Đề thi thử vào 10 môn Toán Thành phố Hồ Chí Minh
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 1
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị (P) có tung độ bằng một nửa hoành độ và khác (0;0).
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
Câu 3 (1,5 điểm): Tình trạng chênh lệch giữa giá vàng Việt Nam với quốc tế kéo dài sẽ khiến cho nền kinh tế nói chung và thị trường vàng nói riêng đều phải gánh thiệt hại. Đối với nền kinh tế, chênh lệch giá vàng quá cao gây ra tình trạng nhập lậu vàng và điều đó sẽ tác động lên tỉ giá chợ đen cũng như gây “chảy máu” ngoại tệ. Dưới đây là biểu đồ chênh lệch giá vàng trong nước và thế giới 6 tháng đầu năm 2022.
a) Trong bảng trên, mức chênh lệch giá vàng lớn nhất là bao nhiêu và vào lúc nào?
b) Chọn ngẫu nhiên 1 tháng trong 6 tháng đầu năm 2022. Tính xác suất các biến cố sau:
A: “Tháng được chọn có mức độ chênh lệch không quá 15 triệu”.
B: “Tháng được chọn có mức độ chênh lệch lớn hơn 16 triệu”.
Câu 4 (1 điểm): Một hộp bánh kẹo có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm và chiều cao 5cm. Để giảm chi phí sản xuất, nhà sản xuất quyết định giữ nguyên chiều cao của hộp là 5cm, nhưng chiều dài và chiều rộng sẽ cùng giảm đi (centimét).
a) Viết biểu thức V biểu diễn theo thể tích hộp bánh kẹo sau khi giảm.
b) Biết rằng thể tích của hộp bánh giảm đi 15%. Tính giá trị của (làm tròn đến hàng phần trăm của centimét).
Câu 5 (1 điểm): Phở, món ăn quốc dân của Việt Nam, đã trở nên nổi tiếng trên toàn thế giới và được mọi người ưa thích. Từng miếng thịt mềm mại, nước dùng đậm đà và hương vị phong phú của gia vị đã làm say đắm biết bao thực khách.
Quán nhà bạn An dùng 1 chiếc nồi hình trụ có bán kính đáy nồi là 25cm, chiều cao nồi là 0,8m để nấu nước lèo phở bò. Sau khi vớt xương và các gia vị thì lượng nước lèo trong nồi chiếm 90% thể tích nồi.
a) Tính thể tích nồi nước lèo nhà bạn An nấu, biết lượng nước lèo trong nồi chiếm 90% thể tích nồi. (ghi kết quả đến )
b) Để bán phở bò, mỗi lần bán 1 tô phở, mẹ bạn An dùng cái vá có dạng nửa hình cầu bán kính 6,5cm và múc đúng 1 vá cho mỗi tô. Hỏi sau khi bán hết phở bò thì quán nhà bạn An thu được bao nhiêu tiền? Biết giá 1 tô phở bò là 35 000 đồng.
(biết công thức tính thể tích hình trụ là và công thức tính thể tích hình cầu là )
Câu 6 (1 điểm): “Vàng 24K còn được gọi là vàng ròng (là loại vàng tinh khiết nhất, gần như không có pha lẫn tạp chất, có giá trị cao nhất trong các loại vàng) là một kim loại có ánh kim đậm nhất nhưng khá mềm. Trong ngành công nghệ chế tạo trang sức”.
Một món trang sức được làm từ vàng 14K có thể tích và nặng 151,8g. Hãy tính thể tích vàng nguyên chất và đồng được dùng để làm ra món trang sức biết khối lượng riêng của vàng nguyên chất là , khối lượng riêng của đồng là và công thức liên hệ giữa khối lượng riêng và thể tích là m = D.V.
Câu 7 (3 điểm): Cho tam giác ABC ba góc nhọn nội tiếp (O;R), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFCE nội tiếp và
b) Chứng minh: và
c) Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh . Cho . Tính diện tích tam giác ABC.
----- HẾT -----
Lời giải chi tiết
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị (P) có tung độ bằng một nửa hoành độ và khác (0;0).
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Viết dạng biểu diễn của các điểm có tung độ bằng một nửa hoành độ thuộc (P).
Giải phương trình biểu diễn tung độ = hoành độ, ta được điểm thỏa mãn.
Kết hợp với điều kiện điểm cần tìm khác (0;0).
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm .
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị (P) có tung độ bằng một nửa hoành độ.
Điểm có tung độ và hoành độ bằng nhau có dạng thì
Suy ra
và
Ta được các điểm và .
Mà .
Vậy điểm M thuộc (P) có tung độ bằng một nửa hoành độ là .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
Phương pháp
a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo .
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.
Định lí Viète:
Lời giải
a) Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Áp dụng định lí Viète, ta có:
Ta có:
Vậy .
Câu 3 (1,5 điểm): Tình trạng chênh lệch giữa giá vàng Việt Nam với quốc tế kéo dài sẽ khiến cho nền kinh tế nói chung và thị trường vàng nói riêng đều phải gánh thiệt hại. Đối với nền kinh tế, chênh lệch giá vàng quá cao gây ra tình trạng nhập lậu vàng và điều đó sẽ tác động lên tỉ giá chợ đen cũng như gây “chảy máu” ngoại tệ. Dưới đây là biểu đồ chênh lệch giá vàng trong nước và thế giới 6 tháng đầu năm 2022.
a) Trong bảng trên, mức chênh lệch giá vàng lớn nhất là bao nhiêu và vào lúc nào?
b) Chọn ngẫu nhiên 1 tháng trong 6 tháng đầu năm 2022. Tính xác suất các biến cố sau:
A: “Tháng được chọn có mức độ chênh lệch không quá 15 triệu”.
B: “Tháng được chọn có mức độ chênh lệch lớn hơn 16 triệu”.
Phương pháp
a) Quan sát biểu đồ, xác định giá trị lớn nhất của cột Chênh lệch (triệu đồng/lượng).
b) Xác định tổng số tháng.
Dựa vào cột Chênh lệch, xác định các tháng có độ chênh lệch không quá 15 triệu, lớn hơn 16 triệu.
Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa các tháng thỏa mãn với tổng số tháng.
Lời giải
a) Mức chênh lệch giá vàng lớn nhất là: 18 triệu đồng/lượng.
b) Tổng số tháng trong biểu đồ là 6 tháng.
Có 3 tháng có mức độ chênh lệch không quá 15 triệu là: tháng 1, tháng 2, tháng 3.
Xác suất tháng được chọn có mức độ chênh lệch không quá 15 triệu là:
Có 2 tháng có mức độ chênh lệch lớn hơn 16 triệu là: tháng 5, tháng 6.
Xác suất tháng được chọn có mức độ chênh lệch lớn hơn 16 triệu là: .
Câu 4 (1 điểm): Một hộp bánh kẹo có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm và chiều cao 5cm. Để giảm chi phí sản xuất, nhà sản xuất quyết định giữ nguyên chiều cao của hộp là 5cm, nhưng chiều dài và chiều rộng sẽ cùng giảm đi (centimét).
a) Viết biểu thức V biểu diễn theo thể tích hộp bánh kẹo sau khi giảm.
b) Biết rằng thể tích của hộp bánh giảm đi 15%. Tính giá trị của (làm tròn đến hàng phần trăm của centimét).
Phương pháp
a) Tính chiều dài và chiều rộng sau khi giảm đi centimét.
Viết biểu thức V thể tích của hộp bánh kẹo theo công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật:
V = chiều dài.chiều rộng.chiều cao
b) Tính thể tích hộp bánh sau khi giảm đi .
Từ biểu thức V ta lập phương trình bậc hai một ẩn . Giải phương trình để tìm .
Lời giải
a) Chiều dài của hộp bánh kẹo sau khi giảm là:
Chiều rộng của hộp bánh kẹo sau khi giảm là:
Thể tích của hộp bánh kẹo sau khi giảm là:
b) ĐKXĐ:
Thể tích của hộp bánh kẹo sau khi giảm thể tích là:
Ta có phương trình biểu diễn thể tích của hộp bánh kẹo sau khi giảm:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: (TM); (L)
Vậy giá trị của khoảng 1,04cm.
Câu 5 (1 điểm): Phở, món ăn quốc dân của Việt Nam, đã trở nên nổi tiếng trên toàn thế giới và được mọi người ưa thích. Từng miếng thịt mềm mại, nước dùng đậm đà và hương vị phong phú của gia vị đã làm say đắm biết bao thực khách.
Quán nhà bạn An dùng 1 chiếc nồi hình trụ có bán kính đáy nồi là 25cm, chiều cao nồi là 0,8m để nấu nước lèo phở bò. Sau khi vớt xương và các gia vị thì lượng nước lèo trong nồi chiếm 90% thể tích nồi.
a) Tính thể tích nồi nước lèo nhà bạn An nấu, biết lượng nước lèo trong nồi chiếm 90% thể tích nồi. (ghi kết quả đến )
b) Để bán phở bò, mỗi lần bán 1 tô phở, mẹ bạn An dùng cái vá có dạng nửa hình cầu bán kính 6,5cm và múc đúng 1 vá cho mỗi tô. Hỏi sau khi bán hết phở bò thì quán nhà bạn An thu được bao nhiêu tiền? Biết giá 1 tô phở bò là 35 000 đồng.
(biết công thức tính thể tích hình trụ là và công thức tính thể tích hình cầu là )
Phương pháp
a) Đổi về cùng đơn vị.
Lượng nước lèo trong nồi = 90% thể tích nồi (tính theo công thức tính thể tích hình trụ).
b) Tính thể tích 1 vá nước lèo = thể tích hình cầu (tính theo công thức tính thể tích hình cầu).
Lấy thể tích nước lèo : thể tích 1 vá nước lèo, xác định số tô phở bò quán nhà bạn An bán được (lưu ý làm tròn xuống).
Số tiền thu được = giá một tô phở . số tô bán được.
Lời giải
a) Đổi 0,8m = 80cm.
Lượng nước lèo trong nồi nhà bạn An nấu là:
b) Thể tích 1 vá nước lèo là:
Vì nên số tô phở bò quán nhà bạn An bán được khoảng 245 tô.
Sau khi bán hết phở bò thì quán nhà bạn An thu được số tiền là:
(đồng)
Vậy sau khi bán hết phở bò thì quán nhà bạn An thu được 8 575 000 đồng.
Câu 6 (1 điểm): “Vàng 24K còn được gọi là vàng ròng (là loại vàng tinh khiết nhất, gần như không có pha lẫn tạp chất, có giá trị cao nhất trong các loại vàng) là một kim loại có ánh kim đậm nhất nhưng khá mềm. Trong ngành công nghệ chế tạo trang sức”.
Một món trang sức được làm từ vàng 14K có thể tích và nặng 151,8g. Hãy tính thể tích vàng nguyên chất và đồng được dùng để làm ra món trang sức biết khối lượng riêng của vàng nguyên chất là , khối lượng riêng của đồng là và công thức liên hệ giữa khối lượng riêng và thể tích là m = D.V.
Phương pháp
Gọi lần lượt là thể tích của vàng nguyên chất và đồng có trong món trang sức.
Viết phương trình biểu diễn thể tích và cân nặng của vàng và đồng theo .
Giải hệ phương trình vừa lập.
Kiểm tra lại điều kiện và kết luận.
Lời giải
Gọi lần lượt là thể tích của vàng nguyên chất và đồng có trong món trang sức.
Vì món trang sức có thể tích nên ta có: (1)
Khối lượng vàng nguyên chất trong món trang sức là: (g).
Khối lượng đồng trong món trang sức là: (g).
Vì món trang sức nặng 151,8g nên ta có: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy thể tích của vàng nguyên chất trong món trang sức là ; thể tích của đồng trong món trang sức là .
Câu 7 (3 điểm): Cho tam giác ABC ba góc nhọn nội tiếp (O;R), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFCE nội tiếp và
b) Chứng minh: và
c) Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh . Cho . Tính diện tích tam giác ABC.
Phương pháp
a) Chứng minh tứ giác BFCE nội tiếp
Chứng minh tam giác BEC và tam giác CFB vuông tại E và F nên cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC, do đó tứ giác BFCE nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh:
Kẻ tiếp tuyến tại A của (O), suy ra
Chứng minh (hai góc phụ hai góc bằng nhau) và (tính chất hai góc đối trong tứ giác nội tiếp và hai góc kề bù).
Suy ra , hai góc so le trong nên Ap // EF.
Dẫn đến
b) Chứng minh
Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác AEB vuông tại E để biểu diễn .
Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABE để chứng minh.
Chứng minh
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BEC vuông tại E, biến đổi theo và .
Suy ra theo BE, AC, AE.
Kết hợp với tỉ số lượng giác để chứng minh.
c) Chứng minh:
Viết công thức tính diện tích tam giác ABC theo BE và AC.
Kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông để biến đổi BE theo AB, ta được đpcm.
Tính diện tích tam giác ABC
Dựa vào , thay số để tính .
Kết hợp với suy ra .
Thay vào công thức .
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác BFCE nội tiếp
Xét tam giác BEC ta có:
(BE là đường cao trong tam giác ABC)
Nên tam giác BEC vuông tại E. Do đó B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1)
Xét tam giác CFB ta có:
(CF là đường cao trong tam giác ABC)
Nên tam giác CFB vuông tại F. Do đó C, F, B cùng thuộc đường tròn đường kính BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Hay tứ giác BFEC nội tiếp.
Chứng minh:
Kẻ tiếp tuyến tại A của (O), suy ra
Kẻ tia AO cắt (O) tại D, khi đó AD là đường kính, suy ra (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có:
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD trong (O))
Do đó (3)
Ta lại có: (tứ giác BFEC nội tiếp)
Và (hai góc kề bù)
Nên (4)
Từ (3), (4) suy ra
Mà ở vị trí so le trong nên Ap // EF
Kết hợp (vì Ap là tiếp tuyến).
Vậy
b) Chứng minh
Xét tam giác AEB vuông tại E, ta có:
suy ra
suy ra
Nên
Mà (Định lí Pythagore trong tam giác ABE vuông tại E)
Do đó
Hay (góc cũng là )
Chứng minh
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BEC vuông tại E ta có:
Mà
Nên
Ta lại có:
(cmt)
(cmt)
suy ra AE =
Vậy
c) Chứng minh:
Ta có:
Mà (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác ABE vuông tại E)
Vậy
Tính diện tích tam giác ABC
Ta có: (cmt)
suy ra
Mà (cmt) suy ra
Vậy
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 2
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số .
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Tìm trên những điểm có tung độ gấp lần hoành độ.
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức .
Câu 3 (1,5 điểm): Biểu đồ cột kép dưới đây biểu diễn lượng mưa trung bình (đơn vị: mm) của các tháng trong một năm ở Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh.
a) Tính lượng mưa chênh lệch trung bình ở hai địa điểm Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh.
b) Chọn ngẫu nhiên một tháng trong năm, tính xác suất của các biến cố sau:
: “Lượng mưa trung bình của Thành phố Hồ Chí Minh lớn hơn mm”
: “Lượng mưa chênh lệch của Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh không vượt quá mm”
Câu 4 (1 điểm): Ông An có một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng là 8 m và chiều dài là 20 m. Nhà nước làm một con đường đi ngang qua mảnh đất của ông An và thu hồi một phần đất của ông An (phần hình tam giác). Phần đất không bị thu hồi có kích thước như hình vẽ dưới (phần tô đậm).
a) Viết biểu thức (thu gọn) T biểu thị theo (với ) diện tích đất bị thu hồi của nhà ông An.
b) Ông An được đền bù số tiền 455 triệu đồng cho diện tích đất bị thu hồi. Tìm giá trị (m) biết giá đền bù đất bị thu hồi là 13 triệu đồng.
Câu 5 (1 điểm): Hiện nay, người ta thường dùng chất liệu PVC (polyvinylchloride) để chế tạo vỏ quả bóng cao su dùng trong bóng đá. Một quả bóng hình cầu thường sử dụng từ hai đến bốn lớp vải lót để làm vỏ bóng và một quả bóng đá thường có chu vi đường tròn lớn từ cm tuỳ vào kích thước bóng để phù hợp cho từng lứa tuổi. Bác Minh có một quả bóng đá size số 7 có chu vi cm và vỏ quả bóng được tạo thành từ 4 lớp vải lót có độ dày mm (xem hình ảnh minh hoạ).
a) Tính thể tích không khí tối đa bên trong quả bóng khi quả bóng căng tròn.
b) Sau một thời gian sử dụng, quả bóng không còn chất lượng như ban đầu nên bác Minh cắt quả bóng theo mặt cắt là một đường tròn để tái chế quả bóng thành một chậu cây có dạng như ảnh minh hoạ. Bác Minh dùng dụng cụ xúc đất như hình trên để xúc đất vào quả bóng, biết thể tích dụng cụ xúc đất bằng thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy, chiều cao. Thể tích đất bác Minh cần bỏ vào quả bóng bằng thể tích quả bóng ban đầu. Hỏi bác Minh cần xúc ít nhất bao nhiêu lần, biết mỗi lần xúc được một thể tích đất bằng thể tích dụng cụ xúc?
(Lấy , làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 6 (1 điểm): Cách Tết Trung thu 1 tháng, bà Hoa nhập 100 cái bánh dẻo đậu xanh và 150 cái bánh nướng thập cẩm hết 10 230 000 đồng. Thấy bán được, bà Hoa nhập thêm 400 cái bánh dẻo đậu xanh và 200 cái bánh nướng thập cẩm (cùng giá nhập đợt đầu) hết 22 920 000 đồng.
a) Hỏi giá nhập của mỗi chiếc bánh dẻo đậu xanh và bánh nướng thập cẩm là bao nhiêu?
b) Trước Tết Trung thu 3 ngày, bà Hoa đã bán hết bánh nướng thập cẩm nhưng vẫn còn 100 cái bánh dẻo đậu xanh. Để nhanh chóng bán hết số bánh đã nhập về, bà Hoa thực hiện chương trình khuyến mại như sau: mua cái bánh thứ nhất bằng giá niêm yết, cái bánh thứ hai giảm 30% so với giá niêm yết, cái bánh thứ ba trở đi giảm 60% so với giá niêm yết. Bạn Mai đến cửa hàng bà Hoa mua 5 cái bánh dẻo đậu xanh phải trả 145 000 đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi cái bánh dẻo đậu xanh là bao nhiêu?
