Đề thi vào 10 môn Toán An Giang

Đề bài

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) Quy đồng, giải phương trình bậc nhất.

b) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

c) Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{\sqrt 2 }}x + \sqrt 2 x = 4}\\{ \Leftrightarrow \sqrt 2 x + \sqrt 2 x = 4}\\{ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 x = 4}\\{ \Leftrightarrow x = \frac{4}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 }\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \sqrt 2 \).

b) \({x^4} - 18{x^2} + 18 = 0\)

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), phương trình trở thành:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{t^2} - 18t + 81 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2.t.9 + {9^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {t - 9} \right)}^2} = 0 \Leftrightarrow t = 9{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}\)

Với \(t = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = {\rm{ \;}} \pm 3\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { \pm 3} \right\}\).

c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y = {\rm{ \;}} - 2}\\{2x - 4y = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{ \;}} - 2 - 3y}\\{2x - 4y = 16}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3y\\2\left( { - 2 - 3y} \right) - 4y = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3y\\ - 4 - 6y - 4y = 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3y\\ - 10y = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3.\left( { - 2} \right)\\y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {4; - 2} \right)\).

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị tương ứng giữa \(x\) và \(y\).

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

* Chú ý: vì đồ thị hàm số y \( = a{x^2}(a \ne 0)\) luôn đi qua gốc tọa độ \(O\) và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn.

Tính \(\Delta {\rm{ \;}} = {b^2} - 4ac\), chứng minh \(\Delta {\rm{ \;}} \ge 0\)

c) Sử dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\).

Biến đổi yêu cầu đề bài cho.

Cách giải:

a) Ta có bảng giá trị giá trị sau:

=> Đồ thị là Parabol đi qua 5 điểm có tọa độ \(\left( { - 2;4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { - 1;1} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0;0} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {1;1} \right);{\mkern 1mu} \left( {2;4} \right).\)

Đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) có \(a = 1 > 0\) nên đồ thị là đường cong parabol có bề lõm hướng lên trên, nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

\({x^2} = 3ax - {a^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3ax + {a^2} = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (1)\)

Phương trình (1) có \(\Delta {\rm{ \;}} = {\left( { - 3a} \right)^2} - 4.1.{a^2} = 9{a^2} - 4{a^2} = 5{a^2} > 0,\forall a \ne 0\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Hay đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

c) Gọi \({x_1};{x_2}\) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị khi đó

\({y_1} + {y_2} = 28\) \( \Leftrightarrow 3a{x_1} - {a^2} + 3a{x_2} - {a^2} = 28\)

\( \Leftrightarrow 3a\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{a^2} = 28\) (2)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có \({x_1} + {x_2} = 3a\) thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3a.3a - 2{a^2} = 28}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \Leftrightarrow 9{a^2} - 2{a^2} = 28}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 7{a^2} = 28}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a^2} = 4}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a = {\rm{ \;}} \pm 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}\)

Vậy với \(a = {\rm{ \;}} \pm 2\) thì giao điểm của hai đồ thị hàm số có \({y_1} + {y_2} = 28\).

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

a) Thay giá trị \(m = 0,5\) vào phương trình, giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách nhẩm nghiệm:

Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = {\rm{ \;}} - 1}\\{{x_2} = \frac{{ - c}}{a}}\end{array}} \right.\)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(a.c < 0\)

Cách giải:

a) Khi \(m = 0,5\) phương trình trở thành: \({x^2} - 2.0,5x + 2.0,5 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\)

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = {\rm{ \;}} - 1}\\{{x_1} = \frac{{ - c}}{a} = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy khi \(m = 0,5\) phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1;2} \right\}\).

b) Phương trình bậc hai \({x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\)  có hai nghiệm trái dấu khi: \(ac < 0 \Leftrightarrow 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\).

Vậy để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(m < \frac{3}{2}\).

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác ABOD có tổng hai góc đối bằng \({180^\circ }\)

b) Tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác OAP vuông tại A, tính cạnh PA.

Áp dụng công thức \(\sin P = \frac{{OA}}{{OP}}\)

c) Tính chất: góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB.

Khi đó chứng minh $\Delta PAB\backsim \Delta PCA\left( g.g \right)$, suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Cách giải:

a) Ta có \(\angle BAC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle BAD = {90^0}\).

Mà \(OD \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BOD = {90^0}\).

Xét tứ giác ABOD có: \(\angle BAD + \angle BOD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra ABOD là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Vì AP là tiếp tuyến của (O) tại A nên \(OA \bot AP \Rightarrow \Delta OAP\) vuông tại  A

Lại có PB = BO = 2cm (gt) => B là trung điểm của OP

=> AB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAP

\( \Rightarrow AB = \frac{1}{2}OP = OB = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\).

Ta có: OA = OB = 2 (cm) (=R), OP = OB + PB = 4 (cm).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAP ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{O{A^2} + A{P^2} = O{P^2}}\\{ \Rightarrow {2^2} + A{P^2} = {4^2}}\\{ \Leftrightarrow 4 + A{P^2} = 16}\\{ \Leftrightarrow A{P^2} = 12}\\{ \Leftrightarrow AP = 2\sqrt 3 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)}\end{array}\)

Vậy \(AP = 2\sqrt 3 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\).

Xét tam giác vuông OAP ta có: \(\sin \angle APO = \frac{{OA}}{{OP}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle APO = {30^0}\).

Vậy \(\angle APC = \angle APO = {30^0}\).

c) Xét \(\Delta PAB\) và \(\Delta PCA\) có:

\(\angle APC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung\)

\(\angle BAP = \angle APC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

$\Rightarrow \Delta PAB\backsim \Delta PCA\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{PC}}{{PA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{P{A^2}}}{{P{B^2}}}}\\{P{A^2} = PB.PC}\end{array}} \right.}\\{ \Rightarrow \frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{P{A^2}}}{{P{B^2}}} = \frac{{PB.PC}}{{P{B^2}}} = \frac{{PC}}{{PB}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right)}\end{array}\)

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

a) Gọi x là chiều cao cây bạch đàn sau m năm\(\left( {m;x > 1} \right)\).

Gọi y là chiều cao cây phượng sau m năm\(\left( {m;y > 3} \right)\).

Tính chiều cao cây bạch đàn, câu phương sau từng năm (1 năm, 2 năm, 3 năm….) để tìm ra quy luật.

b) Giả sử sau m năm \(\left( {m \in \mathbb{N}*} \right)\) cây bạch đàn cao hơn cây phượng.

Khi đó hàm số của cây bạch đàn lớn hơn hàm số của cây phượng.

Giải bất phương trình tìm m.

Cách giải:

a) Gọi x là chiều cao cây bạch đàn sau n năm\(\left( {m;x > 1} \right)\).

Gọi y là chiều cao cây phượng sau m năm\(\left( {m;y > 3} \right)\).

+

Chiều cao cây bạch đàn sau 1 năm là: \(1 + 1 = 2\)(m).

Chiều cao cây bạch đàn sau 2 năm là: \(1 + 2.1 = 3\)(m).

Chiều cao cây bạch đàn sau 3 năm là: \(1 + 3.1 = 4\)(m).

…

Chiều cao cây bạch đàn sau n năm là: \(1 + n.1 = n + 1\) (m).

Vậy hàm số biểu diễn chiều cao cây bạch đàn sau n năm là: \(x = n + 1\).

+

Chiều cao cây phượng sau 1 năm là: \(3 + 0,5 = 3,5\)(m).

Chiều cao cây phượng sau 2 năm là: \(3 + 2.0,5 = 4\)(m).

Chiều cao cây phượng sau 3 năm là: \(3 + 3.0,5 = 4,5\)(m).

