Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội

Đề bài

Câu I. (1,5 điểm)

1) Kết quả đo chiều cao của 50 học sinh lớp 6 (đơn vị: cm) được thống kê trong bảng tần số ghép nhóm sau đây:

Xác định tần số và tần số tương đối của nhóm [150; 155).

2)  Một hộp đựng 6 quả bóng cùng loại, mỗi quả bóng ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6; hai quả bóng khác nhau được ghi hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: "Số ghi trên quả bóng lấy được là số chẵn".

Câu II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và với .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi .

2) Chứng minh .

3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.

Câu III. (2,5 điểm)

1) Một tổ sản xuất lập kế hoạch may áo với số lượng áo mỗi ngày may được là như nhau. Trong 3 ngày đầu, mỗi ngày tổ đã may theo đúng kế hoạch. Trong 7 ngày tiếp theo, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã may được nhiều hơn 5 chiếc áo so với kế hoạch. Vì vậy sau 10 ngày, tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may bao nhiêu chiếc áo?

2) Một người mua 25 bông hoa gồm hoa hồng và hoa cúc hết tổng số tiền là 180 nghìn đồng. Biết giá tiền mỗi bông hoa hồng là 8 nghìn đồng, giá tiền mỗi bông hoa cúc là 6 nghìn đồng. Hỏi người đó đã mua bao nhiêu bông hoa mỗi loại?

3) Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và , tính giá trị của biểu thức .

Câu IV. (4,0 điểm)

1) Một xô đựng nước dạng hình trụ có chiều cao bằng 25 cm và bán kính đáy bằng 12 cm. (Lấy và coi độ dày của xô đựng nước không đáng kể).

a) Tính diện tích xung quanh của xô đựng nước đó.

b) Người ta dùng xô đựng nước trên để múc nước đổ vào một bể có thể tích 150 lít. Mỗi lần người ta chỉ múc lượng nước bằng 80% thể tích của xô. Lúc đầu bể không có nước, hỏi cần múc ít nhất bao nhiêu xô để đổ đầy bể? (Biết 1 lít = 1000 ).

2) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC. Lấy điểm H thuộc đoạn thẳng AB sao cho HB > HA (H khác A). Kẻ đường thẳng qua H vuông góc với đường thẳng BC tại điểm D và cắt đường thẳng AC tại điểm E.

a) Chứng minh bốn điểm A, H, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng ED cắt đường thẳng DF tại điểm M. Chứng minh AE.BC = EH.AB và .

c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Chứng minh tam giác HKM là tam giác cân.

Câu V. (0,5 điểm)

Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày. Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân 1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?

-HẾT-

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – HÀ NỘI

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

Câu I. (1,5 điểm)

1) Kết quả đo chiều cao của 50 học sinh lớp 6 (đơn vị: cm) được thống kê trong bảng tần số ghép nhóm sau đây:

Xác định tần số và tần số tương đối của nhóm [150; 155).

2)  Một hộp đựng 6 quả bóng cùng loại, mỗi quả bóng ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6; hai quả bóng khác nhau được ghi hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: "Số ghi trên quả bóng lấy được là số chẵn".

Lời giải:

1) Dựa vào bảng số liệu, ta thấy số học sinh có chiều cao thuộc nhóm [150; 155) là 14. Vậy, tần số của nhóm [150; 155) là 14.

Tổng số học sinh được khảo sát (cỡ mẫu) là: (học sinh).

Ttần số tương đối của nhóm [150; 155) là:

2) Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp đựng 6 quả bóng được đánh số lần lượt từ 1 đến 6.

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử này là các số được ghi trên quả bóng. Ta có

Tổng cộng có 6 kết quả có thể xảy ra, do đó:

Đề bài nêu rõ 6 quả bóng trong hộp là "cùng loại" và hành động lấy bóng được thực hiện một cách "ngẫu nhiên". Vậy khả năng một người rút trúng bất kỳ quả bóng nào trong 6 quả bóng là hoàn toàn ngang nhau. Do đó, các kết quả của phép thử này là đồng khả năng.

Biến cố A: "Số ghi trên quả bóng lấy được là số chẵn".

Trong không gian mẫu từ 1 đến 6, các số chẵn bao gồm: 2, 4 và 6.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là

Có 3 kết quả làm cho biến cố A xảy ra, suy ra:

Xác suất của biến cố A được tính bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố A chia cho số phần tử của không gian mẫu .

Ta có:

Vậy xác suất của biến cố A "Số ghi trên quả bóng lấy được là số chẵn" là

Câu II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và với .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi .

2) Chứng minh .

3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.

Lời giải:

1) Thay (thỏa mãn điều kiện ) vào biểu thức A, ta có:

.

Vậy giá trị A là khi .

2) Với , ta có:

  (điều phải chứng minh).

3) Ta có:

(với ).

.

Vì nên , suy ra .

Khi đó .

Để P nhận giá trị nguyên thì phải nhận giá trị nguyên.

Hay .

Trường hợp 1:

(thỏa mãn điều kiện).

Trường hợp 2:

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy các giá trị x cần tìm là và .

Câu III. (2,5 điểm)

1) Một tổ sản xuất lập kế hoạch may áo với số lượng áo mỗi ngày may được là như nhau. Trong 3 ngày đầu, mỗi ngày tổ đã may theo đúng kế hoạch. Trong 7 ngày tiếp theo, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã may được nhiều hơn 5 chiếc áo so với kế hoạch. Vì vậy sau 10 ngày, tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may bao nhiêu chiếc áo?

2) Một người mua 25 bông hoa gồm hoa hồng và hoa cúc hết tổng số tiền là 180 nghìn đồng. Biết giá tiền mỗi bông hoa hồng là 8 nghìn đồng, giá tiền mỗi bông hoa cúc là 6 nghìn đồng. Hỏi người đó đã mua bao nhiêu bông hoa mỗi loại?

3) Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và , tính giá trị của biểu thức .

Lời giải:

1) Gọi số chiếc áo tổ sản xuất kế hoạch may trong mỗi ngày là (chiếc). ()

Khi đó, số áo may được trong 3 ngày đầu theo đúng kế hoạch là: (chiếc).

Trong 7 ngày tiếp theo, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã may được nhiều hơn 5 chiếc áo so với kế hoạch nên số áo thực tế may được mỗi ngày là (chiếc).

Số áo may được trong 7 ngày tiếp theo là:

Vì tổng số áo tổ sản xuất may được sau 10 ngày là 335 chiếc, nên ta có phương trình:

(Thỏa mãn)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải may 30 chiếc áo.

2) Gọi số hoa hồng người đó mua là bông ( )

Số hoa cúc là: bông hoa.

Vì giá tiền mỗi bông hoa hồng là 8 nghìn đồng, hoa cúc là 6 nghìn đồng, số tiền mua hoa là 180 nghìn đồng, nên ta có:

(thoả mãn điều kiện)

Vậy người đó mua 15 bông hoa hồng.

Số hoa cúc người đó mua là: bông.

3) Xét phương trình .

Ta có biệt thức .

Do nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .

Áp dụng định lý Viète ta có:

Theo bài ra ta có:

(do )

Vậy

Câu IV. (4,0 điểm)

1) Một xô đựng nước dạng hình trụ có chiều cao bằng 25 cm và bán kính đáy bằng 12 cm. (Lấy và coi độ dày của xô đựng nước không đáng kể).

a) Tính diện tích xung quanh của xô đựng nước đó.

b) Người ta dùng xô đựng nước trên để múc nước đổ vào một bể có thể tích 150 lít. Mỗi lần người ta chỉ múc lượng nước bằng 80% thể tích của xô. Lúc đầu bể không có nước, hỏi cần múc ít nhất bao nhiêu xô để đổ đầy bể? (Biết 1 lít = 1000 ).

2) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC. Lấy điểm H thuộc đoạn thẳng AB sao cho HB > HA (H khác A). Kẻ đường thẳng qua H vuông góc với đường thẳng BC tại điểm D và cắt đường thẳng AC tại điểm E.

a) Chứng minh bốn điểm A, H, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng ED cắt đường thẳng DF tại điểm M. Chứng minh AE.BC = EH.AB và .

c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Chứng minh tam giác HKM là tam giác cân.

Lời giải:

1)

a)  Diện tích xung quanh của xô đựng nước hình trụ là:

().

Vậy diện tích xung quanh của xô đựng nước đó là 1884 .

b) Thể tích của xô đựng nước hình trụ là:

().

Lượng nước múc được trong mỗi lần là:

().

Thể tích của bể nước là: lít = ().

Số lần múc nước (số xô) để đổ đầy bể là: (xô).

Vì số xô nước phải là số nguyên và để đổ đầy bể thì lượng nước múc vào phải không ít hơn thể tích bể, nên ta chọn số nguyên nhỏ nhất lớn hơn 16,59 là 17.

Vậy cần múc ít nhất 17 xô để đổ đầy bể.

2)

 a) Vì vuông tại A nên . Nên vuông tại A

Suy ta A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC

Vì tại D nên vuông tại D

Suy ra cùng thuộc đường tròn đường kính HC

Vậy cùng thuộc đường tròn đường kính HC

b) Do là tứ giác nội tiếp nên

Mà (hai góc kề bù) nên

Suy ra (do là cặp góc đối đỉnh)

Xét và có:

Suy ra

Nên

Chứng minh

Xét có , , H là giao của AB và ED

Do đó H là trực tâm của hay tại F

Mà (do nội tiếp đường tròn đk BC)

Suy ra B, E, F thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ý a ta được BFHD là tứ giác nội tiếp

Do đó

mà nên   (1)

Mặt khác (do cùng vuông góc với ED)

Do đó (2)

Từ (1), (2) ta được

Gọi G là giao của AM và EF

Khi đó  (g.g) nên

Mà (2 góc đối đỉnh) nên  (c.g.c)

Do đó

Mà (do cùng cộng bằng ) nên

 . Suy ra cân tại .

Mà nên EH là trung trực của AM

Từ đây ta được

c) Ta có HE là trung trực của AM (chứng minh câu b) nên HM = HA

Vì (so le trong).

Do cân tại H là:

Xét đường tròn (O), tứ giác ABKC nội tiếp nên

Trong vuông tại : .

Suy ra  .

Suy ra .

Xét đường tròn tâm H, bán kính HA.

Giả sử tia BM cắt đường tròn (H) tại điểm K'.

Khi đó, góc nội tiếp chắn cung AM là .

Như vậy .

Do K và K' cùng nằm trên tia MB và cùng nhìn đoạn AM dưới một góc không đổi, nên K phải trùng với K'.

Suy ra K nằm trên đường tròn (H), tức là HK = HM

Suy ra hay cân tại .

Câu V. (0,5 điểm)

Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày. Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân 1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?

Lời giải:

Gọi số công nhân công ty điều động là  (công nhân) (),

    số ngày công ty thuê kho xưởng để hoàn thành đơn hàng là (ngày) ().

Trong một ngày, 1 công nhân làm được 5 sản phẩm nên  công nhân làm được (sản phẩm)

Trong ngày, số sản phẩm mà  công nhân làm được là (sản phẩm).

Vì tổng số sản phẩm cần hoàn thành là sản phẩm nên ta có phương trình:

Tổng chi phí của công ty gồm hai khoản là chi phí thuê kho xưởng là (triệu đồng) và chi phí thưởng công nhân là (triệu đồng)

Khi đó, tổng chi phí của công ty là

Thay vào biểu thức , ta được:

Vì , ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương và ta có

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Do số công nhân phải là một số nguyên (), nên

+ Trường hợp 1: Nếu thì tức là ngày.

Khi đó, tổng chi phí là: (triệu đồng).

+ Trường hợp 2: Nếu thì .

Khi đó, tổng chi phí là: (triệu đồng).

Vậy để tổng chi phí là nhỏ nhất, công ty nên điều động 25 công nhân và thuê kho xưởng trong 8 ngày.

—HẾT—

Đề bài

Câu I (1,5 điểm)

1) Kết quả khảo sát 300 học sinh lớp 9 về thời gian tự học của mỗi bạn trong một tuần (đơn vị: giờ) được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau đây:

Xác định tần số và tần số tương đối của nhóm [12;16).

2) Một hộp có 8 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2,3,4,5,6,7,8; hai thẻ khác nhau được ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho 3".

Câu II (1,5 điểm)

Cho hai biểu thức và với .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi .

2) Chứng minh .

3) Tìm số nguyên dương x lớn nhất để .

Câu III (2,5 điểm)

1) Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc trung bình 60 km/h. Khi từ Hải Phòng về Hà Nội trên cùng quãng đường đó, do điều kiện thời tiết xấu nên ô tô đi với vận tốc trung bình 40 km/h. Biết thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là 1 giờ, tính độ dài quãng đường ô tô đã đi từ Hà Nội đến Hải Phòng.

2) Để chuẩn bị cho năm học mới, bạn Quốc đến cửa hàng mua một chiếc ba lô và một chiếc máy tính cầm tay với tổng giá tiền niêm yết là 885 nghìn đồng. Hiện tại, cửa hàng đó đang triển khai chương trình giảm giá cho học sinh, sinh viên nên giá tiền của một chiếc ba lô giảm 20% và giá tiền của một chiếc máy tính cầm tay giảm 25% so với giá tiền niêm yết. Vì vậy, bạn Quốc chỉ phải trả 682 nghìn đồng khi mua hai sản phẩm này. Hỏi giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là bao nhiêu?

3) Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm và , tìm tất cả giá trị của m thỏa mãn .

Câu IV (4,0 điểm)

1) Gia đình bạn Khánh đang sử dụng một thùng đựng nước dạng hình trụ với bán kính đáy bằng 50 cm và chiều cao bằng 150 cm. Thùng đựng nước được đặt thẳng đứng trên mặt sàn như hình minh họa bên. (Lấy và coi chiều dày của thùng không đáng kể).

a) Tính diện tích xung quanh của thùng đựng nước.

b) Sau một thời gian gia đình bạn Khánh sử dụng nước trong thùng thì mực nước còn lại đã thấp hơn 40 cm sơ với mực nước ban đầu. Tính thể tích nước trong thùng mà gia đình bạn Khánh đã sử dụng trong khoảng thời gian đó.

