Đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An

Đề bài

Câu 1: 

a) Tính .

b) Rút gọn biểu thức , với và .

c) Tìm giá trị của để đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 .

Câu 2: 

a) Giải phương trình .

b) Cho biết phương trình có hai nghiệm dương phân biệt .

Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức .

Câu 3: 

a) Một cừa hàng kinh doanh xe đạp nhập về một lô hàng gồm hai loại: loại I có giá 2 triệu đồng/xe và loại II có giá 6 triệu dồng/xe. Biết rằng lô hàng nói trên có 50 xe với tổng số tiền mà cửa hàng phài thanh toán là 160 triệu đồng. Hòi cửa hàng đã nhập về bao nhiêu xe loại I và bao nhiêu xe loại II?

b) Bạn An bỏ một viên bi đặc không thấm nước vào một lọ thủy tinh chứa nước dạng hình trự có bán kinh đường tròn đáy bằng . Biết rằng khi viên bi chìm hoàn toàn trong nước thì nước trong lọ dâng lên thêm . Tính thể tích viên bi bạn An dã bỏ vào lọ thủy tinh (cho ; xem độ dày của lọ không dáng kể và nước trong lọ không thất thoát ra ngoài).

Câu 4: Cho tam giác nhọn , các đường cao , cắt nhau tại .

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là trung diểm của đoạn thẳng là giao điểm của tia và tia . Chứng minh rằng và .

c) Chứng minh rằng hai đường thẳng và vuông góc với nhau.

Câu 5: Giải hệ phương trình

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) Khai căn và thực hiện phép tính.

b) Quy đồng và rút gọn.

c) Tìm giao điểm của đường thẳng và trục hoành từ đó thay vào đường thẳng để tìm giá trị b.

Cách giải:

a) Tính

Vậy A = 17.

b) Rút gọn biểu thức với và .

Với ta có:

Vậy với thì .

c) Tìm giá trị của b để đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 => Đường thẳng d đi qua điểm A(1;0).

Thay x = 1 và y = 0 vào phương trình đường thẳng d ta có:

Vậy b = -1.

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Tính và suy ra nghiệm của phương trình.

b) Áp dụng hệ thức vi-ét

Cách giải:

a) Giải phương trình

Ta có:

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: .

b) Cho biết phương trình có hai nghiệm dương phân biệt . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức

Vì là nghiệm của phương trình nên .

Theo bài ra, ta có:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Suy ra: .

Vậy

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

a)

Vì tổng số tiền mà cửa hàng phài thanh toán là 160 triệu đồng nên ta tìm được phương trình.

b) Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ: .

Cách giải:

a) Gọi số xe loại I cửa hàng nhập về là x (, xe) (x <  50).

Do lô hàng có tổng 50 xe nên số xe loại II là 50 – x (xe)

Tổng số tiền mua xe loại I là 2x (triệu đồng)

Tổng số tiền mua xe loại II là (triệu đồng)

Do tổng số tiền mà cửa hàng phải thanh toán là 160 triệu đồng nên ta có phương trình:

Vậy cửa hàng đã nhập về 35 xe loại I và 50 – 35 = 15 xe loại II

b) Thể tích của phần nước dâng lên trong bình hình trụ là thể tích của viên bi và bằng

Vậy thể tích viên bi là 3,5325 .

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Cách giải:

a) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác AEHF có (do BE, CF là đường cao)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AEHF nội tiếp (dhnb)  (đpcm)

b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC, M là giao điểm của tia EF và tia CB. Chứng minh rằng và .

+) Chứng minh

Ta có (do CE, AD là đường cao)

Mà F, D là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn AC dưới 2 góc bằng nhau nên AFDC nội tiếp (dhnb)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung FD)

Mà tam giác BFC vuông tại F, trung tuyến FO nên OB = OC = OF (tính chất đường trung tuyến)

cân tại O (tính chất tam giác cân)

(đpcm).

+) Chứng minh

Vì tứ giác AFDC là tứ giác nội tiếp (cmt) (góc ngoài và góc trong tại đối diện)

Xét tứ giác BFEC có:

Mà hai đỉnh F, E kề nhau cùng nhìn BC dưới hai góc bằng nhau

=> BFEC là tứ giác nội tiếp.

(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện)

Mặt khác tam giác BEC vuông tại E có trung tuyến EO ứng với cạnh huyền BC cân tại O .

