ne  - 1 \Rightarrow \left( {2;\;0} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Thay \(\left( {2;1} \right)\) vào phương trình ta được \(2 - 3.1 = 2 - 3 =  - 1 \Rightarrow \left( {2;1} \right)\) là nghiệm của phương trình.

Chọn B.

Câu 15:

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(y = x + 2;\;y = 2x + 1\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\x + 2 = 2x + 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\;3} \right).\)

Để bai đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm thì đường thẳng \(y = \left( {{m^2} - 1} \right)x - 2m + 1\) phải đi qua điểm \(A\left( {1;\;\;3} \right).\) Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}3 = \left( {{m^2} - 1} \right).1 - 2m + 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 3\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 1;\;\;3} \right\}.\) 

Chọn C.

Câu 16:

Ta có: \(4x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - 4x =  - 4x + 1.\) 

Chọn C.

Câu 17:

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\)

\(\Leftrightarrow A{B^2} = 3,2.5 = 16\)

\(\Leftrightarrow AB = 4cm.\)

Chọn D.

Câu 18.

Ta có \(a + b + c = 3 + 6 - 9 = 0 \Leftrightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_2} = 1\\{x_1} = \dfrac{{ - 9}}{3} =  - 3\end{array} \right.\) (do \({x_1} < {x_2}\))

\( \Rightarrow \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \dfrac{1}{{ - 3}} =  - \dfrac{1}{3}\)

Chọn đáp án B.

Câu 19.

Do các đường tròn \(\left( {A;3cm} \right);\,\,\left( {B;\;5cm} \right);\,\,\left( {C;2cm} \right)\) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau nên ta có:

\(\begin{array}{l}AB = 3 + 5 = 8\,\,\left( {cm} \right)\\AC = 3 + 2 = 5\,\,\left( {cm} \right)\\BC = 5 + 2 = 7\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy chu vi tam giác ABC bằng \(8 + 5 + 7 = 20\,\,\left( {cm} \right)\).

Chọn đáp án A.

Câu 20.

\(\sqrt {x - 15} \) xác định \( \Leftrightarrow x - 15 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 15\).

Chọn đáp án B.

Câu 21.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{\sqrt {13}  + \sqrt {15} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {15}  + \sqrt {17} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {13} }}{{\left( {\sqrt {15}  - \sqrt {13} } \right)\left( {\sqrt {13}  + \sqrt {15} } \right)}} + \dfrac{{\sqrt {17}  - \sqrt {15} }}{{\left( {\sqrt {17}  - \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {15}  + \sqrt {17} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {13} }}{{15 - 13}} + \dfrac{{\sqrt {17}  - \sqrt {15} }}{{17 - 15}}\\ = \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {13} }}{2} + \dfrac{{\sqrt {17}  - \sqrt {15} }}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {13}  + \sqrt {17}  - \sqrt {15} }}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt {17}  - \sqrt {13} }}{2}\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Câu 22.

 

Đường kính đáy của chiếc thùng là 40cm \( \Rightarrow BC = 40cm\).

Vì mặt nước tạo với đáy thùng một góc 45⁰ nên \(\widehat {ACB} = {45^0} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại B.

\( \Rightarrow AB = BC = 40\,\,\left( {cm} \right) = h\)

Vậy thể tích của chiếc thùng là \(V = \pi {R^2}h = \pi {.20^2}.40 = 16000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Chọn đáp án C.  

Câu 23.

Xét phương trình hoành độ giao điểm \( - 2x + 3 =  - \dfrac{1}{2}x + 3\)\(\, \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{2}x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) \( \Rightarrow y = 3\).

Do đó hai đường thẳng (d₁) và (d₂) cắt nhau tại điểm \(\left( {0;3} \right)\) thuộc trục tung.

Chọn đáp án B.

Câu 24.

