Đề thi thử vào 10 môn Toán Hà Nội

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Thành tích chạy của 16 học sinh nam lớp 9A ở một trường THCS (đơn vị: giây) được cho bằng bảng sau:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm .

2) Đội văn nghệ lớp 9A gồm 2 bạn nam là Hùng, Bình và 3 bạn nữ là Nga, Thảo, Mai. Cô giáo phụ trách đội văn nghệ chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố “Trong hai bạn được chọn có bạn Nga”.

Câu 2: (2 điểm) Cho hai biểu thức: và với .

1) Tính giá trị của biểu thức khi .

2) Chứng minh .

3) Xét biểu thức . Tìm các số nguyên tố để .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Tại một cửa hàng điện máy tủ lạnh được giảm giá và tivi được giảm giá . Tổng giá niêm yết của hai mặt hàng này là triệu đồng, giá sau khi giảm của hai mặt hàng là triệu đồng. Tìm giá niêm yết của tủ lạnh, tivi.

2) Một người dự định trồng cây theo thời gian định trước. Nhưng do thời tiết xấu nên mỗi ngày trồng được ít hơn cây, vì thế trồng xong chậm mất ngày so với dự kiến. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày người đó trồng được bao nhiêu cây.

3) Phương trình có một nghiệm . Tính giá trị của biểu thức .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một cái thùng dùng để đựng gạo có dạng nửa hình cầu với đường kính , phần gạo vun lên có dạng hình nón cao .

a) Tính thể tích phần gạo trong thùng.

b) Nhà bạn An dùng lon sữa bò dạng hình trụ với bán kính đáy là , chiều cao dùng để đong gạo mỗi ngày. Biết rằng mỗi ngày nhà An ăn 4 lon gạo và mỗi lần đong thì lượng gạo chiếm thể tích của lon. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu ngày để nhà An có thể ăn hết số gạo trong thùng?

2) Cho đường tròn tâm và dây cố định không đi qua . Trên cung lớn lấy điểm sao cho . Kẻ đường kính là hình chiếu của trên . là trung điểm của .

a) Chứng minh bốn cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ tại . Chứng minh và cân.

c) Gọi là hình chiếu của trên . Chứng minh khi  di chuyển trên cung lớn thì tâm đường tròn ngoại tiếp là 1 điểm cố định.

Câu 5: (0,5 điểm)

Bác An muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy là hình vuông như hình dưới đây.

Để món quà trở nên đặc biệt, bác An muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy dưới (mặt ) của chiếc hộp bằng kim loại quý (không mạ nắp hộp). Em hãy tìm độ dài cạnh của mặt đáy và chiều cao của hộp quà sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất biết rằng thể tích của chiếc hộp là .

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Thành tích chạy của 16 học sinh nam lớp 9A ở một trường THCS (đơn vị: giây) được cho bằng bảng sau:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm .

2) Đội văn nghệ lớp 9A gồm 2 bạn nam là Hùng, Bình và 3 bạn nữ là Nga, Thảo, Mai. Cô giáo phụ trách đội văn nghệ chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố “Trong hai bạn được chọn có bạn Nga”.

Phương pháp

1) - Quan sát bảng số liệu xác định tần số ghép nhóm tương ứng với nhóm .

- Tần số tương đối ghép nhóm bằng tỉ số giữa tần số nhóm và tổng số học sinh.

2) - Xác định số kết quả có thể xảy ra.

- Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong hai bạn được chọn có bạn Nga”.

- Xác suất của biến cố “Trong hai bạn được chọn có bạn Nga” bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số kết quả có thể.

Lời giải

1) Dựa vào bảng ta thấy nhóm có tần số là 6.

Tần số tương đối của nhóm là: .

2) Có 10 kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca là: (Hùng và Bình); (Hùng và Nga); (Hùng và Thảo); (Hùng và Mai); (Bình và Nga); (Bình và Thảo); (Bình và Mai); (Nga và Thảo); (Nga và Mai); (Thảo và Mai).

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong hai bạn được chọn có bạn Nga” là: (Hùng và Nga); (Bình và Nga); (Nga và Thảo); (Nga và Mai).

Vậy xác suất của biến cố “Trong hai bạn được chọn có bạn Nga” là: .

Câu 2: (2 điểm) Cho hai biểu thức: và với .

1) Tính giá trị của biểu thức khi .

2) Chứng minh .

3) Xét biểu thức . Tìm các số nguyên tố để .

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x.

Nếu thỏa mãn, thay vào biểu thức .

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn P sau đó giải bất đẳng thức . Kết hợp điều kiện để tìm .

Lời giải

1) Với (thỏa mãn điều kiện), ta có:

Vậy khi .

2) Ta có:

Vậy .

3) Ta có:

Để thì

Vì 3 > 0 nên khi suy ra nên .

Kết hợp với suy ra

Mà là số nguyên tố nên .

Vậy thì .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Tại một cửa hàng điện máy tủ lạnh được giảm giá và tivi được giảm giá . Tổng giá niêm yết của hai mặt hàng này là triệu đồng, giá sau khi giảm của hai mặt hàng là triệu đồng. Tìm giá niêm yết của tủ lạnh, tivi.

2) Một người dự định trồng cây theo thời gian định trước. Nhưng do thời tiết xấu nên mỗi ngày trồng được ít hơn cây, vì thế trồng xong chậm mất ngày so với dự kiến. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày người đó trồng được bao nhiêu cây.

3) Phương trình có một nghiệm . Tính giá trị của biểu thức .

Phương pháp

1) Gọi giá niêm yết của tủ lạnh và ti vi lần lượt là (triệu đồng) ().

Lập luận để có hệ phương trình

Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm .

2) Giả sử theo kế hoạch mỗi ngày người đó trồng được số cây là: (cây) ().

Biểu diễn số cây thực tế mỗi ngày người đó trồng được.

Từ đó biểu diễn thời gian trồng xong cây theo kế hoạch và thực tế.

Lập phương trình và giải để tìm .

3) Thay nghiệm vào phương trình để tìm k.

Biến đổi và áp dụng định lí Viète: .

Lời giải

1) Gọi giá niêm yết của tủ lạnh và ti vi lần lượt là (triệu đồng) ().

Vì tổng giá niêm yết của hai mặt hàng này là 45 triệu đồng nên (1)

Số tiền được giảm khi mua hai mặt hàng này là: (triệu đồng).

Vì tủ lạnh được giảm giá và tivi được giảm giá nên ta có phương trinh: hay (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: suy ra

Vậy giá niêm yết của tủ lạnh là 16 triệu đồng, giá niêm yết của ti vi là 29 triệu đồng.

2) Giả sử theo kế hoạch mỗi ngày người đó trồng được số cây là: (cây) ().

Trên thực tế mỗi ngày người đó trồng được số cây là: (cây)

Thời gian người đó trồng xong cây theo kế hoạch là: (ngày).

Thời gian thực tế người đó trồng xong cây trên là: (ngày).

Vì thời gian trồng xong chậm 6 ngày so với dự kiến nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được hoặc (loại).

Vậy theo kế hoạch người đó trồng cây mỗi ngày.

3) Vì phương trình có một nghiệm nên thay vào phương trình, ta được:

Do đó phương trình cần tìm là .

Theo định lí Viète ta có:

Ta có: .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một cái thùng dùng để đựng gạo có dạng nửa hình cầu với đường kính , phần gạo vun lên có dạng hình nón cao .

a) Tính thể tích phần gạo trong thùng.

b) Nhà bạn An dùng lon sữa bò dạng hình trụ với bán kính đáy là , chiều cao dùng để đong gạo mỗi ngày. Biết rằng mỗi ngày nhà An ăn 4 lon gạo và mỗi lần đong thì lượng gạo chiếm thể tích của lon. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu ngày để nhà An có thể ăn hết số gạo trong thùng?

2) Cho đường tròn tâm và dây cố định không đi qua . Trên cung lớn lấy điểm sao cho . Kẻ đường kính  là hình chiếu của trên . là trung điểm của .

a) Chứng minh bốn cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ tại . Chứng minh và cân.

c) Gọi là hình chiếu của trên . Chứng minh khi  di chuyển trên cung lớn thì tâm đường tròn ngoại tiếp là 1 điểm cố định.

Phương pháp

1) a) Tính bán kính của hình cầu.

- Thể tích phần gạo nửa hình cầu = thể tích hình cầu.

Thể tích hình cầu: .

- Thể tích phần gạo hình nón tính bằng công thức tính thể tích hình nón:

- Thể tích gạo = thể tích phần gạo nửa hình cầu + thể tích phần gạo hình nón.

b) Tính thể tích lon bằng thể tích hình trụ:

Tính thể tích gạo mỗi ngày múc = .

Lấy thể tích gạo : thể tích gạo mỗi ngày múc để xác định số ngày ít nhất để dùng hết số gạo trong thùng.

2) a) Chứng minh và lần lượt vuông tại M và E nên cùng nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Gọi I là trung điểm của OC thì cùng thuộc một đường tròn (I) đường kính OC (bán kính OI).

b) *Chứng minh

Chứng minh (g.g) suy ra (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) nên .

*Chứng minh cân.

Để chứng minh cân ta chứng minh .

- Lập luận và suy ra

- Lập luận , suy ra

- Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác suy ra

Do đó .

c) Chứng minh và , mà suy ra .

Do đó cân tại , nên .

Mà nên

Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Mà là trung điểm của nên là điểm cố định.

Lời giải

1) a) Bán kính của hình cầu là:

Thể tích phần gạo nửa hình cầu là:

Thể tích phần gạo vun lên dạng hình nón là:

Thể tích gạo trong thùng là:

b) Thể tích lon là:

Thể tích gạo một ngày múc là:

Ta có:

Vậy cần ít nhất 11 ngày để dùng hết số gạo trong thùng.

2)

a) Chứng minh bốn cùng thuộc một đường tròn.

cân tại , là trung điểm của nên vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao. Suy ra suy ra .

Tam giác OMC vuông tại nên tam giác OMC nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Theo bài ra, là hình chiếu của trên nên suy ra hay .

Tam giác OEC vuông tại E nên tam giác OEC nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Gọi là trung điểm của

Do đó cùng thuộc một đường tròn (I) đường kính OC (bán kính OI).

b) *Chứng minh

Xét và có

(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Nên (g.g)

Do đó ta có: (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay (đpcm).

*Chứng minh cân.

Theo bài ra   suy ra

Gọi là trung điểm của

Tam giác ADC và tam giác AEC vuông tại D và E nên nội tiếp đường tròn (Q; AC), suy ra

Suy ra bốn điểm cùng thuộc đường tròn

Suy ra (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) (1)

Xét ta có: (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra mà hai góc này ở vị trí đồng vị  (3)

Suy ra

Xét đường tròn có: (Hai góc nội tiếp cùng chắn ). (4)

Xét đường tròn có: (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn ). (5)

Từ (3); (4) và (5) suy ra .

có (góc ngoài của tam giác) mà

Nên . Do đó, cân tại .

c) Gọi là trung điểm của

Tam giác BFO và tam giác BMO vuông tại F và M nên nội tiếp đường tròn (P; OP) suy ra

Suy ra bốn điểm cùng thuộc đường tròn

Nên (Hai góc nội tiếp cùng chắn ).

Xét đường tròn có:

(Hai góc nội tiếp cùng chắn ).

Mà (cân tại ).

Do đó suy ra cân tại , do đó .

Mà (Tam giác cân tại ).

Suy ra .

Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Mà là trung điểm của nên là điểm cố định.

Vậy khi di chuyển trên cung lớn thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là một điểm cố định.

Câu 5: (0,5 điểm)

Bác An muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy là hình vuông như hình dưới đây.

Để món quà trở nên đặc biệt, bác An muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy dưới (mặt ) của chiếc hộp bằng kim loại quý (không mạ nắp hộp). Em hãy tìm độ dài cạnh của mặt đáy và chiều cao của hộp quà sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất biết rằng thể tích của chiếc hộp là .

Phương pháp

Gọi độ dài cạnh là ()

Gọi độ dài chiều cao là ()

Biểu diễn theo dựa vào thể tích của chiếc hộp.

Tính diện tích cần mạ kim loại = diện tích bốn mặt xung quanh và diện tích mặt đáy dưới.

Sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số để tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Từ đó tính được .

Lời giải

Gọi độ dài cạnh là ()

Gọi độ dài chiều cao là ()

Do thể tích của chiếc hộp là 4dm³ nên ta có:

Suy ra

Diện tích cần mạ kim loại quý của chiếc hộp là:

Chứng minh bất đẳng thức Cô – si.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số , và ta có:

Dấu “=” xảy ra khi , suy ra , do đó

Suy ra

Vậy khi độ dài cạnh đáy và chiều cao thì diện tích cần mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất bằng .

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Đo chiều cao (đơn vị là cm) của học sinh lớp 9A cho kết quả như sau:

156      157      164      166      166      165      157      156      155      158

160      163      163      161      162      159      159      160      160      160

159      158      160      160      158      163      162      162      162      161

162      161      163      161      163      161      164      166      165      165

Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với các nhóm [155; 158), [158; 161), [161; 164), [164;167).

Tính tần số tương đối của nhóm [161; 164)

2) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có chữ số. Xét biến cố A: “Số tự nhiên viết ra là bình phương của một số tự nhiên”.

Tính xác suất của biến cố A.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: ; với

1) Tính giá trị của biểu thức khi .

2) Chứng minh .

3) Cho P = A: B. Tìm x nguyên để .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Bác Bình An vay ở một ngân hàng 500 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn một năm. Lẽ ra đúng một năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác Bình An phải trả tất cả 605 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

2) Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức đối với loại hàng loại hàng thứ nhất và đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

3) Gọi là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một hộp kem hình trụ có đường kính và chiều cao đựng đầy kem được đặt trên mặt bàn phẳng.

a) Tính thể tích hộp kem.

b) Hộp kem chứa kem sẽ được chia vào các bánh ốc quế hình nón có chiều cao và đường kính , có hình bán cầu trên đỉnh như hình vẽ. Hãy tìm số que kem có thể chia được.

2) Cho đường tròn , đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm ( nằm giữa và ). Lấy điểm bất kì trên cung nhỏ BC E khác và ). AE cắt CD tại .

a) Chứng minh bốn điểm K, E, B, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Gọi là giao điểm của tia BE và tia DC, là giao điểm của AP và BK. Chứng minh IK là phân giác của . Chứng minh OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE.

Câu 5: (0,5 điểm)

Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn (như hình vẽ).

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Đo chiều cao (đơn vị là cm) của học sinh lớp 9A cho kết quả như sau;

156 157 164 166 166 165 157 156 155 158

160 163 163 161 162 159 159 160 160 160

159 158 160 160 158 163 162 162 162 161

162 161 163 161 163 161 164 166 165 165

Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với các nhóm [155; 158), [158; 161), [161; 164), [164;167).

