Đề thi vào 10 môn Toán Hải Phòng

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Căn bậc hai số học của 81 là

A. .

B. .

C. .

D. 6561.

Câu 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm thuộc đồ thị của hàm số với . Điểm C' đối xứng với điểm qua trục tung Oy. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Điểm và .

B. Điểm và .

C. Điểm và .

D. Điểm và .

Câu 3: Trong các phương trình sau, phương trình bậc hai một ẩn là:

A. .

B. .                     

C. .

D. .

Câu 4: Cho là hai số thực tùy ý sao cho . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 5: Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình

A. .

B. .

C. .

D. 

Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Đường tròn có vô số tâm đối xứng và chỉ có một trục đối xứng.                         

B. Đường tròn chỉ có một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng.                         

C. Đường tròn chỉ có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.                                

D. Đường tròn có vô số tâm đối xứng và vô số trục đối xứng.

Câu 7: Cho hình vuông MNPQ (hình 1). Phép quay thuận chiều tâm biến điểm thành điểm thì các điểm tương ứng thành các điểm

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại . Biết . Độ dài cạnh AC là

A. 326.

B. 328.

C. 330.

D. 302.

Câu 9: Từ điểm nằm ngoài đường tròn tâm , kẻ hai tiếp tuyến ( là các tiếp điểm). Nếu  thì

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 10: Một doanh nghiệp sản xuất thùng bằng tôn có dạng hình trụ với hai đáy (Hình 2). Hình trụ đó có đường kính đáy khoảng 59 cm và chiều cao khoảng 91cm. Chi phí để sản xuất thùng tôn đó là đồng/m². Số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất 1000 thùng tôn là:

A. 323238000.

B. 223328000.                       

C. 123238000.

D. Đáp án khác.

Câu 11: Bạn Lan gieo đồng thời hai đồng xu cân đối và đồng chất và quan sát mặt xuất hiện của đồng xu, thì không gian mẫu nhận được là:

A. .

B. .        

C. .

D. .

Câu 12: Gieo một con xúc xắc 50 lần cho kết quả như bảng sau:

Tần số tương đối xuất hiện của mặt 3 chấm là:

A. .

B. .

C. 

D. 

Phần II: Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai

Câu 13: Một trường trung học cơ sở mua 500 quyển vở bao gồm quyển vở loại thứ nhất và  quyển vở loại thứ hai để làm phần thưởng cho học sinh. Giá bán của mỗi quyển vở loại thứ nhất, loại thứ hai lần lượt là 8 000 đồng và 9 000 đồng. Biết tổng số tiền nhà trường đã dùng để mua 500 quyển vở đó là 4 200 000 đồng. Mỗi học sinh Xuất sắc được thưởng 02 quyển vở loại thứ nhất và 01 quyển vở loại thứ hai; mỗi học sinh Giỏi được thưởng 01 quyển vở loại thứ nhất và 01 quyền vở loại thứ hai; các học sinh khác không được thưởng và số học sinh này chiếm 40% tổng số học sinh cả trường.

a)

b)

c)

d) Tổng số học sinh của trường trung học cơ sở đó là 600 học sinh.

Câu 14: Một chiếc áo có giá niêm yết là 120 000 đồng. Để thanh lí chiếc áo, đầu tiên người ta giảm giá so với giá niêm yết. Do vẫn chưa bán được chiếc áo nên người ta tiếp tục giảm giá so với giá vừa được giảm. Sau hai đợt giảm giá, giá của chiếc áo còn 76 800 đồng.

a) Giá của chiếc áo sau lần giảm giá thử nhất là: (đồng).

b) Giá của chiếc áo sau hai lần giảm giá là: (đồng).

c) Theo bài, sau hai đợt giảm giá, giá của chiếc áo còn 76 800 đồng nên ta có phương trình

d)

Câu 15: Người ta muốn dựng một khung cổng hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 3cm được bao bởi một khung thép có dạng nửa đường tròn tâm bán kính FA (như hình 3)

a) Độ dài đoạn thẳng của OA là

b) Độ dài đoạn thẳng

c) Độ dài cung GAH là

d) Người ta muốn sơn toàn bộ nửa hình tròn (không sơn phần cổng ABCD). Giá tiền sơn 30000 đồng/m². Biết , kết quả làm tròn đến nghìn đồng. Số tiền sơn là 1059 (nghìn đồng)

Câu 16: Một hộp chứa 15 quả cầu màu xanh được đánh số từ 1 đến 15 và 5 quả cầu màu đỏ được đánh số từ 16 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp.

a) Xác suất để lấy được quả cầu màu xanh bằng xác suất để lấy được quả cầu màu đỏ.

b) Xác suất để lấy được quả cầu ghi số chẵn là 0,5

c) Xác suất để lấy ra quả cầu có màu xanh và ghi số lẻ là 0,4

d) Xác suất để lấy ra quả cầu màu đỏ hoặc ghi số chẵn là 0,8

Phần III: Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17: Cho .

Tìm giá trị của để giá trị của là 0,25

Câu 18: Biết hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Tính giá trị của biểu thức

Câu 19: Một người đứng trên tháp (tại ) của ngọn hải đăng cao 75m quan sát hai lần một con tàu đang hướng về ngọn hải đăng. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy tàu tại với góc hạ là , lần thứ hai người đó nhìn thấy tàu tại với góc hạ là (hình 4). Hỏi con tàu đã đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 20: Nước từ vòi phun nước (đặt cách mặt nước 0,2m) được phun lên cao sẽ đạt một độ cao nào đó rồi rơi xuống. Giả sử nước được phun từ đầu vòi phun (vị trí A) và rơi xuống vị trí B. Đường đi của nước là một phần của parabol dạng trong hệ trục tọa độ Oxy với là điểm cao nhất của nước được phun ra so với mặt nước, trục Ox song song với AB, tính bằng đơn vị mét. Biết Tính chiều cao từ điểm đến mặt nước (Hình 5).