Câu 7 (3 điểm): Cho đường tròn tâm đường kính , điểm nằm ngoài đường tròn sao cho . Gọi là giao điểm của và với đường tròn ( khác , khác ). Hai đường thẳng và cắt nhau tại .
a) Chứng minh và tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là điểm trên cung nhỏ sao cho , là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh rằng và .
c) Giả sử và cm. Tính độ dài và chu vi đường tròn ngoại tiếp . (lấy )
-------- HẾT --------
Lời giải chi tiết
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số .
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Tìm trên những điểm có tung độ gấp lần hoành độ.
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Gọi điểm thuộc có tung độ gấp lần hoành độ có toạ độ là .
Thay vào hàm số và giải phương trình đưa về phương trình tích.
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị:
Đồ thị của hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Gọi điểm thuộc có tung độ gấp lần hoành độ có toạ độ là .
Vì điểm nằm trên đồ thị của hàm số nên ta có:
Suy ra hoặc .
Vậy những điểm có tung độ gấp lần hoành độ trên là và .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức .
Phương pháp
a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo .
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.
Định lí Viète:
Lời giải
a) Phương trình có:
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Áp dụng định lí Viète, ta có:
Ta có:
Vậy .
Câu 3 (1,5 điểm): Biểu đồ cột kép dưới đây biểu diễn lượng mưa trung bình (đơn vị: mm) của các tháng trong một năm ở Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh.
a) Tính lượng mưa chênh lệch trung bình ở hai địa điểm Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh.
b) Chọn ngẫu nhiên một tháng trong năm, tính xác suất của các biến cố sau:
: “Lượng mưa trung bình của Thành phố Hồ Chí Minh lớn hơn mm”
: “Lượng mưa chênh lệch của Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh không vượt quá mm”
Phương pháp
a) Quan sát biểu đồ, xác định lượng mưa chênh lệch ở hai địa điểm Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh theo từng tháng = giá trị lớn hơn – giá trị nhỏ hơn.
Lượng mưa chênh lệch trung bình = tổng lượng lượng mưa chênh lệch của 12 tháng : 12 tháng.
b) Xác định số phần tử của không gian mẫu, biến cố P và Q, từ đó tính xác suất của biến cố = số phần tử của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.
Lời giải
a) Lượng mưa chênh lệch ở hai địa điểm Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh theo từng tháng là:
Tháng 1:
Tháng 2:
Tháng 3:
Tháng 4:
Tháng 5:
Tháng 6:
Tháng 7:
Tháng 8:
Tháng 9:
Tháng 10:
Tháng 11:
Tháng 12:
Lượng mưa chênh lệch trung bình là:
(mm)
b) Không gian mẫu có số phần tử là 12.
Xét biến cố : “Lượng mưa trung bình của Thành phố Hồ Chí Minh lớn hơn mm”.
Số tháng được chọn có lượng mưa trung bình của Thành phố Hồ Chí Minh lớn hơn mm là tháng: tháng 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Suy ra số phần tử của biến cố là 6.
Vậy xác suất của biến cố là: .
Xét biến cố : “Lượng mưa chênh lệch của Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh không vượt quá mm”.
Số tháng được chọn có lượng mưa chênh lệch của Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh không vượt quá mm là tháng: tháng 1; 2; 3; 4; 5; 7; 12.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất của biến cố là: .
Câu 4 (1 điểm): Ông An có một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng là 8 m và chiều dài là 20 m. Nhà nước làm một con đường đi ngang qua mảnh đất của ông An và thu hồi một phần đất của ông An (phần hình tam giác). Phần đất không bị thu hồi có kích thước như hình vẽ dưới (phần tô đậm).
a) Viết biểu thức (thu gọn) T biểu thị theo (với ) diện tích đất bị thu hồi của nhà ông An.
b) Ông An được đền bù số tiền 455 triệu đồng cho diện tích đất bị thu hồi. Tìm giá trị (m) biết giá đền bù đất bị thu hồi là 13 triệu đồng.
Phương pháp
a) Phần đất bị cắt đi có hình tam giác vuông.
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để viết biểu diễn diện tích đất bị thu hồi của nhà ông An.
b) Từ T lập phương trình bậc hai một ẩn biểu diễn số tiền ông An được đền bù.
Giải phương trình để tìm .
Lời giải
a) Độ dài hai cạnh góc vuông của phần đất hình tam giác bị cắt đi là: (m) và (m).
Biểu thức T biểu thị theo diện tích đất bị thu hồi của nhà ông Thành là
với .
b) Vì ông Thành được đền bù số tiền 455 triệu đồng cho diện tích đất bị thu hồi nên ta có phương trình:
.
Giải phương trình, ta được (KTM) hoặc (TM).
Vậy m.
Câu 5 (1 điểm): Hiện nay, người ta thường dùng chất liệu PVC (polyvinylchloride) để chế tạo vỏ quả bóng cao su dùng trong bóng đá. Một quả bóng hình cầu thường sử dụng từ hai đến bốn lớp vải lót để làm vỏ bóng và một quả bóng đá thường có chu vi đường tròn lớn từ cm tuỳ vào kích thước bóng để phù hợp cho từng lứa tuổi. Bác Minh có một quả bóng đá size số 7 có chu vi cm và vỏ quả bóng được tạo thành từ 4 lớp vải lót có độ dày mm (xem hình ảnh minh hoạ).
a) Tính thể tích không khí tối đa bên trong quả bóng khi quả bóng căng tròn.
b) Sau một thời gian sử dụng, quả bóng không còn chất lượng như ban đầu nên bác Minh cắt quả bóng theo mặt cắt là một đường tròn để tái chế quả bóng thành một chậu cây có dạng như ảnh minh hoạ. Bác Minh dùng dụng cụ xúc đất như hình trên để xúc đất vào quả bóng, biết thể tích dụng cụ xúc đất bằng thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy, chiều cao. Thể tích đất bác Minh cần bỏ vào quả bóng bằng thể tích quả bóng ban đầu. Hỏi bác Minh cần xúc ít nhất bao nhiêu lần, biết mỗi lần xúc được một thể tích đất bằng thể tích dụng cụ xúc?
(Lấy , làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Phương pháp
a) Đổi về cùng đơn vị.
Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn để tính bán kính đường tròn lớn.
Từ đó tính được bán kính phần trong của quả bóng.
Tính thể tích phần không khí bên trong khi quả bóng căng tròn bằng công thức tính thể tích hình cầu .
b) Tính thể tích của phần đất: .
Tính thể tích đất thu được sau mỗi lần xúc là: (dc: dụng cụ)
Tính tỉ số . Khi đó ta tính được số lần xúc.
Lời giải
a) Đổi 2,5mm = 0,25cm.
Vì chu vi đường tròn lớn của quả bóng là cm nên ta có:
hay (cm)
Bán kính phần trong của quả bóng là: (cm).
Vậy thể tích phần không khí bên trong khi quả bóng căng tròn là:
b) Thể tích của phần đất là:
Thể tích đất thu được sau mỗi lần xúc là:
Ta có:
Do số lần xúc là số tự nhiên nên bác Minh cần xúc ít nhất lần để được thể tích đất cần thiết.
Câu 6 (1 điểm): Cách Tết Trung thu 1 tháng, bà Hoa nhập 100 cái bánh dẻo đậu xanh và 150 cái bánh nướng thập cẩm hết 10 230 000 đồng. Thấy bán được, bà Hoa nhập thêm 400 cái bánh dẻo đậu xanh và 200 cái bánh nướng thập cẩm (cùng giá nhập đợt đầu) hết 22 920 000 đồng.
a) Hỏi giá nhập của mỗi chiếc bánh dẻo đậu xanh và bánh nướng thập cẩm là bao nhiêu?
b) Trước Tết Trung thu 3 ngày, bà Hoa đã bán hết bánh nướng thập cẩm nhưng vẫn còn 100 cái bánh dẻo đậu xanh. Để nhanh chóng bán hết số bánh đã nhập về, bà Hoa thực hiện chương trình khuyến mại như sau: mua cái bánh thứ nhất bằng giá niêm yết, cái bánh thứ hai giảm 30% so với giá niêm yết, cái bánh thứ ba trở đi giảm 60% so với giá niêm yết. Bạn Mai đến cửa hàng bà Hoa mua 5 cái bánh dẻo đậu xanh phải trả 145 000 đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi cái bánh dẻo đậu xanh là bao nhiêu?
Phương pháp
a) Gọi giá nhập của mỗi chiếc bánh dẻo đậu xanh và bánh nướng thập cẩm là (đồng) và (đồng). Điều kiện: .
Viết phương trình biểu diễn tiền nhập bánh lần 1 và lần 2 theo .
Giải hệ phương trình vừa lập.
Kiểm tra lại điều kiện và kết luận.
b) Gọi giá niêm yết của mỗi cái bánh dẻo đậu xanh là (đồng). Điều kiện : .
Vì bạn Mai đến cửa hàng bà Hoa mua 5 cái bánh dẻo đậu xanh phải trả 145 000 đồng nên ta viết được phương trình.
Giải phương trình.
Kiểm tra lại điều kiện và kết luận.
Lời giải
a) Gọi giá nhập của mỗi chiếc bánh dẻo đậu xanh và bánh nướng thập cẩm là (đồng) và (đồng). Điều kiện: .
Vì bà Hoa nhập 100 cái bánh dẻo đậu xanh và 150 cái bánh nướng thập cẩm hết 10 230 000 đồng nên ta có phương trình:
(1)
Vì bà Hoa nhập 400 cái bánh dẻo đậu xanh và 200 cái bánh nướng thập cẩm hết 22 920 000 đồng nên ta có phương trình:
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được (thỏa mãn điều kiện).
Vậy giá nhập của mỗi chiếc bánh dẻo đậu xanh và bánh nướng thập cẩm là 34 800 (đồng) và 45 000 (đồng).
b) Gọi giá niêm yết của mỗi cái bánh dẻo đậu xanh là (đồng). Điều kiện : .
Vì bạn Mai đến cửa hàng bà Hoa mua 5 cái bánh dẻo đậu xanh phải trả 145 000 đồng nên ta có phương trình:
Giải phương trình ta được (thỏa mãn điều kiện).
Vậy giá niêm yết của mỗi cái bánh dẻo đậu xanh là 50 000 đồng.
Câu 7 (3 điểm): Cho đường tròn tâm đường kính , điểm nằm ngoài đường tròn sao cho . Gọi là giao điểm của và với đường tròn ( khác , khác ). Hai đường thẳng và cắt nhau tại .
a) Chứng minh và tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là điểm trên cung nhỏ sao cho , là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh rằng và .
c) Giả sử và cm. Tính độ dài và chu vi đường tròn ngoại tiếp . (lấy )
Phương pháp
a) Chứng minh
Chứng minh và là hai đường cao của tam giác và cắt nhau tại nên là trực tâm của tam giác .
Suy ra .
Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp
Chứng minh và nội tiếp đường tròn đường kính .
Do đó bốn điểm thuộc đường tròn đường kính hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh
Chứng minh (g-g) suy ra (đpcm).
Chứng minh
Từ suy ra .
c) Tính
Chứng minh (g-g), suy ra
Chứng minh (c-g-c), suy ra .
Do đó .
Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác
Chứng minh .
Chứng minh (g-g), suy ra .
Chứng minh suy ra .
Đường tròn ngoại tiếp tam giác có đường kính là nên ta có chu vi của đường tròn đó là:
.
Lời giải
a) Chứng minh
Do và là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên .
Suy ra và là hai đường cao của tam giác .
Mà và cắt nhau tại nên là trực tâm của tam giác .
Do đó .
Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp
Vì nên nội tiếp đường tròn đường kính .
Vì nên nội tiếp đường tròn đường kính .
Do đó bốn điểm thuộc đường tròn đường kính hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh
Xét và , ta có:
chung
(là hai góc nội tiếp chắn cung , và )
Suy ra (g-g)
Do đó hay (đpcm).
Chứng minh
Vì nên hay .
c) Tính
Xét và , ta có:
chung
Suy ra (g-g), suy ra
Xét và , ta có
chung
(cmt)
Suy ra (c-g-c), suy ra .
Do đó, .
Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ta có: (tứ giác nội tiếp và và là góc nội tiếp chắn )
Và (góc nội tiếp chắn ).
Suy ra .
Xét và có:
(cmt)
Suy ra (g-g), suy ra .
Mà (vì và cùng bù với )
Suy ra , do đó .
Mà đường tròn ngoại tiếp tam giác có đường kính là nên ta có chu vi của đường tròn đó là:
.
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 3
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số .
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Minh đang thiết kế một mô hình Parabol để mô phỏng quỹ đạo của một quả bóng trong trò chơi của mình. Quỹ đạo được biểu diễn bằng hàm số sau: . Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét. Hỏi tại những điểm nào trên mặt phẳng, quả bóng đạt được độ cao này?
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức .
Câu 3 (1,5 điểm): Ở giữa mùa giải AFF Cup 2024 - 2025, nơi mà những đội bóng hàng đầu Đông Nam Á tranh tài quyết liệt để giành lấy danh hiệu cao quý. Kết quả bảng B như sau:
Trong mỗi trận đấu, các đội sẽ được thưởng điểm như sau:
- Một trận thắng: 3 điểm
- Một trận hòa: 1 điểm
- Một trận thua: 0 điểm
a) Giả sử chọn ngẫu nhiên một đội bóng từ bảng B. Hãy tính xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1.
b) Hãy tính xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên.
Câu 4 (1 điểm): Ông An có một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 100(m) và chiều rộng 40(m) (Hình 1). Ông dự định xây dựng khu nghỉ dưỡng nên ông cho đào mương xung quanh mảnh đất để lấy đất bồi thêm đất nền cao hơn. Ông cho đào 3 mặt của mảnh đất như hình 2, độ rộng mương là
a) Gọi S là diện tích phần đất nền (phần in đậm) sau khi được bồi thêm. Hãy viết biểu thức dưới dạng thu gọn tính S theo x.
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là . Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Câu 5 (1 điểm): Một ống đựng các viên vitamin C có dạng hình trụ với đường kính đáy là và chiều cao là . Mỗi viên vitamin C hình cầu với bán kính là .
a) Tính thể tích của ống vitamin C và thể tích của một viên vitamin C (tính theo đơn vị cm3 và làm tròn đến hàng phần trăm).
Biết công thức tính thể tích hình trụ là (R là bán kính đáy, h đường cao của hình trụ)
Thể tích hình cầu là (R là bán của kính hình cầu).
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Câu 6 (1 điểm): Formalin là dung dịch có chứa từ Formaldehyde. Formaldehyde có khả năng kháng khuẩn, kháng nấm nên được dùng làm chất bảo quản trong y tế. Một nhà máy sản xuất Formalin đang có một lượng dung dịch Formaldehyde nồng độ và một lượng Formaldehyde nồng độ .
a) Tính thể tích mỗi loại Formaldehyde trên để điều chế được lít Formaldehyde . Giả sử nguyên liệu không bị hao hụt trong quá trình sản xuất.
b) Một cơ sở y tế đặt hàng nhà máy trên một đơn hàng Formalin. Nhà máy dùng lít Formaldehyde cùng một lượng Formaldehyde để sản xuất ra Formalin. Hỏi thể tích của Formaldehyde nằm trong khoảng nào thì có thể sản xuất được Formalin. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của lít)
Câu 7 (3 điểm): Cho điểm S ngoài (O; R) với SO = 2.R, vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB đến đường tròn (A, B là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB với SO.
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và tại I.
b) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Đoạn thẳng SD cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác D). Chứng minh: và .
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy .
-------- HẾT --------
Lời giải chi tiết
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số .
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Minh đang thiết kế một mô hình Parabol để mô phỏng quỹ đạo của một quả bóng trong trò chơi của mình. Quỹ đạo được biểu diễn bằng hàm số sau: . Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét. Hỏi tại những điểm nào trên mặt phẳng, quả bóng đạt được độ cao này?
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Gọi điểm thuộc thoả mãn đề bài là .
Vì Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét nên .
Thay vào hàm số để tìm giá trị tương ứng.
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Gọi điểm thuộc thoả mãn đề bài là .
Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét nên .
Do đó
Suy ra
nên hoặc .
Vậy toạ độ điểm M là ; .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức .
Phương pháp
a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo .
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.
Định lí Viète:
Lời giải
a) Phương trình có:
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Áp dụng định lí Viète, ta có:
Ta có:
Vậy .
Câu 3 (1,5 điểm): Ở giữa mùa giải AFF Cup 2024 - 2025, nơi mà những đội bóng hàng đầu Đông Nam Á tranh tài quyết liệt để giành lấy danh hiệu cao quý. Kết quả bảng B như sau:
Trong mỗi trận đấu, các đội sẽ được thưởng điểm như sau:
- Một trận thắng: 3 điểm
- Một trận hòa: 1 điểm
- Một trận thua: 0 điểm
a) Giả sử chọn ngẫu nhiên một đội bóng từ bảng B. Hãy tính xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1.
b) Hãy tính xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên.
Phương pháp
a) Xác định các đội có số trận thắng là 1.
Xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1 bằng tỉ số giữa số đội bóng có số trận thắng là 1 với tổng số đội bóng.
b) Tính điểm đạt được của các đội. Xác định các đội có số điểm từ 4 trở lên.
Xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên bằng tỉ số giữa số đội bóng có số điểm từ 4 trở lên với tổng số đội bóng.
Lời giải
a) Số đội có số trận thắng là 1 là 2. Đó là Indonesia, Myanmar.
Tổng số đội là: 5
Vậy xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1 là: .
b) Ta có bảng điểm của các đội như sau:
Có 3 đội có điểm từ 4 trở lên, đó là: Việt Nam, Philippines, Indonesia.
Tổng số đội là: 5
Vậy xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên là:
Câu 4 (1 điểm): Ông An có một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 100(m) và chiều rộng 40(m) (Hình 1). Ông dự định xây dựng khu nghỉ dưỡng nên ông cho đào mương xung quanh mảnh đất để lấy đất bồi thêm đất nền cao hơn. Ông cho đào 3 mặt của mảnh đất như hình 2, độ rộng mương là
a) Gọi S là diện tích phần đất nền (phần in đậm) sau khi được bồi thêm. Hãy viết biểu thức dưới dạng thu gọn tính S theo x.
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là . Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Phương pháp
a) Tính chiều dài và chiều rộng của phần đất nền.
Từ đó tính diện tích phần đất nền bằng công thức tính diện tích hình chữ nhật.
b) Từ diện tích của phần đất nền, giải phương trình bậc hai để tìm .
Chiều dài lưới B40 chính là tổng độ dài của phần đất nền một cạnh không tiếp giáp với mương.
Lời giải
a) Độ dài cạnh 100m giảm đi m sau khi đào mương nên độ dài một cạnh của phần đất nền là: (m)
Độ dài cạnh 40m giảm đi m sau khi đào mương nên độ dài cạnh còn lại của phần đất nền là: (m)
Do đó sau khi đào mương thì độ dài hai cạnh của phần đất nền là: (m) và (m)
Khi đó diện tích phần đất nền là:
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là . Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Vì phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là nên ta có phương trình:
Giải phương trình, ta được:
Khi đó hai cạnh của phần đất nền là: và .
Tổng độ dài các cạnh tiếp giáp với mương là: .
Vậy chiều dài lưới B40 mà ông cần mua là 228m.
Câu 5 (1 điểm): Một ống đựng các viên vitamin C có dạng hình trụ với đường kính đáy là và chiều cao là . Mỗi viên vitamin C hình cầu với bán kính là .
a) Tính thể tích của ống vitamin C và thể tích của một viên vitamin C (tính theo đơn vị cm3 và làm tròn đến hàng phần trăm).
Biết công thức tính thể tích hình trụ là (R là bán kính đáy, h đường cao của hình trụ)
Thể tích hình cầu là (R là bán của kính hình cầu).
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Phương pháp
a) Tính bán kính của ống đựng = đường kính : 2.
Thể tích của ống vitamin C bằng công thức tính thể tích hình trụ.
Thể tích của viên vitamin C bằng công thức tính thể tích hình cầu.
b) Tính thể tích có thể chứa của ống vitamin C là:
Tính tỉ số giữa thể tích có thể chứa : thể tích viên vitamin C.
Từ đó ta có số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Lời giải
a) Bán kính của ống đựng là:
Thể tích của ống vitamin C là:
Thể tích của viên vitamin C là:
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Thể tích có thể chứa của ống vitamin C là:
Ta có: . Do đó số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống là 261 viên.
Câu 6 (1 điểm): Formalin là dung dịch có chứa từ Formaldehyde. Formaldehyde có khả năng kháng khuẩn, kháng nấm nên được dùng làm chất bảo quản trong y tế. Một nhà máy sản xuất Formalin đang có một lượng dung dịch Formaldehyde nồng độ và một lượng Formaldehyde nồng độ .
a) Tính thể tích mỗi loại Formaldehyde trên để điều chế được lít Formaldehyde . Giả sử nguyên liệu không bị hao hụt trong quá trình sản xuất.
b) Một cơ sở y tế đặt hàng nhà máy trên một đơn hàng Formalin. Nhà máy dùng lít Formaldehyde cùng một lượng Formaldehyde để sản xuất ra Formalin. Hỏi thể tích của Formaldehyde nằm trong khoảng nào thì có thể sản xuất được Formalin. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của lít)
Phương pháp
a) Gọi lần lượt là thể tích của dung dịch Formaldehyde và Formaldehyde cần sử dụng ().
Viết phương trình biểu diễn tổng thể tích hai loại dung dịch, nồng độ Formaldehyde trong dung dịch.
Từ đó ta lập được hệ phương trình.
Giải hệ phương trình vừa lập.
Kiểm tra lại điều kiện và kết luận.
b) Gọi là thể tích Formaldehyde ().
Biểu diễn tổng độ của Formaldehyde sau khi trộn hai loại dung dịch lại.
Do Formalin có nồng độ Formaldehyde từ nên ta viết bất phương trình nồng độ dung dịch.
Giải các bất phương trình.
Lời giải
a) Gọi lần lượt là thể tích của dung dịch Formaldehyde và Formaldehyde cần sử dụng ().
Vì tổng thể tích hai loại dung dịch là nên ta có phương trình: (1).
Vì nồng độ Formaldehyde trong dung dịch lúc sau là nên ta có: hay (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình, ta được .
Vậy thể tích của Formaldehyde và Formaldehyde lần lượt là lít và lít.
b) Gọi là thể tích Formaldehyde ().
Nồng độ của Formaldehyde sau khi trộn hai loại dung dịch lại là .
Do Formalin có nồng độ Formaldehyde từ nên ta có:
hay
+) Giải bất phương trình:
+) Giải bất phương trình:
Ta được và hay .
Vậy thể tích Formaldehyde từ lít đến lít thì thu được Formalin.
Câu 7 (3 điểm): Cho điểm S ngoài (O; R) với SO = 2.R, vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB đến đường tròn (A, B là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB với SO.
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và tại I.
b) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Đoạn thẳng SD cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác D). Chứng minh: và .
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy .
Phương pháp
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh và cùng nội tiếp đường tròn đường kính OS.
Do đó bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn đường kính OS.
Chứng minh tại I.
Chứng minh SO là đường trung trực của AB.
Suy ra tại I.
b) Chứng minh
Chứng minh suy ra .
Chứng minh
Chứng minh (g.g), suy ra .
Từ (1) và (2) suy ra .
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Sử dụng tỉ số lượng giác để tính suy ra .
Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để tính .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ chính là diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB nhỏ.
Diện tích được tính bởi công thức: .
Lời giải
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
Vì SA và SB là tiếp tuyến của đường tròn nên , suy ra
Do đó vuông tại A nên nội tiếp đường tròn đường kính OS.
vuông tại B nên nội tiếp đường tròn đường kính OS.
Do đó bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn đường kính OS.
Chứng minh tại I.
Ta có: SA = SB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB (= R)
nên SO là đường trung trực của AB.
Suy ra tại I.
b) Chứng minh
Ta có nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét và có:
chung
nên suy ra , do đó . (1)
Chứng minh
Xét và có:
(SA là tiếp tuyến, tại I)
chung
nên (g.g), suy ra , do đó . (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ chính là diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB nhỏ.
Xét vuông tại A, ta có: nên .
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OS là tia phân giác của ,
suy ra .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ là:
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ khoảng .
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 4
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Tìm những điểm N thuộc có hoành độ và tung độ là những số đối nhau.
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình .
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt .
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
Câu 3 (1,5 điểm): Biểu đồ cột kép bên dưới biểu diễn số học sinh khối 9 của trường THCS A trên địa bàn Thành phố Hồ Chí Minh tham gia các câu lạc bộ do nhà trường tổ chức. Biết rằng mỗi bạn chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ.
a) Câu lạc bộ nào có sự chênh lệch nhiều nhất giữa số nam sinh và nữ sinh?
b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh khối 9, tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn là nữ”.
B: “Học sinh được chọn không tham gia câu lạc bộ bơi lội và câu lạc bộ khiêu vũ”.
Câu 4 (1 điểm): Một cái sân hình chữ nhật có độ dài của một cạnh như hình vẽ. Ở góc sân, người ta làm một cái bồn hoa hình tròn có bán kính mét (). Biết vòng tròn tiếp xúc với 2 cạnh của hình chữ nhật và khoảng cách từ cạnh (chiều dài) của hình chữ nhật đến đường tròn là 2 mét (xem hình minh họa). (lấy ).
a) Viết biểu thức biểu thị diện tích đất còn lại sau khi đã xây bồn hoa.
b) Hãy tính bán kính của bồn hoa hình tròn biết diện tích đất còn lại sau khi xây bồn hoa là .
Câu 5 (1 điểm): Để phòng tránh trẻ em bị đuối nước, người ta quyết định dùng đất để lấp một cái ao dạng nửa hình cầu, mặt ao hình tròn có đường kính 10m.
a) Tính thể tích nước trong ao theo . Giả sử mực nước trong ao bằng với mặt đất xung quanh và các sinh vật, vật thể trong ao có thể tích không đáng kể.
b) Người ta thuê những xe tải có thùng xe dạng hình hộp chữ nhật, lòng trong thùng dài 9,9 mét, rộng 2,37 mét và cao 0,85 mét. Nhưng con đường từ nơi cung cấp đất đến ao bị giới hạn trọng tải của phương tiện tham gia giao thông nên xe chỉ chở được 85% thể tích của lòng trong thùng xe. Hỏi cần thuê ít nhất bao nhiêu xe để lấp đầy cái ao? (Đất chở trên xe gần được nén chặt và gần như không có khoảng trống trong khối đất)
(Cho biết công thức tính thể tích hình cầu là , trong đó R là bán kính hình cầu. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 6 (1 điểm): Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 12,5km/h thì đến sớm hơn dự định 2 giờ, còn xe chạy chậm đi 10km/h thì đến nơi chậm mất 2,5 giờ.
a) Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.
b) Trên quãng đường cao tốc CD = 150km có vận tốc giới hạn từ 50km/h đến 120km/h thì một ô tô đi hết cao tốc trong khoảng thời gian nào?
Câu 7 (3 điểm): Cho nhọn . Đường tròn đường kính cắt lần lượt tại ( không trùng , không trùng ). cắt tại , cắt tại .
a) Chứng minh và tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh là tia phân giác của và .
c) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Với , , , tính số đo góc và độ dài FO.
-------- HẾT --------
Lời giải
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Tìm những điểm N thuộc có hoành độ và tung độ là những số đối nhau.
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Điểm có hoành độ và tung độ là những số đối nhau có dạng .
Vì nên .
Do đó
Giải phương trình để tìm N thoả mãn.
Lời giải
Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm
Hệ số nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Điểm có hoành độ và tung độ là những số đối nhau có dạng .
Vì nên .
Do đó
suy ra hoặc
hoặc
Khi đó hoặc
Vậy điểm cần tìm là và .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình .
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt .
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
Phương pháp
a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo .
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.
Định lí Viète:
Lời giải
a) Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Theo định lí Viète, ta có:
Ta có:
.
Vậy .
Câu 3 (1,5 điểm): Biểu đồ cột kép bên dưới biểu diễn số học sinh khối 9 của trường THCS A trên địa bàn Thành phố Hồ Chí Minh tham gia các câu lạc bộ do nhà trường tổ chức. Biết rằng mỗi bạn chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ.
a) Câu lạc bộ nào có sự chênh lệch nhiều nhất giữa số nam sinh và nữ sinh?
b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh khối 9, tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn là nữ”.
B: “Học sinh được chọn không tham gia câu lạc bộ bơi lội và câu lạc bộ khiêu vũ”.
Phương pháp
a) Từ các cột số liệu, tính sự chênh lệch giữa số nam sinh và nữ sinh bằng số lớn – số bé.
Giá trị nào lớn nhất thì sự chênh lệch giữa số nam sinh và nữ sinh là lớn nhất.
b) Xác định tổng số học sinh tham gia câu lạc bộ của khối 9.
Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A, B.
Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể (tổng số học sinh).
Lời giải
a) Từ biểu đồ, ta có sự chênh lệch giữa số nam sinh và nữ sinh như sau:
Câu lạc bộ cờ vua: 28 – 15 = 13
Câu lạc bộ dân ca: 24 – 17 = 7
Câu lạc bộ khiêu vũ: 35 – 24 = 11
Câu lạc bộ bơi lội: 45 – 40 = 5
Vì 13 > 11 > 7 > 5 nên câu lạc bộ cờ vua có sự chênh lệch nhiều nhất giữa số nam sinh và nữ sinh.
b) Tổng số học sinh tham gia câu lạc bộ của khối 9 là:
28 + 15 + 17 + 24 + 24 + 35 + 45 + 40 = 228 (học sinh)
Số kết quả thuận lợi của biến cố A: “Học sinh được chọn là nữ” là:
15 + 24 + 35 + 40 = 114.
Vậy xác suất của các biến cố A: “Học sinh được chọn là nữ” là: .
Số kết quả thuận lợi của biến cố B: “Học sinh được chọn không tham gia câu lạc bộ bơi lội và câu lạc bộ khiêu vũ” là:
28 + 15 + 17 + 24 = 84
Vậy xác suất của các biến cố B: “Học sinh được chọn không tham gia câu lạc bộ bơi lội và câu lạc bộ khiêu vũ” là: .
Câu 4 (1 điểm): Một cái sân hình chữ nhật có độ dài của một cạnh như hình vẽ. Ở góc sân, người ta làm một cái bồn hoa hình tròn có bán kính mét (). Biết vòng tròn tiếp xúc với 2 cạnh của hình chữ nhật và khoảng cách từ cạnh (chiều dài) của hình chữ nhật đến đường tròn là 2 mét (xem hình minh họa). (lấy )
a) Viết biểu thức biểu thị diện tích đất còn lại sau khi đã xây bồn hoa.
b) Hãy tính bán kính của bồn hoa hình tròn biết diện tích đất còn lại sau khi xây bồn hoa là .
Phương pháp
a) Biểu diễn chiều rộng của sân theo .
Khi đó tính diện tích của sân: S = CD.CR.
Diện tích của bồn hoa: .
Diện tích còn lại = diện tích của sân – diện tích của bồn hoa.
b) Vì diện tích đất còn lại sau khi xây bồn hoa là nên ta viết được phương trình.
Từ đó giải phương trình để tìm .
Lời giải
a) Chiều rộng của sân là:
Khi đó diện tích của sân là:
Diện tích của bồn hoa là:
Diện tích đất còn lại sau khi đã xây bồn hoa là:
b) Vì diện tích đất còn lại sau khi xây bồn hoa là nên ta có phương trình:
Vậy bán kính của bồn hoa là 1,5m.
Câu 5 (1 điểm): Để phòng tránh trẻ em bị đuối nước, người ta quyết định dùng đất để lấp một cái ao dạng nửa hình cầu, mặt ao hình tròn có đường kính 10m.
a) Tính thể tích nước trong ao theo . Giả sử mực nước trong ao bằng với mặt đất xung quanh và các sinh vật, vật thể trong ao có thể tích không đáng kể.
b) Người ta thuê những xe tải có thùng xe dạng hình hộp chữ nhật, lòng trong thùng dài 9,9 mét, rộng 2,37 mét và cao 0,85 mét. Nhưng con đường từ nơi cung cấp đất đến ao bị giới hạn trọng tải của phương tiện tham gia giao thông nên xe chỉ chở được 85% thể tích của lòng trong thùng xe. Hỏi cần thuê ít nhất bao nhiêu xe để lấp đầy cái ao? (Đất chở trên xe gần được nén chặt và gần như không có khoảng trống trong khối đất)
(Cho biết công thức tính thể tích hình cầu là , trong đó R là bán kính hình cầu. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Phương pháp
a) Thể tích nước trong ao bằng thể tích của nửa hình cầu: Vhình cầu.
b) Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật để tính thể tích lòng trong thùng:
Tính thể tích đất mỗi xe chở được = .
Tính tỉ số giữa thể tích ao với thể tích đất mỗi xe chở được suy ra số xe cần thuê ít nhất.
Lời giải
a) Thể tích nước trong ao chính là thể tích của nửa hình cầu đường kính 10km.
Bán kính của ao là: 10 : 2 = 5 (m)
Thể tích nước trong ao là:
Vậy thể tích nước trong ao khoảng .
b) Thể tích của lòng trong thùng xe tải là:
Thể tích đất xe chở được là:
Vì người ta dùng đất để lấp đầy ao nên lượng đất dùng để lấp đầy ao bằng thể tích nước trong ao.
Ta có:
Vậy cần thuê ít nhất 16 chiếc xe để lấp đầy cái ao.
Câu 6 (1 điểm): Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 12,5km/h thì đến sớm hơn dự định 2 giờ, còn xe chạy chậm đi 10km/h thì đến nơi chậm mất 2,5 giờ.
a) Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.
b) Trên quãng đường cao tốc CD = 150km có vận tốc giới hạn từ 50km/h đến 120km/h thì một ô tô đi hết cao tốc trong khoảng thời gian nào?
Phương pháp
a) Gọi (km/h) là vận tốc xe ô tô dự định ()
Gọi (h) là thời gian dự định của ô tô ()
Biểu diễn quãng đường AB theo .
Lập phương trình biểu diễn quãng đường đi được nếu vận tốc tăng 12,5km/h thì xe đến sớm hơn dự định 2 giờ.
Lập phương trình biểu diễn quãng đường đi được nếu vận tốc giảm 10km/h thì xe đến nơi chậm 2,5 giờ.
Từ đó lập hệ phương trình.
Giải hệ phương trình để tìm .
b) Gọi thời gian đi hết quãng đường của ô tô là .
Vì vận tốc của ô tô trong khoảng từ 50km/h đến 120km/h nên ta có bất phương trình
Giải các bất phương trình để tìm a.
Lời giải
a) Gọi (km/h) là vận tốc xe ô tô dự định ()
Gọi (h) là thời gian dự định của ô tô ()
Khi đó quãng đường AB là: (km).
Nếu vận tốc tăng 12,5km/h thì xe đến sớm hơn dự định 2 giờ nên ta có phương trình:
Nếu vận tốc giảm 10km/h thì đến nơi chậm 2,5 giờ nên ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .
Giải hệ phương trình ta được:
Vậy vận tốc dự định của xe là 50km/h, thời gian dự định là 10 giờ và quãng đường AB là .
b) Gọi thời gian đi hết quãng đường của ô tô là .
Vì vận tốc của ô tô trong khoảng từ 50km/h đến 120km/h nên ta có bất phương trình:
* Giải bất phương trình ta được
* Giải bất phương trình ta được
Suy ra .
Vậy xe đi hết cao tốc trong khoảng thời gian từ 1,25 giờ (= 1 giờ 15 phút) đến 3 giờ.
Câu 7 (3 điểm): Cho nhọn . Đường tròn đường kính cắt lần lượt tại ( không trùng , không trùng ). cắt tại , cắt tại .
a) Chứng minh và tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh là tia phân giác của và .
c) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Với , , , tính số đo góc và độ dài FO.
Phương pháp
a) Chứng minh
Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC và cắt tại nên AF là đường cao, suy ra .
Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tam giác vuông BHE và BHF cùng nội tiếp đường tròn đường kính BH nên BEHF nội tiếp.
b) Chứng minh là tia phân giác của
Vì BEHF là tứ giác nội tiếp nên
Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp nên
Mà
suy ra , suy ra là tia phân giác của .
Chứng minh
Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp nên
Chứng minh (g.g)
Do đó , suy ra .
c) Tính
Sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh và góc nội tiếp cùng chắn một cung suy ra
Chứng minh suy ra nên , suy ra .
Tính FO
Đặt .
Chứng minh suy ra
Từ đó viết phương trình theo .
Giải phương trình để tìm FB. Khi đó ta tính được FO = BO – FB.
Lời giải
a) Chứng minh
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên .
Do đó là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà BD và CE cắt nhau tại nên H là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó là đường cao của tam giác ABC (vì cắt tại ) nên .
Chứng minh tứ giác nội tiếp
Vì vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BH.
Vì vuông tại F nên nội tiếp đường tròn đường kính BH.
Do đó bốn điểm B, E, H, F thuộc đường tròn đường kính BH hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh là tia phân giác của
Vì BEHF là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH). (1)
Vì vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính CH.
Vì vuông tại F nên nội tiếp đường tròn đường kính CH.
Do đó bốn điểm C, D, H, F thuộc đường tròn đường kính CH hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Do đó (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD). (2)
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ED) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra , suy ra là tia phân giác của .
Chứng minh
Vì vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Vì vuông tại F nên nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do đó bốn điểm A, B, F, D thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Xét và có:
(cmt)
(cmt)
Suy ra (g.g)
Do đó , suy ra .
c) Tính
Ta có: (hai góc đối đỉnh)
(hai góc đối đỉnh)
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE).
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
Suy ra .
Xét và có:
(gt)
(cmt)
OF chung
nên (c.g.c)
Suy ra = bán kính nên , suy ra (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tính độ dài FO
Ta có BC = 11cm nên BO = OC = cm.
Đặt , suy ra .
Xét và có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
(hai góc đối đỉnh)
nên suy ra , do đó
Thay số, ta được:
Giải phương trình ta được (TM) hoặc (KTM)
suy ra .
Do đó .
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 5
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho parabol .
a) Vẽ trên mặt phẳng tọa độ .
b) Tìm tọa độ những điểm thuộc (P) có tung độ bằng .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Hãy tính giá trị của biểu thức .
Câu 3 (1,5 điểm): Thống kê điểm kiểm tra môn Anh Văn của các học sinh lớp 9A được cho bởi bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh lớp 9A. Biết rằng có 4 học sinh lớp 9A được 10 điểm.
a) Lớp 9A có bao nhiêu học sinh? Có bao nhiêu học sinh đạt điểm khá?
b) Có bao nhiêu học sinh trên 8 điểm? Tính xác suất của biến cố A: “Học sinh được chọn đạt điểm tốt”.
(Biết điểm 7 là điểm khá; từ 8 trở lên là điểm tốt)
Câu 4 (1 điểm): Một hồ nước có hình dạng là một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là m và m. Ở giữa hồ nước người ta dự định đổ đất để ngăn hồ thành phần, phần ngoài trồng sen và phần trong nuôi cá (như hình vẽ). Biết khoảng cách các bờ của phần nuôi cá và bờ của hồ nước là (m).
a) Biểu diễn diện tích của phần nuôi cá theo .
b) Biết diện tích của phần trồng sen chiếm tổng diện tích hồ nước. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của phần nuôi cá.
Câu 5 (1 điểm): Để chống xói mòn bờ biển, một đơn vị thi công dự định làm các cống bê tông hình trụ như hình bên. Biết bề dày của cống bê tông là 20cm, chiều cao là 8m, đường kính đáy của hình trụ lớn là 2m.
a) Tính thể tích bê tông cần có để làm được 1 cống (lấy , làm tròn đến hàng đơn vị của ).
b) Biết rằng cứ 20m bờ biển thì cần 30 cống, bê tông có giá 0,8 triệu đồng và 1 cống bê tông cần 5,2 triệu đồng tiền sắt. Tính số tiền vật tư làm cống để kè được 1km bờ biển.
Câu 6 (1 điểm): Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hoàn toàn miền Nam 30/4.
a) Công ty dự kiến thuê hai loại xe: xe 45 chỗ và xe 30 chỗ để chở đoàn khách du lịch. Biết rằng số nhân viên của công ty là 390 người. Nếu tất cả mọi người đi thì tổng số xe cần thuê là 10 chiếc. Hỏi công ty cần thuê bao nhiêu xe mỗi loại?
b) Công ty dự định nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 200 người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá, cứ mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng/tour thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất?
Câu 7 (3 điểm): Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Vẽ đường kính BD và MD cắt tại C. Gọi H là giao điểm của MO và AB.
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và .
b) Gọi K là trung điểm của CD, L là giao điểm của AH và MC. Chứng minh .
c) Cho và . Tính MH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OLH theo R.
-------- HẾT --------
Lời giải
Câu 1 (1,5 điểm): Cho parabol .
a) Vẽ trên mặt phẳng tọa độ .
b) Tìm tọa độ những điểm thuộc (P) có tung độ bằng .
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Thay vào hàm số để tìm các giá trị tương ứng.
Giải phương trình để tìm N thoả mãn.
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số đi qua các điểm .
b) Các điểm thuộc (P) có tung độ bằng – 6 nên thay vào ta được:
Vậy điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng là và .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Hãy tính giá trị của biểu thức .
Phương pháp
a) Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn.
Sử dụng để kiểm tra nghiệm của phương trình.
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi A để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.
Thay tổng, tích vào A để tính toán dễ dàng trong quá trình biến đổi.
Định lí Viète:
Lời giải
a) Ta có:
Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Viète, ta có:
Ta có:
Thay vào A, ta được:
Vậy
Câu 3 (1,5 điểm): Thống kê điểm kiểm tra môn Anh Văn của các học sinh lớp 9A được cho bởi bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh lớp 9A. Biết rằng có 4 học sinh lớp 9A được 10 điểm.
a) Lớp 9A có bao nhiêu học sinh? Có bao nhiêu học sinh đạt điểm khá?
b) Có bao nhiêu học sinh trên 8 điểm? Tính xác suất của biến cố A: “Học sinh được chọn đạt điểm tốt”.
(Biết điểm 7 là điểm khá; từ 8 trở lên là điểm tốt)
Phương pháp
a) Xác định tần số tương đối tương ứng với số học sinh được 10 điểm.
Từ đó tính số học sinh khi biết số phần trăm tương ứng với 4 học sinh.
Xác định tần số tương đối của số học sinh đạt điểm khá (điểm 7).
Từ đó tính số học sinh đạt điểm khá bằng cách tính tỉ số phần trăm của số học sinh.
b) Xác định tỉ số phần trăm số học sinh trên điểm 8 = tần số tương đối của điểm 9 và điểm 10.
Từ đó tính số học sinh trên 8 điểm bằng cách tính tỉ số phần trăm của số học sinh.
Xác suất của biến cố A: “Học sinh được chọn đạt điểm tốt” chính là tổng tần số tương đối của học sinh đạt điểm tốt (từ 8 điểm trở lên).
Lời giải
a) Số học sinh đạt điểm 10 có tần số tương đối là 10% nên số học sinh lớp 9A là:
(học sinh)
Số học sinh đạt điểm khá (điểm 7) có tần số tương đối là 20% nên số học sinh đạt điểm khá là:
(học sinh)
b) Tần số tương đối của học sinh được chọn đạt trên 8 điểm là:
30% + 10% = 40%
Số học sinh đạt trên 8 điểm là:
(học sinh)
Tổng tần số tương đối của học sinh đạt điểm tốt (từ 8 điểm trở lên) là:
Do đó xác suất của biến cố A là: .
Câu 4 (1 điểm): Một hồ nước có hình dạng là một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là m và m. Ở giữa hồ nước người ta dự định đổ đất để ngăn hồ thành phần, phần ngoài trồng sen và phần trong nuôi cá (như hình vẽ). Biết khoảng cách các bờ của phần nuôi cá và bờ của hồ nước là (m).
a) Biểu diễn diện tích của phần nuôi cá theo .
b) Biết diện tích của phần trồng sen chiếm tổng diện tích hồ nước. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của phần nuôi cá.
Phương pháp
a) Biểu diễn chiều dài và chiều rộng của phần nuôi cá theo
Biểu diễn diện tích phần nuôi theo công thức tính diện tích hình chữ nhật.
b) Tính diện tích của phần trồng sen dựa vào diện tích hồ nước.
Từ đó ta tính được diện tích của phần nuôi cá và lập được phương trình.
Giải phương trình để tìm chiều dài, chiều rộng của phần nuôi cá.
Lời giải
a) Chiều dài của phần nuôi cá là: (m).
Chiều rộng của phần nuôi cá là: (m).
Suy ra diện tích của phần nuôi cá là:
b) Diện tích hồ nước là: .
Diện tích của phần trồng sen là:
Diện tích của phần nuôi cá là:
Ta có phương trình biểu diễn diện tích phần nuôi cá là:
Giải phương trình trên, ta được hoặc .
Vì chiều rộng của phần nuôi cá là một số dương nên hay .
Do đó thoả mãn.
Suy ra chiều dài của phần nuôi cá là: 10 – 2.1 = 8 (m)
chiều rộng của phần nuôi cá là: 7 – 2.1 = 5 (m).
Vậy chiều dài và chiều rộng của phần nuôi cá lần lượt là 8m và 5m.
Câu 5 (1 điểm): Để chống xói mòn bờ biển, một đơn vị thi công dự định làm các cống bê tông hình trụ như hình bên. Biết bề dày của cống bê tông là 20cm, chiều cao là 8m, đường kính đáy của hình trụ lớn là 2m.
a) Tính thể tích bê tông cần có để làm được 1 cống (lấy , làm tròn đến hàng đơn vị của ).
b) Biết rằng cứ 20m bờ biển thì cần 30 cống, bê tông có giá 0,8 triệu đồng và 1 cống bê tông cần 5,2 triệu đồng tiền sắt. Tính số tiền vật tư làm cống để kè được 1km bờ biển.
Phương pháp
Đưa về cùng đơn vị m.
a) Tính bán kính đáy của hình trụ lớn, bán kính phần rỗng.
Từ đó tính thể tích hình trụ lớn, thể tích phần rỗng suy ra thể tích phần bê tông cần để làm cống.
Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ:
b) Tính số tiền vật tư để làm một cống = tiền bê tông + tiền sắt.
Tính số cống cần dùng để kè 1km bờ biển.
Từ đó tính số tiền vật tư làm cống để kè được 1km bờ biển: số cống. số tiền vật tư để làm một cống.
Lời giải
Ta có hình minh hoạ như sau:
Đổi 20cm = 0,2m
a) Bán kính đáy của hình trụ lớn là: 2 : 2 = 1 (m)
Bán kính phần rỗng là: 1 – 0,2 = 0,8 (m)
Thể tích hình trụ lớn là:
Thể tích phần rỗng là:
Thể tích phần bê tông cần để làm cống là:
Vậy thể tích phần bê tông cần để làm cống là khoảng 9.
b) Số tiền vật tư để làm một cống là:
(triệu đồng)
Đổi 1km = 1000m
Vì cứ 20m bờ biển thì cần 30 cống nên 1km bờ biển cần (cống)
Do đó số tiền vật tư làm cống để kè được 1km bờ biển là: (triệu đồng).
Vậy số tiền vật tư làm cống để kè được 1km bờ biển là 18 600 triệu đồng.
Câu 6 (1 điểm): Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hoàn toàn miền Nam 30/4.
a) Công ty dự kiến thuê hai loại xe: xe 45 chỗ và xe 30 chỗ để chở đoàn khách du lịch. Biết rằng số nhân viên của công ty là 390 người. Nếu tất cả mọi người đi thì tổng số xe cần thuê là 10 chiếc. Hỏi công ty cần thuê bao nhiêu xe mỗi loại?
b) Công ty dự định nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 200 người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá, cứ mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng/tour thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất?
Phương pháp
a) Gọi số xe 45 chỗ và số xe 30 chỗ lần lượt là (xe) và (xe). ()
Viết phương trình biểu diễn tổng số nhân viên của công ty là 390 người và tổng số xe cần thuê là 10 chiếc theo và .
Từ đó lập hệ phương trình.
Giải hệ phương trình để tìm số chiếc xe mỗi loại.
b) Gọi số lần giảm giá 100 nghìn đồng/tour là (lần) ().
Biểu diễn giá của tour và số người tham gia sau khi giảm lần.
Từ đó ta có biểu thức biểu diễn doanh thu của công ty sau khi giảm giá tour lần.
Biến đổi biểu thức để tìm giá trị lớn nhất.
Từ đó, tính doanh thu công ty sẽ đạt lớn nhất.
Lời giải
a) Gọi số xe 45 chỗ và số xe 30 chỗ lần lượt là (xe) và (xe). ()
Số người đi xe 45 chỗ là , số người đi xe 30 chỗ là . Vì tổng số nhân viên của công ty là 390 người nên ta có phương trình:
(1)
Vì tổng số xe cần thuê là 10 chiếc nên ta có phương trình:
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được (thỏa mãn điều kiện).
Vậy công ty cần thuê 6 chiếc xe 45 chỗ và 4 chiếc xe 30 chỗ.
b) Đổi 100 nghìn đồng = 0,1 triệu đồng
Gọi số lần giảm giá 100 nghìn đồng/tour là (lần) ().
Giá của tour sau lần giảm là: (triệu đồng).
Khi đó số người tham gia sau khi giảm lần là: (người).
Doanh thu của công ty sau khi giảm giá tour lần là:
Xét biểu thức
Vì với mọi n nên
Dấu “=” xảy ra khi suy ra .
Để doanh thu của công ty sau khi giảm giá tour n lần là lớn nhất thì giá trị biểu thức A phải lớn nhất.
A đạt giá trị lớn nhất khi .
Khi đó, doanh thu công ty sẽ đạt lớn nhất là (triệu đồng).
Vậy giá mỗi tour là triệu đồng thì doanh thu từ tour của công ty là lớn nhất.
Câu 7 (3 điểm): Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Vẽ đường kính BD và MD cắt tại C. Gọi H là giao điểm của MO và AB.
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và .
b) Gọi K là trung điểm của CD, L là giao điểm của AH và MC. Chứng minh .
c) Cho và . Tính MH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OLH theo R.
Phương pháp
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp
Chứng minh và cùng nội tiếp đường tròn đường kính OM, suy ra M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay MAOB nội tiếp.
Chứng minh
Chứng minh (g.g) suy ra , do đó
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra nên .
b) Chứng minh
Chứng minh cân tại O có OK là đường trung tuyến nên OK đồng thời là đường cao của , suy ra .
Chứng minh OM là đường trung trực của AB.
Mà OM cắt AB tại H nên tại H và H là trung điểm AB.
Chứng minh (g.g), suy ra , do đó
c) Tính MH theo R
Vì H là trung điểm của AB nên tính được HB theo AB.
Sử dụng tỉ số lượng giác trong vuông tại H: suy ra hay .
Sử dụng tỉ số lượng giác trong vuông tại H: để tính MH.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OLH theo R
Xét vuông tại H nên nội tiếp đường tròn đường kính OL nên bán kính đường tròn ngoại tiếp là . Do đó ta cần tính độ dài OL.
Chứng minh (g.g), suy ra , do đó
kết hợp với (cmt) để có
Chứng minh (c.g.c), suy ra
Sử dụng tỉ số lượng giác trong vuông tại K: để tính KO.
Sử dụng tỉ số lượng giác trong vuông tại B: để tính OM.
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại K để tính MK.
Từ để tính HL.
Tính OH dựa vào OM, MH.
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại L để tính OL.
Do đó ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp là .
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp
Xét vuông tại A () nên nội tiếp đường tròn đường kính OM, suy ra O, A, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)
Xét vuông tại B () nên nội tiếp đường tròn đường kính OM, suy ra O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay MAOB nội tiếp.
Chứng minh
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét và có:
chung
nên (g.g) suy ra , do đó
Mà (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên .
b) Chứng minh
Xét có: (bán kính) nên cân tại O.
Mà OK là đường trung tuyến (K là trung điểm CD) nên OK đồng thời là đường cao của , suy ra .
Ta có:
(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
(bán kính)
nên OM là đường trung trực của AB.
Mà OM cắt AB tại H nên tại H và H là trung điểm AB.
Xét và có:
.
chung
nên (g.g), suy ra , do đó
c) Tính MH theo R
Vì H là trung điểm của AB nên
Xét vuông tại H, ta có:
suy ra hay
Ta có: (cùng phụ với )
Xét vuông tại H có:
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OLH theo R
Xét vuông tại H nên nội tiếp đường tròn đường kính OL nên bán kính đường tròn ngoại tiếp là .
Xét và có:
chung
(cùng phụ với )
nên (g.g), suy ra , do đó
Mà (cmt) nên
suy ra
Xét và có:
chung
(cmt)
nên (c.g.c), suy ra
Xét vuông tại K, ta có:
.