Từ (1) và (2)

Ta có: cân tại O (tính chất tam giác cân)

Mà (kề bù)

.
Xét và có:

(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

(đpcm).

c) Chứng minh rằng hai đường thẳng MH và AO vuông góc với nhau.

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường kính AG của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Mà (từ vuông góc đến song song).

Tương tự ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Mà (từ vuông góc đến song song).

là hình bình hành (dhnb)

=> Hai đường chéo BC và HG cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BC (gt) => O cũng là trung điểm của HG.

=> H, O, G thẳng hàng.

Gọi cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại I.

Ta có (do AIBC và BFEC là tứ giác nội tiếp)

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH) .

Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) .

thẳng hàng.

thẳng hàng.

Mà .

Xét tam giác OAM có: là trực tâm của tam giác OAM.

là đường cao thứ ba ứng với cạnh AO.

Vậy .

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Cách giải:

.

Bình phương hai vế của phương trình (2) ta được:

(3)

Đặt . Khi đó phương trình (3) trở thành:

TH1:

(do không là nghiệm của phương trình)

Thay vào (1) ta được:

TH2:

Vì nên mà nên (vô lý).

=> Phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là hoặc .

-----HẾT-----

Đề bài

Câu 1 (2,5 điểm):

a) Tính

b) Xác định các hệ số của đường thẳng , biết đường thẳng này đi qua điểm và song song với đường thẳng .

c) Rút gọn biểu thức , với .

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình .

b) Cho phương trình có hai nghiệm dương phân biệt . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 3 (1,5 điểm)

Vào tháng 5 năm 2021, chỉ sau 26 giờ phát hành sản phẩm âm nhạc MV “Trốn tìm” của rapper Đen Vâu đã chính thức dành Top 1 trending của YouTube Việt Nam. Giả sử trong tất cả những người đã xem MV, có 60% số người đã xem 2 lượt và những người còn lại mới chỉ xem 1 lượt. Hỏi đến thời điểm nói trên có bao nhiêu người đã xem MV, biết rằng tổng số lượt xem là 6,4 triệu lượt?

Câu 4 (3,0 điểm)

 Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm , các đường cao và (, và ) cắt nhau  tại .

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng

 c) Gọi là trung điểm của , tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Chứng minh .

Câu 5 (1,0 điểm)

 Giải hệ phương trình (). 

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

a) Vận dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức

b) Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song xác định hệ số và điều kiện của hệ số

Đường thẳng đi qua , xác định được hế số đối chiếu điều kiện, kết luận.

c) Áp dụng quy tắc trừ, nhân các phân thức đại số để rút gọn biểu thức.

Cách giải:

a) Ta có:

Vậy .

b) Ta có: thuộc đường thẳng có phương trình nên ta có:

Đường thẳng song song với đường thẳng nên .

Thay vào ta được:

Vậy .

c) Với ta có:

Vậy với .

Câu 2

Phương pháp:

a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, xác định nghiệm của hệ phương trình.

b) Áp dụng hệ thức Vi – ét, xác định để tính giá trị của biểu thức

Chú ý: ;

Cách giải:

a) Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b) Vì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên theo định lí Vi-ét ta có: .

Ta có:

.

Vậy .

Câu 3  

Phương pháp:

Gọi là số người đã xem MV (triệu người)

Xác định số người đã xem 2 lượt và số người chỉ xem 1 lượt

Theo giả thiết, tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên lập phương trình

Giải phương trình, xác định , đối chiếu điều kiện, kết luận.

Cách giải:

Gọi là số người đã xem MV (triệu người)

Khi đó số người đã xem 2 lượt là (người) và số người chỉ xem 1 lượt là (người).

Vì tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên ta có phương trình:

Vậy có 4 triệu người xem MV.

Câu 4

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận của tứ giác: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau.

b) Vận dụng tính chất của tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác.

c) Áp dụng kiến thức góc – đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn và tam giác đồng dạng.

Cách giải:

a) Ta có (do )

là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) Ta có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Xét tam giác và ta có:

(đối đỉnh)

đồng dạng với (g.g)

(hai cạnh tương ứng)         (1)

Ta có là tứ giác nội tiếp (cmt) nên (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà nên hay là tia phân giác của .

(tính chất đường phân giác)         (2)

Từ (1) và (2) ta được (đpcm)

c) Ta có là trung điểm của nên (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Mà nên

(so le trong)          (3)

Mặt khác ta có: là tiếp tuyến của tại nên (định nghĩa).

Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác vuông tại có là đường cao ta có .

Mà  .

Xét tam giác và ta có:

chung;

đồng dạng với (c.g.c)

(2 góc tương ứng)            (4)

Từ (3) và (4) suy ra (đpcm)

Câu 5

Phương pháp:

Xác định điều kiện của hệ phương trình

Đặt , biến đổi phương trình (1), tìm được mối liên hệ giữa và

Thế lần lượt vào phương trình (2), tìm nghiệm của hệ phương trình, đối chiếu điều kiện, kết luận.

Cách giải:

ĐKXĐ: .

TH1: . Thay vào (2) ta có:

TH2: .

Đặt

Thế vào (*) ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Đề bài

Câu 1: 

a) Tính

b) Rút gọn biểu thức với và .

c) Tìm giá trị của tham số để đường thẳng song song với đường thẳng .

Câu 2: 

a) Giải phương trình

b) Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 3:  

Hưởng ứng phương trào toàn dân chung tay đẩy lùi đại dịch Covid-19, trong tháng hai năm 2020, hai lớp 9A và 9B của một trường THCS đã nghiên cứu và sản suất được 250 chai nước rửa tay sát khuẩn. Vì muốn tặng quà cho khu cách li tập trung trên địa bàn, trong tháng ba, lớp 9A làm vượt mức 25%, lớp 9B làm vượt mức 20%, do đó tổng sản phẩm của cả hai lớp vượt mức 22% so với tháng hai. Hỏi trong tháng hai, mỗi lớp đã sản xuất được bao nhiêu chai nước rửa tay sát khuẩn?

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD (AD > BC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu của E trên AB.

a) Chứng minh ADEH là tứ giác nội tiếp.

b) Tia CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Gọi I là giao điểm của DK và AB. Chứng minh .

c) Khi tam giác DAB không cân, gọi M là trung điểm của EB, tia DC cắt tia HM tại N. Tia NB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HMB tại điểm thứ hai là F. Chứng minh F thuộc đường tròn (O).

Câu 5: 

Giải hệ phương trình:

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2,5 điểm)

Cách giải:

a) Tính

Ta có:

Vậy .

b) Rút gọn biểu thức với và .

Ta có:

Vậy với và .

c) Tìm giá trị của tham số để đường thẳng song song với đường thẳng .

Để đường thẳng song song với đường thẳng thì:

Vậy .

Câu 2 (2,0 điểm)

Cách giải:

a) Giải phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt .

b) Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Ta thấy nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Khi đó,

Vậy .

Câu 3 (1,5 điểm)

Cách giải:

Hưởng ứng phương trào toàn dân chung tay đẩy lùi đại dịch Covid-19, trong tháng hai năm 2020, hai lớp 9A và 9B của một trường THCS đã nghiên cứu và sản suất được 250 chai nước rửa tay sát khuẩn. Vì muốn tặng quà cho khu cách li tập trung trên địa bàn, trong tháng ba, lớp 9A làm vượt mức 25%, lớp 9B làm vượt mức 20%, do đó tổng sản phẩm của cả hai lớp vượt mức 22% so với tháng hai. Hỏi trong tháng hai, mỗi lớp đã sản xuất được bao nhiêu chai nước rửa tay sát khuẩn?

Gọi số chai nước rửa tay lớp 9A, 9B lần lượt sản xuất được trong tháng hai là (chai, )

Trong tháng hai, hai lớp sản suất được 250 chai nước rửa tay nên (1)

Số chai nước rửa tay lớp 9A sản xuất được trong tháng ba là:

chai

Số chai nước rửa tay lớp 9B sản xuất được trong tháng ba là:

chai

Số chai nước rửa tay cả hai lớp sản xuất được trong tháng ba là:

chai

Trong tháng ba, hai lớp sản suất được 305 chai nước rửa tay nên (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

.

Vậy lớp 9A sản suất được chai nước rửa tay.

        lớp 9B sản suất được chai nước rửa tay.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cách giải:

Cho tứ giác ABCD (AD > BC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu của E trên AB.

a) Chứng minh ADEH là tứ giác nội tiếp.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác ADEH có: nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b) Tia CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Gọi I là giao điểm của DK và AB. Chứng minh .

Tứ giác ADCK nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )  (1)

Xét tứ giác ECBH có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó tứ giác ECBH nội tiếp (tứ giác có hai góc đối có tổng số đo bằng )

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Lại có nên hay

nên DI là đường cao trong tam giác vuông ADB

(hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (đpcm)

c) Khi tam giác DAB không cân, gọi M là trung điểm của EB, tia DC cắt tia HM tại N. Tia NB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HMB tại điểm thứ hai là F. Chứng minh F thuộc đường tròn (O).

Theo câu b, tại nên AB là đường trung trực của DK

là tia phân giác của góc

 (3)

Tam giác EHB vuông tại H có M là trung điểm EB nên là đường trung tuyến

cân tại

(4)

Tứ giác ECBH có: nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng )

(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra

là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)

(tính chất)

Xét và có:

Góc chung

(cạnh tương ứng)

  (6)

Tứ giác nội tiếp nên (tính chất)

Xét và có:

Góc chung

(cmt)

(cạnh tương ứng)

(7)

Từ (6) và (7) suy ra

Xét và có:

Góc chung

(góc tương ứng)

Mà (kề bù)

Nên

Do đó tứ giác DCBF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng )

Vậy điểm F nằm trên đường tròn (O) (đpcm).

Câu 5 (1,0 điểm)

Cách giải:

Giải hệ phương trình:

Đặt

TH1: thay vào được:

TH2: thay vào (2) được:

Với thì .

Với   ta có:

(Do không thỏa mãn phương trình)

Vì nên

hay

Lại có,

Với thì

Với thì

Do đó với thì hoặc .

(*) vô nghiệm do và hoặc .

Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;0} \right),\left( { - 2; - 2\sqrt 2 } \right),\left( { - 2;2\sqrt 2 } \ri

Đề bài

Câu 1 (2,5 điểm):

a) So sánh và

b) Chứng minh đẳng thức: với và

c) Tìm giá trị của để đồ thị hàm số đi qua điểm

Câu 2 (2 điểm):

Cho phương trình trong đó là tham số.

a) Giải phương trình khi

b) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện

Câu 3 (1,5 điểm):

Nhân ngày sách Việt Nam, 120 học sinh khối 8 và 100 học sinh khối 9 cùng tham gia phong trào xây dựng “Tủ sách nhân ái”. Sau một thời gian phát động, tổng số sách cả hai khối đã quyên góp được là 540 quyển. Biết rằng mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển. Hỏi mỗi khối đã quyên góp được bao nhiêu quyển sách? (Mỗi học sinh trong cùng một khối quyên góp số lượng sách như nhau).

Câu 4 (3 điểm):

Cho đường tròn (O) có dây BC  cố định không đi qua tâm O. Điểm A di động trên (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, đoạn thẳng KA cắt (O) tại điểm M. Chứng minh rằng:

a) BCEF là tứ giác nội tiếp.

b) KM.KA = KE.KF.

c) Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.

Câu 5 (1 điểm):

Giải hệ phương trình:

Lời giải chi tiết

Phương pháp:

a) Rút gọn số hạng thứ nhất sau đó so sánh theo tính chất: với mọi ta có:

b) Quy đồng mẫu các phân thức và rút gọn biểu thức ở vế trái sao cho bằng biểu thức ở vế phải.

c) Thay tọa độ điểm A vào công thức hàm số đểm tìm m.

Cách giải:

a) So sánh và

Ta có:

Vì

Vậy

b) Chứng minh đẳng thức: với và

Vậy với ta có:

c) Tìm giá trị của để đồ thị hàm số đi qua điểm

Đồ thị hàm số đi qua điểm

Vậy

Phương pháp:

a) Thay giá trị vào phương trình sau đó giải phương trình bậc hai một ẩn.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét   và biểu thức bài cho để tìm

Cách giải:

a) Giải phương trình khi

Với ta có phương trình

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm

b) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Kết hợp với phương trình (1) ta có hệ phương trình:

Vậy thỏa mãn bài toán.

Phương pháp:

Gọi số sách khối 8 và khối 9 quyên góp được lần lượt là (quyển sách),

Dựa vào giả thiết của bài toán để lập hệ phương trình và giải hệ phương trình.

+) Phương trình thứ nhất: Số sách lớp 8 + số sách lớp 9 quyên góp được =  540.

+) Phương trình thứ hai: Số sách mỗi học sinh khối 9 – số sách mỗi học sinh khối 8 = 1.

Giải hệ phương trình vừa lập để tìm và kết luận.

Cách giải:

Gọi số sách khối 8 và khối 9 quyên góp được lần lượt là (quyển sách),

Số sách cả hai khối quyên góp được là:

Số sách một bạn học sinh khối 8 quyên góp là: (quyển)

Số sách một bạn học sinh khối 9 quyên góp là: (quyển)

Mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển nên ta có phương trình:

Từ và ta có hệ phương trình:

Vậy khối 9 đã quyên góp được 300 quyển sách, khối 8 đã quyên góp được 240 quyển sách.

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác BCEF có hai đỉnh E và F cùng nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau.

b) Chứng minh tam giác MKB và tam giác CKA đồng dạng, chứng minh tam giác KBF và tam giác KEC đồng dạng.

c) Kéo dài MH cắt (O) tại I. chứng minh AI là đường kính của đường tròn (O).

Chứng minh BICH là hình bình hành, suy ra MH đi qua trung điểm của BC cố định.

Cách giải:

a) BCEF là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác ta có:

Mà hai đỉnh này cùng kề một cạnh và cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau.

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) KM.KA = KE.KF.

Vì là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Xét và ta có:

Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Xét và ta có:

Từ (1) và (2) ta có:

c) Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.

Kéo dài   cắt đường tròn tại

Ta có:

Xét và ta có:

Mà hai góc này là hai góc kề một cạnh và cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau.

là tứ giác nội tiếp hay cùng thuộc một đường tròn.  (dhnb)

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp hay cùng thuộc một đường tròn.

cùng thuộc một đường tròn.

Lại có đường kính của đường tròn đi qua 5 điểm

Mặt khác, là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là đường kính của đường tròn

Chứng minh tương tự ta được

là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

hay   với là trung điểm của

Mà cố định nên cố định.

Vậy khi thay đổi ta có luôn đi qua trung điểm cố định của cạnh  

Câu 5:

Cách giải:

Giải hệ phương trình:

Điều kiện:

Ta có:

+) Với

Khi đó hệ có tập nghiệm

+) Với

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Bảng sau thống kê tiền lương 50 công nhân của một công ty trong tháng 5 năm 2025:

Hỏi nhóm nào có tần số nhỏ nhất? Tính tần số tương đối của nhóm đó.

b) Một tổ học sinh có 3 bạn nữ là Hoa, Hồng, Hà và 4 bạn nam là An, Bình, Dũng, Cường. Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một bạn từ tổ học sinh đã cho”. Tính xác suất của biến cố A: “Bạn học sinh được chọn là nam”.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Tính .

b) Rút gọn biểu thức , với .

c) Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.

Câu 3 (2,5 điểm)

a) Đầu năm học mới, hai bạn Nam và Hùng cùng đi mua bút và vở. Nam mua 10 cái bút và 15 quyển vở hết 200 nghìn đồng, Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng. Tính giá của mỗi chiếc bút và giá của mỗi quyển vở (biết giá của mỗi chiếc bút là như nhau và giá của mỗi quyển vở là như nhau).

b) Tháng 1 năm 2025, tập đoàn ô tô X sản xuất được 100 xe ô tô. Nhận thấy nhu cầu thị trường tăng lên, tháng 2 tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên so với tháng 1. Tháng 3, tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên so với tháng 2. Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe. Tính .

c) Cho phương trình có hai nghiệm dương . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức .

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn (), đường cao . Kẻ lần lượt vuông góc với ().

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

b) Trên tia đối của tia lấy điểm (). Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng tại . Kẻ vuông góc với (). Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và .

c) Tia phân giác của góc cắt tại . Kẻ lần lượt vuông góc với (). Hai đoạn thẳng và cắt nhau tại . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh vuông góc với .

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Một bác nông dân có một bình đựng nước chè xanh, phần chứa nước là dạng hình trụ có bán kính đáy bằng 4 cm, mực nước trong bình có chiều cao bằng 10 cm. Bác muốn đổ hết nước từ bình sang một cái bát uống nước, phần chứa nước là dạng nửa hình cầu có bán kính bằng 6 cm (hình vẽ bên). Hỏi nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài hay không? Vì sao?

b) Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 1 cm, một đáy của nhân kẹo nằm trên mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ bên). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa khô. Tính chiều cao của viên kẹo.

----- HẾT -----

Lời giải

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Bảng sau thống kê tiền lương 50 công nhân của một công ty trong tháng 5 năm 2025:

Hỏi nhóm nào có tần số nhỏ nhất? Tính tần số tương đối của nhóm đó.

b) Một tổ học sinh có 3 bạn nữ là Hoa, Hồng, Hà và 4 bạn nam là An, Bình, Dũng, Cường. Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một bạn từ tổ học sinh đã cho”. Tính xác suất của biến cố A: “Bạn học sinh được chọn là nam”.

Phương pháp:

a) So sánh các tần số, xem tần số nhỏ nhất ứng với nhóm nào.

Tính tần số tương đối: (trong đó m là tần số của x và n là cỡ mẫu)

b) Xác định số phần tử của không gian mẫu, số kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

a) Nhóm có tần số nhỏ nhất là [12;13) với tần số là 6.

Tần số tương đối của nhóm [12;13) là:

b) Không gian mẫu của phép thử “Chọn ngẫu nhiên một bạn từ tổ học sinh đã chọn” là:

= {Hoa, Hồng, Hà, An, Bình, Dũng, Cường}

Số phần tử của không gian mẫu là: 7.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Bạn học sinh được chọn là nam” là 4. đó là: An, Bình, Dũng, Cường.

Xác suất của biến cố A: "Bạn học sinh được chọn là nam" là .

Vậy xác suất của biến cố A: "Bạn học sinh được chọn là nam" là .

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Tính .

b) Rút gọn biểu thức , với .

c) Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.

Phương pháp:

a) Tính các căn bậc hai và thực hiện phép tính.

b) Sử dụng các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

c) Xác định toa độ điểm có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị hàm số .

Thay toạ độ điểm vào đường thẳng để tìm b.

Lời giải:

a)

b) ĐK:

Vậy với

c) Với , ta có

Điểm đó có toạ độ là . Thay vào phương trình đường thẳng , ta được

suy ra

Vậy

Câu 3 (2,5 điểm)

a) Đầu năm học mới, hai bạn Nam và Hùng cùng đi mua bút và vở. Nam mua 10 cái bút và 15 quyển vở hết 200 nghìn đồng, Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng. Tính giá của mỗi chiếc bút và giá của mỗi quyển vở (biết giá của mỗi chiếc bút là như nhau và giá của mỗi quyển vở là như nhau).

b) Tháng 1 năm 2025, tập đoàn ô tô X sản xuất được 100 xe ô tô. Nhận thấy nhu cầu thị trường tăng lên, tháng 2 tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên so với tháng 1. Tháng 3, tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên so với tháng 2. Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe. Tính .

c) Cho phương trình có hai nghiệm dương . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức .

Phương pháp:

a) Gọi x, y (nghìn đồng) lần lượt là giá 1 cái bút và 1 quyển vở ().

Vì Nam mua 10 cái bút và 15 quyển vở hết 200 nghìn đồng; Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng nên ta lập được hai phương trình.

Từ đó ta có hệ phương trình.

Giải hệ phương trình để tìm x, y.

Kiểm tra điều kiện và kết luận.

b) Biểu diễn số lượng xe sản xuất ở tháng 2, tháng 3 theo .

Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe, nên ta có phương trình.

Giải phương trình, kiểm tra điều kiện và kết luận.

c) Sử dụng chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète để biểu diễn .

Tính .

Đặt ;

Ta có:

Nên suy ra

Suy ra:

Tính .

Suy ra .

Lời giải:

a) Gọi x, y (nghìn đồng) lần lượt là giá 1 cái bút và 1 quyển vở ().

Nam mua 10 cái bút và 15 quyển vở hết 200 nghìn đồng nên ta có: (1)

Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng nên ta có: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(tmđk)

Vậy giá một chiếc bút là 5 nghìn đồng, một quyển vở là 10 nghìn đồng.

b) Tháng 2, tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên x% so với tháng 1, nên số lượng xe sản xuất ở tháng 2 là: (xe)

Tháng 3, tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên 2x% so với tháng 2, nên số lượng xe sản xuất ở tháng 3 là:

Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe, nên ta có:

Giải phương trình ta được (tm) và (ktm)

Vậy

c) Ta có:

Áp dụng định lí Viète ta có:

Khi đó ta có: .

Đặt ;

Ta có:

Nên suy ra

Suy ra:

Do đó: .

Vậy

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn (), đường cao . Kẻ lần lượt vuông góc với ().

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

b) Trên tia đối của tia lấy điểm (). Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng tại . Kẻ vuông góc với (). Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và .

c) Tia phân giác của góc cắt tại . Kẻ lần lượt vuông góc với (). Hai đoạn thẳng và cắt nhau tại . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh vuông góc với .

Phương pháp:

a) Chứng minh AHD vuông tại D, AEH vuông tại E suy ra A,D,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh G, H, B, F cùng thuộc đường tròn đường kính GB suy ra GFI = GBH

Chứng minh GI HF suy ra GIF = GHB = 90°

Chứng minh GFI GBH (g.g) suy ra

Chứng minh , suy ra

Do đó

c) Gọi L là giao điểm của EQ và PN, J là giao điểm của CM và EP

Chứng minh EMKN là hình vuông

Chứng minh NEQ EHN (c.g.c)

Chứng minh EQ HN tại L, EP CM tại J

EPQ có QJ và PL là đường cao cắt nhau tại T nên T là trực tâm nên ET PQ

Lời giải:

a)

Do HD AB, HE AC suy ra AHD vuông tại D nên A, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

AEH vuông tại E nên A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Suy ra A,D,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Do GF BF tại F nên GBF vuông tại F nên G, B, F cùng thuộc đường tròn đường kính GB

Mà AGHB vuông tại H nên G, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính GB

Vậy G, H, B, F cùng thuộc đường tròn đường kính GB

Suy ra GFI = GBH (cùng chắn cung GH) (1)

Do GI AB mà AB HF nên GI HF suy ra GIF = GHB = 90° (2)

Từ (1) và (2) suy ra GFI GBH (g.g)

Khi đó

Do BAH = BHD (cùng cộng với AHD bằng 90°) và HDB = HAD = 90° nên HBD AHD (g.g)

Suy ra hay

Lại có AD GI nên hay

nên suy ra

Suy ra

c)

Gọi L là giao điểm của EQ và PN, J là giao điểm của CM và EP

Do EMKN là hình chữ nhật (MEN = ENK = EMK = 90°) có EK là phân giác nên EMKN là hình vuông

Ta có KN || EH nên

Mà ME = NE nên hay

Mà ENQ = NEH = 90° nên NEQ EHN (c.g.c)

Khi đó NEQ = EHN nên NEQ + ENH = EHN + ENH = 90°

Suy ra ELN vuông tại L hay EQ HN tại L

Chứng minh tương tự ta có EP CM tại J

Xét EPQ có QJ và PL là đường cao cắt nhau tại T nên T là trực tâm

Suy ra ET PQ (đpcm)

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Một bác nông dân có một bình đựng nước chè xanh, phần chứa nước là dạng hình trụ có bán kính đáy bằng 4 cm, mực nước trong bình có chiều cao bằng 10 cm. Bác muốn đổ hết nước từ bình sang một cái bát uống nước, phần chứa nước là dạng nửa hình cầu có bán kính bằng 6 cm (hình vẽ bên). Hỏi nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài hay không? Vì sao?

b) Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 1 cm, một đáy của nhân kẹo nằm trên mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ bên). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa khô. Tính chiều cao của viên kẹo.

Phương pháp:

a) Thể tích nước trong bình tính bằng thể tích hình trụ:

Thể tích cái bát tính bằng nửa thể tích hình cầu là:

So sánh và để kết luận.

b) Đặt AM = x(cm, x > 0)

Tính chiều cao h của viên kẹo.

Áp dụng định lý Thales suy ra

Thể tích viên kẹo là:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số để tìm giá trị nhỏ nhất.

Tính giá trị tương ứng của .

Lời giải:

a) Thể tích nước trong bình là:

Thể tích cái bát là:

Vì nên nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài.

b)

Đặt AM = x(cm, x > 0)

Khi đó chiều cao viên kẹo là

Áp dụng định lý Thales ta có:

hay suy ra

Thể tích viên kẹo là:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Suy ra

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi và suy ra (tm)

Vậy chiều cao của viên kẹo là .