…

Chiều cao cây phượng sau n năm là: \(3 + n.0,5 = 0,5n + 3\)(m).

Vậy hàm số biểu diễn chiều cao cây phượng sau n năm là: \(y = 0,5n + 3\).

b) Giả sử sau k năm \(\left( {k \in \mathbb{N}*} \right)\) cây bạch đàn cao hơn cây phượng

\( \Leftrightarrow k + 1 > 0,5k + 3\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 0,5k > 2}\\{ \Leftrightarrow k > 4}\end{array}\)

Vậy sau 5 năm so với lúc mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng.

Đề bài

Câu 1 (3 điểm): Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:

a)

b)

c)

Câu 2 (2 điểm): Cho hai hàm số có đồ thị là parabol  và có đồ thị là đường thẳng

a) Vẽ đồ thị và trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của và

Câu 3 (2 điểm): Cho phương trình bậc hai ( là tham số, là ẩn số).

a) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Đặt Tính theo và tìm để

Câu 4 (2 điểm): Cho bốn điểm theo thứ tự lần lượt nằm trên nửa đường tròn đường kính Gọi là giao điểm của và Kẻ

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh là tia phân giác của

Câu 5 (1 điểm): Một bức tường được xây bằng các viên gạch hình chữ nhật bằng nhau và được bố trí như hình vẽ bên dưới. Phần sơn màu (tô đậm) là phần ngoài của một tam giác có cạnh đáy và chiếu cao Tính diện tích phần tô đậm.

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

a) Đưa phương trình về dạng sau đó giải

b) Đặt , đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc hai ẩn , sau đó giải phương trình

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

a)

Vậy phương trình có nghiệm:

b)

Đặt

Phương trình

Vậy phương trình có tập nghiệm:

c)  

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị để vẽ đồ thị

b) Tính biệt thức đen – ta, sau đó vận dụng điều kiện có 2 nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai một ẩn

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị và trên cùng một hệ trục tọa độ.

+) Vẽ đồ thị hàm số:

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm và

+) Vẽ đồ thị hàm số:

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua các điểm và

Đồ thị hàm số:

b) Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của và

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và là:

Với

Với

Vậy đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt và

Câu 3

Phương pháp:

a) Tính biệt thức đen – ta, sau đó vận dụng điều kiện có 2 nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai một ẩn

b) Áp dụng ứng dụng của hệ thức Vi – ét và giả thiết của đề bài để tìm

Cách giải:

a) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy với thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Đặt Tính theo và tìm để

Với thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn bài toán.

Câu 4

Phương pháp:

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng

b) Sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh là phân giác của

Cách giải:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

hay

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ).

b) Chứng minh là tia phân giác của

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Hay

Lại có:   (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

là phân giác của

Câu 5

Phương pháp:

Tính diện tích của 1 viên gạch từ đó tính diện tích của bức tường, tính diện tich của hình tam giác và từ đó suy ra phần diện tích cần tính.

Cách giải:

Chiều rộng của một viên gạch là:

Chiều dài của một viên gạch là:

Diện tích của một viên gạch là:

Tổng số viên gạch để xây bức tường là: (viên).

Diện tích của bức tường đã xây là:

Diện tích tam giác trong hình là:

Diện tích phần sơn màu là:

Đề bài

Câu 1:  Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:

a.                                           b.                                    c.

Câu 2:  Cho hàm số có đồ thị là parabol

a. Vẽ đồ thị trên hệ trục tọa độ

b. Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng và cắt parabol tại điểm có hoành độ bằng

c. Với vừa tìm được, tìm tọa độ giao điểm còn lại của và

Câu 3:  

Cho phương trình bậc hai (*), với là tham số

a. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (*) có nghiệm

b. Tính theo giá trị của biểu thức với là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 4:  Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác AB’HC’ là tứ giác nội tiếp.

b) Kéo dài AA’ cắt đường tròn (O) tại điểm D. Chứng minh rằng tam giác CDH cân.