Câu 21: Để giúp tàu hỏa chuyển từ đường ray theo hướng này sang đường ray theo hướng khác người ta làm một đoạn đường ray hình vòng cung (hình 6). Biết độ rộng của đường ray là và đoạn . Hãy tính bán kính của đoạn đường ray hình vòng cung. (Tính bằng đơn vị: m, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 22: Có ba chiếc hộp. Hộp chứa 2 tấm thẻ lần lượt ghi các số 1 và 2. Hộp chứa 3 tấm thẻ lần lượt ghi các số 1, 2 và 3. Hộp chứa 4 quả cầu lần lượt ghi các số 1, 2, 3 và 4. Bạn An rút ngẫu nhiên đồng thời một tấm thẻ từ mỗi hộp và . Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp . Tính xác suất của biến cố “Tổng ba số ghi trên hai tấm thẻ và quả cầu là 6”.

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng

Cách giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đối xứng qua trục tung của đồ thị hàm số

Cách giải:

Điểm và

Chọn B.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng

Cách giải:

Phương trình bậc hai một ẩn là

Chọn A.

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất bất đẳng thức.

Cách giải:

Ta có:

Chọn D.

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Cách giải:

Ta có:

Chọn B.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Tính chất của đường tròn.

Cách giải:

Đường tròn chỉ có một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng.

Chọn B.

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Phép quay

Cách giải:

Phép Phép quay thuận chiều tâm biến điểm thành điểm thì các điểm tương ứng thành các điểm

Chọn C.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Cách giải:

Trong tam giác ABC vuông tại , ta có: 

Chọn D.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tiếp tuyến của đường tròn.

Cách giải:

Vì là hai tiếp tuyến nên (tính chất tiếp tuyến)

Do đó, cân tại

Mà nên đều

Suy ra,

Lại có: MO là tia phân giác của

Suy ra, 

Chọn C.

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Tính diện tích toàn phần của hình trụ.

Cách giải:

Bán kính đáy của hình trụ là:

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Số tiền mà doanh nghiệp chi để sản xuất 1000 thùng tôn là:

(đồng)

Chọn B.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Các kết quả có thể xảy ra khi tung 2 đồng xu đồng chất cân đối.

Cách giải:

Không gian mẫu thu được là

Chọn A.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Tần số xuất hiện mặt 3 chấm bằng tổng số lần gieo trừ đi số lần xuất hiện của các mặt khác.

Cách giải:

Số lần xuất hiện của mặt 3 chấm là

Tần số tương đối xuất hiện của mặt 3 chấm là

Chọn A.

Phần II: Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai

Câu 13 (TH):

Cách giải:

a) Tổng số quyển vở đã mua là 500 quyển vở nên

b) Giá bán của mỗi quyển vở loại thứ nhất, loại thứ hai lần lượt là 8 000 đồng và 9 000 đồng, tổng số tiền nhà trường đã dùng để mua 500 quyển vở đó là 4 200 000 đồng nên ta có phương trình hay

c) Ta có hệ phương trình

d) Gọi lần lượt là số học sinh xuất sắc và số học sinh giỏi , ta có hệ phương trình:

Vậy có tổng 200 học sinh xuất sắc và giỏi

Số học sinh của trường là (học sinh)

Câu 14 (VD):

Cách giải:

a) Giá của chiếc áo sau lần giảm giá thứ nhất là (đồng)

b) Giá của chiếc áo sau hai lần giảm giá là

c) Theo đề bài ta có phương trình hay

d) Giải phương trình ta được

Câu 15 (VD):

Cách giải:

a) Ta có: nên

b) Ta có:

c) Độ dài cung GAH là

d) Diện tích cần sơn là

Số tiền sơn là (đồng)

Câu 16 (TH):

Cách giải:

a) Xác suất lấy được quả cầu màu xanh là

Xác suất lấy được quả cầu màu đỏ là

b) Xác suất lấy được quả cầu ghi số chẵn là

c) Xác suất lấy được quả cầu màu xanh và ghi số lẻ là

d) Xác suất lấy ra đươc quả cầu màu đỏ hoặc ghi số chẵn là

Phần III: Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17 (TH):

Phương pháp:

Rút gọn P và cho P = 0,25 để xác định x.

Cách giải:

Để thì hay

Khi đó

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình, tìm nghiệm và thay vào T.

Cách giải:

Do đó

Suy ra

Câu 19 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Cách giải:

Ta có:

Xét vuông tại , ta có

Xét vuông tại , ta có

Ta có:  

Vậy con tàu đã đi được xấp xỉ 76m giữa hai lần quan sát.

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

Gọi là giao điểm của AB và Oy.

Cách giải:

Gọi là giao điểm của AB và Oy

Khi đó là trung điểm của AB và

Parabol đi qua nên

Vậy chiều cao từ đến mặt nước là

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Pythagore.

Cách giải:

Ta có:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OBC vuông tại ta có:

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

Xác định các biến cố thuận lợi cho biến cố và tìm không gian mẫu.

Cách giải:

Số cách lấy được 1 tấm thẻ từ hộp là

Số cách lấy được 1 tấm thẻ từ hộp là 3

Số cách lấy được 1 quả cầu từ hộp là 4

Vậy không gian mẫu của phép thử là

Gọi là biến cố: “Tổng ba số ghi trên hai tấm thẻ và quả cầu là 6”

Các biến cố thuận lợi cho biến cố là

Do đó

Vậy xác suất của biến cố là

Đề bài

Câu 1: Cho biểu thức:

với

a) Rút gọn biểu thức A và B.

b) Tìm x sao cho A – 2B = 3.

Câu 2: Giải hệ phương trình .

Câu 3: Một quyển vở giá 14000 đồng, một hộp bút giá 30000 đồng. Minh muốn mua 01 hộp bút và một số quyển vở.

a) Gọi là số quyển vở Minh mua, y là số tiền cần trả khi mua x quyền vở và 01 hộp bút. Hãy biểu diễn y theo x.

b) Nếu Minh có 300000 đồng để mua vở và 01 hộp bút thì Minh mua được tối đa bao nhiêu quyển vở?

Câu 4: Cho phương trình ( là ẩn, là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi .

b, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Câu 5: Một trường học có mảnh vườn hình chữ nhật chu vi là 100m. Nhà trường tiến hành mở rộng mảnh vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 5m và chiều rộng thêm 4m, khi đó diện tích tăng 240m². Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vường trước khi mở rộng.

Câu 6: Một chi tiết máy gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón với các kích thước như hình 1. Biết rằng phần hình trụ có chu vi đáy là 37,68cm. Tính thể tích của chi tiết máy đó (lấy ; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Câu 7: Cho đường tròn (O;R) và điểm A sao cho OA > 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm), kẻ dây cung BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O; R) tại điểm E (). Gọi I là trung điểm của DE.

a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC. Chứng minh AK.AI

c) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.

Câu 8: Cho các số thực a, b thoả mãn: a > 0, b > 0 và .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) Khai phương căn bậc hai và rút gọn

b) Tìm mẫu số chung, quy đồng và rút gọn biểu thức

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức A và B.

+) Ta có:

Vậy A = 1.

+) Với ta có:

Vậy với thì .

b) Tìm x sao cho A – 2B = 3.

Ta có

Vậy x = 1.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ hoặc nhân phá ngoặc đưa về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách giải:

Giải hệ phương trình .

Cách 1:

Đặt: . Khi đó hệ phương trình trở thành:

Suy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: .

Cách 2:

Thay vào (1) ta có:

Với thì .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: .

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

a) Biểu diễn giá tiền khi mua x quyển vở và một hộp bút

b) Lập bất phương trình giá tiền cần trả nhỏ hơn 300000 và giải bất phương trình.

Cách giải:

a) Gọi là số quyển vở Minh mua, y là số tiền cần trả khi mua x quyền vở và 01 hộp bút. Hãy biểu diễn y theo x.

Giá tiền khi mua x quyển vở và một hộp bút là: (đồng).

Vì y là số tiền mua x quyển vở và một hộp bút nên .

b) Nếu Minh có 300000 đồng để mua vở và 01 hộp bút thì Minh mua được tối đa bao nhiêu quyển vở?

Gọi a là số quyển vở tối đa Minh mua.

Số tiền Minh phải trả khi mua 01 hộp bút và a quyển vở là: .

Vì Minh chỉ có 300 000 đồng nên số tiền phải trả nhỏ hơn hoặc bằng 300 000 đồng

Ta có:  

Vậy số vở tối đa Minh có thể mua là 19 quyển.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

a) Thay và giải phương trình bậc hai

b) áp dụng hệ thức Viet giải hệ phương trình và thay vào .

Cách giải:

1. Cho phương trình ( là ẩn, là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi .

Thay vào (1) ta được:

Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt hoặc .

b, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét:

+ Ta có: thay vào ta được:

Thay vào (*) ta được:

Vậy là giá trị cần tìm.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x, biểu diễn chiều rộng, diện tích hình chữ nhật theo x và lập phưuong trình tìm x.

Cách giải:

Gọi chiều dài mảnh vườn trước khi mở rộng là (ĐK: 0 < x < 50).

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là (m).

Suy ra, chiều rộng mảnh vườn trước khi mở rộng là: (m).

Diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng là (m²).

Chiều dài mảnh vườn sau khi mở rộng là (m).

Chiều rộng mảnh vườn sau khi mở rộng là (m).

Suy ra, diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là (m²).

Do diện tích sau khi mở rộng tăng 240m² so với diện tích mảnh vườn ban đầu, nên ta có phương trình:

          (TMĐK)

Vậy chiều dài mảnh vườn trước khi mở rộng là 30 m;

Chiều rộng rộng mảnh vườn trước khi mở rộng là 50 – 30 = 20 m.

Câu 6 (VD):

Phương pháp:

Gọi R là bán kính đường tròn đáy của hình trụ và hình nón. Lập phương trình chu vi và giải phương trình.

Cách giải:

Gọi R là bán kính đường tròn đáy của hình trụ và hình nón.

Ta có đáy hình trụ là hình tròn có chu vi là 37,68 cm nên ta có:

Thể tích phần hình trụ là:

Thể tích phần hình nón là:

Thể tích của chi tiết máy đó là:

Vậy thể tích của chi tiết máy là .

Câu 7 (VD):

Cách giải:

a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Do AB, AC là tiếp tuyến nên (định nghĩa)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên OCAB nội tiếp hay O, C, A, B cùng thuộc một đường tròn     (1)

Do I là trung điểm của DE nên (tính chất đường kính vuông góc với dây cung)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên OIAC nội tiếp hay O, I, A, C cùng thuộc một đường tròn           (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

b) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC. Chứng minh AK.AI = AH.AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA.

Ta có AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) => A thuộc trung trực của BC

         OB = OC (bằng bán kính) => O thuộc trung trực của BC.

AO là trung trực của BC hay tại H

Xét tam giác ABO vuông tại B, đường cao BH nên:

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)           (3)

Ta có (hai góc nội tiếp chắn cung AB) .

Xét và có:

chung

 (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

             (4)

Từ (3) và (4) suy ra (đpcm)

Do (so le trong)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)

.

Xét và có:

chung

 (đpcm)

c) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.

Do   (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét và có chung và (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE).

 (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

là trung điểm của AC.

Gọi M là giao điểm của DC và AB, N là giao điểm của MF và BD.

