Đề thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh

Đề bài

Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) .

b) (với .

Câu 2: 

a) Cho hai đường thẳng là tham số) và . Tìm giá trị của để hai đường thẳng và song song với nhau.

b) Giải hệ phương trình .

Câu 3: Cho phương trình (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

Câu 4: Một phòng họp ban đầu có 96 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải cất bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế (số ghế trong các dãy vẫn bằng nhau) để vừa đủ chỗ ngồi cho 110 đại biểu. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (). Biết độ dài đoạn và Tính độ dài đoạn BH và diện tích tam giác ABC.

Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E (D khác B và E khác C). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD.

a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh và ba điểm B, I, P thẳng hàng.

Câu 7: Cho a, b, c là các số thực khác không. Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

a) Căn bậc hai của một số là một số sao cho

b) Quy đồng và rút gọn sử dụng hằng đẳng thức.

Cách giải:

a) .

Ta có:

Vậy

b) (với .

Với ta có:

Vậy

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Để hai đường thẳng song song thì hệ số góc bằng nhau.

b) Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp trừ vế.

Cách giải:

Cách giải:

a) Cho hai dường thẳng là tham số) và . Tìm giá trị của để hai đường thẳng và song song với nhau.

Để và song song với nhau thì .

Vậy với thì hai đường thẳng và song song với nhau.

b) Giải hệ phương trình .

Thay (1) vào (2) ta có

Thay vào (1) ta được .

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng định lí Vi – ét.

Nếu phương trình có 2 nghiệm thì

Cách giải:

Ta có

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Vậy thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Viet có

Để

Vậy m = -1 hoặc m = 4 thỏa mãn bài toán.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Cách giải:

Gọi x là số dãy ghế ban đầu. .

Sau khi cất đi 2 dãy ghế, số dãy ghế còn lại là: (dãy).

Số ghế ở mỗi hàng lúc ban đầu là (ghế).

Số ghế ở mỗi hàng sau khi bỏ bớt hai hàng là (ghế).

Vì khi cất bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế nên ta có phương trình:

Vậy số dãy ghế lúc đầu là 24 dãy ghế.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH ta được: .

Cách giải:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABH vuông tại H ta được:

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH ta được:

Diện tích tam giác ABC là:

Câu 6 (VD):

Cách giải:

a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

.

là tứ giác nội tiếp

 (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh và ba điểm B, I, P thẳng hàng.

+) Chứng minh CE² = BC.MC.

Xét tam giác ABC có: .

Mà là trực tâm của tam giác ABC.

tại F .

Xét tứ giác BFHD có:

là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE)

. Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau.

(dhnb).

Mà tại M .

Xét tam giác BCE vuông tại E, đường cao EM có: (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (đpcm).

+) Chứng minh ba điểm B, I, P thẳng hàng.

Xét và có:

(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

(1)

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vuông tại P.

Xét tam giác CBP vuông tại P, đường cao PF có:

(hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) .

Xét và có:

(2 góc tương ứng).

Ta có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung HP)

(3)

Mà (cmt) (4)

Từ (3) và (4) thẳng hàng (đpcm).

Câu 7 (VDC):

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Cách giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

Suy ra:

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi .

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

Rút gọn các biểu thức sau:

a)

b) với

Câu 2 (1,0 điểm):

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng và . Tìm giá trị của để hai đường thẳng và song song với nhau.

Câu 3 (2,0 điểm):

Cho phương trình (m là tham số).

a) Giải phương trình với .

b) Tìm giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn:

Câu 4 (1,0 điểm):

Giải sử giá tiền điện hàng tháng được tính theo bậc thang như sau:

Bậc 1: Từ 1 kWh đến kWh thì giá điện là: đ/1kWh.

Bậc 2: Từ kWh đến kWh  thì giá điện là đ/1kWh.

Bậc 3: Từ kWh trở lên thì giá điện là đ/1kWh.

(Ví dụ: Nếu dùng kWh thì có kWh tính theo giá bậc , có kWh tính theo giá bậc và có kWh tính theo giá bậc 3).