Xét vuông tại B, ta có:
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại K, ta có:
suy ra
Mà (cmt) nên
Do đó
Ta có:
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại L, ta có:
suy ra
Xét vuông tại H nên nội tiếp đường tròn đường kính OL, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
.
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 6
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho parabol .
a) Vẽ trên mặt phẳng tọa độ .
b) Tìm giá trị của m để điểm thuộc (P).
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Hãy tính giá trị của biểu thức .
Câu 3 (1,5 điểm): Biểu đồ cột kép ở hình sau biểu diễn số lượng học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của trường THCS A.
a) Tính tổng số học sinh của trường THCS A tham gia giải thi đấu thể thao.
b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của trường đó. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn là nam”.
B: “Học sinh được là nữ và không thuộc khối 9”.
Câu 4 (1 điểm): Một hình hộp không có nắp được làm từ một mảnh bìa giấy theo như hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh cm, chiều cao cm.
a) Viết công thức A biểu diễn theo diện tích xung quanh của chiếc hộp.
b) Biết rằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của chiếc hộp là . Tính độ dài cạnh đáy chiếc hộp.
Câu 5 (1 điểm): Vừa qua trên mạng xã hội, nhiều người truyền tai nhau hình ảnh về một hiện tượng tự nhiên vô cùng kỳ lạ, xuất hiện vào sáng ngày 24/11/2022. Được biết, bức ảnh này được chụp lại núi Bà Đen, một địa điểm du lịch vô cùng nổi tiếng của Tây Ninh.
Trong hình ảnh, đỉnh núi được bao phủ bởi một lớp mây trắng xóa. Không chỉ có vậy, những đám mây còn tạo thành một lớp "vỏ" có phần kỳ bí. Nhiều người gọi đây là hiện tượng "mây vờn", có người nhận xét trông đám mây như một chiếc nón. Ước tính chiều cao của nón lớn là , bán kính đáy của nón lớn là , độ dày đám mây là . Với mây chứa gam nước. Hỏi đám mây trên chứa bao nhiêu kilôgam nước? (làm tròn đến hàng đơn vị của kilôgam) Biết thể tích hình nón là (trong đó là bán kính đường tròn đáy; là chiều cao hình nón, lấy ). Giả sử phần núi bị bao phủ cũng là một hình nón.
Câu 6 (1 điểm): Một xí nghiệp dự tính chuyển hàng bằng hai xe tải và đang phân vân giữa việc mua hẳn hai chiếc xe tải hoặc thuê hai xe tải. Nếu mua hai xe với giá mỗi xe là 200 triệu đồng thì mỗi ngày xí nghiệp phải tốn 5 triệu đồng cho tất cả tài xế và nhiên liệu. Còn nếu thuê xe thì giá thuê một xe tải là 10 triệu đồng/ngày (đã bao gồm tiền công cho tài xế và nhiên liệu).
a) Trong trường hợp xí nghiệp quyết định mua và xe tải mới mua cần phải bảo dưỡng định kì, xí nghiệp sẽ sử dụng kết hợp cả xe tải mua và xe tải thuê. Khi đó, tổng chi phí vận chuyển cho một đợt chuyển hàng 300 ngày là 4 tỉ đồng (bao gồm cả tiền mua xe). Hãy tính số ngày sử dụng xe tải mua và số ngày sử dụng xe tải thuê trong đợt chuyển hàng này.
b) Trong trường hợp xí nghiệp vẫn đang phân vân giữa việc mua xe và thuê xe thì sau bao nhiêu ngày phương án mua xe sẽ tiết kiệm hơn phương án thuê xe?
Câu 7 (3 điểm): Cho đường tròn đường kính . Trên tiếp tuyến tại , lấy sao cho , cắt đường tròn tại .
a) Kẻ tại H. Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh và .
c) Chứng minh và tính diện tích tứ giác theo .
-------- HẾT --------
Lời giải
Câu 1 (1,5 điểm): Cho parabol .
a) Vẽ trên mặt phẳng tọa độ .
b) Tìm giá trị của m để điểm thuộc (P).
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Thay toạ độ điểm m vào (P) và giải phương trình để tìm m.
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Vì nên ta có:
hoặc
(TM) hoặc (TM)
Vậy ; thì điểm thuộc (P).
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Hãy tính giá trị của biểu thức .
Phương pháp
a) Sử dụng để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi P để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.
Định lí Viète: .
Lời giải
a) Ta có:
Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .
b) Theo định lí Viète, ta có: .
Ta có:
Vậy .
Câu 3 (1,5 điểm): Biểu đồ cột kép ở hình sau biểu diễn số lượng học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của trường THCS A.
a) Tính tổng số học sinh của trường THCS A tham gia giải thi đấu thể thao.
b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của trường đó. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn là nam”.
B: “Học sinh được là nữ và không thuộc khối 9”.
Phương pháp
a) Tổng số học sinh của trường tham gia giải thi đấu thể thao bằng tổng số học sinh 4 khối tham gia.
b) Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và số phần tử của không gian mẫu (tổng số học sinh của trường).
Lời giải
a) Nhìn vào biểu đồ ta thấy:
- Lớp 6 có tất cả: 7 nam + 9 nữ = 16 (học sinh)
- Lớp 7 có tất cả: 9 nam + 7 nữ = 16 (học sinh)
- Lớp 8 có tất cả: 9 nam + 8 nữ = 17 (học sinh)
- Lớp 9 có tất cả: 9 nam + 8 nữ = 17 (học sinh)
Tổng số học sinh của trường THCS A tham gia giải thi đấu thể thao là:
16 + 16 + 17 + 17 = 66 (học sinh)
Vậy có 66 học sinh của trường THCS A tham gia giải thi đấu thể thao.
b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Học sinh được chọn là nam” là:
7 + 9 + 9 + 9 = 34 (học sinh)
Xác suất để biến cố A xảy ra là: .
Số kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Học sinh được là nữ và không thuộc khối 9” là:
9 + 7 + 8 = 24 (học sinh)
Xác suất để biến cố B xảy ra là: .
Câu 4 (1 điểm): Một hình hộp không có nắp được làm từ một mảnh bìa giấy theo như hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh cm, chiều cao cm.
a) Viết công thức A biểu diễn theo diện tích xung quanh của chiếc hộp.
b) Biết rằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của chiếc hộp là . Tính độ dài cạnh đáy chiếc hộp.
Phương pháp
Hình hộp không có nắp:
- Đáy là hình vuông cạnh cm
- Chiều cao cm
a) Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: Chu vi đáy. chiều cao.
b) Viết phương trình biểu diễn tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của chiếc hộp. Từ đó tìm cạnh đáy của chiếc hộp.
Lời giải
Diện tích xung quanh của chiếc hộp là:
Vậy .
b) Điều kiện: .
Diện tích đáy của chiếc hộp là:
Vì tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của chiếc hộp là nên ta có phương trình:
Ta có: .
Do đó nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vậy độ dài cạnh đáy là .
Câu 5 (1 điểm): Vừa qua trên mạng xã hội, nhiều người truyền tai nhau hình ảnh về một hiện tượng tự nhiên vô cùng kỳ lạ, xuất hiện vào sáng ngày 24/11/2022. Được biết, bức ảnh này được chụp lại núi Bà Đen, một địa điểm du lịch vô cùng nổi tiếng của Tây Ninh.
Trong hình ảnh, đỉnh núi được bao phủ bởi một lớp mây trắng xóa. Không chỉ có vậy, những đám mây còn tạo thành một lớp "vỏ" có phần kỳ bí. Nhiều người gọi đây là hiện tượng "mây vờn", có người nhận xét trông đám mây như một chiếc nón. Ước tính chiều cao của nón lớn là , bán kính đáy của nón lớn là , độ dày đám mây là . Với mây chứa gam nước. Hỏi đám mây trên chứa bao nhiêu kilôgam nước? (làm tròn đến hàng đơn vị của kilôgam) Biết thể tích hình nón là (trong đó là bán kính đường tròn đáy; là chiều cao hình nón, lấy ). Giả sử phần núi bị bao phủ cũng là một hình nón.
Phương pháp
Hình nón lớn bao gồm thể tích của phần núi bị bao phủ bởi mây (hình nón nhỏ) và thể tích đám mây.
Sử dụng công thức tính thể tích hình nón để tính thể tích hình nón lớn, hình nón nhỏ.
Từ đó tính được thể tích đám mây = thể tích hình nón lớn – thể tích hình nón nhỏ.
Lượng nước mà đám mây có thể chứa = thể tích đám mây. 0,5 (g)
Đổi đơn vị về kg.
Lời giải
Hình nón lớn bao gồm thể tích của phần núi bị bao phủ bởi mây (hình nón nhỏ) và thể tích đám mây.
Thể tích hình nón lớn là:
Bán kính đáy của hình nón nhỏ là:
Chiều cao của hình nón nhỏ là:
Thể tích hình nón nhỏ là:
Thể tích đám mây là:
Lượng nước mà đám mây có thể chứa
Vậy lượng nước mà đám mây có thể chứa khoảng kilôgam.
Câu 6 (1 điểm): Một xí nghiệp dự tính chuyển hàng bằng hai xe tải và đang phân vân giữa việc mua hẳn hai chiếc xe tải hoặc thuê hai xe tải. Nếu mua hai xe với giá mỗi xe là 200 triệu đồng thì mỗi ngày xí nghiệp phải tốn 5 triệu đồng cho tất cả tài xế và nhiên liệu. Còn nếu thuê xe thì giá thuê một xe tải là 10 triệu đồng/ngày (đã bao gồm tiền công cho tài xế và nhiên liệu).
a) Trong trường hợp xí nghiệp quyết định mua và xe tải mới mua cần phải bảo dưỡng định kì, xí nghiệp sẽ sử dụng kết hợp cả xe tải mua và xe tải thuê. Khi đó, tổng chi phí vận chuyển cho một đợt chuyển hàng 300 ngày là 4 tỉ đồng (bao gồm cả tiền mua xe). Hãy tính số ngày sử dụng xe tải mua và số ngày sử dụng xe tải thuê trong đợt chuyển hàng này.
b) Trong trường hợp xí nghiệp vẫn đang phân vân giữa việc mua xe và thuê xe thì sau bao nhiêu ngày phương án mua xe sẽ tiết kiệm hơn phương án thuê xe?
Phương pháp
a) Gọi số ngày sử dụng xe tải mua và số ngày sử dụng xe tải thuê lần lượt là và (đơn vị: ngày), điều kiện: và .
Viết phương trình biểu diễn tổng số ngày vận chuyển.
Chi phí sử dụng xe mua = chi phí mua 2 xe + chi phí ngày xí nghiệp tốn cho tất cả tài xế và nghiên liệu.
Chi phí sử dụng xe thuê = 2. chi phí thuê xe trong ngày (vì thuê 2 xe).
Từ đó viết phương trình biểu diễn tổng chi phí vận chuyển cho 300 ngày.
Lập hệ phương trình, giải hệ phương trình tìm được.
Kiểm tra lại điều kiện của .
b) Gọi số ngày chuyển hàng là n .
Tính chi phí theo phương án mua xe, thuê xe.
Lập bất phương trình biểu diễn: chi phí phương án mua xe < chi phí phương án thuê xe.
Giải bất phương trình để tìm n.
Lời giải
a) Gọi số ngày sử dụng xe tải mua và số ngày sử dụng xe tải thuê lần lượt là và (đơn vị: ngày), điều kiện: và .
Vì tổng số ngày sử dụng xe tải mua và số ngày sử dụng xe tải thuê là 300 ngày nên ta có phương trình: . (1)
Chi phí sử dụng xe tải mua (bao gồm cả tiền mua xe) là: (đồng)
Chi phí sử dụng xe tải thuê là: (đồng)
Vì tổng chi phí vận chuyển là 4 tỉ đồng = 4 000 triệu đồng (bao gồm cả tiền mua xe) nên ta có phương trình:
hay . (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .
Giải hệ phương trình, ta được (TM)
Vậy xí nghiệp sử dụng xe tải mua 160 ngày và xe tải thuê 140 ngày.
b) Gọi số ngày chuyển hàng là n .
Chi phí sử dụng xe mua (bao gồm cả tiền mua xe) sau n ngày là: (triệu đồng)
Chi phí sử dụng xe thuê sau n ngày là: (triệu đồng)
Phương án mua xe sẽ tiết kiệm hơn phương án thuê xe khi:
Suy ra
Vậy sau 27 ngày thì phương án mua xe sẽ tiết kiệm hơn phương án thuê xe.
Câu 7 (3 điểm): Cho đường tròn đường kính . Trên tiếp tuyến tại , lấy sao cho , cắt đường tròn tại .
a) Kẻ tại H. Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh và .
c) Chứng minh và tính diện tích tứ giác theo .
Phương pháp
a) Chứng minh và nội tiếp đường tròn đường kính AM, suy ra A, M, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính AM nên tứ giác AMCH nội tiếp.
b) Chứng minh
Chứng minh (g.g) suy ra tỉ số bằng nhau giữa các cặp cạnh tương ứng.
Chứng minh
Chứng minh vuông cân tại A nên AC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
Suy ra
Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền suy ra
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông cân tại C suy ra
Do đó
c) Chứng minh
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại A để tính cạnh huyền OM.
Chứng minh (g. g) suy ra tỉ số bằng nhau giữa các cặp cạnh tương ứng để tính theo R.
Chứng minh (g. g) suy ra tỉ số bằng nhau giữa các cặp cạnh tương ứng để tính theo R.
Do đó
Chứng minh
Suy ra (c.g.c) suy ra (cặp góc tương ứng)
Hai góc có chung góc MHC nên
suy ra
Tính diện tích tứ giác theo
Từ H kẻ
Chứng minh
Vì (cmt) suy ra tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng và
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông cân tại C để tính BC.
Chứng minh
Suy ra chứng minh (g.g) .
Biểu diễn tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng và
Ta có: , biến đổi về , ta tính được .
Lời giải
a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên
Xét vuông tại C nên nội tiếp đường tròn đường kính AM, suy ra M, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AM.
Xét vuông tại H nên nội tiếp đường tròn đường kính AM, suy ra M, A, H cùng thuộc đường tròn đường kính AM.
Vậy A, M, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính AM hay tứ giác AMCH nội tiếp.
b) Chứng minh
Xét và có:
chung
Nên (g.g)
Suy ra hay
Chứng minh
Xét có: và AB = AM = 2R nên vuông cân tại A
Vì nên AC là đường cao, do đó AC cũng là đường trung tuyến
Suy ra (C là trung điểm của BM) hay (1)
và (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông cân tại C, ta có:
(do AC = CB)
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra
c) Chứng minh
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại A nên
Xét và có:
chung
nên (g. g)
suy ra
do đó
Xét và có:
chung
nên (g. g)
suy ra
do đó
Vì và nên
Do đó (3)
Mặt khác, (cmt) nên (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
Xét và có:
(cùng chắn cung HC)
(cmt)
Nên (c.g.c)
suy ra (cặp góc tương ứng)
Mà ;
Suy ra
Vậy
Tính diện tích tứ giác theo .
Từ H kẻ
Ta có ; ()
Nên
Vì (cmt) nên , suy ra
Xét có , AC = BC nên vuông cân tại C. Áp dụng định lí Pythagore, ta có:
Suy ra
Ta có: (hai góc nội tiếp chắn cung AH)
Mà (do )
nên hay
Mà nên (hai góc tương ứng)
Suy ra
Xét và có:
(do )
nên (g.g)
suy ra
Do đó , suy ra
Ta có:
Do đó
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 7
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho đồ thị hàm số có đồ thị .
a) Vẽ đồ thị .
b) Tìm các điểm trên (P) (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình .
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt .
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
Câu 3 (1,5 điểm): Một trường THCS khảo sát thời gian tiếp xúc với các thiết bị điện tử (điện thoại thông minh, ipad, máy tính, ti vi) trung bình trong một ngày của 150 học sinh và biểu diễn kết quả thu được trong biểu đồ sau:
a) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
b) Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc trẻ em tiếp xúc các thiết bị điện tử quá nhiều có thể gây rối loạn giấc ngủ, mỏi mắt, cận thị, cũng như đau cổ, vai, lưng. Ngoài ra, trẻ dễ mất tập trung, học tập kém, ít vận động, dễ béo phì và gặp các vấn đề tâm lý. Các chuyên gia khuyến nghị thời gian trẻ em tiếp xúc các thiết bị điện tử an toàn là ít hơn 2 giờ mỗi ngày.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất của biến cố học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo trên là bao nhiêu?
Câu 4 (1 điểm): Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh như hình vẽ.
a) Viết biểu thức biểu diễn chu vi C của tam giác theo .
b) Tìm để tam giác ABC vuông tại B?
Câu 5 (1 điểm): Một tháp nước có bể chứa hình cầu, đường kính bên trong của bể đo được là 6 m. (lấy , kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
a) Tính thể tích của bể chứa đó?
b) Biết rằng lượng nước đựng đầy trong bể đủ dùng cho một khu dân cư trong 5 ngày. Cho biết khu dân cư có 1304 người. Hỏi trong một ngày mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước?
Câu 6 (1 điểm): Nhân dịp khai trương, một nhóm gia đình muốn mua vé vào khu vui chơi. Biết rằng, khu vui chơi đã đưa ra hai chương trình khuyến mãi như sau:
- Chương trình 1: mua vé người lớn với giá 100 000 đồng/1 vé thì sẽ được giảm 20 000 đồng cho mỗi vé trẻ em giá 50 0000 đồng/1 vé.
- Chương trình 2: mua vé người lớn với giá 80 000 đồng/1 vé thì giá vé trẻ em là 50 000 đồng/1 vé.
a) Nếu nhóm gia đình chọn mua theo chương trình 1 thì số tiền họ phải trả là 1 000 000 đồng, nếu nhóm gia đình chọn mua theo chương trình 2 thì số tiền họ phải trả là 1 060 000 đồng. Hỏi nhóm gia đình có bao nhiêu người.
b) Một nhóm gia đình khác gồm người lớn và 4 trẻ em. Hỏi nhóm người này phải có tối thiểu là bao nhiêu người lớn để chọn chương trình 2 có lợi hơn chương trình 1?
Câu 7 (3 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính BD = 2R, trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) lấy điểm A sao cho BA = R. Từ A vẽ tiếp tuyến AC của (O) (C là tiếp điểm và C khác B). Một đường thẳng qua C lần lượt cắt tia BA và tia BO tại M và N. Vẽ BH vuông góc MN tại H.
a) Chứng minh OBAC là hình vuông và 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Tính độ dài AM và ON theo R biết diện tích tam giác MBN bằng .
-------- HẾT --------
Lời giải
Câu 1 (1,5 điểm): Cho đồ thị hàm số có đồ thị .
a) Vẽ đồ thị .
b) Tìm các điểm trên (P) (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Điểm thuộc cách đều hai trục toạ độ thì .
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm .
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Gọi là điểm thuộc cách đều hai trục tọa độ.
Khoảng cách từ điểm M đến trục hoành là: .
Khoảng cách từ điểm M đến trục tung là:
Vì điểm M cách đều hai trục toạ độ nên ta có: hay suy ra .
Do đó hoặc (vì )
Suy ra hoặc hoặc
+ Với thì , ta được điểm trùng với gốc toạ độ. (loại)
+ Với thì, ta được điểm (thoả mãn)
+ Với thì, ta được điểm (thoả mãn)
Vậy các điểm và cách đều hai trục tọa độ.
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình .
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt .
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
Phương pháp
a) Sử dụng để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi P để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.
Định lí Viète: .
Lời giải
a) Ta có:
Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .
b) Theo định lí Viète, ta có:
Ta có:
Vậy
Câu 3 (1,5 điểm): Một trường THCS khảo sát thời gian tiếp xúc với các thiết bị điện tử (điện thoại thông minh, ipad, máy tính, ti vi) trung bình trong một ngày của 150 học sinh và biểu diễn kết quả thu được trong biểu đồ sau:
a) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
b) Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc trẻ em tiếp xúc các thiết bị điện tử quá nhiều có thể gây rối loạn giấc ngủ, mỏi mắt, cận thị, cũng như đau cổ, vai, lưng. Ngoài ra, trẻ dễ mất tập trung, học tập kém, ít vận động, dễ béo phì và gặp các vấn đề tâm lý. Các chuyên gia khuyến nghị thời gian trẻ em tiếp xúc các thiết bị điện tử an toàn là ít hơn 2 giờ mỗi ngày.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất của biến cố học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo trên là bao nhiêu?
Phương pháp
a) Dựa vào biểu đồ cột để xác định tần số tương ứng của các giá trị và lập bảng tần số theo mẫu:
b) Xác định số kết quả có thể khi chọn ngẫu nhiên một học sinh (tổng số học sinh).
Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo trên (tiếp xúc các thiết bị điện tử an toàn là ít hơn 2 giờ mỗi ngày).
Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số kết quả có thể khi chọn ngẫu nhiên một học sinh.
Lời giải
a) Ta có bảng tần số sau:
b) Tổng số học sinh được khảo sát là:
15 + 36 + 48 + 39 + 12 = 150 (học sinh)
Theo khuyến nghị, thời gian trẻ em tiếp xúc các thiết bị điện tử an toàn là ít hơn 2 giờ mỗi ngày nên các học sinh thực hiện đúng khuyến cáo nằm trong các giá trị 0,5; 1.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo trên là:
15 + 36 = 51.
Vậy xác suất của biến cố học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo trên là: .
Câu 4 (1 điểm): Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh như hình vẽ.
a) Viết biểu thức biểu diễn chu vi C của tam giác theo .
b) Tìm để tam giác ABC vuông tại B?
Phương pháp
a) Biểu diễn chu vi tam giác bằng tổng các cạnh của tam giác.
b) Để tam giác ABC vuông tại B thì tổng bình phương hai cạnh AB và BC bằng bình phương cạnh AC.
Từ đó giải phương trình bậc hai ẩn .
Lời giải
a) Biểu thức biểu diễn chu vi C của tam giác ABC là:
b) Để tam giác ABC vuông tại B thì theo định lí Pythagore đảo, ta có:
(loại do là độ dài cạnh nên ) hoặc
Vậy với thì tam giác ABC vuông tại B.
Câu 5 (1 điểm): Một tháp nước có bể chứa hình cầu, đường kính bên trong của bể đo được là 6 m. (lấy , kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
a) Tính thể tích của bể chứa đó?
b) Biết rằng lượng nước đựng đầy trong bể đủ dùng cho một khu dân cư trong 5 ngày. Cho biết khu dân cư có 1304 người. Hỏi trong một ngày mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước?
Phương pháp
a) Tính bán kính bể chứa nước.
Tính thể tích bể chứa nước bằng công thức tính thể tích hình cầu: .
b) Đổi thể tích về đơn vị lít: lít.
Tính lượng nước bình quân khu dân cư sử dụng trong một ngày, lượng nước bình quân mỗi người sử dụng trong một ngày.
Lời giải
a) Bán kính bể chứa nước là: (m)
Thể tích của bể chứa nước là:
.
Vậy thể tích của bể chứa nước là khoảng .
b) Đổi: lít
Lượng nước bình quân khu dân cư sử dụng trong một ngày là:
(lít).
Lượng nước bình quân mỗi người sử dụng trong một ngày là:
(lít).
Vậy lượng nước bình quân mỗi người sử dụng trong một ngày là khoảng 17,34 lít.
Câu 6 (1 điểm): Nhân dịp khai trương, một nhóm gia đình muốn mua vé vào khu vui chơi. Biết rằng, khu vui chơi đã đưa ra hai chương trình khuyến mãi như sau:
- Chương trình 1: mua vé người lớn với giá 100 000 đồng/1 vé thì sẽ được giảm 20 000 đồng cho mỗi vé trẻ em giá 50 0000 đồng/1 vé.
- Chương trình 2: mua vé người lớn với giá 80 000 đồng/1 vé thì giá vé trẻ em là 50 000 đồng/1 vé.
a) Nếu nhóm gia đình chọn mua theo chương trình 1 thì số tiền họ phải trả là 1 000 000 đồng, nếu nhóm gia đình chọn mua theo chương trình 2 thì số tiền họ phải trả là 1 060 000 đồng. Hỏi nhóm gia đình có bao nhiêu người.
b) Một nhóm gia đình khác gồm người lớn và 4 trẻ em. Hỏi nhóm người này phải có tối thiểu là bao nhiêu người lớn để chọn chương trình 2 có lợi hơn chương trình 1?
Phương pháp
a) Gọi số người lớn và trẻ em của nhóm gia đình lần lượt là và (đơn vị: người), điều kiện: .
Biểu diễn số tiền mua vé người lớn, trẻ em theo chương trình 1 suy ra phương trình biểu diễn số tiền họ phải trả theo chương trình 1.
Biểu diễn số tiền mua vé người lớn, trẻ em theo chương trình 2 suy ra phương trình biểu diễn số tiền họ phải trả theo chương trình 2.
Từ đó lập được hệ phương trình và giải.
b) Biểu diễn số tiền mua vé người lớn, trẻ em theo chương trình 1, từ đó biểu diễn số tiền họ phải trả theo chương trình 1.
Biểu diễn số tiền mua vé người lớn, trẻ em theo chương trình 2, từ đó biểu diễn số tiền họ phải trả theo chương trình 2.
Lập bất phương trình biểu diễn số tiền nhóm gia đình chọn chương trình 2 có lợi hơn chương trình 1:
Số tiền phải trả theo chương trình 1 > số tiền phải trả theo chương trình 2.
Giải bất phương trình.
Lời giải
a) Gọi số người lớn và trẻ em của nhóm gia đình lần lượt là và (đơn vị: người), điều kiện: .
Theo chương trình 1: số tiền mua vé người lớn là: (đồng);
số tiền mua vé trẻ em là: (đồng)
Vì nếu nhóm gia đình chọn mua theo chương trình 1 thì số tiền họ phải trả là 1 000 000 đồng nên ta có phương trình:
hay (1)
Theo chương trình 2: số tiền mua vé người lớn là: (đồng);
số tiền mua vé trẻ em là: (đồng)
Vì nếu nhóm gia đình chọn mua theo chương trình 2 thì số tiền họ phải trả là 1 060 000 đồng nên ta có phương trình:
hay (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .
Giải hệ phương trình, ta được (TM)
Vậy nhóm gia đình có 7 người lớn và 10 trẻ em.
b) Theo chương trình 1: số tiền mua vé người lớn là: (đồng);
số tiền mua vé trẻ em là: (đồng)
Khi đó tổng số tiền mua vé theo chương trình 1 là: (đồng)
Theo chương trình 2: số tiền mua vé người lớn là: (đồng);
số tiền mua vé trẻ em là: (đồng)
Khi đó tổng số tiền mua vé theo chương trình 2 là: (đồng)
Nhóm gia đình chọn chương trình 2 có lợi hơn chương trình 1 thì ta có bất phương trình:
Giải bất phương trình:
Vậy nhóm người này phải có tối thiểu 5 người lớn để chọn chương trình 2 có lợi hơn chương trình 1.
Câu 7 (3 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính BD = 2R, trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) lấy điểm A sao cho BA = R. Từ A vẽ tiếp tuyến AC của (O) (C là tiếp điểm và C khác B). Một đường thẳng qua C lần lượt cắt tia BA và tia BO tại M và N. Vẽ BH vuông góc MN tại H.
a) Chứng minh OBAC là hình vuông và 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Tính độ dài AM và ON theo R biết diện tích tam giác MBN bằng .
Phương pháp
a) Chứng minh OBAC là hình vuông
Chứng minh tứ giác OBAC là hình thoi có 1 góc vuông nên tứ giác OBAC là hình vuông.
Chứng minh 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc một đường tròn
OBAC là hình vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính là đường chéo của hình vuông.
Chứng minh tam giác BHC vuông tại H nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BC.
Do đó 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh
Chứng minh AC // BN (cùng vuông góc với AB) nên suy ra
Chứng minh OC // BM (cùng vuông góc với BD) nên suy ra
Suy ra
c) Tính độ dài AM và ON theo R biết diện tích tam giác MBN bằng
Vì diện tích tam giác MBN bằng nên biểu diễn .
Biến đổi để xuất hiện theo .
Kết hợp với nên
Ta tính được .
Từ đó tính theo .
Lời giải
a) Chứng minh OBAC là hình vuông
Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
OB = OC (= R)
BA = R (gt)
suy ra AB = AC = OB = OC (= R)
nên tứ giác OBAC là hình thoi
Mà (vì AB là tiếp tuyến của (O) nên )
Do đó tứ giác OBAC là hình vuông.
Chứng minh 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc một đường tròn
Vì OBAC là hình vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính BC nên 4 điểm O, B, A, C thuộc đường tròn đường kính BC.
Mà nên tam giác BHC vuông tại H, do đó điểm H thuộc đường tròn đường kính BC.
Vậy 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh
Vì tứ giác OBAC là hình vuông nên , suy ra .
Mà (vì AB là tiếp tuyến của (O))
Do đó AC // OB (cùng vuông góc với AB) hay AC // BN, suy ra (hệ quả của định lí Thalès)
Suy ra (1)
Chứng minh tương tự, ta được OC // BM (cùng vuông góc với BD), suy ra (hệ quả của định lí Thalès)
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra
c) Tính độ dài AM và ON theo R biết diện tích tam giác MBN bằng
Vì diện tích tam giác MBN bằng nên ta có:
Mà nên (4)
Thay (4) vào (3) ta được:
hoặc
hoặc
+ Với thì
+ Với thì
Vậy hoặc .
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 8
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P).
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Bạn An đang thiết kế một chiếc cầu có hình dạng giống đồ thị của hàm số , bạn cần xác định những điểm trên cầu có độ cao bằng 2 mét so với mặt đất. Hãy tìm các tọa độ đó để bạn An hoàn thành bản vẽ.
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình bậc hai
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: .
Câu 3 (1,5 điểm):
a) Biểu đồ dưới đây thống kê số lượng nhân viên trong một công ty theo số năm kinh nghiệm làm việc của họ. Dựa vào biểu đồ trên, hãy cho biết tổng số nhân viên của công ty là bao nhiêu?
b) Một quản lý của công ty có 4 phần thưởng khác nhau A, B, C, D và sẽ trao cho hai nhóm nhân viên, mỗi nhóm được nhận 2 phần thưởng. Tính xác suất để nhóm thứ nhất nhận được phần thưởng A và C.
Câu 4 (1 điểm): Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 100m, chiều rộng 50m. Người ta làm một lối đi có dạng hình chữ nhật, khu vực trồng hoa có dạng hình thang vuông, còn lại là khu vực trồng cây ăn trái với kích thước như hình vẽ bên dưới.
a) Viết biểu thức biểu diễn theo diện tích phần đất của khu vực trồng cây ăn trái?
b) Tìm giá trị của biết phần đất của khu vực trồng cây ăn trái có diện tích là ?
Câu 5 (1 điểm): Để làm một cái gàu tát nước có dạng hình nón (hình 1), bác An dùng một tấm tôn hình cân tại O có cạnh bên OM = 6dm, (hình 2). Bác xác định trung điểm H của MN, vẽ cung tròn tâm O bán kính OH cắt các cạnh OM, ON lần lượt tại A, B. Sau đó bác cắt bỏ phần gạch sọc, cuộn phần còn lại của tấm tôn sao cho mép OA trùng khít với mép OB tạo thành chiếc gàu (giả sử phần diện tích của mép nối không đáng kể). (lấy )
a) Tính diện tích tôn cần dùng để làm chiếc gàu? (kết quả làm tròn 1 chữ số thập phân)
b) Hỏi khi múc đầy thì chiếc gàu chứa được bao nhiêu lít nước? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết , trong đó h là chiều cao hình nón, r là bán kính mặt đáy hình nón.
Câu 6 (1 điểm): Một bài thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được 5 điểm, nếu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm, nếu bỏ qua câu trả lời thì được 0 điểm.
a) Bạn An tham dự bài thi và được 47 điểm. Biết An bỏ qua 5 câu. Hỏi An trả lời đúng mấy câu và trả lời sai mấy câu?
b) Bạn Hoa tham dự bài thi và được 59 điểm. Hỏi Hoa trả lời đúng mấy câu, trả lời sai mấy câu và bỏ qua bao nhiêu câu?
Câu 7 (3 điểm): Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB. Vẽ cát tuyến MDC và (O), C nằm ngoài M và D. Gọi N là trung điểm CD.
a) Chứng minh MO AB và .
b) Chứng minh O, A, M, B, N cùng thuộc đường tròn đường kính OM và MN là tia phân giác của .
c) Giả sử OA = R, OM = 2R . Tính .
-------- HẾT --------
Lời giải
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P).
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Bạn An đang thiết kế một chiếc cầu có hình dạng giống đồ thị của hàm số , bạn cần xác định những điểm trên cầu có độ cao bằng 2 mét so với mặt đất. Hãy tìm các tọa độ đó để bạn An hoàn thành bản vẽ.
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Thay y = 2 vào (P) để xác định các giá trị x tương ứng.
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Những điểm trên cầu có độ cao bằng 2 mét so với mặt đất là các điểm có tung độ .
Thay y = 2 vào (P) ta được:
suy ra hoặc
Vậy bạn An cần xác định những điểm (1; 2) và (-1; 2).
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình bậc hai
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: .
Phương pháp
a) Sử dụng để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi P để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.
Định lí Viète: .
Lời giải
a) Phương trình có ; ;
Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b)
Áp dụng Viète, ta có: ;
Ta có:
Vậy .
Câu 3 (1,5 điểm):
a) Biểu đồ dưới đây thống kê số lượng nhân viên trong một công ty theo số năm kinh nghiệm làm việc của họ. Dựa vào biểu đồ trên, hãy cho biết tổng số nhân viên của công ty là bao nhiêu?
b) Một quản lý của công ty có 4 phần thưởng khác nhau A, B, C, D và sẽ trao cho hai nhóm nhân viên, mỗi nhóm được nhận 2 phần thưởng. Tính xác suất để nhóm thứ nhất nhận được phần thưởng A và C.
Phương pháp
a) Tính tổng số nhân viên = tổng số lượng nhân viên theo số năm kinh nghiệm.
b) Xác định số phần tử của không gian mẫu.
Xác định số kết quả thuận lợi của nhóm thứ nhất nhận được phần thưởng A và C.
Xác suất để nhóm thứ nhất nhận được phần thưởng A và C bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi với số phần tử của không gian mẫu.
Lời giải
a) Từ biểu đồ trên, ta có tổng số nhân viên là:
5 + 8 + 12 + 10 + 15 + 9 + 6 = 65 (nhân viên)
Vậy tổng số nhân viên của công ty là 65 nhân viên.
b) Không gian mẫu là: {(AB,CD), (AC, BD), (AD, BC), (BC, AD), (BD, AC), (CD, AB)}.
Không gian mẫu có 6 phần tử.
Nhóm thứ nhất nhận được phần thưởng A và C là: (AC, BD) nên có 1 kết quả thuận lợi.
Vậy xác suất để nhóm thứ nhất nhận được phần thưởng A và C là .
Câu 4 (1 điểm): Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 100m, chiều rộng 50m. Người ta làm một lối đi có dạng hình chữ nhật, khu vực trồng hoa có dạng hình thang vuông, còn lại là khu vực trồng cây ăn trái với kích thước như hình vẽ bên dưới.
a) Viết biểu thức biểu diễn theo diện tích phần đất của khu vực trồng cây ăn trái?
b) Tìm giá trị của biết phần đất của khu vực trồng cây ăn trái có diện tích là ?
Phương pháp
a) Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật để tính diện tích khu vườn, lối đi:
Shình chữ nhật = chiều dài.chiều rộng.
Sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tính diện tích khu vực trồng hoa:
Shình thang = .chiều cao.tổng hai đáy.
Diện tích phần đất của khu vực trồng cây ăn trái = diện tích khu vườn – diện tích lối đi – diện tích khu vực trồng hoa.
b) Giải phương trình bậc hai một ẩn để tìm .
Lời giải
a) Diện tích khu vườn hình chữ nhật là:
Diện tích lối đi là:
Diện tích khu vực trồng hoa là:
Vậy biểu thức biểu diễn theo diện tích phần đất của khu vực trồng cây ăn trái là:
b) Vì phần đất của khu vực trồng cây ăn trái có diện tích là nên ta có phương trình:
Giải phương trình ta được (không thoả mãn điều kiện) hoặc (thoả mãn điều kiện)
Vậy là giá trị cần tìm.
Câu 5 (1 điểm): Để làm một cái gàu tát nước có dạng hình nón (hình 1), bác An dùng một tấm tôn hình cân tại O có cạnh bên OM = 6dm, (hình 2). Bác xác định trung điểm H của MN, vẽ cung tròn tâm O bán kính OH cắt các cạnh OM, ON lần lượt tại A, B. Sau đó bác cắt bỏ phần gạch sọc, cuộn phần còn lại của tấm tôn sao cho mép OA trùng khít với mép OB tạo thành chiếc gàu (giả sử phần diện tích của mép nối không đáng kể). (lấy )
a) Tính diện tích tôn cần dùng để làm chiếc gàu? (kết quả làm tròn 1 chữ số thập phân)
b) Hỏi khi múc đầy thì chiếc gàu chứa được bao nhiêu lít nước? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết , trong đó h là chiều cao hình nón, r là bán kính mặt đáy hình nón.
Phương pháp
a) Diện tích tôn cần dùng chính là diện tích xung quanh của hình nón: .
Để tính diện tích xung quanh, ta cần có và .
Chứng minh OH là đường phân giác đồng thời là đường cao để tính được OH theo tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Từ đó ta tính được độ dài cung tròn AB nhỏ: , chính là chu vi đường tròn đáy của hình nón.
Dùng công thức tính chu vi đường tròn để tính bán kính đáy của hình nón.
Đường sinh của hình nón chính là độ dài đoạn OA.
Tính diện tích xung quanh hình nón, chính là diện tích tôn cần dùng.
b) Áp dụng công thức liên hệ giữa bán kính, đường sinh và đường cao để tính đường cao: .
Từ đó tính thể tích gàu nước.
Đổi về lít: = 1 lít.
Lời giải
a)
Vì OH là trung tuyến tam giác (gt) và cân tại (gt) nên OH đồng thời là phân giác của và đường cao của tam giác .
Do đó và tại .
Trong tam giác MOH vuông tại , ta có:
suy ra
Do đó độ dài cung tròn AB nhỏ là:
Vì cuộn phần còn lại của tấm tôn sao cho mép OA trùng khít với mép OB tạo thành chiếc gàu nên độ dài cung tròn AB nhỏ là chu vi của miệng chiếc gàu (chu vi hình tròn) nên suy ra
Diện tích tôn cần dùng để làm chiếc gàu chính là diện tích xung quanh hình nón.
Diện tích xung quanh của hình nón là:
(vì đường sinh dm)
Vậy diện tích tôn cần dùng để làm chiếc gàu khoảng 9,4 .
b)
Ta có:
suy ra
Thể tích gàu nước:
= 3 lít
Vậy khi múc đầy thì chiếc gàu chứa được khoảng 3 lít nước.
Câu 6 (1 điểm): Một bài thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được 5 điểm, nếu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm, nếu bỏ qua câu trả lời thì được 0 điểm.
a) Bạn An tham dự bài thi và được 47 điểm. Biết An bỏ qua 5 câu. Hỏi An trả lời đúng mấy câu và trả lời sai mấy câu?
b) Bạn Hoa tham dự bài thi và được 59 điểm. Hỏi Hoa trả lời đúng mấy câu, trả lời sai mấy câu và bỏ qua bao nhiêu câu?
Phương pháp
a) Gọi là số câu An trả lời đúng, là số câu sai ().
Lập phương trình biểu diễn tổng số câu, tổng số điểm bạn An đạt được, từ đó ta có hệ phương trình.
Giải hệ phương trình để tính số câu bạn An làm đúng, sai, bỏ qua.
b) Gọi là số câu đúng, là số câu sai, là số câu bỏ qua của bạn Hoa ().
Lập phương trình tổng số câu của bạn Hoa, từ đó ta có bất phương trình .
Lập phương trình biểu diễn số điểm của bạn Hoa, từ đó biểu diễn theo .
Từ phương trình trên, ta xác định được điều kiện bổ sung của là .
Thay vào bất phương trình , giải để tìm .
Từ đó thay các giá trị thoả mãn của và tìm các giá trị tương ứng.
Kiểm tra lại điều kiện và kết luận.
Lời giải
a) Gọi là số câu An trả lời đúng, là số câu sai ().
Vì An bỏ qua 5 câu nên ta có phương trình: suy ra
Mỗi câu đúng được điểm, mỗi câu sai bị trừ điểm và An được 47 nên ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .
Giải hệ phương trình, ta có: (TM).
Vậy An trả lời đúng 11 câu, trả lời sai 4 câu, bỏ qua 5 câu.
b) Gọi là số câu đúng, là số câu sai, là số câu bỏ qua của bạn Hoa ().
Khi đó nên
Vì Hoa được 59 điểm nên ta có phương trình:
Vì nên
suy ra nên .
Do đó (3)
Thay (2) vào (1), ta được:
Từ (3) và (4) suy ra
+ Với thì (không thoả mãn điều kiện)
+ Với thì (thoả mãn), suy ra (thoả mãn)
+ Với thì (không thoả mãn điều kiện)
Vậy Hoa trả lời đúng 13 câu, trả lời sai 3 câu, bỏ qua 4 câu.
Câu 7 (3 điểm): Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB. Vẽ cát tuyến MDC và (O), C nằm ngoài M và D. Gọi N là trung điểm CD.
a) Chứng minh MO AB và .
b) Chứng minh O, A, M, B, N cùng thuộc đường tròn đường kính OM và MN là tia phân giác của .
c) Giả sử OA = R, OM = 2R . Tính .
Phương pháp
a) Chứng minh MO AB
Chứng minh MO là đường trung trực của AB
Suy ra MO AB
Chứng minh
Chứng minh
suy ra
b) Chứng minh O, A, M, B, N cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Chứng minh , , cùng thuộc đường tròn đường kính OM nên O, N, A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
Chứng minh MN là tia phân giác của
Dựa vào tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh .
Suy ra
nên (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)
Do đó NM là phân giác của .
c) Giả sử OA = R, OM = 2R . Tính .
Chứng minh , suy ra
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OBM để tính BM.
Thay số để tính .
Lời giải
a) Chứng minh MO AB
Ta có:
MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB = R
Suy ra MO là đường trung trực của AB
Suy ra MO AB
Chứng minh
Xét và có:
chung
nên
suy ra , do đó
b) Chứng minh O, A, M, B, N cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Vì vuông tại A (MA là tiếp tuyến) nên A, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính MO (1)
Vì vuông tại B (MB là tiếp tuyến) nên M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)
Xét cân tại O (OD = OC = R) có:
ON là đường trung tuyến (N là trung điểm của CD) nên .
Vì vuông tại N nên O, N, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra O, N, A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
Chứng minh MN là tia phân giác của
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến nên OM là tia phân giác của , suy ra .
Mà là góc nội tiếp chắn cung AM, là góc nội tiếp chắn cung BM của đường tròn đường kính OM nên
suy ra (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)
Do đó NM là phân giác của .
c) Giả sử OA = R, OM = 2R . Tính .
Xét và có:
chung
nên , suy ra
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OBM, ta có:
, suy ra , suy ra .
Do đó .
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 9
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P).
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm toạ độ điểm A thuộc đồ thị (P) sao cho A có hoành độ hơn tung độ một đơn vị.
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình bậc hai
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: .
Câu 3 (1,5 điểm): Bảng sau cho biết số chuyến bay bị chậm do tàu bay về muộn trong tháng 02/2025 của sáu hãng hàng không Việt Nam (Nguồn: Cục Hàng không Việt Nam).
a) Tính tỉ số phần trăm số chuyến bay bị chậm chuyến do tàu bay về muộn của Vietnam Airlines so với tổng số chuyến bay bị chậm do tàu bay về muộn của cả sáu hãng hàng không trên.
b) Chọn ngẫu nhiên một chuyến bay bị chậm chuyến do tàu bay về muộn trong tháng 02/2025. Tính xác suất để chuyến bay không thuộc Vietnam Airlines hoặc VietJet Air?
Câu 4 (1 điểm): Chợ Dân Sinh chuẩn bị được đưa vào hoạt động. Nếu mỗi gian hàng của chợ này cho thuê với mức giá 31 triệu đồng/năm (đã bao gồm phí duy trì) thì sẽ có 60 gian hàng được thuê. Theo khảo sát và nghiên cứu, nếu chợ Dân Sinh giảm giá thuê và ước tính cứ mỗi lần giảm giá thuê 1 triệu đồng/năm thì số lượng gian hàng được thuê sẽ tăng thêm 20 gian hàng. Gọi (triệu đồng) là giá cho thuê mới.
a) Viết biểu thức biểu diễn theo doanh thu của chợ Dân Sinh.
b) Phí duy trì một gian hàng của chợ dân sinh là 27 triệu đồng/năm. Hỏi giá cho thuê mới của chợ Dân Sinh là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của chợ là 245 triệu đồng?
Biết lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi phí duy trì gian hàng.
Câu 5 (1 điểm): Một chiếc cốc đang chứa nước. Khối nước trong cốc có một dạng hình trụ, bán kính đáy bằng 6cm. Bạn Nam lấy một viên bi thủy tinh hình cầu thả vào trong cốc và quan sát thấy viên bi bị ngập trong nước đồng thời nước không bị tràn khỏi cốc (như hình minh họa). Bạn Nam đo được mực nước trong cốc dâng lên một khoảng bằng 1cm.
a) Tính thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc.
b) Tính bán kính R của viên bi mà bạn Nam đã thả vào cốc.
Câu 6 (1 điểm): Một người đi taxi sẽ phải trả chi phí gồm: phí lúc mở cửa và cứ mỗi km di chuyển sẽ trả một số tiền cố định. Nhà ông bà ngoại của Nam cách nhà Nam 32 km. Biết rằng một chuyến đi 10km thì phải trả 109 000 đồng và một chuyến đi 6km thì phải trả 69 000 đồng.
a) Nam muốn về thăm ông bà ngoại bằng cách đi xe taxi từ nhà. Hỏi Nam phải trả bao nhiêu tiền cho chuyến đi.
b) Để giảm chi phí, Nam tính toán cách di chuyển thứ hai đến nhà ông bà ngoại như sau: Nam đi taxi đến trạm xe buýt, rồi sau đó đi xe buýt theo tuyến đường đến nhà ông bà ngoại. Biết giá vé xe buýt là 50000 đồng. Hỏi trạm xe buýt cách nhà Nam bao xa thì với cách di chuyển thứ hai sẽ ít tốn chi phí hơn?
Câu 7 (3 điểm): Cho tam giác ABC nhọn (với AB < AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC và OI vuông góc BC.
b) Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh: và ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Biết AH = R = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC và EF.
-------- HẾT --------
Lời giải
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P).
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm toạ độ điểm A thuộc đồ thị (P) sao cho A có hoành độ hơn tung độ một đơn vị.
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Vì điểm A thuộc đồ thị (P) và A có hoành độ hơn tung độ một đơn vị nên ta biểu diễn được tung độ của A theo hoành độ , từ đó giải tìm .
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm .
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Vì điểm A thuộc đồ thị (P) nên ta có .
Mà A có hoành độ hơn tung độ một đơn vị nên .
Do đó
suy ra
Với thì .
Vậy .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình bậc hai
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: .
Phương pháp
a) Sử dụng để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi A để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.
Định lí Viète: .
Lời giải
a) Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b)
Áp dụng Viète, ta có: ; .
Ta có:
Vậy .
Câu 3 (1,5 điểm): Bảng sau cho biết số chuyến bay bị chậm do tàu bay về muộn trong tháng 02/2025 của sáu hãng hàng không Việt Nam (Nguồn: Cục Hàng không Việt Nam).
a) Tính tỉ số phần trăm số chuyến bay bị chậm chuyến do tàu bay về muộn của Vietnam Airlines so với tổng số chuyến bay bị chậm do tàu bay về muộn của cả sáu hãng hàng không trên.
b) Chọn ngẫu nhiên một chuyến bay bị chậm chuyến do tàu bay về muộn trong tháng 02/2025. Tính xác suất để chuyến bay không thuộc Vietnam Airlines hoặc VietJet Air?
Phương pháp
a) Tính tổng số chuyến bay.
Từ đó tính tỉ số phần trăm giữa số chuyến bay của Vietnam Airlines so với tổng số chuyến bay.
b) Tính tổng số chuyến bay của Pacific Airlines (BL); VASCO (0V); Bamboo Airway (QH); Vietravel (VU) = tổng số chuyến bay - Vietnam Airlines (VN) - VietJet Air (VJ)
Xác suất = tổng số chuyến bay của Pacific Airlines (BL); VASCO (0V); Bamboo Airway (QH); Vietravel (VU) : tổng số chuyến bay.
Lời giải
a) Tổng số chuyến bay của sáu hãng hàng không là:
(chuyến)
Tỉ số phần trăm số chuyến bay bị chậm chuyến do tàu bay về muộn của Vietnam Airlines so với tổng số chuyến bay bị chậm do tàu bay về muộn của cả sáu hãng hàng không trên là:
.
b) Số chuyến bay không thuộc Vietnam Airlines hoặc VietJet Air là:
(chuyến)
Xác suất để chuyến bay không thuộc Vietnam Airlines hoặc VietJet Air là:
.
Câu 4 (1 điểm): Chợ Dân Sinh chuẩn bị được đưa vào hoạt động. Nếu mỗi gian hàng của chợ này cho thuê với mức giá 31 triệu đồng/năm (đã bao gồm phí duy trì) thì sẽ có 60 gian hàng được thuê. Theo khảo sát và nghiên cứu, nếu chợ Dân Sinh giảm giá thuê và ước tính cứ mỗi lần giảm giá thuê 1 triệu đồng/năm thì số lượng gian hàng được thuê sẽ tăng thêm 20 gian hàng. Gọi (triệu đồng) là giá cho thuê mới.
a) Viết biểu thức biểu diễn theo doanh thu của chợ Dân Sinh.
b) Phí duy trì một gian hàng của chợ dân sinh là 27 triệu đồng/năm. Hỏi giá cho thuê mới của chợ Dân Sinh là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của chợ là 245 triệu đồng?
Biết lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi phí duy trì gian hàng.
Phương pháp
a) Từ giá cho thuê mới, tính số lần giảm giá.
Khi đó biểu diễn số gian hàng được thuê sau khi giảm giá.
Biểu thức biểu diễn doanh thu = giá cho thuê . số gian hàng.
b) Tính phí duy trì của số gian hàng được thuê.
Tính lợi nhuận = doanh thu – phí duy trì.
Từ đó lập được phương trình bậc hai ẩn .
Giải phương trình để tìm . Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Lời giải
a) Với (triệu đồng) là giá cho thuê mới thì số lần giảm giá là: (lần)
Khi giảm lần thì số gian hàng tăng lên (gian hàng)
Khi đó số gian hàng được thuê là: (gian hàng)
Biểu thức biểu diễn theo doanh thu của chợ Dân Sinh là: .
b) Vì phí duy trì mỗi gian hàng là 27 (triệu đồng) nên phí duy trì của gian hàng là: (triệu đồng)
Khi đó lợi nhuận thu được là:
Vì lợi nhuận thu được là 245 triệu nên ta có phương trình:
hay
Giải phương trình ta được (TM)
Vậy giá cho thuê mới của chợ Dân Sinh là 30,5 triệu đồng (30 triệu 500 nghìn đồng).
Câu 5 (1 điểm): Một chiếc cốc đang chứa nước. Khối nước trong cốc có một dạng hình trụ, bán kính đáy bằng 6cm. Bạn Nam lấy một viên bi thủy tinh hình cầu thả vào trong cốc và quan sát thấy viên bi bị ngập trong nước đồng thời nước không bị tràn khỏi cốc (như hình minh họa). Bạn Nam đo được mực nước trong cốc dâng lên một khoảng bằng 1cm.
a) Tính thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc.
b) Tính bán kính R của viên bi mà bạn Nam đã thả vào cốc.
Phương pháp
a) Dựa vào công thức tính thể tích hình trụ để tính thể tích phần nước dâng lên: Vtrụ (r là bán kính đáy, h là chiều cao).
b) Vì thể tích phần nước dâng lên bằng thể tích của viên bi nên áp dụng công thức tính thể tích hình cầu để tìm bán kính hình của viên bi: Vcầu (R là bán kính)
Lời giải
a) Vì mực nước trong cốc dâng lên một khoảng bằng 1cm và bán kính phần nước dâng lên chính là bán kính đáy của cốc nên thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc là:
Vậy thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc là .
b) Vì thể tích phần nước dâng lên bằng thể tích của viên bi nên ta có:
suy ra
Do đó
Vậy bán kính R của viên bi là 3cm.
Câu 6 (1 điểm): Một người đi taxi sẽ phải trả chi phí gồm: phí lúc mở cửa và cứ mỗi km di chuyển sẽ trả một số tiền cố định. Nhà ông bà ngoại của Nam cách nhà Nam 32 km. Biết rằng một chuyến đi 10km thì phải trả 109 000 đồng và một chuyến đi 6km thì phải trả 69 000 đồng.
a) Nam muốn về thăm ông bà ngoại bằng cách đi xe taxi từ nhà. Hỏi Nam phải trả bao nhiêu tiền cho chuyến đi.
b) Để giảm chi phí, Nam tính toán cách di chuyển thứ hai đến nhà ông bà ngoại như sau: Nam đi taxi đến trạm xe buýt, rồi sau đó đi xe buýt theo tuyến đường đến nhà ông bà ngoại. Biết giá vé xe buýt là 50000 đồng. Hỏi trạm xe buýt cách nhà Nam bao xa thì với cách di chuyển thứ hai sẽ ít tốn chi phí hơn?
Phương pháp
a) Gọi (nghìn đồng) là phí mở cửa ()
Gọi (nghìn đồng) là số tiền trả 1km di chuyển ()
Biết rằng một chuyến đi 10km thì phải trả 109 000 đồng và một chuyến đi 6km thì phải trả 69 000 đồng nên ta lập được hai phương trình theo và . Từ đó ta có hệ phương trình.
Giải hệ phương trình để tìm .
b) Gọi a (km) là khoảng cách từ nhà Nam đến trạm xe buýt, .
Biểu diễn số tiền Nam phải trả khi di chuyển theo cách thứ hai theo .
Lập bất phương trình biểu diễn số tiền phải trả theo cách di chuyển thứ hai ít tốn chi phí hơn cách di chuyển thứ nhất.
Giải bất phương trình để tìm a.
Lời giải
a) Gọi (nghìn đồng) là phí mở cửa ()
Gọi (nghìn đồng) là số tiền trả 1km di chuyển ()
Biết một chuyến đi 10km thì phải trả 109 000 đồng nên ta có phương trình: (1)
Biết một chuyến đi 6km thì phải trả 69 000 đồng nên ta có phương trình: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được: (TM)
Vậy khi di chuyển trên quãng đường 32 km thì Nam phải trả số tiền là: nghìn đồng.
b) Gọi a (km) là khoảng cách từ nhà Nam đến trạm xe buýt, .
Số tiền Nam phải trả khi di chuyển theo cách thứ hai là:
(nghìn đồng)
Nếu cách di chuyển thứ hai sẽ ít tốn chi phí hơn thì ta có bất phương trình:
Vây nếu trạm xe buýt cách nhà Nam ít hơn 27km thì với cách di chuyển thứ hai sẽ ít tốn chi phí hơn.
Câu 7 (3 điểm): Cho tam giác ABC nhọn (với AB < AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC và OI vuông góc BC.
b) Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh: và ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Biết AH = R = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC và EF.
Phương pháp
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
Chứng minh và nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Do đó tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh
Chứng minh tam giác OBC cân tại O, OI là đường trung tuyến của tam giác OBC.
Do đó OI cũng là đường cao của tam giác OBC.
Suy ra .
b) Chứng minh
Chứng minh (g.g)
suy ra , do đó
Chứng minh ba điểm H, I, M thẳng hàng
Chứng minh BH // MC, BM // CH nên tứ giác BHCM là hình bình hành
Lại có là trung điểm của BC
Nên I cũng là trung điểm của HM
Suy ra ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Tính độ dài đoạn thẳng BC
Chứng minh OI là đường trung bình của và tính OI theo AH.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OIC vuông tại (do ) để tính BC.
Tính độ dài đoạn thẳng EF
Tính theo tỉ số lượng giác.
Suy ra
Tính theo (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Chứng minh (c.g.c)
Suy ra
Tính EF theo BC.
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
Vì BE và CF là đường cao của tam giác ABC nên và , suy ra .
Xét và lần lượt vuông tại F và E () nên và nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Do đó tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh
Xét tam giác OBC có OB = OC nên tam giác OBC cân tại O.
Mà I là trung điểm của BC nên OI là đường trung tuyến của tam giác OBC.
Do đó OI cũng là đường cao của tam giác OBC.
Suy ra .
b) Chứng minh
Xét và có:
(AD là đường cao, là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
nên (g.g)
suy ra , do đó
Chứng minh ba điểm H, I, M thẳng hàng
Vì (BE là đường cao, ) nên BE // MC hay BH // MC.
Vì (CF là đường cao, (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)) nên BM // CF hay BM // CH.
Xét tứ giác BHCM có:
BH // MC
BM // CH
Suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành
Lại có là trung điểm của BC
Nên I cũng là trung điểm của HM
Suy ra ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Tính độ dài đoạn thẳng BC
Xét có O là trung điểm của AM (AM là đường kính), I là trung điểm của HM (cmt) nên OI là đường trung bình của . Do đó (cm)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OIC vuông tại (do ), ta có:
, suy ra
suy ra
Tính độ dài đoạn thẳng EF
Xét tam giác vuông OIC có: nên
Suy ra (OI là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác BOC)
Ta có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Xét và có:
chung
nên (g.g)
suy ra hay
Xét và có:
chung
(cmt)
nên (c.g.c)
Suy ra
Do đó
Vậy .
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 10
Đề bài
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P).
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình bậc hai .
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: .
Câu 3 (1,5 điểm): Một cửa hàng bán túi mù Pokémon 2024 với các nhân vật ngẫu nhiên bên trong. Mỗi túi chứa một Pokémon thuộc các hệ khác nhau. Trong một ngày, cửa hàng ghi nhận số lượng túi đã bán theo bảng sau:
a) Xác định cỡ mẫu, lập bảng tần số và tần số tương đối cho mẫu số liệu trên.
b) Nếu một khách hàng chọn ngẫu nhiên một túi mù, tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: “Túi mù được chọn thuộc hệ Điện hoặc Nước”.
B: “Túi mù được chọn không phải hệ Bí Ẩn”.
Câu 4 (1 điểm): Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 60 m, chiều rộng 35 m. Trên mảnh vườn hình chữ nhật đó, người ta làm một lối đi có chiều rộng (m) () như hình vẽ.
a) Viết biểu thức S biểu thị diện tích lối đi của mảnh vườn theo .
b) Tính chiều rộng lối đi, biết diện tích lối đi là .
Câu 5 (1 điểm): Có một chai đựng nước suối như trong hình vẽ. Bạn An đo đường kính của đáy chai bằng 6cm, đo chiều cao của phần nước trong chai được 9cm rồi lật ngược chai và đo chiều cao của phần hình trụ không chứa nước được 7cm (hình minh họa).
a) Tính thể tích lượng nước trong chai.
b) Tính thể tích chai.
(Biết công thức thể tích hình trụ như sau:, kết quả làm tròn đến mililit, biết , lấy ).
Câu 6 (1 điểm):
a) Trong một suất chiếu đặc biệt vào cuối tuần, rạp chiếu phim bán ra hai loại vé: vé dành cho học sinh, sinh viên (HSSV) và vé cho người lớn. Biết giá vé HSSV là 60 000 đồng/vé; giá vé cho người lớn là 100 000 đồng/vé. Trong suất chiếu đó, rạp đã bán tổng cộng 200 vé, thu được tổng doanh thu là 15 200 000 đồng. Tính số vé mỗi loại mà rạp chiếu phim bán được cho suất chiếu đó.
b) Biết rạp chiếu phim có sức chứa khoảng 1000 người. Với giá vé 100 000 đồng, trung bình sẽ có khoảng 300 người đến xem rạp mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã khảo sát thị trường và thấy rằng giá vé cứ giảm 5 000 đồng trên mỗi vé thì sẽ có thêm 50 người đến rạp mỗi ngày. Hỏi rạp chiếu phim phải bán ra giá vé sau khi giảm là bao nhiêu để đạt doanh thu cao nhất?
Câu 7 (3 điểm): Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O), (B, C là tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC và tứ giác OBAC nội tiếp.
b) Chứng minh .
c) Trên đoạn AH lấy điểm D sao cho HB = HD, qua D kẻ DE vuông góc với OA (E AB), gọi I là trung điểm của OE, cho R = 5 cm. Tính số đo góc IHB và độ dài cạnh BE.
-------- HẾT --------
Lời giải
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P).
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ .
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Thay vào hàm số để tìm .
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm .
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
b) Thay vào , ta có:
suy ra
do đó
Vậy các điểm thuộc đồ thị có tung độ là và .
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình bậc hai .
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: .
Phương pháp
a) Sử dụng để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi A để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.
Định lí Viète: .
Lời giải
a) Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b)
Áp dụng Viète, ta có:
Ta có:
Vậy .
Câu 3 (1,5 điểm): Một cửa hàng bán túi mù Pokémon 2024 với các nhân vật ngẫu nhiên bên trong. Mỗi túi chứa một Pokémon thuộc các hệ khác nhau. Trong một ngày, cửa hàng ghi nhận số lượng túi đã bán theo bảng sau:
a) Xác định cỡ mẫu, lập bảng tần số và tần số tương đối cho mẫu số liệu trên.
b) Nếu một khách hàng chọn ngẫu nhiên một túi mù, tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: “Túi mù được chọn thuộc hệ Điện hoặc Nước”.
B: “Túi mù được chọn không phải hệ Bí Ẩn”.
Phương pháp
a) Cỡ mẫu là tổng số túi Pokémon đã bán.
Xác định các giá trị, từ đó xác định tần số là số túi đã bán.
Tần số tương đối = [(tần số.100)/cỡ mẫu] %.
b) Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với tổng số kết quả có thể (cỡ mẫu).
Số kết quả thuận lợi cho biến cố B bằng tổng số túi mù – số túi hệ Bí Ẩn.
Lời giải
a) Cỡ mẫu là tổng số túi Pokémon đã bán:
Các giá trị: Điện (Pikachu); Lửa (Charmander); Nước (Squirtle); Cỏ (Bulbasaur) ; Bay (Pidgey); Rồng (Dragonite); Bí Ẩn (Mew) lần lượt có tần số, tần số tương đối là:
.
; ; ; ; ; ; .
Bảng tần số và tần số tương đối:
b) Vì cỡ mẫu là 120 nên số kết quả có thể khi chọn ngẫu nhiên một túi mù là 120.
Xác suất của biến cố A: “Túi mù được chọn thuộc hệ Điện hoặc Nước” là:
.
Xác suất của biến cố B: “Túi mù được chọn không phải hệ Bí Ẩn” là:
.
Câu 4 (1 điểm): Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 60 m, chiều rộng 35 m. Trên mảnh vườn hình chữ nhật đó, người ta làm một lối đi có chiều rộng (m) () như hình vẽ.
a) Viết biểu thức S biểu thị diện tích lối đi của mảnh vườn theo .
b) Tính chiều rộng lối đi, biết diện tích lối đi là .
Phương pháp
a) Xác định diện tích phần lối đi có chiều dài 35 m, 60 m và diện tích phần chung giữa hai phần lối đi.
Biểu thức S biểu thị diện tích lối đi của mảnh vườn = tổng diện tích hai phần lối đi – phần chung của hai lối đi (do phần chung được tính 2 lần nên ta trừ 1 lần)
b) Vì diện tích lối đi là nên ta viết được phương trình bậc hai ẩn .
Giải phương trình để tìm .
Lời giải
a) Diện tích phần lối đi có chiều dài 35 m là:
Diện tích phần lối đi có chiều dài 60 m là:
Diện tích phần chung giữa hai phần lối đi là:
Vậy biểu thức S biểu thị diện tích lối đi của mảnh vườn theo là: .
b) Vì diện tích lối đi là nên ta có phương trình:
hay
Giải phương trình ta được: (không thoả mãn) và (thoả mãn)
Vậy chiều rộng lối đi là 2 m.
Câu 5 (1 điểm): Có một chai đựng nước suối như trong hình vẽ. Bạn An đo đường kính của đáy chai bằng 6cm, đo chiều cao của phần nước trong chai được 9cm rồi lật ngược chai và đo chiều cao của phần hình trụ không chứa nước được 7cm (hình minh họa).
a) Tính thể tích lượng nước trong chai.
b) Tính thể tích chai.
(Biết công thức thể tích hình trụ như sau:, kết quả làm tròn đến mililit, biết , lấy ).
Phương pháp
a) Tính bán kính đáy chai.
Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ để tính thể tích nước trong chai.
b) Khi lật ngược chai, ta tính được thể tích phần còn trống trong chai bằng công thức tính thể tích hình trụ.
Thể tích chai = thể tích nước trong chai + thể tích phần còn trống.
Lời giải
a) Bán kính đáy chai là:
Thể tích nước trong chai là:
.
Vậy thể tích nước trong chai là khoảng 254ml.
b) Thể tích phần còn trống trong chai là:
Thể tích chai là:
Vậy thể tích chai là khoảng 452ml.
Câu 6 (1 điểm):
a) Trong một suất chiếu đặc biệt vào cuối tuần, rạp chiếu phim bán ra hai loại vé: vé dành cho học sinh, sinh viên (HSSV) và vé cho người lớn. Biết giá vé HSSV là 60 000 đồng/vé; giá vé cho người lớn là 100 000 đồng/vé. Trong suất chiếu đó, rạp đã bán tổng cộng 200 vé, thu được tổng doanh thu là 15 200 000 đồng. Tính số vé mỗi loại mà rạp chiếu phim bán được cho suất chiếu đó.
b) Biết rạp chiếu phim có sức chứa khoảng 1000 người. Với giá vé 100 000 đồng, trung bình sẽ có khoảng 300 người đến xem rạp mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã khảo sát thị trường và thấy rằng giá vé cứ giảm 5 000 đồng trên mỗi vé thì sẽ có thêm 50 người đến rạp mỗi ngày. Hỏi rạp chiếu phim phải bán ra giá vé sau khi giảm là bao nhiêu để đạt doanh thu cao nhất?
Phương pháp
a) Gọi số vé HSSV và số vé cho người lớn bán được lần lượt là và (vé), ,.
Biểu diễn tổng số vé bán được và tổng doanh thu khi bán vé.
Từ đó lập được hệ phương trình.
Giải phương trình để tìm và . Kiểm tra điều kiện và kết luận.
b) Gọi giá vé sau khi giảm là (nghìn đồng), .
Ta tính được số tiền vé đã giảm, số người đến rạp tăng lên và số người đến rạp khi vé đã giảm.
Từ đó lập biểu thức biểu diễn doanh thu của rạp sau khi giảm giá.
Sử dụng tính chất của bất đẳng thức để tính giá trị lớn nhất của biểu thức doanh thu. Từ đó tính được giá trị của a.
Lời giải
a) Gọi số vé HSSV và số vé cho người lớn bán được lần lượt là và (vé), ,.
Vì rạp đã bán tổng cộng 200 vé nên ta có phương trình: . (1)
Vì giá vé HSSV là 60 000 đồng/vé; giá vé cho người lớn là 100 000 đồng/vé thì thu được tổng doanh thu là 15 200 000 đồng nên ta có phương trình: . (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải phương trình, ta được: (thoả mãn)
Vậy số vé HSSV bán được là 120 vé, số vé cho người lớn bán được là 80 vé.
b) Gọi giá vé sau khi giảm là (nghìn đồng), .
Khi đó số tiền vé đã giảm là: (nghìn đồng)
Số lần giảm 5 000 đồng là:
Số người đến rạp tăng lên là: (người)
Khi chưa giảm giá vé thì trung bình số người đến rạp mỗi ngày là 300 người. Số người đến rạp chiếu phim mỗi ngày sau khi giảm giá là: (người)
Doanh thu của rạp sau khi giảm giá là:
Ta có:
nên
suy ra
Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của .
Khi đó suy ra .
Vậy rạp chiếu phim phải bán vé với giá 65 nghìn đồng để đạt doanh thu cao nhất.
Câu 7 (3 điểm): Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O), (B, C là tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC và tứ giác OBAC nội tiếp.
b) Chứng minh .
c) Trên đoạn AH lấy điểm D sao cho HB = HD, qua D kẻ DE vuông góc với OA (E AB), gọi I là trung điểm của OE, cho R = 5 cm. Tính số đo góc IHB và độ dài cạnh BE.
Phương pháp
a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC
Chứng minh O và A cách đều B, C nên OA là đường trung trực của BC.
Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
Chứng minh và cùng thuộc đường tròn đường kính OA nên tứ giác OBAC nội tiếp.
b) Chứng minh
Chứng minh suy ra
Mà (bán kính) nên
c) Tính số đo góc IHB
Chứng minh OBED nội tiếp đường tròn đường kính OE.
Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBED, suy ra IB = ID (bán kính)
Chứng minh suy ra
Kết hợp suy ra .
Tính độ dài cạnh BE
Chứng minh vuông cân tại H để tính
Từ tứ giác OBED nội tiếp đường tròn nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
Chứng minh vuông cân tại B để tính BE.
Lời giải
a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC
Ta có:
OC = OB (bán kính)
AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
nên OA là đường trung trực của BC.
Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
Xét vuông tại B nên nội tiếp đường tròn đường kính OA, suy ra O, B, A cùng thuộc đường tròn đường kính OA (1)
Xét vuông tại C nên nội tiếp đường tròn đường kính OA, suy ra O, C, A cùng thuộc đường tròn đường kính OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA hay tứ giác OBAC nội tiếp.
b) Chứng minh
Xét và :
chung
nên
suy ra , do đó
Mà (bán kính) nên
c) Tính số đo góc IHB
Xét vuông tại B nên nội tiếp đường tròn đường kính OE, suy ra O, B, E cùng thuộc đường tròn, đường kính OE (3)
Xét vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính OE, suy ra O, D, E cùng thuộc đường tròn, đường kính OE (4)
Từ (3) và (4) suy ra O, B, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính OE hay OBED nội tiếp đường tròn đường kính OE.
Mà I là trung điểm của OE (gt) nên OBED nội tiếp đường tròn tâm I, suy ra IB = ID (bán kính)
Xét và :
IB = ID (cmt)
IH là cạnh chung
HB = HD (gt)
nên
suy ra
Mà và nên .
Tính độ dài cạnh BE
Xét vuông tại H có HB = HD (gt) nên vuông cân tại H
Suy ra
Mà nên
Xét tứ giác OBED nội tiếp đường tròn tâm I nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
Xét vuông tại B có nên là tam giác vuông cân tại B, do đó .
Vậy .
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!