Đề thi vào 10 môn Toán Lâm Đồng

Đề bài

Câu 1 (0,75 điểm): Tính giá trị biểu thức:

Câu 2 (0,75 điểm): Tính diện tích chân đống cát dạng hình tròn có chu vi là (Với )

Câu 3 (0, 75 điểm): Giải phương trình:

Câu 4 (0, 75 điểm): Giải hệ phương trình:

Câu 5 (0,75 điểm):

Cho tam giác vuông tại , đường cao . Biết . Tính .

Câu 6 (0,75 điểm):

Cho góc nhọn biết . Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

Câu 7 (0,75 điểm):

Cho Parabol và đường thẳng . Tìm để và không có điểm chung.

Câu 8 (1,0 điểm):

Hình nón có thể tích là và chiều cao là . Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Câu 9 (1,0 điểm):

Chứng minh rằng .

Câu 10 (1,0 điểm):

Một người dự định đi xe gắn máy từ A đến B với vận tốc không đổi. Nhưng thực tế vì có việc gấp, người đó đã tăng vận tốc thêm so với dự định nên đến sớm hơn 15 phút. Tính vận tốc người có dự định đi từ A đến B, biết quãng đường AB dài 70km.

Câu 11 (1 điểm):

Cho phương trình (ẩn tham số ). Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm này mang dấu gì?

Câu 12 (0,75 điểm):

Cho C là một điểm nằm trên nửa đường tròn tâm đường kính Gọi là hình chiếu vuông góc của trên   là điểm đối xứng của qua là trung điểm của là trung điểm của và là giao điểm của và Chứng minh . 

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức:

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

Cách giải:

Vậy

Câu 2

Phương pháp:

Bán kính của hình tròn:

Diện tích của hình tròn:

Cách giải:

Bán kính của chân đống cát là:

Diện tích của chân đống cát đó là:

Câu 3

Phương pháp:

Đặt

Phương trình ban đầu trở thành phương trình bậc hai một ẩn:

Tính , sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tìm được , lấy thỏa mãn điều kiện

Với tìm được, ta tìm được tương ứng.

Cách giải:

Đặt .

Khi đó ta có phương trình:

Phương trình có:

Phương trình có nghiệm

+) Với

Vậy phương trình có tập nghiệm .

Câu 4

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp thế, tìm được theo

Thay vào phương trình còn lại, tìm được và

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

Ta có:

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm

Câu 5

Phương pháp:

Áp dụng định lí Pytago cho vuông tại , tính được

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao , tính được

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago cho vuông tại ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao ta có:

Vậy

Câu 6

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức: , tính được , tìm được thỏa mãn điều kiện

Tính được

Từ đó tính được giá trị biểu thức

Cách giải:

Áp dụng hệ thức:

Mà là góc nhọn nên do đó

Ta có:

Khi đó:

Vậy

Câu 7

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa và  

và không có điểm chung khi  phương trình vô nghiệm (hoặc )

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình:

Phương trình có:

và không có điểm chung khi  phương trình vô nghiệm

Vậy và không có điểm chung khi

Câu 8

Phương pháp:

Hình nón có chiều cao là và bán kính đáy là có thể tích là: , suy ra

Đường sinh của hình nón được tính theo công thức:

Hình nón có đường sinh là và bán kính đáy là có diện tích xung quanh là:

Cách giải:

Ta có:

Bán kính của hình nón là:

Gọi đường sinh của hình nón là Khi đó ta có:

Diện tích xung quanh của hình nón là:

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là

Câu 9

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức:

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

Cách giải:

Ta có:

Vậy

Câu 10

Phương pháp:

Gọi vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là

Tính được thời gian đi hết quãng đường theo dự định theo

Tính được vận tốc và thời gian đi hết quãng đường theo thực tế theo

Dựa vào giả thiết về thời gian nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Đổi phút = giờ

Gọi vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là

Thời gian đi hết quãng đường AB dự định là:

Vận tốc khi tăng so với dự định là: .

Thời gian thực tế xe đi hết quãng đường AB là:

Vì khi tăng vận tốc thêm so với dự định thì đến sớm hơn 15 phút  nên ta có phương trình:

Phương trình có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: và

Vậy vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là .

Câu 11

Phương pháp:

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Áp dụng hệ thức Vi-et tính được

Giả sử , nếu điều giả sử đúng thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương còn nếu điều giả sử sai thì phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

Cách giải:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Với thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Giả sử

Với thì ta có:

Phương trình có hai nghiệm cùng dương.

Với

Mâu thuẫn với điều kiện:

Vậy với thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương.

Câu 12

Phương pháp:

Ta chỉ ra được: ; ; từ đó, suy ra

Ta sẽ chứng minh:

+

+

Mà

Suy ra

Cách giải:

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay

Xét ta có:

là trung điểm của (gt)

là trung điểm của (gt)

là đường trung bình của (định nghĩa đường trung bình của tam giác)

(tính chất).

Mà (do là hình chiếu của trên )

Suy ra tại (từ song song đến vuông góc).

Xét ta có:

lần lượt là trung điểm của và (gt)

là đường trung bình của (định nghĩa đường trung bình của tam giác).

(tính chất đường trung bình của tam giác).

Lại có: hay

(từ song song đến vuông góc).

(cùng phụ với ) 

Trong vuông tại ta có:

Trong vuông tại ta có:

Từ suy ra: 

Xét và ta có:

(2 góc tương ứng)

Mà

Suy ra vuông tại

hay

Xét và ta có:

Mà

Suy ra