Tháng 4 năm 2021 tổng số tiền điện của nhà bạn A và nhà bạn B là đ. So với tháng 4 thì tháng 5 tiền điện nhà bạn A tăng , nhà bạn B tăng , do đó tổng số tiền điện của cả nhà hai bạn trong tháng 5 là đ. Hỏi tháng 4 nhà bạn A phải trả bao nhiêu tiền điện và dùng hết bao nhiêu kWh? ( biết rằng số tiền điện ở trên không tính thuế giá trị gia tăng).

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho tam giác vuông tại , có độ dài cạnh , cạnh . Gọi là đường cao của tam giác, tính diện tích tam giác .

Câu 6 (2,0 điểm):

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm , là điểm chính giữa cung nhỏ .

a) Chứng minh .

b) Gọi là điểm trên cạnh sao cho ( khác ); là giao điểm của với đường tròn tâm ( khác ). Gọi là giao điểm của với ; là giao điểm của với . Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Câu 7 (1,0 điểm):

Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 

Lời giải

Câu 1:

Phương pháp:

a) Biến đổi biểu thức trong căn, khai phương rồi rút gọn biểu thức

b) Tìm mẫu thức chung, quy đồng các phân thức đại số, áp đụng quy tắc cộng, nhân, chia các phân thức đại số để rút gọn biểu thức

Cách giải:

a) Ta có:

Vậy .

b) Với ta có

Vậy với .

Câu 2:

Phương pháp:

Hai đường thẳng song song với nhau khi ,

Cách giải:

Hai đường thẳng và song song với nhau khi và chỉ khi .

Vậy với thì và song song với nhau.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Thay vào phương trình, áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn để giải phương trình

b) Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt; biến đổi biểu thức để xuất hiện ; áp dụng hệ thức Vi – ét để tính sau đó thay vào biểu thức để tính

Cách giải:

a) Với , phương trình đã cho trở thành .

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy khi tập nghiệm của phương trình là .

b) Ta có: .

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì .

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy có 1 giá trị của thỏa mãn là .

Câu 4:

Phương pháp:

Gọi số tiền điện nhà bạn A phải trả trong tháng 4 là , số tiền điện nhà bạn B phải trả trong tháng 4 là (chú ý điều kiện), dựa vào giả thiết tổng tiền điện tháng 4 của hai nhà A, B lập được một phương trình, dựa vào giả thiết tổng số tiền điện tháng 5 của hai nhà A, B, từ hai phương trình lậ được hệ phương trình, giải hệ tìm ra nghiệm và so sánh với điều kiện, kết luận.

Cách giải:

Gọi số tiền điện nhà bạn A phải trả trong tháng 4 là ( đồng)

Số tiền điện nhà bạn B phải trả trong tháng 4 là ( đồng)

Theo bài ta cố tổng số tiền điện trong tháng 4 nhà bạn A và nhà bạn B phải trả là nên ta có phương trình

Số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn A phải trả là (đồng)

Số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn B phải trả là: (đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn A và nhà bạn B phải trả là nên ta có phương trình:

Từ ta có hệ phương trình:

Vậy số tiền điện nhà bạn A phải trả trong tháng 4 là đồng.

Nhận thấy:

Vậy số điện nhà bạn A dùng trong tháng 4 là (kWh).

Câu 5:

Phương pháp:

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông : để tính độ dài đoạn

+ Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông : để tính độ dài đoạn

Từ đó tính được diện tích :

Cách giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

Vì tam giác vuông tại nên .

Câu 6:

Phương pháp:

a) Vận dụng mối quan hệ góc nội tiếp trong đường tròn

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc bằng là tứ giác nội tiếp, từ đó chứng minh

Cách giải:

a) Vì là điểm chính giữa của cung nhỏ nên .

(trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

b) Vì , mà .

cân tại (2 góc ở đáy).

Ta có: (2 góc đối diện của tứ giác nội tiếp )

            (kề bù)

.

Lại có (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

là phân giác của .

Mà tam giác cân tại nên đồng thời là đường cao .

.

.

Mà (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

vuông tại .

.

Xét tứ giác có: .

Vậy là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

Câu 7:

Phương pháp:

+ Tìm giá trị lớn nhất: Áp dụng BĐT Buniacopxki cho ba số , ,

+ Tìm giá trị nhỏ nhất: lập luận từ giả thiết để chứng minh , sau đó cộng vế với vế, nhóm các hạng tử chung lại với nhau để có điều phải chứng minh

Cách giải:

* Tìm giá trị lớn nhất

Ta có:

(BĐT Buniacopxki)

.

Dấu “=” xảy ra .

Vậy .

* Tìm giá trị nhỏ nhất

Ta có: là các số thực không âm và nên .

.

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: .

Khi đó ta có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy khi .

Đề bài

Câu 1 (2 điểm): 

Rút gọn các biểu thức sau:

a)

b) với

Câu 2 (2,5 điểm): 

a) Giải phương trình

b) Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng Tìm các số và .

Câu 3 (1,5 điểm):  

Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

Câu 4 (1 điểm): 

Cho tam giác vuông tại , có đường cao (thuộc ). Biết độ dài đoạn bằng , đoạn bằng . Tính độ dài các cạnh và .

Câu 5 (2 điểm): 

Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.

a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.

b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.

Câu 6 (1 điểm): 

Cho là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   

Lời giải

Câu 1 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Phương pháp:

a) Đặt nhân tử chung, rút gọn biểu thức đã cho.

b) Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn biểu thức đã cho.

Cách giải:

Rút gọn các biểu thức sau:

a)

Ta có:

b) với

Ta có:

Vậy với .

Câu 2 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số

Phương pháp:

a) Đặt ta có phương trình:

Giải phương trình tìm ẩn Đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm rồi tìm

b) Hai đường thẳng và song song với nhau

Thay tọa độ điểm vào công thức hàm số .

Từ đó giải hệ phương trình tìm

Cách giải:

a) Giải phương trình

Đặt ta có phương trình:

Với

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

b) Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng Tìm các số và .

Vì hai đường thẳng và song song với nhau nên

Suy ra đường thẳng

Vì đường thẳng đi qua điểm nên thay vào hàm số ta được:

(thỏa mãn)

Vậy

Câu 3 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp:

Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là (sản phẩm)

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn vừa gọi rồi giải hệ phương trình.

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là (sản phẩm)

Vì trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm nên ta có phương trình (sản phẩm)

Trong quý II:

Tổ A tăng thêm 10% so với quý I nên tổ A sản xuất được sản phẩm

Tổ B tăng thêm 14% so với quý I nên tổ B sản xuất được sản phẩm

Và cả 2 tổ sản xuất được 681 sản phẩm nên ta có phương trình (sản phẩm)

Ta có hệ phương trình:

Vậy trong quý I, tổ A sản xuất được 360 sản phẩm, tổ B sản xuất được 250 sản phẩm.

Câu 4 - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.

Cách giải:

Cho tam giác vuông tại , có đường cao (thuộc ). Biết độ dài đoạn bằng , đoạn bằng . Tính độ dài các cạnh và .

Xét tam giác vuông tại có đường cao theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

cm

Xét tam giác vuông tại , theo định lý Pytago ta có:

Vậy

Câu 5 - Ôn tập chương 3: Góc với đường tròn

Cách giải:

Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.

a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.

Ta có: bốn điểm cùng thuộc nên tứ giác nội tiếp.

(góc nội tiếp cùng chắn cung )

Xét và có:

chung

(cmt)

(đpcm)

b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.

Từ câu a,  (cạnh tương ứng)

Ta có:

Xét và có:

(cạnh tương ứng)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà cố định nên không đổi

không đổi

không đổi.

Vậy độ dài không phụ thuộc vào vị trí điểm . (đpcm)

Câu 6  - Bất đẳng thức

Cách giải:

Ta có:

Áp dụng các BĐT cơ bản và ta có:

khi .