Do (định lí Ta-lét) (do )

Gọi K’ là giao điểm của NF và BC (Định lí Ta-lét)     (5)

Mà                  (6)

Từ (5) và (6) suy ra K, K' cùng nằm trên đoạn BC và

Chứng tỏ M, N, K, F thẳng hàng hay ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy tại M.

Câu 8 (VDC):

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

Vì nên (1)

Đặt . Khi đó (1) trở thành:

Do nên ta có: hay .

Khi đó:

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

;

Suy ra: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của khi .

Đề bài

Câu 1. (1,5 điểm)

Cho hai biểu thức: (với ).

a) Rút gọn các biểu thức

b) Tìm các giá trị của sao cho

Câu 2. (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2) Bạn Nam hiện có đồng. Để phục vụ cho việc học tập, bạn muốn mua một quyển sách tham khảo Toán có giá đồng. Vì thế, bạn Nam đã lên kế hoạch mỗi ngày tiết kiệm đồng. Gọi số tiền bạn Nam tiết kiệm được sau (ngày) (gồm cả tiền hiện có và tiền tiết kiệm được hàng ngày) là (đồng).

a) Lập công thức tính theo .

b) Hỏi sau bao nhiêu ngày bạn Nam có vừa đủ tiền để mua được quyển sách tham khảo Toán?

Câu 3. (2,5 điểm)

1) Cho phương trình ( là ẩn số, là tham số).

a) Giải phương trình khi

b) Xác định các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện .

2) Bài toán có nội dung thực tế:

 Lúc giờ sáng, một xe ô tô khởi hành từ đến với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là km/h. Sau khi xe ô tô này đi được phút thì cũng trên quãng đường đó, một xe ô tô khác bắt đầu đi từ về với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là km/h. Hỏi hai xe ô tô đó gặp nhau lúc mấy giờ? Biết quãng đường dài km.

Câu 4. (0,75 điểm)

Một vật thể đặc bằng kim loại dạng hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng cm. Người ta khoan xuyên qua hai mặt đáy của vật thể đó theo phương vuông góc với mặt đáy, phần bị khoan là một lỗ hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng cm (Hình 1). Tính thể tích phần còn lại của vật thể đó.

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao và của tam giác cắt nhau tại

a) Chứng minh và là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh là tia phân giác của và tam giác đồng dạng với tam giác

c) Giao điểm của với đường tròn là ( khác ), cắt đường tròn tại ( khác ). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Câu 6. (0,75 điểm)

Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải chi tiết

Câu 1. (1,5 điểm)

Cho hai biểu thức: (với ).

a) Rút gọn các biểu thức

b) Tìm các giá trị của sao cho

Phương pháp:

a) + Sử dụng hằng đẳng thức:

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

+ Vận dụng hằng đẳng thức xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

b) Giải bất phương trình:

Cách giải:

a)

b) Để

Kết hợp với điều kiện thì

Câu 2. (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2) Bạn Nam hiện có đồng. Để phục vụ cho việc học tập, bạn muốn mua một quyển sách tham khảo Toán có giá đồng. Vì thế, bạn Nam đã lên kế hoạch mỗi ngày tiết kiệm đồng. Gọi số tiền bạn Nam tiết kiệm được sau (ngày) (gồm cả tiền hiện có và tiền tiết kiệm được hàng ngày) là (đồng).

a) Lập công thức tính theo .

b) Hỏi sau bao nhiêu ngày bạn Nam có vừa đủ tiền để mua được quyển sách tham khảo Toán?

Phương pháp:

1) Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.

Biểu thức xác định

Vận dụng phương pháp cộng đại số, tìm được và , kết luận nghiệm của hệ phương trình

2) a) Vận dụng kiến thức của hàm số bậc nhất

b) Thay vào công thức vừa lập được ở ý a, từ đó tìm được số ngày cần tiết kiệm tiền của Nam.

Cách giải:

1) ĐK:

Với (thõa mãn )

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

2) a) Công thức tính theo là (đồng).

b) Bạn Nam có vừa đủ tiền mua được quyển sách tham khảo Toán đó khi

(ngày).

Vậy sau ngày tiết kiệm, bạn Nam vừa đủ tiền mua quyển sách tham khảo Toán.

Câu 3. (2,5 điểm)

1) Cho phương trình ( là ẩn số, là tham số).

a) Giải phương trình khi

b) Xác định các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện .

2) Bài toán có nội dung thực tế:

 Lúc giờ sáng, một xe ô tô khởi hành từ đến với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là km/h. Sau khi xe ô tô này đi được phút thì cũng trên quãng đường đó, một xe ô tô khác bắt đầu đi từ về với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là km/h. Hỏi hai xe ô tô đó gặp nhau lúc mấy giờ? Biết quãng đường dài km.

Phương pháp:

1) a) Thay vào phương trình

Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt (hoặc )

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được theo

Thay theo vào biểu thức ta được phương trình có

Biến đổi, tìm

2) Gọi thời gian xe ô tô đi từ đến điểm gặp nhau của hai xe ô tô là (giờ), (điều kiện ). (Với phút bằng giờ).

Tính được thời gian ô tô đi từ đến điểm hai xe gặp nhau; Tính được quãng đường đi từ về và ngược lại

Từ đó lập được phương trình, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

1) a) Với phương trình có dạng

Vì nên phương trình có hai nghiệm là

Vậy phương trình có hai nghiệm khi

b) Có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Khi đó theo hệ thức Vi-ét            

Thay vào biểu thức được

Thay vào phương trình ta được:

Vậy với phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Cách giải:

2) Gọi thời gian xe ô tô đi từ đến điểm gặp nhau của hai xe ô tô là (giờ), (điều kiện ). (Với phút bằng giờ).

Khi đó, thời gian ô tô đi từ đến điểm hai xe gặp nhau là (giờ).

Vì xe ô tô đi từ đến đi với vận tốc là km/h nên quãng đường xe đó đi đến điểm hai xe gặp nhau là (km).

Vì xe ô tô đi từ về với vận tốc là km/h nên quãng đường xe đó đi đến điểm hai xe gặp nhau là (km).

Do hai xe chuyển động ngược chiều và đi trên quãng đường dài km nên có phương trình:

Vậy hai xe gặp nhau lúc

Câu 4. (0,75 điểm)

Một vật thể đặc bằng kim loại dạng hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng cm. Người ta khoan xuyên qua hai mặt đáy của vật thể đó theo phương vuông góc với mặt đáy, phần bị khoan là một lỗ hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng cm (Hình 1). Tính thể tích phần còn lại của vật thể đó.

Phương pháp:

Thể tích của hình trụ có bán kính đáy là , chiều cao được tính theo công thức

Cách giải:

Gọi thể tích của vật thể hình trụ thì

Gọi thể tích của lỗ khoét hình trụ đó là thì

Gọi thể tích phần còn lại của vật thể đó là thì

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao và của tam giác cắt nhau tại

a) Chứng minh và là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh là tia phân giác của và tam giác đồng dạng với tam giác

c) Giao điểm của với đường tròn là ( khác ), cắt đường tròn tại ( khác ). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp.

+ Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b)

c) Ta sẽ chứng minh: , mà nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa . Do đó hai tia và là hai tia trùng nhau hay và là ba điểm thẳng hàng.

Cách giải:

a) + Có là các đường cao của tam giác nên 

Tứ giác có:

Mà hai đỉnh kề nhau

là tứ giác nội tiếp.

+ Có là các đường cao của tam giác nên 

Tứ giác có: mà và là hai  góc đối nhau nên là tứ giác nội tiếp.

b) Do là tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn ) hay

Do là tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn )

Từ và suy ra hay .

Do đó là tia phân giác của .

Do là tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn ) hay .

Do là tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn ).

Từ và suy ra

Xét và có và nên

c) Ta có (cùng phụ với ) hay

Xét đường tròn có (góc nội tiếp cùng chắn )

Nên hay là phân giác của , mà suy ra cân tại .

Do đó là đường trung trực của suy ra là trung điểm của

Vì

mà ( là trung điểm của ) và ( là trung điểm của )

Do đó

Xét và có và nên

suy ra (hai góc tương ứng) hay

Xét đường tròn có (góc nội tiếp cùng chắn )

Từ và suy ra , mà nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa . Do đó hai tia và là hai tia trùng nhau hay và là ba điểm thẳng hàng.

Câu 6. (0,75 điểm)

Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phương pháp:

+ Áp dụng BĐT

+ Áp dụng BĐT và (giả thiết của đề bài)

Cách giải:

Áp dụng BĐT ta được

Áp dụng BĐT và ta được

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi

Đề bài

Bài 1:

Cho hai biểu thức: và với

a) Rút  gọn biểu thức và biểu thức

b) Tìm các giá trị của để giá trị của biểu thức bằng ba lần giá trị của biểu thức

Bài 2:

a) Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng . Xác định các giá trị của và biết song song với đường thẳng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .

b) Giải hệ phương trình .

Bài 3:

1. Cho phương trình ( là ẩn số, là tham số).

a) Giải phương trình với

b) Xác định các giá trị của để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Bài toán có nội dung thực tế:

Một nhà máy theo kế hoạch phải sản xuất 2100 thùng nước sát khuẩn trong một thời gian quy định (số thùng nước sát khuẩn nhà máy phải sản xuất trong mỗi ngày là bằng nhau). Để đẩy nhanh tiến độ công việc trong giai đoạn tăng cường phòng chống đại dịch COVID-19, mỗi ngày nhà máy đã sản xuất nhiều hơn dự định 35 thùng nước sát khuẩn. Do đó, nhà máy đã hoàn thành công việc trước thời hạn 3 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày nhà máy sản xuất bao nhiêu thùng nước sát khuẩn?

Bài 4:

1. Qua điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn ( và là các tiếp điểm). Gọi là trung điểm của của đoạn thẳng , là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn , là giao điểm của đoạn thẳng , là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn . Chứng minh:

a) Tứ giác là tứ giác nội tiếp và tam giác đồng dạng với tam giác .

b) .

c) Tam giác đồng dạng với tam giác và là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

2. Một hình nón có bán kính đáy là diện tích xung quanh bằng Tính chiều cao của hình nón đó.

Bài 5:

a) Cho là hai số thực bất kì. Chứng minh

b) Cho là ba số thực dường thỏa mãn . Chứng minh

Lời giải chi tiết

Bài 1 (1,5 điểm)

Cách giải:

Cho hai biểu thức: và với

a) Rút  gọn biểu thức và biểu thức

+) Rút gọn biểu thức

+) Rút gọn biểu thức

Điều kiện:

Vậy với và với

b) Tìm các giá trị của để giá trị của biểu thức bằng ba lần giá trị của biểu thức

Điều kiện:

Theo đề bài ta có:

Vậy thì

Câu 2 (2,0 điểm)

Cách giải:

a) Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng . Xác định các giá trị của và biết song song với đường thẳng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .

Vì đường thẳng song song với đường thẳng nên: .

Khi đó phương trình đường thẳng có dạng , với .

Vì cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng nên đường thẳng đi qua điểm .

Thay tọa độ điểm và phương trình đường thẳng ta có:

(thỏa mãn).

Vậy và 

b) Giải hệ phương trình .

