Đề thi vào 10 môn Toán Bình Dương

Đề bài

Câu 1: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

1)

2) .

3)

Câu 2: Cho Parabol và đường thẳng

1) Vẽ đồ thị của hàm số

2) Viết phương trình đường thẳng biết vuông góc với và tiếp xúc

Câu 3: Cho phương trình (m là tham số).

1) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .

2) Tìm hệ thức liên hệ giữa và mà không phụ thuộc vào tham số m.

Câu 4: Bác Tư đến siêu thị mua một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc với tổng số tiền theo giá niêm yết là 630000 đồng. Tuy nhiên, trong tuần lễ tri ân khách hàng nên siêu thị đã giảm giá quạt máy 15% và giảm giá ấm đun siêu tốc 12% so với giá niêm yết của từng sản phẩm. Nên Bác Tư chỉ phải trả 543000 đồng khi mua 2 sản phẩm trên. Hỏi giá niêm yết (khi chưa giảm giá) của một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc là bao nhiêu?

Câu 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O), (C khác A, B và CA < CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Dựng CH vuông góc với BD tại H (H nằm trên BD). Đường thẳng DO cắt CH và CB lần lượt tai M và N.

1) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

2) Chứng minh: .

3) Các đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh: .

4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết . Tính thể tích của hình nón tạo thành.

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

1)

Bước 1: Tính

Bước 2: So sánh với 0

- phương trình (1) vô nghiệm

- => phương trình (1) có nghiệm kép

- => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau:

và  .

2) Đặt nhân tử chung.

3) Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc trừ vế.

Cách giải:

1)

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

2) .

ĐKXĐ:

Đặt , phương trình trở thành .

Ta có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

3)

Ta có:

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;2).

Câu 2 (VD):

Cách giải:

Cho Parabol và đường thẳng

1) Vẽ đồ thị của hàm số

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

2) Viết phương trình đường thẳng biết vuông góc với và tiếp xúc

Vì vuông góc với nên phương trình đường thẳng có dạng

Để tiếp xúc thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm duy nhất, tức là:

có nghiệm duy nhất.

hay

Với thì

Vậy phương trình đường thẳng là

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng vi ét.

Cách giải:

1) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Vậy thì phương trình có hai nghiệm phân biệt .

2) Tìm hệ thức liên hệ giữa và mà không phụ thuộc vào tham số m.

Với m > -1, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Thay (1) vào (2) ta có:

Vậy hệ thức liên hệ giữa và mà không phụ thuộc vào tham số m là

.

Câu 4 (VD):

Cách giải:

Gọi giá niêm yết của 1 cái quạt máy và 1 ấm siêu tốc lần lượt là (đồng, )

Vì tổng số tiền mua 2 sản phẩm theo giá niêm yết là 630000 đồng nên ta có:

(1)

Tuy nhiên, siêu thị đã giảm giá quạt máy 15% và giảm giá ấm đun siêu tốc 12% so với giá niêm yết của từng sản phẩm.

Do đó:

Số tiền Bác Tư phải trả cho 1 cái quạt máy là: (đồng)

Số tiền Bác Tư phải trả cho 1 ấm siêu tốc là: (đồng)

Do bác Tư phải trả 543000 đồng khi mua 2 sản phẩm nên ta có:

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy giá niêm yết của 1 cái quạt máy là 380000 đồng, giá niêm yết của 1 ấm siêu tốc là 250000 đồng.
Câu 5 (VD):

Cách giải:

1) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

Do DC, DB là 2 tiếp tuyến của cắt nhau tại D nên (tính chất)

Mà OC = OB (bằng bán kính)

là trung trực của BC (tính chất)

tại N

Xét tứ giác DCNH có () và (cmt)

Mà H, N là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn DC dưới 2 góc bằng nhau

cùng thuộc một đường tròn (dhnb)

Hay tứ giác nội tiếp được trong đường tròn (đpcm)

2) Chứng minh: .

Xét tam giác DBC có DN và CH là đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác DBC

Mà (tiếp tuyến)

Lại có (tiếp tuyến)

là hình bình hành (dhnb)

(tính chất)

Mà (cùng bằng bán kính) nên (đpcm)

3) Các đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh: .

Xét và có:

chung

(tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

(đpcm)

4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết . Tính thể tích của hình nón tạo thành.

Do vuông tại B, đường cao BN nên ta có

(định lý Pytago)

   (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

(định lý Pytago)

Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón có chiều cao là DN = 6,4 và đáy là đường tròn có bán kính là BN = 4,8

Suy ra thể tích của hình nón bằng

Vậy thể tích hình nón khoảng

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:

1)                                         2)

Câu 2 (1,5 điểm): Cho hệ phương trình ( là tham số)

1)  Giải hệ phương trình khi

2)  Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn .

Câu 3 (2,0 điểm): Cho Parabol và đường thẳng

1) Vẽ đồ thị .

2) Tìm tọa độ các giao điểm của và bằng phép tính.

3) Viết phương trình đường thẳng biết song song và cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là sao cho .

Câu 4 (1,5 điểm): Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 1,5m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là .

Câu 5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A () nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng đường thẳng d đi qua A song song với BC, đường thẳng d^’ qua C song song BA, gọi D là giao điểm của d và d^’. Dựng AE vuông góc với BD (E nằm trên BD), F là giao điểm của BD với đường tròn (O). Chứng minh:

1) Tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

2)

3) Tứ giác AECF là hình bình hành.

4)

Lời giải chi tiết

Phương pháp:

a) Biến đổi biểu thức trong căn, khai phương và rút gọn biểu thức

b) Trục căn thức ở mẫu, rút gọn biểu thức

Cách giải:

1)

Ta có :

Vậy .

2)

Ta có:

Vậy .

Phương pháp:

1) Phối hợp phương pháp cộng đại số và phương pháp thể để tìm nghiệm của hệ phương trình.

2) Vận dụng phương pháp thể để tìm được nghiệm theo tham số , sau đó thay vào điều kiện để giải tham số .

Cách giải:

1) Với hệ phương trình trở thành:

Vậy với hệ phương trình có nghiệm là .

2) Ta có:

Thay vào ta được

Thay vào ta được

Để khi và chỉ khi .

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương pháp:

1) Lập bảng giá trị

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , sau đó sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn xác định nghiệm của phương trình.

3) Xác định dạng của phương trình của đường thẳng , xét phương trình hoành độ giao điểm của và , xác định điều kiên để phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi – ét, xác định sau đó thay vào yêu cầu để bài.

Cách giải:

1) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ , có bề lõm hướng xuống và nhận làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Parabol đi qua các điểm , , , , .

Đồ thị Parabol :

2) Hoành độ giao điểm của đồ thị và là nghiệm của phương trình:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Với .

Với .

Vậy tọa độ các giao điểm của và là .

3) Vì song song nên có dạng   (1)

Hoành độ giao điểm của đồ thị và là nghiệm của phương trình:

.

cắt tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

  (2)

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có , thỏa mãn (1) và (2).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .

Phương pháp:

Gọi chiều rộng của khu vườn là , xác định chiều dài theo ẩn , lập phương trình, sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn để xác định ẩn .

Cách giải:

Gọi chiều rộng của khu vườn là (mét; ).

Vì chiều dài gấp lần chiều rộng nên chiều dài của khu vườn là .

Do lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 1,5m nên:

Chiều dài phần đất để trồng trọt là: (mét)

Chiều rộng phần đất để trồng trọt là: (mét)

Vì diện tích vườn để trồng trọt là nên ta có phương trình:

.

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy chiều rộng của khu vườn là 40 mét và chiều dài của khu vườn là 120 mét.

Phương pháp:

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

2) Vận dụng tính của góc trong tứ giác nội tiếp và góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung.

3) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.

4) Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

1) Vì vuông tại và nội tiếp nên là đường kính của .

Ta có: (từ vuông góc đến song song) .

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

2) Do tứ giác nội tiếp (cmt) nên: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà (so le trong)

.

Mặt khác: (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung )

  (đpcm).

3) Do tứ giác là tứ giác nội tiếp (cmt) nên: (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Ta có: (so le trong do ) .

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên   (dhnb) (1)

Mặt khác: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên hay .

Mà nên (từ vuông góc đến song song)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

4) Gọi .

Ta có: là hình bình hành (dhnb) và (tính chất).

Xét vuông tại có là đường cao nên:

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

.

Mà (cmt).

Vậy (đpcm).

Đề bài

Bài 1  (2,0 điểm)

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

     1)                                                                 

Bài 2 (1,5 điểm)

Cho phương trình: có hai nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

Bài 3 (1,5 điểm)

Cho Parabol và đường thẳng

     1) Vẽ đồ thị của và trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

     2) Tìm tọa độ các giao điểm của và bằng phép tính.

Bài 4 (1,5 điểm)

Cho biểu thức với .

     1) Rút gọn biểu thức

     2) Tính giá trị của biểu thức khi

Bài 5 (3,5 điểm)

Cho đường tròn có đường kính và tiếp tuyến . Trên lấy điểm sao cho cắt đường tròn tại Đường phân giác của góc cắt đường tròn tại và cắt tại

     1) Tính độ dài đoạn thẳng .

2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

3) Chứng minh tam giác là tam giác cân.

4) Kẻ vuông góc với ( thuộc ). Chứng minh: thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Bài 1 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số

Phương pháp:

1) Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

2) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

Đặt , phương trình đã cho trở thành:

Nhẩm nghiệm để giải phương trình ẩn từ đó suy ra nghiệm

3) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

1)

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

2)

Đặt , phương trình đã cho trở thành: .

Nhận thấy nên phương trình có nghiệm , .

Với ta có .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

3) .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Bài 2 - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Phương pháp:

Tính chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho.

Cách giải:

Xét phương trình:

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

a)

Ta có:  

b)

Ta có:

Bài 3 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số

Phương pháp:

1) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị các hàm số trên cùng hệ trục tọa độ.

2) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số để tìm hoành độ giao điểm.

Thế hoành độ giao điểm vào một trong hai hàm số đã cho, để tìm tung độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Cách giải:

Cho parabol và đường thẳng

1) Vẽ đồ thị của và trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

+) Vẽ parabol

Ta có bảng giá trị:

Vậy là đường cong đi qua các điểm:

+) Vẽ

Ta có bảng giá trị:

Vậy là đường thẳng đi qua các điểm và

2) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta có:

+) Với

+) Với

Vậy cắt tại hai điểm phân biệt và

Bài 4 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Phương pháp:

1) Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

2) Biến đổi đối chiếu với ĐKXĐ rồi thay vào biểu thức đã rút gọn để tính giá trị của biểu thức đã cho.

Cách giải:

với .

1) Rút gọn biểu thức .

với .

2) Tính giá trị của biểu thức khi .

Điều kiện:

Ta có:

Thay vào biểu thức A sau khi rút gọn ta có:

.

Vậy khi thì .

Bài 5 - Ôn tập tổng hợp chương 1, 2, 3 - Hình học

Phương pháp:

1) Tính độ dài đoạn thẳng bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại có đường cao

2) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng

3) Chứng minh tam giác cân dựa vào tính chất của tam giác cân.

4) Áp dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Cách giải:

1) Tính độ dài đoạn thẳng .

Vì nội tiếp chắn nửa đường tròn nên hay .

Ta có: là tiếp tuyến của tại nên hay .

            là đường kính của nên .

Do đó tam giác vuông tại có đường cao .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Vậy .

2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

Ta có: .

Tương tự ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

hay .

.

Xét tứ giác có .

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

3) Chứng minh tam giác là tam giác cân.

Ta có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

          (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà (gt) , do đó là tia phân giác của .

Xét tam giác có là đường cao đồng thời là đường phân giác nên tam giác cân tại   (đpcm).

4) Kẻ vuông góc với ( thuộc ). Chứng minh: thẳng hàng.

Xét tam giác có:

là trực tâm của tam giác .

Do đó là đường cao thứ ba của tam giác nên .

Lại có .

Qua điểm nằm ngoài đường thẳng kẻ được hai đường thẳng cùng vuông góc với .

(Tiên đề Ơ-clit).

Vậy thẳng hàng (đpcm).

Đề bài

Câu 1 (2 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

Câu 2 (1,5 điểm) Cho parabol   và đường thẳng (m là tham số)

1) Vẽ đồ thị hàm số

2) Gọi là hai giao điểm phân biệt của và Tìm tất cả các giá trị của tham số để

Câu 3 (1,5 điểm) Cho phương trình: (a,   b là tham số)

Tìm các giá trị của tham số để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

Câu 4 (1,5 điểm)  Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 140 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 4 sản phẩm mỗi ngày. Do đố tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 4 ngày. Hỏi thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm.

Câu 5 (3,5 điểm)  Cho đường tròn Từ một điểm ở ngoài đường tròn sao cho vẽ hai tiếp tuyến với ( là hai tiếp điểm). Lấy một điểm tùy ý trên cung nhỏ Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên  

1) Tính diện tích tứ giác theo .

2) Chứng minh .

3) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

4) Giả sử thẳng hàng. Chứng minh

Lời giải chi tiết

Phương pháp:

1) Sử dụng biệt thức để giải phương trình bậc hai hoặc đưa phương trình về dạng tích.

2) Đặt ẩn phụ , đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai.

3) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Cách giải:

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đặt   Khi đó ta có phương trình:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Phương pháp:

1) Lập bảng giá trị, xác định các điểm đồ thị hàm số đi qua và vẽ đồ thị hàm số.

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và , yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương phân biệt.

Cách giải:

1) Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm

Đồ thị hàm số

2) Gọi là hai giao điểm phân biệt của và Tìm tất cả các giá trị của tham số để

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và   là:

Theo đề bài ta có: cắt tại hai điểm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài ta có:

Kết hợp các điều kiện của   ta được:

Vậy thỏa mãn bài toán.

Chú ý: Sau khi làm xong phải kết hợp lại các điều kiện của m trước khi đưa ra kết luận cuối cùng.

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

+) Áp dụng định lí Vi-ét.

+) Sử dụng các biến đổi và .

Cách giải:

.

Ta có .

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì (*).

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Mà .

Ta có :

Với thỏa mãn điều kiện .

Vậy có 2 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là hoặc . 

Chú ý: Khi tìm được cặp số phải đối lại chiếu với điều kiện.

Phương pháp:

Gọi số sản phẩm thực tế mỗi ngày tổ công nhân sản xuất được là (sản phẩm)

Dựa vào các giả thiết bài cho để biểu diễn số sản phẩm tổ công nhân sản xuất theo kế hoạch và thời gian tổ hoàn thành sản phẩm theo kế hoạch và theo thực tế.

Lập phương trình và giải phương trình.

Đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi số sản phẩm thực tế mỗi ngày tổ công nhân sản xuất được là (sản phẩm)

Thời gian thực tế mà tổ công nhân hoàn thành xong sản phẩm là: ngày.

Theo kế hoạch mỗi ngày tổ công nhân đó sản xuất được số sản phẩm là: (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch mà tổ công nhân hoàn thành xong sản phẩm là: (ngày)

Theo đề bài ta có thời gian thực tế hoàn thành xong sớm hơn so với thời gian dự định là ngày nên ta có phương trình:

Vậy thực tế mỗi ngày tổ công nhân đã làm được sản phẩm.

Chú ý: Nếu bạn học sinh nào gọi số sản phẩm tổ công nhân dự định làm trong một ngày thì sau khi giải phương trình, ta cần tìm số sản phẩm tổ công nhân làm được theo kế hoạch rồi mới kết luận.

Phương pháp:

1) Áp dụng định lí Pytago tính cạnh .

    Tính diện tích tam giác .

    Chứng minh .

2) Sử dụng các định lí: Trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn cung 1 cung thì bằng nhau và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.

3) Chứng minh .

4) Khi thẳng hàng, ta chứng minh được là trung điểm của

Khi đó ta chứng minh và suy ra điều phải chứng minh.

Cách giải:

1) Tính diện tích tứ giác theo .

Xét tam giác và tam giác ta có:

  (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ;

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

\(A{M^2} = O{M^2} - O{A^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2}

Đề bài

Bài 1 (1,5 điểm)

1) Rút gọn biểu thức

2) Rút gọn biểu thức với

Tính giá trị của B khi

Bài 2 (1,5 điểm)

Cho Parabol và đường thẳng (m là tham số).

1) Vẽ đồ thị hàm số (P).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3 (2,0 điểm)

1)      Giải hệ phương trình:

2)      Cho phương trình: , ( m là tham số)

a. Giải phương trình (1) khi m = 3.

b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4 (1,5 điểm)

Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, người đó nghỉ 9 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Tính vận tốc lúc đấy của người đó.

Bài 5 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính . Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D.

1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.

2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết . Tính diện tích của tam giác BCD.

3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh

4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.

Lời giải chi tiết

Phương pháp:

1) Khai triển hằng đẳng thức và rút gọn.

2) +) Phân tích thành nhân tử, rút gọn phân thức.

    +) Quy đồng, sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn B.

    +) Đưa x về dạng bình phương, sử dụng hằng đẳng thức để tìm , sau đó thay vào tính giá trị của biểu thức B.

Cách giải:

Ta có

Thay vào B ta có .

Vậy khi thì

Phương pháp:

1) Lập bảng giá trị các điểm thuộc đồ thị hàm số (P) và vẽ đồ thị hàm số.

2) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) cắt (P).

+) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt tức là

Cách giải:

1) Vẽ đồ thị hàm số :

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số:

2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt

Vậy với thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt.

1)      Giải hệ phương trình:

Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cách giải:

Ta có:

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

2)      Cho phương trình: , ( m là tham số)

a. Giải phương trình (1) khi m = 3.

b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp

a. Giải phương trình với m = 3 ta thay m = 3 vào phương trình (1) sau đó giải phương trình bậc hai sử dụng biệt thức hoặc   để tìm nghiệm.

b.Bước 1: Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 Bước 2: Phân tích biểu thức A về dạng chứa các hệ thức Viet sau đó áp dụng Viet vào tìm được m và đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận.

Hệ thức Viet như sau:

Cách giải:

Cho phương trình , ( m là tham số)

a)      Giải phương trình (1) khi m = 3.

Với m = 3 ta có (1) trở thành:

Ta có:

Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là:

Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có tập nghiệm là:

b)       Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

+) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có:

Ta có:

Thay Viet vào A ta được:

Ta có: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình.

+) Giải phương trình vừa lập sau đó đối chiếu với điều kiện đề bài và kết luận.

Cách giải:

Gọi vận tốc ban đầu của người đó là

Thời gian dự định người đó đi hết quãn đường là:

Quãng đường người đó đi được sau 1 giờ là:

Quãng đường còn lại người đó phải tăng tốc là:

Vận tốc của người đó sau khi tăng tốc là: thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là:

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy vận tốc lúc đầu của người đó là

Phương pháp:

1) Chứng minh tứ giác OBDC có tổng giác hai góc đối bằng 180⁰

2) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

3) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AQP.

4) Chứng minh các tam giác DBP và DCQ cân tại D, từ đó suy ra D là trung điểm của PQ.

Chứng minh tam giác , từ đó suy ra đpcm.

Cách giải:

1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.

Do DB, DC là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

Xét tứ giác OBDC có  tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết . Tính diện tích của tam giác BCD.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OBD có

Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc trung trực của BC là trung trực của BC .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBD có:

Vậy .

3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh

Ta có ( 2 góc so le trong do đường thẳng Ax // PQ)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB của (O)).

Xét tam giác ABC và tam giác AQP có:

chung;

4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.

Kéo dài BD cắt D tại F.

Ta có (đối đỉnh)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

(do )

cân tại D

Tương tự kéo dài DC cắt d tại G, ta chứng minh được cân tại D

Lại có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) là trung điểm của PQ.

Ta có:

Xét tam giác và tam giác có

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM:

II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI:

III. TỰ LUẬN:

Câu 15: (1 điểm) Giải phương trình .

Câu 16: (1 điểm) Rút gọn biểu thức với .

Câu 17: (1 điểm) Một trang trại trồng dưa hấu để phục vụ trong dịp Tết Nguyên đán. Đến mùa thu hoạch, muốn ước tính năng suất của vụ thu hoạch, chủ trang trại đem cân ngẫu nhiên 40 quả dưa hấu. Kết quả thu được như bảng sau (đơn vị tính kilogram)

a) Lập bảng tần số cho mẫu số liệu trên.

b) Giá trị nào có tần số lớn nhất? Tính tần số tương đối của giá trị đó.

Câu 18: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (I) đường kính AB và đường tròn (K) đường kính AC. Gọi D là giao điểm khác A của đường tròn (I) và đường tròn (K).

a) Chứng minh rằng D nằm trên cạnh huyền BC của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng tứ giác AIDK nội tiếp được một đường tròn.

-------- Hết --------

Lời giải

I. TRẮC NGHIỆM:

II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI:

III. TỰ LUẬN: 

Câu 15: (1 điểm) Giải phương trình .

Lời giải:

Ta có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có hai nghiệm và

Câu 16: (1 điểm) Rút gọn biểu thức với .

Lời giải:

ĐK:

(với )

Vậy .

Câu 17: (1 điểm) Một trang trại trồng dưa hấu để phục vụ trong dịp Tết Nguyên đán. Đến mùa thu hoạch, muốn ước tính năng suất của vụ thu hoạch, chủ trang trại đem cân ngẫu nhiên 40 quả dưa hấu. Kết quả thu được như bảng sau (đơn vị tính kilogram)

a) Lập bảng tần số cho mẫu số liệu trên.

b) Giá trị nào có tần số lớn nhất? Tính tần số tương đối của giá trị đó.

Lời giải:

a) Ta có bảng tần số:

b) Giá trị có tần số lớn nhất là 2,5 (kilogram), với tần số

Tần số tương đối của 2,5 là

Câu 18: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (I) đường kính AB và đường tròn (K) đường kính AC. Gọi D là giao điểm khác A của đường tròn (I) và đường tròn (K).

a) Chứng minh rằng D nằm trên cạnh huyền BC của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng tứ giác AIDK nội tiếp được một đường tròn.

Lời giải:

Do có A, B, D cùng thuộc (I) và AB là đường kính nên vuông tại D

Suy ra (1)

Tương tự có A, D, C cùng thuộc (K) và AC là đường kính nên vuông tại D

Suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra B, D, C thẳng hàng

Vậy D nằm trên cạnh huyền BC của tam giác ABC.

b) Xét và có

(cùng bằng bán kính của (I))

(cùng bằng bán kính của (K))

là cạnh chung

Suy ra

Suy ra . Khi đó vuông tại D

Ta có vuông tại A nên A, I, K cùng thuộc đường tròn đường kính IK

   vuông tại D nên D, I, K cùng thuộc đường tròn đường kính IK

Vậy A, I, D, K cùng thuộc đường tròn đường kính IK

Chứng tỏ AIDK nội tiếp được một đường tròn. (đpcm)