Đề bài

Câu 1 (2 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:

\(a)\,A = \sqrt {50}  - \sqrt {18} \,\)

\(b)\,B = \left( {\dfrac{2}{{{a^2} + a}} - \dfrac{2}{{a + 1}}} \right):\dfrac{{1 - a}}{{{a^2} + 2a + 1}}\) với \(a \ne 0\) và \(a \ne  \pm 1\)

Câu 2 (2,5 điểm):

a) Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;5} \right)\) và \(N\left( {2;8} \right)\)

b) Cho phương trình \({x^2} - 6x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {x_2^2 - 5{x_2} + m - 4} \right) = 2\)

Câu 3 (1,5 điểm):

Một đội xe vận tải được phân công chở 112 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Câu 4 (3 điểm):

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến \(MA;\,MB\) với đường tròn (\(A,\,B\) là tiếp điểm). Đường thẳng \(\left( d \right)\)thay đổi đi qua M, không đi qua O, và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt \(C\) và \(D\) (C nằm giữa \(M\) và \(D\))

a) Chứng minh \(AMBO\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(MC.MD = M{A^2}.\)

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OCD\) luôn đi qua điểm cố định khác \(O.\)

Câu 5  (1 điểm): Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{6ab}}{{a + b}} - {a^2} - {b^2}.\)

Lời giải

Câu 1

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

b)  Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi rồi rút gọn biểu thức.

Cách giải:

Rút gọn các biểu thức:

\(a)\,\,A = \sqrt {50}  - \sqrt {18}  = \sqrt {25.2}  - \sqrt {9.2}  = 5\sqrt 2  - 3\sqrt 2  = 2\sqrt 2 .\)

Vậy \(A = 2\sqrt 2 .\)

\(b)\,\,\,B = \left( {\dfrac{2}{{{a^2} + a}} - \dfrac{2}{{a + 1}}} \right):\dfrac{{1 - a}}{{{a^2} + 2a + 1}}\)  với \(a \ne 0\) và \(a \ne  \pm 1.\)

Điều kiện: \(a \ne 0,\,\,a \ne  \pm 1.\)

\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{2}{{{a^2} + a}} - \dfrac{2}{{a + 1}}} \right):\dfrac{{1 - a}}{{{a^2} + 2a + 1}} = \left[ {\dfrac{2}{{a\left( {a + 1} \right)}} - \dfrac{2}{{a + 1}}} \right]:\dfrac{{1 - a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2 - 2a}}{{a\left( {a + 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{1 - a}} = \dfrac{{2\left( {1 - a} \right)}}{a}.\dfrac{{a + 1}}{{1 - a}} = \dfrac{{2\left( {a + 1} \right)}}{a}.\end{array}\)

Vậy với \(a \ne 0,\,\,a \ne  \pm 1\) thì \(B = \dfrac{{2\left( {a + 1} \right)}}{a}.\)

Câu 2:

Phương pháp:

a) Thay tọa độ điểm M và N vào phương trình đường thẳng, rút ra hệ phương trình hai ẩn a, b. Giải hệ phương trình tìm a, b.

b) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left( {\Delta  > 0} \right)\).

    Áp dụng định lí Vi-ét.

Cách giải:

a) \(M\left( {1;5} \right) \in d:\,\,\,y = ax + b \Rightarrow 5 = a + b\).

    \(N\left( {2;\,\,8} \right) \in d:\,\,y = ax + b \Rightarrow 8 = 2a + b\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\2a + b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 5 - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(a = 3,\,\,\,b = 2.\)

b) \({x^2} - 6x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0\).

\( \Leftrightarrow 9 - m + 3 > 0 \Leftrightarrow 12 - m > 0 \Leftrightarrow m < 12.\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có: \(\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {x_2^2 - 5{x_2} + m - 4} \right) = 2\,\,\left( * \right)\).

Do \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (1) nên

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x_2^2 - 6{x_2} + m - 3 = 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow x_2^2 - 5{x_2} + m - 4 - {x_2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 - 5{x_2} + m - 4 = {x_2} - 1\end{array}\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 = 2\).

\( \Leftrightarrow m - 3 - 6 + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 10\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = 10\).

Câu 3

Phương pháp:

Gọi số xe ban đầu của đội xe là \(x\) (xe) \(\left( {x > 2,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)

Dựa vào các giả thiết bài toán biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết rồi lập phương trình.

