Đề thi vào 10 môn Toán Bình Phước

Đề bài

Câu 1: 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

2. Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức khi .

Câu 2: 1. Cho Parabol và đường thẳng .

a) Vẽ Parabol và đường thẳng trên cùng một hệ trục toạ độ

b) Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng bằng phép tính.

2. Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình:

Câu 3: 1. Cho phương trình ( là tham số).

a) Giải phương trình khi

b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích Biết rằng nếu tăng chiều dài và giảm chiều rộng thì diện tích không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Câu 4: Cho tam giác vuông tại , đường cao Biết rằng ,

a) Tính

b) Trên cạnh lấy điểm sao cho tính diện tích tam giác

Câu 5: Cho đường tròn đường kính , lấy điểm thuộc ( khác và ), tiếp tuyến của đường tròn tại cắt ở Từ kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm khác ).

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Biết cắt tại Chứng minh rằng và

c) Gọi là trung điểm của kẻ đường kính của đường tròn cắt tại Chứng minh rằng là trung điểm của .

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

1. Khai căn và thực hiện phép tính.

2. a) Tách tử thành hằng đẳng thức và rút gọn.

b) Thay vào biểu thức đã rút gọn ở câu a để tính.

Cách giải:

1.

Vậy .

a) Rút gọn biểu thức .

Với ta có:

P =

Vậy với thì .

b) Tính giá trị của biểu thức khi .

Với (thoả mãn điều kiện) ta được: .

Vậy với thì .

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

1. a) Chọn 5 điểm để vẽ Parabol (P) và chọn 2 điểm để vẽ đường thẳng (d).

b) Xét phương trình hoành độ và giải phương trình.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Cách giải:

1. Cho Parabol và dường thẳng .

a) Vẽ Parabol và đường thẳng trên cùng một hệ trục toạ dộ Oxy.

*Vẽ đồ thị hàm số

Tập xác định .

Bảng giá trị

Ta có đồ thị hàm số là Parabol có đường cong hướng xuống dưới.

Qua 5 điểm có tọa độ .

*Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm và .

Ta vẽ được đồ thị và trên cùng hệ trục toạ độ như sau:

b) Tìm tọa độ giao điểm của Parabol và duờng thằng bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình

Ta thấy nên phương trình có hai nghiệm .

Với thì suy ra là giao điểm.

Với thì suy ra là giao điểm.

Vậy giao điểm của và là .

2. Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình: .

Thay (2) vào (1) ta có:

Thay vào (2) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

1. a) Thay vào phương trình ban đầu để giải.

b) Áp dụng hệ thức vi-et

2. Gọi chiều rộng ban đầu là x, từ đó tìm được chiều rộng và chiều dài lúc sau. Diện tích không đổi nên phương trình là chiều dài nhân với chiều rộng bằng 600.

Cách giải:

1. Cho phương trình (m là tham số).

a) Giải phương trình khi .

Với ta có:

Vi nên phương trình có 1 nghiệm là và .

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm là: .

b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức dạt giá trị nhỏ nhất.

Xét phương trình :

Ta có:

Phương trình có 2 nghiệm khi và chi khi

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có:

Từ giả thiết:

Suy ra:

P =

Suy ra giá trị nhỏ nhất của là 3 khi và chỉ khi .

Vậy với thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3.

2. Gọi chiều rộng khu vườn hình chữ nhật là

Suy ra chiều dài khu vườn là

Chiều dài khu vườn sau khi tăng là

Chiều rộng khu vườn sau khi giảm là

Diện tích khu vườn sau khi tăng chiều dài và giảm chiều rộng thì  không đổi nên ta có phương trình

Vậy chiều dài mảnh vườn là chiều rộng mảnh vườn là

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

a) Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

b)

Cách giải:

a) Ta có

Ta có

Ta có

b)

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh và

c) Chứng minh là trung điểm của và từ đó suy ra là trung điểm của .

Cách giải:

a) Ta có

Do đó tứ giác nội tiếp

b) Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta lại có nên là đường trung trực của . Suy ra

Xét tam giác vuông tại nên

Xét tam giác vuông tại nên

Suy ra (đpcm)

c) Xét tam giác và tam giác ta có góc chung, .

Suy ra tam giác và tam giác đồng dạng với nhau. Suy ra . (*)

Xét tam giác và có (1)

Mà tam giác cân tại nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồng dạng với suy ra .

Xét tam giác và ta có và

 Nên  đồng dạng với suy ra

( cùng bù với ) (**)

Từ (*) và (**)  ta có suy ra .

Xét tam giác có là trung điểm của và nên là trung điểm của .

-----HẾT-----

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm): 

1. Tính giá trị các biểu thức:

2. Cho biểu thức với

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của biểu thức tại .

Câu 2 (2,0 điểm): 

1. Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính

2. Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình

Câu 3 (2,5 điểm): 

1. Cho phương trình (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

2. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 6m. Tính chiều rộng và chiều dài khu vườn, biết diện tích khu vườn là 280m².

Câu 4 (1,0 điểm): 

Cho tam giác ABC vuông tại A có . Hãy tính và diện tích tam giác ABC.

Câu 5 (2,5 điểm): 

Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O), đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C).

a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: .

c) Kẻ BH vuông góc với AC tại điểm H. Chứng minh đường thẳng SC đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH.

Lời giải

2. Cho biểu thức với

a) Rút gọn biểu thức P.

Với ta có:

Vậy với thì .

b) Tính giá trị của biểu thức tại .

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P sau rút gọn ta có: .

Vậy với thì .

Câu 2 

Phương pháp:

1) a) Vẽ đồ thị của hàm số

+ Nhận xét về hệ số và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của và

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)

Vận dụng hệ quả của định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn có a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

2) Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm

Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

1. Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

Xét  parabol

Hệ số nên hàm số đồng biến khi , nghịch biến khi và có bề lõm hướng lên trên.

Bảng giá trị:

Parabol (P) là đường cong đi qua các điểm .

Xét đường thẳng

Bảng giá trị:

Đường thẳng đi qua hai điểm .

Vẽ đường thẳng (d) và parabol (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy:

b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với

Với

Vậy giao điểm của (P) và (d) là A(-1;1) và B(2;4).

2. Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình

Ta có:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Câu 3

Phương pháp:

1) a) Vận dụng hệ quả của định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt .

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – ét, tính

là nghiệm của phương trình (1) suy ra

Thay và vào , biến đổi và tìm m.

2) Gọi chiều rộng của khu vườn là: (m) (điều kiện: ) suy ra chiều dài của khu vườn

Tính diện tích của khu vườn theo

Diện diện khu vườn bằng , từ đó lập phương trình, giải phương trình và tìm x.

Cách giải:

1. Cho phương trình (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2.

Với m = 2, thay vào phương trình (1), ta được:

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy với m = 2, phương trình có tập nghiệm là

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – ét, ta có:

Vì là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

Theo đề bài:

Ta có:

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Vậy

2. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 6m. Tính chiều rộng và chiều dài khu vườn, biết diện tích khu vườn là 280m².

Gọi chiều rộng của khu vườn là: (m) (điều kiện: )

Vì chiều dài hơn chiều rộng là 6m nên chiều dài của khu vườn là (m)

Khi đó, diện tích của khu vườn là

Mà diện tích khu vườn là nên ta có phương trình:

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy chiều rộng của khu vườn là , chiều dài của khu vườn là .

Câu 4

Phương pháp:

Vận dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác suy ra góc C.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, tính AB và BC

Cách giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A có . Hãy tính và diện tích tam giác ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên

Ta có:

Diện tích tam giác ABC là: .

Câu 5

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.

b)

c) ; ;

mà thuộc là trung điểm của BH

Lại có: cũng thuộc

Vậy SC đi qua trung điểm của BH.

Cách giải:

Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O), đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C).

a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn.

+ SA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A

+ SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B

Tứ giác SAOB có: mà hai góc này đối nhau

SAOB là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: .

Xét (O) có: (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)                         

Xét và có:

c) Kẻ BH vuông góc với AC tại điểm H. Chứng minh đường thẳng SC đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH.

SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên SA = SC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Gọi I là giao điểm của SC và BH

Ta có: (Theo định lý Ta – lét)          

             (1)

Ta có: (cùng phụ với góc )

           (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Xét và có:

Xét (O) có: (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Xét và có:

Từ (1), (2) và (3) suy ra

mà thuộc là trung điểm của BH

Lại có: cũng thuộc

Vậy SC đi qua trung điểm của BH.

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

1. Tính giá trị các biểu thức sau:

\(A = \sqrt {49}  - \sqrt {25} \)                                   \(B = \sqrt 5  + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)

2. Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\).

a. Rút gọn biểu thức \(P\).

b. Tìm giá trị của \(x\) để \(P = 5\).

Câu 2 (2,0 điểm):

1. Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 1\).

a) Vẽ parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\).

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.

2. Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 4\\x + 2y = 7\end{array} \right.\)

Câu 3 (2,5 điểm):

1. Cho phương trình \({x^2} + \left( {m - 2} \right)x - 8 = 0\) (1), với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).

b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho biểu thức \(Q = \left( {{x_1}^2 - 1} \right)\left( {{x_2}^2 - 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

2. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc để đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 10 km/h nên ô tô thứ hai đến B trước ô tô thứ nhất 24 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô.

Câu 4 (1,0 điểm):

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) và đường trung tuyến \(AM\). Biết \(AB = 9\,\,cm\), \(AC = 12\,\,cm\). Hãy tính \(BC,\,\,AH,\,\,AM\) và diện tích tam giác \(ABM\).

Câu 5 (2,5 điểm):

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\)(\(B,C\) là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến \(AEF\) không đi qua tâm (\(E\) nằm giữa \(A\) và \(F\);\(O\) và \(B\) nằm về hai phía so với cát tuyến ). Gọi \(K\)là trung điểm của \(EF\).

a) Chứng minh tứ giác \(OBAC\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(KA\) là phân giác của \(\angle BKC\).

c) Kẻ dây \(ED\) vuông góc \(OB\) sao cho \(ED\) cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(FM\) đi qua trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\).

Lời giải

Câu 1 (TH)

Phương pháp:

1) Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

2) a) Xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

b) Giải phương trình với \(P = 5\), ta tìm được \(x\), đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

1)

 \(\begin{array}{l}A = \sqrt {49}  - \sqrt {25} \\A = \sqrt {{7^2}}  - \sqrt {{5^2}} \\A = 7 - 5 = 2\end{array}\)

Vậy \(A = 2\).

\(\begin{array}{l}B = \sqrt 5  + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \\B = \sqrt 5  + \left| {3 - \sqrt 5 } \right|\\B = \sqrt 5  + 3 - \sqrt 5 \,\,\left( {Do\,\,3 - \sqrt 5  > 0} \right)\\B = 3\end{array}\)

Vậy \(B = 3\).

2) a) Với \(x > 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}\\P = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\sqrt x }}\\P = \sqrt x  - 2 + \sqrt x  + 3\\P = 2\sqrt x  + 1\end{array}\)

Vậy với \(x > 0\) thì \(P = 2\sqrt x  + 1\).

b) Để \(P = 5\) thì \(2\sqrt x  + 1 = 5 \Leftrightarrow 2\sqrt x  = 4 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy để \(P = 5\) thì \(x = 4\).

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

1) a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

Vẽ đồ thị của hàm số \(y = ax + b\)

+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\)  

Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{c}{a}\)

Với mỗi \({x_i}\) tìm được ta tìm được \({y_i}\)

Kết luận giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là: \(\left( {{x_i};{y_i}} \right)\)

Cách giải:

1) a) +) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) có bề lõm hướng lên và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;8} \right)\), \(\left( { - 1;2} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;2} \right)\), \(\left( {2;8} \right)\).

+) Đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 1\)

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 1\) đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right);\,\,\left( { - 1;0} \right)\).

Đồ thị Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 1\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\):

b) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} = x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 = 0\).

Ta có \(a + b + c = 2 - 1 - 1 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{c}{a} =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

+ Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1 + 1 = 2\).

+ Với \(x =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).

2) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 4\\x + 2y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 8\\x + 2y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 15\\y = 2x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\).

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

1) a) Thay \(m = 4\) phương trình \(\left( 1 \right)\)

Tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) (hoặc \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\)), sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\) (hoặc \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\)), tính được nghiệm của phương trình, kết luận.

b) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\Delta  > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\))

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo \(m\)

Biến đổi, rút gọn biểu thức \(Q\), sử dụng hằng đẳng thức tìm được giá trị lớn nhất của \(Q\).

2) Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là \(x\,\,\left( {km/h} \right)\) (ĐK: \(x > 0\)).

Tính được vấn tốc của ô tô thứ hai theo \(x\)

Tính được thời gian của ô tô thứ nhất và ô tô thứ hai đi hết quãng đường \(AB\) theo \(x\)

Lập được phương trình, giải phương trình tìm được \(x\), đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

1) a) Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) ta được: \({x^2} + 2x - 8 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = 1 + 8 = 9 = {3^2} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1 + \sqrt 9  = 2\\{x_2} =  - 1 - \sqrt 9  =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 4;2} \right\}\).

b) Phương trình (1) có: \(\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} + 32 > 0\,\,\,\forall m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Khi đó theo Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - m + 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - 8}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}Q = \left( {{x_1}^2 - 1} \right)\left( {{x_2}^2 - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = {x_1}^2{x_2}^2 - \left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) + 1\\\,\,\,\, = {x_1}^2{x_2}^2 - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 2{x_1}{x_2} + 1\end{array}\)

\( \Rightarrow Q = 64 - {\left( { - m + 2} \right)^2} - 16 + 1 =  - {\left( { - m + 2} \right)^2} + 49 \le 49\,\,\,\forall m\).

Vậy \({Q_{\max }} = 49\). Dấu “=” xảy ra khi \(m = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 49 khi \(m = 2\).

2) Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là \(x\,\,\left( {km/h} \right)\) (ĐK: \(x > 0\)).

Suy ra vận tốc của ô tô thứ hai là \(x + 10\) (km/h)

Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường \(AB\) là: \(\dfrac{{120}}{x}\) (h)

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường \(AB\)  là \(\dfrac{{120}}{{x + 10}}\) (h)

Vì ô tô thứ hai đến B trước ô tô thứ nhất 24 phút = \(\dfrac{2}{5}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 10}} = \dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow 600\left( {x + 10} \right) - 600x = 2x\left( {x + 10} \right)\\ \Leftrightarrow 600x + 6000 - 600x = 2{x^2} + 20x\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x - 6000 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 3000 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} + 3000 = 3025 = {55^2} > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 5 + 55 = 50\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} =  - 5 - 55 =  - 60\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 50 km/h và vận tốc của ô tô thứ hai là 60 km/h.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) tính được \(BC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) tính được \(AH\)

\(AM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(ABC\) tính được \(BM\)

\({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AH.BM\)

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow B{C^2} = {9^2} + {12^2}\\ \Rightarrow B{C^2} = 225\\ \Rightarrow BC = \sqrt {225}  = 15\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(AB.AC = AH.BC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{9.12}}{{15}} = 7,2\,\,\left( {cm} \right)\).

Vì \(AM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(ABC\) nên \(AM = BM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.15 = 7,5\,\,\left( {cm} \right)\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có \({S_{\Delta ABM}} = \dfrac{1}{2}AH.BM = \dfrac{1}{2}.AH.\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{4}.7,2.15 = 27\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy \(BC = 15\,\,cm,\,\,AH = 7,2\,\,cm,\,\,AM = 7,5\,\,cm\), \({S_{\Delta ABM}} = 27\,\,c{m^2}\).

Câu 5 (VDC):

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh:

c) Gọi \(J\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\)

Gọi I là giao điểm của \(FM\) và \(AB\). Ta sẽ chứng minh \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Cách giải:

a) Ta có: \(AB,AC\) là tiếp tuyến của đường tròn nên \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot AB\\OC \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle ABO = {90^0}\\\angle ACO = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO + \angle ACO = {180^0}\)

\( \Rightarrow OBAC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\) (dhnb).

b) Vì \(AB,AC\) là tiếp tuyến của đường tròn nên \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có \(K\) là trung điểm của \(EF\) nên \(OK \bot AK\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow \angle OKA = {90^0}\) \( \Rightarrow K\) thuộc đường tròn đường kính \(AO\) hay 5 điểm \(O,\,\,K,\,\,B,\,\,A,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn.

 (góc chắn hai cung bằng nhau)

Vậy \(KA\) là phân giác của \(\angle BKC\).

c) Gọi \(J\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\)

Gọi I là giao điểm của \(FM\) và \(AB\). Ta sẽ chứng minh \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Xét tam giác \(ABJ\) và \(AKB\) ta có:

\(\angle BAK\) chung

\(\angle ABJ = \angle BKA\,\,\left( { = \angle ACB} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABJ\) đồng dạng với \(\Delta AKB\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{AJ}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AK}}\) (cặp cạnh tương ứng) \( \Rightarrow A{B^2} = AJ.AK\)

Tương tự ta có: \(\Delta ABE\) đồng dạng với \(\Delta AFB\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AE.AF\)

\( \Rightarrow AJ.AK = AE.AF \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AJ}} = \dfrac{{AK}}{{AE}} = \dfrac{{AF - AK}}{{AJ - AE}} = \dfrac{{FK}}{{EJ}} = \dfrac{{EK}}{{EJ}}\) (Vì \(K\) là trung điểm của \(EF\)) \( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{EK}} = \dfrac{{AJ}}{{EJ}}\).

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}EM \bot OB\,\,\left( {gt} \right)\\OB \bot AB\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow EM//AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{EM}} = \dfrac{{AJ}}{{EJ}}\\\dfrac{{AI}}{{EM}} = \dfrac{{AF}}{{EF}}\end{array} \right.\) (Định lí Ta-lét)

\( \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{EM}} = \dfrac{{AF}}{{2EK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AJ}}{{EJ}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AB}}{{EM}} \Rightarrow AI = \dfrac{{AB}}{2}\).

Vậy \(I\) là trung điểm của \(AB\) (đpcm).

Đề bài

Câu 1:

1. Tính giá trị của biểu thức sau:

2. Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm giá trị của x để biểu thức .

Câu 2:

1. Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng bằng phép tính.

2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình sau:

Câu 3:

1. Cho phương trình ẩn x: .

a) Giải phương trình (1) với .

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn hệ thức .

2. Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4m và có diện tích là . Tính chu vi thửa đất đó.

Câu 4:

Cho tam giác vuông tại , có cạnh , . Tính số đo góc và độ dài các cạnh , đường trung tuyến của tam giác .

Câu 5:

Từ một điểm ở bên ngoài đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là hai tiếp điểm). Tia cắt tại hai điểm phân biệt và ( nằm giữa và ) vắt cắt đoạn thẳng tại

a) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh:

c) Vẽ đường kính của đường tròn Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đến là giao điểm của và Chứng minh là trung điểm của

Lời giải

Câu 1 (2,0 điểm)

Cách giải:

1. Tính giá trị của biểu thức sau:

+ Tính giá trị biểu thức A:

Vậy .

+ Tính giá trị biểu thức B:

Vậy .

2. Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức .

Với ta có:

Vậy với thì .

b) Tìm giá trị của x để biểu thức .

Ta có: .

Vậy để thì .

Câu 2 (2điểm)

Cách giải:

1. Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ

+) Vẽ parabol

Ta có bảng giá trị:

Vậy là đường cong đi qua các điểm:

+) Vẽ đường thẳng .

Ta có bảng giá trị:

Vậy là đường thẳng đi qua các điểm và

b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng bằng phép tính.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta có:

+) Với .

+) Với

Vậy cắt tại hai điểm phân biệt có tọa độ là và

2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình sau:

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3 (2,5 điểm)

Cách giải:

1. Cho phương trình ẩn x: .

a) Giải phương trình (1) với .

Với thì phương trình (1) trở thành:

Vậy với thì tập nghiệm của phương trình là .

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn hệ thức .

Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thì

.

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Đặt , phương trình (*) trở thành:

Với .

Vậy .

2. Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4m và có diện tích là . Tính chu vi thửa đất đó.

Gọi chiều rộng thửa đất là (ĐK: ) Chiều dài thửa đất là .

Vì thửa đất có diện tích là nên ta có phương trình:

Chiều rộng thửa đất là , chiều dài thửa đất là .

Vậy chu vi thửa đất đó là: .

Câu 4 (2,5 điểm)

Cách giải:

Cho tam giác vuông tại , có cạnh , . Tính số đo góc và độ dài các cạnh , đường trung tuyến của tam giác .

Vì vuông tại nên   (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau).

.

Ta có:

.

.

Tam giác vuông tại có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

.

Vậy .

Câu 5 (2,5 điểm)

Cách giải:

Từ một điểm ở bên ngoài đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là hai tiếp điểm). Tia cắt tại hai điểm phân biệt và ( nằm giữa và ) vắt cắt đoạn thẳng tại

a) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp.

Ta có: là hai tiếp tuyến của tại (gt).

.

Xét tứ giác ta có: .

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh:

Ta có:   thuộc đường trung trực của

           (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) thuộc đường trung trực của

là đường trung trực của

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao ta có:

Xét và ta có:

chung;

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

Từ (1) và (2)

c) Vẽ đường kính của đường tròn Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đến là giao điểm của và Chứng minh là trung điểm của

Gọi .

Ta có: (từ vuông góc đến song song).

(so le trong).

Mà (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên cân tại .

là phân giác của .

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay .

Do đó là phân giác ngoài của .

Áp dụng định lí đường phân giác ta có: .

Lại có: (định lí Ta-lét)

Do đó .

Vậy là trung điểm của (đpcm).

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

1) Tính giá trị các biểu thức sau: 

2) Cho biểu thức:   với

a) Rút gọn biểu thức                              b) Tìm giá trị của   để

Câu 2 (2,0 điểm):

1) Cho parabol và đường thẳng  

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Viết phương trình đường thẳng song song với và cắt tại điểm có hoành độ bằng .

2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình:

Câu 3 (2,5 điểm):

1) Cho phương trình: Với là tham số.

a) Giải phương trình khi

b) Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn hệ thức:

2) Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác 260 tấn mủ trong một thời gian nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày nông trường đề khai thác vượt định mức 3 tấn. Do đó, nông trường đã khai thác được 26 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác được bao nhiêu tấn mủ cao su.

Câu 4 (1,0 điểm):

Cho vuông tại có đường cao và đường trung tuyến . Biết   Hãy tính và diện tích tam giác

Câu 5 (2,5 điểm):

Cho đường tròn tâm đường kính Gọi là trung điểm của qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt và . Trên cung nhỏ lấy điểm ( khác và ). Gọi là giao điểm của và

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh

c) Trên tia lấy điểm sao cho Chứng minh

Lời giải

Câu 1:

Phương pháp:

1) Sử dụng công thức:  

2) a) Quy đồng, rút gọn biểu thức.

    b) Nhân chéo, giải tìm .

Cách giải:

1) Tính giá trị các biểu thức sau:

2) Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức .

Vậy .

b) Tìm giá trị của để .

.

Vậy để thì .

Câu 2:

Phương pháp:

Phương pháp:

1) a) Lập bảng giá trị, xác định các điểm đồ thị hàm số đi qua và vẽ đồ thị hàm số.

b) Đường thẳng và là hai đường thẳng song song với nhau

Tìm tọa độ giao điểm A  của hai đồ thị hàm số và rồi thay vào phương trình tìm

2) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

1) a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ

Ta có bảng giá trị:

+) Vẽ đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm

+) Vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số và

b) Viết phương trình đường thẳng song song với và cắt tại điểm có hoành độ bằng

Ta có đường thẳng song song với đường thẳng

Gọi là giao điểm của đường thẳng và đồ thị

Lại có   nên thay vào phương trình đường thẳng ta được

Vậy đường thẳng có phương trình:

2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3:

Phương pháp:

1) a) Thay và phương trình và giải phương trình bậc hai ẩn .

    b) + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

       + Rút thay vào điều kiện tìm nghiệm .

       + Thay tìm được ở trên vào tìm .

2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lập phương trình

Bước 3: Giải phương trình rồi so sánh với điều kiện để chọn ra các giá trị thích hợp và kết luận.

Cách giải:

1) a) Thay vào phương trình ta được:

.

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm

b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Có .

.

.

Kết hợp các điều kiện (1), (2),  (3) ta được

Theo bài ra ta có:

Đặt , ta có

.

Vậy .

2) Gọi số tấn mủ cao su mỗi ngày nông trường khai thác được là tấn 

Thời gian theo dự định khai thác mủ cao su của nông trường là (ngày)

Theo thực tế mỗi ngày nông trường khai thác được số tấn mủ cao su là: (tấn)

Thời gian theo thực tế khai thác mủ cao su của nông trường là (ngày)

Vì nông trường khai thác xong trước thời hạn 1 ngày nên ta có phương trình

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác tấn mủ cao su.

Câu 4:

Cách giải:

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

.

+) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC với AH là đường cao ta có:

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

.

+) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên ta có:

+) Diện tích tam giác ABC với AH là đường cao ta có: .

Vậy

Câu 5:

1) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) .

Có   ( )

Xét tứ giác có Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

2) Chứng minh .

Xét tam giác và tam giác có:

chung;

(cmt)

 .

3) Trên tia lấy điểm sao cho . Chứng minh .

Trên tia đối của lấy điểm sao cho .

Xét tam giác có đường cao đồng thời là trung tuyến cân tại .

Lại có đều .

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó tam giác AMB vuông tại M

Xét tam giác vuông có:

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện)

Lại có (theo cách dựng) đều

Từ (1) và (2)

Xét tam giác vuông có: .

Lại có tại là trung điểm của (quan hệ vuông góc giữa đường kíhn và dây cung)

.

.

Xét tam giác và tam giác có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung );

(2 cạnh tương ứng).

.

Mà (theo cách vẽ) .

Đề bài

Câu 1: (2 điểm) 1) Tính giá trị các biểu thức sau:

;

.

2) Rút gọn biểu thức: , với .

Câu 2: (2 điểm) 1) Giải phương trình: .

2) Không sử dụng máy tính, hãy giải hệ phương trình: .

3) Hai xe ôtô xuất phát cùng một lúc từ Thành phố Đồng Xoài đến Thành phố Hồ Chí Minh dài 90 km . Biết vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất 15 km/h nên xe thứ hai đến Thành phố Hồ Chí Minh sớm hơn xe thứ nhất 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Câu 3: (1,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị hàm số .

2) Gọi là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức .

Câu 4: (1 điểm) Điểm kiểm tra cuối kì 2 môn Toán của lớp 9A được giáo viên ghi lại như sau:

a) Hãy lập bảng tần số và bảng tần số tương đối số điểm của học sinh.

b) Lấy ngẫu nhiên một học sinh, tính xác suất để học sinh này có số điểm lớn hơn 8.

Câu 5: (1,5 điểm) 1) Một thùng nước hình trụ có chiều cao bằng 1,8m, đường kính đáy bằng 1,2m. Tính thể tích của thùng nước (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(Công thức tính thể tích của hình trụ là , trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao và lấy )

2) Tia nắng chiếu qua nóc của toà nhà tạo với mặt đất một góc . Cho biết bóng của toà nhà trên mặt đất dài 12m. Tính chiều cao của toà nhà (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Câu 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh .

c) M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Gọi K, L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh .

-------- Hết --------

Lời giải

Câu 1: (2 điểm) 1) Tính giá trị các biểu thức sau:

;

.

2) Rút gọn biểu thức: , với .

Lời giải:

1) .

.

2) (với )

.

Vậy với thì

Câu 2: (2 điểm) 1) Giải phương trình: .

2) Không sử dụng máy tính, hãy giải hệ phương trình: .

3) Hai xe ôtô xuất phát cùng một lúc từ Thành phố Đồng Xoài đến Thành phố Hồ Chí Minh dài 90 km . Biết vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất 15 km/h nên xe thứ hai đến Thành phố Hồ Chí Minh sớm hơn xe thứ nhất 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Lời giải:

1) Để giải phương trình trên ta giải hai phương trình sau:

+) suy ra

+) suy ra

Vậy phương trình có nghiệm và

2)

Vậy hệ phương trình có nghiệm

3) Gọi vận tốc của xe thứ nhất là (km/h), .

Vận tốc xe thứ hai là (km/h).

Thời gian xe thứ nhất đến Thành phố Hồ Chí Minh là (giờ)

Thời gian xe thứ hai đến Thành phố Hồ Chí Minh là (giờ)

Xe thứ hai đến Thành phố Hồ Chí Minh sớm hơn xe thứ nhất 30 phút = giờ.

Ta có phương trình .

Giải phương trình , ta được (TM) và (Loại).

Vậy vận tốc xe thứ nhất là 45 km/h, vận tốc xe thứ hai là 60 km/h.

Câu 3: (1,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị hàm số .

2) Gọi là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức .

Lời giải:

1) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

Hệ số nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

2) Xét phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Áp dụng định lí Viète, ta có: .

Thay vào P, ta được:

Thay , ta được:

Vậy

Câu 4: (1 điểm) Điểm kiểm tra cuối kì 2 môn Toán của lớp 9A được giáo viên ghi lại như sau:

a) Hãy lập bảng tần số và bảng tần số tương đối số điểm của học sinh.

b) Lấy ngẫu nhiên một học sinh, tính xác suất để học sinh này có số điểm lớn hơn 8.

Lời giải:

a) Bảng tần số:

Tần số tương đối của điểm 5 là:

Tần số tương đối của điểm 6 là:

Tần số tương đối của điểm 7 là:

Tần số tương đối của điểm 8 là:

Tần số tương đối của điểm 9 là:

Tần số tương đối của điểm 10 là:

Bảng tần số tương đối:

b) Lớp 9A có 40 học sinh nên

Số học sinh có điểm lớn hơn 8 là: 14 + 10 = 24 (học sinh)

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố là 24 (kết quả)

Vậy xác suất để học sinh này có số điểm lớn hơn 8 là:

Câu 5: (1,5 điểm) 1) Một thùng nước hình trụ có chiều cao bằng 1,8m, đường kính đáy bằng 1,2m. Tính thể tích của thùng nước (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(Công thức tính thể tích của hình trụ là , trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao và lấy )

2) Tia nắng chiếu qua nóc của toà nhà tạo với mặt đất một góc . Cho biết bóng của toà nhà trên mặt đất dài 12m. Tính chiều cao của toà nhà (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

1) Bán kính đáy của thùng nước là:

Thể tích của thùng nước là:

Vậy thể tích của thùng nước khoảng .

2) Ta có: suy ra .

Chiều cao của toà nhà là:

Vậy chiều cao của toà nhà khoảng 25,7m.

Câu 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh .

c) M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Gọi K, L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh .

Lời giải:

a)

Do nên vuông tại D. Khi đó B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Do nên vuông tại E. Khi đó B, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Suy ra B, C, E, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.

b) Xét và có chung

Khi đó suy ra hay

c)

Do M là trung điểm của BC nên OM là trung tuyến của cân tại O.

Suy ra OM đồng thời là đường cao hay . Khi đó OM là trung trực của BC

Ta có vuông tại E và vuông tại D nên A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm N, đường kính AH.

Suy ra và . Suy ra MN là trung trực của ED hay tại P.

Lại có BCDE nội tiếp nên (cùng chắn cung BE)

Xét và có và

Nên suy ra (cặp góc tương ứng)

Mà (đối đỉnh) và (do M thuộc trung trực của BC)

Vậy (đpcm)