Đề thi vào 10 môn Toán Cà Mau

Đề bài

Câu 1. (1,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

b) Rút gọn biểu thức    (Với )

Câu 2. (1,0 điểm)

a) Giải phương trình:         

b) Cho hệ phương trình: . Tìm và biết hệ phương trình đã cho có nghiệm

Câu 3. (1,5 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc , cho parabol

a) Vẽ

b) Tìm đề đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.

Câu 4. (1,5 điểm)

Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.

Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).

Câu 5. (1,5 điểm)

Cho phương trình: (là tham số)

a) Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.

b) Tìm để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.

Câu 6. (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm Hai tiếp tuyến tại và của đường tròn  cắt nhau tại  , tia  cắt đường tròn tại điểm

a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh

c) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng  tia cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng:     

Lời giải

Câu 1 (TH)

Phương pháp:

a) Sử dụng hằng đẳng thức:

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

b) Vận dụng hằng đẳng thức xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

Cách giải:

a) Tính giá trị biểu thức:

 Vậy

b) Rút gọn biểu thức    (Với )

(ĐKXĐ: )

Vậy

Câu 2 (TH)

Phương pháp:

a) Giải phương trình:

b) Thay nghiệm vào hệ phương trình

Đặt , sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế từ đó tìm được , suy ra

Cách giải:

a) Giải phương trình:       

ĐKXĐ:

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b) Cho hệ phương trình: . Tìm và biết hệ phương trình đã cho có nghiệm

Điều kiện:

Hệ phương trình đã cho có nghiệm nên ta có hệ phương trình:

Đặt . Hệ phương trình trở thành:

Vậy

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

a) Vẽ đồ thị của hàm số

+ Nhận xét về hệ số và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của và

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung

có hại nghiệm trái dấu

Cách giải:

a) Vẽ

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm và

b) Tìm m đề đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và , có:

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung

có hại nghiệm trái dấu

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 4 (VD)

Phương pháp:

Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là (bước)

Số bước chị Hà đi trong 1 phút là (bước)

Lập hệ phương trình tìm

Cách giải:

Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.

Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).

Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là (bước)

Số bước chị Hà đi trong 1 phút là (bước)

Vì nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước nên ta có phương trình:

Vì chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy mỗi ngày số bước anh Sơn đi bộ trong 1 giờ là: (bước)

Và mỗi ngày số bước chị Hà đi bộ trong 1 giờ là: (bước)

Câu 5 (VD)

Phương pháp:

a) Phương trình có nghiệm (hoặc )

b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

Cách giải:

a) Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.

Xét phương trình

Phương trình đã cho có nghiệm

Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.

b) Tìm để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.

Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt

Vậy thỏa mãn đề bài.

Câu 6 (VD)

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp

b) Ta sẽ chứng minh:

b) Ta sẽ chứng minh: mà hai góc này ở vị trí đồng vị (đpcm)

Cách giải:

a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp được đường tròn.

Xét  có: là các tiếp tuyến của đường tròn nên:

Xét tứ giác có:

Mà hai góc ở vị trí đối nhau

là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (đpcm).

b) Chứng minh

Xét có: (gọi tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

Xét và có:

c) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng  tia cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng:    

Xét có:  là trung điểm của nên (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)

Xét tức giác có:

Mà hai góc ở vị trí đối nhau

Tứ giác nội tiếp (dhnb)

(cùng chắn )

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Và (tính chất góc nối tiếp)

mà hai góc này ở vị trí đồng vị

(đpcm)

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm): 

a) Rút gọn biểu thức

b) Chứng minh rằng

c) Tìm tập hợp các giá trị của sao cho

Câu 2 (1,5 điểm):

a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (2,0 điểm)  Cho phương trình ( là ẩn)

a) Giải phương trình khi

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của để

Câu 4 (1,5 điểm)  Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì xong trong giờ. Nếu mỗi đội làm riêng xong được công việc ấy, thì đội thứ hai cần nhiều thời gian hơn đội thứ nhất là giờ. Hỏi mỗi đội làm riêng xong công việc ấy trong bao lâu?

Câu 5 (3,0 điểm):

Cho tam giác vuông tại đường cao Trên đoạn lấy điểm sao cho vẽ vuông góc với

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b) Chứng minh là tia phân giác của góc

c) Tính diện tích giới hạn bởi đoạn thẳng và cung nhỏ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác Biết

Lời giải

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

a) Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức mà , ta có:

b) Sử dụng công thức:

c)

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức

Ta có:

b) Chứng minh rằng

Ta có:

c) Tìm tập hợp các giá trị của sao cho

Điều kiện:

Khi đó, bất phương trình

Kết hợp với điều kiện, ta có:

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức:

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

a) Giải phương trình

Ta có:

Điều kiện: luôn đúng với mọi

+) Nếu thì

Khi đó, phương trình trở thành:

(thỏa mãn)

+) Nếu thì

Khi đó, phương trình trở thành: (vô lí)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

b) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

a) Thay vào phương trình rồi giải phương trình bằng cách sử dụng biệt thức

b) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của

c) +) Tìm ĐK để phương trình có 2 nghiệm.

+) Áp dụng định lí Vi-ét.

+) Sử dụng  biến đổi: .

Cách giải:

Cho phương trình ( là ẩn)

a) Giải phương trình khi

Thay vào phương trình đã cho, ta được:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình ( là ẩn)

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của để

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Theo đề bài, ta có:

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4 (VD)

Phương pháp:

+) Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng xong công việc là (giờ)

Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc là (giờ)

+) Một giờ đội thứ nhất làm được: (công việc)

Một giờ đội thứ hai làm được: (công việc)

+) Hai đội cùng làm trong giờ thì xong công việc nên

+) Giải phương trình ta tìm được . Đối chiếu với điều kiện của rồi kết luận.

Cách giải:

Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì xong trong giờ. Nếu mỗi đội làm riêng xong được công việc ấy, thì đội thứ hai cần nhiều thời gian hơn đội thứ nhất là giờ. Hỏi mỗi đội làm riêng xong công việc ấy trong bao lâu?

Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng xong công việc là (giờ)

Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc là (giờ)

Một giờ đội thứ nhất làm được: (công việc)

Một giờ đội thứ hai làm được: (công việc)

Hai đội cùng làm một công việc trong giờ thì xong công việc nên ta có

Vậy đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong giờ

       đội thứ hai làm riêng xong công việc trong giờ.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

a) Chứng minh .

b) Chứng minh .

c) Sử dụng các công thức tính diện tích hình quạt tròn.

Cách giải:

Cho tam giác vuông tại đường cao Trên đoạn lấy điểm sao cho vẽ vuông góc với

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Ta có:

Và

Xét tứ giác có là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh dưới một góc

Suy ra: Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của cạnh

b) Chứng minh là tia phân giác của góc

Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp nên: (Hai góc nội tiếp cùng chắn cùng cung )

Theo câu a, tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính

Theo đề bài: (vì vuông tại )

là tiếp tuyến của đường tròn tâm đường kính

(Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Từ và suy ra:

Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp nên:

(Hai góc nội tiếp cùng chắn cùng cung )

Xét có là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến

cân tại

là phân giác của

Từ và suy ra:

Vậy là tia phân giác của

c) Tính diện tích giới hạn bởi đoạn thẳng và cung nhỏ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác Biết

Gọi diện tích hình quạt là

Diện tích cần tính là:

Theo đề bài, là trung điểm của

Ta lại có:

cân tại

(Góc ngoài của tam giác)

Gọi là trung điểm của

(Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Xét vuông tại có:

Vì là trung điểm của nên

Xét vuông tại theo địnhlí Py-ta-go, ta có:

Diện tích cần tính là: