Đề thi vào 10 môn Toán Phú Thọ

Đề bài

Câu 5. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số ?

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm).

Câu 1 (1,5 điểm).

a) Giải hệ phương trình

b) Rút gọn biểu thức với .

Câu 2 (0,5 điểm). Trong một hộp chứa 30 viên bi giống nhau về kích thước và chất liệu, mỗi viên bi được ghi một số tự nhiên từ 1 đến 30 (hai viên bi khác nhau ghi hai số khác nhau). Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đã cho. Tính xác suất của biến cố: “Bạn An lấy được viên bi ghi số chia hết cho 3”.

Câu 3 (0,5 điểm). Một cốc thủy tinh chứa nước, bên trong có dạng hình trụ với bán kính đáy . Chiều cao mực nước ban đầu bên trong cốc bằng . Sau đó người ta thả từ từ một viên bi đặc không ngấm nước có dạng hình cầu bán kính vào trong cốc sao cho viên bi chìm hoàn toàn trong nước và nước không tràn ra ngoài. Tính chiều cao theo đơn vị centimét của mực nước trong cốc sau khi thả viên bi.

Câu 4 (1,0 điểm). Một công ty nhận được đơn đặt hàng 4000 sản phẩm. Mỗi máy của công ty sản xuất được 50 sản phẩm trong một giờ. Khi thực hiện đơn hàng, mỗi giờ công ty cần trả 600 nghìn đồng chi phí cho nhân công. Ngoài ra, chi phí bảo trì cho một máy trong đơn hàng trên là 400 nghìn đồng. Giả sử hệ thống máy của công ty làm việc với công suất như nhau.

a) Gọi là số lượng máy công ty sử dụng cho đơn hàng trên (điều kiện ). Biểu diễn theo các đại lượng sau: số sản phẩm của công ty làm được trong một giờ và tổng số giờ công ty làm xong đơn hàng.

b) Công ty dự kiến tổng chi phí nhân công và bảo trì máy thực hiện đơn hàng là 11920 nghìn đồng. Hỏi công ty phải sử dụng bao nhiêu máy để thực hiện xong đơn hàng trên?

Câu 5 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB cố định. Một điểm M thay đồi trên đường tròn (O) (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A, tại B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng BC cắt OD, OM lần lượt tại K, N. Đường thẳng OC cắt AN tại H. Hai đường thẳng AC và OD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng và EH vuông góc với CK.

c) Đường thẳng EH cắt AB, BC lần lượt tại T, S. Tính độ dài AM theo R khi diện tích tam giác BST đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6 (0,5 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

-HẾT-

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – LÀO CAI

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

I. TRẮC NGHIỆM:

II. TỰ LUẬN: 

Câu 1 (1,5 điểm).

a) Giải hệ phương trình

b) Rút gọn biểu thức với .

Lời giải:

a) Cộng hai phương trình của hệ theo từng vế tương ứng, ta được:

Thay vào phương trình , ta có:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .

b) Với điều kiện , ta có:

Vậy với

Câu 2 (0,5 điểm). Trong một hộp chứa 30 viên bi giống nhau về kích thước và chất liệu, mỗi viên bi được ghi một số tự nhiên từ 1 đến 30 (hai viên bi khác nhau ghi hai số khác nhau). Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đã cho. Tính xác suất của biến cố: “Bạn An lấy được viên bi ghi số chia hết cho 3”.

Lời giải:

Vì trong hộp có 30 viên bi được đánh số từ 1 đến 30 và An lấy ngẫu nhiên một viên bi, nên có tất cả 30 kết quả có thể xảy ra. Các kết quả này là đồng khả năng.

Số phần tử của tập hợp các kết quả có thể xảy ra là .

Gọi A là biến cố: "Bạn An lấy được viên bi ghi số chia hết cho 3".

Các số tự nhiên từ 1 đến 30 và chia hết cho 3 bao gồm:

3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30.

Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là .

Xác suất của biến cố A là:

Vậy xác suất của biến cố "Bạn An lấy được viên bi ghi số chia hết cho 3" là .

Câu 3 (0,5 điểm). Một cốc thủy tinh chứa nước, bên trong có dạng hình trụ với bán kính đáy . Chiều cao mực nước ban đầu bên trong cốc bằng . Sau đó người ta thả từ từ một viên bi đặc không ngấm nước có dạng hình cầu bán kính vào trong cốc sao cho viên bi chìm hoàn toàn trong nước và nước không tràn ra ngoài. Tính chiều cao theo đơn vị centimét của mực nước trong cốc sau khi thả viên bi.

Lời giải:

Thể tích nước ban đầu trong cốc là:

(cm)

Thể tích của viên bi hình cầu là:

(cm)

Khi thả viên bi chìm hoàn toàn vào nước, tổng thể tích của nước và viên bi là:

(cm)

Gọi là chiều cao mực nước trong cốc sau khi thả viên bi.

Do hình dạng bên trong cốc là hình trụ nên ta có:

(cm)

Vậy chiều cao của mực nước trong cốc sau khi thả viên bi là .

Câu 4 (1,0 điểm). Một công ty nhận được đơn đặt hàng 4000 sản phẩm. Mỗi máy của công ty sản xuất được 50 sản phẩm trong một giờ. Khi thực hiện đơn hàng, mỗi giờ công ty cần trả 600 nghìn đồng chi phí cho nhân công. Ngoài ra, chi phí bảo trì cho một máy trong đơn hàng trên là 400 nghìn đồng. Giả sử hệ thống máy của công ty làm việc với công suất như nhau.

a) Gọi là số lượng máy công ty sử dụng cho đơn hàng trên (điều kiện ). Biểu diễn theo các đại lượng sau: số sản phẩm của công ty làm được trong một giờ và tổng số giờ công ty làm xong đơn hàng.

b) Công ty dự kiến tổng chi phí nhân công và bảo trì máy thực hiện đơn hàng là 11920 nghìn đồng. Hỏi công ty phải sử dụng bao nhiêu máy để thực hiện xong đơn hàng trên?

Lời giải:

a) Vì mỗi máy sản xuất được 50 sản phẩm trong một giờ, nên khi sử dụng máy, số sản phẩm làm được trong một giờ là: (sản phẩm/giờ).

Đơn hàng có tổng cộng 4000 sản phẩm.

Với năng suất của toàn hệ thống là sản phẩm trong một giờ, tổng thời gian để làm xong đơn hàng là: (giờ).

b) Mỗi giờ công ty cần trả 600 nghìn đồng.

Tổng thời gian làm việc là giờ.

Vậy tổng chi phí nhân công là: (nghìn đồng).

Chi phí bảo trì cho mỗi máy trong suốt đơn hàng là 400 nghìn đồng.

Công ty sử dụng máy, nên tổng chi phí bảo trì là: (nghìn đồng).

Theo đề bài, tổng chi phí dự kiến là 11920 nghìn đồng, ta có phương trình:

.

Giải phương trình trên, ta được (thoả mãn) và (loại).

Vậy công ty phải sử dụng 25 máy để thực hiện xong đơn hàng trên.

Câu 5 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB cố định. Một điểm M thay đồi trên đường tròn (O) (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A, tại B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng BC cắt OD, OM lần lượt tại K, N. Đường thẳng OC cắt AN tại H. Hai đường thẳng AC và OD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng và EH vuông góc với CK.

c) Đường thẳng EH cắt AB, BC lần lượt tại T, S. Tính độ dài AM theo R khi diện tích tam giác BST đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

 

a) Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại A nên hay .

Suy ra A, O, C nội tiếp đường tròn đường kính .

Vì MC là tiếp tuyến của (O) tại M nên hay .

Suy ra nội tiếp đường tròn đường kính .

Vậy nội tiếp đường tròn đường kính .

b)

+) Chứng minh :

Ta có là tiếp tuyến cắt nhau tại nên  OC là tia phân giác của góc AOM.

Suy ra .

Vì N nằm trên tia OM nên .

Xét tam giác AON có OH là đường phân giác trong của góc O.

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: (đpcm).

+) Chứng minh EH vuông góc với CK:

 Tương tự như trên ta có OK là phân giác của nên

Mà nên

Theo định lý Thales đảo suy ra

Mà nên

Ta có và

Nên

Mà

Suy ra hay

Suy ra

Xét có là hai đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm .

Suy ra

c) Xét và có và (đối đỉnh)

Suy ra

Suy ra nên hay

 Ta có

và (do cùng cộng bằng )

Suy ra nên hay

Suy ra hay

Khi đó T là trung điểm của AO và

Ta có .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

.

Suy ra .

Dấu "=" xảy ra (diện tích lớn nhất) khi và chỉ khi

Suy ra vuông cân tại  suy ra hay

Xét vuông tại có nên vuông cân tại .

Suy ra

Gọi P là giao điểm của AM và OC.

Vì OM = OA và CM = CA nên OC là trung trực của AM hay tại P

Khi đó ta có nên

Mà hay

Suy ra

Khi đó   nên

Suy ra .

Câu 6 (0,5 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải:

Từ giả thiết , ta thay vào mẫu số của :

Vì với mọi số thực, ta có

Xét:

Do nên , ta có:

Theo BĐT Cô-si cho 2 số dương, áp dụng vào mẫu số:

Áp dụng BĐT Cô-si chiều ngược lại :

Thay vào , ta được:

Bằng cách chứng minh tương tự, ta có:

Cộng vế theo vế cả 3 bất đẳng thức trên, ta nhóm các phân thức có cùng mẫu số lại với nhau:

Dấu "=" xảy ra khi và hay .

Vậy giá trị lớn nhất của P là .

—HẾT—

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm (3 điểm)

Câu 1: Cho , giá trị của bằng

A. 3

B. 12

C. 36

D. 6

Câu 2: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất đồng biến trên ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 3: Hệ phương trình có nghiệm là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 4: Điểm thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ bằng 2 . Tung độ của điểm bằng

A. 12

B. 6

C. 

D. 

Câu 5: Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt . Giá trị của bằng

A. 5

B. 2.

C. -2

D. -5

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại có và . Độ dài cạnh AC bằng

A. 8

B. 

C. 

D. 6

Câu 7: Giá trị của tham số để đồ thị của các hàm số và cắt nhau tại một điềm trên trục tung bằng:

A. -10

B. -5

C. 5

D. 1

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại có đường cao AH, biết và . Độ dài cạnh AB bằng:

A. 16

B. 25

C. 20

D. 12

Câu 10: Từ một điểm nằm ngoài đường tròn và thỏa mãn , kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là hai tiếp điềm). Số đo góc bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 11: Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuất 140 sản phẩm trong thời gian nhất định, mỗi ngày sản xuất số sản phẩm như nhau. Thực tế mỗi ngày tổ công nhân làm thêm được 8 sản phẩm so với kế hoạch nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày. Số sản phẩm phải sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch của tổ công nhân là

A. 20

B. 14

C. 28

D. 10

Câu 12: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm . Gọi lần lượt là các đường kính của và sao cho vuông góc với nhau như hình vẽ.

Độ dài bằng

A. .

B. .

C. 6 .

D. .

Phần II. Tự luận (7 điểm)

Câu 13: Cho hai biều thức và , với

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Rút gọn biểu thức .

c) Tìm các giá trị nguyên của để .

Câu 14: 

a) Cho parabol . Tìm giá trị của để đi qua điểm . Với tìm được, tìm tọa độ các giao điểm của và đường thẳng .

b) Cho hệ phương trình có nghiệm . Tìm giá trị của tham số để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 15: Cho có hai đường kính và vuông góc với nhau. Lấy điểm trên cung nhỏ ( khác và ). Gọi lần lượt là giao điểm của với và .

a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.

b) Gọi lần lượt là giao điểm của với và . Chứng minh rằng .

c) Chứng minh rằng tam giác vuông cân.

d) Xác định vị trí điểm để tam giác có diện tích lớn nhất.

Câu 16: Giải phương trình:  

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm, sao cho

Cách giải:

Chọn C.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Hàm số đồng biến trên khi a > 0.

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên

Chọn B.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Hệ phương trình nghiệm là (6; 1)

Chọn A.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Điểm thuộc đồ thị hàm số thỏa mãn

Cách giải:

Điểm thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ bằng 2 , tung độ là:

Chọn A.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Hệ thức Vi-ét

Cách giải:

Phương trình  có

Chọn B.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Tam giác ABC vuông tại có

Cách giải:

Tam giác ABC vuông tại có

Chọn D.

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và , chúng cắt nhau tại một điềm trên trục tung thì x = 0

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

Đề đồ thị của các hàm số và cắt nhau tại một điềm trên trục tung thì:

Chọn C.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Công thức với

Điều kiện phương trình có nghiệm kép

Cách giải:

Để phương trình có nghiệm kép:

Có 2 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Chọn B.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại có đường cao AH:

Cách giải:

Hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại có đường cao AH:

Chọn C.

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

Công thức lượng giác trong tam giác vuông.

Cách giải:

Vì MA, MB là tiếp tuyến cắt nhau tại M của (O) tại A, B

là phân giác của

Xét vuông tại A có:

Mà MO là phân giác của

Chọn D.

Câu 11 (VD):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

PT: Thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày.

Cách giải:

Gọi số sản phẩm phải sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm).

Điều kiện )

Theo kế hoạch, thời gian tổ sản suất trong (ngày)

Thực tế, mỗi ngày tổ sản suất được x + 8 (sản phẩm)

Thực tế, thời gian tổ sản suất trong (ngày)

Vì thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày nên ta có PT:

Vậy số sản phẩm phải sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch của tổ công nhân là 20.

Chọn A.

Câu 12 (VDC):

Phương pháp:

Gọi H là trung điểm của AB.

Chứng minh được O, H, O’ thẳng hàng; C, B, D thẳng hàng.

Áp dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây đó.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có đường cao.

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Áp dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây đó, ta có:

thẳng hàng

Dễ dàng chứng minh:

OH là đường trung bình và HO’ là đường trung bình

Mà O, H, O’ thẳng hàng suy ra C, B, D thẳng hàng.

Áp dụng định lí Pytago vào vuông tại A có: 

Dễ dàng chứng minh OO’ là đường trung bình

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại A có

Xét (O’) có AD là đường kính, B thuộc (O) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Áp dụng định lí Pytago vào vuông tại B có:

Chọn D.

Phần II: Tự luận

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

a) Thay giá trị a (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A.

b) Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

c) Giải bất phương trình.

Cách giải:

a) Với a = 16 (thoả mãn ĐKXĐ), thay vào biểu thức A ta được:

.

Vậy khi a = 16 thì .

b) Với ta có:

Vậy với thì .

c) Ta có

Vì nên .

TH1: (Vô lí).

TH1: .

Kết hợp điều kiện ta có .

Mà a là số nguyên nên .

Vậy có 2 giá trị nguyên của a để A.B < 0 là a = 2 hoặc a = 3.

Câu 14 (VD):

Phương pháp:

a) Thay vào hàm số tìm a.

Với a tìm được, xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số tìm (x; y).

Thay vào biểu thức tìm GTLN của biểu thức.

Cách giải:

a) Vì (P) đi qua điểm M(1;2) nên thay x = 1, y = 2 ta có:

Vậy để (P) đi qua M(1;2) thì a = 2.

Với a = 2 .

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: .

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Với

Với .

Vậy với a = 2 thì toạ độ giao điểm của (P) và (d) là A(1;2) và

b)

Do

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng , đạt được khi

Câu 15 (VD):

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác OMPD có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh suy ra các cạnh tỉ lệ.

c) Do đường kính AC, AB vuông góc với nhau nên số đo các cung AC, BC, BD, AD cùng bằng

Sử dụng tính chất góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

Chứng minh tứ goác MIQA có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

Suy ra vì cùng bằng

d) Sử dụng công thức diện tích

Chứng minh

Để

Kẻ

Chứng minh AC không đổi.

là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.

Cách giải:

a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác OMPD có

Mà M, O là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn PD dưới 2 góc bằng nhau

Suy ra OMPD nội tiếp (dhnb)  (đpcm)

b) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét và có: chung và

(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà nên suy ra (đpcm)

c) Do đường kính AC, AB vuông góc với nhau, nên số đo các cung AC, BC, BD, AD cùng bằng

(góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

Xét tứ giác MIQA có

Mà M, A là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn IQ dưới 2 góc bằng nhau

Suy ra MIQA nội tiếp (dhnb)

có nên tam giác AIQ vuông cân tại Q (đpcm).

d) Vì MIQA là tứ giác nội tiếp (cmt)

Nên (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).

Mà (từ vuông góc đến song song).

(so le trong).

.

Vì .

Xét và có:

.

Ta có:

Kẻ ta có .

Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại O có:

=> AC không đổi.

là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.

Vậy để diện tích tam giác MQJ lớn nhất thì M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.

Câu 16 (VDC):

Phương pháp:

Quy đồng, biến đổi, nhóm tạo hằng đẳng thức

Đặt ẩn phụ, giải hệ phương trình.

Cách giải:

Đặt: .

Khi đó ta có:

Trừ 2 vế của (3) cho (4) ta được:

Vì

Do đó

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: .

Đề bài

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 điểm)

Câu 1.  Điều kiện xác định của biểu thức là:

     A.                       B.                             C.                               D.  

Câu 2. Với giá trị nào của thì hai đường thẳng và cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

     A.                               B.                                 C.                                    D.       

Câu 3. Hàm số đồng biến trên khi

     A.                     B.                       C.                       D.    

Câu 4. Nghiệm của hệ phương trình là

     A.     B.          C.   D.                                   

Câu 5. Với giá trị nào của thì đồ thị hàm số đi qua điểm ?

     A.                               B.                                    C.                                    D.   

Câu 6. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

     A.                        B.                            C.                           D.       

Câu 7. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

     A.      B.          C.           D.

Câu 8.  Cho vuông tại , đường cao . Biết Khi đó độ dài cạnh là

     A.                          B.        C.   D.                 

Câu 9. Cho đường tròn tâm , bán kính , dây cung . Khoảng cách từ tâm đến dây là

     A. B.       C.       D.                                  

Câu 10. Cho tứ giác nội tiếp một đường tròn. Biết . Số đo bằng: (Tham khảo hình vẽ)

     A.                       B.                            C.                            D.      

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,5 điểm):

Bài 1. (1,5 điểm)

Cho biểu thức

a) Tính giá trị của biểu thức khi

b) Rút gọn biểu thức .

Bài 2. (2,0 điểm)

1) (ID: 550946) Cho đường thẳng và Parabol

a) Tìm để đường thẳng đi qua

b) Tìm để đường thẳng tiếp xúc với  Parabol

2)  Cho hệ phương trình ( là tham số)

a) Giải hệ phương trình với

b) Tìm để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất thỏa mãn

Bài 3. (3,0 điểm)

Cho đường tròn đường kính . Trên tia đối tia lấy điểm không trùng với . Kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm), tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại .

a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của với đường tròn ( không  trùng với ). Chứng minh

c) Đường thẳng vuông góc với tại cắt tại . Chứng minh

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 

Lời giải chi tiết

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

BẢNG ĐÁP ÁN

 

1. A

2. C

3. D

4. B

5. C

6. D

7. A

8. B

9. C

10. B

 

Câu 1

Phương pháp:

Biểu thức xác định

Cách giải:

Điều kiện xác định của biểu thức là

Chọn A.

Câu 2

Phương pháp:

Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Tọa độ giao điểm thuộc trục tung có dạng

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

Để giao điểm của hai đường thẳng trục tung

Vậy thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Chọn C.

Câu 3

Phương pháp:

Hàm số đồng biến trên

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên khi

Chọn A.

Câu 4

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm

Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

Vậy nghiệm của hệ là

Chọn B.

Câu 5

Phương pháp:

Đồ thị hàm số đi qua điểm khi

Cách giải:

Đồ thị hàm số đi qua điểm khi

Chọn C.

Câu 6

Phương pháp:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt (hoặc )

Cách giải:

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy

Chọn D.

Câu 7

Phương pháp:

Phương trình vô nghiệm (hoặc )

Cách giải:

Xét phương trình:

Ta có:

Phương trình vô nghiệm.

Chọn A.

Câu 8

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

vuông tại , đường cao , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Chọn B.

Câu 9

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức về đường kính và dây cung

Áp dụng định lý Py – ta – go

Cách giải:

Xét đường tròn kẻ tại

là trung điểm của (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)

vuông tại , áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:

Vậy khoảng cách từ đến dây là

Chọn C.

Câu 10

Phương pháp:

Sử dụng tính chất góc của tứ giác nội tiếp

Vận dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.

Cách giải:

Tứ giác nội tiếp đường tròn (tính chất của tứ giác nội tiếp)

                                                         

Xét có: (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

                     

Chọn B.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1

Phương pháp:

a) Kiểm tra có TMĐK xác định

Sử dụng hằng đẳng thức:

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

b) Xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

Cách giải:

a) Thay (TMĐK) vào biểu thức ta được

Vậy với thì

b) Với  có

Vậy

Bài 2

Phương pháp:

1) a) Đường thẳng đi qua điểm khi

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và (phương trình )

Đường thẳng tiếp xúc với  Parabol có nghiệm kép (hoặc )

2) a) Thay vào hệ phương trình

Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm

Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

b) Từ hệ phương trình ban đầu, tìm nghiệm theo tham số

Thay vào phương trình của đề bài, tìm được .

Cách giải:

1) a) Tìm m để đường thẳng đi qua

Do (d) đi qua Thay vào phương trình đường thẳng  ta được:

Vậy với m = 2 thì đường thẳng đi qua

b) Tìm m để đường thẳng tiếp xúc với  Parabol

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là

Để tiếp xúc với  Parabol thì phương trình (*) có nghiệm kép hay

Vậy hoặc

2) a) Thay vào phương trình ta được                                                                                                                                              

Vậy với hệ phương trình có nghiệm duy nhất            

b) Ta thấy nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với

Thay vào phương trình ta được:

Vậy

Bài 3

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh:

+ Tứ giác nội tiếp

+ (cùng phụ với )

c) Ta sẽ chứng minh: cân tại

Áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét

Cách giải:

 

a) Xét đường tròn có:       

+ là tiếp tuyến của đường tròn

+ là tiếp tuyến của đường tròn

Tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét đường tròn có: là hai tiếp tuyến của đường tròn

Mà

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có:

là đường trung trực của

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (kề bù với )

Xét tứ giác có:

Mà là hai đỉnh kề nhau

là tứ giác nội tiếp

(hai góc nội tiếp cùng chắn )

Mà (cùng phụ với )

c) Ta có: (quan hệ từ vuông góc đến dây cung)

(hai góc so le trong)  (1)

Xét đường tròn có: là hai tiếp tuyến của đường tròn

Mà

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

   (2)

Từ (1) và (2), suy ra cân tại

có , áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét, ta có:

(vì )

Bài 4

Phương pháp:

Xuất phát từ bất đẳng thức:

Cách giải:

Ta có:

Khi đó, (vì )

Có

                                                                       

Do đó

Dấu “=” xảy ra khi:

Vậy khi   

Đề bài

PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 điểm)

Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức là

     A.                  B.                      C.                         D.

Câu 2. Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên ℝ trong các hàm số sau

     A. 5                                    B. 4                                         C. 3                                        D. 2

Câu 3. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. m = –4

     B. m = –3

     C. m = 3

     D. m = 4

Câu 4. Hệ phương trình có nghiệm là. Khi đó bằng

     A. –1                                  B. 1                                         C. 3                                        D. 4

Câu 5. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số?

     A. A(1;5)                            B. B(3;40)                               C. C(2;20)                              D. D(–1;5)

Câu 6. Giả sử phương trình có hai nghiệm . Tính

     A. 1                                    B. 24                                       C. 13                                      D. –17

Câu 7. Cho parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm. Khi đó bằng:

     A. 1                                    B. –2                                       C. 8                                        D. 10

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh . Diện tích tam giác ABC bằng:

     A.                                 B.   C.                                  D.

Câu 9. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Biết. (như hình vẽ bên).

Độ dài GO’ bằng

A. 5 (cm)

B.

C.

D.

Câu 10. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, CD. Đường thẳng AM, BN cắt đường tròn lần lượt tại E, F (như hình vẽ bên).

Số đo góc EDF bằng

     A.                       B.

     C.                       D.                                                                          

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,5 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm):

a) Tính giá trị của biểu thức:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 2 (2,0 điểm): Cho phương trình (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để

Câu 3 (3,0 điểm): Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn (O) tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên AB. I là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh rằng

a) AKMT là tứ giác nội tiếp

b)

c) Khi đường tròn (O) và  B;C cố định, điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì tổng có giá trị không đổi.

Câu 4. (1,0 điểm): Giải phương trình . 

Lời giải chi tiết

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (2,5 điểm)

 

 

Câu 1
Phương pháp:

Biểu thức xác định

Cách giải:

Biểu thức đã cho xác định

Chọn A.

Câu 2

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất đồng biến trên ℝ khi a > 0, nghịch biến khi a < 0

Cách giải:

Có 3 hàm số đồng biến trên ℝ là

Chọn C.

Câu 3

Phương pháp:

Xác định hệ số a, từ đó tìm ra m

Cách giải:

Hàm số đã cho đi qua gốc O nên b = 0, đi qua điểm (1;1) nên

⟹ m – 3 = 1 ⟹ m = 4

Chọn D.

Câu 4

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, rồi tính

Cách giải:

Chọn A.

Câu 5

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số

Cách giải:

Thay tọa độ điểm B(3;40) vào công thức hàm số, ta có 40 = 5.3² ⟺ 40 = 45 (không thỏa mãn)

Vậy điểm B không thuộc đồ thị

Chọn B.

Câu 6

Phương pháp:

Giải phương trình, tìm

Cách giải:

Ta có

Chọn D.

 

Câu 7

Phương pháp:

Viết phương trình hoành độ giao điểm, giải ra 2 nghiệm

Tìm giao điểm 2 đồ thị

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Với

Với

Vậy

Chọn D.

Câu 8

Phương pháp:

Tính cạnh góc vuông của tam giác, từ đó tính diện tích

Cách giải:

Vì ABC là tam giác vuông cân nên

Chọn C.

Câu 9

Phương pháp:

Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Tính OH và O’H

Cách giải:

Gọi H là giao điểm của AB và OO’. Vì nên OO’ là trung trực của AB, suy ra

Vì nên hai tam giác AHO và AHO’ vuông tại H

Áp dụng định lý Pitago ta có

Chọn C.

Câu 10

Phương pháp:

Chứng mình hai tam giác ABM và BCN bằng nhau

Chứng minh

Cách giải:

Xét hai tam giác vuông ABM và BCN có

(hai góc tương ứng)

Ta có các góc nội tiếp

(do tam giác BDC vuông cân tại C).

Chọn B.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,5 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm)

Cách giải::

a) Tính giá trị biểu thức

Ta có:

Vậy

b) Giải hệ phương trình

Vậy hệ có nghiệm là .

Câu 2 (2,5 điểm)

Cách giải::

Cho phương trình ( là tham số).

a) Giải phương trình khi .

Khi , phương trình trở thành .

Ta có: , do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt , .

Vậy khi tập nghiệm của phương trình là .

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của .

Xét phương trình  (*) ta có:

Do .

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của .

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm để .

Theo ý b) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .

Giả sử là hai nghiệm của phương trình, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3 (3 điểm)

Cách giải:

Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn Tia phân giác cắt cạnh tại và cắt đường tròn tại Gọi là hình chiếu của trên là hình chiếu của trên Chứng minh rằng:

 

a) là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm).

b)

Xét ta có:

là góc nội tiếp chắn cung

là góc nội tiếp chắn cung

Lại có: là tia phân giác của

Số đo cung Số đo cung (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).

Ta có:

là góc nội tiếp chắn cung

là góc nội tiếp chắn cung

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Xét và ta có:

Lại có: Số đo cung Số đo cung (cmt) nên (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

Vậy .

c) Khi đường tròn và cố định, điểm thay đổi trên cung lớn thì tổng có giá trị không đổi.

Đặt .

Xét và có:

(cạnh huyền – góc nhọn)

(hai 2 tương ứng).

Giả sử , khi đó ta có:

Xét và có:

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

(2 cạnh tương ứng).

.

Xét tam giác vuông tại có: , .

Xét tam giác vuông tại có: .

.

Vì đường tròn và cố định nên số đo cung không đổi.

số đo cung BC không đổi (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

không đổi không đổi.

Vậy không đổi, với số đo cung BC không đổi.

Câu 4 (1,0 điểm)

Cách giải::

Giải phương trình

ĐK:

Khi đó

Ta có:

Vậy phương trình có tập nghiệm . 

Đề bài

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 ĐIỂM)

Câu 1: Tìm biết

A.                               B.                              C.                              D. 

Câu 2: Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên

A.                               B.                                     C.                                   D.   

Câu 3: Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng   

A.                                      B.                           C.                                 D.   

Câu 4: Hệ phương trình   có nghiệm là:  

A.                          B.                       C.                 D.   

Câu 5: Giá trị của hàm số tại bằng:

A.                                              B.                                                 C.                                                D.  

Câu 6: Biết parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt có hoành độlaà Giá trị bằng:

A.                                 B.                               C.                                                D.    

Câu 7: Cho tam giác vuông tại Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.             B.                          C.                        D.   

Câu 8: Cho tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính

Biết số đo bằng:

A.                                               B.                      

C.                                               D.   

Câu 9: Cho tam giác vuông cân tại có Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng:

A.                                                B.                                   C.                           D.

Câu 10: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng bằng gò thành mặt xung quanh của một hình trụ có chiều cao (hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật sau khi gò trùng khít nhau) .

Thể tích của hình trụ đó bằng:

A.                                 B.                            C.                                 D.  

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,5 ĐIỂM)

Câu 1 (1,5 điểm)

 Lớp 9A và lớp 9B của một trường THCS dự định làm 90 chiếc đèn ông sao để tặng các em thiếu nhi nhân dịp Tết Trung Thu. Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn; nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn. Biết rằng số đèn từng lớp làm được trong mỗi ngày là như nhau. Hỏi nếu cả hai lớp cùng làm thì hết bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đã dự định.

Câu 2 (2 điểm):

Cho phương trình ( là tham số).

a) Giải phương trình với

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm để

Câu 3 (3 điểm):

Cho tam giác vuông tại có đường cao . Gọi là trung điểm của kẻ vuông góc với tại

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b) Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác

c) Chứng minh

Câu 4 (1 điểm):

Giải hệ phương trình sau:  

Lời giải chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 ĐIỂM)

 

 

Câu 1- Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Phương pháp:

Biểu thức xác định

Giải phương trình

Cách giải:

Điều kiện:

Vậy phương trình có nghiệm

Chọn D.

Câu 2 - Hàm số bậc nhất

Phương pháp:

Hàm số đồng biến trên khi và nghịch biến trên khi

Cách giải:

Trong các đáp án, chỉ có đáp án C có hàm số có nên hàm số đồng biến trên

Chọn C.

Câu 3 - Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua điểm

Cách giải:  

+) Xét điểm ta có:

+) Xét điểm ta có:

Chọn B.

Câu 4 – Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Cách giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Chọn A.

Câu 5 - Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Phương pháp:

Thay vào hàm số đã cho để tìm  

Cách giải:

Thay ta được:

Chọn C.

Câu 6  - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Giải phương trình hoành độ để tìm hoành độ các giao điểm và tính biểu thức đề bài yêu cầu.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

Ta có:

 

Chọn A.

Câu 7 - Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: tan = cạnh đối/ cạnh kề.

Cách giải:

Xét tam giác vuông tại ta có:

Chọn B.

Câu 8 - Góc nội tiếp

Phương pháp:

Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là

Cách giải:

Ta có: là góc nội tiếp chắn cung  

Vì là đường kính của đường tròn  

 

Ta có: là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

 

Chọn D.

Câu 9 – Đường tròn

Phương pháp:

Tam giác vuông nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền và tâm là trung điểm của cạnh huyền.

Cách giải:

Ta có: vuông cân tại và có

  vuông tại nội tiếp đường tròn đường kính

Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

Chọn C.

Câu 10 - Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của Hình trụ

Phương pháp:

Thể tích hình trụ có bán kính đáy và chiều cao là:

Cách giải:

Ta gò tấm tôn hình chữ nhật đã cho thành hình trụ như đề bài ta được hình trụ có chiều cao và chu vi đáy của hình trụ là:

Vậy thể tích của hình trụ là:

Chọn A.

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,5 ĐIỂM)

Câu 1 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi số đèn lồng lớp 9A làm được trong 1 ngày là (chiếc đèn)

Số đèn lồng lớp 9B làm được trong 1 ngày là (chiếc đèn)

Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn nên ta có phương trình:

Nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Trong 1 ngày, cả hai lớp làm được số đèn là: chiếc đèn.

Như vậy cả 2 lớp cùng làm hết 90 chiếc đèn xong trong số ngày là: (ngày).

Câu 2 - Ôn tập chương 4: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

a) Thay vào phương trình rồi giải phương trình bậc hai một ẩn.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

c) Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài toán để tìm rồi kết luận.

Cách giải:

Cho phương trình ( là tham số).

a) Giải phương trình với

Thay vào phương trình ta được:

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm:  

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của

Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm để

Theo câu b), phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt   với mọi

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 3 - Ôn tập tổng hợp chương 1, 2, 3 - Hình học

Phương pháp:

a) Chỉ ra tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạng dưới các góc bàng nhau là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc.

c) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng tương ứng để suy ra các đẳng thức cần chứng minh.

Cách giải:

 

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Xét tứ giác có:

 

là tứ giác nội tiếp (có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh dưới các góc vuông).

Gọi là trung điểm .

Ta có cùng nhìn đoạn dưới góc

cùng thuộc đường tròn đường kính

Vậy là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b) Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác

Vì tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) (1)

Lại có (2) (cùng phụ với )

Từ (1) và (2) suy ra

Xét và có

 

c) Chứng minh

+)  Vì  (theo câu b) nên mà nên (3)

Từ (5) và (6) ta có   (**)

Từ (*) và (**) ta có (đpcm)

Câu 4 - Hệ phương trình không mẫu mực

Phương pháp:

Biến đổi phương trình thứ nhất và quy đồng phương trình thứ hai sau đó trừ vế với vế của các phương trình.

Đưa về phương trình bậc hai ẩn giải phương trình tìm đối chiếu với điều kiện xác định sau đó tìm đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

Giải hệ phương trình sau:

ĐK:

Thay vào phương trình ta có:

 .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là . 

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (1,5 điểm)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của để biểu thức có nghĩa.

A.                           B.                              C.                            D.

Câu 2 :   Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

A.                       B.                              C.                  D.

Câu 3:  Tìm biết điểm thuộc đường thẳng có phương trình

A.                               B.                                  C.                                     D.  

Câu 4:  Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên  

A.                                  B.                                  C.                             D.  

Câu 5: Hàm số nào dưới đây đồng biến khi và nghịch biến khi  

A.                  B.                                     C.                                   D.

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình vô nghiệm.

A.                                    B.                                    C.                         D.  

Câu 7: Phương trình nào dưới đây có tổng hai nghiệm bằng 3?

A.                  B.                   C.                     D.

Câu 8:  Cho tam giác ABC  vuông tại A. Khẳng định nào dưới đây đúng?  

A.              B.              C.                       D.  

Câu 9:  Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Mọi hình vuông đều là tứ giác nội tiếp.                             B. Mọi hình chữ nhật đều là tứ giác nội tiếp.

C. Mọi hình thoi đều là tứ giác nội tiếp.                                D. Mọi hình thang cân đều là tứ giác nội tiếp.

Câu 10:  Cho đường tròn tâm bán kính có dây cung Tính khoảng cách  từ tới đường thẳng    

A.                                 B.                                 C.                                  D.

II. TỰ LUẬN: (7,5 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm):

Hai bạn Hòa và Bình có 100 quyển sách. Nếu Hòa cho Bình 10 quyển sách thì số quyển sách của Hòa bằng số quyển sách của Bình. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển sách?

Câu 2 (2 điểm):

Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng có phương trình

a) Viết phương trình đường thẳng

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol

Câu 3 (3 điểm):

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O; R). Từ M  kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O; R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) bất kỳ qua M và cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D). Gọi N  là giao điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp.

b) Chứng minh rằng và đồng dạng, và đồng dạng.

c) Chứng minh rằng:

d) Xác định vị trí của đường thẳng để đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4 (1 điểm):

Cho là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

 

1A

2C

3B

4B

5D

6D

7B

8A

9C

10C

 

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Phương pháp:

Biểu thức có nghĩa

Cách giải:

Tìm tất cả các giá trị của để biểu thức có nghĩa.

A.                           B.                              C.                            D.

Biểu thức có nghĩa

Chọn A.

Câu 2:

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất có dạng

Cách giải:

Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

A.                       B.                              C.                  D.

Theo khái niệm về hàm số bậc nhất thì chỉ có đáp án C đúng.

Chọn C.

Câu 3:

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng sau đó giải phương trình tìm m.

Cách giải:

Tìm biết điểm thuộc đường thẳng có phương trình

A.                               B.                                  C.                                     D.  

Điểm thuộc đường thẳng

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp:

Hàm số đồng biến trên

Cách giải:

Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên  

A.                                  B.                                  C.                             D.  

Hàm số đồng biến trên

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

+) Hàm số bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên

+) Hàm số bậc hai

TH1: thì hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi

TH2: thì hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi

Cách giải:

Hàm số nào dưới đây đồng biến khi và nghịch biến khi  

A.                  B.                                     C.                                   D.

+) Đáp án A: Hàm số là hàm số bậc nhất có hàm số nghịch biến trên loại đáp án A.

+) Đáp án B: Hàm số là hàm số bậc nhất có hàm số đồng biến trên loại đáp án B.

+) Đáp án C: Hàm số là hàm số bậc hai có hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi  loại đáp án C.

Chọn D.

Câu 6:

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm

Cách giải:

Tìm tất cả các giá trị của để phương trình vô nghiệm.

A.                                   B.                                    C.                         D.  

Phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D.

Câu 7:

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm thì (theo hệ thức Vi-ét).

Cách giải:

Phương trình nào dưới đây có tổng hai nghiệm bằng 3?

A.                  B.                   C.                     D.

+) Đáp án A: Giả sử phương trình có hai nghiệm thì loại đáp án A.

+) Đáp án D: Giả sử phương trình có hai nghiệm thì loại đáp án D.

+) Đáp án B: Giả sử phương trình có hai nghiệm ta có:

Phương trình có hai nghiệm (luôn đúng).

Đáp án B đúng.

+) Đáp án C: Giả sử phương trình có hai nghiệm ta có:

Phương trình có hai nghiệm (vô lý).

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án C sai.

Chọn B.

Câu 8:

Phương pháp:

Áp dụng công thức lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

Cho tam giác ABC  vuông tại A. Khẳng định nào dưới đây đúng? 

A.              B.              C.                       D.  

Ta có:

Chọn A.

Câu 9:

Phương pháp:

Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng là tứ giác nội tiếp.

Cách giải:

Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Mọi hình vuông đều là tứ giác nội tiếp.                         B. Mọi hình chữ nhật đều là tứ giác nội tiếp.           

C. Mọi hình thoi đều là tứ giác nội tiếp.                             D. Mọi hình thang cân đều là tứ giác nội tiếp.

Ta có hình vuông, hình chữ nhật và hình thang cân đều là những tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng

A, B, D đúng.

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp:

+) Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính d.

Cách giải:

Cho đường tròn tâm bán kính có dây cung Tính khoảng cách  từ tới đường thẳng   

 

A.                                 B.                                 C.                                  D.

Gọi là hình chiếu của trên dây là trung điểm của (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

và  

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông tại ta có:

Chọn C.

PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1:

Phương pháp:

Gọi số quyển sách của bạn Hòa là (quyển sách),

Khi đó biểu diễn số quyển sách của Bình theo số quyển sách của Hòa.

Phương trình được lập: Số quyển sách của Hòa sau khi cho Bình 10 quyển sách số quyển sách của Bình sau khi được  Hòa cho 10 quyển sách.

Cách giải:

Hai bạn Hòa và Bình có 100 quyển sách. Nếu Hòa cho Bình 10 quyển sách thì số quyển sách của Hòa bằng số quyển sách của Bình. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển sách?

Gọi số quyển sách của bạn Hòa là (quyển sách),

Khi đó số quyển sách của Bình là: (quyển sách).

Số quyển sách của Hòa sau khi cho Bình quyển sách là: (quyển sách).

Số quyển sách của Bình sau khi nhận được quyển sách từ Hòa là: (quyển sách).

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy lúc đầu Hòa có quyển sách và Bình có quyển sách.

Câu 2:

Phương pháp:

a) Giả sử công thứ của đường thẳng

+) Khi đó thay tọa độ điểm A vào đường thẳng ta được một phương trình của a và b.

+) Đường thẳng song song với đường thẳng Thay vào phương trình trên ta tìm được a và b.

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

+) Giải phương trình hoành độ sau đó thế các hoành độ vừa tìm vào công thức hàm số của một  trong hai đồ thị để tìm tung độ.

Cách giải:

Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng có phương trình

a) Viết phương trình đường thẳng

Giả sử phương trình của đường thẳng

Đường thẳng song song với đường thẳng

Đường thẳng đi qua

Vậy phương trình đường thẳng

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol

Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của p hương trình:

Vậy cắt tại hai điểm phân biệt và

Câu 3:

Cách giải:

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O; R). Từ M  kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O; R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) bất kỳ qua M và cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D). Gọi N  là giao điểm của AB và CD.

 

a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp.

Vì là hai tiếp tuyến của

Xét tứ giác là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh rằng và đồng dạng, và đồng dạng.

Xét và ta có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

(hai góc đối đỉnh).

Xét và ta có:

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

c) Chứng minh rằng:

Ta có:

Gọi là giao điểm của và (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 Xét tam giác vuông tại và có đường cao có:

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét và ta có:

  (hai góc tương ứng).

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp. (góc ngoại tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Lại có: cân tại

Mà

là tia phân giác trong của và là tia phân giác ngoài của

d) Xác định vị trí của đường thẳng để đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét: 

Vì là dây cung

Dấu “=” xảy ra hay đường thẳng đi qua

Vậy để đạt giá trị nhỏ nhất thì đường thẳng đi qua  

Đề bài

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm).

Câu 1: Điều kiện xác định của căn thức là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 2: Nghiệm của phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 3: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm là số tự nhiên?

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Câu 4: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn của và ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 5: Hệ phương trình có nghiệm là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 6: Gọi là hai nghiệm của phương trình khi đó bằng

A. -1.

B. 1.

C. -4051.

D. 4051.

Câu 7: Đồ thị hàm số đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 8: Cho tam giác vuông tại có , , . Khi đó bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 9: Tại thời điểm tia nắng chiếu xuống mặt đất tạo với mặt đất một góc thì chiều dài bóng cây đo được là mét (minh họa bằng hình vẽ), giả sử cây thẳng đứng và mặt đất phẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 30.

B. 19.

C. 21.

D. 16.

Câu 10: Một hộp có 30 quả bóng trong đó có 10 quả bóng được sơn màu vàng và các quả bóng còn lại được sơn màu xanh (các quả bóng có kích cỡ và khối lượng như nhau). Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Xác suất của biến cố “Quả bóng lấy ra được sơn màu vàng” bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 11: Cho tam giác nội tiếp đường tròn và như hình vẽ. Số đo bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 12: Cho đường tròn và đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau. Độ dài đoạn thẳng bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm).

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Giải phương trình .

b) Tính giá trị biểu thức .

c) Rút gọn biểu thức với .

Câu 2: (2,0 điểm)

2.1.

a) Cho parabol có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị biểu thức .

b) Cho phương trình , là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện .

2.2. Nhân dịp khai trương, một siêu thị điện máy giảm giá mỗi tivi 20% và giảm giá mỗi máy giặt 15% so với giá niêm yết. Biết tổng số tiền bán một chiếc tivi và một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá là 25 triệu đồng. Trong dịp này, bà Hiền đi mua một chiếc tivi và một chiếc máy giặt, bà phải trả tổng số tiền là 20,5 triệu đồng. Hỏi giá một chiếc tivi, một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá là bao nhiêu tiền (đơn vị triệu đồng)?

Câu 3: (2,5 điểm)

Cho đường tròn và dây cung khác đường kính. Điểm nằm trên đường thẳng sao cho nằm giữa và . Vẽ đường kính của vuông góc với dây cung tại ( nằm trên cung lớn ). Tia cắt tại ( khác ). Các dây và cắt nhau tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh và .

c) Vẽ vuông góc với đường thẳng tại , đường tròn đường kính cắt đoạn thẳng tại ( khác ). Chứng minh thẳng hàng.

Câu 4: (0,5 điểm) Một cây kem ốc quế có chiều cao 18 cm, phần thân là lớp vỏ làm bằng bánh quế có dạng là một hình nón, phần đỉnh có dạng là một nửa hình cầu có bán kính bằng 3 cm bằng với bán kính của đáy hình nón (minh họa bằng hình vẽ). Tính thể tích của cả cây kem.

Câu 5: (0,5 điểm) Giải hệ phương trình

----- HẾT -----

Lời giải

PHẦN I: CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1: Điều kiện xác định của căn thức là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Điều kiện xác định của là .

Lời giải:

Điều kiện xác định của căn thức là , suy ra .

Đáp án: B

Câu 2: Nghiệm của phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Giải phương trình tích: thì hoặc .

Lời giải:

Ta có:

                           hoặc .

(không thoả mãn) hoặc .

Vậy .

Đáp án: C

Câu 3: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm là số tự nhiên?

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Phương pháp:

Chuyển vế để giải bất phương trình.

Xác định các giá trị của x là số tự nhiên.

Lời giải:

Ta có:

Các giá trị x là số tự nhiên là: 0; 1; 2.

Vậy có 3 giá trị.

Đáp án: C

Câu 4: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn của và ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng với hoặc .

Lời giải:

Phương trình không phải phương trình bậc nhất hai ẩn vì bậc của là 2.

Đáp án: B

Câu 5: Hệ phương trình có nghiệm là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Sử dụng máy tính cầm tay để bấm nghiệm.

Lời giải:

Hệ phương trình có nghiệm là .

Đáp án: D

Câu 6: Gọi là hai nghiệm của phương trình khi đó bằng

A. -1.

B. 1.

C. -4051.

D. 4051.

Phương pháp:

Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Sử dụng định lí Viète để tính tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm sau đó tính giá trị của biểu thức.

Lời giải:

Xét phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète, ta có:

Vậy .

Đáp án: A

Câu 7: Đồ thị hàm số đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Thay toạ độ điểm vào để kiểm tra.

Lời giải:

Thay vào hàm số, ta được: nên thuộc đồ thị hàm số, , không thuộc đồ thị hàm số.

Thay vào hàm số, ta được: nên không thuộc đồ thị hàm số.

Đáp án: A

Câu 8: Cho tam giác vuông tại có , , . Khi đó bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức về tỉ số lượng giác: cos = cạnh kề / cạnh huyền.

Lời giải:

cosB = .

Đáp án: B

Câu 9: Tại thời điểm tia nắng chiếu xuống mặt đất tạo với mặt đất một góc thì chiều dài bóng cây đo được là mét (minh họa bằng hình vẽ), giả sử cây thẳng đứng và mặt đất phẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 30.

B. 19.

C. 21.

D. 16.

Phương pháp:

Xác định hệ thức lượng liên quan để tính chiều cao cây.

Lời giải:

Giả sử ta có hình minh hoạ như trên, chiều cao cây là AC, bóng cây là AB, góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là .

Khi đó, chiều cao cây là:

Đáp án: C

Câu 10: Một hộp có 30 quả bóng trong đó có 10 quả bóng được sơn màu vàng và các quả bóng còn lại được sơn màu xanh (các quả bóng có kích cỡ và khối lượng như nhau). Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Xác suất của biến cố “Quả bóng lấy ra được sơn màu vàng” bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Xác định số kết quả có thể.

Xác định số kết quả thuận lợi.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi với số kết quả có thể.

Lời giải:

Có 30 quả bóng nên có 30 kết quả có thể khi lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp.

Có 10 quả bóng được sơn màu vàng nên có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố “Quả bóng lấy ra được sơn màu vàng”.

