Đề thi vào 10 môn Toán Kiên Giang

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của bằng

A. 17

B. 45

C. 44

D. 

Câu 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn là điểm thuộc . Tính số đo của góc (tham khảo hình vẽ).

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn ?

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 4: Chu vi của đường tròn có bán kính được tính theo công thức . Áp dụng tính chu vi của đường tròn có bán kính .

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên ?

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 6: Đồ thị của hàm số nào có dạng như hình vẽ?

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 7: Hệ phương trình có nghiệm là

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 8: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng , chiều cao là . Thể tích của hình trụ đã cho được tính theo công thức

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 9: Xác định hệ số a,b,c của phương trình bậc hai .

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại , biết , đường cao (tham khảo hình vẽ).

Hãy chọn công thức đúng?

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 11: Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt . Khi đó giá trị của tích bằng

A. 2023

B. -2023

C. -2024

D. 2024

Câu 12: Giá trị của hàm số tại bằng

A. 4

B. -4

C. 1

D. -1

Câu 13: Trong World Cup 2022 được tổ chức tại Qatar, quả bóng được sử dụng cho các trận đấu có dạng hình cầu và có đường kính bằng . Tính diện tích bề mặt của quả bóng.

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 14: Đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 15: Điều kiện của để biểu thức có nghĩa là

A. 

B. 

C. 

D. 

Phần II. Tự luận

Câu 16: 

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức .

b) Rút gọn biểu thức với và .

Câu 17: 

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải phương trình .

b) Để chuẩn bị cho kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2023, bạn Nam muốn mua một số bút bi và một số bút chì. Bạn Nam đến một cửa hàng và nhìn thấy trên giá có thông báo rằng nếu mua 5 bút bi xanh loại và 3 bút chì loại 2B, bạn sẽ phải trả tổng cộng 38500 đồng. Nếu mua 2 bút bi xanh loại và 4 bút chì loại 2B, tổng cộng sẽ là 28000 đồng. Hãy giúp bạn Nam tìm giá của mỗi bút bi xanh loại và mỗi bút chì loại 2B.

Câu 18: Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ đồ thị trên hệ trục toạ độ Oxy.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của và .

Câu 19: Cho hình vuông ABCD cạnh , lấy điểm bất kỳ trên cạnh BC khác và , qua kẻ đường thẳng vuông góc với DH tại , gọi là giao điểm của CD và .

a) Chứng minh rằng tứ giác BMCD nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng KH vuông góc với BD.

c) Gọi x, y lần lượt là diện tích của các tam giác HAB và HCD. Xác định vị trí của điểm

trên cạnh BC để đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 20: Để xác định chiều dài của cáp treo trượt tuyết cần lắp đặt từ điểm đến điểm , một nhân viên trắc địa đo được , sau đó anh ta đi xa ra một đoạn tới điểm và đo được (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao SH của núi (kết quả làm tròn là 2 chữ số thập phân).

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Khai căn bậc hai.

Cách giải:

Chọn D.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Góc nội tiếp cùng chắn một cung có số đo bằng nhau.

Cách giải:

Ta có cùng chắn cung AB. Vậy

Chọn A.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai ẩn có dạng

Cách giải:

Phương trình bậc hai ẩn là:

Chọn D.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính chu vi của đường tròn .

Cách giải:

Áp dụng công thức có:

Chọn C.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Hàm số đồng biến nếu với mọi thuộc tập xác định thỏa mãn thì

Cách giải:

Xét ý A: Lấy là 2 số tùy ý sao cho , ta có:

. Vậy hàm số nghịch biến

Xét ý B: Lấy là 2 số tùy ý sao cho , ta có:

. Vậy hàm số đồng biến.

Chọn B.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị.

Cách giải:

Đây là một đồ thị parabol, đi qua qua gốc tọa độ và đối xứng qua trục Oy.

Đồ thị này là đồ thị của hàm số:

Chọn A.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Chọn D.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ.

Cách giải:

Thể tích của hình trụ đã cho là:

Chọn D.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai có dạng:

Cách giải:

Hệ số a,b,c của phương trình bậc hai là

Chọn C.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông.

