Đề thi vào 10 môn Toán Ninh Thuận

Đề bài

Câu 1: Giải phương trình \(4x - 3 = 2 - x\)

Câu 2: Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt a {\rm{ \;}} + 3}}{{\sqrt a {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{1 - \sqrt a }}{{\sqrt a {\rm{ \;}} + 2}} + \frac{{4 - 4\sqrt a }}{{a - 4}}\)

a) Với giá trị nào của a thì biểu thức P có nghĩa.

b) Rút gọn biểu thức P.

Câu 3: Cho Parabol \((P):y = {\rm{ \;}} - {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = x - 2\).

a) Vẽ \((P)\) và \((d)\) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép toán.

Câu 4: Gia đình An dự định đi du lịch tại Nha Trang và Huế trong 7 ngày. Biết rằng chi phí trung bình mỗi ngày tại Nha Trang là 2 triệu đồng, còn tại Huế là 3 triệu đồng. Tính số ngày nghỉ dự định của gia đình An tại mỗi địa điểm, biết số tiền mà họ phải chi cho toàn bộ chuyến đi là 18 triệu đồng.

Câu 5: Cho đường tròn (O) tâm O bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn tại B, C. Gọi M là điểm thuộc cung lớn BC. Từ M kẻ \(MH \bot BC,\) \(MK \bot AC,\) \(MI \bot AB\).

a) Chứng minh tứ giác MIBH nội tiếp.

b) Giả sử AB = 2R. Tính diện tích tứ giác ABOC.

c) Chứng minh: \(MI.MK = M{H^2}\)

Câu 6: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện \(a + b = 2\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \left( {1 - \frac{4}{{{a^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{4}{{{b^2}}}} \right)\)

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Chuyển vế đổi dấu.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 3 = 2 - x}\\{ \Leftrightarrow 4x + x = 2 + 3}\\{ \Leftrightarrow 5x = 5}\\{ \Leftrightarrow x = 1}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

a) Điều kiện xác định của biểu thức:

- Biểu thức trong căn có nghĩa: \(\sqrt {f(x)} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow f(x) \ge 0\)

- Mẫu thức khác 0.

b) Rút gọn biểu thức (quy đồng, tính toán, đổi dấu)

Cách giải:

a) Biểu thức P có nghĩa khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 0}\\{\sqrt a {\rm{ \;}} - 2 \ne 0}\\{\sqrt a {\rm{ \;}} + 2 \ne 0}\\{a - 4 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 0}\\{a \ne 4}\end{array}} \right.\)

Vậy biểu thức P có nghĩa khi \(a \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 4\).

b) Với \(a \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,P = \frac{{\sqrt a  + 3}}{{\sqrt a  - 2}} + \frac{{1 - \sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}} + \frac{{4 - 4\sqrt a }}{{a - 4}}\\ \Leftrightarrow P = \frac{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}} + \frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}} + \frac{{4 - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow P = \frac{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right) + \left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) + 4 - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow P = \frac{{a + 2\sqrt a  + 3\sqrt a  + 6 + \sqrt a  - 2 - a + 2\sqrt a  + 4 - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow P = \frac{{4\sqrt a {\rm{ \;}} + 8}}{{\left( {\sqrt a {\rm{ \;}} - 2} \right)\left( {\sqrt a {\rm{ \;}} + 2} \right)}}}\\{ \Leftrightarrow P = \frac{{4\left( {\sqrt a {\rm{ \;}} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a {\rm{ \;}} - 2} \right)\left( {\sqrt a {\rm{ \;}} + 2} \right)}}}\\{ \Leftrightarrow P = \frac{4}{{\sqrt a {\rm{ \;}} - 2}}}\end{array}\)

Vậy với \(a \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 4\) thì \(P = \frac{4}{{\sqrt a {\rm{ \;}} - 2}}\).

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^2}(a \ne 0)\)

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị tương ứng giữa \(x\) và \(y\).

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

* Chú ý: vì đồ thị hàm số y \( = a{x^2}(a \ne 0)\) luôn đi qua gốc tọa độ \(O\) và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này , ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.

Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = ax + b(a \ne 0)\)

Bước 1: Cho \(x = 0\) thì \(y = b\), ta được điểm \(P(0;b)\) thuộc trục Oy.

Cho \(y = 0\) thì \(x = \frac{{ - b}}{a}\), ta được điểm \(Q\left( {\frac{{ - b}}{a};0} \right)\) thuộc trục hoành Ox.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \({\rm{P}}\) và \({\rm{Q}}\) ta được đồ thị hàm số \(y = ax + b\)

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\)

Cách giải:

a)

* Vẽ đồ thị \((d):y = x - 2\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 0 - 2 = {\rm{ \;}} - 2\)

Với \(y = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Đồ thị hàm số \(y = x - 2\) là đường thẳng đi qua 2 điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\) và \(N\left( {2;0} \right)\).

* Vẽ đồ thị \((P):y = {\rm{ \;}} - {x^2}\)

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

\(O{\mkern 1mu} \left( {0;0} \right);A\left( { - 2; - 4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( { - 1; - 1} \right);C\left( {1; - 1} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D\left( {2; - 4} \right)\)

Hệ số \(a = {\rm{ \;}} - 1 < 0\)nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = x - 2\) và \((P):y = {\rm{ \;}} - {x^2}\) trên cùng hệ trục toạ độ như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ - {x^2} = x - 2}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0}\end{array}\)

Ta có \(a + b + c = 1 + 1 + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{c}{a} = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = {\rm{ \;}} - {1^2} = {\rm{ \;}} - 1\)

Với \(x = {\rm{ \;}} - 2 \Rightarrow y = {\rm{ \;}} - {\left( { - 2} \right)^2} = {\rm{ \;}} - 4\).

Vậy \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm \(\left( {1; - 1} \right)\) và \(\left( { - 2; - 4} \right)\).

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Tổng số tiền đi cả hai nơi là 18 triệu đồng.

Cách giải:

Gọi số ngày gia đình An dự định đi du lịch tại Nha Trang là \(x\)(ngày)

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}*;x < 7\).

Số ngày gia đình An dự định đi du lịch tại Huế là 7 – x (ngày)

Theo đề bài, chi phí trung bình mỗi ngày tại Nha Trang là 2 triệu đồng, còn tại Huế là 3 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x + 3(7 - x) = 18}\\{ \Leftrightarrow 2x + 21 - 3x = 18}\\{ \Leftrightarrow x = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (tm)}\end{array}\)

Số ngày gia đình An dự định đi du lịch tại Huế là: 7 – 3 = 4 (ngày)

Vậy số ngày gia đình An dự định đi du lịch tại Nha Trang là 3 ngày;  số ngày gia đình An dự định đi du lịch tại Huế là 4 ngày.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

a) Chứng minh MIBH có hai tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) nên là tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta chứng minh được \(\Delta OAB = \Delta OAC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \({S_{ABOC}} = 2.{S_{OAB}}\)

c) Chứng minh MKCH có hai tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) nên là tứ giác nội tiếp

Sử dụng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Từ đó $\Rightarrow \Delta MHI\backsim \Delta MKH\left( g.g \right)$, suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Cách giải:

a) Ta có \(MI \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MIB = {90^0}\)

         \(MH \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MHB = {90^0}\)

Xét tứ giác MIBH có

\(\angle MIB + \angle MHB = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow MIBH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (đpcm).

b) Tam giác AOB có \(AB \bot OB\) (giá trị) nên \(\Delta AOB\) vuông tại B.

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{{OB.AB}}{2} = \frac{{R.2R}}{2} = {R^2}\).

Xét tam giác OAB và tam giác OAC có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{OB = OC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { = R} \right)}\\{AO{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung}\\{\hat B = \hat C = {{90}^0}}\end{array}} \right\} \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OAC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = {S_{OAC}} = {R^2}\)

\( \Rightarrow {S_{ABOC}} = {S_{OAB}} + {S_{OAC}} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}\).

c) Ta có

\(MK \bot AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AKC = {90^0}\)

\(MH \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MHC = {90^0}\)

\(\angle AKC + \angle HMC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác MKCH là  tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

\( \Rightarrow \angle MCK = \angle MHK\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Mà \(\angle MCK = \angle MBC = \angle MBH\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC).

\(\angle MBH = \angle MIH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MH)

\( \Rightarrow \angle MHK = \angle MIH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\angle MHI = \angle MBI\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MI).

Mà \(\angle MBI = \angle MCB = \angle MCH\) (góc nội  tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM).

\(\angle MCH = \angle MKH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MH)

\( \Rightarrow \angle MHI = \angle MKH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta MHI\) và \(\Delta MKH\) có:

$\begin{array}{*{35}{l}}\angle MIH=\angle MHK\left( theo\left( 1 \right) \right)  \\ \angle MHI=\angle MKH\left( theo\left( 2 \right) \right)  \\ \Rightarrow \Delta MHI\backsim \Delta MKH\left( g.g \right)  \\ \end{array}$

\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{MK}} = \frac{{MI}}{{MH}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow MI.MK = M{H^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right)\).

Câu 6 (VDC):

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức M về dạng xuất hiện a.b

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left( {1 - \frac{4}{{{a^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{4}{{{b^2}}}} \right)\\M = \left( {\frac{{{a^2} - 4}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\frac{{{b^2} - 4}}{{{b^2}}}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{{a^2} - {{(a + b)}^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\frac{{{b^2} - {{(a + b)}^2}}}{{{b^2}}}} \right)\\M = \left( {\frac{{ - 2ab - {b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\frac{{ - 2ab - {a^2}}}{{{b^2}}}} \right)\\M = \frac{{\left( {2a + b} \right)\left( { - b} \right)}}{{{a^2}}}.\frac{{\left( {a + 2b} \right)\left( { - a} \right)}}{{{b^2}}}\\M = \frac{{\left( {2a + b} \right)\left( {a + 2b} \right)}}{{ab}} = \frac{{\left( {a + a + b} \right)\left( {a + b + b} \right)}}{{ab}}\\M = \frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)}}{{ab}} = \frac{{ab + 2\left( {a + b} \right) + 4}}{{ab}}\\M = \frac{{ab + 8}}{{ab}} = 1 + \frac{8}{{ab}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ab \le {{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)}^2} = {{\left( {\frac{2}{2}} \right)}^2} = 1}\\{ \Leftrightarrow \frac{8}{{ab}} \ge 8}\\{ \Leftrightarrow 1 + \frac{8}{{ab}} \ge 9}\\{ \Rightarrow M \ge 9}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) \(a = b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 9 khi \(a = b = 1\).

Đề bài

Bài 1 (2,0 điểm): Giải các phương trình, hệ phương trình:

1) \(2x - 1 = x - \dfrac{1}{3}\)                                          2) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\7x - 5y =  - 9\end{array} \right.\)

Bài 2 (2,0 điểm):

1) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y =  - \dfrac{1}{4}{x^2}.\)

2) Tìm điều kiện của \(m\) đề đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y =  - x + m\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

Bài 3 (2,0 điểm): Bạn Hoàng làm việc tại nhà hàng nọ, bạn ấy được trả tám trăm ngàn đồng cho 40 giờ làm việc tại quán trong một tuần. Mỗi giờ làm thêm trong tuần bạn được trả bằng 150% số tiền mà mỗi giờ bạn ấy được trả trong 40 giờ đầu. Nếu trong tuần đó bạn Hoàng được trả chín trăm hai mươi nghìn đồng thì bạn ấy đã phải làm thêm bao nhiêu giờ?

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác \(ABC\) có các góc \(\angle ABC,\,\,\angle ACB\) nhọn và \(\angle BAC = {60^0}.\) Các đường phân giác trong \(BE,\,\,CF\) của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(I.\)

1) Chứng minh tứ giác \(AEIF\) nội tiếp.

2) Gọi \(K\) là giao điểm thứ hai \(\left( {K \ne B} \right)\) của đường thẳng \(BC\) với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BFI.\) Chứng minh rằng \(\Delta AFK\) cân tại F.

Lời giải

Bài 1 (TH):

Phương pháp:

1) Đưa phương trình ban đầu về dạng \(ax + b = 0\) để tìm nghiệm của phương trình.

2) Vận dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

1) \(2x - 1 = x - \dfrac{1}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - x =  - \dfrac{1}{3} + 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{2}{3}\).

2) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\7x - 5y =  - 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15x + 5y = 20\\7x - 5y =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}22x = 11\\y = 4 - 3x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = 4 - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}} \right)\).

Bài 2 (VD):

Phương pháp:

1) Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\) sau đó vẽ đồ thị hàm số của hàm số \(\left( P \right)\).

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\)

Cách giải:

1) Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):\,\,y =  - \dfrac{1}{4}{x^2}\) là đường cong đi qua các điểm: \(\left( { - 4;\,\, - 4} \right),\,\,\left( { - 2;\,\, - 1} \right),\,\,\left( {0;\,\,0} \right),\,\,\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(\left( {4;\,\, - 4} \right).\)

2) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right):\) 

\( - \dfrac{1}{4}{x^2} =  - x + m\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow 1.4m < 0 \Leftrightarrow m < 0.\)

Vậy \(m < 0\) thỏa mãn bài toán.

Bài 3 (VD):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình,cụ thể gọi số giờ bạn Hoàng đã làm thêm trong tuần là \(x\) (giờ) (ĐK: \(x > 0\)), từ giả thiết của đề bài lập phương trình, giải phương trình sau đó đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi số giờ bạn Hoàng đã làm thêm trong tuần là \(x\) (giờ) (ĐK: \(x > 0\)).

Bạn Hoàng được trả 800 nghìn đồng cho 40 giờ làm việc trong tuần nên mỗi giờ làm việc trong tuần bạn Hoàng nhận được \(\dfrac{{800}}{{40}} = 20\) (nghìn đồng).

Vì mỗi giờ làm thêm trong tuần Hoàng được trả bằng 150% số tiền mà mỗi giờ bạn ấy được trả trong 40 giờ đầu tiên nên mỗi giờ làm thêm trong tuần Hoàng nhận được \(20.150\%  = 30\) (nghìn đồng).

Suy ra tổng số tiền Hoàng nhận được (tính cả làm thêm) trong mỗi tuần là: \(800 + 30x\) (nghìn đồng).

Vì trong tuần đó bạn Hoàng được trả chín trăm hai mươi nghìn đồng nên ta có phương trình

\(800 + 3x = 920 \Leftrightarrow 3x = 120 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy Hoàng đã làm thêm 4 giờ.

Bài 4 (VDC):

Phương pháp:

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối diện bẳng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2) Vận dụng tính chất của tứ giác nội tiếp, mối quan hệ của góc – đường tròn.

Cách giải:

1) Ta có: \(\angle BAC = {60^0}\)

\( \Rightarrow \angle ABC + \angle BCA = {120^0}\) (tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\angle ABC + \angle BCA} \right) = {60^0}\\ \Leftrightarrow \angle {B_2} + \angle {C_2} = {60^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle BIC = {180^0} - \left( {\angle {B_2} + {C_2}} \right) = {120^0}\)  (tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\))

\( \Rightarrow \angle FIE = \angle BIC = {120^0}\) (hai góc đối đỉnh)

Xét tứ giác \(AEIF\) ta có:

\(\angle BAC + \angle EIF = {60^0} + {120^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow AEIF\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bẳng \({180^0}\))

2) Ta có: Tứ giác \(BFIK\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle FKB = \angle FIB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle FKB = \angle FIB = {180^0} - \angle EIB = {60^0}\\ \Rightarrow \angle FAC = \angle FKB = {60^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow AFKC\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle FAK = FCK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FK\))

Và \(\angle FKA = \angle FCA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AF\))

Mà \(\angle FCA = \angle FCK\) (\(CF\) là phân giác góc \(\angle KCA\))

\( \Rightarrow \angle FAK = \angle FKA\,\,\left( { = \angle FCA} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AKF\) cân tại \(F\) (đpcm).

Đề bài

Câu 1: 

a) Tìm để biểu thức có nghĩa

b) Giải phương trình

Câu 2: 

Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng

a) Gọi , lần lượt là giao điểm của với các trục tọa độ . Tìm tọa độ các điểm A, B và vẽ đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

b) Tính diện tích tam giác

Câu 3: 

a) Rút gọn biểu thức:   (với và )

b) Cho Chứng minh rằng:

Câu 4: 

Cho đường tròn tâm O đường kính Vẽ dây cung vuông góc với tại ( nằm giữa và ). Lấy điểm trên cung nhỏ ( khác và ), cắt tại

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

b) Tính độ dài cạnh theo và khi

c) Chứng minh khi điểm chạy trên cung nhỏ thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải

Câu 1 (2 điểm)

Cách giải:

a) Tìm để biểu thức có nghĩa

Ta có biểu thức có nghĩa khi

Vậy với thì biểu thức có nghĩa

b) Giải phương trình

Ta có:

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Câu 2 (2 điểm)

Cách giải:

Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng

a) Gọi , lần lượt là giao điểm của với các trục tọa độ . Tìm tọa độ các điểm A, B và vẽ đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Vì A là giao điểm của và trục nên

Ta có nên

Vì B là giao điểm của và trục nên

Ta có nên

Vậy

+) Vẽ đường thẳng

Với suy ra

Với suy ra

Đường thẳng đi qua hai điểm là đồ thị hàm số

b) Tính diện tích tam giác

Theo câu a) ta có: nên

Tam giác vuông tại nên diện tích tam giác là: (đvdt)

Câu 3 (2 điểm)

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức:   (với và )

Ta có:

Vậy với và

b) Cho Chứng minh rằng:

Ta có:

(do )

(luôn đúng với mọi )

Suy ra  với 

Câu 4 (4 điểm)

Cách giải:

Cho đường tròn tâm O đường kính Vẽ dây cung vuông góc với tại ( nằm giữa và ). Lấy điểm trên cung nhỏ ( khác và ), cắt tại

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

Xét đường tròn có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có (do tại )

Xét tứ giác có: mà hai góc đối nhau nên tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Tính độ dài cạnh theo và khi

Xét đường tròn có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác vuông tại ta có:

Ta có:

Xét đường tròn có tại nên là trung điểm của dây (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Hay là đường trung trực của đoạn , suy ra

Do đó cung cung (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Xét đường tròn có (hai góc  nội tiếp chắn hai cung bằng nhau và )

Nên

Vậy khi

c) Chứng minh khi điểm chạy trên cung nhỏ thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Xét đường tròn có (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau và )

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác có

Mà là góc nội tiếp chắn cung

Suy ra là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , suy ta tại (do là tiếp tuyến)

Lại có (cmt) hay

Suy ra

Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn thuộc đường thẳng cố định.

Đề bài

Bài 1 (2 điểm) Giải bất phương trình và hệ phương trình sau:

Bài 2 (2 điểm)  Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ đồ thị trên hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của và  

Bài 3 (2 điểm) 

a) Rút gọn biểu thức:

b) Chứng minh rằng phương trình: luôn có hai nghiệm phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4 (4 điểm)  Cho tam giác vuông tại nội tiếp trong đường tròn tâm đường kính Gọi là chân đường cao hạ từ xuống là trung điểm đoạn thẳng Tiếp tuyến tại của đường tròn tâm cắt kéo dài tại điểm

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng:

c) Tính theo diện tích của phần tam giác nằm ngoài hình tròn tâm

Lời giải

Bài 1 (2,0 điểm) (TH):

Phương pháp:

a) Giải bất phương trình bằng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

a) .

Vậy nghiệm của bất phương trình là .

b) .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Bài 2 (2,0 điểm) (VD):

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

+) Sử dụng định lý Vi-ét để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Cách giải:

a) Vẽ parabol .

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm .

Vẽ đồ thị:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ta được:

Vậy giao điểm của và là và .

Bài 3 (VD) (2 điểm)

Phương pháp:

a) Quy đồng mẫu thức, khai tiển và thu gọn .

b) +) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .

+) Sử dụng định lý Vi-et, đưa về biểu thức ẩn . Tìm GTNN của và kết luận.

Cách giải:

a) với và .

Điều kiện:

 Vậy .

b) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có:

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt  với mọi .

Theo định lý Vi – et ta có:  .

Theo đề bài ta có: .

Ta có:

.

Dấu “=” xảy ra khi .

Vậy khi .

Câu 4 (VD) (4 điểm)

Phương pháp:

a) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng để chứng minh đẳng thức.

c) Sử dụng định lý Ta-lét và các công thức tính viên phân và công thức diện tích tam giác để làm bài.

Cách giải:

a) .

là trung điểm của (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) .

Xét tứ giác có .

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác nội tiếp (đpcm).

b) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tam giác và có:

chung;

Suy ra   (cạnh tương ứng)

(đpcm).

c) Nối với .

Tam giác cân tại có nên là tam giác đều cạnh và .

là trung điểm của .

Tam giác vuông tại (Định lí Pytago)

.

Diện tích hình quạt .

Diện tích hình viên phân tạo bởi dây và cung nhỏ là .

Diện tích tam giác là: .

Do (cùng vuông góc ) nên   (Định lí Ta-lét)

Diện tích tam giác là .

Vậy diện tích hình cần tính là:

Vậy .