Đề thi vào 10 môn Toán Đắk Lắk

Đề bài

Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: \(E = 3\sqrt 5 {\rm{ \;}} - \sqrt {20} {\rm{ \;}} + \sqrt 5 \).

b) Giải phương trình: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).

c) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 3}\\{2x + y = 7}\end{array}} \right.\).

Câu 2: Cho biểu thức \(A = {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)^2} \cdot \left( {\frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} + \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}}{{1 - \sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A \ge 0\).

Câu 3: Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị là đường parabol \((P)\) và hàm số \(y = 4mx + 5\) có đồ thị là đường thằng \((d)\), với \(m\) là tham số.

a) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \((\Delta )\) song song với nhau, với \((\Delta )\) là đồ thị của hàm số \(y = (5 - m)x - 3\).

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(x_2^2 + 4m{x_1} = 105\).

Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính diện tích của khu vườn, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi khu vườn không thay đổi.

Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB, E là điểm trên cung AM (E khác A và M). Lấy điểm F trên đoạn BE sao cho BF = AE. Gọi K là giao điểm của MO và BE.

a) Chứng minh rằng EAOK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(\Delta EMF\) vuông cân.

c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D. Chứng minh rằng MK.ED = MD.EK.

Câu 6: Bút chì có dạng hình trụ, có đường kính đáy 8mm và chiều cao bằng 180mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ, phần lõi được làm bằng thân chì. Phần lõi có dạng hình trụ có chiều cao bằng chiều dài bút và đáy là hình tròn có đường kính 2mm. Tính thể tích phần gỗ của 2024 chiếc bút chì (lấy \(\pi {\rm{ \;}} = 3,14\)).

Câu 7: Cho các số thực dương a, b, c thay đổi và thoả mãn điều kiện \(a + 9b + 6c = 2023\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P = \sqrt {3{a^2} + 63ab + 243{b^2}} {\rm{ \;}} + \sqrt {243{b^2} + 378bc + 108{c^2}} {\rm{ \;}} + \sqrt {108{c^2} + 42ca + 3{a^2}} \).

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

1. Sử dụng căn bậc hai: \(\sqrt {{A^2}} \; = |A|\), nhóm hạng tử.

2. Bước 1: Tính giá trính của \(\Delta \) với \(\Delta \; = {{\rm{b}}^2} - 4{\rm{ac}}\)

Bước 2: Xét tập nghiệm của phương trình bằng việc sánh giá \(\Delta \) với 0

\(\Delta \; < 0 = \; > \) phương trình bậc 2 vô nghiệm

\(\Delta \; = 0 = \; > \) phương trình bậc 2 có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \; - \frac{b}{{2a}}\)

\(\Delta \; > 0 = \; > \) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau: \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  {\rm{ \;}}}}{{2a}}\)

3. Sử dụng phương pháp thế hoặc trừ vế.

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức: \(E = 3\sqrt 5  - \sqrt {20}  + \sqrt 5 \).

\(\begin{array}{l}E = 3\sqrt 5  - \sqrt {20}  + \sqrt 5 \\ = 3\sqrt 5  - \sqrt {4.5}  + \sqrt 5 \\ = 3\sqrt 5  - 2\sqrt 5  + \sqrt 5 \\ = \left( {3 - 2 + 1} \right)\sqrt 5  = 2\sqrt 5 .\end{array}\)

Vậy \(E = 2\sqrt 5 \).

b) Giải phương trình: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).

Xét phương trình \({x^2} + 4x + 3 = 0\) có \(a - b + c = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1\\{x_2} =  - \frac{c}{a} =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1\\{x_2} =  - 3\end{array} \right.\).

c) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 3}\\{2x + y = 7}\end{array}} \right.\).

Cộng vế với vế ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x = 10}\\{2x + y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{2x + y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right).\)

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

1. Quy đồng và rút gọn.

2. Giải phương trình \(A \ge 0\).

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

Với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)^2} \cdot \left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{1 - \sqrt x }}} \right)\\ = {\left( {\frac{x}{{2\sqrt x }} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)^2} \cdot \left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\, = {\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)^2} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4x}} \cdot \frac{{x - 2\sqrt x  + 1 - x - 2\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4x}} \cdot \frac{{ - 4\sqrt x }}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{1 - x}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Vậy \(A = \frac{{1 - x}}{{\sqrt x }}\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A \ge 0\).

Ta có: \(A \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{\sqrt x }} \ge 0\)

Vì \(\sqrt x  > 0\)nên \(\frac{{1 - x}}{{\sqrt x }} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1\)

Kết hợp với điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 1\) ta có: \(0 < x < 1\)

Vậy \(0 < x < 1\).