Cách giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A, có AD là đường cao

Chọn C.

Câu 11 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng định lí viet: Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì tổng và tích của chúng là: .

Cách giải:

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt . Khi đó giá trị của tích bằng

Chọn D.

Câu 12 (NB):

Phương pháp:

Thay vào hàm số .

Cách giải:

Thay vào hàm số ta được

Chọn A.

Câu 13 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng công thức diện tích mặt cầu

Cách giải:

Đường kính bằng 22 cm nên bán kính , diện tích mặt cầu là:

Chọn C.

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Hai đường thẳng và song song với nhau khi và chỉ khi .

Cách giải:

Đường thẳng song song với đường thẳng .

Chọn B.

Câu 15 (TH):

Phương pháp:

có nghĩa khi

Cách giải:

 có nghĩa khi

Chọn D.

Phần II. Tự luận

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

a) Khai căn

b) Quy đồng rồi rút gọn

Cách giải:

a) Ta có

Vậy

b) Ta có

Vậy với và .

Câu 17 (VD):

Phương pháp:

a) Xét hệ số a, b, c.

b) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Cách giải:

a) Do nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có tập nghiệm

b) Gọi số tiền mua 1 bút bi xanh loại là , đồng)

Gọi số tiền mua 1 bút chì là , đồng)

Do nếu mua 5 bút bi xanh loại và 3 bút chì loại 2B, bạn sẽ phải trả tổng cộng 38500 đồng nên ta có phương trình

Do mua 2 bút bi xanh loại và 4 bút chỉ loại 2B, tổng cộng sẽ là 28000 đồng nên ta có phương trình

Ta có hệ phương trình

    

(thỏa mãn)

Vậy 1 chiếc bút bi xanh có giá là 5000 đồng và 1 chiếc bút chì 2B có giá là 4500 đồng.

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

a) Vẽ đồ thị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

TXĐ:

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta được:

Nhận thấy nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Với

Với

Vậy giao điểm của và có tọa độ là: và .

Câu 19 (VDC):

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Cách giải:

a) Ta có: (gt).

Mà hai đỉnh M,C kề nhau cùng nhìn BD dưới một góc .

nội tiếp đường tròn đường kính BD (đpcm).

b) Xét tam giác BDK có:

là trực tâm của tam giác BDK.

(đpcm)

c) Ta có:

Đặt .

Khi đó ta có

Dấu “=” xảy ra khi .

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8192 khi hay là trung điểm của .

Câu 20 (VDC):

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác.

Cách giải:

Đặt

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác SHA và SHB vuông tại ta được:

Vậy chiều cao SH của núi là: .

-----HẾT-----

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm; gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm một lựa chọn)                                     
         Thí sinh kẻ bẳng sau đây vào giấy thi và điền đáp án của câu hỏi vào ô tương ứng.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Đáp án

Câu 1. Giá trị của biểu thức bằng:

     A.                              B.                                     C.                           D.       

Câu 2. Giá trị của hàm số tại điểm là:

     A.                             B.                                     C.                                     D.    

Câu 3. Biệt thức của phương trình là:

     A.                 B.                   C.                  D.     

Câu 4. Phương trình có tập nghiệm là:

     A.                                           B.                 C.        D.     

Câu 5. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số

     A.                                                B.        C.                                    D.                               

Câu 6. Nếu đường tròn có bán kính bằng thì đường tròn đó có chu vi bằng:

     A.                           B.                                C.                               D.  

Câu 7. Nghiệm của hệ phương trình là:

     A.     B.          C.   D.                                   

Câu 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên

     A.                B.                   C.         D.  

Câu 9. Một hình nón có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng . Thể tích của hình nón bằng:

     A.                                    B.               C.          D.                                       

Câu 10. Hai đường thẳng và song song với nhau khi

     A.                       B.                               C.                           D.  

Câu 11. Biểu thức có nghĩa khi:

     A.                       B.                             C.                         D.   

Câu 12. Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm là và thì bằng:

     A.                             B.                                     C.                                 D.        

Câu 13. Cho tam giác vuông tại . Gọi là chân đường cao đỉnh của tam giác , , độ dài của đoạn bằng bao nhiêu?

     A.                 B.                                C.                                D.     

Câu 14. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy và chiều cao

     A.                                    B.           C.          D.                                     

Câu 15. (ID: 555540) Mặt cầu có độ dài đường kính bằng . Diện tích của mặt cầu là:                                                                                                                        

     A.                 B.                        C.                      D.                                    

 

II. TỰ LUẬN (7,0 điểm, gồm 5 bài toán)

Bài 1. (1,5 điểm)

a) (ID: 555541) Thực hiện phép tính

b) (ID: 555542) Rút gọn biểu thức với

Bài 2 (1,5 điểm):

a) Vẽ Parabol trên trục tọa độ

b) Tìm tham số để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt.

Bài 3. (1,5 điểm)

a) (ID: 555544) Cho phương trình ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn .

b) (ID: 555545) Theo kế hoạch, công an tỉnh Kiên Giang điều 2 tổ công tác đến làm thẻ Căn cước công dân cho một phường trên địa bàn thành phố Rạch Giá. Nếu cả 2 tổ cùng làm thì trong 4 ngày hoàn thành công việc, Nếu mỗi tổ làm riêng thì thời gian hoàn thành của tổ I ít hơn thời gian hoàn thành của tố II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với và ). Tiếp tuyến chung tại của hai đường tròn và cắt đoạn thẳng tại .

a) Chứng minh vuông góc với .

b) Gọi là giao điểm của với và là giao điểm của với . Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.

c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , là trung điểm của đoạn . Chứng minh .

Bài 5 (1,5 điểm)

Các ăng ten parabol thu sóng hoạt động dựa theo nguyên lý: mọi tia sóng song song với trục của parabol đều có tia phản xạ đi qua tiêu điểm của parabol (vì vậy nếu ta đặt thiết bị thu sóng tại thì sẽ thu sóng được tốt nhất). Người ta chứng minh được rằng: Nếu đường thẳng vuông góc với trục của parabol tại  cắt parabol tại 2 điểm thì với là đỉnh của parabol (tham khảo hình vẽ).

    

Tính độ dài đoạn ứng với mô hình trên của một ăng ten parabol (ngang 90cm và cao 9 cm).

Lời giải

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

BẢNG ĐÁP ÁN

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Đáp án	D	B	B	B	C	C	A	B	B	B	A	C	D	A	B

 

Câu 1

Phương pháp:

Sử dụng hẳng đẳng thức

Cách giải:

Ta có:

Chọn D.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Thay vào hàm số để tính.

Cách giải:

Thay vào , ta được:

Giá trị của hàm số tại điểm là:

Chọn B.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Phương trình bậc hai có biệt thức là

Cách giải:

Phương trình: có

Khi đó, biệt thức           

Chọn B.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Phương trình bậc hai có thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cách giải:

Ta có: , khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có tập nghiệm là

Chọn B.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Điểm thuộc đồ thị khi

Cách giải:

+ Thay vào , ta được:

không thuộc đồ thị hàm số

+ Thay vào , ta được:

không thuộc đồ thị hàm số

+ Thay vào , ta được:

thuộc đồ thị hàm số

Chọn C.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Chu vi đường tròn có bán kính được tính theo công thức

Cách giải:

Chu vi đường tròn có bán kính bằng là:

Chọn C.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Chọn A.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

Hàm số đồng biến trên

Cách giải:

Hàm số có nên hàm số đồng biến trên .

Chọn D.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

Hình nón có bán kính đáy , đường cao thì thể tích của hình nón được tính theo công thức

Cách giải:

Thể tích của hình nón là

Chọn B.

Câu 10 (NB)                                                                                                                                                        

Phương pháp:

Hai đường thẳng và song song với nhau

Cách giải:

Hai đường thẳng và song song với nhau khi

Chọn B.

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Biểu thức có nghĩa

Cách giải:

Biểu thức có nghĩa khi

Chọn A.

Câu 12 (TH)

Phương pháp:

Thay vào phương trình từ đó thu được hệ phương trình, giải hệ phương trình, tính

Cách giải:

+ Với , ta có:

+ Với , ta có:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình

Do đó,

Chọn C.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

vuông tại đường cao , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Vậy

Chọn D.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

Hình trụ có bán kính đáy , chiều cao thì diện tích xung quanh tính theo công thức .

Cách giải:

Bán kính đáy của hình trụ là:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Chọn A.

Câu 15 (TH)

Phương pháp:

Diện tích của mặt cầu có bán kính được tính theo công thức:

Cách giải:

Bán kính của mặt cầu là:

Diện tích của mặt cầu là:

Chọn B.

 

II. TỰ LUẬN

Bài 1 (TH)

Phương pháp:

a) Sử dụng hẳng đẳng thức:

Thực hiện phép toán với các căn bậc hai

b) Rút gọn các phân thức, thực hiện các phép toán để rút gọn biểu thức.

Cách giải:

a)  Thực hiện phép tính

Vậy .

b) Rút gọn biểu thức với

Với ta có:

 

  

Vậy với

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

a) Vẽ đồ thị của hàm số

+ Nhận xét về hệ số và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của và

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là phương trình (*)

Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt

Cách giải:

a) Vẽ Parabol trên trục tọa độ

Ta có: nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên, đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và nhận trục làm trục đối xứng.

Hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi .

Bảng giá trị:

là đường cong đi qua các điểm .

Đồ thị hàm số:

 

b) Tìm tham số để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là nghiệm của phương trình:

Ta có: .

Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

Vậy thì đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt.

Bài 3 (VD)

Phương pháp:

Phương trình có nghiệm

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có:

Biến đổi vế phải của phương trình: , sau đó giải phương trình tìm

b) Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của tổ I, tổ II lần lượt là ngày (ĐK: ).

Tính được số phân công việc mà mỗi ngày mỗi tổ làm việc.

Lập hệ phương trình, giải hệ phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

a) Cho phương trình ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn .

Ta có .

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì .

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Ta có:

Vậy .

b) Theo kế hoạch, công an tỉnh Kiên Giang điều 2 tổ công tác đến làm thẻ Căn cước công dân cho một phường trên địa bàn thành phố Rạch Giá. Nếu cả 2 tổ cùng làm thì trong 4 ngày hoàn thành công việc, Nếu mỗi tổ làm riêng thì thời gian hoàn thành của tổ I ít hơn thời gian hoàn thành của tố II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của tổ I, tổ II lần lượt là ngày (ĐK: ).

Mỗi ngày tổ I làm được phần công việc, mỗi ngày tổ II làm được phần công việc.

Vì nếu cả 2 tổ cùng làm thì trong 4 ngày hoàn thành công việc nên ta có phương trình .

Vì nếu mỗi tổ làm riêng thì thời gian hoàn thành của tổ I ít hơn thời gian hoàn thành của tố II là 6 ngày nên ta có phương trình .

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Phương trình (*) có nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Với .

Vậy thời gian làm riêng hoàn thành công việc của tổ I, tổ II lần lượt là ngày và ngày.

Bài 4 (VD)

Phương pháp:

a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn.

b) Vận dụng dấu hiệu: Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi là trung điểm của .

Ta sẽ chứng minh: , là hình bình hành (dhnb) (tính chất hình bình hành).

Mà

Vậy

Cách giải:

Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với và ). Tiếp tuyến chung tại của hai đường tròn và cắt đoạn thẳng tại .

 

a) Chứng minh vuông góc với .

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại có:

là tia phân giác của .

là tia phân giác của .

.

Vậy .

b) Gọi là giao điểm của với và là giao điểm của với . Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.

Ta có: (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) thuộc trung trực của .

thuộc trung trực của .

là trung trực của

tại .

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có tại .

Xét tứ giác có: là hình chữ nhật (dhnb).

là tứ giác nội tiếp.

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà (cùng phụ với ) .

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , là trung điểm của đoạn . Chứng minh .

Gọi là trung điểm của .

Vì vuông tại nên (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền).

Vì lần lượt là trung trực của nên lần lượt là trung điểm của .

là đường trung bình của (định nghĩa)

(tính chất đường trung bình của tam giác).

Lại có là đường trung bình của hình thang nên

Mà (từ vuông góc đến song song).

Vì là trung điểm của , mà là hình chữ nhật (cmt) cũng là trung điểm của .

(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

(từ vuông góc đến song song).   (1)

Ta có:   (2)

Từ (1) và (2) là hình bình hành (dhnb) (tính chất hình bình hành).

Mà

Vậy

Bài 5 (VDC)

Phương pháp:

Ta gắn trục tọa độ của parabol và các điểm M, N vào hệ trục tọa độ với là tia và là tia thuộc đường thẳng vuông góc với tại để giải bài toán.

Cách giải:

Các ăng ten parabol thu sóng hoạt động dựa theo nguyên lý: mọi tia sóng song song với trục của parabol đều có tia phản xạ đi qua tiêu điểm của parabol (vì vậy nếu ta đặt thiết bị thu sóng tại thì sẽ thu sóng được tốt nhất). Người ta chứng minh được rằng: Nếu đường thẳng vuông góc với trục của parabol tại  cắt parabol tại 2 điểm thì với là đỉnh của parabol (tham khảo hình vẽ).

    

Tính độ dài đoạn ứng với mô hình trên của một ăng ten parabol (ngang 90cm và cao 9 cm).

Ta gắn trục tọa độ của parabol và các điểm M, N vào hệ trục tọa độ với là tia và là tia thuộc đường thẳng vuông góc với tại , khi đó parabol đi qua gốc tọa độ và có dạng và hoành độ của điểm N bằng hay có tọa độ là ,

 

Parabol đi qua hai điểm nên ta có:

Parabol là: .

Đường thẳng vuông góc với trục của parabol tại  cắt parabol tại 2 điểm nên hai điểm A và B thuộc parabol.

Gọi tọa độ của là , tọa độ của là .

cùng thuộc đường thẳng và song song với trục hoành nên có tung độ bằng nhau.

.

Vì là điểm thuộc parabol nên

Vậy .

Đề bài

I. Phần trắc nghiệm: 3,0 điểm (Gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm một lựa chọn)

Câu 1: Giá trị của bằng:

A.                                   B.                                     C.                           D.  

Câu 2: Tính diện tích của hình cầu có bán kính  

A.                B.                            C.                           D.   

Câu 3: Cho các điểm sau, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số  

A.                           B.                                   C.                                  D.   

Câu 4: Phương trình có nghiệm là:

A.                  B.                         C.                      D.    

Câu 5: Hệ phương trình có nghiệm là:

A.                   B.                           C.                          D.   

Câu 6: Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt Khi đó giá trị của tích bằng:

A.                           B.                               C.                                       D.    

Câu 7: Tính thể tích của hình trụ có bán kính đáy và chiều cao  

A.                           B.                           C.                                  D.  

Câu 8: Biểu thức có nghĩa khi:

A.                                   B.                                     C.                                    D.  

Câu 9: Tìm để hai đường thẳng và song song.

A.                             B.                             C.                          D.   

Câu 10: Người ta gọi tỉ lệ vàng Tìm  

A.                                                    B.                                     

C.                                      D.  

Câu 11:  Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết và diện tích phần gạch sọc được tính theo công thức Tính diện tích bề mặt hoa văn đó (phần hình được tô đen).

A.                              B.                                  

C.                                D. 

Câu 12: Cho đường tròn đi qua hai đỉnh và tiếp xúc với cạnh của một hình vuông (tham khảo hình vẽ). Tính bán kính của đường tròn đó biết cạnh hình vuông dài

A.                                      B.                                     

C.              D.   

Câu 13: Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính và bánh trước có đường kính là Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng bánh xe sau lăn được vòng thì bánh trước lăn được mấy vòng?

A. 17                                       B. 18                                       C. 19                                       D. 20

Câu 14:  Trong hình vẽ bên, biết là đường kính của đường tròn là điểm chính giữa của cung và Tính số đo của  

A.                             B.                      

C.                             D. 

Câu 15: Nhân ngày Quốc tế thiếu nhi 1/6 vừa qua. Giáo viên chủ nhiệm lớp 9A phân công học sinh (gồm học sinh nam và học sinh nữ) tham gia gói phần quà cho các em thiếu nhi. Biết tổng số quà học sinh nam gói được bằng tổng số quà học sinh nữ gói được. Số quà mỗi bạn nam gói nhiều hơn số quà mỗi bạn nữ gói là phần. Tính giá trị của  

A.                            B.                            C.                                     D.  

II. Phần tự luận: 7,0 điểm

Bài 1. (1,5 điểm)

a) Thực hiện phép tính .

b) Rút gọn biểu thức với .

Bài 2 (1,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Bài 3: (1,5 điểm) Cho parabol và đường thẳng .

a) Vẽ đồ thị trên trục tọa độ .

b) Xác định tham số để đường thẳng và có 1 điểm chung.

Câu 4: Cho đường tròn tâm bán kính có dây cố định là một điểm trên cung lớn sao cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao và của tam giác cắt nhau tại (với ).

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

b) Tia cắt đường tròn tại Chứng minh .

c) Cho biết Tính độ dài đoạn

Bài 5 (0,75 điểm) Cầu Vàm Cống được khởi công ngày 10/9/2013, cầu có tổng chiều dài 2,97 km, phần cầu vượt sông dài 870m. Đây là cầu dây văng thứ 2 vượt song Hậu và là câu dây văng thứ 5 ở Miền Tây, nối liền hai tỉnh Cần Thơ và Đồng Tháp, với vốn đầu tư lên tới gần 5700 tỉ đồng, chính thức được thông xe vào ngày 19/5/2019, thông suốt toàn tuyến N2 từ Bình Phước về TP. Cần Thơ …

Cầu được thiết kế với chiều cao từ sàn cầu đến đỉnh trụ đỡ , dây văng , chiều dài sàn cầu từ B đến C là 218m (tham khảo hình vẽ). Hỏi góc nghiêng của sàn cầu BC so với mặt nằm ngang là bao nhiêu độ, phút, giây? (Giả thiết xem như trụ đỡ AB thẳng đứng).

Lời giải

I. Phần trắc nghiệm: 3,0 điểm (Gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm một lựa chọn)

 

 

Câu 1- Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Phương pháp:

Áp dụng công thức:

Cách giải:

Ta có:

Chọn D.

Câu 2 - Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu

Phương pháp:

Công thức tính diện tích hình cầu bán kính là:

Cách giải:

Ta có diện tích hình cầu là:

Chọn C.

Câu 3 - Hàm số bậc nhất

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm trong các đáp án vào công thức hàm số đã cho và chọn đáp án đúng.

Cách giải:  

+) Xét điểm ta có:

Chọn A.

Câu 4 - Phương trình bậc hai một ẩn số

Phương pháp:

Cách 1: Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

Cách 2: Nhẩm nghiệm của phương trình: có:

TH1: Nếu thì có nghiệm và

TH2: Nếu thì có nghiệm và

Cách 3: Thay các nghiệm ở các đáp án vào phương trình và chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Chọn B.

Câu 5 - Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Cách giải:

Chọn A.

Câu 6 - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Phương pháp:

Phương trình có hai nghiệm thì theo hệ thức Vi-et ta có:

Cách giải:

Giả sử là hai nghiệm của phương trình

Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta có:  

Chọn C.

Câu 7 - Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của Hình trụ

Phương pháp:

Thể tích hình trụ có bán kính đáy và chiều cao là:  

Cách giải:

Thể tích của hình trụ đã cho là:

Chọn D.

Câu 8 - Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^(2)=|A|

Phương pháp:

Biểu thức xác định

Cách giải:

Biểu thức xác định

Chọn B.

Câu 9 - Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Phương pháp:

Đường thẳng và song song với nhau  

Cách giải:

Ta có: và song song

Chọn B.

Câu 10 - Ôn tập chương 4: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

Biến đổi và giải phương trình với điều kiện

Cách giải:

Điều kiện:

Ta có:

Đặt

Có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Chọn C.

Câu 11 - Bài tập ôn cuối năm

Phương pháp:

Diện tích hình vuông cạnh là:

Diện tích của phần hoa văn được tính bằng công thức: Diện tích hình vuông – 4 x diện tích phần gạch sọc.

Cách giải:

Diện tích của hình vuông đã cho là:

Ta có:

Khi đó diện tích phần gạch sọc là:

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là:

Chọn B.

Câu 12 - Ôn tập chương 2: Đường tròn

Phương pháp:

Gọi là trung điểm của (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Áp dụng định lý Pitago để làm bài.

Cách giải:

Gọi là trung điểm của (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Đặt

Áp dụng định lý Pitago cho vuông tại ta có:

Chọn D.

Câu 13 - Ôn tập chương 3: Góc với đường tròn

Phương pháp:

Quãng đường đi được của mỗi bánh xe là: với là bán kính và là đường kính của bánh xe đó.

Cách giải:

Đổi:

Khi đó quãng đường của bánh xe sau lăn được vòng là:

Khi đó bánh trước lăn được số vòng là: vòng.

Chọn C.

Câu 14 - Ôn tập chương 3: Góc với đường tròn

Phương pháp:

Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.

Cách giải:

Xét ta có: là góc nội tiếp chắn cung

Ta có là điểm chính giữa cung

Lại có: là góc nội tiếp chắn cung

Chọn A.

Câu 15 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Dựa vào các giả thiết bài cho, lập hệ gồm hai phương trình hai ẩn .

Giải hệ phương trình vừa lập được để tìm sau đó tính  

Cách giải:

Gọi số bạn học sinh nam là (bạn).

Gọi số bạn học sinh nữ là (bạn).

Theo đề bài ta có: tổng số học sinh là học sinh nên:

Tổng số phần quà là phần quà và số phần quà các bạn nam gói được bằng số phần quà các bạn nữ gói được nên các bạn nam và các bạn nữ đều gói được phần quà.

Số phần quà mỗi bạn nam gói được là: phần quà.

Số phần quà mỗi bạn nữ gói được là: phần quà.

Số phần quà mỗi bạn nam gói được nhiều hơn số phần quà mỗi bạn nữ gói được nên ta có phương trình:

Từ ta có:

Thế vào ta được:

Số bạn nữ là: bạn.

Chọn D.

II. Phần tự luận: 7,0 điểm

Bài 1 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức .

b) Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn.

Cách giải:

a) Thực hiện phép tính .

b) Rút gọn biểu thức với .

Với ta có:

Bài 2

a) - Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

b) - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Phương pháp:

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

b) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Áp dụng định lí Vi-ét.

Cách giải:

a) Giải hệ phương trình .

.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Ta có: .

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì .

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm. Tìm điều kiện để phương trình có 1 nghiệm.

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị trên trục tọa độ .

Bảng giá trị:

			0	2	4
			0

là parabol đi qua các điểm và nhận Oy làm trục đối xứng.

Vẽ đồ thị hàm số:

 

b) Xác định tham số để đường thẳng và có 1 điểm chung.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: (*)

Để đường thẳng và có 1 điểm chung thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất .

.

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4 - Ôn tập tổng hợp chương 1, 2, 3 - Hình học

Phương pháp:

a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rồi sử dụng dụng tính chất hai đường thẳng song song và tính chất góc nội tiếp

c) Sử dụng tính chất hình bình hành, tính chất đường trung bình của tam giác và quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Cách giải:

Cho đường tròn tâm bán kính có dây cố định là một điểm trên cung lớn sao cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao và của tam giác cắt nhau tại (với ).

 

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Xét tam giác có là hai đường cao nên .

Xét tứ giác có mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Tia cắt đường tròn tại Chứng minh

Xét đường tròn có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên .

Lại có .

Suy ra   (1) (hai góc ở vị trí so le trong)

Xét đường tròn có (2)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)

c) Cho biết Tính độ dài đoạn

Xét đường tròn có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên .

Lại có .

Mặt khác theo câu b) thì .

Từ đó, tứ giác có   nên là hình bình hành (dhnb)

Gọi là giao điểm của và , khi đó là trung điểm của và là trung điểm của (vì là hình bình hành)

Xét tam giác có là trung điểm là trung điểm nên là đường trung bình .

Suy ra .

Xét đường tròn có là trung điểm tại (quan hệ giữa đường kính và dây)

Xét cân tại   (do ) có là đường cao nên cũng là đường phân giác của

Xét tam giác vuông tại có

Suy ra

Vậy

        

Câu 5 - Bài tập ôn cuối năm

Phương pháp:

+) Đặt .

+) Áp dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

Đặt .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

.

 Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

Trong tam giác vuông : .

Vậy góc nghiêng của sàn cầu BC so với mặt nằm ngang xấp xỉ 5 độ, 5 phút, 17 giây.

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

a) Tính

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

Câu 2 (2 điểm):

a) Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ

b) Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng song song với đường thẳng

Câu 3 (2 điểm):

a) Gọi là hai nghiệm của phương trình   ( là tham số). Tìm các giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Bạn Nam mua hai món hàng và phải trả tổng cộng 480000 đồng, trong đó đã tính cả 40000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với mặt hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bạn Nam phải trả mỗi món hàng là bao nhiêu tiền?

(Trong đó: Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho Nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được quy là 10%. Khi đó nếu giá bán của mặt hàng A là x đồng thì kể cả thuế VAT, người mua phải trả tổng cộng là đồng).

Câu 4 (0,5 điểm):

Cho biểu thức Tìm các giá trị nguyên của để là số nguyên.

Câu 5 (3,5 điểm):

Cho đường tròn từ điểm ngoài đường tròn vẽ đường thẳng cắt đường tròn tại Qua vẽ đường thẳng không đi qua cắt đường tròn tại Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn Chứng minh

c) Chứng minh

Lời giải

Câu 1:Phương pháp:

a) Sử dụng công thức:

b) Để phân thức: có nghĩa thì

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Cách giải: a) Tính

Vậy

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

Ta có xác định

Câu 2:Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị mà  đồ thị hàm số đi qua sau đó vẽ đồ thị trên hệ trục tọa độ.

b) Hai đường thẳng   song song

Cách giải: a) Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ

+) Vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị là parabol đi qua các điểm

b) Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng song song với đường thẳng

Đường thẳng  

Vậy

Câu 3:

Phương pháp:

a) Phương trình có hai nghiệm

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét   để suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức bài cho và từ đó tìm

b) Giải bài toàn bằng cách lập hệ phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chữa biết theo ẩn và đại lượng đã biết.

+) Dựa vào giả thiết của bài toán để lập hệ phương trình.

+) Giải hệ phương trình tìm ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Cách giải:

a) Gọi là hai nghiệm của phương trình   ( là tham số). Tìm các giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình có hai nghiệm

Hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vì

  hay

Dấu “=” xảy ra

Vậy  

b) Bạn Nam mua hai món hàng và phải trả tổng cộng 480000 đồng, trong đó đã tính cả 40000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với mặt hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bạn Nam phải trả mỗi món hàng là bao nhiêu tiền?

Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là đồng,

Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là đồng,

Số tiền phải trả cho hai món hàng không mất thuế là:

Số tiền thuế phải trả cho món hàng thứ nhất là:   (đồng)

Số tiền thuế phải trả cho món hàng thứ hai là: (đồng).

Số tiền thuế phải trả cho hai món hàng là:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số tiền phải trả cho món hàng thứ nhất không phải thuế là 240 000 đồng, món hàng thứ hai là 200 000 đồng.

Câu 4:

Phương pháp:

+) Biến đổi biểu thức về dạng:

+) Khi đó, để thì

+) Từ đó ta giải phương trình hoặc lập bảng để tìm thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách giải:

Cho biểu thức Tìm các giá trị nguyên của để là số nguyên.

Điều kiện:

Ta có:

                     

Mà

Vậy

Câu 5:

Cách giải:

Cho đường tròn từ điểm ngoài đường tròn vẽ đường thẳng cắt đường tròn tại Qua vẽ đường thẳng không đi qua cắt đường tròn tại Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại

 

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Xét đường tròn ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ).

b) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn Chứng minh

Vì tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O))

. Mà hai góc này ở vị trí so le trong .

Mà .

c) Chứng minh  

Xét tam giác ACD và tam giác ABE có

chung;

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Xét tam giác CBE và tam giác CFA có:

chung;

 

Từ (1) và (2)