Đề thi vào 10 môn Toán Hải Dương

Đề bài

Câu 1: Cho biểu thức:

với

a) Rút gọn biểu thức A và B.

b) Tìm x sao cho A – 2B = 3.

Câu 2: 1. Giải hệ phương trình .

2. Một quyển vở giá 14000 đồng, một hộp bút giá 30000 đồng. Minh muốn mua 01 hộp bút và một số quyển vở.

a) Gọi là số quyển vở Minh mua, y là số tiền cần trả khi mua x quyền vở và 01 hộp bút. Hãy biểu diễn y theo x.

b) Nếu Minh có 300000 đồng để mua vở và 01 hộp bút thì Minh mua được tối đa bao nhiêu quyển vở?

Câu 3: 1. Cho phương trình ( là ẩn, là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi .

b, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

2. Một trường học có mảnh vườn hình chữ nhật chu vi là 100m. Nhà trường tiến hành mở rộng mảnh vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 5m và chiều rộng thêm 4m, khi đó diện tích tăng 240m². Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vường trước khi mở rộng.

Câu 4: Một chi tiết máy gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón với các kích thước như hình 1. Biết rằng phần hình trụ có chu vi đáy là 37,68cm. Tính thể tích của chi tiết máy đó (lấy ; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Câu 5: Cho đường tròn (O;R) và điểm A sao cho OA > 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm), kẻ dây cung BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O; R) tại điểm E (). Gọi I là trung điểm của DE.

a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC.

Chứng minh AK.AI = AH.AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA.

c) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.

Câu 6: Cho các số thực a, b thoả mãn: a > 0, b > 0 và .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD):

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức A và B.

+) Ta có:

Vậy A = 1.

+) Với ta có:

Vậy với thì .

b) Tìm x sao cho A – 2B = 3.

Ta có

Vậy x = 1.

Câu 2 (VD):

Cách giải:

1. Giải hệ phương trình .

Cách 1:

Đặt: . Khi đó hệ phương trình trở thành:

Suy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: .

Cách 2:

Thay vào (1) ta có:

Với thì .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: .

2. Một quyển vở giá 14000 đồng, một hộp bút giá 30000 đồng. Minh muốn mua 01 hộp bút và một số quyển vở.

a) Gọi là số quyển vở Minh mua, y là số tiền cần trả khi mua x quyền vở và 01 hộp bút. Hãy biểu diễn y theo x.

Giá tiền khi mua x quyển vở và một hộp bút là: (đồng).

Vì y là số tiền mua x quyển vở và một hộp bút nên .

b) Nếu Minh có 300000 đồng để mua vở và 01 hộp bút thì Minh mua được tối đa bao nhiêu quyển vở?

Gọi a là số quyển vở tối đa Minh mua.

Số tiền Minh phải trả khi mua 01 hộp bút và a quyển vở là: .

Vì Minh chỉ có 300 000 đồng nên số tiền phải trả nhỏ hơn hoặc bằng 300 000 đồng

Ta có: 

Vậy số vở tối đa Minh có thể mua là 19 quyển.

Câu 3 (VD):

Cách giải:

1. Cho phương trình ( là ẩn, là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi .

Thay vào (1) ta được:

Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt hoặc .

b, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện .

+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét:

+ Ta có: thay vào ta được:

Thay vào (*) ta được:

Vậy là giá trị cần tìm.

2. Một trường học có mảnh vườn hình chữ nhật chu vi là 100m. Nhà trường tiến hành mở rộng mảnh vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 5m và chiều rộng thêm 4m, khi đó diện tích tăng 240m². Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vường trước khi mở rộng.

Gọi chiều dài mảnh vườn trước khi mở rộng là (ĐK: 0 < x > 50).

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là (m).

Suy ra, chiều rộng mảnh vườn trước khi mở rộng là: (m).

Diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng là (m²).

Chiều dài mảnh vườn sau khi mở rộng là (m).

Chiều rộng mảnh vườn sau khi mở rộng là (m).

Suy ra, diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là (m²).