Tính tần số tương đối của nhóm [161; 164)

2) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có chữ số. Xét biến cố A: “Số tự nhiên viết ra là bình phương của một số tự nhiên”.

Tính xác suất của biến cố A.

Phương pháp

1) - Xác định tần số cho các nhóm để lập bảng tần số ghép nhóm.

- Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.

2) - Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

- Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

- Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Bảng tần số ghép nhóm:

Vì tần số của nhóm [161; 164) là 15 nên tần số tương đối của nhóm [161; 164) là:

2) - Không gian mẫu của phép thử “Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có 2 chữ số” là:

- Số phần tử của tập hợp là: (phần tử)

- Các kết quả thuận lợi của biến cố : “Số tự nhiên viết ra là bình phương của số tự nhiên” là: . Biến cố này gồm phần tử.

- Xác suất của biến cố A là:

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: ; với

1) Tính giá trị của biểu thức khi .

2) Chứng minh .

3) Cho P = A: B. Tìm x nguyên để .

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x.

Nếu thỏa mãn, thay vào biểu thức .

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn biểu thức P.

Lập luận .

Giải bất phương trình, kết hợp điều kiện ban đầu của

Lời giải

1) Thay (tmđk) vào A ta được

Vậy với thì

2)

Vậy .

3) (điều kiện bổ sung: )

Vì nên

Do đó , suy ra

Vì nên , do đó khi

suy ra nên

Kết hợp với điều kiện , ta được

Mà nên .

Vậy .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Bác Bình An vay ở một ngân hàng 500 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn một năm. Lẽ ra đúng một năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác Bình An phải trả tất cả 605 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

2) Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức đối với loại hàng loại hàng thứ nhất và đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

3) Gọi là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức .

Phương pháp

1) Gọi lãi suất của ngân hàng đó là ()

Biểu diễn số tiền phải trả sau năm thứ nhất, sau năm thứ 2 theo công thức:

Số tiền phải trả = số tiền gốc + . số tiền gốc.

Ta viết được phương trình biểu diễn số tiền phải trả sau hai năm.

Giải phương trình để tìm , kiểm tra điều kiện và kết luận.

2) Gọi số tiền không kể thuế của loại hàng thứ nhất là (triệu đồng), của loại hàng thứ hai là (triệu đồng) ().

Viết hai phương trình biểu diễn số tiền phải trả khi:

+ thuế của loại hàng thứ nhất là 10% và thuế của loại hàng thứ hai là 8%

+ thuế của loại hàng thứ nhất và thuế của loại hàng thứ hai đều là 9%

Lập được hệ phương trình, giải hệ để tìm .

3) Kiểm tra sự tồn tại của theo .

Áp dụng định lí Viète và biến đổi.

Định lí Viète:

Lời giải

1) Gọi lãi suất của ngân hàng đó là ()

Số tiền phải trả sau năm thứ nhất là: (triệu đồng).

Số tiền phải trả sau năm thứ hai là:

(triệu đồng).

Vì sau hai năm bác Bình An phải trả 605 triệu đồng nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được (thỏa mãn); (loại).

Vậy lãi suất mỗi năm của ngân hàng đó là .

2) Gọi số tiền không kể thuế của loại hàng thứ nhất là (triệu đồng), của loại hàng thứ hai là (triệu đồng) ().

Tổng số tiền phải trả là 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức đối với loại hàng loạt hàng thứ nhất và đối với loại hàng thứ hai nên ta có phương trình:

Nếu thuế VAT là đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng nên ta có phương trình:

Vậy ta có hệ: .

Giải hệ phương trình ta được: (thỏa mãn).

Vậy không kể thuế VAT thì loại hàng thứ nhất phải trả 0,5 triệu đồng, loại hàng thứ hai phải trả 1,5 triệu đồng.

3) Phương trình có tích nên có nghiệm phân biệt , . Theo định lí Viète, ta có: và (*).

Ta có: (điều kiện: )

Thay (*) vào , ta được:

Câu 4: (4 điểm)

1) Một hộp kem hình trụ có đường kính và chiều cao đựng đầy kem được đặt trên mặt bàn phẳng.

a) Tính thể tích hộp kem.

b) Hộp kem chứa kem sẽ được chia vào các bánh ốc quế hình nón có chiều cao và đường kính , có hình bán cầu trên đỉnh như hình vẽ. Hãy tìm số que kem có thể chia được.

2) Cho đường tròn , đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm ( nằm giữa và ). Lấy điểm bất kì trên cung nhỏ BCE khác và ). AE cắt CD tại .

a) Chứng minh bốn điểm K, E, B, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Gọi là giao điểm của tia BE và tia DC, là giao điểm của AP và BK. Chứng minh IK là phân giác của . Chứng minh OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE.

Phương pháp

1) a) Tính thể tích kem trong hộp hình trụ:

b) Tính thể tích kem trong hộp = thể tích hình nón + thể tích hình bán cầu.

+ Thể tích hình nón:

+ Thể tích nửa hình cầu:

Số que kem có thể chia được = thể tích kem trong hộp : thể tích kem trong một chiếc bánh ốc quế.

2) a) Chứng minh và nên và cùng thuộc đường tròn đường kính KB. Do đó K, E, B, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh suy ra tỉ số giữa hai cặp cạnh tương ứng của hai tam giác.

c) * Chứng minh IK là phân giác của .

Chứng minh K là trực tâm của nên

Tam giác AQK và tam giác AIK lần lượt vuông tại Q và I nên nội tiếp đường tròn đường kính AK suy ra AIKQ là tứ giác nội tiếp, nên .

Kết hợp với và suy ra hay IK là phân giác của

* Chứng minh OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE.

Gọi H là trung điểm của PK, khi đó đường tròn (H; HP) ngoại tiếp tam giác PQE.

Ta cần chứng minh hay :

+ Chứng minh là tam giác cân tại nên

+ Chứng minh (g-g) suy ra

+ Chứng minh (tam giác HPQ cân tại H).

Ta được .

Sử dụng cộng góc để được nên .

Lời giải

1) a) Thể tích kem trong hộp hình trụ là:

b) Thể tích kem trong bánh ốc quế hình nón có hình bán cầu trên đỉnh là

Vậy số que kem có thể chia được là: que.

2)

a) Xét có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay

Đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm nên

Xét vuông tại E có cạnh huyền KB suy ra K, E, B thuộc đường tròn đường kính KB (1)

Xét vuông tại I có cạnh huyền KB suy ra K, I, B thuộc đường tròn đường kính KB (2)

Do đó K, E, B, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét và , ta có:

là góc chung

suy ra

Do đó nên (đpcm)

c) * Chứng minh IK là phân giác của .

Xét có: ; ; cắt tại nên là trực tâm của

Suy ra nên hay

Đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm nên

Tam giác AQK và tam giác AIK lần lượt vuông tại Q và I nên nội tiếp đường tròn đường kính AK, do đó bốn điểm A, I, Q, K cùng thuộc đường tròn đường kính AK suy ra AIKQ là tứ giác nội tiếp

suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn )

Ta có: KEBI là tứ giác nội tiếp (cmt) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn )

Ta có: nên nội tiếp , do đó

Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn )

suy ra hay IK là phân giác của (đpcm)

* Chứng minh OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE.

Xét , ta có:

Suy ra là tam giác cân tại

Do đó hay

Xét và , ta có:

(hai góc đối đỉnh)

Suy ra (g-g)

Do đó (hai góc tương ứng) hay

Xét tam giác KQP và tam giác KEP lần lượt vuông tại Q và E nên nội tiếp đường tròn đường kính PK, suy ra P, Q, K, E thuộc đường tròn đường kính PK và đường tròn (H; HP) ngoại tiếp tam giác PQE.

Gọi H là trung điểm của PK, khi đó HP = HQ nên tam giác HPQ cân tại H, do đó hay (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Mà

Suy ra hay

Do đó OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE (đpcm).

Câu 5: (0,5 điểm)

Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn (như hình vẽ).

Phương pháp

Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn

Khi đó áp dụng định lí Pythagore để tính OQ theo , ta tính được .

Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ theo .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: . Dấu bằng xảy ra khi 

Dấu “=” xảy ra khi là diện tích lớn nhất của hình chữ nhật.

Lời giải

Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác OPQ, ta có:

Khi đó độ dài cạnh MQ của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn là:

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số, ta có:

.

Dấu “=” xảy ra khi

Suy ra

(vì )

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là khi .

Tần số tương đối của nhóm [161; 164) là:

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Để chuẩn bị cho tiết mục kỉ niệm 70 năm Chiến thắng Điện Biên Phủ, phường Mỹ Đình có cử một số lượng người tham gia, được biểu diễn dưới biểu đồ tỉ lệ sau:

(Biết rằng có 54 người từ 25 tuổi đến 35 tuổi)

a) Có bao nhiêu người tham gia biểu diễn?

b) Một người cho rằng có trên 50% số người biểu diễn dưới 45 tuổi. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?

2) Bạn An là một thành viên của câu lạc bộ nhảy hiện đại khối 9 trong trường THCS. Để chọn học sinh trong CLB đó tham gia hoạt động văn nghệ chào mừng “Ngày nhà giáo Việt Nam” của trường, các học sinh trong CLB sử dụng hình thức bốc thăm với 20 lá thăm giống hệt nhau lần lượt ghi các số tự nhiên từ 1 tới 20 và được để trong hộp kín. Học sinh lấy được lá thăm ghi số chia hết cho 6 sẽ được tham gia. Bạn An là người được bốc thăm đầu tiên.

Xét phép thử “Bạn An bốc ngẫu nhiên 1 lá thăm” và biến cố A: “Bạn An được tham gia hoạt động văn nghệ chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam của trường”. Tính xác suất của biến cố A.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho và (với ).

1) Tính giá trị của khi .

2) Rút gọn .

3) Tìm để .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Một người mua một cái bàn là và một cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là nghìn đồng. Khi trả tiền người đó được khuyến mại giảm đối với giá tiền bàn là và đối với giá tiền quạt điện với giá niêm yết. Vì vậy, người đó phải trả tổng cộng nghìn đồng. Tính giá tiền của cái bàn là và cái quạt điện theo giá niêm yết.

2) Một cơ sở sản xuất lập kế hoạch làm sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất mỗi ngày tăng sản phẩm. Vì thế không những hoàn thành sớm kế hoạch ngày, mà còn vượt mức sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phải làm bao nhiêu sản phẩm.

(Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

3) Cho phương trình có nghiệm phân biệt là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 4: (4 điểm)

1) Gạch ống là một sản phẩm được tạo hình thành từ đất sét và nước, được kết hợp lại với nhau theo một công thức chung hợp lí mới có thể tạo ra hỗn hợp dẻo quánh, sau đó chúng được đổ vào khuôn, rồi đem phơi hoặc sấy khô và cuối cùng là đưa vào lò nung. Một viên gạch hình hộp chữ nhật có kích thước dài 8cm, rộng 8cm, cao 20cm (như hình vẽ). Bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng nhau có đường kính .

a) Tính thể tích đất sét để làm một viên gạch. (lấy )

b) Bác Ba muốn xây một ngôi nhà phải mua thiên gạch, giá một viên là đồng. Nhưng khi thi công, bác Ba phải mua dư số gạch cần dùng dự phòng cho hư hao. Tính số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà, biết thiên gạch là viên.

2) Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn , kẻ đường cao của . Gọi và lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ đến và .

a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: .

c) Kẻ đường cao của tam giác và là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Câu 5: (0,5 điểm) Cho một tấm nhôm có hình tam giác đều có cạnh bằng . Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để được hình chữ nhật . Tìm độ dài để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Để chuẩn bị cho tiết mục kỉ niệm 70 năm Chiến thắng Điện Biên Phủ, phường Mỹ Đình có cử một số lượng người tham gia, được biểu diễn dưới biểu đồ tỉ lệ sau:

(Biết rằng có 54 người từ 25 tuổi đến 35 tuổi)

a) Có bao nhiêu người tham gia biểu diễn?

b) Một người cho rằng có trên 50% số người biểu diễn dưới 45 tuổi. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?

2) Bạn An là một thành viên của câu lạc bộ nhảy hiện đại khối 9 trong trường THCS. Để chọn học sinh trong CLB đó tham gia hoạt động văn nghệ chào mừng “Ngày nhà giáo Việt Nam” của trường, các học sinh trong CLB sử dụng hình thức bốc thăm với 20 lá thăm giống hệt nhau lần lượt ghi các số tự nhiên từ 1 tới 20 và được để trong hộp kín. Học sinh lấy được lá thăm ghi số chia hết cho 6 sẽ được tham gia. Bạn An là người được bốc thăm đầu tiên.

Xét phép thử “Bạn An bốc ngẫu nhiên 1 lá thăm” và biến cố A: “Bạn An được tham gia hoạt động văn nghệ chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam của trường”. Tính xác suất của biến cố A.

Phương pháp

1) a) Xác định số phần trăm tương ứng với 54 người từ 25 tuổi đến 35 tuổi.

Tìm số người khi biết giá trị phần trăm của số đó.

b) Quan sát biểu đồ, tính tổng số phần trăm số người tham gia biểu diễn dưới 45 tuổi.

2) Xác định số kết quả có thể của phép thử.

Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Xác suất của biến cố A bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố A và số kết quả có thể của phép thử.

Lời giải

1)

a) Quan sát biểu đồ ta thấy nhóm [25; 35) chiếm 33,75% so với tổng số người. Khi đó 54 tương ứng với 33,75% nên số người tham gia biểu diễn là:

54: 33,75% = 160 (người)

Vậy tổng số người tham gia biểu diễn là 160 người.

b) Tổng số phần trăm số người tham gia biểu diễn dưới 45 tuổi là:

Vậy nhận định trên là đúng.

2) Xét phép thử “Bạn An bốc ngẫu nhiên 1 lá thăm”.

Kết quả của phép thử là An rút được 1 lá thăm có ghi 1 số tự nhiên (trong khoảng từ 1 tới 20) từ trong hộp. Do các lá thăm giống nhau nên có 20 kết quả có thể đồng khả năng.                                 

Biến cố A: ”Bạn An được tham gia hoạt động văn nghệ chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam của trường” tương ứng với việc An bốc được lá thăm có ghi số 6, hoặc số 12 hoặc số 18.

Do đó, có 3 kết quả thuận lợi của biến cố A.

Xác suất của biến cố A là: .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho và (với ).

1) Tính giá trị của khi .

2) Rút gọn .

3) Tìm để .

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của .

Nếu thỏa mãn, thay vào biểu thức .

2) Kết hợp các phép biến đổi của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức M.

Rút gọn biểu thức .

3) Lập luận .

Giải bất phương trình, kết hợp điều kiện ban đầu của .

Lời giải

1) Thay (thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức , ta có:

Vậy với thì giá trị của biểu thức .

2) Ta có:

Ta có:

Vậy

3) Ta có: ().

Vì nên , suy ra .

Do đó: hay (1)

Vì nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra: nên .

Kết hợp điều kiện xác định , ta được:

Vậy với thì .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Một người mua một cái bàn là và một cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là nghìn đồng. Khi trả tiền người đó được khuyến mại giảm đối với giá tiền bàn là và đối với giá tiền quạt điện với giá niêm yết. Vì vậy, người đó phải trả tổng cộng nghìn đồng. Tính giá tiền của cái bàn là và cái quạt điện theo giá niêm yết.

2) Một cơ sở sản xuất lập kế hoạch làm sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất mỗi ngày tăng sản phẩm. Vì thế không những hoàn thành sớm kế hoạch ngày, mà còn vượt mức sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phải làm bao nhiêu sản phẩm.

(Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

3) Cho phương trình có nghiệm phân biệt là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Phương pháp

1) Gọi giá tiền của bàn là và quạt điện theo giá niêm yết lần lượt là: (đơn vị: nghìn đồng; điều kiện ).

Biểu diễn tổng số tiền mua bàn là và quạt điện theo giá niêm yết và theo giá đã giảm.

Lập được hệ phương trình, giải hệ để tìm .

2) Gọi là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm, )

Biểu diễn số sản phẩm làm trong một ngày thực tế, thời gian làm xong sản phẩm theo kế hoạch, thực tế theo .

Do thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm , kiểm tra điều kiện và kết luận.

3) Kiểm tra sự tồn tại của theo .

Áp dụng định lí Viète và biến đổi.

Định lí Viète:

Lời giải

1) Gọi giá tiền của bàn là và quạt điện theo giá niêm yết lần lượt là: (đơn vị: nghìn đồng; điều kiện ).

Do tổng số tiền mua bàn là và quạt điện theo giá niêm yết là nghìn đồng nên ta có phương trình: (1).

Bàn là giảm giá 20% nên số tiền cần trả cho bàn là là: (nghìn đồng).

Quạt điện giảm giá 10% nên số tiền trả cho quạt điện là: (nghìn đồng).

Tổng số tiền phải trả theo giá khuyến mại là nghìn nên ta có phương trình:

  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá tiền của bàn là là nghìn đồng, của quạt điện là nghìn đồng.

2) Gọi là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm, )

Số sản phẩm làm trong một ngày theo thực tế là: (sản phẩm)

Thời gian làm xong sản phẩm theo kế hoạch là: (ngày)

Số sản phẩm làm được trong thực tế là: (sản phẩm)

Thời gian làm xong sản phẩm theo thực tế là: (ngày)

Do thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:

Suy ra

Tính được

Vậy số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là sản phẩm.

3) Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Viète, ta có:

Do đó

Vậy .

Câu 4: (4 điểm)

1) Gạch ống là một sản phẩm được tạo hình thành từ đất sét và nước, được kết hợp lại với nhau theo một công thức chung hợp lí mới có thể tạo ra hỗn hợp dẻo quánh, sau đó chúng được đổ vào khuôn, rồi đem phơi hoặc sấy khô và cuối cùng là đưa vào lò nung. Một viên gạch hình hộp chữ nhật có kích thước dài 8cm, rộng 8cm, cao 20cm (như hình vẽ). Bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng nhau có đường kính .

a) Tính thể tích đất sét để làm một viên gạch. (lấy )

b) Bác Ba muốn xây một ngôi nhà phải mua thiên gạch, giá một viên là đồng. Nhưng khi thi công, bác Ba phải mua dư số gạch cần dùng dự phòng cho hư hao. Tính số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà, biết thiên gạch là viên.

2) Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn , kẻ đường cao của . Gọi và lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ đến và .

a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: .

c) Kẻ đường cao của tam giác và là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp

1) a) Thể tích đất sét để làm một viên gạch = thể tích hình hộp chữ nhật – thể tích bốn lỗ hình trụ.

b) Tính số viên gạch bác Ba mua.

Số tiền bác Ba mua gạch = số viên gạch . giá một viên.

2) a) Chứng minh và là tam giác vuông nên cùng nội tiếp đường tròn đường kính BE.

Suy ra tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh và nên

c) Chứng minh lần lượt

+) Chứng minh ( góc nội tiếp cùng chắn )

+) Chứng minh (cùng phụ )

+) Chứng minh

Chứng minh nội tiếp nên ; mà (hai góc kề bù) suy ra (cùng bù với )

+) Chứng minh

Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông suy ra hay cân tại . Dẫn đến hay

Vì nên thẳng hàng.

Lời giải

1) a) Thể tích viên gạch hình hộp chữ nhật (chưa trừ bốn lỗ hình trụ) là:

Thể tích của một lỗ hình trụ bằng nhau là:

Thể tích đất sét để làm một viên gạch là:

b) 10 thiên gạch có số viên gạch là: (viên)

Vì bác Ba mua dư 2% để dự phòng nên số gạch bác Ba mua là:

(viên)

Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là:

(đồng)

Vậy số tiền bác ba mua gạch là 11 220 000 đồng.

2)

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét tam giác BHE và tam giác EKB có: và nên nội tiếp đường tròn đường kính BE.

Xét có nên thuộc đường tròn đường kính

có nên thuộc đường tròn đường kính

Do đó B, H, E, K cùng thuộc đường tròn đường kính BE hay tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

Xét và có:

; là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra nên

Chứng minh tương tự ta được

Từ và , suy ra: .

c) Kẻ đường cao của tam giác và là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Theo câu a) ta có tứ giác nội tiếp nên ( góc nội tiếp cùng chắn )

Xét vuông tại có nên (cùng phụ )

Xét có nên thuộc đường tròn đường kính

Lại có có nên thuộc đường tròn đường kính

Suy ra bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính hay tứ giác nội tiếp.

Suy ra (hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà (hai góc kề bù)

Do đó (cùng bù với )

Xét vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh ( là trung

điểm của ) nên hay cân tại .

Do đó hay

Từ , , và suy ra hay .

Do đó thẳng hàng.

Câu 5: (0,5 điểm) Cho một tấm nhôm có hình tam giác đều có cạnh bằng . Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để được hình chữ nhật . Tìm độ dài để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Phương pháp

Chứng minh suy ra MB = NC.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tìm QM theo BM.

Biểu diễn diện tích hình chữ nhật MNPQ theo BM, áp dụng bất đẳng thức Cauchy để xác định BM.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: . Dấu bằng xảy ra khi

Dấu “=” xảy ra khi là diện tích lớn nhất của hình chữ nhật.

Lời giải

Vì tam giác ABC đều nên .

Vì MNPQ là hình chữ nhật nên QP // MN, do đó .

Mà nên , do đó .

Xét và có:

(MNPQ là hình chữ nhật)

(cmt)

(MNPQ là hình chữ nhật)

Do đó suy ra .

Giả sử nên .

Xét tam giác BMQ vuông tại M có:

nên diện tích hình chữ nhật là:

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay .

Vậy thì diện tích hình chữ nhật là lớn nhất.

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Một lớp học gồm 40 học sinh được khảo sát về chiều cao và đưa ra bảng tần số ghép nhóm dưới đây:

Tính tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [170;180).

2) Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi từ túi đỏ, viên bi lấy ra lần đầu không trả lại vào túi. Mô tả không gian mẫu của phép thử và tính xác suất để lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và với , .

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 25.

2) Chứng minh .

3) Với P = A.B, tìm giá trị của x để |P| > P.

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Trong một đợt khuyến mãi, siêu thị giảm giá cho mặt hàng A là 20% và mặt hàng B là 15% so với giá niêm yết. Một khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B phải trả số tiền là 362 000 đồng. Nhưng nếu mua hàng trong khung giờ vàng thì món A được giảm giá 30% còn món hàng B được giảm giá 25% so với giá niêm yết. Một người mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trong khung giờ vàng nên chỉ trả số tiền là 552 000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi món hàng A và B.

2) Một nhóm thợ thủ công lên kế hoạch làm 1200 chiếc đèn lồng cho dịp lễ Trung Thu. Trong 12 ngày đầu họ làm đúng theo kế hoạch. Những ngày còn lại do có thêm người làm cùng nên mỗi ngày họ đã làm vượt mức 20 chiếc và hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Theo kế hoạch, mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu chiếc đèn lồng?

3) Cho phương trình có 2 nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 4: (4 điểm)

1) Khung của nón lá có dạng hình nón được làm bởi các thanh gỗ nối từ đỉnh tới đáy như các đường sinh l, 16 vành nón được làm từ những thanh tre mảnh nhỏ, dẻo dai uốn thành những vòng tròn có đường kính to, nhỏ khác nhau, cái nhỏ nhất to bằng đồng xu.

- Đường kính (d = 2R) của chiếc nón lá khoảng 40 (cm).

- Chiều cao (h) của chiếc nón lá khoảng 19 (cm).

a) Tính độ dài của thanh tre uốn thành vòng tròn lớn nhất của vành chiếc nón lá (không kể phần chắp nối, tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ hai, biết ).

b) Tính diện tích phần lá phủ xung quanh của chiếc nón lá (không kể phần chắp nối, tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Cho (AB < AC) nội tiếp (O; R) đường kính BC, trên cung nhỏ AC lấy điểm D, BD cắt AC tại E, từ E vẽ tại F.

a) Chứng minh tứ giác BAEF nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh DB là phân giác góc ADF.

c) Gọi M là trung điểm EC. Chứng minh DM.CA = CF.CO.

Câu 5: (0,5 điểm) Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng (xem hình minh họa). Biết rằng có 12 lít nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính thể tích của phễu.

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Một lớp học gồm 40 học sinh được khảo sát về chiều cao và đưa ra bảng tần số ghép nhóm dưới đây:

Tính tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [170;180).

2) Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi từ túi đỏ, viên bi lấy ra lần đầu không trả lại vào túi. Mô tả không gian mẫu của phép thử và tính xác suất để lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ.

Phương pháp

1) Xác định tần số của nhóm từ bảng tần số ghép nhóm.

Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.

2) - Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

- Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

- Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Từ bảng tần số ghép nhóm, nhóm [170;180) có tần số là 8.

Tần số tương đối của nhóm này là: .

Vậy tần số ghép nhóm của nhóm [170;180) là 8, tần số tương đối của nhóm này là 20%.

2) Không gian mẫu của phép thử là:

.

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là .

Gọi A là biến cố “Lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 8, đó là: .

Vậy xác suất của biến cố A là: .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và với , .

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 25.

2) Chứng minh .

3) Với P = A.B, tìm giá trị của x để |P| > P.

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 25 vào A.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn P rồi giải bất đẳng thức |P| > P, kết hợp điều kiện để tìm x.

Lời giải

1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện), ta có:

.

Vậy khi x = 25.

2) Với , , ta có:

.

3) Ta có: .

Xét |P| > P:

TH1: (vô lí).

TH2:

(vì )

.

Kết hợp điều kiện xác định, ta có: .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Trong một đợt khuyến mãi, siêu thị giảm giá cho mặt hàng A là 20% và mặt hàng B là 15% so với giá niêm yết. Một khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B phải trả số tiền là 362 000 đồng. Nhưng nếu mua hàng trong khung giờ vàng thì món A được giảm giá 30% còn món hàng B được giảm giá 25% so với giá niêm yết. Một người mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trong khung giờ vàng nên chỉ trả số tiền là 552 000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi món hàng A và B.

2) Một nhóm thợ thủ công lên kế hoạch làm 1200 chiếc đèn lồng cho dịp lễ Trung Thu. Trong 12 ngày đầu họ làm đúng theo kế hoạch. Những ngày còn lại do có thêm người làm cùng nên mỗi ngày họ đã làm vượt mức 20 chiếc và hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Theo kế hoạch, mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu chiếc đèn lồng?

3) Cho phương trình có 2 nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Phương pháp

1) Gọi giá tiền của món hàng A và B lần lượt là x, y (đơn vị: nghìn đồng; điều kiện: x, y > 0).

Biểu diễn số tiền phải trả khi mua hai mặt hàng A, B khi đã giảm giá và trong khung giờ vàng.

Lập hệ phương trình, giải hệ để tìm x, y.

2) Gọi x là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm, ).

Biểu diễn số sản phẩm làm trong một ngày thực tế, thời gian làm xong sản phẩm theo kế hoạch, thực tế theo x.

Do thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm x, kiểm tra điều kiện và kết luận.

3) Kiểm tra sự tồn tại của dựa vào .

Biến đổi biểu thức A và áp dụng định lí Viète: ; .

Lời giải

1) Gọi x, y (đồng) lần lượt là giá niêm yết của món hàng A và món hàng B.
Điều kiện: x, y > 0.

Mặt hàng A giảm giá 20% so với giá niêm yết nên giá phải trả cho 1 món hàng A là
(đồng)

Mặt hàng B giảm giá 15% so với giá niêm yết nên giá phải trả cho 1 món hàng B là
(đồng)

Mặt hàng A giảm giá 20% và mặt hàng B giảm giá 15% so với giá niêm yết và mua 2 món hàng A và 1 món hàng B phải trả tổng số tiền là 362 000 đồng

hay (1)

Trong khung giá vàng thì món hàng A được giảm giá 30% nên giá phải trả cho 1 món hàng A là
(đồng)

Trong khung giá vàng thì món hàng B được giảm giá 25% nên giá phải trả cho 1 món hàng B là
(đồng)

Trong khung giá vàng thì món hàng A được giảm giá 30% còn món hàng B được giảm giá 25% so với giá niêm yết và mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trong khung giờ vàng nên chỉ trả số tiền là 552 000 đồng nên

hay (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình, ta được:

Vậy, giá niêm yết của món hàng A là 120 000 đồng, giá niêm yết của món hàng B là 200 000 đồng.

2) Gọi số đèn lồng phải làm mỗi ngày theo kế hoặc là x (đèn, ).

Thời gian làm 1200 đèn theo kế hoạch là (ngày).

Trong 12 ngày làm theo kế hoạch, nhóm thợ làm được 12x (đèn).

Số đèn còn lại là: 1200 – 12x (đèn).

Năng suất làm đèn sau 12 ngày đầu là: x + 20 (đèn).

Thời gian làm số đèn còn lại là: (ngày).

Vì nhóm thợ đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình:

.

Giải phương trình trên, ta được x = 60 (thỏa mãn) và x = -200 (loại).

Vậy số đèn lồng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là 60 chiếc đèn.

3) Xét phương trình có .

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Viète, ta có:

;

.

Ta có:

.

Vậy A = 1.

Câu 4: (4 điểm)

1) Khung của nón lá có dạng hình nón được làm bởi các thanh gỗ nối từ đỉnh tới đáy như các đường sinh l, 16 vành nón được làm từ những thanh tre mảnh nhỏ, dẻo dai uốn thành những vòng tròn có đường kính to, nhỏ khác nhau, cái nhỏ nhất to bằng đồng xu.

- Đường kính (d = 2R) của chiếc nón lá khoảng 40 (cm).

- Chiều cao (h) của chiếc nón lá khoảng 19 (cm).

a) Tính độ dài của thanh tre uốn thành vòng tròn lớn nhất của vành chiếc nón lá (không kể phần chắp nối, tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ hai, biết ).

b) Tính diện tích phần lá phủ xung quanh của chiếc nón lá (không kể phần chắp nối, tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Cho (AB < AC) nội tiếp (O; R) đường kính BC, trên cung nhỏ AC lấy điểm D, BD cắt AC tại E, từ E vẽ tại F.

a) Chứng minh tứ giác BAEF nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh DB là phân giác góc ADF.

c) Gọi M là trung điểm EC. Chứng minh DM.CA = CF.CO.

Phương pháp

1)

a) Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn: .

b) Tìm bán kính đáy của nón rồi áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: .

2)

a) Chứng minh và , từ đó suy ra các điểm A, F, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE, hay tứ giác ABFE nội tiếp.

b) Tương tự câu a), chứng minh tứ giác DCFE nội tiếp.

Chứng minh (cùng bằng dựa vào định lí về góc nội tiếp).

c) Chứng minh dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông.

Chứng minh  (g.g), suy ra rồi biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải

1)

a) Độ dài của thanh tre uốn thành vòng tròn lớn nhất của vành chiếc nón lá bằng chu vi đường tròn đáy:

(cm).

b) Bán kính đáy nón là (cm).

Độ dài đường sinh là: (cm).

Diện tích xung quanh nón là: .

Vậy diện tích phần lá phủ xung quanh nón là khoảng 1732,42 .

2)

a) Vì (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên A thuộc đường tròn đường kính BE.

Mặt khác, (do tại F) nên F thuộc đường tròn đường kính BE.

Do đó, các điểm A, F, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE, hay tứ giác ABFE nội tiếp.

b) Vì (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên E thuộc đường tròn đường kính CE.

Mặt khác, (do tại F) nên F thuộc đường tròn đường kính CE.

Do đó, các điểm D, F, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính CE, hay tứ giác DCFE nội tiếp.

Vì tứ giác DCFE nội tiếp nên ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung EF).

Mà tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên (góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Do đó, hay DB là phân giác của .

c) Xét vuông tại D, có M là trung điểm của cạnh huyền EC nên hay .

Xét và có:

là góc chung;

.

Nên (g.g).

Suy ra (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ), suy ra .

Do đó hay .

Câu 5: (0,5 điểm) Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng (xem hình minh họa). Biết rằng có 12 lít nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính thể tích của phễu.

Phương pháp

Gọi O là tâm của đáy, C là đỉnh, CA là một đường sinh của hình nón ban đầu.

Gọi tâm của đường tròn đáy thùng đựng nước là O’, B là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho B nằm trên đường sinh CA của hình nón ban đầu.

Chứng minh đồng dạng với , từ đó suy ra tỉ lệ chiều cao của phễu so với hình nón ban đầu.

Gọi là thể tích khối nón ban đầu, là thể tích phễu, là thể tích thùng chứa đầy nước.

Ta có: . Áp dụng công thức tính thể tích khối nón với B là diện tích đáy, h là chiều cao; tìm .

Lời giải

Gọi O là tâm của đáy, C là đỉnh, CA là một đường sinh của hình nón ban đầu.

Gọi O’ tâm của đường tròn đáy thùng đựng nước, B là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho B nằm trên đường sinh CA của hình nón ban đầu.

Xét và , có:

chung;

(vì trục CO vuông góc với hai mặt phẳng đáy thùng).

Do đó (g.g), suy ra (do bán kính miệng thùng gấp hai lần bán kính đáy thùng).

Gọi là thể tích khối nón ban đầu, là thể tích phễu, là thể tích thùng chứa đầy nước.

Ta có: .

Mặt khác: hay .

Do đó: hay .

Vậy thể tích của phễu là 2 lít.

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Thống kê số lần truy cập Internet của 30 người trong một tuần là:

Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu đó sau khi được ghép nhóm theo sáu nhóm sau: [30;40), [40;50), [50;60), [60;70), [70;80), [80;90). Tìm tần số tương đối ghép nhóm.

2) Một hình tròn được chia thành 10 hình quạt như nhau, được đánh số như hình bên và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố A: “Mũi tên chỉ vào các số La Mã”.

Tính xác suất của biến cố A.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức ; với ; .

1) Tính giá trị của A khi .

2) Rút gọn .

3) Tìm các giá trị của x sao cho .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Một trường THCS tổ chức cho 250 người bao gồm giáo viên và học sinh đi tham quan khu du lịch Đảo Ngọc Xanh. Biết giá vé vào cổng của một giáo viên là 80 000 đồng, vé vào cổng của một học sinh là 60 000 đồng. Nhà trường tổ chức đi vào đúng dịp Khai trương nên được giảm giá 5% cho mỗi vé vào cổng, vì vậy nhà trường chỉ phải trả tổng số tiền là 14 535 000 đồng. Hỏi có bao nhiêu giáo viên và học sinh của trường đi tham quan?

2) Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc của xe khách là 20 km/h nên xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100 km.

3) Cho phương trình có hai nghiệm là , . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một ly đựng đầy nước dạng hình trụ có chiều cao là 15 cm, bán kính đáy bằng 5 cm.

a) Tính thể tích nước chứa trong ly.

b) Người ta thả vào ly 5 viên bi đặc không thấm nước có dạng hình cầu, đường kính mỗi viên bi bằng 3 cm. Tính thể tích nước tràn ra ngoài ly.

2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ tại M, tại N.

a) Chứng minh bốn điểm O, M, D, N cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh: .

c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.

Câu 5: (0,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh là 30 cm. Trên cạnh AB lấy hai điểm E, G sao cho AE = GB = x (cm) và điểm E nằm giữa điểm A và điểm G. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại F; qua G kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại H. Người ta gập hình vuông theo hai cạnh EF và GH sao cho cạnh AD trùng cạnh BC như hình vẽ để tạo thành hình lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm x để thể tích hình lăng trụ lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Thống kê số lần truy cập Internet của 30 người trong một tuần là:

Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu đó sau khi được ghép nhóm theo sáu nhóm sau: [30;40), [40;50), [50;60), [60;70), [70;80), [80;90). Tìm tần số tương đối ghép nhóm.

2) Một hình tròn được chia thành 10 hình quạt như nhau, được đánh số như hình bên và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố A: “Mũi tên chỉ vào các số La Mã”.

Tính xác suất của biến cố A.

Phương pháp

1) - Xác định tần số cho các nhóm để lập bảng tần số ghép nhóm.

- Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.

2) - Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

- Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

- Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Lập bảng tần số ghép nhóm:

Tần số tương đối ghép nhóm của của nhóm [50;60) là: .

2) Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần”. Ta thấy, các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là: W = {1; II; 3; IV; 5; VI; 7; VIII; 9; X}.

Số phần tử của tập hợp W là 10.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: II, IV, VI, VIII, X.

Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Vậy .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức ; với ; .

1) Tính giá trị của A khi .

2) Rút gọn .

3) Tìm các giá trị của x sao cho .

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay vào A.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn P rồi giải bất đẳng thức , kết hợp điều kiện để tìm x.

Lời giải

1) Thay (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được:

.

Vậy khi thì A = -1.

2) ĐKXĐ: ; .

.

3)

.

Vì nên để thì .

Mà nên , suy ra .

Do đó, để thì:

.

Vậy, với , thì .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Một trường THCS tổ chức cho 250 người bao gồm giáo viên và học sinh đi tham quan khu du lịch Đảo Ngọc Xanh. Biết giá vé vào cổng của một giáo viên là 80 000 đồng, vé vào cổng của một học sinh là 60 000 đồng. Nhà trường tổ chức đi vào đúng dịp Khai trương nên được giảm giá 5% cho mỗi vé vào cổng, vì vậy nhà trường chỉ phải trả tổng số tiền là 14 535 000 đồng. Hỏi có bao nhiêu giáo viên và học sinh của trường đi tham quan?

2) Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc của xe khách là 20 km/h nên xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100 km.

3) Cho phương trình có hai nghiệm là , . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Phương pháp

1) Gọi số giáo viên và số học sinh lần lượt là x, y (0 < x, y < 250; x, y ; đơn vị: người).

Biểu diễn tổng số người tham gia, số tiền mua vé theo hai biến x, y.

Lập hệ phương trình, giải hệ để tìm x, y.

2) Gọi x là vận tốc của xe khách (x > 0, đơn vị: km/h).

Biểu diễn vận tốc, thời gian di chuyển của xe khách và xe du lịch theo x.

Do xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm x, kiểm tra điều kiện và kết luận.

3) Kiểm tra sự tồn tại của dựa vào .

Biến đổi biểu thức A và áp dụng định lí Viète: ; .

Lời giải

1) Gọi x là số giáo viên, y là số học sinh của trường tham gia tham quan (0 < x, y < 250; x, y ; đơn vị: người).

Vì tổng số giáo viên và học sinh tham gia là 250 người nên ta có phương trình: (1).

Số tiền vé của một giáo viên sau khi được giảm là: (đồng).

Số tiền vé của một học sinh sau khi được giảm là: (đồng).

Vì nhà trường chỉ phải trả tổng số tiền là 14 535 000 đồng nên ta có phương trình:

(2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ, được x = 15 (TM) và y = 235 (TM).

Vậy số giáo viên tham gia là 15 người, số học sinh tham gia là 235 người.

2) Đổi: 50 phút = giờ.

Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h, x > 0), khi đó vận tốc của xe du lịch là x + 20 (km/h).

Thời gian xe khách đi từ A đến B là: (giờ).

Thời gian xe du lịch đi từ A đến B là: (giờ).

Vì xe du lịch đi đến B trước xe khách 50 phút nên ta có phương trình:

Giải phương trình trên, ta được x = 40 (thỏa mãn) và x = -60 (loại).

Vậy, vận tốc của xe khách là 40 km/h, vận tốc của xe du lịch là 60 km/h.

3) Xét ac = 2.(-3) = -6 < 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt , .

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

.

Vậy A = 10.

Câu 4: (4 điểm)

1) Một ly đựng đầy nước dạng hình trụ có chiều cao là 15 cm, bán kính đáy bằng 5 cm.

a) Tính thể tích nước chứa trong ly.

b) Người ta thả vào ly 5 viên bi đặc không thấm nước có dạng hình cầu, đường kính mỗi viên bi bằng 3 cm. Tính thể tích nước tràn ra ngoài ly.

2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ tại M, tại N.

a) Chứng minh bốn điểm O, M, D, N cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh: .

c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.

Phương pháp

1)

a) Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ: .

b) Thể tích nước tràn ra ngoài ly bằng thể tích 5 viên bi.

Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu: .

2)

a) Chứng minh và , từ đó suy ra các điểm M, N, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

b) Chứng minh:

+ (do ).

+ (góc nội tiếp chắn cung AM).

+ (góc nội tiếp chắn cung AN).

Từ đó ta được , suy ra .

c) Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh:

+ OI là phân giác của POQ, suy ra PI = IQ (do cân tại O).

+ (theo hệ quả định lí Thales).

Từ đó suy ra BK = CK, hay K là trung điểm của BC.

Lời giải

1)

a) Thể tích nước chứa trong ly là: .

b) Thể tích nước tràn ra ngoài ly bằng thể tích 5 viên bi.

Bán kính viên bi là: (cm).

Thể tích 1 viên bi là: .

Thể tích nước tràn ra ngoài ly là: .

2)

a) Ta có:

+ tại M nên . Do đó, M thuộc đường tròn đường kính AO.

+ tại N nên . Do đó, N thuộc đường tròn đường kính AO.

+ AD là đường cao của nên . Do đó, D thuộc đường tròn đường kính AO.

Vậy, bốn điểm M, N, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

b) Xét và , có:

AO chung;

;

(OA là đường phân giác trong của ).

Suy ra (g.c.g), do đó (1)

Vì các điểm M, D, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO nên ta có:

(góc nội tiếp chắn cung AM) (2)

(góc nội tiếp chắn cung AN) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ADM = ADN.

Do đó , suy ra .

c) Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại P, Q.

Vì , mà PQ // BC nên .

Ta có:

+ nên M thuộc đường tròn đường kính OP.

+ Vì , suy ra nên I thuộc đường tròn đường kính OP.

Do đó OMPI là tứ giác nội tiếp, suy ra (góc nội tiếp chắn cung PI) (4)

Ta có:

+ nên N thuộc đường tròn đường kính OQ.

+ Vì , suy ra nên I thuộc đường tròn đường kính OQ.

Do đó ONQI là tứ giác nội tiếp, suy ra ; mà (góc kề bù) nên (5)

Ta có:

+ (góc nội tiếp chắn cung AM).

+ (góc nội tiếp chắn cung AN).

+ (chứng minh trên).

Do đó, (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra , do đó OI là phân giác của .

Mặt khác, nên OI vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của .

Suy ra cân tại O và OI cũng là đường trung tuyến của nên PI = IQ.

Vì PQ // BC nên theo hệ quả của định lí Thales: .

Ta có , mà PI = QI nên BK = CK.

Vậy K là trung điểm của BC.

Câu 5: (0,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh là 30 cm. Trên cạnh AB lấy hai điểm E, G sao cho AE = GB = x (cm) và điểm E nằm giữa điểm A và điểm G. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại F; qua G kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại H. Người ta gập hình vuông theo hai cạnh EF và GH sao cho cạnh AD trùng cạnh BC như hình vẽ để tạo thành hình lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm x để thể tích hình lăng trụ lớn nhất.

Phương pháp

- Tính thể tích lăng trụ theo x.

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương để tìm thể tích lớn nhất của lăng trụ.

- Xét dấu “=” xảy ra để tìm x.

Lời giải

Ta có AE = GB = x (0 < x < 15, đơn vị: cm), suy ra EG = 30 – 2x (cm).

Kẻ đường cao AK của .

Vì cân tại A nên (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho vuông tại K, ta có:

.

Diện tích đáy lăng trụ là:

.

Thể tích lăng trụ là:

.

Vì vuông tại K nên AE > KE hay , suy ra 2x – 15 > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 2x – 15, 15 – x, 15 – x, ta được:

.

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2x – 15 = 15 – x, suy ra x = 10.

Vậy, để thể tích lăng trụ lớn nhất thì x = 10.

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Một siêu thị thống kê hóa đơn mua hàng (đơn vị: nghìn đồng) của 150 khách hàng đầu tiên trong ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau:

Tính tần số tương đối của nhóm có tần số nhỏ nhất.

2) Cho tập hợp A = {1;2;3}. Từ các chữ số của tập hợp A, viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất để số được viết có hai chữ số giống nhau.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức ; với , .

1) Tính giá trị của A với x = 9.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Xét biểu thức P = A.B. Chứng minh P < 0.

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Anh Bình đến siêu thị để mua 1 cái bàn ủi và 1 cái quạt điện có tổng giá niêm yết là 850 nghìn đồng. Tuy nhiên, thực tế khi trả tiền, nhờ siêu thị khuyến mãi để tri ân khách hàng nên giá bán bàn ủi và quạt điện đã giảm lần lượt 10% và 20% so với giá niêm yết. Do đó, anh Bình đã được giảm 125 nghìn đồng khi mua hai sản phẩm trên. Hỏi số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của mỗi sản phẩm mà anh Bình đã mua nói trên là bao nhiêu?

2) Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ, một xe máy đi từ A tới B. 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h. Hai xe cùng chạy trên một con đường và đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.

3) Biết rằng phương trình bậc hai có một nghiệm . Tính tổng nghịch đảo hai nghiệm của phương trình trên.

Câu 4: (4 điểm)

1) Một trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy trục lăn là 5 cm, chiều dài trục lăn là 23 cm (hình bên). Sau khi lăn trục lăn trọn 15 vòng trên một bức tường phẳng thì diện tích phủ sơn là bao nhiêu (giả sử các đường lăn không chồng lấn lên nhau, lấy ).

2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Gọi K là trung điểm của BC.

a) Chứng minh đồng dạng .

b) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

c) Đường phân giác góc FHB cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Gọi I là trung điểm của MN, J là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp và ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Câu 5: (0,5 điểm) Một cái sân hình vuông ABCD có cạnh là 8 m. Người ta muốn lát gạch màu khác để trang trí lên mảnh sân hình vuông MNPQ nội tiếp trong sân hình vuông ABCD. Tìm vị trí của M, N, P, Q để hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Một siêu thị thống kê hóa đơn mua hàng (đơn vị: nghìn đồng) của 150 khách hàng đầu tiên trong ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau:

Tính tần số tương đối của nhóm có tần số nhỏ nhất.

2) Cho tập hợp A = {1;2;3}. Từ các chữ số của tập hợp A, viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất để số được viết có hai chữ số giống nhau.

Phương pháp

1) Chọn nhóm có tần số nhỏ nhất.

Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.

2) Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Nhóm có tần số nhỏ nhất là nhóm [150;300) với tần số 15.

Tần số tương đối của nhóm có tần số nhỏ nhất là .

2) Không gian mẫu là: . Do đó .

Có 3 kết quả thuận chơi của biến cố “Số được viết có hai chữ số giống nhau” là {11;22;33}.

Vậy xác suất để số được viết có hai chữ số khác nhau là .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức ; với , .

1) Tính giá trị của A với x = 9.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Xét biểu thức P = A.B. Chứng minh P < 0.

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 9 vào A.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn P rồi chứng minh P < 0.

Lời giải

1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được:

.

Vậy khi x = 9 thì .

2) (với , )

.

3) .

Ta có , suy ra , do đó .

Vậy P = A.B < 0.

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Anh Bình đến siêu thị để mua 1 cái bàn ủi và 1 cái quạt điện có tổng giá niêm yết là 850 nghìn đồng. Tuy nhiên, thực tế khi trả tiền, nhờ siêu thị khuyến mãi để tri ân khách hàng nên giá bán bàn ủi và quạt điện đã giảm lần lượt 10% và 20% so với giá niêm yết. Do đó, anh Bình đã được giảm 125 nghìn đồng khi mua hai sản phẩm trên. Hỏi số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của mỗi sản phẩm mà anh Bình đã mua nói trên là bao nhiêu?

2) Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ, một xe máy đi từ A tới B. 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h. Hai xe cùng chạy trên một con đường và đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.

3) Biết rằng phương trình bậc hai có một nghiệm . Tính tổng nghịch đảo hai nghiệm của phương trình trên.

Phương pháp

1) Gọi giá tiền niêm yết của một cái bàn ủi và một cái quạt điện lần lượt là x, y (0 < x, y < 850; đơn vị: nghìn đồng).

Biểu diễn tổng số tiền theo giá niêm yết và tổng số tiền sau khi được giảm giá theo hai biến x, y.

Lập hệ phương trình, giải hệ để tìm x, y.

2) Gọi x là vận tốc của xe máy (x > 0, đơn vị: km/h).

Biểu diễn vận tốc, thời gian di chuyển của xe máy và xe ô tô theo x.

Thời gian di chuyển từ A đến B của xe ô tô ít hơn xe máy 30 phút nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm x, kiểm tra điều kiện và kết luận.

3) Thay nghiệm vào phương trình để tìm m.

Áp dụng định lí Viète để tính với , là hai nghiệm của phương trình.

Lời giải

1) Gọi giá tiền niêm yết của một cái bàn ủi là x (nghìn đồng), giá tiền niêm yết của một cái quạt điện là y (nghìn đồng).

Điều kiện: 0 < x < 850, 0 < y < 850.

Tổng số tiền niêm yết của hai sản phẩm là 850 nghìn đồng nên ta có phương trình: (1)

Thực tế khi trả tiền:

- Số tiền anh Bình được giảm khi mua một cái bàn ủi là: (nghìn đồng).

- Số tiền anh Bình được giảm khi mua một cái quạt điện là: (nghìn đồng).

Vì anh Bình đã được giảm giá 125 nghìn đồng khi mua hai sản phẩm trên nên ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình, được x = 450 (TMĐK) và y = 400 (TMĐK).

Vậy số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của một chiếc bàn ủi mà anh Bình đã mua là: 0,1.450 = 45 (nghìn đồng).

Số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của một chiếc quạt điện mà anh Bình đã mua là: 0,2.400 = 80 (nghìn đồng).

2) Xe máy đi trước ô tô 30 phút = giờ.

Gọi vận tốc của xe máy là x (x > 0, đơn vị: km/h).

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc của ô tô là x + 15 (km/h).

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: (h).

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: (h).

Do xe máy đi trước ô tô giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình:

Giải phương trình trên, ta được x = -60 (không thỏa mãn) và x = 45 (thỏa mãn).

Vậy, vận tốc của xe máy là 45 km/h, vận tốc của ô tô là 60 km/h.

3) Phương trình có một nghiệm nên ta thay nghiệm đó vào phương trình:

.

Vậy phương trình bậc hai đề bài cho là .

Theo định lí Viète, ta có:

Tổng nghịch đảo hai nghiệm là:

.

Câu 4: (4 điểm)

1) Một trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy trục lăn là 5 cm, chiều dài trục lăn là 23 cm (hình bên). Sau khi lăn trục lăn trọn 15 vòng trên một bức tường phẳng thì diện tích phủ sơn là bao nhiêu (giả sử các đường lăn không chồng lấn lên nhau, lấy ).

2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Gọi K là trung điểm của BC.

a) Chứng minh đồng dạng .

b) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

c) Đường phân giác góc FHB cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Gọi I là trung điểm của MN, J là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp và ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Phương pháp

1) Tìm bán kính đường tròn đáy trục lăn.

Tính diện tích xung quanh của trục lăn.

Diện tích phủ sơn sau 15 vòng là .

2)

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra .

Từ đó chứng minh  (g.g).

b) Gọi P là giao điểm của AO và EF.

Chứng minh , từ đó suy ra .

c) Các bước chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp:

+ cân tại A (do ).

+ .

Các bước chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng:

+ IJ là đường trung trực của EF.

+ K cách đều E, F.

Lời giải

1) Bán kính đường tròn đáy trục lăn là 5 : 2 = 2,5 cm.

Trục lăn sơn có dạng hình trụ nên diện tích xung quanh trục lăn là:

.

Sau khi lăn 15 vòng trên một bức tường phẳng thì diện tích phủ sơn là:

361,1.15 = 5416,5 .

2)

a) Vì BE, CF là hai đường cao của nên .

Do đó, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC, tức tứ giác BFEC nội tiếp.

Suy ra ; mà (góc kề bù) nên .

Xét và có:

chung;

(chứng minh trên).

Suy ra  (g.g).

b) Gọi P là giao điểm của AO và EF.

Ta có vì là góc nội tiếp và là góc ở tâm cùng chắn cung AC.

Vì A, C cùng thuộc đường tròn tâm O nên OA = OC, suy ra cân tại O.

Do đó .

Mà nên , suy ra hay .

Xét có:

+

+ .

Vậy .

c) Vì HM là phân giác của nên .

Vì HN là phân giác của nên .

Mà (góc đối đỉnh) nên .

Ta có:

+ (cùng bù với );

+ (cùng bù với );

+ (chứng minh trên);

+ (góc nội tiếp cùng chắn cung EF).

Suy ra , do đó cân tại A.

Mà I là trung điểm của MN nên AI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của , suy ra .

Ta có nên F, I cùng thuộc đường tròn đường kính AH, hay tứ giác AFHI nội tiếp.

Suy ra (góc nội tiếp cùng chắn cung FH) (1)

Ta có:

+ ;

+ .

Suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra (3)

Ta có AI là đường cao đồng thời là đường phân giác của cân tại A nên , suy ra (4)

Từ (3) và (4) suy ra (5)

Vì vuông tại I có đường trung tuyến IJ ứng với cạnh huyền nên JA = JI, do đó cân tại J, suy ra (6)

Từ (5) và (6) suy ra , mà hai góc trên ở vị trí so le trong nên JI // AO.

Mà nên (*)

Ta có nên F, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH, hay tứ giác AFHI nội tiếp đường tròn tâm J. Do đó JF = JE (**)

Từ (*) và (**) suy ra JI là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC với K là trung điểm của BC, suy ra KF = KE.

Do đó, K thuộc đường trung trực của IJ của EF, hay J, I, K thẳng hàng.

Câu 5: (0,5 điểm) Một cái sân hình vuông ABCD có cạnh là 8 m. Người ta muốn lát gạch màu khác để trang trí lên mảnh sân hình vuông MNPQ nội tiếp trong sân hình vuông ABCD. Tìm vị trí của M, N, P, Q để hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Phương pháp

Diện tích hình vuông MNPQ nhỏ nhất khi tổng diện tích S của 4 tam giác vuông ở 4 góc hình vuông ABCD lớn nhất.

Lập công thức tính diện tích tổng 4 tam giác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải

Đặt AM = x (0 < x < 8, đơn vị: mét), khi đó MB = 8 – x (m).

Ta có .

Diện tích hình vuông MNPQ nhỏ nhất khi tổng diện tích S của 4 tam giác vuông ở 4 góc hình vuông ABCD lớn nhất.

Ta có .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương là độ dài đoạn thẳng AM và MB, ta có:

.

Dấu “=” xảy ra khi .

Vậy, khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA thì hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Sau khi thống kê độ dài (đơn vị: cm) của 60 lá dương xỉ trưởng thành, người ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối của nhóm [30;40).

2) Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm A, B được tô màu đỏ; ba điểm C, D, E được tô màu xanh. Bạn Châu chọn ra ngẫu nhiên một điểm tô màu đỏ, sau đó chọn ngẫu nhiên một điểm tô màu xanh để nối thành một đoạn thẳng.

Tính xác suất của biến cố X: “Trong hai điểm được chọn ra có điểm A”.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và với , .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

2) Chứng minh .

3) Tìm tất cả các giá trị của x để .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Có hai loại dung dịch acid cùng loại có nồng độ acid lần lượt là 10% và 20%, trộn hai dung dịch acid đó để được 0,5 kg dung dịch có nồng độ acid là 16%. Hỏi cần dùng bao nhiêu gam mỗi loại dung dịch acid nói trên?

2) Xe máy thứ nhất đi quãng đường từ Hà Nội về Nam Định hết 3 giờ 20 phút. Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai là 3 km. Tính vận tốc của mỗi xe máy và quãng đường từ Hà Nội về Nam Định.

3) Cho phương trình có hai nghiệm , . Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một hộp đựng bóng có dạng hình trụ đựng được vừa khít 3 quả bóng như hình vẽ bên. Coi quả bóng có dạng hình cầu với đường kính 6 cm.

a) Tính thể tích hộp đựng.

b) Tính thể tích phần khoảng không trong hộp.

2) Từ điểm A nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính CD của (O).

a) Chứng minh BD // AO.

b) AD cắt (O) tại E (A, E, D theo thứ tự). Chứng minh rằng .

c) Vẽ tại H. Gọi I là trung điểm của BH. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.

Câu 5: (0,5 điểm) Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích và giá mỗi mét vuông thép là 500 nghìn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)? 

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Sau khi thống kê độ dài (đơn vị: cm) của 60 lá dương xỉ trưởng thành, người ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối của nhóm [30;40).

2) Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm A, B được tô màu đỏ; ba điểm C, D, E được tô màu xanh. Bạn Châu chọn ra ngẫu nhiên một điểm tô màu đỏ, sau đó chọn ngẫu nhiên một điểm tô màu xanh để nối thành một đoạn thẳng.

Tính xác suất của biến cố X: “Trong hai điểm được chọn ra có điểm A”.

Phương pháp

1) Xác định tần số của nhóm [30;40).

Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.

2) Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Tần số ghép nhóm của nhóm [30;40) là 27.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [30;40) là .

2) Không gian mẫu của phép thử là . Do đó, .

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố X là AC; AD; AE.

Xác suất của biến cố X là .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và với , .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

2) Chứng minh .

3) Tìm tất cả các giá trị của x để .

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 9 vào A.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn rồi giải để tìm x.

Lời giải

1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được:

.

Vậy khi x = 9 thì .

2) (với , )

.

Vậy với , .

3) (với , ).

Để thì:

.

Mà với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định nên:

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy để thì x = 4.

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Có hai loại dung dịch acid cùng loại có nồng độ acid lần lượt là 10% và 20%, trộn hai dung dịch acid đó để được 0,5 kg dung dịch có nồng độ acid là 16%. Hỏi cần dùng bao nhiêu gam mỗi loại dung dịch acid nói trên?

2) Xe máy thứ nhất đi quãng đường từ Hà Nội về Nam Định hết 3 giờ 20 phút. Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai là 3 km. Tính vận tốc của mỗi xe máy và quãng đường từ Hà Nội về Nam Định.

3) Cho phương trình có hai nghiệm , . Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức .

Phương pháp

1) Gọi khối lượng dung dịch acid có nồng độ 10%, nồng độ 20% cần dùng lần lượt là x, y (0 < x, y < 500; đơn vị: gam).

Biểu diễn khối lượng dung dịch theo hai biến x, y.

Lập hệ phương trình, giải hệ để tìm x, y.

2) Gọi x là vận tốc của xe máy thứ nhất (x > 0, đơn vị: km/h).

Biểu diễn quãng đường di chuyển của hai xe máy theo x.

Vì cả hai xe cùng di chuyển từ Hà Nội về Nam Định (cùng quãng đường) nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm x, kiểm tra điều kiện và kết luận.

3) Kiểm tra sự tồn tại của dựa vào .

Biến đổi biểu thức A và áp dụng định lí Viète: ; .

Lời giải

1) Đổi: 0,5 kg = 500 g.

Gọi khối lượng dung dịch acid có nồng độ 10% đem trộn là x (0 < x < 500, đơn vị: gam).

Gọi khối lượng dung dịch acid có nồng độ 20% đem trộn là y (0 < y < 500, đơn vị: gam).

Vì trộn x (g) dung dịch acid nồng độ 10% với y (g) dung dịch acid nồng độ 20% được 500 g acid mới nên ta có phương trình: (1)

Vì trộn hai dung dịch acid cùng loại có nồng độ lần lượt là 10% và 20% được 500 g dung dịch có nồng độ 16% nên ta có phương trình: , rút gọn được (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ:

Giải hệ phương trình, được x = 200 và y = 300 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy ta cần lượng dung dịch acid loại có nồng độ 10% là 200 g, lượng dung dịch acid loại có nồng độ 20% là 300 g.

2) Đổi: 3 giờ 20 phút = giờ, 3 giờ 40 phút = giờ.

Gọi vận tốc của xe máy thứ nhất là x (km/h), khi đó vận tốc của xe máy thứ hai là x – 3 (km/h).

Điều kiện: x > 3.

Xe máy thứ nhất đi từ Hà Nội về Nam Định với tốc độ x (km/h) trong thời gian (giờ); xe máy thứ hai đi cùng quãng đường với tốc độ x – 3 (km/h) trong thời gian (giờ). Do đó, quãng đường từ Hà Nội đến Nam Định là:

(thỏa mãn).

Vậy tốc độ của xe máy thứ nhất là 33 km/h, tốc độ của xe máy thứ hai là 30 km/h, quãng đường từ Hà Nội về Nam Định là km.

3) Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm , .

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

.

Vậy .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một hộp đựng bóng có dạng hình trụ đựng được vừa khít 3 quả bóng như hình vẽ bên. Coi quả bóng có dạng hình cầu với đường kính 6 cm.

a) Tính thể tích hộp đựng.

b) Tính thể tích phần khoảng không trong hộp.

2) Từ điểm A nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính CD của (O).

a) Chứng minh BD // AO.

b) AD cắt (O) tại E (A, E, D theo thứ tự). Chứng minh rằng .

c) Vẽ tại H. Gọi I là trung điểm của BH. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.

Phương pháp

1)

a) Tính chiều cao, bán kính của hộp dựa vào số các quả bóng vừa khít trong hộp.

Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ: .

b) Tính thể tích 3 quả bóng trong hộp.

Lấy thể tích hộp trừ đi thể tích 3 quả bóng, ta được thể tích phần trống trong hộp.

2)

a) Chứng minh OA và BD cùng vuông góc với BC, suy ra OA // BD.

b) Chứng minh , suy ra , mà AB = AC nên .

c) Chứng minh , suy ra .

Từ đó, chứng minh , suy ra hai tia DI và DA trùng nhau.

Kết luận A, I, D thẳng hàng.

Lời giải

1)

a) Chiều cao của hộp là: 6.3 = 18 (cm).

Bán kính của đáy hộp là: 6 : 2 = 3 (cm).

Thể tích hộp là: .

b) Thể tích 3 quả bóng là: .

Tính thể tích phần khoảng không trong hộp là: .

2)

a) Gọi M là giao điểm của OA và BC.

Vì B thuộc (O) có đường kính CD nên , hay (1)

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là tia phân giác của .

Mà cân tại O (do OB = OC), suy ra OM vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của .

Do đó (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA // BD (cùng vuông góc với BC).

b) Vì E thuộc (O) có đường kính CD nên , hay .

Xét và :

+ ;

+ chung.

Suy ra  (g.g), do đó , suy ra .

Mà AB = AC nên .

c) Vì BD // AO (chứng minh trên) nên (góc đồng vị).

Xét và :

+ ;

+ (chứng minh trên).

Suy ra  (g.g), do đó , vì vậy .

Mà CD = 2OC, BH = 2HI (vì O, I lần lượt là trung điểm của CD, BH).

Suy ra , do đó .

Xét và :

+ ;

+ (chứng minh trên).

Suy ra  (c.g.c), khi đó , tức hai tia DI, DA trùng nhau.

Vậy ba điểm A, I, D thẳng hàng.

Câu 5: (0,5 điểm) Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích và giá mỗi mét vuông thép là 500 nghìn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Phương pháp

Gọi bán kính đáy bồn chứa là r (mét, r > 0), chiều cao bồn chứa là h (mét, h > 0).

Tính h theo r. Lập công thức tính diện tích toàn phần của bồn chứa theo r.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương để tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất của bồn chứa.

Tính giá tiền ứng với diện tích xung quanh nhỏ nhất vừa tìm được.

Lời giải

Gọi bán kính đáy bồn chứa là r (mét, r > 0), chiều cao bồn chứa là h (mét, h > 0).

Thể tích bồn chứa là , suy ra (m).

Diện tích toàn phần của bồn chứa là:

.

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có:

(bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương)

.

Dấu “=” xảy ra khi

.

Khi đó số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là (đồng).

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Nam thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) mình đi bộ mỗi ngày trong tháng 9 và biểu diễn dưới dạng biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm sau:

Tìm nhóm có tần số tương đối ghép nhóm lớn nhất. Xác định tần số của nhóm đó.

2) Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên bi đó các số 1, 2, 3, …, 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”. Tính xác suất biến cố “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1”.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức , với , .

1) Tính giá trị biểu thức A tại x = 9.

2) Chứng minh .

3) Cho P = A.B. Tìm các giá trị nguyên của x để |P| + P = 0.

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Tổng giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

2) Một xí nghiệp sản xuất nước mắm dự định thu mua 120 tấn cá trong một thời gian nhất định. Nhờ đổi mới phương pháp thu mua, xí nghiệp đã mua vượt mức 6 tấn mỗi tuần. Vì vậy, xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần và vượt mức 10 tấn cá. Tính số cá mà xí nghiệp phải mua mỗi tuần theo kế hoạch.

3) Cho phương trình có hai nghiệm là , . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy r = 10 (cm), chiều cao h = 20 (cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu có bán kính 10 (cm) như hình vẽ.

a) Tính thể tích của khối gỗ khi chưa khoét.

b) Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại sau khi khoét (diện tích cả ngoài lẫn trong).

Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

2) Cho đường tròn (O), dây CD cố định. Gọi B là điểm chính giữa cung nhỏ CD, kẻ đường kính AB cắt CD tại I. Lấy điểm H bất kì trên cung lớn CD, HB cắt CD tại E. Đường thẳng AH cắt CD tại P.

a) Chứng minh tứ giác PHIB nội tiếp.

b) Chứng minh AH.AP = AI.AB.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và BP. Kẻ , cắt AB tại M, cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh N, I, H thẳng hàng.

Câu 5: (0,5 điểm) Một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a (cm), người ta muốn cắt đi ở bốn góc bốn hình vuông cạnh bằng x (cm) để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Nam thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) mình đi bộ mỗi ngày trong tháng 9 và biểu diễn dưới dạng biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm sau:

Tìm nhóm có tần số tương đối ghép nhóm lớn nhất. Xác định tần số của nhóm đó.

2) Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên bi đó các số 1, 2, 3, …, 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”. Tính xác suất biến cố “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1”.

Phương pháp

1) Xác định nhóm có tần số tương đối ghép nhóm lớn nhất.

Tần số của nhóm = tổng . tần số tương đối.

2) Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Nhóm có tần số tương đối ghép nhóm lớn nhất là [5;6) với tần số tương đối ghép nhóm là 40%.

Vì tháng 9 có 30 ngày nên có tất cả 30 số liệu trong mẫu số liệu.

Tần số của nhóm [5;6) là: n = 30.40% = 12.

2) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra là: , suy ra .

Gọi T: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1”.

Các kết quả thuận lợi cho T là: 1; 8; 15. Do đó .

Vậy xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1” là .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức , với , .

1) Tính giá trị biểu thức A tại x = 9.

2) Chứng minh .

3) Cho P = A.B. Tìm các giá trị nguyên của x để |P| + P = 0.

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 9 vào A.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn P. Lập luận suy ra . Giải bất phương trình, kết hợp ĐKXĐ để tìm x.

Lời giải

1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được:

.

Vậy khi x = 9 thì .

2) (, )

(đpcm).

3) .

Ta có |P| + P = 0, suy ra |P| = -P. Do đó, .

Suy ra . Mà nên

.

Kết hợp với điều kiện , và x nguyên ta có các giá trị thỏa mãn.

Vậy để |P| + P = 0 thì .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Tổng giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

2) Một xí nghiệp sản xuất nước mắm dự định thu mua 120 tấn cá trong một thời gian nhất định. Nhờ đổi mới phương pháp thu mua, xí nghiệp đã mua vượt mức 6 tấn mỗi tuần. Vì vậy, xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần và vượt mức 10 tấn cá. Tính số cá mà xí nghiệp phải mua mỗi tuần theo kế hoạch.

3) Cho phương trình có hai nghiệm là , . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Phương pháp

1) Gọi giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt lần lượt là x, y (triệu đồng; 0 < x < 25,4, 0 < y < 25,4).

Biểu diễn tổng số tiền mua tủ lạnh và máy giặt trước và sau khi giảm giá.

Lập hệ phương trình, giải hệ tìm x, y.

2) Gọi số cá mà xí nghiệp phải mua mỗi tuần theo kế hoạch là x (tấn; 0 < x < 120).

Biểu diễn số tuần xí nghiệp phải thu mua cá theo kế hoạch và thực tế.

Vì xí nghiệp hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm x, kiểm tra điều kiện và kết luận.

3) Kiểm tra sự tồn tại của dựa vào .

Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: ; .

Lời giải

1) Gọi giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt lần lượt là x, y (triệu đồng; 0 < x < 25, 0 < y < 25).

Vì tổng giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt là 25,4 triệu đồng nên ta có phương trình:

(1)

Do tủ lạnh được giảm 40% giá niêm yết nên giá của một chiếc tủ lạnh sau giảm giá là:

(triệu đồng).

Do máy giặt được giảm 25% giá niêm yết nên giá của một chiếc máy giặt sau giảm giá là:

(triệu đồng).

Cô Liên mua một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt hết 16,77 triệu đồng sau giảm giá nên ta có phương trình:

(2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ, được x = 15,2 và y = 10,2 (đều TMĐK).

Vậy giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và giá niêm yết của một chiếc máy giặt là 10,2 triệu đồng.

2) Gọi số cá mà xí nghiệp phải mua mỗi tuần theo kế hoạch là x (tấn; 0 < x < 120).

Số tuần xí nghiệp đó định mua cá là tuần.

Thực tế, mỗi tuần xí nghiệp đó thu mua được x + 6 tấn cá.

Tổng số cá vượt mức kế hoạch 10 tấn nên xí nghiệp đó đã thu mua tất cả 120 + 10 = 130 tấn cá.

Do đó, thực tế số tuần xí nghiệp thu mua cá là tuần.

Vì xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần nên ta có phương trình:

Giải phương trình trên, được x = 20 (thỏa mãn) và x = -36 (không thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch, mỗi tuần xí nghiệp phải thu mua 20 tấn cá.

3) Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm , .

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

.

Vậy .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy r = 10 (cm), chiều cao h = 20 (cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu có bán kính 10 (cm) như hình vẽ.

a) Tính thể tích của khối gỗ khi chưa khoét.

b) Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại sau khi khoét (diện tích cả ngoài lẫn trong).

Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

2) Cho đường tròn (O), dây CD cố định. Gọi B là điểm chính giữa cung nhỏ CD, kẻ đường kính AB cắt CD tại I. Lấy điểm H bất kì trên cung lớn CD, HB cắt CD tại E. Đường thẳng AH cắt CD tại P.

a) Chứng minh tứ giác PHIB nội tiếp.

b) Chứng minh AH.AP = AI.AB.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và BP. Kẻ , cắt AB tại M, cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh N, I, H thẳng hàng.

Phương pháp

1)

a) Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ: .

b) Diện tích bề mặt khối gỗ sau khi khoét gồm diện tích xung quanh hình trụ ban đầu và diện tích hai nửa mặt cầu đã khoét.

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ và mặt cầu: ; .

2)

a) Chứng minh .

b) Chứng minh  (g.g), suy ra rồi kết luận.

c) Chứng minh , suy ra rồi kết luận.

Lời giải

1)

a) Thể tích khối gỗ lúc chưa khoét là: .

b) Diện tích bề mặt khối gỗ sau khi khoét gồm diện tích xung quanh hình trụ ban đầu và diện tích hai nửa mặt cầu đã khoét.

.

2)

a) Vì B là điểm chính giữa cung nhỏ CD nên B cách đều C và D.

Mà C, D thuộc (O) nên O cũng cách đều C và D.

Do đó, OB là đường trung trực của đoạn thẳng CD, suy ra .

Vì vậy, I thuộc đường tròn đường kính PB.

Mặt khác, H thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên .

Do đó, H thuộc đường tròn đường kính PB.

Vì I, H cùng thuộc đường tròn đường kính PB nên tứ giác PHIB nội tiếp.

b) Tứ giác PHIB nội tiếp nên , mà (góc kề bù), suy ra .

Xét và có:

+ chung;

+ (chứng minh trên).

Suy ra  (g.g), do đó , vì vậy AH.AP = AI.AB.

c) Xét có hai đường cao PI và BH cắt nhau tại E, do đó E là trực tâm .

Suy ra AK cũng là đường cao của , do đó và K thuộc (O).

Ta có nên K, I cùng thuộc đường tròn đường kính EB, hay tứ giác EIBK nội tiếp.

Suy ra (góc nội tiếp cùng chắn cung EK).

Mặt khác, do tứ giác PHIB nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung PH).

Suy ra (1)

Xét cân tại O có OM là đường cao, do đó OM đồng thời là đường trung trực của đoạn KN.

Vì I thuộc đường trung trực OM của đoạn thẳng KN nên IK = IN, suy ra cân tại I.

cân tại I có IM là đường trung tuyến, đồng thời là phân giác của .

Do đó , suy ra , ta được (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Mặt khác (góc kề bù), suy ra , hay .

Vậy H, I, N thẳng hàng.

Câu 5: (0,5 điểm) Một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a (cm), người ta muốn cắt đi ở bốn góc bốn hình vuông cạnh bằng x (cm) để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

Phương pháp

Biểu diễn thể tích hình hộp sau khi cắt góc theo x.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, tìm x.

Lời giải

Vì cạnh hình vuông bị cắt là x (cm) nên ta có điều kiện: 0 < x < a (cm).

Chiều dài cạnh miếng tôn sau khi cắt là a – 2x (cm), chiều cao hộp là x (cm).

Thể tích hình hộp là .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có:

.

Dấu “=” xảy ra khi 4x = a – 2x, suy ra (cm).

Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt 4 góc hình vuông cạnh (cm).

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh lớp 9 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tính tần số tương đối của nhóm [40;60) (làm tròn đến hàng phần mười).

2) Hình dưới đây mô tả một đĩa tròn, cân đối bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau và ghi các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một lần. Tính xác suất của biến cố sau: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của 8”.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức ; với x > 0; .

1) Tính M khi x = 0,49.

2) Chứng minh .

3) Đặt . So sánh Q với 3.

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi nước chảy một mình thì sau bao nhiêu giờ mới đầy bể?

2) Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 100 km với vận tốc xác định. Khi từ B trở về A, người đó đi theo đường khác dài hơn đường cũ 20 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi mỗi giờ 20 km. Vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.

3) Biết phương trình bậc hai có một nghiệm là . Tìm tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình trên.

Câu 4: (4 điểm)

1) Một téc nước hình trụ tròn có bán kính 60 cm, chiều cao 220 cm.

a) Diện tích inox cần làm ra cái téc nước (có nắp) là bao nhiêu mét vuông (giả sử phần nắp cong không đáng kể)?

b) Téc nước hình trụ có thể chứa tối đa bao nhiêu lít nước?

Các kết quả làm tròn tới hàng phần trăm.

2) Cho (O) đường kính AB. Kẻ đường kính CD vuông góc với AB. Lấy M thuộc cung nhỏ BC, AM cắt CD tại E. Qua D kẻ tiếp tuyến với (O) cắt đường thẳng BM tại N. Gọi P là hình chiếu vuông góc của B lên DN.

a) Chứng minh các điểm M, N, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh EN // CB.

c) Chứng minh và tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác BNC đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5: (0,5 điểm) Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình chữ nhật có thể tích 500 , chiều cao của hộp là 2 cm. Tìm kích thước đáy của hộp sao cho sử dụng ít vật liệu nhất.

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh lớp 9 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tính tần số tương đối của nhóm [40;60) (làm tròn đến hàng phần mười).

2) Hình dưới đây mô tả một đĩa tròn, cân đối bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau và ghi các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một lần. Tính xác suất của biến cố sau: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của 8”.

Phương pháp

1) Tính tổng số học sinh.

Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.

2) Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Tổng số học sinh là: 8 + 9 + 11 + 8 = 36.

Tần số tương đối của nhóm [40;60) là .

2) Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi A là biến cố “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của 8”.

Các kết quả thuận lợi cho A là 1; 2; 4; 8. Suy ra n(A) = 4.

Xác suất của biến cố A là .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức ; với x > 0; .

1) Tính M khi x = 0,49.

2) Chứng minh .

3) Đặt . So sánh Q với 3.

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 0,49 vào M.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn rồi xét hiệu Q – 3.

Lời giải

1) Thay x = 0,49 (thỏa mãn điều kiện) vào M, ta được:

.

Vậy khi x = 0,49 thì .

2) (với x > 0; ).

(đpcm).

3) .

Xét hiệu .

Với x > 0; thì hay Q > 3.

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi nước chảy một mình thì sau bao nhiêu giờ mới đầy bể?

2) Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 100 km với vận tốc xác định. Khi từ B trở về A, người đó đi theo đường khác dài hơn đường cũ 20 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi mỗi giờ 20 km. Vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.

3) Biết phương trình bậc hai có một nghiệm là . Tìm tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình trên.

Phương pháp

1) Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đẩy bể lần lượt là x và y (giờ; x, y > 5).

Biểu diễn lượng nước mỗi vòi chảy được theo thời gian đề bài cho và lập hệ phương trình ẩn x, y.

Giải hệ phương trình tìm x, y và kết luận.

2) Gọi vận tốc lúc đi là x (km; x > 0).

Biểu diễn thời gian lúc đi và lúc về theo x.

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút nên ta lập được phương trình ẩn x.

Giải phương trình và kết luận.

3) Thay nghiệm vào phương trình, tính a.

Tổng lập phương các nghiệm là .

Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: ; .

Lời giải

1) Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đẩy bể lần lượt là x và y (giờ; x, y > 5).

Trong 1 giờ, vòi I chảy được bể, vòi II chảy được bể.

Hai vòi cùng chảy sau 5 giờ thì đầy bể, suy ra trong 1 giờ, hai vòi cùng chảy được bể.

Ta có phương trình (1)

Trong 3 giờ, vòi I chảy được bể. Trong 4 giờ, vòi II chảy được bể.

Vì vòi I chảy trong 3 giờ và vòi II chảy trong 4 giờ được bể nên ta có phương trình (2)

Ta có hệ

Giải hệ phương trình được , , suy ra x = 7,5 và y = 15 (thỏa mãn).

Vậy vòi I chảy một mình mất 7,5 giờ để đầy bể, vòi II chảy một mình mất 15 giờ để đầy bể.

2) Gọi vận tốc lúc đi là x (km; x > 0).

Thời gian lúc đi là (giờ).

Quãng đường lúc về là 100 + 20 = 120 (km).

Vận tốc lúc về là x + 20 (km/h).

Thời gian lúc về là (giờ).

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút = giờ nên ta có:

Giải phương trình trên, ta được x = 40 (thỏa mãn) và x = -100 (loại).

Vậy vận tốc lúc đi là 40 km/h.

3) Vì là một nghiệm của phương trình nên thay nghiệm đó vào phương trình, ta được , suy ra a = 3.

Vậy phương trình là .

Gọi , là hai nghiệm của phương trình.

Áp dụng hệ thức Viète:

Ta có

.

Vậy tổng lập phương các nghiệm là -80.

Câu 4: (4 điểm)

1) Một téc nước hình trụ tròn có bán kính 60 cm, chiều cao 220 cm.

a) Diện tích inox cần làm ra cái téc nước (có nắp) là bao nhiêu mét vuông (giả sử phần nắp cong không đáng kể)?

b) Téc nước hình trụ có thể chứa tối đa bao nhiêu lít nước?

Các kết quả làm tròn tới hàng phần trăm.

2) Cho (O) đường kính AB. Kẻ đường kính CD vuông góc với AB. Lấy M thuộc cung nhỏ BC, AM cắt CD tại E. Qua D kẻ tiếp tuyến với (O) cắt đường thẳng BM tại N. Gọi P là hình chiếu vuông góc của B lên DN.

a) Chứng minh các điểm M, N, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh EN // CB.

c) Chứng minh và tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác BNC đạt giá trị lớn nhất.

Phương pháp

1)

a) Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần hình trụ: .

b) Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ: .

2)

a) Chứng minh .

b) Chứng minh .

c)

- Để chứng minh :

+ Chứng minh , suy ra , từ đó được

+ Chứng minh OBPD là hình vuông, suy ra BP = OB = R.

+ Biến đổi các đẳng thức trên và kết luận.

- Để tìm M trên cung nhỏ BC sao cho diện tích tam giác BNC đạt giá trị lớn nhất:

+ Kẻ , (F, K thuộc đường thẳng BC). Chứng minh EF = NK.

+ max khi EF = NK max.

+ Kết luận vị trí điểm M.

Lời giải

1)

a) Diện tích inox cần làm ra cái téc nước (có nắp) là diện tích toàn phần của hình trụ.

.

b) Thể tích téc nước là (lít).

2)

a) Vì M thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên .

Mặt khác, DN là tiếp tuyến của (O) tại D nên đường kính , do đó .

Có nên D, M cùng thuộc đường tròn đường kính EN.

Vậy M, N, E, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Vì tứ giác MNDE nội tiếp (chứng minh trên) nên (góc nội tiếp cùng chắn cung DN).

Mặt khác, xét (O) có .

Do đó , mà hai góc trên ở vị trí đồng vị nên EN // BC.

c) Xét tứ giác OBPD có OB // DP (cùng vuông góc với CD), OD // BP (cùng vuông góc với DN) suy ra OBPD là hình bình hành.

Mặt khác, và OB = OD nên OBPD là hình vuông, suy ra BP = OB = R.

Ta có AB // DN (cùng vuông góc với CD) nên (góc đồng vị).

Xét và :

+ (chứng minh trên);

+ .

Do đó  (g.g), suy ra

(đpcm).

Kẻ , (F, K thuộc đường thẳng BC).

Xét từ giác EFKN có EN // FK, EF // NK (cùng vuông góc với BC), do đó EFKN là hình bình hành.

Mặt khác, nên EFKN là hình chữ nhật, suy ra EF = NK.

Diện tích tam giác NBC là .

Do BC không đổi nên max khi và chỉ khi NK = EF max. Khi đó, E trùng O và M trùng B.

Vậy, để diện tích tam giác NBC lớn nhất thì M trùng B.

Câu 5: (0,5 điểm) Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình chữ nhật có thể tích 500 , chiều cao của hộp là 2 cm. Tìm kích thước đáy của hộp sao cho sử dụng ít vật liệu nhất.

Phương pháp

Gọi chiều rộng của đáy hộp là x (x > 0, cm).

Lập công thức tính diện tích toàn phần hình hộp theo x.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm x sao cho diện tích toàn phần hộp nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi chiều rộng của đáy hộp là x (x > 0, cm). Khi đó, chiều dài đáy hộp là (cm).

Diện tích toàn phần của hộp là:

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương và :

.

Dấu “=” xảy ra khi , suy ra .

Vậy để sử dụng ít vật liệu nhất thì chiều rộng và chiều dài đáy hộp là cm.

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây ghi lại tốc độ (đơn vị: km/h) của 44 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ.

Hãy cho biết số lượng ô tô ở nhóm nào nhiều nhất, tính tần số tương đối ghép nhóm đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

2) Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên bi đó các số 1, 2, 3, …, 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”. Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi lấy ra chia 7 dư 2”.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức và với , , .

1) Tính giá trị của A khi x = 16.

2) Chứng minh .

3) Cho P = A : B. Tìm x để .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Trong một thí nghiệm, Bình muốn pha để được 36 ml dung dịch HCl nồng độ 12%. Trong phòng thí nghiệm chỉ có sẵn dung dịch HCl nồng độ 8% và dung dịch HCl nồng độ 20%. Hỏi Bình cần sử dụng bao nhiêu mililit mỗi loại dung dịch để có được dung dịch mong muốn?

2) Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến. Trong thực tế, do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

3) Biết rằng phương trình bậc hai có một nghiệm . Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Câu 4: (4 điểm)

1) Một cốc nước có dạng hình trụ với đường kính đáy bằng 8 cm, chiều cao 12 cm và chứa một lượng nước cao 10 cm.

a) Tính thể tích lượng nước chứa trong cốc (làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Người ta thả từ từ một viên bi làm bằng thép đặc (không thấm nước) có thể tích là vào trong cốc. Hỏi mực nước trong cốc lúc này là bao nhiêu cm?

2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AQ của đường tròn (O) cắt cạnh BC tại I.

a) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Gọi P là giao điểm của AH và EF. Chứng minh đồng dạng với và PI song song với HQ.

Câu 5: (0,5 điểm) Một bể bơi mini có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy MNPQ là hình vuông. Hãy tìm độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể bơi sao cho tổng diện tích các mặt làm bể bơi (bao gồm 4 mặt xung quanh và một mặt đáy) là nhỏ nhất, biết rằng thể tích của bể bơi là 4 .

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây ghi lại tốc độ (đơn vị: km/h) của 44 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ.

Hãy cho biết số lượng ô tô ở nhóm nào nhiều nhất, tính tần số tương đối ghép nhóm đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

2) Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên bi đó các số 1, 2, 3, …, 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”. Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi lấy ra chia 7 dư 2”.

Phương pháp

1) Xác định nhóm có lượng ô tô nhiều nhất.

Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.

2) Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Nhóm có tần số lớn nhất là [45;50), với tần số là 14.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [45;50) là .

2) Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi A là biến cố “Số xuất hiện trên viên bi lấy ra chia 7 dư 2”.

Các kết quả thuận lợi cho A là 2; 9; 16. Suy ra n(A) = 3.

Xác suất của biến cố A là .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức và với , , .

1) Tính giá trị của A khi x = 16.

2) Chứng minh .

3) Cho P = A : B. Tìm x để .

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 16 vào A.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn P = A : B giải bất phương trình .

Lời giải

1) Thay x = 16 (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được:

.

Vậy khi x = 16 thì A = 3.

2) (với , , )

(đpcm).

3) .

Ta có

(vì )

.

Kết hợp ĐK, ta có , , thì .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Trong một thí nghiệm, Bình muốn pha để được 36 ml dung dịch HCl nồng độ 12%. Trong phòng thí nghiệm chỉ có sẵn dung dịch HCl nồng độ 8% và dung dịch HCl nồng độ 20%. Hỏi Bình cần sử dụng bao nhiêu mililit mỗi loại dung dịch để có được dung dịch mong muốn?

2) Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến. Trong thực tế, do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

3) Biết rằng phương trình bậc hai có một nghiệm . Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Phương pháp

1) Gọi số ml dung dịch HCl nồng độ 8% và 20% cần sử dụng để tạo thành 36 ml dung dịch HCl nồng độ 12% lần lượt là x và y (x, y > 0).

Biểu diễn lượng dung dịch theo x, y.

Lập hệ phương trình, giải hệ để tìm x, y.

2) Gọi số sản phẩm mỗi ngày xí nghiệp phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm; , x < 75).

Biểu diễn thời xí nghiệp sản xuất theo kế hoạch và trên thực tế.

Vì xí nghiệp hoàn thành kế hoạch sớm 1 ngày nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình và kết luận.

3) Thay nghiệm vào phương trình, tính m.

Tổng bình phương hai nghiệm là .

Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: ; .

Lời giải

1) Gọi số ml dung dịch HCl nồng độ 8% và 20% cần sử dụng để tạo thành 36 ml dung dịch HCl nồng độ 12% lần lượt là x và y (x, y > 0).

Vì Bình muốn pha 36 ml dung dịch HCl nồng độ 12% nên ta có phương trình (1)

Mặt khác, Bình muốn pha 36 ml dung dịch HCl nồng độ 12% từ các dung dịch HCl 8% và 20% nên ta có phương trình hay (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

Giải hệ được x = 24 (TM) và y = 12 (TM).

Vậy Bình cần 24 ml dung dịch HCl 8% và 12 ml dung dịch HCl 20% để pha chế 36 ml dung  dịch HCl 12%.

2) Gọi số sản phẩm mỗi ngày xí nghiệp phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm; , x < 75).

Thời gian hoàn thành sản xuất 75 sản phẩm theo kế hoạch là (ngày).

Thực tế, mỗi ngày xí nghiệp làm được x + 5 sản phẩm, tổng cộng được 80 sản phẩm.

Thực tế, thời gian hoàn thành kế hoạch là (ngày).

Xí nghiệp hoàn thành sớm 1 ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:

Giải phương trình trên, ta được x = 15 (TM) và x = -25 (loại).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất 15 sản phẩm.

3) Thay vào phương trình , được:

.

Phương trình bậc hai đã cho là .

Gọi , là hai nghiệm của phương trình.

Áp dụng hệ thức Viète:

Ta có .

Vậy tổng bình phương hai nghiệm của phương trình là .

Câu 4: (4 điểm)

1) Một cốc nước có dạng hình trụ với đường kính đáy bằng 8 cm, chiều cao 12 cm và chứa một lượng nước cao 10 cm.

a) Tính thể tích lượng nước chứa trong cốc (làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Người ta thả từ từ một viên bi làm bằng thép đặc (không thấm nước) có thể tích là vào trong cốc. Hỏi mực nước trong cốc lúc này là bao nhiêu cm?

2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AQ của đường tròn (O) cắt cạnh BC tại I.

a) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Gọi P là giao điểm của AH và EF. Chứng minh đồng dạng với và PI song song với HQ.

Phương pháp

1)

a) Tính bán kính đáy cốc.

Tính thể tích lượng nước áp dụng công thức thể tích hình trụ .

b) Gọi là chiều cao nước dâng thêm.

Thể tích nước dâng thêm bằng thể tích viên bi nên ta tìm được .

Mực nước hiện tại bằng .

2)

a) Chứng minh suy ra A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

b) Chứng minh (cùng bằng ) và . Từ đó suy ra .

c) đồng dạng với : Chứng minh và .

PI // HQ: Chứng minh và áp dụng định lí Thalès đảo để kết luận.

Lời giải

1)

a) Bán kính đáy cốc nước là r = 8 : 2 = 4 (cm); mực nước ban đầu là h = 10 (cm).

Thể tích lượng nước chứa trong cốc là .

b) Gọi là chiều cao nước dâng thêm.

Thể tích nước dâng thêm bằng thể tích viên bi nên

(cm).

Vậy mực nước trong cốc sau khi thả viên bi là 10 + 0,25 = 10,25 (cm).

2)

a) BE, CF là đường cao của tam giác ABC nên , .

Vì nên E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Vậy A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

b) Có (cùng phụ với ) (1)

Vì B thuộc đường tròn (O) đường kính AQ nên , suy ra .

Mà nên BQ // CF. Do đó, (góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Mặt khác, (góc nội tiếp chắn cung QC).

Do đó (đpcm).

c) Từ chứng minh trên, ta có

.

Vì nên F, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC, hay tứ giác BFEC nội tiếp.

Suy ra (hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mặt khác (góc kề bù).

Do đó (cùng bù với ) (3)

Xét và , có:

+ ;

+ (chứng minh trên).

Suy ra (g.g) (đpcm), do đó (4)

Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung FB).

Mà (chứng minh trên) nên (5)

Từ (4) và (5) suy ra , do đó .

Xét và , có:

+ ;

+ .

.Suy ra (g.g) (đpcm), do đó (6)

Từ (4) và (6) suy ra hay .

Vậy PI // HQ (định lí Thalès đảo).

Câu 5: (0,5 điểm) Một bể bơi mini có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy MNPQ là hình vuông. Hãy tìm độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể bơi sao cho tổng diện tích các mặt làm bể bơi (bao gồm 4 mặt xung quanh và một mặt đáy) là nhỏ nhất, biết rằng thể tích của bể bơi là 4 .

Phương pháp

Gọi độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể bơi lần lượt là x và y (mét; x > 0, y > 0).

Biểu diễn y theo x.

Biểu diễn diện tích các mặt của bể bơi theo x.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, tìm x để diện tích nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể bơi lần lượt là x và y (mét; x > 0, y > 0).

Do thể tích bể bơi là 4 nên hay .

Tổng diện tích các mặt của bể bơi là:

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương , và , ta được:

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi , suy ra x = 2, y = 1.

Vậy để tổng diện tích các mặt làm bể bơi là nhỏ nhất thì MN = 2 (m), AM = 1 (m).

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kilogam) có kết quả như sau:

Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [50;55), [55;60), [60;65), [65;70), [70;75). Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên và tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55).

2) Một hộp đựng 20 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của 4”.

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và (với , ).

1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9.

2) Rút gọn biểu thức P.

3) Biết . Tìm các giá trị của x để M = 18.

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Mai mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 165 000 đồng, trong đó đã tính 15 000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT). Biết rằng thuế VAT với loại hàng thứ nhất là 12%, thuế VAT với loại hàng thứ hai là 9%. Hỏi nếu không kể thuế thì Mai phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

2) Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoàng Hoa Thám dự định trồng 300 cây xanh. Đến ngày lao động, có 5 bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?

3) Phương trình (m là tham số) có một nghiệm là . Tính giá trị của biểu thức .

Câu 4: (4 điểm)

1) Trong truyện ngụ ngôn La Phông ten, Cò mời Cáo đến ăn tiệc với món súp hảo hạng. Món súp đó Cò thường cho vào một cái bình hình trụ, có bán kính đáy là 4 cm, chiều cao 30 cm. Nhưng khi Cáo đến, Cò chỉ đổ súp sao cho phần súp trong bình đó cao 10 cm và mới Cáo dùng bữa.

a) Tính thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn.

b) Cổ của Cáo quá ngắn nên không thể lấy được súp, Cáo nhìn quanh và phát hiện ra nhà Cò có những viên sỏi hình cầu giống hệt nhau, bán kính 2 cm. Cáo bèn cho từng viên sỏi vào bình súp đến khi súp dâng lên vừa đầy đến miệng bình rồi Cáo thảnh thơi ăn súp. Hỏi Cáo đã cho vào bình bao nhiêu viên sỏi?

2) Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E (điểm A thuộc cung nhỏ MN). Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt (O;R) tại điểm K (K khác B).

a) Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh .

c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI. Chứng minh C cách đều ba cạnh của .

Câu 5: (0,5 điểm) Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là 62,5 . Để tiết kiệm vật gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kilogam) có kết quả như sau:

Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [50;55), [55;60), [60;65), [65;70), [70;75). Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên và tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55).

2) Một hộp đựng 20 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của 4”.

Phương pháp

1) Xác định tần số cho các nhóm để lập bảng tần số ghép nhóm.

Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.

2) Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.

Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

1) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên:

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55) là .

2) Số phần tử của không gian mẫu là .

Kết quả thuận lợi cho biến cố A là {4; 8; 12; 16; 20}, suy ra n(A) = 5.

Vậy xác suất của biến cố A là .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và (với , ).

1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9.

2) Rút gọn biểu thức P.

3) Biết . Tìm các giá trị của x để M = 18.

Phương pháp

1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 9 vào Q.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn rồi giải phương trình M = 18.

Lời giải

1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào Q, ta được:

.

Vậy khi x = 9 thì .

2) (với , )

.

3) .

Để M = 18 thì

.

Giải phương trình trên, ta được hoặc .

Suy ra x = 9 hoặc x = 36 (cả hai nghiệm đều thỏa mãn).

Vậy để M = 18 thì .

Câu 3: (2,5 điểm)

1) Mai mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 165 000 đồng, trong đó đã tính 15 000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT). Biết rằng thuế VAT với loại hàng thứ nhất là 12%, thuế VAT với loại hàng thứ hai là 9%. Hỏi nếu không kể thuế thì Mai phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

2) Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoàng Hoa Thám dự định trồng 300 cây xanh. Đến ngày lao động, có 5 bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?

3) Phương trình (m là tham số) có một nghiệm là . Tính giá trị của biểu thức .

Phương pháp

1) Gọi x, y lần lượt là số tiền của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT mà Mai đã mua (đồng; x , y > 0).

Biểu diễn tổng số tiền Mai phải trả và tổng số tiền thuế theo x, y.

Lập hệ phương trình, giải hệ tìm x, y.

2) Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh; , x > 5).

Biểu diễn số cây mỗi học sinh phải trồng theo kế hoạch và thực tế.

Vì thực tế mỗi học sinh phải trồng thêm 2 cây so với kế hoạch nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình và kết luận.

3) Thay nghiệm vào phương trình, tính m.

Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: ; .

Lời giải

1) Gọi x, y lần lượt là số tiền của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT mà Mai đã mua (đồng; x , y > 0).

Số tiền thuế của hai loại hàng lần lượt là 12%x = 0,12x (đồng) và 9%y = 0,09y (đồng).

Vì tổng số tiền thuế là 15 000 đồng nên ta có phương trình (1)

Số tiền mua loại hàng thứ nhất sau tính thuế là x + 0,12x = 1,12x (đồng), số tiền mua loại hàng thứ hai sau tính thuế là y + 0,09y = 1,09y (đồng).

Vì số tiền phải trả tổng cộng là 165 000 cả thuế nên ta có phương trình (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải hệ trên, ta được x = 50 000 (thỏa mãn) và y = 100 000 (thỏa mãn).

Vậy giá tiền không kể thuế của loại hàng thứ nhất là 50 000 đồng, giá tiền không kể thuế của loại hàng thứ hai là 100 000 đồng.

2) Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh; , x > 5).

Số học sinh thực tế tham gia trồng cây là x – 5 (học sinh).

Theo kế hoạch, mỗi học sinh phải trồng (cây).

Thực tế, mỗi học sinh phải trồng (cây).

Vì thực tế, mỗi học sinh phải trồng thêm 2 cây so với kế hoạch nên ta có phương trình:

.

Giải phương trình trên, được x = 30 (thỏa mãn) và x = -25 (loại).

Vậy lớp 9A có 30 học sinh.

3) Thay vào phương trình, ta có:

.

Vậy phương trình đã cho là .

Gọi , là hai nghiệm của phương trình.

Áp dụng hệ thức Viète:

Ta có .

Vậy A = -12.

Câu 4: (4 điểm)

1) Trong truyện ngụ ngôn La Phông ten, Cò mời Cáo đến ăn tiệc với món súp hảo hạng. Món súp đó Cò thường cho vào một cái bình hình trụ, có bán kính đáy là 4 cm, chiều cao 30 cm. Nhưng khi Cáo đến, Cò chỉ đổ súp sao cho phần súp trong bình đó cao 10 cm và mới Cáo dùng bữa.

a) Tính thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn.

b) Cổ của Cáo quá ngắn nên không thể lấy được súp, Cáo nhìn quanh và phát hiện ra nhà Cò có những viên sỏi hình cầu giống hệt nhau, bán kính 2 cm. Cáo bèn cho từng viên sỏi vào bình súp đến khi súp dâng lên vừa đầy đến miệng bình rồi Cáo thảnh thơi ăn súp. Hỏi Cáo đã cho vào bình bao nhiêu viên sỏi?

2) Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E (điểm A thuộc cung nhỏ MN). Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt (O;R) tại điểm K (K khác B).

a) Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh .

c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI. Chứng minh C cách đều ba cạnh của .

Phương pháp

1)

a) Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ .

b) Thể tích các viên sỏi = Thể tích bình – Thể tích lượng nước ban đầu.

Tính thể tích mỗi viên sỏi áp dụng công thức .

Số viên sỏi = Thể tích các viên sỏi : Thể tích mỗi viên sỏi.

2)

a) Chứng minh suy ra K, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

b) Chứng minh  (g.g) rồi suy ra tỉ lệ thức.

c) Chứng minh C là giao điểm của hai đường phân giác trong .

Lời giải

1)

a) Thể tích phần súp Cò mới Cáo ăn là .

b) Thể tích bình trụ là .

Vì súp dâng đầy bình khi Cáo thả các viên sỏi vào nên thể tích các viên sỏi là:

.

Thể tích 1 viên sỏi là .

Số viên sỏi được thả vào bình là (viên).

Vậy Cáo đã cho 30 viên sỏi vào bình.

2)

a) Vì K thuộc đường tròn đường kính AB nên .

Theo giả thiết, nên .

Vì nên K, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Vậy AKCE là tứ giác nội tiếp.

b) Vì AKCE là tứ giác nội tiếp nên .

Mặt khác, AKMB là tứ giác nội tiếp (O;R) nên .

Suy ra (cùng bù với ); mà (góc đối đỉnh) nên .

Xét và có:

+ chung;

+ (chứng minh trên).

Do đó (g.g), suy ra , như vậy .

c) Xét có hai đường cao BK, IE cắt nhau tại C, do đó C là trực tâm .

Khi đó AD cũng là đường cao của , hay .

Vì nên D thuộc đường tròn đường kính AB, hay D thuộc (O;R).

Vì tứ giác AKDB nội tiếp (O;R) nên (góc nội tiếp cùng chắn cung BD).

Mà tứ giác AKCE nội tiếp (chứng minh trên) nên (góc nội tiếp cùng chắn cung CE).

Suy ra hay KB là phân giác của .

Vì nên D, E thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BDCE nội tiếp.

Khi đó (góc nội tiếp cùng chắn cung CE).

Mà tứ giác AKDB nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung AK).

Suy ra hay DC là phân giác của .

Xét có các đường phân giác góc , cắt nhau tại C.

Do đó, C là tâm đường tròn nội tiếp , hay C cách đều các cạnh của .

Câu 5: (0,5 điểm) Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là 62,5 . Để tiết kiệm vật gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Phương pháp

Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).

Biểu diễn diện tích S theo a.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Lời giải

Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).

Thùng gỗ là lăng trụ tứ giác đều nên đáy thùng là hình vuông có diện tích .

Thể tích lăng trụ là 62,5 nên chiều cao là (dm).

Diện tích gỗ làm một chiếc thùng là:

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương , , , ta có:

.

Dấu “=” xảy ra khi , suy ra a = 5.

Vậy S nhỏ nhất bằng 75 khi độ dài cạnh đáy là 5 dm.