Ta có:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Bài 3 (2,5 điểm)

Cách giải:

1. Cho phương trình ( là ẩn số, là tham số).

a) Giải phương trình với

Với ta có phương trình:

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm là

b) Xác định các giá trị của để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình có hai nghiệm

Với thì phương trình có hai nghiệm

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài ta có:

Với

Dấu “=” xảy ra

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

2. Bài toán có nội dung thực tế:

Một nhà máy theo kế hoạch phải sản xuất 2100 thùng nước sát khuẩn trong một thời gian quy định (số thùng nước sát khuẩn nhà máy phải sản xuất trong mỗi ngày là bằng nhau). Để đẩy nhanh tiến độ công việc trong giai đoạn tăng cường phòng chống đại dịch COVID-19, mỗi ngày nhà máy đã sản xuất nhiều hơn dự định 35 thùng nước sát khuẩn. Do đó, nhà máy đã hoàn thành công việc trước thời hạn 3 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày nhà máy sản xuất bao nhiêu thùng nước sát khuẩn?

Gọi số thùng nước sát khuẩn mỗi ngày nhà máy sản xuất được theo kế hoạch là (thùng),

Thời gian dự định nhà máy sản xuất xong 2100 thùng nước sát khuẩn là: (ngày).

Thực tế, mỗi ngày nhà máy sản xuất được số thùng nước sát khuẩn là: (thùng).

Thời gian thực tế nhà máy sản xuất xong 2100 thùng nước sát khuẩn là: (ngày).

Nhà máy đã hoàn thành xong công việc trước thời hạn 3 ngày nên ta có phương trình:

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày nhà máy sản xuất được 140 thùng nước sát khuẩn.

Bài 4 (3,5 điểm)

Cách giải:

1. Qua điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn ( và là các tiếp điểm). Gọi là trung điểm của của đoạn thẳng , là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn , là giao điểm của đoạn thẳng , là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn . Chứng minh:

a) Tứ giác là tứ giác nội tiếp và tam giác đồng dạng với tam giác .

Ta có: là hai tiếp tuyến của tại

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)

Xét và ta có:

chung

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

b) .

Ta có:

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Xét và ta có:

chung

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

c) Tam giác đồng dạng với tam giác và là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Ta có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

Lại có: là tứ giác nội tiếp đường tròn

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét và ta có:

Vì

Xét và ta có:

(hai góc tương ứng)

Mà là góc nội tiếp chắn cung của đường tròn ngoại tiếp

được tạo bởi dây cung và ( nằm ngoài đường tròn)

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp (đpcm)

2. Một hình nón có bán kính đáy là diện tích xung quanh bằng Tính chiều cao của hình nón đó.

Ta có:

Áp dụng định lý Pitago ta có chiều cao của hình nón là:

Bài 5 (1,0 điểm)

Cách giải:

a) Cho là hai số thực bất kì. Chứng minh

Ta có:

(luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi .

Vậy ta có đpcm.

b) Cho là ba số thực dường thỏa mãn . Chứng minh

Đặt ta được:

Áp dụng BĐT ta có:

(đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi .

Đề bài

   (với ).

a) Rút gọn các biểu thức .

b) Tìm các giá trị của sao cho giá trị biểu thức bằng giá trị biểu thức .

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hai hàm số và cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

b) Giải hệ phương trình

Bài 3: (2,5 điểm)

1. Cho phương trình ( là ẩn số, là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi

b) Xác định các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   thỏa mãn điều kiện .

2. Bài toán có nội dung thực tế

Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm , chiều dài giảm đi thì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm ; và nếu chiều rộng giảm đi , chiều dài tăng thêm thì diện tích thửa ruộng giảm đi . Tính diện tích thửa ruộng trên.

Bài 4: (3,5 điểm)

1. Từ điểm nằm bên ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến (là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến của đường tròn sao cho điểm nằm giữa hai điểm tia nằm giữa hai tia và . Từ điểm kẻ tại

a) Chứng minh năm điểm cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh là tia phân giác của và .

c) Gọi và lần lượt là giao điểm của với và . Qua điểm vẽ đường thẳng song song với cắt và lần lượt tại và . Chứng minh là trung điểm của

2. Một hình trụ có diện tích xung quanh và chiều cao là Tính thể tích của hình trụ đó.

Bài 5: (1,0 điểm)

a) Cho là ba số dương. Chúng minh

b) Cho là ba số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Bài 1

Phương pháp:

a) Rút gọn biểu thức

b) Đưa bài toán về tìm để (chú ý đối chiếu điều kiện xác định).

Cách giải:

Cho hai biểu thức:

  (với ).

a) Rút gọn các biểu thức .

Điều kiện:

b) Tìm các giá trị của sao cho giá trị biểu thức bằng giá trị biểu thức .

Điều kiện:

Để thì  

Vậy thì .

Bài 2

Phương pháp:

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm. Để 2 đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm duy nhất

b) Đặt và giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ra . Từ đó tìm được .

Cách giải:

a) Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hai hàm số và cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số ta có:

Để 2 đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Vậy

b) Giải hệ phương trình

Điều kiện:

Đặt

Hệ phương trình

Với thì

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Bài 3

Phương pháp:

1a) Thay vào phương trình, giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích.

1b) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt rồi biến đổi điều kiện bài toán về tổng và tích 2 nghiệm và áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm  

Đối chiếu với điều kiện của rồi kết luận.

2) Gọi chiều rộng hình chữ nhật là

        chiều dài hình chữ nhật là

Dựa vào các giả thiết của bài toán để lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình rồi đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận.

Cách giải:      

1. Cho phương trình ( là ẩn số, là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi

Với ta có phương trình  

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm

b) Xác định các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   thỏa mãn điều kiện

Có:

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì

Với , theo hệ thức Vi-et ta có:  

Theo đề bài ta có:

Vậy là giá trị cần tìm.

2. Bài toán có nội dung thực tế

Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm , chiều dài giảm đi thì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm ; và nếu chiều rộng giảm đi , chiều dài tăng thêm thì diện tích thửa ruộng giảm đi . Tính diện tích thửa ruộng trên.

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là

        chiều dài hình chữ nhật là

Diện tích thửa ruộng ban đầu là

Khi chiều rộng tăng thêm , chiều dài giảm đi thì diện tích thửa ruộng tăng thêm nên ta có:

Khi chiều rộng giảm đi , chiều dài tăng thêm thì diện tích thửa ruộng giảm đi nên ta có

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Diện tích thửa ruộng ban đầu là

Bài 4

Phương pháp:

1a) Các góc cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc vuông.

1b) Chứng minh bằng cách sử dụng câu a) 5 điểm cùng thuộc một đường tròn.

1c) Chứng minh tam giác và cân tại . Khi đó

2) Dựa vào công thức khi biết chiều cao  và diện tích xung quanh hình trụ để tính bán kính đáy trụ  Sau đó dùng công thức để tính thể tích hình trụ.

Cách giải: 

1a) Chứng minh năm điểm cùng nằm trên một đường tròn.

là các tiếp tuyến của

Ta có: cùng nhìn dưới một góc vuông (cmt) và cũng nhìn dưới một góc vuông (cmt)

Nên cùng thuộc một đường tròn đường kính . (đpcm).

b) Chứng minh là tia phân giác của và .

Do là tiếp tuyến là phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

là phân giác của góc (đpcm)

Xét và ta có:

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

c) Gọi và lần lượt là giao điểm của với và . Qua điểm vẽ đường thẳng song song với cắt và lần lượt tại và . Chứng minh là trung điểm của

Ta có: (hai góc so le trong)

mà

cân tại

Ta có: (hai góc đồng vị)

Ta có mà

cân tại

Từ (1) và (2) là trung điểm

2. Một hình trụ có diện tích xung quanh và chiều cao là Tính thể tích của hình trụ đó.

Diện tích xung quanh của hình trụ là

bán kính của đáy trụ là

Thể tích hình trụ là

Bài 5

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 bộ 3 số dương và

Cách giải:      

a) Cho là ba số dương. Chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ 3 số dương ta có: 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ 3 số dương

(đpcm)

Dấu “=” xảy ra

b) Cho là ba số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có:

Áp dụng câu a)

Tương tự ta có:

với

Dấu “=” xảy ra

Vậy khi

Đề bài

A. .

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ phần trăm các loại trái cây được yêu thích nhất của 200 học sinh khối 9:

Trong đó: 40% học sinh thích Xoài, 25% học sinh thích Cam, 20% học sinh thích Táo và 15% học sinh thích Ổi; mỗi học sinh chỉ thích đúng một loại trái cây.

a) Loại trái cây được yêu thích nhất là Xoài.

b) Số học sinh thích Cam là 40 học sinh.

c) Số học sinh thích Xoài gấp đôi số học sinh thích Táo.

d) Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ nhóm học sinh thích Cam và Ổi. Xác suất để chọn được một bạn thích Cam là .

Câu 2. Cho tam giác () nội tiếp đường tròn có là đường kính. Từ tâm vẽ đường thẳng vuông góc với tại điểm . Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại , tiếp tuyến này cắt đường thẳng tại .

a) Đường thẳng song song với đường thẳng .

b)

c) Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

d) Nếu cho và thì

Câu 3. Cho biểu thức

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là .

b) Với điều kiện xác định, kết quả rút gọn biểu thức A là  .

c) Cho biểu thức . Gọi ( với , và là phân số tối giản) sao cho . Khi đó .

d) Có tất cả 7 giá trị nguyên của x để A≥5.

Câu 4. Một nhà cung cấp dịch vụ Internet đưa ra hai gói cước cho khách hàng lựa chọn như sau (giả sử dung lượng dữ liệu tính bằng GB, giá tiền tính bằng nghìn đồng):

Gói cước A: Cước phí cố định hàng tháng là 100 nghìn đồng và mỗi GB dữ liệu đã sử dụng phải trả thêm 2 nghìn đồng.

Gói cước B: Cước phí cố định hàng tháng là 50 nghìn đồng và mỗi GB dữ liệu đã sử dụng phải trả thêm 3 nghìn đồng.

Gọi x (x≥0) là số GB dữ liệu sử dụng trong một tháng và y (y≥0) là tổng số tiền khách hàng phải trả hàng tháng theo đơn vị nghìn đồng.

a) Nếu dùng gói cước A, tổng số tiền khách hàng phải trả trong một tháng là y=2x+100 (nghìn đồng).

b) Một gia đình có nhu cầu sử dụng cố định đúng 60GB mỗi tháng. Nếu gia đình này chọn sử dụng gói cước rẻ hơn (thay vì gói đắt hơn) thì một năm tiết kiệm được 120 nghìn đồng.

c) Nếu khách hàng dùng đúng 200 nghìn đồng mỗi tháng cho dịch vụ Internet, thì dung lượng (đơn vị GB) mua được từ gói cước A sẽ lớn hơn dung lượng mua được từ gói cước B.

d) Nếu một khách hàng chỉ dùng đúng 40GB mỗi tháng thì chọn gói cước B sẽ tiết kiệm chi phí hơn gói cước A.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Từ điểm nằm ngoài đường tròn bán kính  (cm), kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Biết tam giác là tam giác đều và diện tích của tứ giác là . Tìm .

Câu 2. Lớp 9A có 40 học sinh. Bài kiểm tra thường xuyên môn Toán có 5 bạn đạt điểm 7, có 12 bạn đạt điểm 8, có 14 bạn đạt điểm 9, số còn lại đạt điểm 10. Tần số tương đối của dữ liệu điểm 10 là bao nhiêu phần trăm?