Xác suất của biến cố “Quả bóng lấy ra được sơn màu vàng” là: .

Đáp án: D

Câu 11: Cho tam giác nội tiếp đường tròn và như hình vẽ. Số đo bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Sử dụng mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung.

Sử dụng tính chất tam giác cân.

Lời giải:

Vì và lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung AC

nên .

Vì OA = OC = bán kính nên cân tại O,

do đó .

Đáp án: A

Câu 12: Cho đường tròn và đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau. Độ dài đoạn thẳng bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau thì đoạn nối hai tâm = tổng bán kính hai đường tròn.

Lời giải:

Độ dài đoạn thẳng OO’ là: OO’ = 3 + 5 = 8 (cm).

Đáp án: B

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Giải phương trình .

b) Tính giá trị biểu thức .

c) Rút gọn biểu thức với .

Phương pháp:

a) Đưa phương trình về phương trình tích rồi giải.

thì hoặc .

b) Đưa 28 ra ngoài dấu căn rồi thực hiện tính.

c) Sử dụng kết hợp các phép biến đổi với căn thức bậc hai để rút gọn.

Lời giải:

a) Ta có:

Để giải phương trình trên ta giải hai phương trình sau:

+) suy ra

+) suy ra

Vậy nghiệm của phương trình là và .

b) Ta có:

Vậy .

c) (ĐK: )

Vậy với .

Câu 2: (2,0 điểm)

2.1.

a) Cho parabol có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị biểu thức .

b) Cho phương trình , là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện .

2.2. Nhân dịp khai trương, một siêu thị điện máy giảm giá mỗi tivi 20% và giảm giá mỗi máy giặt 15% so với giá niêm yết. Biết tổng số tiền bán một chiếc tivi và một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá là 25 triệu đồng. Trong dịp này, bà Hiền đi mua một chiếc tivi và một chiếc máy giặt, bà phải trả tổng số tiền là 20,5 triệu đồng. Hỏi giá một chiếc tivi, một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá là bao nhiêu tiền (đơn vị triệu đồng)?

Phương pháp:

2.1

a) Thay toạ độ điểm A vào hàm số để tính m.

Tính P với giá trị m vừa tìm được.

b) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tìm hai nghiệm của phương trình bằng cách đưa phương trình về phương trình tích.

Giải phương trình theo từng trường hợp.

2.2

Gọi giá một chiếc tivi, một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá lần lượt là (triệu đồng) ()

Vì giá tiền một chiếc tivi và một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá là 25 triệu đồng nên ta có phương trình thứ nhất.

Vì giá tiền một chiếc tivi và một chiếc máy giặt sau khi giảm giá là 20,5 triệu đồng nên ta có phương trình thứ hai.

Từ hai phương trình ta lập được hệ phương trình.

Giải hệ phương trình.

Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

2.1

a) Vì đồ thị hàm số đi qua nên thay vào hàm số ta được:

Vậy .

b) Xét phương trình có:

với mọi .

Ta có:

Suy ra phương trình có hai nghiệm là:

và

TH1:

Ta có: nên

hoặc

hoặc

TH2:

Ta có: nên (vô lí)

Vậy và là các giá trị cần tìm.

2.2

Gọi giá một chiếc tivi, một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá lần lượt là (triệu đồng) ()

Vì giá tiền một chiếc tivi và một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá là 25 triệu đồng nên ta có phương trình (1)

Giá tiền một chiếc tivi sau khi giảm giá 20% là: (triệu đồng) Giá tiền một chiếc máy giặt sau khi giảm giá 15% là: (triệu đồng)

Vì giá tiền một chiếc tivi và một chiếc máy giặt sau khi giảm giá là 20,5 triệu đồng nên ta có phương trình (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

 

Vậy giá tiền một chiếc tivi trước khi giảm giá là 15 triệu đồng, giá tiền một chiếc máy giặt trước khi giảm giá là 10 triệu đồng.

Câu 3: (2,5 điểm)

Cho đường tròn và dây cung khác đường kính. Điểm nằm trên đường thẳng sao cho nằm giữa và . Vẽ đường kính của vuông góc với dây cung tại ( nằm trên cung lớn ). Tia cắt tại ( khác ). Các dây và cắt nhau tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh và .

c) Vẽ vuông góc với đường thẳng tại , đường tròn đường kính cắt đoạn thẳng tại ( khác ). Chứng minh thẳng hàng.

Phương pháp:

a) Chứng minh vuông tại , vuông tại nên cùng thuộc đường tròn đường kính hay tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh nên

Chứng minh cung AE = cung   nên suy ra là phân giác của góc .

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: .

c) Chứng minh cùng thuộc đường tròn nên (cùng chắn cung ), dẫn đến suy ra (1)

Chứng minh   suy ra

Do đó thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do tại nên vuông tại

Suy ra cùng thuộc đường tròn đường kính

Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên vuông tại

Suy ra cùng thuộc đường tròn đường kính

Vậy cùng thuộc đường tròn đường kính hay tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Xét và có chung và

Suy ra nên hay

Xét cân tại có đường cao nên đồng thời là phân giác

Khi đó suy ra cung AE = cung

Suy ra

Vậy là phân giác của góc nên (tính chất đường phân giác) hay .

c) Do vuông tại và vuông tại nên cùng thuộc đường tròn

Khi đó (cùng chắn cung )

Mà (cùng chắn cung ) nên

Suy ra (1)

Do thuộc đường tròn đường kính nên nên

Mà (do thuộc đường tròn đường kính ) nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra thẳng hàng

Câu 4: (0,5 điểm) Một cây kem ốc quế có chiều cao 18 cm, phần thân là lớp vỏ làm bằng bánh quế có dạng là một hình nón, phần đỉnh có dạng là một nửa hình cầu có bán kính bằng 3 cm bằng với bán kính của đáy hình nón (minh họa bằng hình vẽ). Tính thể tích của cả cây kem.

Phương pháp:

Tính chiều cao phần thân của kem ốc quế.

Tính thể tích phần thân kem hình nón: .

Tính thể tích phần đỉnh kem nửa hình cầu: .

Thể tích cây kem = thể tích phần thân kem + thể tích phần đỉnh kem.

Lời giải:

Phần thân của kem ốc quế cao:

Thể tích của phần thân kem là:

Thể tích phần đỉnh kem là:

Thể tích cả cây kem là:

Câu 5: (0,5 điểm) Giải hệ phương trình

Phương pháp:

Đặt ()

Khi đó và (1)

Từ ta được

Thay vào (1), đưa phương trình về phương trình tích để có hai nghiệm .

Thế từng trường hợp vào phương trình thứ nhất của hệ để tính nghiệm của hệ.
Lời giải:

Đặt ()

Khi đó và (1)

Từ ta được

Thay vào (1) ta được

Trường hợp 1:

Khi đó hay ()

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

(do )

(do )

(do )

Với , ta được

Trường hợp 2:

Với hay , bình phương 2 vế ta được

hay

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

(*)

Vì nên

Do đó VT (*) > 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm