Đề thi vào 10 môn Toán Huế

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Viết điều kiện xác định của phân thức .

c) Rút gọn biểu thức với và .

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình .

b) Cho phương trình . Biết rằng phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 3 (1,5 điểm)

a) Kết quả thống kê quãng đường đi bộ (đơn vị: kilômét) của 50 người tập thể dục vào một buổi sáng được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau:

Dựa vào bảng trên, hãy cho biết có bao nhiêu người đi bộ từ 2 km đến dưới 4 km?

b) Bạn An có hai chiếc hộp đựng các tấm thẻ có kích thước và khối lượng như nhau. Hộp A đựng 4 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4. Hộp B đựng 4 tấm thẻ được đánh số 3; 4; 5; 6. Bạn An lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp A, sau đó lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp B. Tính xác suất của biến cố M: “Số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp B chia hết cho số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp A”.

Câu 4 (1,0 điểm) Giá vé tham quan trong ngày của một địa điểm du lịch đối với khách tham quan từ 18 tuổi trở lên là 200 nghìn đồng/người, từ 6 tuổi đến dưới 18 tuổi là 40 nghìn đồng/người, dưới 6 tuổi là miễn phí.

a) Hỏi một đoàn khách gồm 11 người trên 18 tuổi, 7 người từ 6 tuổi đến 10 tuổi và 2 người dưới 6 tuổi đến tham quan địa điểm du lịch trên thì phải trả bao nhiêu tiền vé?

b) Đối với người dân có hộ khẩu tại địa phương, giá vé tham quan được giảm 50%. Một gia đình gồm 10 người trên 18 tuổi đến tham quan địa điểm du lịch trên. Gọi là số người có hộ khẩu tại địa phương của gia đình đó (với ) và (nghìn đồng) là số tiền vé gia đình đó phải trả. Hãy viết công thức biểu thị theo .

Câu 5 (1,0 điểm) Nhân ngày Quốc tế thiếu nhi 1/6, một nhóm tình nguyện viên có kế hoạch gói 900 phần quà để tặng cho trẻ em có hoàn cảnh khó khăn. Vì mỗi ngày nhóm đã gói thêm 15 phần quà so với dự định nên nhóm đã gói xong 900 phần quà sớm hơn 3 ngày so với kế hoạch. Tính số phần quà mà nhóm tình nguyện viên dự định gói mỗi ngày (biết rằng số phần quà được gói mỗi ngày là như nhau).

Câu 6 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của đoạn AH. Qua điểm K vẽ đường thẳng vuông góc với BK, đường thẳng này cắt AC tại điểm M.

a) Chứng minh 4 điểm B, K, E, M cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ đường kính BN của đường tròn (O). Chứng minh tam giác BKM đồng dạng với tam giác BAN và đường thẳng OM đi qua trung điểm của đoạn NC.

Câu 7 (1,0 điểm) Bạn Bình có hai ly thủy tinh. Biết rằng phần chứa nước của hai ly có dạng hình nón với bán kính đáy cùng bằng 4 cm và chiều cao cùng bằng 10 cm. Ban đầu, ly thứ nhất chứa đầy nước và ly thứ hai không chứa nước. Bạn Bình đổ bớt nước từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho chiều cao của lượng nước trong ly thứ nhất chỉ còn so với chiều cao của lượng nước trong ly lúc ban đầu.

Khi đó, tính chiều cao của lượng nước có trong ly thứ hai (xem bề dày thành ly không đáng kể và nước không bị đổ ra ngoài). 

-HẾT-

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – THÀNH PHỐ HUẾ

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Viết điều kiện xác định của phân thức .

c) Rút gọn biểu thức với và .

Lời giải:

a) Thay vào biểu thức , ta có:

Vậy khi thì .

b) Phân thức xác định khi và chỉ khi   hay

Điều kiện xác định của phân thức là .

c) Với và , ta có:

Vậy (với và ).

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình .

b) Cho phương trình . Biết rằng phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
Lời giải:

a)

Vậy là nghiệm của phương trình.

b)

Ta có nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lí Vi – et ta có:

Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:

Suy ra hay

Ta có:

Suy ra:

Vậy

Câu 3 (1,5 điểm)

a) Kết quả thống kê quãng đường đi bộ (đơn vị: kilômét) của 50 người tập thể dục vào một buổi sáng được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau:

Dựa vào bảng trên, hãy cho biết có bao nhiêu người đi bộ từ 2 km đến dưới 4 km?

b) Bạn An có hai chiếc hộp đựng các tấm thẻ có kích thước và khối lượng như nhau. Hộp A đựng 4 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4. Hộp B đựng 4 tấm thẻ được đánh số 3; 4; 5; 6. Bạn An lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp A, sau đó lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp B. Tính xác suất của biến cố M: “Số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp B chia hết cho số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp A”.

Lời giải:

a) Số người đi bộ từ 2 km đến dưới 4 km là: (người)

b) Phép thử: Rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ hộp A và 1 tấm thẻ từ hộp B.

Gọi kết quả của phép thử là một cặp số , trong đó là số ghi trên thẻ rút từ hộp A () và là số ghi trên thẻ rút từ hộp B ().

Khi đó không gian mẫu đươc mô tả như bảng sau:

Vậy số phần tử của không gian mẫu là

Đề bài cho biết các tấm thẻ trong cả hai hộp đều có kích thước và khối lượng như nhau, đồng thời việc lấy thẻ ở mỗi hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Do đó, mỗi tấm thẻ đều có cơ hội được rút ra bằng nhau. Từ đó suy ra 16 kết quả có thể của phép thử (16 cặp số ) là hoàn toàn đồng khả năng.

Biến cố M: “Số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp B chia hết cho số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp A”. Điều này có nghĩa là b chia hết cho a

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố M là:

Suy ra

Xác suất của biến cố M, kí hiệu là , chính là tỉ số giữa và .

Câu 4 (1,0 điểm) Giá vé tham quan trong ngày của một địa điểm du lịch đối với khách tham quan từ 18 tuổi trở lên là 200 nghìn đồng/người, từ 6 tuổi đến dưới 18 tuổi là 40 nghìn đồng/người, dưới 6 tuổi là miễn phí.

a) Hỏi một đoàn khách gồm 11 người trên 18 tuổi, 7 người từ 6 tuổi đến 10 tuổi và 2 người dưới 6 tuổi đến tham quan địa điểm du lịch trên thì phải trả bao nhiêu tiền vé?

b) Đối với người dân có hộ khẩu tại địa phương, giá vé tham quan được giảm 50%. Một gia đình gồm 10 người trên 18 tuổi đến tham quan địa điểm du lịch trên. Gọi là số người có hộ khẩu tại địa phương của gia đình đó (với ) và (nghìn đồng) là số tiền vé gia đình đó phải trả. Hãy viết công thức biểu thị theo .

Lời giải:

a) Số tiền vé cho 11 người trên 18 tuổi là: (nghìn đồng)

Số người từ 6 tuổi đến 10 tuổi thuộc nhóm đối tượng từ 6 tuổi đến dưới 18 tuổi.

Số tiền vé cho 7 người từ 6 tuổi đến 10 tuổi là: (nghìn đồng)

Số người dưới 6 tuổi được miễn phí vé tham quan nên 2 người dưới 6 tuổi không phải trả tiền vé.

Tổng số tiền vé đoàn khách đó phải trả là:

(nghìn đồng) = 2480000 đồng.

Vậy đoàn khách phải trả 2480000 đồng.

b) Giá vé tham quan cho một người trên 18 tuổi có hộ khẩu tại địa phương sau khi giảm 50% là: (nghìn đồng/người)

Gia đình có 10 người trên 18 tuổi, trong đó có x người có hộ khẩu tại địa phương.

Suy ra số người không có hộ khẩu tại địa phương là người.

Số tiền vé của người có hộ khẩu địa phương là: (nghìn đồng)

Số tiền vé của người không có hộ khẩu địa phương là:

(nghìn đồng)

Tổng số tiền vé y của gia đình đó là:

Vậy công thức biểu thị theo là (với ).

Câu 5 (1,0 điểm) Nhân ngày Quốc tế thiếu nhi 1/6, một nhóm tình nguyện viên có kế hoạch gói 900 phần quà để tặng cho trẻ em có hoàn cảnh khó khăn. Vì mỗi ngày nhóm đã gói thêm 15 phần quà so với dự định nên nhóm đã gói xong 900 phần quà sớm hơn 3 ngày so với kế hoạch. Tính số phần quà mà nhóm tình nguyện viên dự định gói mỗi ngày (biết rằng số phần quà được gói mỗi ngày là như nhau).

Lời giải:

Gọi số phần quà mà nhóm tình nguyện viên dự định gói mỗi ngày là (phần quà) ()

Theo kế hoạch, tổng số quà cần gói là 900 phần quà nên thời gian dự định hoàn thành là (ngày)

Trên thực tế, mỗi ngày nhóm đã gói thêm 15 phần quà so với dự định nên mỗi ngày nhóm gói được (phần quà)

Khi đó, thời gian thực tế hoàn thành là (ngày)

Vì nhóm hoàn thành sớm hơn so với kế hoạch 3 ngày, nên ta có phương trình:

TH1:

(TM)

TH2:

(KTM)

Vậy số phần quà mà nhóm tình nguyện viên định gói mỗi ngày là 60 phần quà.

Câu 6 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của đoạn AH. Qua điểm K vẽ đường thẳng vuông góc với BK, đường thẳng này cắt AC tại điểm M.

a) Chứng minh 4 điểm B, K, E, M cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ đường kính BN của đường tròn (O). Chứng minh tam giác BKM đồng dạng với tam giác BAN và đường thẳng OM đi qua trung điểm của đoạn NC.

Lời giải:

a) Theo giả thiết, đường thẳng qua K vuông góc với BK tại K, nên .

Suy ra điểm K thuộc đường tròn đường kính BM (1).

Vì BE là đường cao của tam giác ABC nên .

Mà nên , suy ra .

Suy ra điểm E thuộc đường tròn đường kính BM (2).

Từ (1) và (2), ta có 4 điểm B, K, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính BM.

b) Vì tứ giác BKEM nội tiếp (theo câu a) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KB) (3).

Xét tam giác AHE vuông tại E (do ), có EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH (K là trung điểm AH).

Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có .

Vì KE = KH nên tam giác KEH cân tại K, suy ra (hay ) (4).

Trong tam giác vuông ADC (vuông tại D): .

Trong tam giác vuông AHE (vuông tại ): .

Từ đó suy ra (5).

Từ (3), (4) và (5), ta có: .

Vậy (đpcm).

c) Xét đường tròn (O), ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Mà theo câu b, , suy ra .

Mặt khác, BN là đường kính của đường tròn nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét và có:

   +

   + (chứng minh trên)

(g.g) (đpcm).

Gọi I là trung điểm của AB, J là giao điểm của OM và NC

Từ suy ra   suy ra

Mà (do ) nên suy ra suy ra và  suy ra

Khi đó

   (6)

Lại có IK là đường trung bình của tam giác AHB nên .

Suy ra

Mà ; (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) và nên suy ra (7)

Từ (6), (7) suy ra nên (hai góc ở vị trí đồng vị)

Mà là trung điểm của BN nên HJ là đường trung bình của

Suy ra J là trung điểm của NC hay OM đi qua trung điểm NC

Câu 7 (1,0 điểm) Bạn Bình có hai ly thủy tinh. Biết rằng phần chứa nước của hai ly có dạng hình nón với bán kính đáy cùng bằng 4 cm và chiều cao cùng bằng 10 cm. Ban đầu, ly thứ nhất chứa đầy nước và ly thứ hai không chứa nước. Bạn Bình đổ bớt nước từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho chiều cao của lượng nước trong ly thứ nhất chỉ còn so với chiều cao của lượng nước trong ly lúc ban đầu.

Khi đó, tính chiều cao của lượng nước có trong ly thứ hai (xem bề dày thành ly không đáng kể và nước không bị đổ ra ngoài).

Lời giải

Ly chứa đầy nước có dạng hình nón với bán kính cm, chiều cao cm.

Thể tích lượng nước ban đầu là:

Sau khi đổ, chiều cao lượng nước còn lại trong ly thứ nhất là:

Gọi là bán kính mặt nước còn lại trong ly thứ nhất.

Vì mặt nước luôn song song với đáy ly, theo định lý Thales ta có tỉ lệ:

Thể tích nước còn lại trong ly thứ nhất là:

Thể tích nước trong ly thứ hai chính là phần nước đã bị vơi đi từ ly thứ nhất:

Gọi và lần lượt là chiều cao và bán kính mặt nước trong ly thứ hai.

Ly thứ hai có kích thước giống hệt ly thứ nhất, do đó ta cũng có tỉ lệ tương tự:

Thể tích nước trong ly thứ hai được tính theo là:

Khi đó

cm

Vậy chiều cao của lượng nước có trong ly thứ hai là (hay khoảng 8,33 cm).

—HẾT—

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm):

a) Tìm số không âm, biết .

b) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức .

c) Rút gọn biểu thức với .

Câu 2 (1,5 điểm):

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình

b) Viết phương trình đường thẳng , biết rằng đường thẳng song song với đường thẳng và đi qua điểm .

Câu 3 (1,0 điểm):

Để phục vụ công tác phòng chống dịch COVID-19, một công ty lên kế hoạch trong một thời gian quy định làm tấm chắn bảo hộ để tặng các chốt chống dịch. Do ý thức khẩn trương trong công tác hỗ trợ chống dịch và nhờ cải tiến quy trình làm việc nên mỗi ngày Công ty A làm được nhiều hơn tấm so với kế hoạch ban đầu. Vì thế, Công ty A đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn đúng một ngày so với thời gian quy định và làm được nhiều hơn tấm so với kế hoạch ban đầu. Biết rằng số tấm chắn làm ra trong một ngày là bằng nhau và nguyên cái. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày công ty A cần làm bao nhiêu tắm chắn bảo hộ?

Câu 4 (2,0 điểm):

Cho phương trình ( là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi .

b) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm.

c) Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đẳng thức:

Câu 5 (3,0 điểm):

Cho ba điểm phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho nằm giữa và . Vẽ nửa đường tròn tâm đường kính . Từ kẻ tiếp tuyến đến nửa đường tròn ( là tiếp điểm). Trên cung lấy điểm ( không trùng và ), đường thẳng cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là ( không trùng ). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng và là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Chứng minh:

a) Tứ giác nội tiếp;

b) Hai tam giác và đồng dạng với nhau;

c) Trọng tâm G của tam giác luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm E thay đổi trên cung MC.

Câu 6 (1,0 điểm):

Một khúc gỗ đặc có dạng hình trụ, bán kính hình tròn đáy là 10 cm, chiều cao bằng 20 cm, người ta tiện bỏ bên trong khúc gỗ một vật dạng hình nón có bán kính hình tròn đáy là 10 cm, chiều cao bằng một nửa chiều cao của khúc gỗ (như hình vẽ bên). Tính thể tích phần khúc gỗ còn lại.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

a)

b) Áp dụng hằng đẳng thức

c) Xác định các hạng tử giống nhau, đơn giản từng phân thức sau đó thực hiện phép toán để rút gọn biểu thức.

Cách giải:

a) Với ta có .

Vậy .

b) Ta có:

Vậy .

c) Với ta có:

Vậy với thì .

Câu 2:

Phương pháp:

a) Vận dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.

b) Áp dụng điều kiện của hai đường thẳng song song xác định được điều kiện của hệ số và

đi qua điểm xác định được hệ số , đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

a) Ta có: .

Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

b) song song với đường thẳng nên . Thay vào ta được .

đi qua điểm nên ta có: .

Vậy phương trình đường thẳng của cần tìm là: .

Câu 3:

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, cụ thể:

Gọi số tấm chắn mà công ty A cần làm trong một ngày theo kế hoạch là (tấm), từ đó tính được số ngày để hoàn thành tấm theo kế hoạch

Tính được thực tế số tấm chắn mà công ty A làm và thời gian thực tế hoàn thành số tấm chắn làm được.

Lập phương trình, giải phương trình và kết luận.

Cách giải:

Gọi số tấm chắn mà công ty A cần làm trong một ngày theo kế hoạch là (tấm)

Số ngày để hoàn thành tấm theo kế hoạch là ( ngày)

Thực tế: Số tấm chắn mà công ty A làm trong một ngày là (tấm chắn)

Tổng số tấm chắn mà công ty A làm theo thực tế là ( tấm chắn)

Thời gian thực tế hoàn thành làm tấm chắn là ( ngày)

Thực tế công ty hoàn thành công việc sớm hơn dự định là ngày nên ta có phương trình:

Vậy số tấm chắn mà công ty A thực tế làm một ngày là 2000 tấm chắn .

Câu 4:

Phương pháp:

a) Thay vào phương trình của đề bài, nhận thấy đây là phương trình bậc hai ẩn

Áp dụng nhận xét thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và

b) Phương trình ban đầu có nghiệm (hoặc )

c) Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được theo tham số

Biến đổi hệ thức của đề bài để xuất hiện , giải phương trình chứa tham số , đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

a) Khi phương trình (1) trở thành: .