Câu 3. Cho tam giác vuông tại , biết . Đường phân giác trong góc cắt cạnh tại . Vẽ đường tròn tâm nội tiếp tam giác . Tổng diện tích phần hình phẳng tô đậm (tham khảo hình vẽ bên dưới) giới hạn bởi ba cạnh của tam giác và đường tròn () bằng bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười, lấy )

Câu 4. Một ô tô dự định đi từ vị trí A đến vị trí B trong một thời gian nhất định với một vận tốc xác định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 40 phút so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 10 km/h thì sẽ đến B muộn 1 giờ so với dự định. Hỏi chiều dài quãng đường AB là bao nhiêu km?

Câu 5. Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt với . Giá trị của biểu thức có dạng với . Tính tổng .

Câu 6. Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình .

-HẾT-

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

III. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

—HẾT—

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm):

Cho hai biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm các giá trị của sao cho   

Câu 2 (1,5 điểm):

a) Cho đồ thị hàm số song song với đường thẳng và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng Xác định các giá trị

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (2,5 điểm):

1. Cho phương trình ẩn   (m là tham số)

a) Giải phương trình với

b) Xác định các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

2. Bài toán có nội dung thực tế:

Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 144km. Một ô tô khởi hành từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường. Sauk hi ô tô đi được 20 phút, ô tô thứ hai cũng đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô thứ nhất là 6km/h (vận tốc không đổi trên cả quãng đường). Biết rằng cả hai ô tô đến thành phố B cùng một lúc.

a) Tính vận tốc của hai xe ô tô.

b) Nếu trên đường có biến báo cho phép xe chạy với vận tốc tối đa là 50km/h thì hai xe ô tô trên, xe nào vi phạm giới hạn về tốc độ?

Bài 4 (3,5 điểm)

1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn , AH là đường cao của tam giác ABC. Kẻ đường kính AD của đường tròn . Từ hai điểm B và C kẻ tại E, tại F.

a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh .

2. Tính diện tích toàn phần của một hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy là

Bài 5 (1,0 điểm)

a) Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi nào? 

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

+) Sử dụng công thức

+) Quy đồng mẫu và biến đổi để rút gọn biểu thức

+) Lấy các kết quả đã rút gọn của các biểu thức của ở câu trên sau đó giải bất phương trình Tìm được thì kết hợp  với điều kiện đã cho của và kết luận.

Cách giải:

Cho hai biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức

Vậy

b) Tìm các giá trị của sao cho   

Điều kiện:

Ta có:

Kết hợp với điều kiện bài cho ta có thỏa mãn bài toán.

Vậy

Câu 2:

Phương pháp:

a) Hai đường thẳng song song với nhau

b) Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa. Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ và sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

a) Cho đồ thị hàm số song song với đường thẳng và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng Xác định các giá trị

Đường thẳng song song với đường thẳng

Đường thẳng căt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Vậy  

b) Giải hệ phương trình:

Điều kiện:

Đặt Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3:

Phương pháp:

1. a) Thay giá trị của vào phương trình đã cho và giải phương trình bậc hai một ẩn.

b)  Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: và áp dụng hệ thức bài cho để tìm giá trị của

2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình để tìm vận tốc của mỗi xe.

+) Sau đó so sánh vận tốc mỗi xe với vận tốc tối đa mà xe được chạy là 50km/h để rút ra kết luận đúng.

Cách giải:

1. Cho phương trình ẩn   (m là tham số)

a) Giải phương trình với

Với ta có phương trình

Ta thấy phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt và

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm  

b) Xác định các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Từ và ta có hệ phương trình:

Thế vào ta được:

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

2. Bài toán có nội dung thực tế:

Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 144km. Một ô tô khởi hành từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường. Sauk hi ô tô đi được 20 phút, ô tô thứ hai cũng đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô thứ nhất là 6km/h (vận tốc không đổi trên cả quãng đường). Biết rằng cả hai ô tô đến thành phố B cùng một lúc.

a) Tính vận tốc của hai xe ô tô.

Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là

Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là:

Vận tốc của ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc của ô tô thứ nhất nên vận tốc của ô tô thứ hai là:

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là:

Ô tô thứ hai xuất phát sớm hơn ô tô thứ nhất phút mà hai xe đến B cùng lúc nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là vận tốc của ô tô thứ hai là:

b) Nếu trên đường có biến báo cho phép xe chạy với vận tốc tối đa là 50km/h thì hai xe ô tô trên, xe nào vi phạm giới hạn về tốc độ?

Vì biển báo cho phép xe chạy với vận tốc tối đa là nên xe thứ hai đã vi phạm giới hạn tốc độ vì    

Câu 4.

1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn , AH là đường cao của tam giác ABC. Kẻ đường kính AD của đường tròn . Từ hai điểm B và C kẻ tại E, tại F.

a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác ABHE có: (gt);

Hai điểm H và E cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰.

Tứ giác ABHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB (dấu hiệu nhận biết)

b) Chứng minh .

Do tứ giác ABHE nội tiếp (cmt) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

.

Hai góc này ở vị trí so le trong .

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh .

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHE (cmt)

Ta có là đường trung bình của tam giác ABC

là đường trung trực của HE

Chứng minh tương tự ta có:

Xét tứ giác AHFC có: Tứ giác AHFC nội tiếp đường tròn đường kính AC, tâm N (dấu hiệu nhận biết)

(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

. Hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị

IN là đường trung bình của tam giác ABC

là đường trung trực của HF

Từ (1) và (2) .

2. Tính diện tích toàn phần của một hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy là

Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón. Áp dụng định lí Pytago ta có:

Diện tích xung quanh của hình nón là

Diện tích đáy của hình nón là

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là

Bài 5.

a) Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Áp dụng BĐT ở ý a) ta có:

Áp dụng BĐT phụ:

Chứng minh:

Ta có: \(\dfrac{1}{a} + \dfr