Do diện tích sau khi mở rộng tăng 240m² so với diện tích mảnh vườn ban đầu, nên ta có phương trình:

          (TMĐK)

Vậy chiều dài mảnh vườn trước khi mở rộng là 30 m;

Chiều rộng rộng mảnh vườn trước khi mở rộng là 50 – 30 = 20 m.

Câu 4 (NB):

Cách giải:

Gọi R là bán kính đường tròn đáy của hình trụ và hình nón.

Ta có đáy hình trụ là hình tròn có chu vi là 37,68 cm nên ta có:

Thể tích phần hình trụ là:

Thể tích phần hình nón là:

Thể tích của chi tiết máy đó là:

Vậy thể tích của chi tiết máy là .

Câu 5 (VD):

Cách giải:

a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Do AB, AC là tiếp tuyến nên (định nghĩa)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên OCAB nội tiếp hay O, C, A, B cùng thuộc một đường tròn     (1)

Do I là trung điểm của DE nên (tính chất đường kính vuông góc với dây cung)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên OIAC nội tiếp hay O, I, A, C cùng thuộc một đường tròn           (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

b) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC. Chứng minh AK.AI = AH.AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA.

Ta có AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) => A thuộc trung trực của BC

          OB = OC (bằng bán kính) => O thuộc trung trực của BC.

AO là trung trực của BC hay tại H

Xét tam giác ABO vuông tại B, đường cao BH nên:

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)           (3)

Ta có (hai góc nội tiếp chắn cung AB) .

Xét và có:

chung

(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

              (4)

Từ (3) và (4) suy ra (đpcm)

Do (so le trong)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)

.

Xét và có:

chung

(đpcm)

c) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.

Do (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét và có chung và (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE).

(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

là trung điểm của AC.

Gọi M là giao điểm của DC và AB, N là giao điểm của MF và BD.

Do (định lí Ta-lét).

(do )

Gọi K’ là giao điểm của NF và BC (Định lí Ta-lét)     (5)

Mà                   (6)

Từ (5) và (6) suy ra cùng nằm trên đoạn BC và

Chứng tỏ M, N, K, F thẳng hàng hay ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy tại M.

Câu 6 (VD):

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

Vì nên (1)

Đặt . Khi đó (1) trở thành:

Do nên ta có: hay .

Khi đó:

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

;

Suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của khi .

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình .

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức với .

b) Cho hàm số bậc nhất . Xác định hệ số , biết đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng tại điểm có tung độ bằng .

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi . Nếu tăng chiều dài lên và giảm chiều rộng đi thì diện tích mảnh đất tăng thêm . Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.

b) Cho phương trình (Với là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi . Tìm các giá trị của tham số sao cho: .

Câu 4 (3,0 điểm):

1. Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn và hai đường cao cắt nhau tại ().

a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh rằng

2) Cho tam giác có là góc nhọn và có diện tích không đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

a) Vận dụng công thức nhẩm nhanh của phương trình bậc hai một ẩn: nếu phương trình có thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Vận dụng phương pháp cộng đại số để xác định nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

a) Ta có: .

Vì nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b) Ta có

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Câu 2

Phương pháp:

a) Vận dụng hằng đẳng thức để xác định mẫu thức chung của biểu thức

Thực hiện các phép toán với các phân thức đại số để rút gọn biểu thức

b) Thay vào phương trình đường thẳng , từ đó tính được

Thay và giá trị vừa tìm được vào hàm số từ đó tìm được hệ số  

Cách giải:

a) Với ta có:

Vậy với thì .

b) Thay vào phương trình đường thẳng ta có .

Do đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm .

Thay vào hàm số ta có .

Vậy .

Câu 3

Phương pháp:

a) Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là   (ĐK:).

Tính được chiều rộng của hình chữ nhật theo

Theo giả thiết của đề bài, lập được phương trình, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận.

b) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

Theo hệ thức Vi – ét, tính được theo

Biến đổi hệ thức của đề bài để xuất hiện , thay vào và giải phương trình chứa

Cách giải:

a) Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là   (ĐK:).

Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là:

Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là:

Khi tăng chiều dài lên thì độ dài chiều dài là:

Khi giảm chiều rộng đi thì độ dài chiều rộng là:

Vì khi tăng chiều dài lên và giảm chiều rộng đi thì diện tích mảnh đất tăng thêm nên ta có:

Chiều rộng hình chữ nhật là: .

Vậy chiều dài và chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là và .

b) Ta có: (1)

Phương trình (1) có:

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có:

Theo giả thiết ta có:

Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

Câu 4

Phương pháp:

1) a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau nên nội tiếp một đường tròn từ đó ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh

Mà   (2)

         (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra được nên

2) Kẻ đường cao của tam giác

Áp dụng định lí Py – ta – go, tính được

Áp dụng các bất đẳng thức, tìm được giá trị nhỏ nhất của .

Cách giải:

a) Ta có: là đường cao của tam giác nên .

.

nội tiếp một đường tròn (tứ giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)

b) Gọi là giao điểm của và .

Ta có: (do tam giác cân tại ).

Mà   (2) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ).

         (3)  (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp ).

Từ (1), (2), (3) ta được:

Vậy (đpcm).

2)

Kẻ đường cao . Vì là các góc nhọn nên thuộc đoạn thẳng .

Áp dụng định lí Pytago ta có:

.

Ta có .

.

Do đó .

Do không đổi, cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất bằng .

Dấu “=” xảy ra khi cân tại .

Câu 5

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đặt ta có phương trình mới chứa ẩn và ẩn , biến đổi phương trình này về dạng tích, từ đó tìm được mối liên hệ của và

Thay vào biểu thức , biểu thức chứa ẩn , vận dụng hằng đẳng thức tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức .

Cách giải:

ĐKXĐ: .

Đặt ta có:

Khi đó biểu thức trở thành:

Vì nên .

Do đó . Dấu “=” xảy ra .

Vậy GTLN của bằng đạt được khi .

Đề thi

Câu 1: 

1) Giải các phương trình sau:

a)                                                   b)

2) Cho phương trình . Gọi và là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị biểu thức .

Câu 2: 

a) Rút gọn biểu thức (với ).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .

Câu 3: 

a) Một đoàn xe nhận chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành, đoàn có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc? Biết rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau.

b) Cho hệ phương trình với tham số

Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn  

Câu 4: 

Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn Gọi là chân các đường cao lần lượt thuộc các cạnh và là trực tâm của Vẽ đường kính

a) Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

b) Trong trường hợp không cân, gọi là trung điểm của Hãy chứng minh là phân giác của và bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

c) Khi và đường tròn cố định, điểm thay đổi trên đường tròn sao cho luôn nhọn, đặt Tìm vị trí của điểm để tổng lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo và

Câu 5: 

Cho ba số thực dương thỏa mãn .

Chứng minh rằng:

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2,0 điểm)

Cách giải:

1) Giải các phương trình sau:

a)

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b)

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

2) Cho phương trình . Gọi và là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị biểu thức .

Xét phương trình có nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Ta có:  

Vậy .

Câu 2 (2,0 điểm)

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức (với ).

Với ta có:

Vậy với thì .

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .

Gọi là đường thẳng cần tìm.

Vì song song với đường thẳng nên phương trình đường thẳng có dạng .

Vì nên thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có:

.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .

Câu 3 (2,0 điểm)

Cách giải:

a) Một đoàn xe nhận chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành, đoàn có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc? Biết rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau.

Gọi số lúc đầu của đoàn xe là (chiếc), .

Lúc đầu mỗi xe chở số tấn hàng là (tấn).

Khi khởi hành, có thêm 3 xe nên số xe lúc sau là: (xe).

Lúc đầu mỗi xe chở số tấn hàng là (tấn).

Vì lúc sau mỗi xe chở ít hơn 8 tấn hàng so với dự định nên ta có phương trình:

Vậy lúc đầu đoàn xe có 12 chiếc.

b) Cho hệ phương trình với tham số

Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn  

Ta có:  

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất có nghiệm duy nhất

Khi đó ta có:

Với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Theo bài ra ta có:

Vì

Kết hợp với điều kiện ta được thỏa mãn bài toán.

Vậy

Câu 4 (3,0 điểm)

Cách giải:

Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn Gọi là chân các đường cao lần lượt thuộc các cạnh và là trực tâm của Vẽ đường kính

a) Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay .

Mà   hay (Từ vuông góc đến song song).

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay .

Mà   hay (Từ vuông góc đến song song).

Từ và suy ra tứ giác là hình bình hành. (dhnb)

b) Trong trường hợp không cân, gọi là trung điểm của Hãy chứng minh là phân giác của và bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp (dhnb).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp (dhnb).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng kề nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) 

Từ suy ra:

Hay là phân giác của (đpcm).

Xét vuông tại có đường trung tuyến

cân tại (tính chất tam giác cân).

(góc ngoài của tam giác)

Lại có:

là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Hay cùng thuộc một đường tròn.

c) Khi và đường tròn cố định, điểm thay đổi trên đường tròn sao cho luôn nhọn, đặt Tìm vị trí của điểm để tổng lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo và

Gọi .

Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Xét tứ giác có: , do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

         (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

.

CMTT ta có , .

Ta có: (tứ giác có 2 đường chéo vuông góc).

           .

Kéo dài cắt tại .

Khi đó ta có: .

Áp dụng định í Pytago trong tam giác vuông ta có: .

.

.

.

Dấu “=” xảy ra , khi đó điểm là điểm chính giữa của cung lớn .

Vậy đạt giá trị lớn nhất điểm là điểm chính giữa của cung lớn .

Câu 5 (1,0 điểm)

Cách giải:

Cho ba số thực dương thỏa mãn .

Chứng minh rằng:

Ta có: .

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: .

.

.

CMTT ta có:

.

Khi đó ta có:

Ta có:

Vậy . Dấu “=” xảy ra . 

Đề bài

Câu 1 (2 điểm)

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu 2 (2 điểm) 

1) Cho hai đường thẳng và (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để và cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox.

2) Rút gọn biểu thức: với  

Câu 3 (2 điểm) 

1) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 360 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo?

2) Cho phương trình: (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm các giá trị của m sao cho và .

Câu 4 (3 điểm)  Từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa điểm vẽ cát tuyến với đường tròn (, MN không đi qua O). Gọi I là trung điểm của MN.

1) Chứng minh: Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh và tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp.

3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF.

Câu 5 (1 điểm)   Cho các số dương thỏa mãn điều kiện:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm):

Phương pháp:

1) Giải phương trình bằng phương pháp bình phương hai vế sau đó giải phương trình bậc hai.

2) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

1) Giải phương trình: .

ĐKXĐ:   (luôn đúng).

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

2) Giải hệ phương trình:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .

Câu 2 (2,0 điểm):

Phương pháp:

1) Tìm giao điểm của với trục hoành.

Thay tọa độ giao điểm đó vào công thức đường thẳng để tìm

2) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Cách giải:

1) Cho hai đường thẳng và (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để và cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox.

Phương trình hoành độ giao điểm của với là:  

Giao điểm của thuộc trục hoành là:

Vì nên ta có:

Vậy với thì cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox.

2) Rút gọn biểu thức: với

Với ta có:

Vậy .

Câu 3 (2,0 điểm):

Phương pháp:

1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Gọi số bộ quần áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là x (bộ)

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết và ẩn vừa gọi.

Dựa vào các giả thiết để lập phương trình. Giải phương trình tìm ẩn.

Đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét và biểu thức bài cho để tìm Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

1) Gọi số bộ quần áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là x (bộ)

Thời gian may xong 360 bộ quần áo theo kế hoạch là: (ngày).

Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch nên mỗi ngày thực tế may được (bộ).

Thời gian may xong 360 bộ quần áo theo thực tế là: (ngày).

Vì xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may 36 bộ quần áo.

2) Cho phương trình: (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm các giá trị của m sao cho và .

Ta có .

Ta có Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt   với mọi giá trị của m.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Do trái dấu. Mà .

Theo bài ra ta có: .

Mà

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4

Phương pháp:

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp nhờ các dấu hiệu nhận biết.

2) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng từ đó suy ra đẳng thức đề bài yêu cầu.

+) Từ các tam giác giác đồng dạng suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau, từ đó chứng minh tứ giác nội tiếp theo dấu hiệu nhận biết.

3) Sử dụng tính chất của tia phân giác.

Cách giải:

1) Chứng minh: Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Do là trung điểm của .

Xét tứ giác có Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

2) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh và tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp.

Xét tam giác và tam giác có:

chung;

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung );

.

Ta có: thuộc trung trực của .

(Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) thuộc trung trực của .

là trung trực của tại H.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB (đường cao OH) ta có: .

Từ (1) và (2) suy ra: .

.

Xét tam giác và tam giác có:

chung;

;

.

Tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF.

Gọi .

Tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON).

Mà cân tại .

.

Lại có (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

.

là phân giác trong của , mà là phân giác ngoài của .

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có : .

Do Áp dụng định lí Ta-lét ta có : .

Từ (3) và (4) .

Vậy là trung điểm của .

Câu 5 (1,0 điểm):

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để làm bài toán.

Cách giải:

Ta có: .

Mà .

.

Chứng minh tương tự ta có:

Cộng vế theo vế ta có:

Dấu “=” xảy ra .

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

Giải phương trình và hệ phương trình:

Câu 2 (2 điểm):

1) Tìm để phương trình cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng

2) Rút gọn biểu thức với

Câu 3 (2 điểm):

1) Quãng đường Hải Dương – Hạ Long dài 100km. Một ô tô đi từ Hải Dương đến Hạ Long rồi nghỉ ở đó 8 giờ 20 phút, sau đó trở về Hải Dương hết tất cả 12 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc đi, biết vận tốc ô tô lúc về nhanh hơn vận  tốc ô tô lúc đi 10 km/h.

2) Tìm để phương trình (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Câu 4 (3 điểm):

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC.

1) Chứng minh

2) Chứng minh tứ giác nội tiếp và

3) Đường thẳng đi qua A cắt tia HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F. Chứng minh BE // CF.

Câu 5 (1 điểm):

Cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

1) Quy đồng mẫu phân thức sau đó chuyển vế, đổi dấu để tìm nghiệm của phương trình.

2) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Cách giải:

Câu 2:

Phương pháp:

1) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng thì là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Từ đó ta tìm được

2) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Cách giải:

1) Tìm để phương trình cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là:

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng thì là nghiệm của phương trình (*). Khi đó:

Vậy hoặc

2) Rút gọn biểu thức với

Điều kiện:

Câu 3:

Phương pháp:

1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chữa biết theo ẩn và đại lượng đã biết.

+) Dựa vào giả thiết của bài toán để lập phương trình.

+) Giải phương trình tìm ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và hệ thức bài cho để tìm giá trị của

Cách giải:

1) Quãng đường Hải Dương – Hạ Long dài 100km. Một ô tô đi từ Hải Dương đến Hạ Long rồi nghỉ ở đó 8 giờ 20 phút, sau đó trở về Hải Dương hết tất cả 12 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc đi, biết vận tốc ô tô lúc về nhanh hơn vận  tốc ô tô lúc đi 10 km/h.

Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là

Khi đó vận tốc lúc về của ô tô là:

Thời gian ô tô đi từ Hải Dương đến Hạ Long là:

Thời gian ô tô đi từ Hạ Long về Hải Dương là:

Đổi giờ phút giờ.

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ô tô lúc đi là

2) Tìm để phương trình (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn bài toán.

Câu 4:

Phương pháp:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng.

c)

Cách giải:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC.

1) Chứng minh

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính BC ta có:

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn vuông tại

Xét tam giác có đường cao ta có:

(hệ thức lượng trong tam giác vuông). (đpcm)

2) Chứng minh tứ giác nội tiếp và

+) Ta có là hình chữ nhật do có 3 góc vuông.

(tính chất).

Lại có  

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp (góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).

+) Xét và ta có:

(cùng phụ với )

Xét và ta có:

(cùng phụ với )

3) Đường thẳng đi qua A cắt tia HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F. Chứng minh BE // CF.

Ta có :  

Lại có :

Mặt khác

Từ (1) , (2), (3)  suy ra

Mà

Suy ra

Ta lại có

Nên ta có :

(Theo định lý tổng ba góc trong tam giác EBA).

Vậy BE//CF

Câu 5:

Cách giải:

Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vì

Dấu “=” xảy ra

Vậy