Gọi số nhà của bạn Nam là \(\overline {ab} \)  \(\left( {a,b \in N;a \ne 0,\;0 \le a,b \le 9} \right)\)

Nếu thêm chữ số 7 vào bên trái số x ta được \(A = \overline {7ab}  = 700 + \overline {ab} \)

Nếu thêm chữ số 7 vào bên trái số x ta được \(B = \overline {ab7}  = \overline {ab} .10 + 7\)

\(A - B = 252\)

\(\Leftrightarrow 700 + \overline {ab}  - \overline {ab} .10 + 7 = 252\)

\(\Leftrightarrow 9\overline {ab}  = 441 \)

\(\Leftrightarrow \overline {ab}  = 49\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy số nhà của bạn Nam là 49.

Chọn đáp án D.

Câu 25.

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là trục tung khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = x - m + 2 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x + m - 2 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình (*) có hai nghiệm cùng dấu

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 1 - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\P = m - 2 > 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + 9 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{9}{4}\\m > 2\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow 2 < m < \dfrac{9}{4}\)

Chọn đáp án C.

II. PHẦN TỰ LUẬN:

Câu 1.

a) Rút gọn biểu thức \(P = \sqrt 3 \left( {\sqrt {12}  - 3} \right) + \sqrt {27} \)

\(\begin{array}{l}P = \sqrt 3 \left( {\sqrt {12}  - 3} \right) + \sqrt {27} \\P = \sqrt 3 \left( {\sqrt {{2^2}.3}  - 3} \right) + \sqrt {{3^2}.3} \\P = \sqrt 3 \left( {2\sqrt 3  - 3} \right) + 3\sqrt 3 \\P = 6 - 3\sqrt 3  + 3\sqrt 3 \\P = 6\end{array}\)

b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số \(y = m{x^2}\) đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\).

Thay tọa độ điểm \(A\left( {2;4} \right)\) vào hàm số ta có \(4 = m{.2^2} \Leftrightarrow 4 = m.4 \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy \(m = 1\), khi đó đồ thị hàm số có dạng \(y = {x^2}\) và đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\).

c) Giải phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} - 6x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 5x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;5} \right\}\) 

Câu 2.

a) Giải hệ phương trình khi \(m = 2\).

Thay \(m = 2\) vào hệ phương trình ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 7\\x + 2y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 14\\x + 2y = 7\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x = 21\\y = 3x - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\).

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 5\).

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2m + 3\\x + 2y = 3m + 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 4m + 6\\x + 2y = 3m + 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7m + 7\\y = 3x - 2m - 3\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1\\y = 3m + 3 - 2m - 3\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1\\y = m\end{array} \right.\)

Do đó hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {m + 1;m} \right)\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 5 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + {m^2} = 5\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m + 1 = 5\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \\\Leftrightarrow {m^2} - m + 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) + 2\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m =  - 2\).

Câu 3.

                                            

a) Bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.

Vì M là trung điểm của AD \( \Rightarrow OM \bot AD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \) Điểm M, H cùng nhìn OD dưới một góc 90⁰.

\( \Rightarrow \) Tứ giác OHMD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Vậy bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.

b) MH vuông góc với BC.

Kéo dài MH cắt BC tại E.

Xét tam giác vuông ADH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD \( \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AD = MD \Rightarrow \Delta MHD\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MHD} = \widehat {MDH} = \widehat {ADC}\)

Lại có \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

\(\widehat {MHD} = \widehat {CHE}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {CHE} = \widehat {ABC}\).

Xét tam giác vuông BCH có \(\widehat {ABC} + \widehat {HCB} = {90^0} \)

\(\Rightarrow \widehat {CHE} + \widehat {HCB} = {90^0} \)

\(\Rightarrow \Delta CHE\) vuông tại E.

\( \Rightarrow HE \bot BC\).

Vậy \(MH \bot BC\).