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy khi thì tập nghiệm của phương trình là .

b) Để phương trình có nghiệm thì

Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì .

c) Với phương trình có hai nghiệm .

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Ta có:

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5:

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, chứng minh suy ra nội tiếp đường tròn đường kính (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn dưới các góc bằng ).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh của hai tam giác.

c) Gọi sao cho , từ đó chứng minh được (định lí Ta – lét đảo)

Chứng minh cố định.

Cách giải:

a) Ta có: là trung điểm của nên (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cùng)

.

Mà là tiếp tuyến của nửa đường tròn nên (định nghĩa) .

nội tiếp đường tròn đường kính (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn dưới các góc bằng ).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại có là đường cao ta có:

Mà .

Xét  và ta có:

chung;

;

c) Gọi sao cho , khi đó ta có (định lí Ta-lét đảo).

Mà tại .

thuộc đường tròn đường kính .

Vì cố định cố định không đổi không đổi cố định.

Đường tròn đường kính cố định.

Vậy khi điểm E thay đổi trên cung MC thì trọng tâm G của tam giác luôn nằm trên một đường tròn cố định là đường tròn đường kính với (đpcm).

Câu 6:

Phương pháp:

Tính thể tích ban đầu của khúc gỗ: (áp dụng công thức tính thể tích của khối trụ)

Tính thể tích khối gỗ hình nón: (áp dụng công thức tính thể tích của khối nón)

Vậy thể tịch khúc gõ còn lại là

Cách giải:

Thể tích ban đầu của khúc gỗ là: .

Thể tích khối gỗ hình nón bị tiện bỏ là: .

Vậy thể tích phần khúc gỗ còn lại là . 

Đề bài

Câu 1:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị của biểu thức

c) Rút gọn biểu thức   với và

Câu 2:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình .

b) Tìm giá trị của để đường thẳng song song với đường thẳng .

Câu 3:

Để xây dựng thành phố Huế ngày càng đẹp hơn và khuyến khích người dân rèn luyện sức khỏe, Ủy ban nhân dân tỉnh Thừa Thiên Huế đã cho xây dựng tuyến đường đi bộ ven bờ Bắc sông Hương, từ cầu Trường Tiền đến cầu Dã Viên có chiều dài 2km. Một người đi bộ trên tuyến đường này, khởi hành từ cầu Trường Tiền đến cầu Dã Viên rồi quay về lại cầu Trường Tiền hết tất cả giờ. Tính vận tốc của người đó lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 0,5km/h.

Câu 4:

Cho phương trình   (1) (với là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của .

c) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn điều kiện: .

Câu 5:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC sao cho nhọn (M không trùng A và C). Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC. Gọi P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của FE. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MFEC nội tiếp.

b) Tam giác FEM và tam giác ABM đồng dạng.

c) và

Câu 6: 

Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ, chiều cao bằng 10cm và chứa một lượng nước có thể tích bằng một nửa thể tích của chiếc cốc. Một chiếc cốc thủy tinh khác có dạng hình nón (không chứa gì cả) và có bán kính đáy bằng bán kính đáy chiếc cốc hình trụ đã cho (hình vẽ bên). Biết rằng khi đổ hết lượng nước trong chiếc cốc hình trụ vào chiếc cốc hình nón thì chiếc cốc hình nón đầy nước và không có nước tràn ra ngoài. Tính chiều cao của chiếc cốc có dạng hình nón (bỏ qua bề dày của thành cốc và đáy cốc). 

Lời giải chi tiết

Câu 1 (1,5 điểm)

Cách giải:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

Ta có:

Vậy

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị của biểu thức

Ta có:

Vậy

c) Rút gọn biểu thức   với và

Với ta có:

Vậy với .

Câu 2 (1,5 điểm)

Cách giải:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

b) Tìm giá trị của để đường thẳng song song với đường thẳng .

Để đường thẳng song song với đường thẳng thì

.

Vậy .

Câu 3 (1,5 điểm)

Cách giải:

Để xây dựng thành phố Huế ngày càng đẹp hơn và khuyến khích người dân rèn luyện sức khỏe, Ủy ban nhân dân tỉnh Thừa Thiên Huế đã cho xây dựng tuyến đường đi bộ ven bờ Bắc sông Hương, từ cầu Trường Tiền đến cầu Dã Viên có chiều dài 2km. Một người đi bộ trên tuyến đường này, khởi hành từ cầu Trường Tiền đến cầu Dã Viên rồi quay về lại cầu Trường Tiền hết tất cả giờ. Tính vận tốc của người đó lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 0,5km/h.

Gọi vận tốc lúc về của người đó là (km/h) (ĐK: ).

Vận tốc lúc đi là (km/h).

Thời gian lúc đi là: .

Thời gian lúc về là .

Vì người đó khởi hành từ cầu Trường Tiền đến cầu Dã Viên rồi quay về lại cầu Trường Tiền hết tất cả giờ nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của người đó lúc về là 4km/h.

Câu 4 (2 điểm)

Cách giải:

Cho phương trình   (1) (với là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi

Với thì phương trình (1) trở thành

Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của .

Xét phương trình   (1)

Ta có:

Vì với mọi nên với mọi .

Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của .

c) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn điều kiện: .

Theo câu b) ta có phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của .

Gọi là hai nghiệm của phương trình (1). Theo hệ thức Vi-et ta có: .

Theo bài ra ta có:  

Vậy thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 5 (VD)

Cách giải:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC sao cho nhọn (M không trùng A và C). Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC. Gọi P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của FE. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MFEC nội tiếp.

Ta có:

Tứ giác  có nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau) (đpcm).

b) Tam giác FEM và tam giác ABM đồng dạng.

Theo câu a, tứ giác nội tiếp nên (tính chất)  (1)

Tứ giác  nội tiếp nên (tính chất) (2)

Từ (1) và (2) (cùng bù với )

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )  (3)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )  (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Xét và có:

c) và

Từ câu b ta có: (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét và có:

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

(đpcm)

Lại có (hai góc tương ứng)

Xét và có:

(hai góc tương ứng)

Mà nên   (đpcm).

Câu 6 (1,0 điểm)

Cách giải:

Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ, chiều cao bằng 10cm và chứa một lượng nước có thể tích bằng một nửa thể tích của chiếc cốc. Một chiếc cốc thủy tinh khác có dạng hình nón (không chứa gì cả) và có bán kính đáy bằng bán kính đáy chiếc cốc hình trụ đã cho (hình vẽ bên). Biết rằng khi đổ hết lượng nước trong chiếc cốc hình trụ vào chiếc cốc hình nón thì chiếc cốc hình nón đầy nước và không có nước tràn ra ngoài. Tính chiều cao của chiếc cốc có dạng hình nón (bỏ qua bề dày của thành cốc và đáy cốc).

Theo đề bài ta có:

Thể tích nước trong cốc hình trụ = Thể tích chiếc cốc hình nón = thể tích chiếc cốc hình trụ.

Gọi bán kính đáy của hai chiếc cốc là: .

Chiều cao của chiếc cốc hình trụ là

Gọi chiều cao của chiếc cốc hình nón là  

Gọi thể tích chiếc cốc hình trụ là thể tích chiếc cốc hình nón là

Vậy chiều cao của chiếc cốc hình nón là   

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Tìm giá trị của sao cho biểu thức có giá trị dương.

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị biểu thức

c) Rút gọn biểu thức: với

Câu 2 (1,5 điểm)

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:

b) Cho đường thẳng Tìm giá trị của sao cho đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng

Câu 3  (1 điểm)

Hưởng ứng Ngày Chủ nhật xanh do UBNB tỉnh phát động với chủ đề: “Hãy hành động để Thừa Thiên Huế thêm Xanh, Sạch, Sáng”, một trường THCS đã cử học sinh của hai lớp 9A và 9B cùng tham gia làm tổng vệ sinh một con đường, sau giờ thì làm xong công việc. Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm riêng thì sau bao nhiêu giờ sẽ làm xong công việc?

Câu 4 (2 điểm)  Cho phương trình (với là ẩn số)

a) Giải phương trình khi

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của

c) Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Câu 5 (3 điểm)

Cho đường tròn tâm đường kính Trên đường tròn lấy điểm không trùng sao cho Các tiếp tuyến của đường tròn tại và tại cắt nhau tại Gọi là hình chiếu vuông góc của trên là giao điểm của hai đường thẳng và

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và Chứng minh

c) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và Chứng minh hai đường thẳng và song song với nhau.

Câu 6 (1 điểm)

Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 6cm, bán kính đáy bằng 1cm. Người ta thả từ từ lần lượt vào cốc nước một viên bi bình cầu và một vật có dạng hình nón đều bằng thủy tinh (vừa khít như hình vẽ) thì thấy nước trong chiếc cốc tràn ra ngoài. Tính thể tích của lượng nước còn lại trong chiếc cốc (biết rằng đường kính của viên bi, đường kính của đáy hình hình nón và đường kính của đáy cốc nước xem như bằng nhau; bỏ qua bề dày của lớp vở thủy tinh).

Lời giải chi tiết

Câu 1 (1,5 điểm)

Phương pháp:

a) Giải phương bất phương trình để tìm

b) Sử dụng công thức  

c) Sử dụng công thức hằng đẳng thức, rút gọn từng biểu thức.

Cách giải:

a) Tìm giá trị của sao cho biểu thức có giá trị dương.

Ta có:

Vậy thì có giá trị dương.

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị biểu thức

c) Rút gọn biểu thức: với

Điều kiện

Câu 2 (1,5 điểm)

Phương pháp:

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

b) Hai đường thẳng song song với nhau

Cách giải:

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

b) Cho đường thẳng Tìm giá trị của sao cho đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng

Ta có:

Đường thẳng đi qua điểm nên thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta được:

Vậy

Câu 3 (1 điểm)

Phương pháp:

Gọi thời gian lớp 9A làm một mình xong công việc là (giờ)

Gọi thời gian lớp 9B làm một mình xong công việc là (giờ)

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo rồi lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình tìm các ẩn đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi thời gian lớp 9A làm một mình xong công việc là (giờ)

Gọi thời gian lớp 9B làm một mình xong công việc là (giờ)

Mỗi giờ lớp 9A làm được phần công việc là: (công việc).

      Mỗi giờ lớp 9B làm được phần công việc là: (công việc).

Mỗi giờ thì cả hai lớp 9A và 9B làm được phần công việc là: (công việc).

Theo đề bài ta có hai lớp cùng làm chung công việc trong giờ thì xong công việc nên ta có phương trình:

Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ nên ta có phương trình:

Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

Vậy nếu làm việc một mình thì lớp 9A làm xong công việc sau giờ, lớp 9B làm xong công việc trong giờ.

Câu 4 (2 điểm)

Phương pháp:

a) Thay vào phương trình rồi giải phương trình bậc hai.

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi

c) Áp dụng định lí Vi-et và giả thiết bài toán để tìm

Cách giải:

a) Giải phương trình khi

Thay vào phương trình ta được phương trình

Vậy với thì tập nghiệm của phương trình là:

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của

Có

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của

c) Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo bài ra ta có:

Vậy là các giá trị thỏa mãn bài toán.

Câu 5 (3 điểm)

Phương pháp:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.

c) Sử dụng tính chất đường trung bình để chứng minh song song.

Cách giải:

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

Xét đường tròn ta có:

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

là đường trung trực của

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng )

b) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và Chứng minh

Xét đường tròn ta có:

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ) (1)

Xét và ta có:

(hai góc tương ứng).

Từ (1) và (2) suy ra:

Mặt khác ta có: vuông tại H (do ) khi đó ta có:

c) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và Chứng minh hai đường thẳng và song song với nhau.

Gọi là giao điểm của và

Xét đường tròn ta có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

Ta có: vuông tại

           vuông tại

(cùng phụ với )

là phân giác trong của trong

Lại có:

là phân giác ngoài của trong

Áp dụng tính chất tia phân giác của tam giác trong ta có:  

Lại có: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có:

(định lý Ta-let)

là trung điểm của

Mà là trung điểm của ( là trung trực của )

là đường trung bình của (định nghĩa đường trung bình)

Câu 6 (1,0 điểm)

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính thể tích của hình trụ, hình nón, hình cầu:

Cách giải:

+) Ta có hình trụ có :

+) Ta có:

Theo hình vẽ ta có:

Khi đó ta có thể tích của lượng nước còn lại trong chiếc cốc là:

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Tìm x để biểu thức có nghĩa.

b) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

c) Rút gọn biểu thức với và

Câu 2 (1,5 điểm)

a) Giải phương trình

b) Cho đường thẳng Tìm các giá trị của và để đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc bằng

Câu 3 (1 điểm)  Để phục vụ cho Festival Huế 2018, một cơ sở sản xuất nón lá dự kiến làm ra 300 chiếc nón lá trong một thời gian đã định. Do được bổ sung thêm nhân công nên mỗi ngày cơ sở đó làm ra được nhiều hơn 5 chiếc nón lá so với dự kiến ban đầu, vì vậy cơ sở sản xuất đã hoàn thành 300 chiếc nón lá sớm hơn 3 ngày so với thời gian đã định. Hỏi theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày cơ sở đó làm được ra bao nhiêu chiếc nón lá? Biết rằng số chiếc nón lá làm ra mỗi ngày là bằng nhau và nguyên chiếc.

Câu 4 (2 điểm) Cho phương trình (với là ẩn số).

a) Giải phương trình (1) khi

b) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AC (M không trùng A và C). Một đường thẳng đi qua M cắt cạnh BC tại I và cắt đường thẳng AB tại N sao cho I là trung điểm của MN. Đường phân giác trong của góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm D (D không trùng A). Chứng minh rằng:

a) và

b) Tứ giác BNDI nội tiếp

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm A) khi M di chuyển trên cạnh AC.

Bài 6 (1,0 điểm)  Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vòng ta được hình trụ có thể tích V₁ và khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vòng thì được hình trụ có thể tích V₂. Tính tỉ số  

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

+) Biểu thức có nghĩa

+) Sử dụng công thức:

+) Quy đồng mẫu thức các phân số sau đó biến đổi và rút gọn của biểu thức.

Cách giải:

a) Tìm x để biểu thức có nghĩa.

có nghĩa

Vậy biểu thức có nghĩa khi

b) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

c) Rút gọn biểu thức với và

Vậy

Câu 2:

Phương pháp:

+) Đặt , đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn từ đó tìm ẩn

+) Đường thẳng có hệ số góc bằng từ đó ta tìm được Đường thẳng đi qua điểm , ta thay tọa độ điểm A vào công thức hàm số của đường thẳng   để tìm

Cách giải:

a) Giải phương trình

Đặt Khi đó ta có phương trình:

Có

phương trình  (*) có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và

b) Cho đường thẳng Tìm các giá trị của và để đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc bằng

Đường thẳng có hệ số góc bằng

Đường thẳng đi qua nên ta có:

Vậy và thỏa mãn bài toán.

Câu 3:

Phương pháp:

Giải bài toàn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết.

+) Dựa vào giả thiết của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình.

+) Giải phương trình hoặc hê phương trình vừa lập để  tìm ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Cách giải:

Để phục vụ cho Festival Huế 2018, một cơ sở sản xuất nón lá dự kiến làm ra 300 chiếc nón lá trong một thời gian đã định. Do được bổ sung thêm nhân công nên mỗi ngày cơ sở đó làm ra được nhiều hơn 5 chiếc nón lá so với dự kiến ban đầu, vì vậy cơ sở sản xuất đã hoàn thành 300 chiếc nón lá sớm hơn 3 ngày so với thời gian đã định. Hỏi theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày cơ sở đó làm được ra bao nhiêu chiếc nón lá? Biết rằng số chiếc nón lá làm ra mỗi ngày là bằng nhau và nguyên chiếc.

Gọi số chiếc nón lá mỗi ngày cơ sở đó làm được là (chiếc)

Số ngày cơ sở đó dự kiến làm hết 300 chiếc nón lá là: (ngày).

Sau khi làm tăng thêm 5 chiếc nón lá một ngày thì thời gian cơ sở đó làm hết 300 chiếc nón lá là: (ngày)

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy theo dự kiến, mỗi ngày cơ sở đó làm được 20 chiếc nón lá.

Câu 4:

Phương pháp:

a) Thay giá trị vào phương trình (1) sau đó giải phương trình (1).

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Áp dụng hệ thức Vi-ét và hệ thức bài cho để tìm  

Cách giải:

Cho phương trình (với là ẩn số).

a) Giải phương trình (1) khi

Thay giá trị vào phương trình ta được:

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm

b) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 5.

Phương pháp:

a) Chứng minh sđ cung DN = sđ cung DM.

b) Chứng minh tứ giác BNDI có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

c) Dựa vào các điểm cố định và điều kiện I là trung điểm của MN.

Cách giải:

a) và

Ta có (Do AD là tia phân giác của góc MAN)

Nên sđ cung DN = sđ cung DM (hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau)

(hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

cân tại D Trung tuyến DI đồng thời là đường cao .

b) Tứ giác BNDI nội tiếp

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM).

Mà

(Do tam giác ABC cân tại A nên phân giác AD đồng thời là đường cao, tức là: )

Mà (kề bù) tứ giác BNDI nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm A) khi M di chuyển trên cạnh AC.

Bài 6.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ trong đó R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Cách giải:

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được khối trụ có chiều cao h₁ = AB = 2a và bán kính đáy R₁ = BC = a.

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC ta được khối trụ có chiều cao h₂ = BC = a và bán kính đáy R₂ = AB = 2a.

Vậy . 

Đề bài

Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức với là số thực dương.

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Rút gọn biểu thức .

c) Chứng minh rằng với mọi số thực dương thì .

Câu 2: (1 điểm) Cho phương trình .

a) Tính giá trị của , từ đó suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 3: (1,5 điểm) a) Sau khi thống kê cân nặng (đơn vị: ki-lô-gam) của 44 bạn học sinh lớp 9A ở một trường trung học cơ sở, giáo viên chủ nhiệm có được bảng tần số ghép nhóm dưới đây:

Tính tần số tương đối của nhóm [45;50).

b) Một hộp chứa 6 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 6, hai thẻ khác nhau đánh hai số khác nhau. Bạn An lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp và ghi số của thẻ lên bảng rồi bỏ tấm thẻ đó vào lại trong hộp, sau đó bạn Bình cũng làm tương tự như bạn An. Tính xác suất của biến cố X: “Tích hai số mà An và Bình đã ghi trên bảng chia hết cho 10”.

Câu 4: (1 điểm) Nhắc đến ẩm thực Huế, nổi tiếng nhất có lẽ là món bún bò Huế cay nồng, đậm đà hương vị. Một quán bún bò Huế có chi phí chuẩn bị mỗi ngày bao gồm chi phí cố định là 500 nghìn đồng và chi phí nguyên liệu cho 100 tô bún bò, mỗi tô là 25 nghìn đồng.

a) Hỏi chi phí chuẩn bị mỗi ngày của quán bún đó là bao nhiêu nghìn đồng?

b) Lợi nhuận (nghìn đồng) của quán trong một ngày được tính bằng tổng số tiền bán được (tô bún bò) trong ngày ( với , ) trừ đi chi phí chuẩn bị của ngày đó. Biết quán bán mỗi tô bún bò với giá 40 nghìn đồng, hãy viết công thức biểu thị theo .

Câu 5: (1 điểm) Hai đội thợ máy I và II có tổng cộng 180 người. Sau khi chuyển 15 người từ đội I sang đội II thì số người ở đội II gấp đôi số người ở đội I. Tính số người của mỗi đội lúc đầu.

Câu 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh 4 điểm A, C, D, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh tam giác FHD đồng dạng tam giác FEC.

c) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Đường thẳng KF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Gọi N là giao điểm của CP và EF, I là trung điểm của AH và M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác FHK đồng dạng tam giác NEC và ba điểm M, N, I thẳng hàng.

Câu 7: (1 điểm) Cho hai cốc thủy tinh không nắp (không chứa nước) gồm một cốc dạng hình trụ và một cốc có phần đựng nước dạng hình nón với bề dày thành cốc và đáy cốc không đáng kể, biết hình trụ và hình nón có cùng chiều cao và cùng bán kính đáy (tham khảo hình vẽ). Bạn Chi lấy một chai nước, đầu tiên đổ nước từ chai vào cốc hình trụ cho đến khi đầy rồi đổ tiếp vào cốc hình nón thì vừa hết nước trong chai và khi đó chiều cao của nước trong cốc hình nón bằng một nửa chiều cao của hình nón. Hỏi với cùng lượng nước ban đầu, bạn Chi đổ nước từ chai vào cốc hình nón trước cho đến khi đầy rồi đổ phần nước còn lại vào cốc hình trụ thì chiều cao của nước trong cốc hình trụ bằng bao nhiêu phần chiều cao của cốc hình trụ?

-------- Hết --------

Lời giải

Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức với là số thực dương.

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Rút gọn biểu thức .

c) Chứng minh rằng với mọi số thực dương thì .

Lời giải:

a) Thay (TMĐK) vào biểu thức , ta được:

.

Vậy khi thì .

b) (với là số thực dương)

.

Vậy với là số thực dương.

c) Ta có .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và , ta có:

.

Vậy với mọi số thực dương , ta có .

Câu 2: (1 điểm) Cho phương trình .

a) Tính giá trị của , từ đó suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Lời giải:

a) Phương trình có

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Ta có

Vì là nghiệm của phương trình nên

Suy ra

Thay vào tử số của , ta được

Suy ra

là nghiệm của phương trình nên theo Viète, ta có

Thay và vào , ta được:

Vậy

Câu 3: (1,5 điểm) a) Sau khi thống kê cân nặng (đơn vị: ki-lô-gam) của 44 bạn học sinh lớp 9A ở một trường trung học cơ sở, giáo viên chủ nhiệm có được bảng tần số ghép nhóm dưới đây:

Tính tần số tương đối của nhóm [45;50).

b) Một hộp chứa 6 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 6, hai thẻ khác nhau đánh hai số khác nhau. Bạn An lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp và ghi số của thẻ lên bảng rồi bỏ tấm thẻ đó vào lại trong hộp, sau đó bạn Bình cũng làm tương tự như bạn An. Tính xác suất của biến cố X: “Tích hai số mà An và Bình đã ghi trên bảng chia hết cho 10”.

Lời giải:

a) Tần số tương đối của nhóm [45;50) là: .

Vậy tần số tương đối của nhóm [45;50) là 25%.

b) Các kết quả có thể là:

Số phần tử của không gian mẫu của phép thử là 36.

Các kết quả thuận lợi của biến cố X: “Tích hai số mà An và Bình đã ghi trên bảng chia hết cho 10” là: (5;2); (5;4); (5;6); (2;5); (4;5); (6;5).

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố X.

Vậy xác suất của biến cố X: “Tích hai số mà An và Bình đã ghi trên bảng chia hết cho 10” là: .

Câu 4: (1 điểm) Nhắc đến ẩm thực Huế, nổi tiếng nhất có lẽ là món bún bò Huế cay nồng, đậm đà hương vị. Một quán bún bò Huế có chi phí chuẩn bị mỗi ngày bao gồm chi phí cố định là 500 nghìn đồng và chi phí nguyên liệu cho 100 tô bún bò, mỗi tô là 25 nghìn đồng.

a) Hỏi chi phí chuẩn bị mỗi ngày của quán bún đó là bao nhiêu nghìn đồng?

b) Lợi nhuận (nghìn đồng) của quán trong một ngày được tính bằng tổng số tiền bán được (tô bún bò) trong ngày ( với , ) trừ đi chi phí chuẩn bị của ngày đó. Biết quán bán mỗi tô bún bò với giá 40 nghìn đồng, hãy viết công thức biểu thị theo .

Lời giải:

a) Chi phí chuẩn bị mỗi ngày của quán bún là:

500 + 100.25 = 3 000 (nghìn đồng)

b) Mỗi bát bún bò được bán với giá 40 (nghìn đồng), do đó khi bán được bát thì thu được (nghìn đồng).

Lợi nhuận của quán được tính theo công thức:

(nghìn đồng).

Câu 5: (1 điểm) Hai đội thợ máy I và II có tổng cộng 180 người. Sau khi chuyển 15 người từ đội I sang đội II thì số người ở đội II gấp đôi số người ở đội I. Tính số người của mỗi đội lúc đầu.

Lời giải:

Gọi số người của đội I và đội II lúc đầu lần lượt là (người, )

Hai đội thợ máy I và II có tổng cộng 180 người nên ta có phương trình: (1)

Sau khi chuyển 15 người từ đội I sang đội II thì số người ở đội II gấp đôi số người ở đội I nên ta có phương trình: hay (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy lúc đầu đội I có 75 người, đội II có 105 người.

Câu 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh 4 điểm A, C, D, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh tam giác FHD đồng dạng tam giác FEC.

c) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Đường thẳng KF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Gọi N là giao điểm của CP và EF, I là trung điểm của AH và M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác FHK đồng dạng tam giác NEC và ba điểm M, N, I thẳng hàng.

Lời giải:

a)

vuông tại D nên A, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

vuông tại F nên A, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Vậy A, D, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

b) Ta có vuông tại F và vuông tại E nên A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Tương tự A, E, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB

      và F, D, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính BH.

Khi đó (cùng chắn cung HE)

      (cùng chắn cung DE)

Lại có (cùng chắn cung HD)

Vậy

Tương tự nên suy ra

c) Xét và có (do )

                     (cùng chắn cung AP)

Vậy

Do nên nên

Theo b) nên nên

Suy ra

Ta có nên vừa là đường cao vừa là phân giác của

Suy ra là trung tuyến hay

Suy ra hay N là trung điểm của EF

Lại có (bán kính của đường tròn đường kính AH)

   và (bán kính của đường tròn đường kính BC)

Nên MI là trung trực của EF

Mà N là trung điểm EF nên M, N, I thẳng hàng.

Câu 7: (1 điểm) Cho hai cốc thủy tinh không nắp (không chứa nước) gồm một cốc dạng hình trụ và một cốc có phần đựng nước dạng hình nón với bề dày thành cốc và đáy cốc không đáng kể, biết hình trụ và hình nón có cùng chiều cao và cùng bán kính đáy (tham khảo hình vẽ). Bạn Chi lấy một chai nước, đầu tiên đổ nước từ chai vào cốc hình trụ cho đến khi đầy rồi đổ tiếp vào cốc hình nón thì vừa hết nước trong chai và khi đó chiều cao của nước trong cốc hình nón bằng một nửa chiều cao của hình nón. Hỏi với cùng lượng nước ban đầu, bạn Chi đổ nước từ chai vào cốc hình nón trước cho đến khi đầy rồi đổ phần nước còn lại vào cốc hình trụ thì chiều cao của nước trong cốc hình trụ bằng bao nhiêu phần chiều cao của cốc hình trụ?

Lời giải:

Gọi h là chiều cao chung của cốc hình trụ và cốc hình nón.

Gọi r là bán kính đáy chung của cốc hình trụ và cốc hình nón.

Thể tích của cốc hình trụ là: .

Thể tích của cốc hình nón là: .

Đổ nước vào cốc hình trụ trước, sau đó vào cốc hình nón.

Khi đổ đầy cốc hình trụ, lượng nước đã sử dụng là: .

Sau đó, đổ nước vào cốc hình nón. Chiều cao của nước trong cốc hình nón là .

Có tỉ số bán kính mặt nước và bán kính đáy bằng tỉ số chiều cao nước và chiều cao hình nón :

Suy ra .

Thể tích nước trong cốc hình nón là:

.

Tổng lượng nước trong chai là:

.

Đổ nước vào cốc hình nón trước, sau đó vào cốc hình trụ.

Khi đổ đầy cốc hình nón, lượng nước đã sử dụng là: .

Lượng nước còn lại trong chai để đổ vào cốc hình trụ là:

Đổ lượng nước còn lại này vào cốc hình trụ.

Gọi là chiều cao của nước trong cốc hình trụ.

Thể tích nước trong cốc hình trụ là .

Ta có phương trình: hay

Suy ra .

Vậy chiều cao của nước trong cốc hình trụ bằng chiều cao của cốc hình trụ.