2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác A). Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ điểm E đến đường thẳng AB.

a) Chứng minh bốn điểm E, D, B, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm S. Chứng minh EA là tia phân giác của góc CEK và AB. AC = AE. AS.

c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh đường thẳng SI vuông góc với đường thẳng HK.

Câu V (0,5 điểm)

Một công ty kinh doanh trong lĩnh vực vận tải đang vận hành một đội gồm 35 xe chở hàng cùng loại, với lợi nhuận trung bình của mỗi xe là 1 triệu đồng một ngày. Để mở rộng mô hình kinh doanh, công ty dự định bổ sung một số xe chở hàng cùng loại với xe đang vận hành. Công ty đã tiến hành khảo sát và phân tích thị trường, kết quả cho thấy: cứ bổ sung một xe chở hàng cùng loại vào hoạt động thì lợi nhuận trung bình của mỗi xe trong cả đội lại giảm đi 20 nghìn đồng một ngày. Hỏi công ty nên bổ sung bao nhiêu xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung bình mỗi ngày của đội xe là lớn nhất?

Lời giải

Câu I (1,5 điểm)

1) Kết quả khảo sát 300 học sinh lớp 9 về thời gian tự học của mỗi bạn trong một tuần (đơn vị: giờ) được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau đây:

Xác định tần số và tần số tương đối của nhóm [12;16).

2) Một hộp có 8 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2,3,4,5,6,7,8; hai thẻ khác nhau được ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho 3".

Phương pháp:

1) Quan sát bảng tần số ghép nhóm để xác định tần số (số học sinh) và tính tần số tương đối của nhóm: với n là tần số của nhóm, N là cỡ mẫu.

2) Xác định số phần tử của không gian mẫu ()

Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A ().

Xác suất của biến cố là: .

Lời giải:

1) Tần số tương đối ghép nhóm [12;16) là 75

Tần số tương đối của nhóm [12;16) là

2) Xét phép thử: “Rút ngẫu nhiên 1 thẻ trong hộp”

Do 8 chiếc thẻ cùng loại, rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Không gian mẫu của phép thử là:

Suy ra .

Xét biến cố A: “Số ghi trên thẻ rút được là 1 số chia hết cho 3”.

Các kết quả thuận lợi của biến cố A là: 3; 6.

Suy ra .

Xác suất của biến cố A là

Câu II (1,5 điểm)

Cho hai biểu thức và với .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi .

2) Chứng minh .

3) Tìm số nguyên dương x lớn nhất để .

Phương pháp:

1) Kiểm tra xem có thoả mãn điều kiện xác định hay không.

Nếu có, thay vào biểu thức để tính.

2) Sử dụng các phép biến đổi với căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức B.

3) Tính .

Giải bất phương trình , biện luận để tìm giá trị của .

Kết hợp điều kiện xác định để giá trị thoả mãn của .

Lời giải:

1) Thay (TMĐK) vào biểu thức, ta được:

Vậy khi thì

2)

Vậy (đpcm)

3) Ta có:

Để

Mà , mọi .

Nên

Kết hợp với ĐKXĐ , ta được: .

Mà x là số nguyên dương lớn nhất nên .

Vậy để thỏa mãn đề bài.

Câu III (2,5 điểm)

1) Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc trung bình 60 km/h. Khi từ Hải Phòng về Hà Nội trên cùng quãng đường đó, do điều kiện thời tiết xấu nên ô tô đi với vận tốc trung bình 40 km/h. Biết thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là 1 giờ, tính độ dài quãng đường ô tô đã đi từ Hà Nội đến Hải Phòng.

2) Để chuẩn bị cho năm học mới, bạn Quốc đến cửa hàng mua một chiếc ba lô và một chiếc máy tính cầm tay với tổng giá tiền niêm yết là 885 nghìn đồng. Hiện tại, cửa hàng đó đang triển khai chương trình giảm giá cho học sinh, sinh viên nên giá tiền của một chiếc ba lô giảm 20% và giá tiền của một chiếc máy tính cầm tay giảm 25% so với giá tiền niêm yết. Vì vậy, bạn Quốc chỉ phải trả 682 nghìn đồng khi mua hai sản phẩm này. Hỏi giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là bao nhiêu?

3) Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm và , tìm tất cả giá trị của m thỏa mãn .

Phương pháp:

1) Gọi độ dài quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là x (km, x > 0)

Biểu diễn thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng và thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội theo .

Vì thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là 1 giờ nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm .

Kiểm tra điều kiện và kết luận.

2) Gọi giá tiền niêm yết của một ba lô là x (nghìn đồng) (0 < x < 885)

Gọi giá tiền niêm yết của một máy tính là y (nghìn đồng) (0 < y < 885)

Xác định phương trình tổng giá tiền niêm yết của hai món đồ là 885 nghìn đồng.

Biểu diễn giá tiền của ba lô, máy tính sau khi giảm giá rồi xác định phương trình tổng giá tiền của hai món đồ sau khi giảm giá là 682 nghìn đồng.

Ta lập được hệ phương trình.

Giải hệ phương trình, kiểm tra điều kiện và kết luận.

3) Áp dụng định lí Viète.

Biến đổi để xuất hiện và thay định lí Viète vào để tìm m.

Lời giải:

1) Gọi độ dài quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là x (km, x > 0)

Thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là (h)

Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là (h)

Vì thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là 1 giờ nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được: (TKĐK)

Vậy độ dài quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là 120 km.

2) Gọi giá tiền niêm yết của một ba lô là x (nghìn đồng) (0 < x < 885)

Gọi giá tiền niêm yết của một máy tính là y (nghìn đồng) (0 < y < 885)

Tổng giá tiền niêm yết của hai món đồ là 885 nghìn đồng nên ta có phương trình:

Giá tiền của ba lô sau khi giảm giá là: (nghìn đồng)

Giá tiền của máy tính sau khi giảm giá là: (nghìn đồng)

Tổng giá tiền của hai món đồ sau khi giảm giá là 682 nghìn đồng nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được: (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá tiền niêm yết của một ba lô là 365 nghìn đồng, giá tiền của một máy tính là 520 nghìn đồng.

3) Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm và .

Áp dụng định lí Viète, ta có

Do nên

Ta có:

Vậy thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu IV (4,0 điểm)

1) Gia đình bạn Khánh đang sử dụng một thùng đựng nước dạng hình trụ với bán kính đáy bằng 50 cm và chiều cao bằng 150 cm. Thùng đựng nước được đặt thẳng đứng trên mặt sàn như hình minh họa bên. (Lấy và coi chiều dày của thùng không đáng kể).

a) Tính diện tích xung quanh của thùng đựng nước.

b) Sau một thời gian gia đình bạn Khánh sử dụng nước trong thùng thì mực nước còn lại đã thấp hơn 40 cm sơ với mực nước ban đầu. Tính thể tích nước trong thùng mà gia đình bạn Khánh đã sử dụng trong khoảng thời gian đó.

2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác A). Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ điểm E đến đường thẳng AB.

a) Chứng minh bốn điểm E, D, B, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm S. Chứng minh EA là tia phân giác của góc CEK và AB. AC = AE. AS.

c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh đường thẳng SI vuông góc với đường thẳng HK.

Phương pháp:

1)

a) Tính diện tích xung quanh của thùng đựng nước:

b) Thể tích nước đã sử dụng là:

2)

a) Chứng minh vuông tại K, vuông tại D nên bốn điểm E,D,B,K cùng thuộc đường tròn đường kính BE

b) Chứng minh

(hai góc nội tiếp đường tròn tâm O cùng chắn cung AB)

Suy ra (g-g)

Do đó

c) Chứng minh (g.g)

Lại có D và I là trung điểm của EH và AB

Chứng minh (c.g.c)

Suy ra

Suy ra

Suy ra

Lời giải:

1)

a) Diện tích xung quanh của thùng đựng nước là

(cm²)

b) Thể tích nước đã sử dụng là:

(cm³)

2)

a) Xét có AD là đường cao suy ra hay

Suy ra suy ra tam giác BDE vuông tại D

Có K là chân đường vuông góc kẻ từ E đến đường thẳng AB

Suy ra nên suy ra tam giác BKE vuông tại K

Xét vuông tại D

Suy ra ba điểm B, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE. (1)

Xét vuông tại K

Suy ra ba điểm B, K, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm E, D, B, K cùng thuộc đường tròn đường kính BE.

b)

Ta có tứ giác EDBK nội tiếp (cmt)

Mà (hai góc kề bù)

Nên hay

Xét (O) có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra

Mà tia EA nằm giữa 2 tia EK và EC

Nên EA là phân giác của

Kéo dài AO cắt (O) tại điểm thứ 2 là M

Suy ra (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

vuông tại C nên

Xét (O) có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét vuông tại D có

Suy ra

Xét và

(chứng minh trên)

(hai góc nội tiếp đường tròn tâm O cùng chắn cung AB)

Suy ra (g-g)

c) Xét (O): (góc nội tiếp cùng chắn AC)

(cmt)

Suy ra

Chứng minh được:

Suy ra (g.g)

Lại có D và I là trung điểm của EH và AB

Chứng minh được: (c.g.c)

Suy ra

Suy ra

Suy ra (đpcm)

Câu V (0,5 điểm)

Một công ty kinh doanh trong lĩnh vực vận tải đang vận hành một đội gồm 35 xe chở hàng cùng loại, với lợi nhuận trung bình của mỗi xe là 1 triệu đồng một ngày. Để mở rộng mô hình kinh doanh, công ty dự định bổ sung một số xe chở hàng cùng loại với xe đang vận hành. Công ty đã tiến hành khảo sát và phân tích thị trường, kết quả cho thấy: cứ bổ sung một xe chở hàng cùng loại vào hoạt động thì lợi nhuận trung bình của mỗi xe trong cả đội lại giảm đi 20 nghìn đồng một ngày. Hỏi công ty nên bổ sung bao nhiêu xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung bình mỗi ngày của đội xe là lớn nhất?

Phương pháp:

Đổi 1 triệu đồng = 1 000 nghìn đồng

Gọi x là số xe được bổ sung ()

Biểu diễn số xe sau khi được bổ sung, lợi nhuận của 1 xe sau trong 1 ngày khi bổ sung suy ra lợi nhuận của toàn đội xe trong 1 ngày.

Biện luận để tìm giá trị lớn nhất của P(x).

Lời giải:

Cách 1:

Đổi 1 triệu đồng = 1 000 nghìn đồng

Gọi x là số xe được bổ sung ()

Số xe sau khi được bổ sung là: (xe)

Lợi nhuận của 1 xe sau trong 1 ngày khi bổ sung là: (nghìn đồng)

Lợi nhuận của toàn đội xe trong 1 ngày là:

Vì với mọi x, nên .

Do đó, .

Giá trị lớn nhất của đạt được khi nhỏ nhất.

Do x là số tự nhiên, ta xét hai giá trị tự nhiên gần 7,5 nhất là và

Khi , ta có .

Khi , ta có .

Cả hai giá trị và đều cho một giá trị nhỏ nhất là 0,25.

Vậy, công ty nên bổ sung 7 xe hoặc 8 xe để lợi nhuận mỗi ngày là lớn nhất.

Cách 2:

Đổi 1 triệu đồng = 1 000 nghìn đồng

Gọi số xe được công ty bổ sung là: x (xe) ( Điều kiện: )

Số xe sau khi được bổ sung là: (xe)

Lợi nhuận của một xe trong 1 ngày sau khi bổ sung là: (nghìn đồng)

Lợi nhuận của cả đội xe trong 1 ngày là:

- Với thì

Do đó,

- Với hoặc thì

Do đó,

- Với thì

Do đó,

Vậy, công ty nên bổ sung 7 xe hoặc 8 xe để lợi nhuận mỗi ngày là lớn nhất.

Đề bài

Câu 1: 

1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm [40; 42).

2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số 1, 2, 3, …, 11, 12; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố M: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố M.

Câu 2: Cho hai biểu thức: và với .

1) Tính giá trị của biểu thức khi .

2) Chứng minh .

3) Xét biểu thức . Chứng minh .

Câu 3: 

1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là /năm và khoản đầu tư thứ hai là /năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.

2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phầm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

3) Biết rằng phương trình bậc hai có một nghiệm là . Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Câu 4: 

1) Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao 15cm, đường kính đáy là 5cm,  lượng nước tinh khiết trong ly cao 10cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ dưới đây.

a) Tính thể tích nước tinh khiết được chứa trong ly.

b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu xăng-ti-mét khối? (Giả sử độ dày của ly là không đáng kể)

2) Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC.

a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh và .

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng.

Câu 5: Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật ABCD cùng loại, có chiều dài 10m và chiều rộng 6m; với M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC (hình 1)

Mỗi lớp sử dụng tấm bạt nhựa trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân AMD và tam giác BMC, với độ dài cạnh đáy của tam giác cân này là . (Tấm bạt chỉ sử dụng để dụng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

Câu 1 (TH):

Cách giải:

1) - Quan sát biểu đồ tần số ghép nhóm, ta thấy tần số ghép nhóm của nhóm [40; 42) là 5.

- Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40;42) là:

2) Có 12 kết quả có thể của phép thử “Quay đĩa tròn một lần” là: 1, 2, 3, …, 11, 12.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố M: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4” là: 4; 8; 12.

Vậy xác suất của biến cố M là: .

Câu 2 (VD):

Cách giải:

1) Thay (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

Vậy khi

2) ĐKXĐ:

Vậy với

3) ĐKXĐ:

Xét hiệu

Ta có:

Vì nên và

Khi đó và hay và

Suy ra hay

Vậy với

Câu 3 (TH):

Cách giải:

1) Gọi số tiền đầu tư cho mỗi khoản lần lượt là .

Tổng số tiền đầu tư là 400 triệu, nên ta có phương trình: (1)

Số tiền lãi thu được sau 1 năm của hai khoản đầu tư là: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: suy ra

Vậy số tiền đầu tư cho hai khoản lần lượt là 250 triệu đồng và 150 triệu đồng.

2) Gọi số sản phẩm cần làm trong một ngày theo kế hoạch là , số ngày hoàn thành theo kế hoạch là

Theo kế hoạch, ta có .

Thực tế mỗi ngày làm thêm 10 sản phẩm và hoàn thành công việc sớm 1 ngày nên ta có:

Ta có hệ phương trình:

Suy ra

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 50 sản phẩm.

3) có nghiệm nên ta thay vào phương trình:

Phương trình:

Theo định lí Viète ta có:

Tổng bình phương 2 nghiệm

Câu 4 (VD):

Cách giải:

1)

a) Bán kính của ly nước là

Thể tích nước tinh khiết chứa trong ly là:

Vậy thể tích nước tinh khiết được chứa trong ly là .

b) Thể tích của 5 viên bi hình cầu là:

Thể tích của mỗi viên bi là:

Vậy thể tích của mỗi viên bi là .

2)

a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn.

Do nên vuông tại O, cạnh huyền MB

Suy ra M, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB

Tương tự vuông tại H, cạnh huyền MB nên M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB

Vậy O, M, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính MB (đpcm)

b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh và .

Do O, M, B, H cùng thuộc đường tròn nên MOBH nội tiếp đường tròn

Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MO)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA của (O))

Suy ra  (đpcm)

Ta có nên

Do kết hợp với

Nên

Xét và có

Suy ra

Suy ra (1)

Vì MO = OB nên tam giác MOB cân tại O suy ra (tính chất)

Tứ giác MHBO nội tiếp đường tròn đường kính MB nên ta có:

(các góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Khi đó

Suy ra EH là phân giác của góc MHB

Suy ra (tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra hay  (đpcm)

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng.

Ta có vuông tại H nên C, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM

Mà thuộc đường tròn đường kính CM nên hay  

Tương tự P thuộc đường tròn (O), đường kính MN nên hay

Suy ra C, P, N thẳng hàng  (*)

Xét và có

                                           chung

Nên

Suy ra hay

Mà suy ra (3)

Ta có có BO vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại B

Suy ra

Thay vào (3) ta được

Xét và có và

Suy ra

Suy ra (hai góc tương tứng)

Mà (hai góc kề bù) nên

Chứng tỏ C, E, N thẳng hàng  (**)

Từ (*) và (**) suy ra C, P, E thẳng hàng (đpcm).

Câu 5 (VD):

Cách giải:

Thể tích không gian trong lều là:

Để thể tích không gian trong lều là lớn nhất thì lớn nhất.

Kẻ

Ta có:

Do cân tại có MH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên là trung điểm của AD. Do đó

Áp dụng định lý Phythagore cho tam giác MAH vuông tại , ta có:

Suy ra: Điều kiện

Ta có:

Để lớn nhất thì lớn nhất.

(BĐT cô-si)

Dấu bằng xảy ra khi hay hay (Do )

Vậy với thì thể tích không gian trong lều đạt giá trị lớn nhất. 

Đề bài

Câu 1: Cho hai biểu thức và với .

1) Tính giá trị của biểu thức khi

2) Chứng minh

3) Tìm tất cả các giá trị của để

Câu 2: 

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau.)

2) Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy là và chiều cao là . Tính thể tích của khối gỗ đó (lấy )

Câu 3: 

1) Giải hệ phưong trình .

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol và đường thẳng .

a) Chứng minh luôn cắt tại hai điềm phân biệt.

b) Gọi và là hoành độ các giao điểm của và . Tìm tất cả giá trị của để

Câu 4: Cho tam giác có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn . Tiếp tuyến tại điểm của đường tròn cắt đường thẳng tại điểm . Gọi I là chân đường vuông góc kẻ tù điểm đến đường thẳng .

1) Chứng minh tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi và lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm đến các đường thẳng và . Chứng minh .

3) Vẽ đuờng cao của tam giác . Gọi là trung điểm của đọ̣n thẳng . Đuờng thẳng cắt

đường thẳng tại điểm . Chúng minh và đuờng thẳng song song với đường thẳng SO. Chứng minh . Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng .

Câu 5: Cho hai số thực dương a và b thoả mãn . Chứng minh:

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

1) Thay giá trị của x (thỏa mãn) vào biểu thức để tìm giá trị.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Giải phương trình tìm x. Chú ý đối chiếu điều kiện.

Cách giải:

1) Với thoả mãn , thay vào biểu thức ta có:

Vậy với thì .

2) Với ta có:

Vậy với thì (đpcm).

3) Ta có:

Vậy với thì .

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

PT: Thực tế hoàn thành trước 3 ngày so với kế hoạch.

2) Công thức thể tích hình trụ .

Cách giải:

1) Gọi số sản phẩm phân xưởng phải làm trong một ngày theo kế hoạch là (sản phẩm).

Thời gian để phân xưởng đó làm xong 900 sản phẩm theo kế hoạch là: (ngày)

Thực tế, mỗi ngày phân xưởng làm được: (sản phẩm)

Thời gian thực tế để phân xưởng đó làm xong 900 sản phẩm là: (ngày)

Vì thực tế, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm trước thời hạn 3 ngày nên ta có phương trình:

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm xong 60 sản phẩm.

2) Hình trụ có bán kính đáy , chiều cao .

Vậy thể tích của khối gỗ hình trụ là:

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

1) Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

2) Xét phương trình giao điểm của (P) và (d)

a) Chứng minh với

b) Hệ thức Vi-ét

Cách giải:

1) ()

Đặt , hệ phương trình trở thành:

Trở lại phép đặt ta có: .

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol và đường thẳng .

a) Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình:

với mọi .

=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy luôn cắt tại hai điềm phân biệt .

b) Gọi và là hoành độ các giao điểm của và . Khi đó là nghiệm của phương trình .

Áp dụng định lí Vi - ét ta có: .

Điều kiện

Ta có

Thay (2) vào (3) ta có:

Vậy với

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

1) Chứng minh tứ giác SAOI có tổng hai góc đối bằng

2) Chứng minh

Sử dụng tính chất góc nội tiếp cùng chắn cung AO thì bằng nhau.

Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song suy ra hai góc so le trong bằng nhau.

3) Chứng minh suy ra cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Chứng minh tứ giác ADKC  nội tiếp vì có hai đỉnh A và D kề nhau cùng nhìn dưới một góc bằng nhau.

Suy ra

Khi đó SO và CK cùng vuông góc với AK, sử dụng định lí từ vuông góc đến song song, suy ra đpcm.

Cách giải:

1) Do là tiếp tuyến của (tính chất) hay .

Xét tứ giác SAOI có:

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện

Suy ra tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm)

2) Do  vuông tại

Tương tự  vuông tại A nên

(do cùng phụ với )

Do tứ giác nội tiếp (chứng minh trên) nên (góc nội tiếp cùng chắn cung )

Do (từ vuông góc đến song song).

(cặp góc so le trong)

3) Xét và có: chung và

(cặp cạnh tỉ lệ)

Mà (do là trung điểm của )

(do là trung điểm ) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Nên từ

(đpcm).

Ta có

Và .

Mà (chứng minh câu 2)

Do (theo câu 2).

Kết hợp với chung ta suy ra (c.g.c)

(2) (hai góc tương ứng).

Lại có (đối đinh) (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra

Mà là 2 đỉnh kề nhau, cùng nhìn dưới 2 góc bằng nhau

Suy ra tứ giác nội tiếp (dhnb).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà hay .

Lại có (từ vuông góc đến song song) (đpcm)

Câu 5 (VDC):

Phương pháp:

Sử dụng BĐT cộng mẫu số.

Cách giải:

Ta có:

Ta lại có:  

(BĐT cộng mẫu)

Theo giả thiết có:

.

Từ đó ta có được: .

Dấu "=" xảy ra khi .

Đề bài

Bài I (2 điểm):

Cho hai biểu thức và với .

1) Tính giá trị của biểu thức khi .                    

2) Chứng minh . 

Bài II (2,5 điểm):

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).

2) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6m và bán kính đáy 0,5m. Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy ).

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2) Trong mặt phẳng tọa độ , cho Parabol và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho .

Bài IV (3,5 điểm)

Cho tam giác vuông tại . Vẽ đường tròn tâm , bán kính . Từ điểm kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm, và nằm khác phía nhau đối với đường thẳng ).

1) Chứng minh bốn điểm và cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm thuộc đoạn thẳng ( khác , khác ). Lấy điểm thuộc tia đối của sao cho . Chứng minh tam giác là tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng

Bài V (0,5 điểm)

Với các số thực và thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Lời giải chi tiết

Phương pháp:

1) Thay giá trị vào biểu thức rồi tính giá trị của biểu thức.

2) Quy đồng, biến đổi và rút gọn biểu thức

Từ đó chứng minh được giá trị của

Cách giải:

1) Điều kiện:

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức ta có: 

.

Vậy khi thì .

2) Điều kiện:

Vậy (với ).

Phương pháp:

1) Gọi số bộ đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là (bộ),

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết và ẩn vừa gọi.

Dựa vào giả thiết bài cho để lập phương trình.

Giải phương trình tìm ẩn và đối chiếu với điều kiện xác định.

Kết luận.

2) Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao và bán kính :

Cách giải:

1) Gọi số bộ đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là (bộ),

Thời gian theo kế hoạch tổ sản xuất làm xong bộ đồ là: (ngày).

Thực tế mỗi ngày, tổ đó làm được số bộ đồ bảo hộ y tế là: (bộ).

Thời gian thực tế tổ sản xuất làm xong bộ đồ là: (ngày).

Theo đề bài, tổ sản xuất đã làm xong bộ đồ trước ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:

Phương trình có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: và

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bộ đồ bảo hộ y tế.

2) Thùng nước hình trụ có chiều cao và bán kính đáy .

Diện tích bề mặt được sơn của thùng nước là:

Vậy diện tích bề mặt được sơn của thùng nước là .

Phương pháp:

1) Đặt , hệ phương trình trở thành , sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm ra và sau đó tìm ra nghiệm của phương trình ban đầu.

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, sử dụng ứng dụng của định lí Vi – ét và điều kiện giả thiết của đề bài để tìm được các giá trị của .

Cách giải:

1) ĐKXĐ: .

Đặt , hệ phương trình trở thành .

Ta có .

Với .

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :

cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt .

.

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có:

Theo giả thiết:

Vậy .

Phương pháp:

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn suy ra bốn điểm và cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh (2 cạnh tương ứng bằng nhau). cân tại . (đpcm).

Chứng minh là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của là trung điểm của

Cách giải:

1) Ta có: tam giác vuông tại nên

là tiếp tuyến của đường tròn nên (định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn)

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ).

Hay bốn điểm và cùng thuộc một đường trònbốn điểm và cùng thuộc một đường tròn. (đpcm).

2) Xét tam giác và tam giác có:

( cùng thuộc đường tròn )

(2 cạnh tương ứng bằng nhau).

cân tại . (đpcm).

Gọi là giao điểm của và .

Vì nên:

(2 góc tương ứng bằng nhau)

và là hai tam giác cân đỉnh có

(các góc ở đáy của các tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau)

Hay

là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

Mà cân tại (cmt)

là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của

là trung điểm của

Vậy đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng (đpcm).

Phương pháp:

Kết hợp với giả thiết biến đổi biểu thức trở thành 

Sau đó áp dụng Áp dụng BĐT Bunhiacopxki để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu

Cách giải:

Ta có .

Khi đó ta có: .

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: .

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng , đạt được khi .

Đề bài

Bài I (2 điểm):  Cho hai biểu thức và với .

1) Tính giá trị của biểu thức khi .

2) Chứng minh .

3) Tìm tất cả các giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài II (2 điểm):

1) Giải bài toán san bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài 3 km. Buổi sáng, An đi bộ từ nhà An đến nhà Bình. Buổi chiều cùng ngày, An đi xe đạp từ nhà Bình về nhà An trên cùng quãng đường đó với vận tốc lớn hơn vận tốc đi bộ của An là 9km/h. Tính vận tốc đi bộ của An, biết thời gian đi buổi chiều ít hơn thời gian đi buổi sáng là 45 phút. (Giả định rằng An đi bộ với vận tốc không đổi trên toàn bộ quãng đường đó).

2) Một quả bóng bàn có dạng một hình cầu có bán kính bằng 2 cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng bàn đó (lấy ).

Bài III (2,5 điểm):  

1) Giải hệ phương trình

2) Trong mặt phẳng tọa độ , xét đường thẳng với

a) Gọi là giao điểm của đường thẳng và trục Tìm tọa độ của điểm

b) Tìm tất cả giá trị của để đường thẳng cắt trục tại điểm sao cho tam giác là tam giác cân.

Bài IV (3 điểm):  Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh .

3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.

Bài V (0,5 điểm):

Giải phương trình  

Lời giải chi tiết

1) Tính giá trị của biểu thức  khi .

Thay vào biểu thức ta có: .

Vậy khi thì .

2) Chứng minh .

Với ta có:

Vậy với thì .

3) Tìm tất cả các giá trị của  để biểu thức  đạt giá trị nhỏ nhất.

Với ta có:

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và ta có:

Dấu “=” xảy ra .

.

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi .

Bài II (2,0 điểm)

Gọi vận tốc đi bộ của An là

Thời gian An đi bộ hết quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là:

Vận tốc đi xe đạp của An hơn vận tốc đi bộ là nên vận tốc đi xe đạp là:

Thời gian An đi xe đạp hết quãng đường từ nhà Bình về nhà An là:

Vì An đi xe đạp nhanh hơn đi bộ là 45 phút nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc đi bộ của An là  

Diện tích bề mặt của quả bóng bàn đó là: .

Vậy diện tích bề mặt của quả bóng bàn là .

Bài III (2, 5 điểm)

Điều kiện:

Đặt ta có hệ phương trình:

Với ta có: .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

a) Gọi  là giao điểm của đường thẳng  và trục  Tìm tọa độ của điểm 

Vì là giao điểm của  của đường thẳng và trục nên hoành độ điểm là .

Gọi

Vì nên ta có: .

Vậy là giao điểm của đường thẳng và trục .

b) Tìm tất cả giá trị của  để đường thẳng  cắt trục  tại điểm  sao cho tam giác  là tam giác cân.

Vì là giao điểm của cắt trục nên tung độ điểm là .

Gọi . Vì nên ta có:  (vì )

Suy ra . Do đó .

Theo câu a) ta có: nên .

Vì tam giác cân tại nên .

Vậy là các giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu IV (3,0 điểm)

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

(do )

(do )

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ) (đpcm)

2) Chứng minh .

Theo câu a) tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung )

Ta có:

(do tam giác vuông tại ).

(do tam giác vuông tại ).

Nên (cùng phụ với ).

Mà (cmt) nên .

Xét và có:

chung

(cmt)

(hai cạnh tương ứng)

(đpcm).

3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.

Cách 1:

Nối và

Xét và ta có:

(hai góc tương ứng) (1)

Xét tứ giác ta có:

Mà là hai đỉnh kề nhau

là tứ giác nội tiếp (dhnb).

(tính chất tứ giác nội tiếp).

Mà (2 góc kề bù)

Từ (1) và (2) ta có:

Ta có: vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

(tính chất đường trung tuyến ừng với cạnh huyền).

cân tại (dhnb cân)

(tính chất cân)

Mà

thẳng hàng.

Cách 2:

Gọi là giao điểm của HK và EF.

Xét tứ giác có: nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh các góc bằng nhau).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Ta có: (cùng vuông góc )

(so le trong)

Do đó (1).

Theo câu a, tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) (2).

Từ (1) và (2) suy ra

Tam giác có nên là tam giác cân (định nghĩa).

(tính chất tam giác cân)  (3)

Lại có:

(do tam giác vuông tại ).

Nên hay tam giác  cân tại (định nghĩa).

(tính chất tam giác cân)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra hay là trung điểm của .

Do đó nên ba điểm thẳng hàng (đpcm).

Bài V (0, 5 điểm)

Điều kiện:

Ta có:

Vì và với mọi   nên

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Đề bài

Bài I (2 điểm)

Cho hai biểu thức:   và

1) Tính giá trị của biểu thức khi

2) Rút gọn biểu thức  

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài II (2,5 điểm)  

1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ có chiều cao và diện tích đáy là Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề đáy của bồn nước).

Bài III (2 điểm) 

1) Giải phương trình

2) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol

a) Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn

Bài IV (3 điểm) 

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Hai đường cao và của tam giác cắt nhau tại .

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng .

3) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và đường thẳng song song với đường thẳng .

Bài V (0,5 điểm) 

Cho biểu thức với là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Phương pháp:

1) Khi thay vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

2) Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

3) Tính biểu thức: Biểu thức tử số chia hết cho mẫu số.

Từ đó tìm các giá trị của và tính được các giá trị của và kết luận giá trị để và đạt giá trị lớn nhất.

Cách giải:

1) Tính giá trị của biểu thức  khi 

Khi thay vào biểu thức ta được:

Vậy với thì

2) Rút gọn biểu thức 

Điều kiện:

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của  để biểu thức  đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Điều kiện:

Ta có:

hay

Mà

Ta có bảng giá trị:

  với thì

Qua bảng giá trị ta thấy với thì là số nguyên lớn nhất.

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

Phương pháp:

1) Gọi số ngày làm một mình xong công việc của của đội 1 là (ngày)

Số ngày làm một mình xong công việc của đội 2 là (ngày) 

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn đã gọi và lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình tìm các ẩn và đối chiều với điều kiện rồi kết luận.

2) Công thức tính thể tích khối trụ có diện tích đáy và chiều cao là:

Cách giải:

1) Gọi số ngày làm một mình xong công việc của của đội 1 là (ngày)

Số ngày làm một mình xong công việc của đội 2 là (ngày) 

Trong một ngày đội 1 làm được số phần công việc là: (công việc)

Trong một ngày đội 2 làm được số phần công việc là (công việc)

Vì hai đội làm chung trong ngày thì xong nên ta có phương trình:  (1)

Trong ngày đội 1 làm được công việc, trong ngày đội 2 làm được công việc.

Đội 1 làm trong 3 ngày và đội 2 làm trong 5 ngày được công việc nên ta có phương trình:

(2)

Từ và ta có hệ phương trình:

Đặt ta được:   

Vậy đội 1 làm một mình trong ngày thì xong công việc, đội 2 làm một mình trong ngày thì xong công việc.

2) Thể tích bồn nước là:

Vậy bồn nước đựng được nước.

Phương pháp:

1) Giải phương trình đã cho bằng cách đặt ẩn phụ

+) Giải phương trình tìm ẩn đối chiếu với điều kiện rồi tìm

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

a) Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt

b) Sử dụng định lý Vi-et.

Cách giải:

1) Giải phương trình

Đặt ta có phương trình

Với thì

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

2) Parabol và đường thẳng

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol ta có

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (*)

Phương trình có

a) Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi hay đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

b) Theo câu a) ta có đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Gọi là hoành độ giao điểm của và thì là hai nghiệm của phương trình

Theo hệ thức Vi-et ta có

Xét      ĐK:

Vậy là giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài.

Phương pháp:

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng các dấu hiệu nhận biết.

2) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.

3) Chứng minh các cặp tam giác tương ứng đồng dạng để suy ra các góc bằng nhau và chứng minh

Cách giải:

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

Ta có Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng .

Cách 1:

b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn tại A, ta có .

Ta có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).

Mà (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

. Mà hai góc này ở vị trí so le trong .

.

Cách 2:

Gọi .

Gọi lần lượt là trung điểm của .

(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tứ giác có Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

Gọi .

Ta có: là trực tâm tam giác .

Mà (MN là đường trung bình của tam giác ) tại .

Xét tam giác và tam giác có:

Ta có : (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) ;

Lại có (đồng vị)

  (2)

Từ (1) và (2) .

vuông tại hay .

3) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và đường thẳng song song với đường thẳng .

Ta đã chứng minh được hay .

Lại có (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) ;

Kéo dài cắt tại là đường kính của .

Nối ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Mà .

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được .

Suy ra là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

Mà là trung điểm của cũng là trung điểm của thẳng hàng.

Xét tam giác và tam giác có:

(do ).

Từ (1) và (2) (Định lí Ta-let đảo) (đpcm).

Bài  V (VDC) (0,5 điểm)

Cách giải:

Ta có

Ta thấy

Lại có

.

Xét với

Khi đó

Vì .

Suy ra .

Dấu “=” xảy ra khi và

Ta lại có

Mà   nên   nên .

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của là ; giá trị nhỏ nhất của là

Đề bài

Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức và với

1) Tính giá trị của biểu thức A khi

2) Chứng minh

3) Tìm tất cả các giá trị của x để

Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): và Parabol

a)      Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b)      Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Bài IV. (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O;R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O;R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1)      Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

2)      Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo .

3)      Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.

4)      Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài V (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

Lời giải chi tiết

1) Tính giá trị của biểu thức A khi .

Do thỏa mãn điều kiện nên thay vào biểu thức A ta có:

Vậy khi thì .

2) Chứng minh .

Với ta có:

Vậy

3) Tìm tất cả các giá trị của x để

Với

Vậy x = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách giải:

Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là

Gọi chiều dài của mảnh đất là

Khi đó chiều rộng của mảnh đất là:

Độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật là nên ta có phương trình:

Với thì chiều rộng của mảnh đất là:

Vậy chiều dài của mảnh đất là   chiều rộng của mảnh đất là

Cách giải:

1) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ có nghiệm .

2)

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

Theo hệ thức Vi-et, ta có:  

+) Cách 1:

Do   mà nên ta có bảng sau:

TH1:

TH2:

TH3:

TH4:

Vậy m = -4 ; m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Cách 2: nên do thì .

Do

Xét TH

Ta có:

Do nên

Ta có bảng:

+) Với ta có (1) trở thành:

Có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy m = 0 thỏa mãn

+) Với   ta có (1) trở thành:

Có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy m = - 4 thỏa mãn

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách giải:

1) Xét có là hai tiếp tuyến nên

Ta có: H là trung điểm của AB nên (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Ta có:

Suy ra: ba điểm cùng nhìn SO dưới một góc

Do đó thuộc đường tròn đường kính  

Vậy năm điểm cùng thuộc đường tròn đường kính SO(đpcm)

2) Với .

Xét tam giác vuông tại , theo định lý Pitago ta có

.

Xét tam giác vuông tại ta có   (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Xét có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại nên là phân  giác   (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra

Vậy khi thì và

3)  * Vì 5 điểm cùng thuộc một đường tròn (câu 1) nên   (3) (hai góc nội tiếp cùng chắn  cung HC)

Lại có   (hai góc ở vị trí đồng vị) (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Xét tứ giác có nên tứ giác là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

*  Kéo dài cắt tại , kéo dài cắt tại .

Vì

 Xét đường tròn tâm có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) (5)

Mà tứ giác nội tiếp (cmt) nên ta có   (6)

Từ (5) và (6) suy ra   mà hai góc ở vị trí đồng vị nên

Mà là trung điểm nên là trung điểm (tính chất của đường trung bình)

suy ra . (**)

Từ (*) và (**) suy ra hay là trung điểm .

Suy ra đi qua trung điểm của . (đpcm)

4) Gọi AT là đường kính của (O), M là trung điểm BT

Ta có góc (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD ⊥ DT

Mà EF ⊥ AD (gt) nên EF // DT

Ta có EM // DT (đường trung bình)

⇒ E, F, M thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit về đường thẳng song song)

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒

⇒ Tứ giác AFMB nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Gọi L là trung điểm AM ⇒ L là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABM

⇒ Đường tròn tâm L, bán kính LA ngoại tiếp tứ giác AFMB

Ta chứng minh L là điểm cố định:

Ta có OL // TM (đường trung bình), OH // TB (đường trung bình)

⇒ O, L, H thẳng hàng (Tiên đề Ơclit về đường thẳng song song)

Mặt khác ta có

⇒ L là trung điểm OH. Mà AB cố định cố định cố định ⇒ L cố định

Vậy khi S thay đổi trên tia đối của AB thì F luôn nằm trên đường tròn tâm L, bán kính LA, với L là trung điểm OH.

Cách giải:

Điều kiện:  

Với ta có:

Với

Dấu “=” xảy ra Vậy  

Đề bài

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức và , với

1)      Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

2)      Chứng minh .

3)      Tìm tất cả các giá trị của x để .

Bài II(2,0 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xe ô tô và xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120 km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Bài III(2 điểm)

1) Giải hệ phương trình: .

2) Trong mặt phẳng toạ độ , cho đường thẳng (d): .

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá trị của m.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là (với ) sao cho .

Bài IV(3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN Cắt các cạnh AB và BC lần lươt tại các điểm H và K.

1)      Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

2)      Chứng minh

3)      Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

4)      Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngọai tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Bài V(0,5 điểm)

Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức . 

Lời giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

1)      Khi x = 9 ta có:

2)      Với

Ta có điều phải chứng minh.

3)      với

TH1: Nếu ta được  (1) trở thành:

TH2: Nếu ta được (1) trở thành:

Vậy x = 9, x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải.

Cách 1:

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) (ĐK: x>10 )

Do vận tốc của ô tô lớn hớn vận tốc cả xe máy là 10 km/h nên vận tốc của xe máy là x-10 (km/h)

Thời gian ô tô đi từ A đến B là (h)

Thời gian xe máy đi từ A đến B là (h)

Vì ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút = giờ nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là 40 km/h.

Cách 2:

Gọi vận tốc của ô tô là x, vận tốc của xe máy là y (km/h) (ĐK: x>10; y>0 )

Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc cả xe máy là 10 km/h nên ta có phương trình

Thời gian ô tô đi từ A đến B là (h)

Thời gian xe máy đi từ A đến B là (h)

Vì ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút = giờ nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là 40 km/h.

Hướng dẫn giải:

1) ĐKXĐ: .

Đặt . Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: .

2) Ta có: (d): .

a) Thay tọa độ điểm A(0; 5) vào (d) ta được: 5 = m. 0 + 5 ( luôn đúng)

Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá trị của m.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: (*)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Vì a.c < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

Để thì

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

1) Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ AB của (O) (giả thiết)

Suy ra cung AM = cung MB

⇒ góc ACM = góc BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)         

Mà góc ACM = góc ANM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

⇒ góc MNA = góc BCM hay góc KNI = góc KCI

Xét tứ giác IKNC:

Góc KNI = góc KCI (cmt)

Mà C và N là hai đỉnh kề nhau

⇒ IKNC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

⇒ 4 điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn

2) Vì ABNC là tứ giác nội tiếp nên góc NBC = góc NAC

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O) nên góc NAC = góc NAB

Vì AMBN là tứ giác nội tiếp nên góc NAB = góc NMB

Suy ra góc NBC = góc NMB hay góc NBK = góc NMB

Xét ∆ NBK và ∆ NMB có góc NBK = góc NMB; góc MNB chung nên

3)

Tứ giác IKNC nội tiếp suy ra góc IKC = góc INC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)

Xét (O): Góc ABC = góc ANC ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra góc ABC = góc IKC

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra IK//HB (dhnb hai đt song song)

BI cắt (O) tại G.

Vì I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên G là điểm chính giữa cung AC và BI là phân giác góc ABC

Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác AMHI nội tiếp

Suy ra góc AHI = góc AMI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Xét (O): Góc ABC = góc AMC ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra góc ABC = góc AHI

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra HI//BK (dhnb hai đt song song)

Xét tứ giác BHIK:

IK//HB ( cmt)

HI//BK (cmt)

Suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành (dhnb HBH)

Mà BI là phân giác của góc HBK (cmt)

Suy ra tứ giác BHIK là hình thoi. (dhnb hình thoi)

4)

Vì góc NBK = góc BMK nên ta có BN là tiếp tuyến tại B của đường tròn (P) ngoại tiếp ∆MBK ⇒ BN ⊥ BP

Mà BN ⊥ BD do góc DBN = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ B, P, D thẳng hàng

Tương tự ta có C, Q, D thẳng hàng

∆ PBK và ∆ DBC là 2 tam giác cân có chung góc ở đáy nên góc ở đỉnh của chúng bằng nhau

⇒ góc BPK = góc BDC

⇒ PK // DC ⇒ PK // DQ

Tương tự ta có DP // QK

Vậy DPKQ là hình bình hành ⇒ DK đi qua trung điểm PQ

⇒ D, E, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có

Dấu “=” xảy ra ⇔

+ Vì

Vì

Dấu “=” xảy ra ⇔

Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi ; GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi .