Đề thi vào 10 môn Toán Bến Tre

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm (4 điểm)

Câu 1: Giá trị của biểu thức \(\sqrt 9 {\rm{ \;}} - 2\) bằng

A. 1

B. 7

C. \( - 5\)

D. 79

Câu 2: Điều kiện của \(x\) để biểu thức \(\sqrt {2x - 8} \) có nghĩa là

A. \(x = 4\).

B. \(x > 4\).

C. \(x < 4\).

D. \(x \ge 4\).

Câu 3: Kết quả rút gọn của biểu thức \(M = \sqrt {9x{y^2}} \) với \(x \ge 0,y < 0\) bằng

A. \(M = {\rm{ \;}} - 3y\sqrt x \).

B. \(M = 3y\sqrt x \).

C. \(M = {\rm{ \;}} - 3xy\).

D. \(M = 3\sqrt {xy} \).

Câu 4: Hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị là hình vẽ nào dưới đây?

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 5: Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \(y = 7x - 6\) ?

A. \(M\left( {0;1} \right)\).

B. \(N\left( {2;4} \right)\).

C. \(P\left( {1;1} \right)\).

D. \(Q\left( {2;2} \right)\).

Câu 6: Tọa độ các giao điểm của đường thẳng \(y = 7x\) và parabol \(y = {\rm{ \;}} - {x^2}\) là

A. \(M\left( {0;1} \right),N\left( {7;14} \right)\).

B. \(M\left( {1;0} \right),N\left( {7;49} \right)\).

C. \(M\left( {0;0} \right),N\left( { - 7; - 49} \right)\)

D. \(M\left( {1;1} \right),N\left( { - 7;49} \right)\).

Câu 7: Hàm số \(y = 3{x^2}\) nghịch biến khi

A. \(x > 0\).

B. \(x < 0\).

C. \(x > 1\).

D. \(x \ne 0\).

Câu 8: Tìm tham số \(m\) để đường thẳng \(y = 3x + 2m - 7\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;4} \right)\) ?

A. \(m = {\rm{ \;}} - \frac{7}{2}\).

B. \(m = 9\).

C. \(m = {\rm{ \;}} - \frac{{17}}{2}\).

D. \(m = \frac{{17}}{2}\).

Câu 9: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất?

A. \(y = 3x - 2\)

B. \(y = 2{x^2}\).

C. \(y = \frac{1}{x}\).

D. \(y = 7\sqrt x \).

Câu 10: Tính biệt thức \(\Delta \) của phương trình: \({x^2} + 2mx - 9 = 0\) với \(m\) là tham số.

A. \(\Delta  = 40\).

B. \(\Delta  = 36m\).

C. \(\Delta  = 4{m^2} + 36\).

D. \(\Delta  = {m^2} + 9\).

Câu 11: Phương trình: \(5{x^2} + 2x = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Khi đó \({x_1} + {x_2}\) bằng

A. \(\frac{2}{5}\).

B. \( - \frac{2}{5}\).

C. \( - \frac{1}{5}\).

D. 0 .

Câu 12: Một nghiệm của phương trình: \(3{x^4} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right){x^2} - 1 + \sqrt 3 {\rm{ \;}} = 0\)

A. \(x = {\rm{ \;}} - 2\).

B. \(x = {\rm{ \;}} - 3\).

C. \(x = 2\).

D. \(x = {\rm{ \;}} - 1\).

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại \(A\) có \(AB = 4\;{\rm{cm}}\) và \(AC = 5\;{\rm{cm}}\). Khi đó độ dài của đoạn thẳng BC bằng

A. \(BC = 6\;{\rm{cm}}\).

B. \(BC = \sqrt {41} \;{\rm{cm}}\).

C. \(BC = 3\;{\rm{cm}}\).

D. \(BC = 41\;{\rm{cm}}\).

Câu 14: Cho đường tròn \(\left( {O;4\;{\rm{cm}}} \right)\), đường kính của \((O)\) có độ dài bằng

A. \(8\;{\rm{cm}}\).

B. \(4\;{\rm{cm}}\).

C. \(2\;{\rm{cm}}\).

D. \(1\;{\rm{cm}}\).

Câu 15: Cho tam giác ABD nội tiếp đường tròn \((O)\) và \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) (tham khảo hình vẽ bên). Số đo của góc bằng

A. \(60^\circ \).

B. \(120^\circ \).

C. \(30^\circ \).

D. \(90^\circ \).

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại \(A\) biết \(\widehat {ABC} = 30^\circ \) và \(AC = 7\;{\rm{cm}}\) (tham khảo hình vẽ bên). Độ dài của đoạn thẳng AB

A. \(3\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\).

B. \(\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\).

C. \(\frac{{7\sqrt 3 }}{3}\;{\rm{cm}}\).

D. \(7\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\).

Câu 17: Một hình trụ có chiều cao \(h = 10\;{\rm{cm}}\) và đường kính của đường tròn đáy bằng \(6\;{\rm{cm}}\). Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

A. \(30\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

B. \(15\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

C. \(60\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

D. \(90\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

Câu 18: Cho tam giác BCD nội tiếp đường tròn tâm \(O\) và \(\angle CBD = 60^\circ \). Dựng tiếp tuyến Dx của đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ. Khi đó, số đo của góc CDx

A. \(120^\circ \).

B. \(60^\circ \).

C. \(30^\circ \).

D. \(100^\circ \).

Câu 19: Diện tích mặt cầu có đường kính \(30\;{\rm{cm}}\) bằng

A. \(300\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

B. \(1200\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

C. \(3600\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

D. \(900\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

Câu 20: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có đường cao BD, biết \(AD = 4\;{\rm{cm}},DC = 8\;{\rm{cm}}\) (tham khảo hình vẽ bên). Độ dài đoạn thẳng AB

A. \(\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\)

B. \(4\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\)

C. \(32\;{\rm{cm}}\)

D. \(4\sqrt 2 \;{\rm{cm}}\)

Phần II. Tự luận (6 điểm)

Câu 21: Vẽ đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}\).

Câu 22: Giải phương trình: \(3{x^2} + 4x - 9 = 0\).

Câu 23: Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 3}\\{2x - 3y = {\rm{ \;}} - 4}\end{array}} \right.\).

Câu 24: Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}:\frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

Câu 25: Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa: \(\frac{1}{{{x_1} - 2023}} + \frac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1\).

Câu 26: Cho các số thực a, b thỏa mãn: \({a^2} + {b^2} - 14a + 12b + 85 = 0\). Tính giá trị của biểu thức: \(B = 3a + 2b\)

Câu 27: Để chuẩn bị tham gia kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 đạt kết quả như mong đợi, bạn A đã lập kế hoạch sẽ làm xong 80 bài tập trong khoảng thời gian nhất định với số lượng bài tâp được chia đều trong các ngày. Trên thực tế, khi làm bài tập, mỗi ngày bạn A đã làm thêm 2 bài tập so với kế hoạch ban đầu nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày so với dự định. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày bạn A phải làm xong bao nhiêu bài tập?

Câu 28: Cho tam giác nhọn ABC  nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ AH vuông góc với BC  tại H, kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HD vuông góc với AC tại D.

a) Chứng minh: tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp.

b) Dựng đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh: AE.AK = AH.AC.

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Tính toán với căn bậc hai \(\sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right|\)

Cách giải:

\(\sqrt 9 {\rm{ \;}} - 2 = 3 - 2 = 1\)

Chọn A.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

\(\sqrt {f(x)} \) có nghĩa khi \(f(x) \ge 0\)

Cách giải:

\(\sqrt {2x - 8} \) có nghĩa khi \(2x - 8 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\)

Chọn D.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} {\rm{ \;}} = \left| A \right|\)

Cách giải:

Với \(x \ge 0,y < 0\) thì \(M = \sqrt {9x{y^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{(3y)}^2}x} {\rm{ \;}} = \left| {3y} \right|\sqrt x {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 3y\sqrt x \)

Chọn A.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}(a \ne 0)\) đi qua điểm \(M({x_0};{y_0})\) thỏa mãn \({y_0} = a{x_0}^2\)

Cách giải:

Thay tọa độ điểm \(A(1;1)\) vào hàm số \(y = {x^2}\) ta được: \(1 = {1^2}\) (luôn đúng)

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) đi qua điểm \(A(1;1)\)

Chọn B.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) đi qua điểm \(M({x_0};{y_0})\) thỏa mãn \({y_0} = a{x_0} + b\)

Cách giải:

Thay tọa độ điểm \(P\left( {1;1} \right)\) vào đường thẳng \(y = 7x - 6\) ta được: \(1 = 7.1 - 6 = 1\) (luôn đúng)

Vậy điểm \(P\left( {1;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = 7x - 6\)

Chọn C.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{7x = {\rm{ \;}} - {x^2}}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 7x = 0}\\{ \Leftrightarrow x(x + 7) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 0}\\{x = {\rm{ \;}} - 7 \Rightarrow y = 7.( - 7) = {\rm{ \;}} - 49}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Vạy (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm \((0;0),( - 7; - 49)\)

Chọn C.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Hàm số \(y = a{x^2}(a \ne 0)\) nghịch biến khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{x < 0}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{x > 0}\end{array}} \right.\)

Cách giải:

Hàm số \(y = 3{x^2}\) nghịch biến khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 > 0}\\{x < 0}\end{array}} \right.\)

Chọn B.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) đi qua điểm \(M({x_0};{y_0})\) thỏa mãn \({y_0} = a{x_0} + b\)

Cách giải:

Thay tọa độ điểm \(M\left( { - 2;4} \right)\) vào \(y = 3x + 2m - 7\) ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{4 = 3.( - 2) + 2m - 7}\\{ \Leftrightarrow 2m = 4 + 6 + 7}\\{ \Leftrightarrow 2m = 17}\\{ \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{2}}\end{array}\)

Chọn D.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b(a \ne 0)\) với a, b là hệ số.

Cách giải:

Hàm số \(y = 3x - 2\) là hàm số bậc nhất.

Chọn A.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Công thức \(\Delta {\rm{ \;}} = {b^2} - 4ac\)

Cách giải:

Phương trình: \({x^2} + 2mx - 9 = 0\) có: \(\Delta {\rm{ \;}} = {(2m)^2} - 4.( - 9) = 4{m^2} + 36\)

Chọn C.

Câu 11 (NB):

Phương pháp:

Hệ thức Vi-ét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Cách giải:

Phương trình: \(5{x^2} + 2x = 0\) có \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2}}{5}\)

Chọn B.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\), nhẩm nghiệm:

Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 1}\\{{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = {\rm{ \;}} - 1}\\{{x_2} = \frac{{ - c}}{a}}\end{array}} \right.\)

Cách giải:

Phương trình \(3{x^4} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right){x^2} - 1 + \sqrt 3 {\rm{ \;}} = 0\)

Đặt \({x^2} = t(t \ge 0) \Rightarrow 3{t^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 1 + \sqrt 3 {\rm{ \;}} = 0\)

Có \(a + b + c = 3 - 2 - \sqrt 3 {\rm{ \;}} - 1 + \sqrt 3 {\rm{ \;}} = 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = {\rm{ \;}} \pm 1}\\{{t_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy một nghiệm của phương trình là \(x = {\rm{ \;}} - 1\)

Chọn D.

Câu 13 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ABC\) vuông tại A có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ABC\) vuông tại A có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow BC = \sqrt {{4^2} + {5^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {41} (cm)\)

Chọn B.

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

Đường tròn \((O;R)\) có bán kính \(R\), đường kính 2R

Cách giải:

Đường tròn \(\left( {O;4\;{\rm{cm}}} \right)\) có đường kính bằng \(2.4 = 8\)cm

Chọn A.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Góc nội tiếp bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

Cách giải:

Xét (O) có: \(\angle ADB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}.60^\circ {\rm{ \;}} = 30^\circ \) (tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)

Chọn C.

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

Công thức lượng giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\)

Cách giải:

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\) \( \Rightarrow \tan 30^\circ {\rm{\;}} = \frac{7}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{7}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{3.7}}{{\sqrt 3 }} = 7\sqrt 3 \)

Chọn D.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ \({S_{xq}} = 2\pi R.h\) với \(h\) là chiều cao, \(R\) là bán kính.

Cách giải:

Một hình trụ có chiều cao \(h = 10\;{\rm{cm}}\) và đường kính của đường tròn đáy bằng \(6\;{\rm{cm}}\)

Tức là \(2R = 6(cm)\)

Diện tích xung quanh hình trụ là \(2\pi R.h = 6.10\pi {\rm{ \;}} = 60\pi (c{m^2})\)

Chọn C.

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên tam giác ABC đều.

Tính chất góc nội tiếp bằng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung.

Cách giải:

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên tam giác ABC đều.

\( \Rightarrow \angle BCD = \angle CDB = 60^\circ \)

Xét (O) có: \(\angle BDx = \angle BCD = 60^\circ \) (góc nội tiếp bằng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)

\( \Rightarrow \angle CDx = \angle CDB + \angle BDx = 60^\circ {\rm{ \;}} + 60^\circ {\rm{ \;}} = 120^\circ \)

Chọn A.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\)

Cách giải:

Diện tích mặt cầu có đường kính \(30\;{\rm{cm}}\) bằng: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{{30}}{2}} \right)^2} = 900\pi (c{m^2})\)

Chọn D.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có đường cao BD: \(A{B^2} = AD.AC\)

Cách giải:

Hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có đường cao BD: \(A{B^2} = AD.AC \Rightarrow AB = \sqrt {4.(4 + 8)} {\rm{ \;}} = 4\sqrt 3 cm\)

Chọn B.

Phần II: Tự luận

Câu 21 (NB):

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị tương ứng giữa \(x\) và \(y\).

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

Chú ý: vì đồ thị hàm số \(y = a{x^2}(a \ne 0)\) luôn đi qua gốc tọa độ \(O\) và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này , ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng

qua Oy.

Cách giải:

Tập xác định: \(x \in \mathbb{R}\).

Bảng giá trị:

Ta thấy \(a = 2 > 0\) nên đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới và đi qua 5 điểm \(A\left( { - 2;8} \right)\); \(B\left( { - 1;2} \right)\); \(O\left( {0;0} \right)\); \(C\left( {1;2} \right)\); \(D\left( {2;8} \right)\).

Đồ thị \(y = 2{x^2}\) là một Parabol có bề lõm hướng lên, nằm phía trên Ox, nhận Oy làm trục đối xứng và đi qua các điểm \(A\left( { - 2;8} \right)\); \(B\left( { - 1;2} \right)\); \(O\left( {0;0} \right)\); \(C\left( {1;2} \right)\); \(D\left( {2;8} \right)\).

Câu 22 (NB):

Phương pháp:

Công thức \(\Delta ' = {(b')^2} - ac\) với \(b' = \frac{b}{2}\)

Nếu \(\Delta ' > 0 \Rightarrow \) PT có hai nghiệm \(x = \frac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\)

Nếu \(\Delta {\rm{ \;}} = 0 \Rightarrow \) PT có nghiệm kép \(x = \frac{{ - b'}}{a}\)

Nếu \(\Delta {\rm{ \;}} < 0 \Rightarrow \) PT vô nghiệm

Cách giải:

Xét phương trình \(3{x^2} + 4x - 9 = 0\) có: \(\Delta ' = {2^2} - 3.\left( { - 9} \right) = 4 - \left( { - 27} \right) = 31 > 0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {31} }}{3}}\\{{x_2} = \frac{{ - 2 + \sqrt {31} }}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {31} }}{3}}\\{{x_2} = \frac{{ - 2 + \sqrt {31} }}{3}}\end{array}} \right.\).

Câu 23 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{2x - 3y = {\rm{ \;}} - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 2y = 6}\\{2x - 3y = {\rm{ \;}} - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5y = 10}\\{x = 3 - y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\).

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Rút gọn biểu thức thông qua: quy đồng, tính toán, đổi dấu.

Cách giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}:\frac{1}{{\sqrt x }}}\\{A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 1} \right)}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}:\frac{1}{{\sqrt x }}}\\{A = \sqrt x :\frac{1}{{\sqrt x }}}\\{A = \sqrt x \sqrt x {\rm{ \;}} = x.}\end{array}\)

Vậy \(A = x.\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Công thức \(\Delta {\rm{ \;}} = {b^2} - 4ac\)

Điều kiện \(\Delta {\rm{ \;}} > 0\) để PT có hai nghiệm phân biệt

Hệ thức Vi-ét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Cách giải:

Xét phương trình \({x^2} - (m + 1)x - 2023 = 0\) có \(\Delta {\rm{ \;}} = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - 2023} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8092 > 0\) với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi m

Áp dụng định lí Vi – ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 1}\\{{x_1}.{x_2} = {\rm{ \;}} - 2023}\end{array}} \right.\)  (1)

Ta có \(\frac{1}{{{x_1} - 2023}} + \frac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x_2} - 2023}}{{\left( {{x_1} - 2023} \right)\left( {{x_2} - 2023} \right)}} + \frac{{{x_1} - 2023}}{{\left( {{x_1} - 2023} \right)\left( {{x_2} - 2023} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_2} - 2023 + {x_1} - 2023}}{{\left( {{x_1} - 2023} \right)\left( {{x_2} - 2023} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 4046 = \,\,{x_1}{x_2} - 2023\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {2023^2}\,\,\,\\\,\, \Leftrightarrow \,{x_1}{x_2} - 2024\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {2023^2} + 4046 = 0 &  & \left( 2 \right)\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l} - 2023 - 2024.\left( {m + 1} \right) + {2023^2} + 4026 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2024\left( {m + 1} \right) =  - 4094552\\ \Leftrightarrow m + 1 = 2023\\ \Leftrightarrow m = 2022\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy m = 2022

Câu 26 (VD):

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức về dạng \({(a + b)^2} + {(c + d)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a + b)^2} = 0\\{(c + d)^2} = 0\end{array} \right.\)  vì \({A^2} \ge 0,\forall A\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {a^2} + {b^2} - 14a + 12b + 85 = 0}\\{ \Leftrightarrow {a^2} - 14a + 49 + {b^2} + 12b + 36 = 0}\\{ \Leftrightarrow {{(a - 7)}^2} + {{(b + 6)}^2} = 0}\end{array}\)

Vì \({(a - 7)^2} \ge 0\quad \forall a \in \mathbb{R}\); \({(b + 6)^2} \ge 0\quad \forall b \in \mathbb{R}\)

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 7 = 0}\\{b + 6 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 7}\\{b = {\rm{ \;}} - 6}\end{array}} \right.\)

Do đó: \(B = 3a + 2b = 3.7 + 2.\left( { - 6} \right) = 21 - 12 = 9\)

Vậy \(B = 9.\)

Câu 27 (TH):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

PT: thực tế bạn A đã hoàn thành 80 bài theo kế hoạch.

Cách giải:

Gọi số bài tập mỗi ngày bạn A phải làm theo kế hoạch ban đầu là \(x\) (bài). (Điều kiện \(x \in \mathbb{N},0 < x < 80\))

Như vậy theo kế hoạch, số ngày để bạn An hoàn thành 80 bài tập là: \(\frac{{80}}{x}\) (ngày)

Vì thực tế mỗi ngày bạn A làm thêm 2 bài tập so với kế hoạch nên mỗi ngày A làm được \(x + 2\) bài

Do  A  hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với dự định nên ta có phương trình:

\(\left( {x + 2} \right)\left( {\frac{{80}}{x} - 2} \right) = 80\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {80 - 2x} \right) = 80x\\ \Leftrightarrow 80x - 2{x^2} - 4x + 160 = 80x\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 160 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 80 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 8x - 80 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 10} \right) - 8\left( {x + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 8} \right)\left( {x + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 8 = 0\\x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\,(TM)\\x =  - 10\,\,(KTM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày bạn A phải làm xong 8 bài tập.

Câu 28 (VD):

Phương pháp:

a) Chứng minh AEHD có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\Delta AHC\) và \(\Delta AHB\) chứng minh được \(AE.AB = AD.AC\) suy ra $\Delta AED\backsim \Delta ACB\left( c.g.c \right)$

Áp dụng thêm tính chất góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.

Chứng minh $\Delta AEH\backsim \Delta ACK\left( g.g \right)$ suy ra cạnh tương ứng tỉ lệ.

Cách giải:

a) Xét tứ giác AEHD có:

\(\angle AEH = {90^0}\) (\(HE \bot AB\))

\(\angle ADH = {90^0}\) (\(HD \bot AC\))

\( \Rightarrow \)\(\angle AEH + \angle ADH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra tứ giác AEHD nội tiếp (tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (dhnb)

b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, đường cao HE có:

\(A{H^2} = AE.AB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H, đường cao HE có:

\(A{H^2} = AD.AC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow AE.AB = AD.AC \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)

Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\) có \(\angle BAC\) chung và \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (cmt)

$\Rightarrow \Delta AED \backsim \Delta ACB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ADE = \angle ABC$ (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle ABC = \angle AKC\) (cùng chắn cung AC)

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle AKC\left( { = \angle ABC} \right)\)

Do AEHD nội tiếp nên \(\angle AHE = \angle ADE\) (cùng chắn cung AE)

\( \Rightarrow \angle AHE = \angle AKC\)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta ACK\) có

\(\angle AHE = \angle AKC\)

\(\angle AEH = \angle ACK = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta AEH \backsim \Delta ACK\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AH}}{{AK}} \Rightarrow AE.AK = AH.AC$ (đpcm)

Đề bài

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm, từ câu 1 đến câu 20, mỗi câu 0,2 điểm):

Câu 1: Giá trị của biểu thức bằng:

     A. 3                                    B. 6                                         C. 9                                        D.      

Câu 2: Cho số thực a. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

     A.                                             B.           C.                                    D.                                      

Câu 3: Nghiệm của phương trình là:

     A.                          B.                             C.                             D.  

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất đồng biến trên là:

     A.                      B.                              C.                            D.       

Câu 5: Điều kiện để hai đường thẳng và

     A. và      B. và        C. và        D. và

Câu 6: Đường thẳng y = ax + 7 đi qua điểm A(2; 3) có hệ số góc a bằng:

     A. 3                                    B. -2                                       C. 5                                        D. -3          

Câu 7: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên?

 

     A.                                               B.         C.    D.                            

Câu 8: Hệ phương trình sau đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y?

     A.                             B.                                             C.                                             D.                             

Câu 9: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. Hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0

     B. Hàm số luôn đồng biến trên

     C. Hàm số luôn nghịch biến trên            

     D. Hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Câu 10: Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số đi qua điểm E(1; 2)?

     A. m = 6                            B. m = 4                                 C. m = 8                                 D. m = -8   

Câu 11: Tính biệt thức của phương trình bậc hai .

     A.               B.                    C.                    D.     

Câu 12: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt . Khi đó bằng:

     A.       B.       C.              D.     

Câu 13: Phương trình trùng phương  là phương trình có dạng:

     A. với a, b, c là các số thực        B. với a, b là các số thực

     C. với a, b, c là các số thực                                                D. với a, b, c là các số thực và

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 8cm. Độ dài đoạn thẳng BC bằng:

     A.                B.                               

     C.              D.                           

 

Câu 15: Trong hình vẽ bên, biết và . Khẳng định nào sau đây là không đúng?

     A.                    B.                   

     C.          D.

 

Câu 16: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Vị trí tương đói của hai đường tròn này là:

     A. nằm ngoài nhau            B. cắt nhau                             C. tiếp xúc trong                    D. tiếp xúc ngoài

Câu 17: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn như hình vẽ bên và . Số đo bằng:

     A.                      B.                        

     C.                    D.                          

 

Câu 18: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng:

     A.                    B.                         C.                         D.     

Câu 19: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy r = 3 cm, chiều cao h = 5 cm. Thể tích hình trụ đó bằng:

     A.                 B.                 C.                 D.     

Câu 20: Thể tích của một hình cầu có bán kính R = 7cm bằng:

     A.                                  B.         C.                                 D.                

 

B. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm, từ câu 21 đến câu 27):

Câu 21 (1,0 điểm): Giải phương trình

Câu 22 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình

Câu 23 (0,5 điểm): Vẽ đồ thị hàm số

Câu 24 (0,5 điểm): Rút gọn biểu thức với và .

Câu 25 (0,5 điểm): Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm E (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BE cắt tiếp tuyến đó tại M. Từ điểm M kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại điểm C (C là tiếp điểm, ). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOCM là tứ giác nội tiếp.

b) .

Câu 26 (0,5 điểm): Cho phương trình bậc hai , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa

Câu 27 (0,5 điểm): Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 4,35 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 4,36 triệu đồng. Nếu chưa kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Lời giải

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM

 

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng hằng đẳng thức

Cách giải:

(vì 3 > 0)

Chọn A.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng hằng đẳng thức

Cách giải:

Khẳng định đúng là:

Chọn D.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Giải phương trình:

Cách giải:

Điều kiện:

Vậy

Chọn B.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Hàm số đồng biến trên

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên

Chọn B.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Hai đường thẳng và

Cách giải:

Điều kiện để hai đường thẳng và là và .

Chọn D.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua điểm khi

Cách giải:

Đường thẳng y = ax + 7 đi qua điểm A(2; 3) nên ta có:

Vậy hệ số góc của đường thẳng là -2.

Chọn B.

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Nhận xét đồ thị từ đó xác định được hàm số cần tìm.

Cách giải:

+ Gọi hàm số cần tìm là

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; -1) và (2; 0) nên ta có hệ phương trình:

Hàm số cần tìm là:

Chọn A.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:

Cách giải:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là:

Chọn A.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Nhận xét hệ số a của hàm số bậc hai một ẩn để xác định khẳng định đúng.

Cách giải:

Hàm số có a = 2022 > 0 nên hàm số hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.           

Chọn A.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số đi qua điểm khi và chỉ khi .

Cách giải:

Đồ thị hàm số đi qua điểm E(1; 2) nên ta có:

Vậy

Chọn A.

Câu 11 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai có biệt thức

Cách giải:

Ta có:

Chọn D.

Câu 12 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi đó theo hệ thức Vi – ét, ta có:

Cách giải:

Phương trình có có hai nghiệm phân biệt , khi đó theo hệ thức Vi – ét, ta có:

Chọn C.

Câu 13 (NB):

Phương pháp:

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: với a, b, c là các số thực và

Cách giải:

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: với a, b, c là các số thực và

Chọn D.

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng định lý Py – ta – go

Cách giải:

Tam giác ABC vuông cân tại A, nên AB = AC = 8cm

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go, ta có:

Chọn A.

Câu 15 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

Khẳng định không đúng là

Chọn C.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn.

Cách giải:

Đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA tiếp xúc trong với nhau.

Chọn C.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau.

Cách giải:

Xét (O) có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Chọn A.

Câu 18 (NB):

Phương pháp:

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng .

Cách giải:

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng .

Chọn D.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Thể tích hình lăng trụ có bán kình đáy là r, chiều cao h là

Cách giải:

Thể tích hình trụ đó là:

Chọn C.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Thể tích của hình cầu có bán kính R là:

Cách giải:

Thể tích của hình cầu là:

Chọn B.

 

B. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn số.

Cách giải:

Giải phương trình

Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình là: .

Câu 22 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm

Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

Giải hệ phương trình

Ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Vẽ đồ thị của hàm số

+ Nhận xét về hệ số và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của và

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

Cách giải:

Vẽ đồ thị hàm số

Hệ số nên hàm số đồng biến khi , nghịch biến khi và có bề lõm hướng lên trên.

Bảng giá trị:

Parabol là đường cong đi qua các điểm .

 

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Vận dụng hằng đẳng thức xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

Cách giải:

Rút gọn biểu thức với và .

Với và ta có:

Vậy với và thì .

Câu 25 (VD):

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm E (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BE cắt tiếp tuyến đó tại M. Từ điểm M kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại điểm C (C là tiếp điểm, ). Chứng minh rằng:

 

a) Tứ giác AOCM là tứ giác nội tiếp.

Vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên

Vì MC là tiếp tuyến của (O) tại C nên

Xét tứ giác AOCM có: , mà 2 góc này là 2 góc đối nhau của tứ giác AOCM.

là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) .

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM, đường cao AE ta có: (đpcm).

Câu 26 (VD):

Phương pháp:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có:

Biến đổi

Cách giải:

Cho phương trình bậc hai , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa

Ta có: .

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì .

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo giả thiết ta có:

Vậy .

Câu 27 (VD):

Phương pháp:

Gọi số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (chưa kể thuế VAT) là (triệu đồng) (ĐK: )

Gọi số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (chưa kể thuế VAT) là (triệu đồng) (ĐK: )

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn của x và y.

Giải hệ phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 4,35 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 4,36 triệu đồng. Nếu chưa kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Gọi số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (chưa kể thuế VAT) là (triệu đồng) (ĐK: )

Gọi số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (chưa kể thuế VAT) là (triệu đồng) (ĐK: )

Vì một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 4,35 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai nên ta có phương trình:

            (1).

Vì nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 4,36 triệu đồng nên ta có phương trình

          (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (chưa kể thuế VAT) là 1,5 triệu đồng và số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (chưa kể thuế VAT) là 2,5 triệu đồng.

Đề bài

Câu 1 (1,0 điểm):

 

Dựa vào hình vẽ bên, hãy: a) Viết ra tọa độ các điểm và . b) Xác định hoành độ điểm . c) Xác định tung độ điểm .

Câu 2 (1,0 điểm):

a) Tính giá trị của biểu thức .

b) Rút gọn biểu thức với .

Câu 3 (1,0 điểm):

Cho đường thẳng với là tham số.

a) Điểm có thuộc không? Vì sao?

b) Tìm các giá trị của để song song với đường thẳng:

Câu 4 (1,0 điểm):

Vẽ đồ thị hàm số

Câu 5 (2,5 điểm):

a) Giải phương trình: .

b) Giải hệ phương trình:

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình: với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Câu 6 (1,0 điểm):

 

Cho tứ giác nội tiếp đường tròn , biết , (như hình vẽ bên). Tính số đo các góc và .

Câu 7 (2,5 điểm):

Cho đường tròn và điểm sao cho . Từ điểm kẻ hai tiếp tuyến và đến đường tròn ( và là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng lấy điểm ( khác và ), dựng đường thẳng vuông góc với tại và cắt tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Tứ giác là hình gì? Vì sao?

c) Gọi là giao điểm của đường thẳng và sao cho nằm giữa điểm và . Chứng minh tứ giác là hình thoi.

Lời giải

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Nhận biết các điểm nằm trên hệ trục tọa độ để đọc được tọa độ của các điểm.

Cách giải:

a) Dựa vào hình vẽ ta có: , .

b) Dựa vào hình vẽ ta có: nên hoành độ điểm là .

c) Dựa vào hình vẽ ta có: nên tung độ điểm là .

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

a) Vận dụng hằng đẳng thức để tính giá trị của biểu thức .

b) Vận dụng hằng đẳng thức để xác định các nhân tử chung, rút gọn biểu thức .

Cách giải:

a)

b) Với ta có:

.

Vậy với thì .

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

a) Thay tọa độ điểm vào đường thẳng để kiểm tra.

b) Vận dụng quan hệ hai đường thẳng song song.

Cách giải

a) Thay và vào phương trình đường thẳng ta được:

(Vô lý)

Vậy không thuộc đường thẳng .

b) Đường thẳng song song với đường thẳng: .

Vậy thỏa mãn đề bài.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Lập bảng giá trị để xác định được các điểm mà đi qua (thường chọn 3 hoặc 5 điểm thuộc ).

Cách giải

Parabol có bề lõm hướng lên và nhận làm trục đối xứng.

Ta có bảng giá trị sau:

Parabol đi qua các điểm , , , , .

Đồ thị Parabol :

 

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

a) Vận dụng cách nhẩm nghiệm nhanh với phương trinh bậc hai một ẩn: nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt (hoặc )

Áp dụng Định lý Vi – ét, xác định được và sau đó thay vào biểu thức

Vận dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất.

Cách giải

a) Ta có nên phương trình có nghiệm phân biệt  .

Vậy phương trình có tập nghiệm .

b)

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

c) Phương trình có với mọi .

Suy ra phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Vi-et ta có:

Theo bài ra ta có:

Vì .

Vậy . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Câu 6 (VD):

Phương pháp:

Vận dụng tính chất: Tổng ba góc trong một tam giác bằng và mối quan hệ góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn.

Cách giải

 

Xét tam giác có: (tổng 3 góc trong một tam giác).

.

Tứ giác nội tiếp đường tròn nên (tổng hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp) .

Ta có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ) .

Vậy .

Câu 7 (VDC):

Phương pháp:

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng quan hê từ vuông góc đến song song, suy ra .

Lại có , nên là hình thang vuông.

c) Gọi .

Vận dụng kiến thức về đường trung trực, hệ thức lượng trong tam giác vuông, mối quan hệ góc – đường tròn

Vận dụng định nghĩa hình thoi để chứng minh là hình thoi.

Cách giải

 

a) Vì là tiếp tuyến của nên .

Xét tứ giác có: .

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

b) Ta có (từ vuông góc đến song song)

là hình thang.

Lại có nên là hình thang vuông.

c) Gọi .

Ta có: thuộc trung trực của .

           (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) thuộc trung trực của .

là trung trực của tại .

là trung trực của , mà .

Xét tam giác vuông tại có đường cao , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

.

Xét tam giác vuông có: .

.

đều (1)

Ta lại có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

đều (2)

Từ (1) và (2) .

Vậy là hình thoi (định nghĩa) (đpcm).

Đề bài

Câu 1: 

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

b) Tìm biết  

Câu 2:

Cho hàm số bậc nhất

a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

b) Tính giá trị của khi  

Câu 3:

Cho hàm số có đồ thị

a) Vẽ

b) Tìm tọa độ của các điểm thuộc có tung độ bằng

Câu 4: 

a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình

c) Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 5: 

Với giá trị nào của tham số thì đồ thị của hai hàm số và cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.

Câu 6: 

Cho tam giác ABC vuông tại B có đường cao BH (), biết . Tính độ dài các đoạn thẳng .

Câu 7:

Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, B sao cho và điểm C như hình vẽ. Tính số đo cung và số đo .

 Câu 8:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H ()

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Chứng minh .

c) Gọi là hai giao điểm của đường thẳng và đường tròn sao cho điểm nằm giữa điểm P và điểm F. Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng .

Lời giải

Câu 1 (1 điểm)

Cách giải:

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

Ta có:

b) Tìm biết

Điều kiện:

Ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Câu 2 (1 điểm)

Cách giải:

Cho hàm số bậc nhất

a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

Hàm số có

Ta có: nên hàm số đã cho đồng biến trên

b) Tính giá trị của khi

Thay vào hàm số ta được:

Vậy với thì .

Câu 3 (1 điểm)

Cách giải:

Cho hàm số có đồ thị

a) Vẽ

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số là parabol đi qua các điểm

Hình vẽ:

 

b) Tìm tọa độ của các điểm thuộc có tung độ bằng

Gọi điểm thuộc

Ta có:

Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là

Câu 4 (2,5 điểm)

Cách giải:

a) Giải phương trình:

Ta có: nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Giải hệ phương trình

Ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

c) Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Xét phương trình có

Ta có:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

Vậy với thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Câu 5 (1 điểm)

Cách giải:

Với giá trị nào của tham số thì đồ thị của hai hàm số và cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.

Xét đường thẳng có và đường thẳng có

Vì nên hai đường thẳng và cắt nhau.

Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và

Vì thuộc trục hoành nên

Lại có thuộc nên ta có

Và thuộc nên ta có

 

Vậy là giá trị cần tìm.

Câu 6 (0,75 điểm)

Cách giải:

Cho tam giác ABC vuông tại B có đường cao BH (), biết . Tính độ dài các đoạn thẳng .

Xét tam giác vuông tại , theo định lý Pytago ta có:

Xét tam giác vuông tại có chiều cao , theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Vậy .

Câu 7 (0,75 điểm)

Cách giải:

Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, B sao cho và điểm C như hình vẽ. Tính số đo cung và số đo .

 

Ta có là góc ở tâm chắn cung nên

(tính chất)

Lại có

là góc nội tiếp chắn cung nên

Vậy và

Câu 8 (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H ()

 

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

Ta có:

Tứ giác AFHE có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ) (đpcm).

b) Chứng minh .

Kéo dài cắt BC tại D.

Do là các đường cao trong tam giác và nên là trực tâm của

là đường cao trong .

(đpcm)

c) Gọi là hai giao điểm của đường thẳng và đường tròn sao cho điểm nằm giữa điểm P và điểm F. Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng .

Xét tứ giác BFEC có nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)

(cùng bù với ) (1)

Kẻ đường kính , gọi là giao điểm của và .

Tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên hay

tại

là trung điểm của (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

là đường trung trực của . (đpcm)

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:   

b) Giải hệ phương trình

Câu 2 (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol Vẽ

b) Tìm để đường thẳng song song với đường thẳng

c) Hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm và lần lượt cắt trục tại điểm (hình 1). Xác định tọa độ các điểm và tính diện tích tam giác  

 

Câu 3 (1,5 điểm):

a) Giải phương trình

b) Tìm để phương trình vô nghiệm.

Câu 4 (1,5 điểm): Cho tam giác vuông tại đường cao Biết Tính độ dài đường cao tính và chu vi tam giác

Câu 5 (1,5 điểm)

a) Sau Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2019 – 2020, học sinh hia lớp 9A và 9B tặng lại thư viện trường 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó, mỗi học sinh lớp 9A tặng 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B tặng 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số sách giao khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp.

b) Một bồn chứa xăng đặt trên xe gồm hai nửa hình cầu có đường kính 2,2m và một hình trụ có chiều dài 3,5m (hình vẽ). Tính thể tích của bồn chứa xăng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy).

 

Câu 6 (2 điểm) : Cho tam giác vuông cân tại , đường cao . Trên lấy điểm và vẽ đường tròn đường kính . Kẻ cắt tại và cắt đường tròn tại . Đường thẳng cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) .

Lời giải

Câu 1: (1,5 điểm) (TH)

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức khai căn:

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn biểu thức:   

Ta có:

b) Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

Câu 2 (VD) (2 điểm):

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị các điểm mà đồ thị hàm số đi qua rồi vẽ đồ thi hàm số.

b) Hai đường thẳng và song song với nhau

c) Dựa vào hình vẽ, xác định tọa độ các điểm và tính diện tích tam giác bằng công thức:

Cách giải:

a) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol Vẽ

Ta có bảng giá trị:

 

Vậy đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm

Đồ thị hàm số

b) Tìm để đường thẳng song song với đường thẳng

Đường thẳng song song với đường thẳng

Vậy thỏa mãn bài toán.

c) Hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm và lần lượt cắt trục tại điểm (hình 1). Xác định tọa độ các điểm và tính diện tích tam giác  

Dựa vào Hình 1 ta thấy tọa độ các điểm là:

 

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên ta có:

Ta có: (đvdt).

Câu 3 (VD) (1,5 điểm)

Phương pháp:

a) Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn hoặc nhẩm nghiệm.

b) Phương trình vô nghiệm

Cách giải:

a) Giải phương trình

Phương trình: có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có tập nghiệm  

b) Tìm để phương trình vô nghiệm.

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy với thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 4 (VD) (1,5 điểm):

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tỉ số lượng giác để làm bài toán.

Cách giải:

Áp dụng định lý Pitago trong vuông tại ta có: Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại có đường cao ta có:   Ta có:

Câu 5 (VD) (1,5 điểm):

Phương pháp:

a) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Gọi số học sinh lớp 9A là (học sinh)

Gọi số học sinh lớp 9A là (học sinh)

Biểu diễn số sách giáo khoa và sách tham khảo mỗi lớp tặng lại cho trường rồi lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình, đối chiếu với điều kiện của rồi kết luận.

b) Thể tích của bồn chứa xăng = thể tích của khối cầu bán đường kính 2,2 m + thể tích của khối trụ có đường kính đáy là 2,2 m và chiều cao 3,5 m.

Cách giải:

a) Gọi số học sinh lớp 9A là (học sinh)

    Gọi số học sinh lớp 9B là (học sinh)

Số sách giáo khảo lớp 9A tặng cho trường là: (quyển sách).

Số sách tham khảo lớp 9A tặng cho trường là: (quyển sách).

Số sách giáo khảo lớp 9B tặng cho trường là: (quyển sách).

Số sách tham khảo lớp 9B tặng cho trường là: (quyển sách).

Tổng số sách cả hai lớp tặng cho trường là 738 quyển nên ta có phương trình:

Tổng số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.

b) Bồn chứa xăng bao gồm 1 hình cầu và 1 hình trụ.

Ta có bán kính của hình cầu của bồn chứa xăng là:

Thể tích phần hình cầu của bồn chứa xăng là:

Phần hình trụ của bồn chứa xăng có bán kính đáy là: và chiều cao là:

Thể tích phần hình trụ của bồn chứa xăng là:

Vậy thể tích của bồn chứa xăng là:

Câu 6 (VD):

Cách giải:

 

a) Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Ta có : ( là đường cao của )

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính ).

.

Xét tứ giác có : , suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

b) .

Ta có .

Xét tứ giác có : Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

.

Từ (1) và (2) suy ra

Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên hay

tại

là trung điểm của (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

là đường trung trực của . (đpcm)

Đề bài

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (4 điểm, gồm 20 câu, từ câu 1 đến câu 20, mỗi câu 0,2 điểm).

Câu 1: Hình nào sau đây biểu diễn góc nội tiếp đường tròn ()?

A. Hình 4.

B. Hình 2.

C. Hình 1.

D. Hình 3.

Câu 2: Phương trình bậc hai có tổng và tích hai nghiệm lần lượt là

A. và .

B. và .

C. và .

D. và .

Câu 3: Căn bậc hai số học của 81 là

A. .

B. .

C. và .

D. .

Câu 4: Trong hình trụ đã cho (như hình vẽ bên), độ dài đoạn thẳng được gọi là

A. đường kính đáy.

B. bán kính đáy.

C. chiều cao.

D. đường sinh.

Câu 5: Hình nào sau đây biểu diễn đường tròn () nội tiếp ?

A. Hình 3.

B. Hình 4.

C. Hình 1.

D. Hình 2.

Câu 6: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 7: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 8: Đa giác nào sau đây luôn nội tiếp được một đường tròn?

A. Hình thang.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình bình hành.

D. Hình thoi.

Câu 9: Cho tam giác đều ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp (như hình vẽ bên), phép quay thuận chiều tâm O với góc quay nào sau đây biến điểm A thành điểm C?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 10: Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đường tròn ngoại tiếp tam giác?

A. Hình 4.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 1.

Câu 11: Hệ phương trình có nghiệm là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 12: Cho đường tròn tâm I (như hình vẽ bên), góc nào sau đây là góc ở tâm?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 13: Những đa giác nào sau đây là đa giác đều?

A. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, lục giác đều, hình chữ nhật.

B. Tam giác đều, hình vuông, hình thang cân.

C. Lục giác đều, hình thang cân.

D. Hình vuông, ngũ giác đều, tam giác đều.

Câu 14: Giá trị của bằng

A. 9.

B. -3.

C. 3.

D. -9.

Câu 15: Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là

A. trục Oy.

B. .

C. trục Ox.

D. .

Câu 16: Hệ phương trình nào sau đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 17: Cho vuông tại (như hình vẽ bên), giá trị của bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 18: Cho hai số thực thỏa mãn . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 19: Nghiệm của phương trình bậc hai: là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 20: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

A. .

B. .

C. .

D. .

B. PHẦN TỰ LUẬN: (6 điểm, gồm 6 câu, từ câu 21 đến câu 26)

Câu 21: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị của hàm số: .

b) Một chiếc cổng có cấu trúc dạng Parabol (như hình vẽ bên dưới). Người ta đo chiều cao của cổng là . Hãy tính chiều rộng của cổng (khoảng cách giữa hai điểm A và B)?

Câu 22: (0,5 điểm)

Thí sinh không được dùng máy tính, hãy giải phương trình bậc hai: .

Câu 23: (1,25 điểm)

a) Qua kiểm tra cuối kì 2 tại một trường THCS trong tỉnh Bến Tre, cô Kim Mỹ đã thống kê điểm môn Toán của 30 học sinh bất kỳ lớp 9 được cho trong bảng số liệu như sau:

Hãy lập bảng tần số cho số liệu trên.

b) Một hộp có chứa 5 viên bi cùng loại, trong đó có hai viên bi màu vàng lần lượt ghi các số 1 và 2; ba viên bi màu đỏ lần lượt ghi các số 3; 4; 5. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Hai viên bi được lấy ra khác màu”.

Câu 24: (0,5 điểm)

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ông An để một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m (như hình vẽ bên). Phần đất còn lại ông An dùng để trồng rau có diện tích 4256 . Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn đó.

Câu 25: (0,5 điểm)

Cho đường tròn (O) có sđ (như hình vẽ bên). Hãy cho biết số đo bằng bao nhiêu độ và giải thích?

Câu 26: (1,75 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Tại điểm O, kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm M. Lấy điểm E bất kỳ trên cung AM (E khác A và M). Gọi K là giao điểm của MO và BE.

a) Bốn điểm A, E, K, O có cùng thuộc một đường tròn không? Vì sao?

b) Chứng minh rằng vuông cân.

c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D. Chứng minh rằng .

----HẾT----

Lời giải

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Hình nào sau đây biểu diễn góc nội tiếp đường tròn ()?

A. Hình 4.

B. Hình 2.

C. Hình 1.

D. Hình 3.

Phương pháp:

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Lời giải:

Hình biểu diễn góc nội tiếp của đường tròn (O) là Hình 2.

Đáp án: B

Câu 2: Phương trình bậc hai có tổng và tích hai nghiệm lần lượt là

A. và .

B. và .

C. và .

D. và .

Phương pháp:

Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt theo a và c.

Áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích hai nghiệm.

Lời giải:

Xét phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète, ta có: .

Đáp án: C

Câu 3: Căn bậc hai số học của 81 là

A. .

B. .

C. và .

D. .

Phương pháp:

Căn bậc hai số học của a là .

Lời giải:

Căn bậc hai số học của 81 là .

Đáp án: B

Câu 4: Trong hình trụ đã cho (như hình vẽ bên), độ dài đoạn thẳng được gọi là

A. đường kính đáy.

B. bán kính đáy.

C. chiều cao.

D. đường sinh.

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức về các yếu tố của hình trụ.

Lời giải:

Độ dài đoạn thẳng OA được gọi là bán kính đáy.

Đáp án: B

Câu 5: Hình nào sau đây biểu diễn đường tròn () nội tiếp ?

A. Hình 3.

B. Hình 4.

C. Hình 1.

D. Hình 2.

Phương pháp:

Hình tròn nội tiếp tam giác nằm hoàn toàn bên trong tam giác và tiếp xúc với các cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

Hình 2 là hình tròn nội tiếp tam giác.

Đáp án: D

Câu 6: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ( hoặc ).

Lời giải:

Phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án: C

Câu 7: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng với .

Lời giải:

Bất phương trình là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án: D

Câu 8: Đa giác nào sau đây luôn nội tiếp được một đường tròn?

A. Hình thang.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình bình hành.

D. Hình thoi.

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức về hình nội tiếp đường tròn.

Lời giải:

Hình chữ nhật luôn nội tiếp một đường tròn.

Đáp án: B

Câu 9: Cho tam giác đều ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp (như hình vẽ bên), phép quay thuận chiều tâm O với góc quay nào sau đây biến điểm A thành điểm C?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Tính số đo mỗi cung = chia số phần bằng nhau.

Xác định góc quay = số đo mỗi cung nhân số phần để biến điểm A thành điểm C.

Lời giải:

Ta có tam giác đều ABC có 3 đỉnh chia đường tròn tâm (O) thành 3 phần bằng nhau, số đo mỗi cung là: nên phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C có số đo là: .

Đáp án: A

Câu 10: Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đường tròn ngoại tiếp tam giác?

A. Hình 4.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 1.

Phương pháp:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm ngoài tam giác và tiếp xúc với 3 đỉnh của tam giác.

Lời giải:

Hình 3 là hình biểu diễn đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Đáp án: C

Câu 11: Hệ phương trình có nghiệm là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Đối với bài tập trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay để tính nghiệm.

Lời giải:

Nghiệm của hệ phương trình là .

Đáp án: C

Câu 12: Cho đường tròn tâm I (như hình vẽ bên), góc nào sau đây là góc ở tâm?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Lời giải:

Góc ở tâm là .

Đáp án: D

Câu 13: Những đa giác nào sau đây là đa giác đều?

A. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, lục giác đều, hình chữ nhật.

B. Tam giác đều, hình vuông, hình thang cân.

C. Lục giác đều, hình thang cân.

D. Hình vuông, ngũ giác đều, tam giác đều.

Phương pháp:

Đa giác đều là đa giác có các góc bằng nhau và các cạnh bằng nhau.

Lời giải:

Hình vuông, ngũ giác đều, tam giác đều là các đa giác.

Đáp án: D

Câu 14: Giá trị của bằng

A. 9.

B. -3.

C. 3.

D. -9.

Phương pháp:

Ta có:

Lời giải:

Ta có: .

Đáp án: B

Câu 15: Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là

A. trục Oy.

B. .

C. trục Ox.

D. .

Phương pháp:

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục tung .

Lời giải:

Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là trục .

Đáp án: A

Câu 16: Hệ phương trình nào sau đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: , hoặc , hoặc .

Lời giải:

Trong các hệ phương trình trên, hệ là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án: A

Câu 17: Cho vuông tại (như hình vẽ bên), giá trị của bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác sin.

Lời giải:

Ta có: .

Đáp án: D

Câu 18: Cho hai số thực thỏa mãn . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức với phép cộng, phép nhân.

Lời giải:

Vì nên , A sai.

Vì và nên , B sai.

Vì và nên , C đúng.

Vì nên , D sai.

Đáp án: C

Câu 19: Nghiệm của phương trình bậc hai: là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Đối với bài tập trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay để tính nghiệm.

Lời giải:

Nghiệm của phương trình bậc hai là: .

Đáp án: A

Câu 20: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng với .

Lời giải:

Phương trình là phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án: A

B. PHẦN TỰ LUẬN:

Câu 21: (2 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số .

b) Một chiếc cổng có cấu trúc dạng Parabol (như hình vẽ bên dưới). Người ta đã chiều cao của cổng là h = 12,5 m. Hãy tính chiều rộng của cổng (khoảng cách giữa A và B)?

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị.

Xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số.

Vẽ đồ thị đi qua các điểm trên.

b) Giả sử và .

Vì A thuộc đồ thị của hàm số nên .

Vì tung độ điểm A bằng -12,5 nên thay để tìm

Tương tự, tìm .

Vì A, B có cùng tung độ nên đoạn thẳng AB song song với trục Ox.

Suy ra tính được .

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Giả sử và .

Vì A thuộc đồ thị của hàm số nên .

Vì tung độ điểm A bằng -12,5 nên , suy ra .

Quan sát đồ thị, thấy điểm A có hoành độ dương nên , do đó .

Tương tự, ta có .

Vì A, B có cùng tung độ nên đoạn thẳng AB song song với trục Ox.

Do đó .

Vậy chiều rộng của cổng là 10 m.

Câu 22: (0,5 điểm)

Thí sinh không được dùng máy tính, hãy giải phương trình bậc hai:

Phương pháp:

Sử dụng Delta để tính nghiệm của phương trình: thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

Xét phương trình có a = 3, b = -5, c = 2.

.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

;

.

Vậy phương trình có hai nghiệm và .

Câu 23: (1,25 điểm)

a) Qua kiểm tra cuối kì 2 tại một trường THCS trong tỉnh Bến Tra, cô Kim Mỹ đã thống kê điểm môn Toán của 30 học sinh bất kỳ lớp 9 được cho trong bảng số liệu sau:

Hãy lập bảng tần số cho số liệu trên.

b) Một hộp có chứa 5 viên bi cùng loại, trong đó có hai viên bi màu vàng lần lượt ghi các số 1; 2 và ba viên bi màu đỏ lần lượt ghi các số 3; 4; 5. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Hai viên bi được lấy ra khác màu”.

Phương pháp:

a) Xác định tần số các điểm để lập bảng tần số.

b) Xác định số phần tử của không gian mẫu.

Xác định số kết quả thuận lợi của A.

Xác suất của biến cố A bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi với số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

a) Bảng tần số:

b) Ta có không gian mẫu:

.

Số phần tử của không gian mẫu là .

Ta có , suy ra .

Xác suất của biến cố A là .

Câu 24: (0,5 điểm)

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ông An để một lối đi xung quanh vườn rộng 2m (như hình vẽ bên). Phần đất còn lại ông An dùng để trồng rau có diện tích . Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn đó.

Phương pháp:

Gọi lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

Từ khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m suy ra theo

Biểu diễn chiều dài, chiều rộng phần đất để trồng rau theo .

Phần đất để trồng rau có diện tích , nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm và .

Lời giải:

Gọi lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m, khi đó:

Suy ra   

Chiều dài phần đất để trồng rau là:

Chiều rộng phần đất để trồng rau là:

Phần đất để trồng rau có diện tích , nên ta có:

  

Thay vào ta có:

Giải phương trình ta được và .

Nếu thì (loại)

Suy ra và .

Vậy chiều dài khu vườn là 80m, chiều rộng khu vườn là 60m.

Câu 25: (0,5 điểm) Cho đường tròn có sđ (như hình vẽ bên). Hãy cho biết số đo bằng bao nhiêu độ và giải thích?

Phương pháp:

Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung chắn.

Lời giải:

Vì là góc ở tâm chắn cung nên sđ.

Câu 26: (1,75 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Tại điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm M. Lấy điểm E bất kỳ trên cung AM (E khác A và M). Gọi K là giao điểm của MO và BE.

a) Bốn điểm A, E, K, O có cùng thuộc một nửa đường tròn không? Vì sao?

b) Chứng minh rằng vuông cân

c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D. Chứng minh rằng

Phương pháp:

a) Chứng minh vuông tại , vuông tại nên cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính .

b) Chứng minh

Suy ra

Từ đó chứng minh được vuông cân tại

c) Chứng minh

Mà

Suy ra

Suy ra nên là tia phân giác

Suy ra .

Lời giải:

a) Ta có vuông tại (do nội tiếp nửa đường tròn đường kính )

Do đó nội tiếp nửa đường tròn đường kính (1)

vuông tại (do )

Do đó nội tiếp nửa đường tròn đường kính (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính

b) Xét và có

Do đó

Suy ra

Mà vuông tại (do nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB)

Vậy vuông cân tại

c) Ta có: nội tiếp nửa đường tròn đường kính nên

Mà

Suy ra

Mà

Nên ta có hay

Do đó là tia phân giác

Suy ra hay .