Câu 3 (VD):

Cách giải:

a) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \((\Delta )\) song song với nhau, với \((\Delta )\) là đồ thị của hàm số \(y = (5 - m)x - 3\).

Để đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \((\Delta )\) song song với nhau thì

\(\left\{ \begin{array}{l}5 - m = 4m\\ - 3 \ne 5\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 - m = 4m \Leftrightarrow 5m = 5 \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy với \(m = 1\) thì đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \((\Delta )\) song song với nhau.

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(x_2^2 + 4m{x_1} = 105\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là  \({x^2} = 4mx + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 4mx - 5 = 0\)  (1)

Do \(a.c =  - 5 < 0\) nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\)  hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m 

Áp dụng hệ thức Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4m\\{x_1}{x_2} =  - 5\end{array} \right.\)

Do \({x_2}\) là nghiệm của (1) nên \(x_2^2 - 4m{x_2} - 5 = 0 \Leftrightarrow x_2^2 = 4m{x_2} + 5\)

Để \(x_2^2 + 4m{x_1} = 105\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4m{x_2} + 5 + 4m{x_1} = 105\\ \Leftrightarrow 4m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 100\\ \Leftrightarrow 4m.4m = 100\\ \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\m =  - \frac{5}{2}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy với \(m =  \pm \frac{5}{2}\) thì đường thẳng \((d)\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(x_2^2 + 4m{x_1} = 105\).

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Cách giải:

Gọi chiều dài khu vườn là \(x\)  (\(x > 45\), mét)

Vì chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m nên chiều rộng khu vườn là \(x - 45\) (m)

Chu vi khu vườn là: \(2.\left( {x + x - 45} \right) = 2\left( {2x - 45} \right)\)

Chiều dài khu vườn khi giảm đi  2 lần là \(\frac{x}{2}\) (m)

Chiều rộng khu vườn khi tăng lên 3 lần là \(3\left( {x - 45} \right)\) (m)

Khi đó chu vi khu vườn là: \(2\left( {\frac{x}{2} + 3\left( {x - 45} \right)} \right) = 2\left( {\frac{7}{2}x - 135} \right)\)

Vì chu vi khu vườn không đổi nên ta có phương trình: \(2.\left( {2x - 45} \right) = 2.\left( {\frac{7}{2}x - 135} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - 45 = \frac{7}{2}x - 135\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}x = 90\\ \Leftrightarrow x = 60\,\,(TM)\end{array}\)

Suy ra chiều dài khu vườn là 60m, chiều rộng khu vườn là \(60 - 45 = 15\) (m)

Diện tích khu vườn là: \(60.15 = 900\left( {{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích khu vườn là: \(900{m^2}.\)

Câu 5 (VD):

Cách giải:

a) Chứng minh rằng EAOK là tứ giác nội tiếp.

Vì M là điểm chính giữa của cung AB nên \(OM \bot AB\) \( \Rightarrow \angle AOK = {90^0}\).

Ta có \(\angle AEB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle AEK = {90^0}\).

Xét tứ giác EAOK có: \(\angle AOK + \angle AEK = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Mà E, O là hai đỉnh đối diện của tứ giác EAOK.

=> EAOK là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm).

b) Chứng minh rằng \(\Delta EMF\) vuông cân.

Nối AM, FM.

Vì M là điểm chính giữa cung AB nên số đo cung AM = số đo cung BM

=> AM = BM (hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta FBM\) có:

\(AE = BF\,\,\left( {gt} \right)\)

\(\angle EAM = \angle FBM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EM).

\(AM = BM\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AEM = \Delta FBM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AME = \angle BMF\) (hai góc tương ứng).

Ta có:

\(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMF + \angle BMF = {90^0}\\ \Rightarrow \angle AMF + \angle AME = {90^0}\\ \Rightarrow \angle EMF = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta EMF\) vuông tại M.

Mà \(\angle MEF = \angle MEB = \frac{1}{2}\angle MOB = \frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BM).

\( \Rightarrow \Delta EMF\) vuông cân tại M (dhnb) (đpcm).

c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D. Chứng minh rằng MK.ED = MD.EK.

Dễ thấy tứ giác AEMB nội tiếp (O) \( \Rightarrow \angle DEM = \angle ABM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).

Mà tam giác MAB có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AMB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\AM = BM\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta AMB\) vuông cân tại M \( \Rightarrow \angle ABM = {45^0}\).

\( \Rightarrow \angle DEM = {45^0} = \angle MEF = \frac{1}{2}\angle DEK\).

\( \Rightarrow EM\) là phân giác trong của góc DEK.

Áp dụng định lí đường phân giác ta có: \(\frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{ED}}{{EK}} \Rightarrow MK.ED = MD.EK\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Câu 6 (VD):

Phương pháp:

Thể tích hình trụ \(V = \pi .{r_1}^2.h\)

Cách giải:

Bút chì có đường kính đáy 8mm nên bán kính đáy bằng 4mm.

Thể tích của cả cái bút chì (gồm cả phần lõi) là:

\({V_1} = \pi .{r_1}^2.h = 3,{14.4^2}.180 = 9043,2\left( {m{m^3}} \right)\)

Lõi bút chì có đường kính đáy 2mm nên bán kính đáy bằng 1mm.

Thể tích phần lõi bút là:

\({V_2} = \pi .{r_2}^2.h = 3,{14.1^2}.180 = 565,2\left( {m{m^3}} \right)\)

Tính thể tích phần gỗ của một chiếc bút chì là:

\(V = {V_1} - {V_2} = 9043,2 - 565,2 = 8478\left( {m{m^3}} \right)\)

Tính thể tích phần gỗ của 2024 chiếc bút chì là: \(2024.8478 = 17\,159\,472\left( {m{m^3}} \right)\).

Vậy thể tích phần gỗ của 2024 chiếc bút chì là: \(17\,159\,472\left( {m{m^3}} \right)\)

Câu 7 (VDC):

Cách giải:

Đặt \(x = a;y = 9b;z = 6c\); \(x,y,z > 0\)

Suy ra: \(x + y + z \le 2023\)

Khi đó: \(P = \sqrt {3{x^2} + 7xy + 3{y^2}}  + \sqrt {3{y^2} + 7yz + 3{z^2}}  + \sqrt {3{z^2} + 7zx + 3{x^2}} \)

\( = \sqrt {5{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2{{\left( {x - y} \right)}^2}}  + \sqrt {5{{\left( {y + z} \right)}^2} - 2{{\left( {y - z} \right)}^2}}  + \sqrt {5{{\left( {z + x} \right)}^2} - 2{{\left( {z - x} \right)}^2}} \)

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {y - z} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}P \le \sqrt {5{{\left( {x + y} \right)}^2}}  + \sqrt {5{{\left( {y + z} \right)}^2}}  + \sqrt {5{{\left( {z + x} \right)}^2}} \\\,\,\,\, = \sqrt 5 \left( {x + y} \right) + \sqrt 5 \left( {y + z} \right) + \sqrt 5 \left( {z + x} \right)\\\,\,\,\, = 2\sqrt 5 \left( {x + y + z} \right) \le 2\sqrt 5 .2023 = 4046\sqrt 5 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z\) hay \(a = 9b = 6c = \frac{{2023}}{3}\)

Vậy giá trị lớn nhất của P là \(4046\sqrt 5 \) khi \(a = 9b = 6c = \frac{{2023}}{3}\).

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm)

1) Giải phương trình:

2) Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đồng biến trên .

3) Cho và . Tính giá trị của biểu thức

Câu 2 (2,0 điểm):

Cho biểu thức: với

1) Rút gọn biểu thức

2) Tìm tất cả các giá trị của để

Câu 3 (2,0 điểm):

1) Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng .

2) Trong mặt phẳng tọa độ , cho Parabol và đường thẳng . Gọi lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 4 (3,5 điểm):

Trên nửa đường tròn tâm đường kính với , lấy điểm ( khác và ) từ kẻ vuông góc với . Gọi là điểm bất kì trên đoạn ( khác ), đường thẳng cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai .

1)  Chứng minh nội tiếp.

2) Chứng minh

3) Chứng minh

4) Khi điểm di động trên nửa đường tròn khác và điểm chính giữa cung , xác định vị trí điểm sao cho chu vi tam giác đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho . Chứng minh .

Lời giải chi tiết

Phương pháp:

1) Tính (hoặc ), sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: (hoặc ), tính được nghiệm của phương trình, kết luận.

2) Hàm số đồng biến trên

3) Thay và vào , sau đó tính toán.

Cách giải:

1) Xét phương trình

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm: ;

Vậy phương trình có tập nghiệm: .

2) Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi:

Vậy với thì hàm số đồng biến trên .

3) Thay và  vào ta được:

Vậy   khi và

Phương pháp:

1) Xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

2) Vì

Rút gọn

khi và   cùng âm hoặc dương.

Cách giải:

1) ĐKXĐ:

Vậy với ta có

b) Điều kiện:

Kết hợp với điều kiện xác định ta được thì

Vậy thì

Phương pháp:

1) Viết phương trình đường thẳng biết đi qua điểm và song song với (  đã biết)

Gọi phương trình đường thẳng là

Vì

đi qua điểm , từ đó tìm được , đối chiếu điều kiện ở trên

Kết luận phương trình đường thẳng cần tìm.

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa và  

Để cắt tại hai điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt .

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được theo

Thay vào , vận dụng hằng đẳng thức tìm được giá trị nhỏ nhất của

Cách giải:

1) Gọi phương trình đường thẳng là

Vì song song với đường thẳng nên .

Vì đi qua điểm nên ta có: .

Thay vào ta được: .

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là .

2) Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình:

Phương trình (*) có:

Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .

luôn cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ với mọi .

Áp dụng định lí Vi-et ta có:

Khi đó ta có:

(Vì )

Vậy . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Phương pháp:

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp.

2) Ta sẽ chứng minh:

3) Ta sẽ chứng minh:

Ta có:

4) Tính chu vi của tam giác

Chu vi tam giác  đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị lớn nhất

Áp dụng định lý cô-si cho tìm được giá trị lớn nhất.

Cách giải:

1) Trong ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác có: .

Suy ra tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) Ta có:

(cùng phụ với ).

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

.

Xét tam giác và tam giác có:

Suy ra  .

3) Xét tam giác và tam giác có:

.

Suy ra

Ta có:

4) Chu vi tam giác là:

Chu vi tam giác  đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị lớn nhất

Ta có: .

Áp dụng định lý cô-si cho ta có:

Dấu “=” xảy ra khi hay vuông cân tại .

Vậy chu vi tam giác đạt giá trị lớn nhất khi góc bằng .

Phương pháp:

Xuất phát từ bất đẳng thức: .

Cách giải:

Ta có:

(Do )

.

Dấu “=” xảy ra khi .

Đề bài

Câu 1:

1) Tính giá trị của biểu thức tại  

2) Giải hệ phương trình:

3) Giải phương trình:

Câu 2: 

Cho biểu thức:

1) Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn

2) Tìm các giá trị của sao cho và là những số nguyên.

Câu 3:

1) Tìm a, b để đường thẳng song song với đường thẳng và cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , phân biệt thỏa mãn .

2) Một vườn có hình vuông ABCD có cạnh 20m như hình vẽ. Người ta buộc một con dê bằng sợi dây thừng dài 20m tại trung điểm E của cạnh AB. Tính diện tích phần cỏ mà con dê có thể ăn được (phần tô đậm trên hình vẽ) (Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Câu 4: 

Cho hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau tại hai điểm và sao cho Kẻ đường kính của đường tròn Gọi là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ và lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là và

1) Chứng minh

2) Chứng minh

3) Gọi là giao điểm của và Gọi là giao điểm của và Chứng minh là đường trung trực của

4) Tính tỉ số

Câu 5: 

Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm)

Cách giải:

1) Tính giá trị của biểu thức tại  

Khi ta có:

Vậy khi thì  

2) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

3) Giải phương trình:

Phương trình   có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có tập nghiệm là:

Câu 2 (2 điểm)

Cách giải:

Cho biểu thức:

1) Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn

Điều kiện:

Vậy khi

2) Tìm các giá trị của sao cho và là những số nguyên.

Điều kiện:

Để là số nguyên thì phải là số nguyên và là số chính phương.

Ta có: 

Để thì hay

Mà

Với mọi ta có:

Ta thấy thỏa mãn điều kiện là số nguyên và là số chính phương.

Vậy thỏa mãn bài toán.

Câu 3 (2,0 điểm)

Cách giải:

1) Tìm a, b để đường thẳng song song với đường thẳng và cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , phân biệt thỏa mãn .

Vì đường thẳng song song với đường thẳng nên .

Khi đó phương trình đường thẳng cần tìm có dạng .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol :

Để đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt , thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt .

.

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Vậy .

2) Một vườn có hình vuông ABCD có cạnh 20m như hình vẽ. Người ta buộc một con dê bằng sợi dây thừng dài 20m tại trung điểm E của cạnh AB. Tính diện tích phần cỏ mà con dê có thể ăn được (phần tô đậm trên hình vẽ) (Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Gọi hai điểm như hình vẽ.

Ta có: .

Vì là trung điểm của nên .

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:

Tương tự ta có: .

    .

Xét tam giác vuông ta có:

Tương tự xét tam giác vuông ta có:

Ta có:

Diện tích hình quạt , bán kính là: .

Vậy diện tích phần cỏ mà con dê có thể ăn là:

Câu 4 (3 điểm)

Cách giải:

Cho hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau tại hai điểm và sao cho Kẻ đường kính của đường tròn Gọi là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ và lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là và

1) Chứng minh

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

(hai góc kề bù)

Mà là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

là đường kính của

Lại có: là góc nội tiếp chắn cung

(đpcm).

2) Chứng minh

Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của )

Hay

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung của )

Hay

Ta có: cân tại (định nghĩa tam giác cân)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

là tam giác cân.

(tính chất tam giác cân).

3) Gọi là giao điểm của và Gọi là giao điểm của và Chứng minh là đường trung trực của

Ta có: thuộc đường trung trực của (4)

Xét và ta có:

(hai cạnh tương ứng bằng nhau)

thuộc đường trung trực của (5)

Từ (4) và (5) suy ra: là đường trung trực của (đpcm)

4) Tính tỉ số

Ta có: là đường trung trực của (cmt)

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao ta có:

Xét vuông tại ta có:

Vậy

 Câu 5 (1,0 điểm)

Cách giải:

Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do .

Ta có:

Chứng minh tương tự ta có:

Khi đó ta có:

Dấu “=” xảy ra .

Vậy .

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

1) Rút gọn biểu thức:

2) Giải phương trình:

3) Xác định hệ số của hàm số biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm

Câu 2 (2 điểm):  Cho phương trình    ( là tham số)

1) Với chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của

2) Tìm để phương trình luôn có hai nghiệm thỏa mãn và

Câu 3 (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng có phương trình Gọi lần lượt là giao điểm của với trục hoành và trục tung; là trung điểm của đoạn thẳng Tính độ dài đoạn thẳng (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet).

2) Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là 12 cm,  bán kính đáy là cm, lượng nước trong cốc cao 8 cm. Người ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu có cùng bán kính 1 cm và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong cốc dâng lên. Hỏi sau khi thả 6 viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng côc bao nhiêu xentimet? (giả sử độ dày của cốc là không đáng kể).

Câu 4 (3 điểm):  Cho đường tròn có hai đường kính và vuông góc với nhau. Điểm thuộc cung nhỏ sao cho Gọi là giao điểm của và Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt kéo dài lần lượt tại và Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại  

1) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh là tam giác đều.

3) Chứng minh

4) Gọi là trực tâm Hỏi ba điểm có thẳng hàng không? Vì sao?

Câu 5 (1 điểm): Cho ba số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

1) Sử dụng công thức:

2) Đưa phương trình về dạng phương trình tích để giải phương trình.

3) Thay tọa độ điểm vào công thức hàm số để tìm

Cách giải:

1) Rút gọn biểu thức:

Vậy

2) Giải phương trình:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm  

3) Xác định hệ số của hàm số biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm

Đồ thị hàm số đi qua điểm nên thay tọa độ điểm vào công thức hàm số ta được:

Vậy

Câu 2

Phương pháp:

1) Thay vào phương trình chứng minh với mọi

2) Tìm điều kiện của để phương trình có nghiệm:

+) Áp dụng định lý Vi-et và các biểu thức bài cho để tìm Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Cho phương trình    ( là tham số)

1) Với chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của

Với ta có phương trình

Phương trình có

Vậy với thì phương trình luôn có nghiệm với mọi

2) Tìm để phương trình luôn có hai nghiệm thỏa mãn và

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Thế (3) và (4) vào (5) ta được:

Từ (2) và (4) ta có:

Thế vào ta được:

Thay vào điều kiện ta có:

thỏa mãn.

Vậy là các giá trị cần tìm.

Câu 3

Phương pháp:

1) Tìm tọa độ các điểm Sử dụng hệ thức lượng trong vuông tại có đường cao để làm bài toán.

2) Thể tích của khối trụ có chiều cao và bán kính đáy là:

Thể tích khối cầu bán kính là:

Cách giải:

1) Cho

Ta có:  

Vì tam giác vuông cân tại   mà là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.

2) Thể tích nước dâng lên = thể tích 6 viên bi được thả vào cốc.

Thể tích nước có trong cốc ban đầu là:

Ta có thể tích của 6 viên bi được thả vào cốc là:

Thể tích sau khi được thả thêm 6 viên bi là:

Chiều cao mực nước trong cốc lúc này là:

Vậy sau khi thả 6 viên bi vào cốc thì mực nước cách cốc là

Câu 4

Phương pháp:

1)  Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết của tứ giác.

2) Chứng minh tam giác có hai góc có số đo bằng là tam giác đều.

3) Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Cách giải:

1) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác ta có:

( là tiếp tuyến của )

Mà hai đỉnh là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)   (đpcm).

2) Chứng minh là tam giác đều.

Xét ta có:

là góc ở tâm chắn cung

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung

(tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung).

Hay

Xét vuông tại ta có:

Xét ta có:

là tam giác đều. (định nghĩa)  (đpcm).

3) Chứng minh

 Ta có: là tam giác đều (cmt)

(hai góc đối đỉnh)

Ta có: 

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Ta có: là hình thang.

Mà

Lại có hai góc này là hai góc đối nhau

là hình bình hành.

4) Gọi là trực tâm Hỏi ba điểm có thẳng hàng không? Vì sao?

Gọi là chân đường cao kẻ từ đến thì .

Giả sử phản chứng thẳng hàng thì hay .

Có và nên là tam giác cân có một góc bằng nên là tam giác đều .

Lại có và nên tam giác cân tại hay .

Từ và suy ra .

Xét tam giác có (giả thiết) và nên vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

cân tại . Mà nên tam giác đều.

vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (vô lý vì ).

Vậy ba điểm không thẳng hàng.

Câu 5

Phương pháp:

- Biến đổi các mẫu về dạng tích.

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương .

Cách giải:

Do nên .  Khi đó,

Suy ra:

 Hay

Dấu “=” xảy ra khi   và .

Đề bài

Câu I. (2.0 điểm)

1. Giải bất phương trình: .

2. Tính giá trị của biểu thức: .

3. Cho hàm số có đồ thị . Tìm điểm thuộc đồ thị có hoành độ .

4. Giải hệ phương trình:

Câu II. (3.0 điểm)

1. Giải phương trình: .

2. Cho biểu thức: , với .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm để .

3. Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng (với là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung.

4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bác Bình có 800 000 000 đồng (tám trăm triệu đồng), để hạn chế tối đa rủi ro trong đầu tư, bác quyết định chia số tiền đang có làm hai khoản. Khoản thứ nhất bác gửi vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Khoản thứ hai bác đầu tư vào nhà hàng của một người thân để nhận lãi kinh doanh là 10%/năm. Sau một năm bác Bình nhận được tiền lãi từ hai khoản trên là 66 000 000 đồng (sáu mươi sáu triệu đồng). Tính số tiền bác Bình đã đầu tư vào mỗi khoản.

Câu III. (1.5 điểm)

1. Một trạm y tế ghi lại nhóm máu của một nhóm người hiến máu tình nguyện kết quả như sau:

Căn cứ vào bảng thống kê trên, em hãy cho biết nhóm máu nào có nhiều người tham gia hiến máu nhất?

2. Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Viết lên các viên bi đó các số 1, 2, 3, , 19, 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp và quan sát số được viết trên viên bi được lấy.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

b) Gọi là biến cố "Số xuất hiện trên viên bi lấy ra chia hết cho 4". Tính xác suất biến cố .

Câu IV. (3.0 điểm)

1. Nước ta có rất nhiều trò chơi dân gian, trong đó có trò chơi đánh đu. Khi người chơi nhún đều, đẩy đu sẽ đưa người chơi dao động quanh vị trí cân bằng . Trong hình minh họa bên, người chơi đang ở vị trí với và dây tạo với phương thẳng đứng một góc . Tính độ dài đoạn thẳng là khoảng cách từ vị trí đến đường thẳng .

2. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn , các đường cao của tam giác (với ) cắt nhau tại điểm .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: .

c) Gọi là điểm đối xứng với qua đường thẳng . Chứng minh rằng: .

3. Chiếc nón lá do một làng nghề ở Huế làm thủ công là hình nón có chiều cao bằng , đường kính đáy bằng . Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích lá cần dùng để làm một chiếc nón (bỏ qua mọi hao hụt khi làm nón; lấy ; kết quả làm tròn đến hàng đơn vị; cho ).

Câu V. (0,5 điểm)

Cửa hàng A kinh doanh máy tính có một loại máy tính giá nhập vào một chiếc là 14 000 000 đồng (mười bốn triệu đồng) và bán ra với giá 16 000 000 đồng (mười sáu triệu đồng). Với giá bán như trên thì số lượng máy tính bán được dự kiến 50 chiếc/tháng. Để kích thích tiêu thụ dòng máy tính này, chủ cửa hàng dự định giảm giá bán và khảo sát thấy rằng cứ mỗi lần giảm 100 000 đồng (một trăm nghìn đồng) trên một chiếc thì số lượng máy tính bán ra tăng thêm 5 chiếc/tháng. Hỏi cửa hàng phải giảm giá mỗi chiếc máy tính bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được cao nhất?

----Hết----

Lời giải chi tiết

Câu I: (2,0 điểm) 1. Giải bất phương trình: .

2. Tính giá trị của biểu thức: .

3. Cho hàm số có đồ thị (P). Tìm điểm thuộc đồ thị (P) có hoành độ .

4. Giải hệ phương trình: .

Phương pháp:

1. Chuyển vế để giải bất phương trình.

2. Tính căn bậc hai rồi thực hiện tính.

3. Thay x = 2 vào hàm số để tính y.

Từ đó ta có toạ độ điểm thuộc đồ thị (P).

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải:

1.

.

Vậy bất phương trình có nghiệm là .

2. .

3. Giả sử là điểm thuộc đồ thị (P).

Khi đó .

Với thì .

Vậy là điểm thuộc đồ thị (P) có hoành độ .

4.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Câu II: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình .

2. Cho biểu thức , với .

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm để .

3. Cho hàm số có đồ thị (P) và đường thẳng (d): (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung.

4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Bác Bình có 800 000 000 đồng (tám trăm triệu đồng), để hạn chế tối đa rủi ro trong đầu tư, bác quyết định chia số tiền đang có làm hai khoản. Khoản thứ nhất bác gửi vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Khoản thứ hai bác đầu tư vào nhà hàng của một người thân để nhận lãi kinh doanh là 10%/năm. Sau một năm bác Bình nhận được tiền lãi từ hai khoản trên là 66 000 000 đồng (sáu mươi sáu triệu đồng). Tính số tiền bác Bình đã đầu tư vào mỗi khoản.

Phương pháp:

1. Đưa phương trình về phương trình tích để giải.

thì hoặc .

2.

a) Kết hợp các phép biến đổi với căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

b) Thay B = 2, giải phương trình để tìm x.

3. Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol.

Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: .

Để đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì hoành độ và trái dấu hay .

Kết hợp hai điều kiện và để tìm m.

4. Gọi số tiền bác Bình gửi vào ngân hàng và đầu tư vào nhà hàng lần lượt là và (triệu đồng), .

Vì bác Bình chia 800 triệu đồng để gửi vào ngân hàng và đầu tư vào nhà hàng nên ta có phương trình thứ nhất.

Vì lãi suất của ngân hàng là 6%/năm, lãi kinh doanh là 10%/năm và sau một năm bác Bình nhận được tiền lãi từ hai khoản trên là 66 triệu đồng nên ta có phương trình thứ hai.

Ta có hệ phương trình.

Giải hệ phương trình để tìm x, y.

Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

1. Ta có:

hoặc

hoặc

Vậy .

2.

a) ĐKXĐ:

Ta có:

Vậy với .

b) Ta có:

(thoả mãn điều kiện)

Vậy thì .

3. Đường thẳng và cắt nhau thì hay .

Xét .

Để đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy ra nên (1)

Áp dụng định lí Viète, ta có:

Để đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì hoành độ và trái dấu hay .

Do đó (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Các giá trị nguyên dương của m thoả mãn là .

Vậy với thì đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung.

4. Gọi số tiền bác Bình gửi vào ngân hàng và đầu tư vào nhà hàng lần lượt là và (triệu đồng), .

Vì bác Bình chia 800 triệu đồng để gửi vào ngân hàng và đầu tư vào nhà hàng nên ta có phương trình: (1)

Vì lãi suất của ngân hàng là 6%/năm nên số tiền lãi bác Bình nhận được từ việc gửi tiền vào ngân hàng sau một năm là: (triệu đồng)

Vì lãi kinh doanh là 10%/năm nên số tiền lãi bác Bình nhận được từ việc đầu tư vào nhà hàng là: (triệu đồng)

Vì sau một năm bác Bình nhận được tiền lãi từ hai khoản trên là 66 triệu đồng nên ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình:

Vậy bác Bình gửi vào ngân hàng 350 triệu đồng và đầu tư vào nhà hàng 450 triệu đồng.

Câu III: (1,5 điểm) 1. Một trạm y tế ghi lại nhóm máu của một nhóm người hiến máu tình nguyện kết quả như sau:

Căn cứ vào bảng thống kê trên, em hãy cho biết nhóm máu nào có nhiều người tham gia hiến máu nhất?

2. Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Viết lên các viên bi đó các số 1, 2, 3, …, 19, 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp và quan sát số được viết trên viên bi được lấy.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

b) Gọi A là biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi lấy ra chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố A.

Phương pháp:

1. Quan sát bảng, xác định nhóm máu có số người tham gia hiến máu lớn nhất.

2.

a) Không gian mẫu là tất cả các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp.

b) Xác định các viên bi có số chia hết cho 4.

Xác suất của biến cố A = số kết quả thuận lợi cho A : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

1. Căn cứ vào bảng thống kê trên, nhóm máu có nhiều người tham gia hiến máu nhất là nhóm máu O.

2.

a) Không gian mẫu của phép thử:

.

b) Số phần tử của không gian mẫu là .

Ta có , suy ra .

Xác suất của biến cố A là .

Câu IV: (3,0 điểm) 1. Nước ta có rất nhiều trò chơi dân gian, trong đó có trò chơi đánh đu. Khi người chơi nhún đều, dây đu sẽ đưa người chơi dao động quanh vị trí cân bằng . Trong hình minh hoạ bên, người chơi đang ở vị trí A với và dây OA tạo với phương thẳng đứng một góc . Tính độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách từ vị trí A đến đường thẳng

2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC (với , , ) cắt nhau tại điểm H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh:

c) Gọi K là điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng BC. Chứng minh rằng: .

3. Chiếc nón lá do một làng nghề ở Huế làm thủ công là hình nón có chiều cao bằng 19cm, đường kính đáy bằng 40cm. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích lá cần dùng để làm một chiếc nón (bỏ qua mọi hao hụt khi làm nón; lấy ; kết quả làm tròn đến hàng đơn vị; có , , .

Phương pháp:

1. Xác định tỉ số lượng giác liên quan đến , từ đó ta có hệ thức để tính đoạn AB.

2.

a) Chứng minh vuông tại E và vuông tại F nên B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp và hai góc kề bù, chứng minh

Từ đó chứng minh

Suy ra .

c) Gọi N là giao điểm của AO và EF, gọi M là giao điểm của BC và OK.

Chứng minh BC là trung trực của OK hay tại M

Chứng minh cân tại O

OM là đường cao nên OM đồng thời là trung tuyến hay M là trung điểm của BC

Kẻ đường kính AI của (O).

Chứng minh suy ra (cùng vuông góc với AC) và (do cùng vuông góc với AB) nên là hình bình hành

Suy ra M là trung điểm của HI

Chứng minh OM là đường trung bình của

Suy ra

Kết hợp và suy ra là hình bình hành nên

Chứng minh

Suy ra

3. Tính bán kính đáy.

Sử dụng công thức liên hệ giữa bán kính, chiều cao và đường sinh của hình nón để tính độ dài đường sinh.

Tính diện tích xung quanh của hình nón là

Diện tích lá cần dùng để làm nón = 2 lần diện tích xung quanh.

Lời giải:

1. Ta có vuông tại B nên ta có suy ra (m)

Vậy độ dài của đoạn AB bằng 2,5 m.

2.

a) Do BE, CF là đường cao nên vuông tại E và vuông tại F

vuông tại E nên B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

vuông tại F nên B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Suy ra B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Do BFEC nội tiếp đường tròn nên (tính chất)

Mà (hai góc kề bù) nên

Xét và có và chung

Suy ra

Suy ra hay .

c) Gọi N là giao điểm của AO và EF, gọi M là giao điểm của BC và OK.

Do K đối xứng với O qua BC nên BC là trung trực của OK hay tại M

Ta có (cùng bằng bán kính) nên cân tại O

Mà OM là đường cao nên OM đồng thời là trung tuyến hay M là trung điểm của BC

Kẻ đường kính AI của (O). Khi đó (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra (cùng vuông góc với AC) và (do cùng vuông góc với AB)

Suy ra là hình bình hành

Mà M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của HI

Xét có M là trung điểm của HI và O là trung điểm của AI nên OM là đường trung bình của

Suy ra và

Mà nên suy ra và

Suy ra là hình bình hành nên   (1)

Ta có

Suy ra vuông tại N hay   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

3. Đường kính đáy hình nón bằng 40cm nên có bán kính là 20cm

Độ dài đường sinh của hình nón là là cm

Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là cm²

Vậy diện tích lá cần dùng để làm nón là cm².

Câu V: (0,5 điểm) Cửa hàng A kinh doanh máy tính có một loại máy tính giá nhập vào một chiếc là 14000000 đồng (mười bốn triệu đồng) và bán ra với giá 16000000 đồng (mười sáu triệu đồng). Với giá bán như trên thì số lượng máy tính bán được dự kiến là 50 chiếc/tháng. Để kích thích tiêu thụ dòng máy tính này, chủ cửa hàng dự định giảm giá bán và khảo sát thấy rằng cứ mỗi lần giảm 100000 đồng trên một chiếc thì số lượng máy tính bán ra tăng thêm 5 chiếc/tháng. Hỏi cửa hàng phải giảm giá mỗi chiếc máy tính bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được cao nhất?

Phương pháp:

Gọi là số lần giảm 100.000 đồng, , suy ra số tiền giảm theo x.

Tính lợi nhuận mỗi chiếc máy tính = giá mới – giá nhập.

Suy ra tổng lợi nhuận = số máy . lợi nhuận mỗi máy.

Sử dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận.

Lời giải:

Gọi là số lần giảm 100.000 đồng, thì số tiền giảm: (đơn vị: đồng)

Ta có:

- Giá bán mới (đồng)

- Số máy bán được: (chiếc)

- Giá nhập mỗi chiếc: (đồng)

Khi đó lợi nhuận mỗi chiếc là: (đồng)

Suy ra tổng lợi nhuận là

Ta có:

Ta tìm giá trị lớn nhất của

Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi suy ra

Vậy cửa hàng nên giảm giá mỗi máy là:đồng.