Câu 5:  Cho là hình vuông có cạnh Trên cạnh lấy một điểm Dựng hình chữ nhật sao cho điểm nằm trên cạnh Tính diện tích hình chữ nhật (hình vẽ bên).

Lời giải chi tiết

Câu 1 (3,0 điểm)

Cách giải:

Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:

a.

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm

b.

Ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

c.

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm

Câu 2 (2 điểm)

Cách giải:

Cho hàm số có đồ thị là parabol

a. Vẽ đồ thị trên hệ trục tọa độ

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số là parabol đi qua các điểm

Hình vẽ:

b. Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng và cắt parabol tại điểm có hoành độ bằng

Gọi phương trình đường thẳng

Vì đường thẳng có hệ số góc bằng nên

Suy ra

Gọi giao điểm của và parabol là

Vì nên , suy ra

Lại có nên

Vậy phương trình đường thẳng .

c. Với vừa tìm được, tìm tọa độ giao điểm còn lại của và

Theo câu b) ta có:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , ta được:

Với

Với

Vậy tọa độ giao điểm còn lại của và là:

Câu 3 (2 điểm)

Cách giải:

Cho phương trình bậc hai (*), với là tham số

a. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (*) có nghiệm

Xét phương trình (*) có:

Để phương trình (*) có nghiệm thì

Vậy với thì phương trình (*) có nghiệm

b. Tính theo giá trị của biểu thức với là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Theo câu a) với thì phương trình (*) có nghiệm

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Xét

Vậy

Vì nên ta có:

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là .

Câu 4 (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác AB’HC’ là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

Tứ giác AB’HC’ có:

nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ) (đpcm)

b) Kéo dài AA’ cắt đường tròn (O) tại điểm D. Chứng minh rằng tam giác CDH cân.

Ta có:

Lại có (cùng chắn cung )

Xét tam giác CDH có vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân (đpcm).

Câu 5 (1,0 điểm)

Cách giải:

Cho là hình vuông có cạnh Trên cạnh lấy một điểm Dựng hình chữ nhật sao cho điểm nằm trên cạnh Tính diện tích hình chữ nhật (hình vẽ bên).

Ta có: (cùng phụ với )

Xét và có:

(cmt)

Suy ra

Suy ra

Đề bài

Bài 1 (3 điểm): Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:

a)                                           b)

c)

Bài 2 (1,5 điểm):  

Cho hàm số có đồ thị là Parabol .

a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Qua điểm vẽ đường thẳng song song với trục hoành cắt tại hai điểm và . Viết tọa độ của và .

Bài 3 (2 điểm): Cho phương trình bậc hai ( là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi

b) Tìm các giá trị của để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn:

Bài 4 (2,5 điểm)

Cho tam giác vuông tại có . Lấy điểm thuộc cạnh . Đường tròn đường kính cắt tại , kéo dài cắt đường tròn tại .

a) Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp.

b) Biết . Tính và diện tích tam giác .

c) Kéo dài cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng là tia phân giác của góc .

Bài 5 (1 điểm):

Trường A tiến hành khảo sát 1500 học sinh về sự yêu thích hội họa, thể thao, âm nhạc và các yêu thích khác. Mỗi học sinh chỉ chọn một yêu thích. Biết số học sinh yêu thích hội họa chiếm tỉ lệ 20% so với số học sinh toàn trường.

Số học sinh yêu thích thể thao hơn số học sinh yêu thích âm nhạc là 30 học sinh; số học sinh yêu thích thể thao và hội họa bằng với số học sinh yêu thích âm nhạc và các yêu thích khác.

a) Tính số học sinh yêu thích hội họa.

b) Hỏi tổng số học sinh yêu thích thể thao và âm nhạc là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Bài 1

Phương pháp:

a) Quy đồng mẫu số rồi đưa về phương trình bậc nhất

b) Sử dụng công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

có . Với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

 Vậy tập nghiệm của phương trình

b) Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

c)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  

Bài 2

Phương pháp:

a) +) Tìm các điểm đi qua của đồ thị hàm số.

+) Vẽ đồ thị.

b) Cho giải phương trình tìm và kết luận.

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Cho nhận các giá trị ta có bảng sau:

 Do đó đồ thị hàm số là parabol đi qua các điểm

Vẽ đồ thị:

b) Qua điểm vẽ đường thẳng song song với trục hoành cắt tại hai điểm và . Viết tọa độ của và .

Đường thẳng đi qua và song song với trục hoành có phương trình .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol ta có

.

Với

Với

Vậy hai điểm và có tọa độ lần lượt là và .

Bài 3

Phương pháp:

a) Phương trình có hai nghiệm

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét và biểu thức bài cho để tìm , đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

a) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi

Có:

Phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi

b) Tìm các giá trị của để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn:

Theo câu a) ta có phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi

Gọi là hai nghiệm của phương trình (*)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn bài toán.

Bài 4

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính .

    Chứng minh tam giác vuông. Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính , từ đó tính diện tích tam giác .

c) Chứng minh , từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách giải:

a) Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Xét tứ giác có Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Biết . Tính và diện tích tam giác .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay vuông tại .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

.

Vậy .

c) Kéo dài cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng là tia phân giác của góc .

Nhận thấy bốn điểm cùng thuộc Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

(1) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Xét tứ giác có: Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Do đó (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Từ (1) và (2) là tia phân giác của góc (đpcm).

Bài 5

Phương pháp:

a) Số học sinh yêu thích hội họa chiếm tỉ lệ 20% so với số học sinh toàn trường nên ta có thể tính được số học sinh yêu thích hội họa.

b) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Cách giải:

a) Tính số học sinh yêu thích hội họa.

Vì số học sinh yêu thích hội họa chiếm tỉ lệ 20% so với số học sinh toàn trường nên số học sinh yêu thích hội họa là: (học sinh).

b) Hỏi tổng số học sinh yêu thích thể thao và âm nhạc là bao nhiêu?

Gọi số học sinh yêu thích thể thao là (học sinh)

    Số học sinh chọn yêu thích khác là (học sinh)

Số học sinh yêu thích thể thao hơn số học sinh yêu thích âm nhạc là học sinh

Số học sinh yêu thích âm nhạc là (học sinh).

Tổng số học sinh của trường là học sinh, số học sinh yêu thích hội họa là học sinh nên số học sinh yêu thích thể thao, âm nhạc và các yêu thích khác là:

(học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Số học sinh yêu thích thể thao và hội họa bằng với số học sinh yêu thích âm nhạc và các yêu thích khác nên ta có phương trình:

Thay vào phương trình ta được:

Số học sinh yêu thích âm nhạc là: (học sinh).

Vậy tổng số học sinh yêu thích thể thao và âm nhạc là: học sinh. 

Đề bài

Bài 1. (3,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây

a.                                                 b.

c.

Bài 2. (2,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P)

a.Vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho

b.Xác định hệ số a; b của đường thẳng (d): , biết (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2. Chứng tỏ (P) và (d) tiếp xúc nhau.

Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai (m là tham số).

a.Tìm m để phương trình có nghiệm bằng . Tính nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được.

b.Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 4. (2,5 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.

a.Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.

b.Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.

b.PN cắt cung nhỏ  của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc .

Bài 5 (1,0 điểm) Cầu vòm là một dạng cầu đẹp bởi hình dáng cầu được uốn lượn theo một cung tròn tạo sự hài hòa trong thiết kế cảnh quan, đặc biệt là các khu đô thị có dòng sông chảy qua, tạo được một điểm nhấn của công trình giao thông hiện đại. Một chiếc cầu vòm được thiết kế như hình vẽ bên, vòm cầu là một cung tròn AMB. Độ dài đoạn AB bằng 30m, khoảng cách từ vị trí cao nhất ở giữa vòm cầu so với sàn mặt cầu là đoạn MK có độ dài 5m. Tính chiều dài vòm cầu.

Lời giải chi tiết

Bài 1.

Phương pháp:

a.Giải phương trình bậc nhất một ẩn:

b.Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và cộng đại số.

c. Giải phương trình bậc hai: sử dụng biệt thức
Cách giải:

a.

b.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

c.

Ta có:

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

Bài 2.

Phương pháp:

a.Lập bảng giá trị

b. (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên điểm đó có tọa độ là (1;0) sau đó thay vào phương trình đường thẳng (d) ta được 1 phương trình theo a, b. (pt1)

(d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 nên thay x  = 2 vào phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta được phương trình thứ 2 theo a, b. (pt2)

Kết hợp (1) và (2) ta giải hệ phương trình tìm được a, b.

Cách giải:

Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P)

a.Vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho

Ta có bảng giá trị

Đồ thị hàm số (P) có hình dạng đường cong đi qua các điểm

Vẽ đồ thị:

b.Xác định hệ số a; b của đường thẳng (d): , biết (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2. Chứng tỏ (P) và (d) tiếp xúc nhau.

Ta có: (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên . Thay tọa độ của điểm  A vào phương trình đường thẳng (d) ta có:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

(*)

Theo đề ra ta có: (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình (*)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3.

Phương pháp:

a.Tìm m để phương trình có nghiệm bằng . Ta thay   vào phương trình sau đó tìm m.

Tìm nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được. Sau khi tìm được m ta thay m vào phương trình bậc hai sau đó sử dụng công thức nghiệm để tìm nghiệm của phương trình.

b.Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai và kết hợp với A để tìm m. Hệ thức Viet:

Cách giải:

Cho phương trình bậc hai (1) (m là tham số).

a. Tìm m để phương trình có nghiệm bằng . Tính nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được.

Phương trình có nghiệm bằng  nên thay   vào phương trình ta được:

Với   phương trình (1) trở thành:

   (2)

Ta có: Khi đó phương trình  (2) sẽ có hai nghiệm phân biệt:

Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho khi m = -10 là x = 5.

b.Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi:

Áp dụng Viet cho phương trình (1) ta có:

Từ A ta có:

Ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 4.

a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.

Vì là tam giác đều, lần lượt là trung điểm của     (đường trung tuyến đồng thời là đường cao)

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng ).

b) Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.

Ta có là trọng tâm tâm tam giác (gt)

(tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Lại có:

c) PN cắt cung nhỏ  của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc .

Gọi ta có (do tam giác ABC đều) ;

(do NP là đường trung bình của tam giác ABC.

tại E vuông tại E.

Xét tam giác vuông ONC có :

Xét tam giác vuông có

Câu 5.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính độ dài của cung tròn là:

Cách giải :

Giả sử AMB là cung tròn của đường tròn tâm O. Vẽ đường kính MN.

M là điểm chính giữa của cung AB và K là trung điểm của AB

.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vuông tại A.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMN có:

Bán kính đường tròn tâm O là .

Xét tam giác vuông ANK có

(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

Xét tam giác OAB có cân tại O Đường cao OK đồng thời là phân giác

.

Vậy độ dài cung AMB là .

Đề bài

Câu 1: (3 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:

a) .

b) .

c) .

Câu 2: (1,5 điểm)

Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P).

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.

b) Tìm điểm A trên đồ thị (P) có hoành độ và tung độ đều dương sao cho AA’B’B là hình vuông với A’ là điểm đối xứng của A qua Oy, hai điểm B và B’ là hình chiếu của A và A’ lên trục hoành.

Câu 3: (2 điểm)

Cho tam giác vuông tại có và là trung điểm của và là hình vuông sao cho cạnh cắt cạnh tại điểm .

a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

b) Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn.

c) Tính diện tích tứ giác

Câu 4: (1 điểm)

Một khối thép cuộn dạng hình trụ có các số đo như hình vẽ (đường kính trong đường kính ngoài , khổ ngang ). Tính gần đúng khối lượng của cuộn thép biết thép có khối lượng 7850 kg.

Câu 5: (1,5 điểm)

Trái chúc là một loại trái cây đặc sản của An Giang, hình dáng bên ngoài giống như quả chanh nhưng có vỏ sần sùi, tinh dầu nhiều và hương thơm mạnh mẽ, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực từ ẩm thực, dược phẩm đến mỹ phẩm.

Số liệu 20 mẫu thu thập số trái chúc trên mỗi một kilogam như sau:

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên, số liệu được chia thành 4 nhóm gồm: .

b) Vẽ biểu đồ tần số ghép nhóm dạng cột mô tả số lượng trái chúc cho mỗi một kilogam.

Câu 6: (1 điểm)

Con xúc xắc 4 mặt là một loại xúc xắc đặc biệt có dạng một tứ diện đều, mỗi mặt của xúc xắc được ghi các số sao cho bốn đỉnh của xúc xắc ứng với bốn số 1,2,3,4. Khi gieo ngẫu nhiên con xúc xắc, số hướng lên trên đại diện cho kết quả mỗi lần gieo (hình vẽ bên).

Gieo ngẫu nhiên một lần hai con xúc xắc 4 mặt cân đối đồng chất khác màu. Ký hiệu (a, b) là kết quả xảy ra của phép gieo, với a là số xuất hiện của con xúc xắc 4 mặt thứ nhất và b là số xuất hiện của con xúc xắc 4 mặt thứ hai.

a) Viết không gian mẫu của phép gieo trên.

b) Tính xác suất của biến cố A: "Tổng hai số xuất hiện của hai xúc xắc lớn hơn 5".

----HẾT----

Lời giải

Câu 1: (3 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:

a) .

b) .

c) .

Phương pháp:

a) Tìm điều kiện xác định.

Đưa phương trình chứa ẩn ở mẫu về phương trình bậc nhất một ẩn và giải.

b) Tính Delta suy ra hai nghiệm của phương trình.

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải:

a) (ĐKXĐ: )

(tm)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là .

b) Phương trình có

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là và .

c)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P).

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.

b) Tìm điểm A trên đồ thị (P) có hoành độ và tung độ đều dương sao cho AA’B’B là hình vuông với A’ là điểm đối xứng của A qua Oy, hai điểm B và B’ là hình chiếu của A và A’ lên trục hoành.

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị.

Xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số.

Vẽ đồ thị đi qua các điểm đó.

b) Gọi toạ độ điểm A là , .

Vì A’ là điểm đối xứng với A nên ta có toạ độ của A’.

Vì B và B’ là hình chiếu của A và A’ trên trục hoành nên ta có toạ độ của B và B’.

Ta có độ dài đoạn thẳng BB’, độ dài đoạn thẳng AB

Vì AA’B’B là hình vuông nên .

Giải phương trình để tìm .

Suy ra , ta được toạ độ điểm A.

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

và nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b)

Gọi toạ độ điểm A là , .

Vì nên , suy ra

Vì A’ là điểm đối xứng với A qua Oy nên toạ độ của A’ là: .

Vì B và B’ là hình chiếu của A và A’ trên trục hoành nên toạ độ của B và B’ là: , .

Độ dài đoạn thẳng BB’ là: .

Độ dài đoạn thẳng AB là: .

Vì AA’B’B là hình vuông nên .

Suy ra

suy ra hoặc

(không thoả mãn) hoặc (thoả mãn)

Khi đó

Vậy toạ độ điểm A là .

Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác vuông tại có và là trung điểm của và là hình vuông sao cho cạnh cắt cạnh tại điểm .

a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

b) Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn.

c) Tính diện tích tứ giác

Phương pháp:

a) Tam giác ABC vuông nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

b) Chứng minh

Do đó cùng thuộc đường tròn

c) Áp dụng tỉ số lượng giác, tính MF.

Tính .

.

Lời giải:

a)

Ta có:

Do đó tam giác vuông tại (theo định lí Pythagore đảo)

Suy ra nội tiếp đường tròn đường kính

Mà là trung điểm của nên là tâm của đường tròn ngoại tiếp

Bán kính của đường tròn đó là

b) Vì là hình vuông nên

mà nên

Do đó cùng thuộc đường tròn

Vậy tứ giác nội tiếp được đường tròn

c) Tam giác vuông tại nên

mà (do cân tại ) nên

Ta có:

Do đó

Vậy

Câu 4: (1 điểm) Một khối thép cuộn dạng hình trụ có các số đo như hình vẽ (đường kính trong đường kính ngoài , khổ ngang ). Tính gần đúng khối lượng của cuộn thép biết thép có khối lượng 7850 kg.

Phương pháp:

Tính bán kính đáy hình trụ lớn, suy ra thể tích hình trụ lớn.

Tính bán kính đáy hình trụ bé, suy ra thể tích hình trụ bé.

Thể tích cuộn thép = thể tích hình trụ lớn – thể tích hình trụ bé.

Khối lượng của cuộn thép = thể tích. khối lượng 1.

Lời giải:

Bán kính đáy hình trụ lớn là:

Thể tích hình trụ lớn là:

Bán kính hình trụ bé là:

Thể tích hình trụ bé là:

Thể tích cuộn thép là:

Khối lượng của cuộn thép là:

Câu 5: (1,5 điểm) Trái chúc là một loại trái cây đặc sản của An Giang, hình dáng bên ngoài giống như quả chanh nhưng có vỏ sần sùi, tinh dầu nhiều và hương thơm mạnh mẽ, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực từ ẩm thực, dược phẩm đến mỹ phẩm.

Số liệu 20 mẫu thu thập số trái chúc trên mỗi một kilogam như sau:

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên, số liệu được chia thành 4 nhóm gồm: .

b) Vẽ biểu đồ tần số ghép nhóm dạng cột mô tả số lượng trái chúc cho mỗi một kilogam.

Phương pháp:

a) Đếm tần số của từng nhóm rồi lập bảng tần số ghép nhóm.

b) Vẽ biểu đồ với trục ngang là các nhóm, trục dọc là tần số ghép nhóm.

Lời giải:

a)

b) Biểu đồ tần số ghép nhóm dạng cột mô tả số lượng trái chúc cho mỗi một kilogam

Câu 6: (1 điểm) Con xúc xắc 4 mặt là một loại xúc xắc đặc biệt có dạng một tứ diện đều, mỗi mặt của xúc xắc được ghi các số sao cho bốn đỉnh của xúc xắc ứng với bốn số 1,2,3,4. Khi gieo ngẫu nhiên con xúc xắc, số hướng lên trên đại diện cho kết quả mỗi lần gieo (hình vẽ bên).

Gieo ngẫu nhiên một lần hai con xúc xắc 4 mặt cân đối đồng chất khác màu. Ký hiệu (a, b) là kết quả xảy ra của phép gieo, với a là số xuất hiện của con xúc xắc 4 mặt thứ nhất và b là số xuất hiện của con xúc xắc 4 mặt thứ hai.

a) Viết không gian mẫu của phép gieo trên.

b) Tính xác suất của biến cố A: "Tổng hai số xuất hiện của hai xúc xắc lớn hơn 5".

Phương pháp:

a) Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.

b) Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Xác suất của biến cố A bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi với số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

a) Không gian mẫu của phép gieo là:

Vậy không gian mẫu có tất cả 16 kết quả

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố A: "Tổng hai số xuất hiện của hai xúc xắc lớn hơn 5" gồm

nên có tất cả 6 kết quả

Vậy xác suất của biến cố A là