Câu 4

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{2}{{{y^2} + {z^2}}} + \dfrac{2}{{{z^2} + {x^2}}} - \dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{2xyz}} \\= \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{2}{{{y^2} + {z^2}}} + \dfrac{2}{{{z^2} + {x^2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{{2yz}} - \dfrac{{{y^2}}}{{2xz}} - \dfrac{{{z^2}}}{{2xy}}\\ = \left( {\dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} - \dfrac{{{z^2}}}{{2xy}}} \right) + \left( {\dfrac{2}{{{y^2} + {z^2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{{2yz}}} \right) + \left( {\dfrac{2}{{{z^2} + {x^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{2xz}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô si, ta có:

\(0 < 2xy \le {x^2} + {y^2},\,\,(x,\,y > 0) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{{z^2}}}{{2xy}} \ge \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} \Rightarrow \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} - \dfrac{{{z^2}}}{{2xy}} \le \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} - \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} = \dfrac{{2 - {z^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} = 1\)

Tương tự, \(\dfrac{2}{{{y^2} + {z^2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{{2yz}} \le 1\), \(\dfrac{2}{{{z^2} + {x^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{2xz}} \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left( {\dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} - \dfrac{{{z^2}}}{{2xy}}} \right) + \left( {\dfrac{2}{{{y^2} + {z^2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{{2yz}}} \right) + \left( {\dfrac{2}{{{z^2} + {x^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{2xz}}} \right) \le 1 + 1 + 1 = 3\\ \Rightarrow MaxA = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow x = y = z = \sqrt {\dfrac{2}{3}} \end{array}\)

trithuchub.com

Đề số 15 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1. (3,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây

a.        

b.

c.

Bài 2. (2,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P)

a.Vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho

b.Xác định hệ số a; b của đường thẳng (d): , biết (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2. Chứng tỏ (P) và (d) tiếp xúc nhau.

Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai (m là tham số).

a.Tìm m để phương trình có nghiệm bằng . Tính nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được.

b.Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 4. (2,5 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.

a.Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.

b.Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.

b.PN cắt cung nhỏ BG  của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc .

Bài 5 (1,0 điểm) Cầu vòm là một dạng cầu đẹp bởi hình dáng cầu được uốn lượn theo một cung tròn tạo sự hài hòa trong thiết kế cảnh quan, đặc biệt là các khu đô thị có dòng sông chảy qua, tạo được một điểm nhấn của công trình giao thông hiện đại. Một chiếc cầu vòm được thiết kế như hình vẽ bên, vòm cầu là một cung tròn AMB. Độ dài đoạn AB bằng 30m, khoảng cách từ vị trí cao nhất ở giữa vòm cầu so với sàn mặt cầu là đoạn MK có độ dài 5m. Tính chiều dài vòm cầu.

 

 

Lời giải chi tiết

Bài 1.

a.

 

b.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

c.

Ta có:

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

Bài 2.

Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P)

a.Vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho

Ta có bảng giá trị

	-4	-2	0	2	4
	8	2	0	2	8

Đồ thị hàm số (P) có hình dạng đường cong đi qua các điểm

Vẽ đồ thị:

 

b.Xác định hệ số a; b của đường thẳng (d): , biết (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2. Chứng tỏ (P) và (d) tiếp xúc nhau.

Ta có: (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên . Thay tọa độ của điểm  A vào phương trình đường thẳng (d) ta có:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

(*)

Theo đề ra ta có: (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình (*)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3.

Cho phương trình bậc hai (1) (m là tham số).

a. Tìm m để phương trình có nghiệm bằng . Tính nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được.

Phương trình có nghiệm bằng  nên thay   vào phương trình ta được:

Với   phương trình (1) trở thành:

   (2)

Ta có: Khi đó phương trình  (2) sẽ có hai nghiệm phân biệt:

Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho khi m = -10 là x = 5.

b.Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi:

Áp dụng Viet cho phương trình (1) ta có:

Từ A ta có:

 

Ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 4.

 

a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.

Vì là tam giác đều, lần lượt là trung điểm của     (đường trung tuyến đồng thời là đường cao)

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng ).

b) Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.

Ta có là trọng tâm tâm tam giác (gt)

(tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Lại có:

c) PN cắt cung nhỏ  của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc .

Gọi ta có (do tam giác ABC đều) ;

(do NP là đường trung bình của tam giác ABC.

tại E vuông tại E.

Xét tam giác vuông ONC có :

Xét tam giác vuông có

Câu 5.

 

Giả sử AMB là cung tròn của đường tròn tâm O. Vẽ đường kính MN.

M là điểm chính giữa của cung AB và K là trung điểm của AB

.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vuông tại A.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMN có:

Bán kính đường tròn tâm O là .

Xét tam giác vuông ANK có

(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

Xét tam giác OAB có cân tại O Đường cao OK đồng thời là phân giác

Vậy độ dài cung AMB là .

trithuchub.com

Đề số 16 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1. (1,5 điểm)

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

b) Cho Chứng minh .

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:    

b) Giải phương trình

Bài 3. (1,5 điểm)

Vẽ đồ thị của các hàm số   và   trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Gọi A và B là các giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, với O là gốc tọa độ (đơn vị đo trên các tọa độ là centimet).

Bài 4 (1 điểm):

Cho  phương trình với là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức

Bài 5 (1 điểm):

Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 17 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7 cm. Tính diện tích của tam giác vuông đó.

Bài 6 (3 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có AB < AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M khác A thỏa mãn MA < MC. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB, MN. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

b) AH.AK = HB.MK.

c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.

Lời giải chi tiết

Bài 1.

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

b) Cho Chứng minh .

Với:

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

Bài 2.

a) Giải hệ phương trình:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

b) Giải phương trình (1)

Điều kiện:

Ta có:

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:

Bài 3.

+) Vẽ đồ thị hàm số:

x			0	2	4
y			0

Khi đó đồ thị hàm số có hình dạng là 1 Parabol và đi qua các điểm

+) Vẽ đồ thị hàm số:

x	0	4
y		0

Khi đó đồ thị hàm số là một đường thẳng và đi qua các điểm

 

+) Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và là:

 

Xét tam giác OAE ta có: nên tam giác OAE vuông tại A.

Khi đó ta có: nên tam giác OAB vuông tại A.

Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB  là trung điểm của cạnh huyền OB và bán kính của đường tròn

Ta có: Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OBC có:

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là

Bài 4:

Cho  phương trình với là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vì

Hay phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt   với mọi

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:

Vậy hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5:

Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 17 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7 cm. Tính diện tích của tam giác vuông đó.

Gọi độ dài một cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông là

Khi đó độ cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông đó là:

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông này ta có phương trình:

độ dài cạnh còn lại của tam giác vuông là:

Vậy diện tích của tam giác vuông đó là:

Bài 6:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có AB < AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M khác A thỏa mãn MA < MC. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB, MN. Chứng minh rằng:

 

a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là góc kề cạnh và cùng nhìn đoạn

là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Hay bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

b) AH.AK = HB.MK.

Ta có :

 

Mà

Mà (tam giác ABH vuông tại H).

.

Xét tam giác AMK và tam giác BAH có :

c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.

Kéo dài HK cắt AB tại E.

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Lại có (đối đỉnh)

Do

cân tại E.

.

Ta có (Tam giác ABH vuông tại H)

cân tại E .

Từ (1) và (2) là trung điểm của AB. Do A, B cố định cố định.

Vậy khi M di chuyển trên cung nhỏ AC thì HK luôn đi qua trung điểm của AB (đpcm).

trithuchub.com

Đề số 17 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu I (2 điểm):

1) a) Rút gọn:

    b) Tìm biết

2) a) Rút gọn biểu thức:

    b) Vẽ đồ thị hàm số trong mặt phẳng tọa độ

Câu II (2,0 điểm):

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu III (2,0 điểm)

1)  Do cải tiến kỹ thuật nên tổng sản lượng thu hoạch cam nhà bác Minh  năm 2017 đạt 180 tấn, tăng 20%  so với năm 2016. Hỏi năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được bao nhiêu tấn cam?

2)  Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4cm, HE = 2cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Câu IV (2 điểm):

Cho đường tròn đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.

1)  Chứng minh rằng

2)  Chứng minh rằng

Câu V.

1) Giải phương trình:

2) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn . Chứng minh

Lời giải chi tiết

Câu I:

1) a) Rút gọn:

Vậy

b) Tìm biết

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

2) a) Rút gọn biểu thức:

Vậy

b) Vẽ đồ thị hàm số trong mặt phẳng tọa độ

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua các điểm

                  

Câu II:

1) Giải phương trình:

Đặt

Khi đó ta có phương trình

Có:

phương trình có hai nghiệm và

Với

Vậy phương trình có tập nghiệm

2) Giải hệ phương trình:

Điều kiện:

Đặt

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Câu III.

1)  Do cải tiến kỹ thuật nên tổng sản lượng thu hoạch cam nhà bác Minh  năm 2017 đạt 180 tấn, tăng 20%  so với năm 2016. Hỏi năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được bao nhiêu tấn cam?

Gọi số cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2016 là: x (tấn)

Số tấn cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2017 tăng 20% so với năm 2016 nên ta có: (tấn)

Theo đầu bài ta có số tấn cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2017 là 180 tấn nên:

Vậy năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được 150 tấn cam.

2) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4cm, HE = 2cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Xét tam giác ADE vuông tại D và có đường cao DH (do ) ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADB vuông tại A với AH là đường cao ta có:

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

Câu IV.

Cho đường tròn đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.

1)  Chứng minh rằng

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

(tam giác BCM vuông tại C)

Mà

. (cùng phụ với )

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

.

Lại có (kề bù) .

Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

2)  Chứng minh rằng

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM ta có:

 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có:

Dấu bằng xảy ra , khi đó

Câu V:

1) Giải phương trình:

Điều kiện:

Vậy phương trình có tập nghiệm

2) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn . Chứng minh

Theo bài ra ta có :

Từ đó suy ra

Đặt ta có .

với với

Ta cần chứng minh với

Ta có

Với

Do đó bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra .

trithuchub.com

Đề số 18 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1(2,0 điểm): Rút gọn các biểu thức

Bài 2 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức và .

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Rút gọn .

c) Đặt . So sánh giá trị của với .

Bài 3 (1,5 điểm): Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng .

a) Tìm để đường thẳng song song với đường thẳng .

b) Vẽ đồ thị hàm số trên với tìm được ở câu a.

c) Đường thẳng cắt trục tại ,  cắt trục tại . Tìm để tam giác vuông cân.

Bài 4 (1,0 điểm): Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( và là hai tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và . Kẻ đường kính của .

a) Chứng minh điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Qua vẽ đường thẳng vuông góc với tại và cắt đường thẳng tại . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .

Bài 6 (0,5 điểm): Cho ba số dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .

Lời giải chi tiết

Bài 1 (VD):

Phương pháp

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn .

Trục căn thức ở mẫu .

Cách giải:

+) Ta có :

+) Ta có:

.

Bài 2 (VD):

Phương pháp

a) Thay vào và tính giá trị.

b) Qui đồng, khử mẫu và rút gọn.

c) Tính và xét dấu của hiệu .

Cách giải:

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

Điều kiện :

Thay (tmđk) vào biểu thức , ta có :

Vậy với thì

b) Rút gọn .

Điều kiện :

Vậy với .

c) Đặt . So sánh giá trị của với .

Điều kiện :

Có

Xét  

Vì   với mọi

.

Vậy .

Bài 3 (VD):

Phương pháp

a) Đường thẳng .

b) Cho lần lượt tìm tọa độ các điểm đi qua và vẽ đồ thị.

c) Tìm tọa độ .

Để vuông cân tại

Cách giải:

a) Tìm để đường thẳng song song với đường thẳng .

Đường thẳng song song với đường thẳng

 .

Vậy thì thỏa mãn bài toán.

b) Vẽ đồ thị hàm số trên với tìm được ở câu a.

Với , ta có : .

Cho ta được nên .

Cho nên .

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm và

 

c) Đường thẳng cắt trục tại ,  cắt trục tại . Tìm để tam giác vuông cân.

cắt hai trục tại thì .

Cho .

Cho

Để vuông cân tại

Vậy .

Bài 4 (TH): Phương pháp

Sử dụng giá trị lượng giác của một góc nhọn trong tam giác vuông để giải tam giác.

Cách giải:

Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Chiều cao của cây là : .

Bài 5(VD):

Phương pháp

a) Gọi là trung điểm , chứng minh dựa vào tính chất tam giác vuông.

b) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông .

c) Chứng minh suy ra .

Cách giải:

Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( và là hai tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và . Kẻ đường kính của .

 

a) Chứng minh điểm cùng thuộc một đường tròn.

Gọi là trung điểm của .

Tam giác vuông tại nên (tính chất trung tuyến tam giác vuông).

Tam giác vuông tại nên (tính chất trung tuyến tam giác vuông).

Do đó .

Suy ra điểm nằm trên đường tròn tâm , đường kính .

b) Chứng minh .

Ta có : (bán kính)

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

là trung trực của tại .

vuông tại đường cao (hệ thức giữa cạnh và đường cao).

c) Qua vẽ đường thẳng vuông góc với tại và cắt đường thẳng tại .

Xét và có :

 

 (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Có và   

Nên (góc tương ứng)

là tiếp tuyến của (đpcm).

Bài 6 (VDC):

Phương pháp

Nhận xét :

Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.

Cách giải:

Cho ba số dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .

Ta có :

Mà

Dấu  xảy ra khi .

Vạy .

trithuchub.com

Đề số 19 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức và với

1) Tính giá trị của biểu thức A khi

2) Chứng minh

3) Tìm tất cả các giá trị của x để

Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): và Parabol

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Bài IV. (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O;R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O;R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo .

3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.

4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài V (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Bài I.

Cho hai biểu thức và với

1) Tính giá trị của biểu thức A khi .

Do thỏa mãn điều kiện nên thay vào biểu thức A ta có:

Vậy khi thì .

2) Chứng minh .

Với ta có:

Vậy

3) Tìm tất cả các giá trị của x để

Với

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài II:

Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là

Gọi chiều dài của mảnh đất là

Khi đó chiều rộng của mảnh đất là:

Độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật là nên ta có phương trình:

Với thì chiều rộng của mảnh đất là:

Vậy chiều dài của mảnh đất là   chiều rộng của mảnh đất là

Bài III

1) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ có nghiệm .

2)

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

Theo hệ thức Vi-et, ta có:  

+) Cách 1:

Do   mà nên ta có bảng sau:

	1	-1	3	-3
	-3	3	-1	1

TH1:

TH2:

TH3:

TH4:

Vậy m = -4 ; m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Cách 2: nên do thì .

Do

Xét TH

Ta có:

Do nên

Ta có bảng:

x	-1	1	-3	3
m	0	-4	-4	0

+) Với ta có (1) trở thành:

Có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy m = 0 thỏa mãn

+) Với   ta có (1) trở thành:

Có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy m = - 4 thỏa mãn

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài IV.

 

1) Xét có là hai tiếp tuyến nên

Ta có: H là trung điểm của AB nên (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Ta có:

Suy ra: ba điểm cùng nhìn SO dưới một góc

Do đó thuộc đường tròn đường kính  

Vậy năm điểm cùng thuộc đường tròn đường kính SO(đpcm)

2) Với .

Xét tam giác vuông tại , theo định lý Pitago ta có

.

Xét tam giác vuông tại ta có   (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Xét có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại nên là phân  giác   (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra

Vậy khi thì và

3)  * Vì 5 điểm cùng thuộc một đường tròn (câu 1) nên   (3) (hai góc nội tiếp cùng chắn  cung HC)

Lại có   (hai góc ở vị trí đồng vị) (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Xét tứ giác có nên tứ giác là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

*  Kéo dài cắt tại , kéo dài cắt tại .

Vì

 

 Xét đường tròn tâm có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) (5)

Mà tứ giác nội tiếp (cmt) nên ta có   (6)

Từ (5) và (6) suy ra   mà hai góc ở vị trí đồng vị nên

Mà là trung điểm nên là trung điểm (tính chất của đường trung bình)

suy ra . (**)

Từ (*) và (**) suy ra hay là trung điểm .

Suy ra đi qua trung điểm của . (đpcm)

4) Gọi AT là đường kính của (O), M là trung điểm BT

Ta có góc (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD ⊥ DT

Mà EF ⊥ AD (gt) nên EF // DT

Ta có EM // DT (đường trung bình)

⇒ E, F, M thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit về đường thẳng song song)

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒

⇒ Tứ giác AFMB nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Gọi L là trung điểm AM ⇒ L là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABM

⇒ Đường tròn tâm L, bán kính LA ngoại tiếp tứ giác AFMB

Ta chứng minh L là điểm cố định:

Ta có OL // TM (đường trung bình), OH // TB (đường trung bình)

⇒ O, L, H thẳng hàng (Tiên đề Ơclit về đường thẳng song song)

Mặt khác ta có

⇒ L là trung điểm OH. Mà AB cố định cố định cố định ⇒ L cố định

Vậy khi S thay đổi trên tia đối của AB thì F luôn nằm trên đường tròn tâm L, bán kính LA, với L là trung điểm OH.

Bài V:

Điều kiện:  

Với ta có:

Với

Dấu “=” xảy ra

Vậy  

trithuchub.com

Đề số 20 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1. (2,0 điểm)

a)  Giải phương trình:

b)  Giải hệ phương trình:

Câu 2 (2,0 điểm) Cho parabol: và đường thẳng (với m là tham số).

a)  Vẽ parabol (P).

b)  Tìm tất cả các giá trị của m để (P) cắt (d) tại đúng một điểm.

Câu 3 (1,5 điểm). Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích mảnh vườn đó tăng gấp đôi. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn đó.

Câu 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính MC cắt cạnh BC tại N Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D Chứng minh:

a)  Tứ giác BADC nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

b) 

c) 

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình:

Ta có:

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

b) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho parabol: và đường thẳng ( với m là tham số).

a)  Vẽ parabol (P).

Bảng giá trị

			0	1	2
		3	0	3	12

Vậy parabol (P) đi qua các điểm có tọa độ tương ứng là:

                      

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P) cắt (d) tại đúng một điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

Số giao điểm của (P) và (d) cũng chính là số nghiệm của phương trình (1).

(P) cắt (d) tại đúng một điểm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép

Vậy với thì (P) cắt (d) tại đúng một điểm.

Câu 3 (1,5 điểm).

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m) (x > 0)

Chiều dài của hình chữ nhật là: x + 5 (m)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là:

Tăng chiều dài thêm 10m, chiều rộng thêm 5m thì ta có chiều dài và chiều rộng sau khi thay đổi lần lượt là: .

Diện tích của hình chữ nhật sau khi thay đổi là:

Theo bài ra ta có phương trình:

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 15m; chiều dài của hình chữ nhật là: 20m.

Câu 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính MC cắt cạnh BC tại N Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D Chứng minh:

               

a) Tứ giác BADC nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Ta có: D thuộc đường tròn đường kính MC nên

Nên D thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Có: (gt tam giác ABC vuông tại A) nên A thuộc đường tròn đường kính BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, A,D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Hay tứ giác BADC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Gọi O là trung điểm của BC, Khi đó ta có tâm O của đường tròn chính là trung điểm của BC và bán kính chính bằng nửa độ dài BC.

b) 

Xét tam giác CMN và tam giác CBA có:

chung

Nên

 (điều phải chứng minh)

c) 

Ta có: O là trung điểm của BC (cm câu a)

M là trung điểm của AC (gt)

Nên OM là đường trung bình của tam giác ABC

Khi đó ta có: . Mà

Xét tam giác vuông OMC có MN là đường cao.

(điều phải chứng minh)

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cách giải:

Áp dung bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: ta có:

(1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: ta có:

Khi đó ta có:

Vậy . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

trithuchub.com