Giải phương trình tìm ẩn \(x\) rồi đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận.

Cách giải:

Gọi số xe ban đầu của đội xe là \(x\) (xe) \(\left( {x > 2,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)

Theo dự định, mỗi xe phải chở số tấn hàng là: \(\dfrac{{112}}{x}\) (tấn)

Số xe thực tế làm nhiệm vụ là: \(x - 2\) (xe).

\( \Rightarrow \) Thực tế, mỗi xe chở số tấn hàng là: \(\dfrac{{112}}{{x - 2}}\) (tấn).

Thực tế, mỗi xe phải chở nhiều hơn theo dự định \(1\) tấn hàng nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{112}}{{x - 2}} - \,\dfrac{{112}}{x} = 1\\ \Leftrightarrow 112x - 112\left( {x - 2} \right) = x\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 112x - 112x + 224 = {x^2} - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 224 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 14x - 224 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 16} \right) + 14\left( {x - 16} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 16} \right)\left( {x + 14} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 16 = 0\\x + 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 14\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy số xe ban đầu của đội xe là 16 xe.

Câu 4:

Phương pháp:

a) Sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tam giác \(MCA\) và tam giác \(MAD\) đồng dạng.

c) Chứng minh tứ giác \(OHCD\) là tứ giác nội tiếp.

Cách giải:

a) Chứng minh \(AMBO\) là tứ giác nội tiếp

Do \(MA,\,\,MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A,\,\,B\) nên \(\angle OAM = \angle OBM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(AMBO\) có: \(\angle OAM + \angle OBM = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AMBO\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh \(MC.MD = M{A^2}\).

Xét tam giác \(MCA\) và tam giác \(MAD\) có:

\(\angle AMD\) chung;

\(\angle MAC = \angle MDA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\));

 (1).

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OCD\) luôn đi qua điểm cố định khác \(O\).

Gọi \(H = OM \cap AB\,\,\left( {H \ne O} \right)\).

Ta có \(OA = OB\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AB\).

         \(MA = MB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(AB\) \( \Rightarrow OM \bot AB\) tại \(H\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAM\) ta có: \(M{A^2} = MH.MO\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MC.MD = MH.MO \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\).

Xét tam giác \(MCH\) và tam giác \(MOD\) có :

\(\angle OMD\) chung;

\(\dfrac{{MC}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\,\,\left( {cmt} \right)\);

  (hai góc tương ứng).

Mà \(\angle MHC + \angle OHC = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle CDO + \angle  & OHC = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(OHCD\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\( \Rightarrow H\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OCD\).

Mà \(O,\,\,M\) cố định \( \Rightarrow A,\,\,B\) cố định \( \Rightarrow H = OM \cap AB\) cố định.

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OCD\) luôn đi qua điểm \(H = OM \cap AB\,\,\left( {H \ne O} \right)\) cố định (đpcm).

Câu 5:

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Cách giải:

Theo đề bài ta có: \(a + b + 3ab = 1 \Leftrightarrow 3ab = 1 - \left( {a + b} \right) \Leftrightarrow ab = \dfrac{{1 - \left( {a + b} \right)}}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{1 - \left( {a + b} \right)}}{3} \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 4 - 4\left( {a + b} \right) \le 3{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 6\left( {a + b} \right) - 2\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {a + b} \right)\left[ {\left( {a + b} \right) + 2} \right] - 2\left( {a + b + 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + 2} \right)\left[ {3\left( {a + b} \right) - 2} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {a + b} \right) - 2 \ge 0\,\,\,\,\left( {do\,\,\,a + b + 2 > 0\,\,\forall a,\,\,b > 0} \right)\\ \Leftrightarrow a + b \ge \dfrac{2}{3}.\\ \Rightarrow P = \dfrac{{6ab}}{{a + b}} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \dfrac{{2 - 2\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \le \dfrac{2}{{a + b}} - 2 - \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} \le \dfrac{2}{{\dfrac{2}{3}}} - 2 - \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{7}{9}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{3}.\)

Vậy \(Max\,\,P = \dfrac{7}{9}\)  khi \(a = b = \dfrac{1}{3}.\)