Đề thi vào 10 môn Toán Phú Yên

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Biểu thức có giá trị là

A. 

B. 

C. 

D. 1

Câu 2: Tìm thỏa mãn biểu thức .

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 3: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số bậc nhất?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 4: Đường thẳng đi qua điểm . Khi đó

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 5: Tìm các giá trị của và để hệ phương trình có nghiệm (1;-1).

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 6: Cho m, n là nghiệm của phương trình , với . Thế thì tổng các nghiệm của phương trình bằng

A. 

B.  1

C. 

D. 

Câu 7: Một cái thang AB dài 6m tựa vào tường, chân thang cách tường 3m. Tính góc tạo bởi thang AB và tường AH.

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 8: Tam giác nhọn MNP có đường tròn (I) nội tiếp, với E,F,G là các tiếp điểm. Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. 

B. 

C. 

D. N,I,G thẳng hàng

Câu 9: Cho tam giác STR vuông tại T, đường cao TK. Khẳng định nào sau đây sai?

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 10: Từ một điểm ở ngoài đường tròn , kẻ 2 cát tuyến AHB và AKC. Biết , các cung HB, BC, CK có cùng độ dài. Tìm số đo .

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 11: Hình vuông DEFG có cạnh bằng là trung điểm các cạnh. Tính diện tích phần màu trắng giới hạn bởi 4 cung tròn KM, MN, NI, IK (tâm là các đỉnh hình vuông).

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 12: Đường tròn có bán kính bằng . Hai đường kính PQ và RS vuông góc nhau. Tính độ dài cung lớn PR.

A. 

B. 

C. 

D. 

Phần II. Tự luận

Câu 13: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

а) ;

b)

Câu 14: Cho hai hàm số và .

a) Tìm các hệ số a, b biết đường thẳng đi qua điểm .

b) Với các giá trị a, b vừa tìm được, hãy:

- Tìm giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số bằng phương pháp đại số.

- Vẽ đồ thị hai hàm số và trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Câu 15: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một khu đất hình chữ nhật có tỷ số hai kích thước là . Người ta làm một sân bóng đá mini 5 người ở giữa, chừa lối đi xung quanh (lối đi thuộc khu đất). Lối đi rộng 2m và có diện tích . Tính các kích thước của khu đất.

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại , có . Đường tròn tâm bán kính BA và đường tròn tâm bán kính CA cắt nhau tại điểm thứ hai .

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được.

b) Tính độ dài đoạn AD.

c) Một đường thẳng quay quanh cắt tại và cắt tại . Gọi là giao điểm của EB và FC. Khi thay đổi thì điểm chạy trên đường nào?

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Cách giải:

Chọn B.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Giải phương trình chứa căn. Bình phương hai vế.

Cách giải:

ĐKXĐ:

(tmđk)

Chọn D.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức trong đó là các số thực cho trước và

Cách giải:

Hàm số không phải là hàm số bậc nhất.

Chọn C.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Thay vào đường thẳng

Cách giải:

Thay vào đường thẳng , ta được:

Chọn B.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Thay nghiệm (1;-1) vào hệ phương trình .

Cách giải:

Thay nghiệm (1;-1) vào hệ phương trình ta được:

Chọn C.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng định lí viet

Cách giải:

Theo hệ thức Viet, ta có:

Vậy tổng nghiệm của phương trình là

Chọn A.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng công thức lượng giác.

Cách giải:

(Pytago)

Chọn A.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng tính chất đường tròn nội tiếp tam giác.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó do đó bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống ba cạnh của tam giác.

Cách giải:

Áp dụng tính chất đường tròn nội tiếp tam giác.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó do đó bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống ba cạnh của tam giác.

Suy ra A,C đúng.

Xét và có:

MI chung

(MI là đường phân giác)

Vậy (g.c.g)

Suy ra ME = MG . Suy ra B đúng

Vậy D sai.

Chọn D.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông.

Cách giải:

Tam giác STRvuông tại , đường cao TK ta có:

. Vậy A sai.

Chọn A.

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng tổng các góc trong một tam giác bằng

Cách giải:

Ta có HB = BC = CK

Vì AB, AC là cát tuyến của đường tròn mà HB = HC nên AB = AC.

Mà .

Chọn C.

Câu 11 (VD):

Phương pháp:

Diện tích phần màu trắng bằng diện tích hình vuông trừ diện tích của 4 cung tròn.

Diện tích cung tròn được tính bằng .

Cách giải:

Ta có D là tâm của đường tròn chứa cung KM, đường kính DM = 1 cm

Ta có số đo cung KM  là

Diện tích cung tròn là

Vì DEFG là hình vuông, M, N, I, K là trung điểm các cạnh nên diện tích số đo của 4 cung tròn KM, MN, NI, IK là bằng nhau.

Diện tích hình vuông là:

Vậy diện tích phần màu trắng là: .

Chọn A.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Diện tích cung tròn được tính bằng .

Cách giải:

Ta có số đo cung lớn PR  là

Diện tích cung tròn là

Chọn D.

Phần II. Tự luận

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

a) Tính .

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Cách giải:

a) Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm:

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b)

Thế (1) vào (2) ta được: . Ta có hệ phương trình:

Do đó x, y là nghiệm của phương trình .

Giải phương trình này ta được nghiệm: .

Vậy hệ phương trình trên có hai cặp nghiệm: và

Câu 14 (VD):

Phương pháp:

a) Thay tọa độ điểm vào đường thẳng.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

a) Vì đường thẳng đi qua điểm nên khi thế tọa độ các điểm M,Nvào hàm số ta có hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

b) Với , đường thẳng là .

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là:

Với , ta có giao điểm ; với , ta có giao điểm .

c) Hàm số có bảng giá trị:

Hàm số có bảng giá trị:

Đồ thị:

Câu 15 (VD):

Phương pháp:

Gọi lần lượt là 2 kích thước của khu đất .

Dựa vào đề bài lập các phương trình có liên quan.

Cách giải:

Gọi lần lượt là 2 kích thước của khu đất .

Theo đề bài, tỷ số hai kích thước là nên ta có phương trình thứ nhất:

Vì lối đi rộng có diện tích nên ta có phương trình thứ hai:

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được .

Vậy, khu đất có chiều rộng , chiều dài .

Câu 16 (VDC):

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Cách giải:

a) Xét hai tam giác ABC và DBC có:

chung;

Suy ra (c-c-c)

Suy ra .

Vậy ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm của BC với AD; khi đó hay AH là đường cao .

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào ta có:

Do đó, .

c) Trong có: .

cân tại suy ra (2). Tương tự, (3).

Ta có: (4). Kết hợp (1), (2), (3) và (4) suy ra .

Khi thay đổi quanh , điểm luôn nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới 1 góc vuông nên chạy trên đường tròn đường kính BC.

-----HẾT-----

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (3,00 điểm)

Học sinh chọn một phương án đúng nhát ở mỗi câu và viết phương án chọn vào bài làm (Ví dụ: Câu 1: A, Câu 2: B, Câu 3: D…)

Câu 1. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức ta được kết quả là:

     A.                  B. C.                                          D.                  

Câu 2. Đẳng thức nào sau đây đúng?

     A.                                     B.               C.         D.              

Câu 3. Đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc bằng:

     A.                                B.                                  C.                                     D.        

Câu 4. Tìm  và biết hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .

     A.           B.                C.                   D.     

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm.

     A.                       B.                       C.                             D.    

Câu 6. Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị hàm số ?

     A.                       B.                    C.    D.         

Câu 7. Một cái thang dài , đặt tạo với mặt đất một góc bằng (Hình 1). Vậy chân thang cách tường bao nhiêu mét?

     A.                             B.    C.                         D.                                     

 

Câu 8. Cho tam giác vuông tại , có đường cao , trung tuyến . Biết (Hình 2). Khẳng định nào sau đây sai?

     A.          B.                           C.        D.     

Câu 9. Cho tam giác nhọn , có các đường cao là trung điểm của (Hình 3). Khẳng định nào sau đây sai?

     A.                  B.                       C.             D.                   

Câu 10. Cho đường tròn tâm bán kính bằng , cung bằng độ. Tiếp tuyến tại cắt tại (Hình 4). Tính độ dài .

     A.                B.           C.                     D.                                        

 

Câu 11. Cho đường tròn tâm đường kính là điểm nằm ngoài đường tròn. Gọi lần lượt là giao điểm của với đường tròn (Hình 5). Tính biết sđ.

     A.                     B.                            C.                            D.      

Câu 12. Cho hai đường tròn và tiếp xúc (Hình 6). Tính diện tích miền tô đậm tạo bởi đường tròn và đường tròn .

     A.                             B.                                C.                               D.  

II. TỰ LUẬN (7,00 điểm)

Câu 13 (1,50 điểm)

Giải các phương trình:

a)                                               b)                                           c)

Câu 14 (1,50 điểm)

Cho hàm số

a) Xác định hệ số biết rằng đồ thị của hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng

b) Vẽ đồ thị của hàm số và đồ thị của hàm số với giá trị vừa tìm được ở câu trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

c) Dựa vào đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai ( khác ) của hai đồ thị vừa vẽ trong câu

Câu 15 (2,00 điểm):

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Quãng đường gồm một đoạn lên dốc dài 5 km và một đoạn xuống dốc dài 10 km. Một người đi xe đạp từ đến hết 1 giờ 10 phút và đi từ về hết 1 giờ 20 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc, xuống dốc của người đi xe đạp.

Câu 16 (2,00 điểm):

Cho hình thang có , , . Gọi là trung điểm của , là hình chiếu vuông góc của lên . Tia cắt đường thẳng tại .

a) Chứng minhg rằng .

b) Chứng minh rằng là hình bình hành.

c) Đường thẳng qua vuông góc với cắt cạnh tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh rằng tam giác cân.

d) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của .

Lời giải

I. TRẮC NGHIỆM

 

 

Câu 1

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức

Cách giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 2

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức về căn bậc hai.

Cách giải:

Ta có: là một đẳng thức đúng.

Chọn C.

Câu 3

Phương pháp:

Thay vào hàm số từ đó tìm được hệ số góc .     

Cách giải:

Đường thẳng đi qua điểm nên ta có:

Chọn B.

Câu 4

Phương pháp:

là nghiệm duy nhất của hệ phương trình nếu

Cách giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nên ta có:

Vậy

Chọn D.

Câu 5

Phương pháp:                        

Phương trình có nghiệm (hoặc )

Cách giải:

Phương trình có nghiệm

Chọn A.

Câu 6

Phương pháp:

Điểm thuộc đồ thị thì

Thay từng đáp án kiểm tra, chọn được điểm không thuộc đồ thị.

Cách giải:

+ Thay vào , ta được:

thuộc đồ thị , do đó loại đáp án A.

+ Thay vào , ta được:

không thuộc đồ thị , do đó chọn đáp án B.

Chọn B.

Câu 7

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

 

Ta có:

Vậy chân thang cách tường          

Chọn A.

Câu 8

Phương pháp:

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

Tam giác vuông tại , ta có:

+ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

đáp án C đúng.

+

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

đáp án B sai.

Chọn B.

Câu 9

Phương pháp:

Áp dụng đường trung tuyến của hình vuông.

Bất đẳng thức về độ dài cạnh trong tam giác.

Cách giải:

+ Ta có: vuông tại , là trung điểm

     (1)

  vuông tại là trung điểm

     (2)

Từ (1) và (2), suy ra loại đáp án A.

+ Từ hình vẽ là bất đẳng thức đúng loại đáp án B.

+ Theo bất đẳng thức tam giác thì là bất đẳng thức đúng loại đáp án C.

Chọn D.

Câu 10

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

là tiếp tuyến của đường tròn

vuông tại

Tam giác vuông tại , ta có:

(tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

Chọn D.

Câu 11

Phương pháp:

Vận dụng tính chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn: (số đo cung – số đo cung )

Vận dụng tích chất: Góc ở tâm = Số đo của cung bị chắn

Cách giải:

Xét đường tròn tâm có: số đo cung

Trong đường tròn , ta có:

(số đo cung – số đo cung )

Chọn C.

Câu 12

Phương pháp:

Diện tích hình tròn có bán kính là được tính theo công thức

Cách giải:

Diện tích hình tròn là

Diện tích hình tròn là

Diện tích miền tô đậm tạo bởi đường tròn và đường tròn là:

.

Chọn C.

 

II. TỰ LUẬN

Câu 13

Phương pháp:

a) Giải phương trình

b) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

c) Đặt

Phương trình ban đầu trở thành phương trình bậc hai một ẩn:

Giải phương trình, tìm được , lấy thỏa mãn điều kiện

Với tìm được, ta tìm được tương ứng.

Cách giải

a)

Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.

b)

Ta có: nên phương trình luôn có một nghiệm và nghiệm còn lại

Vậy phương trình có tập nghiệm .

c)

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

(TMĐK)

Với .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm .

Câu 1

Phương pháp:

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có được phương trình (1)

Từ giả thiết thì là nghiệm của phương trình (1), do đó thay vào phương trình (1), ta tìm được hệ số .

b) Vẽ đồ thị của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của và

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

Vẽ đồ thị của hàm số

+ Nhận xét về hệ số và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của và

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

c) Từ đồ thị vừa vẽ được, ta đọc được giao điểm còn lại còn tìm.

Cách giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Do đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng nên ta có là một nghiệm của phương trình .

Thay vào phương trình ta có:

Vậy .

b) + Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị:

Do đó đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm và .

+ Vẽ đồ thị hàm số .

Đồ thị hàm số bậc hai và có hệ số nên có đồ thị có dạng Parabol và có bề lõm hướng lên trên.

Hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi .

Ta có bảng giá trị:

 

Do đó đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm , , , , .

+ Vẽ đồ thị hàm số:

 

c) Dựa vào đồ thị trên, ta nhận thấy đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ là và .

Vậy giao điểm thứ hai khác của hai đồ thị hàm số là .

Câu 15

Phương pháp:

Gọi vận tốc lúc lên dốc của người đó là và vận tốc lúc xuống dốc là

Tính được thời gian lúc đi lên dốc và xuống dốc của người đó, có giả thiết lúc đi của người đó từ đó lập được phương trình (1)

Tính được thời gian lúc về lên dốc và xuống dốc của người đó, có giả thiết lúc về của người đó từ đó lập được phương trình (2)

Từ phương trình (1) và (2), lập được hệ phương trình.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Cách giải:

Đổii: 1 giờ 10 phút =

        1 giờ 20 phút

Gọi vận tốc lúc lên dốc của người đó là

       Vận tốc lúc xuống dốc là

Lúc đi: Thời gian lên dốc là , xuống dốc là

Tổng thời gian đi hết 1 giờ 10 phút nên ta có phương trình:

Lúc về: Thời gian lên dốc là , xuống dốc là .

Tổng thời gian về hết 1 giờ 20 phút nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đặt ta được:

Vậy vận tốc lúc lên dốc là và vận tốc lúc xuống dốc là .

Câu 16

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng là tứ giác nội tiếp, chứng minh là tứ giác nội tiếp (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

b) Ta sẽ chứng minh: và là hình bình hành (dhnb)

c) Ta sẽ chứng minh: có: là đường trung tuyến cũng là đường cao nên cân tại .

d) Gọi .

Ta sẽ chứng minh: và , suy ra

Dựa vào hai góc so le trong và góc nội tiếp của đường tròn, suy ra

Chứng minh được

Áp dụng đường trung bình trong tam giác .

Cách giải:

 

a) Xét tứ giác có .

.

là tứ giác nội tiếp (dhnb).

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

b) Vì là hình thang nên (1)

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét ta có: .

Mà (do là trung điểm của ) (2)

Từ (1) và (2) là hình bình hành (dhnb).

c) Vì là hình bình hành nên hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà là trung điểm của .

là đường trung tuyến của .

Lại có nên là đường cao của .

Vậy cân tại (tam giác có trung tuyến đồng thời là đường cao).d) Gọi .

Ta sẽ chứng minh: và , suy ra

Dựa vào hai góc so le trong và góc nội tiếp của đường tròn, suy ra

Chứng minh được

Áp dụng đường trung bình trong tam giác .

d) Gọi .

Xét tứ giác có .

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).  (3)

Vì cân tại (tính chất tam giác cân).

Mà (cùng phụ với )

    (4)

Từ (3) và (4) .

Mà (so le trong), (2 góc nội tiếp cùng chắn cung của tứ giác nội tiếp ).

.

.

Mà 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc so le trong bằng nhau nên hay .

Xét tam giác có: là trung điểm của , .

là trung điểm của (định lí đường trung bình của tam giác).

Vậy đường thẳng đi qua trung điểm của (đpcm).

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Câu 1: Với thì biểu thức nào sau đây luôn có nghĩa?

A.                              B.                   C.                     D. 

Câu 2: Sau khi rút gọn biểu thức có giá trị bằng:

A.                                    B.                     C.                               D.  

Câu 3: Nghiệm của hệ phương trình là cặp số nào sau đây?

A.                             B.                             C.                       D.  

Câu 4: Hai đường thẳng và song song với nhau khi bằng:

A.                                    B.                      C.                D.    

Câu 5: Phương trình nào sau đây là phương trình trùng phương?

A.             B.         C.                  D.   

Câu 6: Cho parabol và đường thẳng . Dựa vào hình vẽ, hãy xác định hệ số của hai hàm số trên: A.                                   B.               C.                          D.

 

Câu 7: Cho tam giác vuông tại đường cao biết Đặt tính

A.                              B.                 

C.                            D.  

 

Câu 8: Cho vuông tại Hệ thức nào sau đây luôn đúng? A.                                            B.  C.                                           D.

 

Câu 9:  Gọi là số ggiao điểm của một đường thẳng và một đường tròn. Trường hợp nào sau đây không thể xảy ra?

A.                             B.                              C.                             D.  

Câu 10: Cho hình chữ nhật   nội tiếp đường tròn biết Độ dài bán kính là: A.                            B.      C.                              D.

 

Câu 11: Tứ giác nào dưới đây không phải là tứ giác nội tiếp?

Câu 12:  Tính diện tích phần tô đậm được tạo bởi ba nửa đường tròn đường kính biết Kết quả nào sau đây đúng? A.                            B.     C.                            D.

 

II. TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 13 (1,5 điểm):

a) Tính

b) Tìm hai số thỏa mãn

Câu 14 (1,5 điểm):

Cho hai hàm số và

a) Vẽ đồ thị hàm số của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó bằng phép tính.

Câu 15: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một người đi xe máy từ thị trấn Chí Thạnh đến thị trấn Hai Riêng với vận tốc dự định trước. Sau khi đi được quãng đường, vì đoạn đường còn lại xấu nên người đó phải đi với vận tốc nhỏ hơn so với dự định km/h, do đó đến thị trấn Hai Riêng muộn hơn dự định phút. Tính vận tốc dự định, biết rằng quãng đường từ thị trấn Chí Thạnh đến thị trấn Hai Riêng là

Câu 16 (2 điểm):

Cho đường tròn đường kính Lấy điểm khác và trên đường tròn Trên cung nhỏ lấy điểm khác và Vẽ tại Đoạn thẳng và cắt nhau tại Chứng minh rằng:

a) là tứ giác nội tiếp.

b)

c) Vẽ dây của đường tròn vuông góc với Tia cắt đường tròn tại Chứng minh rằng khi điểm di chuyển trên cung nhỏ thì đường thẳng luôn đi qua điểm cố định. 

Lời giải

I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

1. C	2. B	3. C	4. A	5. B	6. D
7. D	8. B	9. D	10. C	11. A	12. D

 

Câu 1:

Phương pháp:

Biểu thức xác định  

Cách giải:

Xét đáp án A: xác định loại đáp án A.

Xét đáp án B: xác định loại đáp án B.

Xét đáp án C: xác định chọn đáp án C.

Chọn C.

Câu 2:

Phương pháp:

Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng công thức:

Cách giải:

Chọn B.

Câu 3:

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:  

Chọn C.

Câu 4:

Phương pháp:

Hai đường thẳng song song với nhau

Cách giải:

Hai đường thẳng và song song với nhau

Chọn A.

Câu 5:

Phương pháp:

Phương trình trùng phương có dạng:  

Cách giải:

Trong các phương trình ở các đáp án trên chỉ có đáp án B có phương trình là phương trình trùng phương.

Chọn B.

Câu 6:

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số, xét các điểm mà các đồ thị hàm số đi qua để tìm các hệ số

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đi qua điểm  

Đường thẳng đi qua điểm

Chọn D.

Câu 7:

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để làm bài.

Cách giải:

Ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại đường cao ta có:

Chọn D.

Câu 8:

Phương pháp:

Trong vuông tại ta có:

Cách giải:

Trong các đáp án đã cho, chỉ có đáp án B luôn đúng.

Chọn B.

Câu 9:

Phương pháp:

Đường thẳng và đường tròn có thể xảy ra các trường hợp:

+) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

+) Tiếp xúc nhau tại một điểm.

+) Đường thẳng nằm ngoài đường tròn.

Cách giải:

Đường thẳng và đường tròn có thể xảy ra các trường hợp:

+) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

+) Tiếp xúc nhau tại một điểm.

+) Đường thẳng nằm ngoài đường tròn tức là đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

Như vậy chỉ có đáp án D không thể xảy ra.

Chọn D.

Câu 10:

Phương pháp:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là

Cách giải:

Áp dụng định lý Pitago cho vuông tại ta có:

Chọn C.

 

Câu 11:

Phương pháp:

Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác để chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Xét đáp án A: Tứ giác có hai góc đối diện có tổng là: không phải là tứ giác nội tiếp.

Chọn A.

Chọn A.

Câu 12:

Phương pháp:

Công thức diện tích đường tròn bán kính

Cách giải:

Ta có:

Diện tích nửa đường tròn đường kính  

Diện tích nửa đường tròn đường kính  

Diện tích nửa đường tròn đường kính

Vậy diện tích phần đường hình được tô đậm là:  

Chọn D.

II. TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 13

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức:

b) Sử dụng định lý Vi-ét đảo: Cho hai số thỏa mãn: thì là hai nghiệm của phương trình

Cách giải:

a) Tính

b) Tìm hai số thỏa mãn

Ta có:

Áp dụng định lý Vi-et đảo ta có hai số là hai nghiệm của phương trình:

Vậy hai số thỏa mãn bài toán là:

Câu 14

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số, tìm hoành độ giao điểm. Thế hoành độg giao điểm vừa tìm được vào một trong hai hàm số tìm tung độ giao điểm.

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

+) Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm và nhận trục làm trục đối xứng.

+) Vẽ đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm:

Vẽ đồ thị hàm số:

 

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó bằng phép tính.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

 

Vậy đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt:

Câu 15:

Phương pháp:

Bước 1: Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Giải phương trình ta tìm được ẩn. Từ đó so sánh với điều kiện ở bước 1 để chọn các giá trị phù hợp và kết luận.

Cách giải:

Gọi vận tốc dự định của người đó là (km/h)

Thời gian đi từ thị trấn Chí Thạnh đến thi trấn Hai Riêng theo dự định là giờ.

quãng đường đầu dài là

Thời gian người đó đi quãng đường đầu là giờ

Quãng đường còn lại dài là

Vận tốc người đó đi quãng đường còn lại là (km/h) .

Thời gian người đó đi quãng đường còn lại là giờ

Tổng thời gian người đó đi theo thực tế là giờ.

Vì người đó đến thị trấn Hai Riêng muộn hơn dự định phút ( giờ) nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc dự định của người đó là km/h.

Câu 16

Phương pháp:

a) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

c)  Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

    Chứng minh và cùng vuông góc với , từ đó suy ra thẳng hàng.

Cách giải:

 

a) là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

Lại có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Tứ giác có

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b)

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

vuông tại

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại có đường cao ta có:

Xét và ta có:

c) Vẽ dây của đường tròn vuông góc với Tia cắt đường tròn tại Chứng minh rằng khi điểm di chuyển trên cung nhỏ thì đường thẳng luôn đi qua điểm cố định.

Ta có: (từ vuông góc đến song song).

(đồng vị).

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mà .

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Từ đó theo tiên đề Ơ-clit ta có hay thẳng hàng.

Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định. 

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (3,00 điểm)

Câu 1. Rút gọn biểu thức , ta được

     A.         B.             C.             D.                               

Câu 2. Kết quả nào sau đây là sai (với )?

     A.                                  B.               C.     D.                   

Câu 3. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm (–2;4). Khi đó hệ số góc a bằng:

     A. –2                                  B. 4                                         C. –1                                     D. 2           

Câu 4. Phương trình có nghiệm tổng quát là  

     A.            B.                                   C.                                    D.       

Câu 5. Tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng được cho ở hình 1 là

     A. (–1;1) và (2;4)               B. (–1;1)                                

     C. (2;4)                              D. (1;–1) và (4;2)

Câu 6. Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức

     A.                      B.                          

     C.   D.                             

Câu 7. ∆ ABC vuông tại A có đường cao (Hình 2). Độ dài cạnh AB bằng

     A. 4                                    B.                      C. 12                                      D. 16         

Câu 8. Một trụ điện trồng vuông góc với mặt đất bị bão đánh gãy, ngọn của nó chạm đất và cách gốc 4m, chỗ gãy cách mặt đất 3m (Hình 3). Hỏi khi chưa gãy, trụ điện cao bao nhiêu mét?

     A. 4m                                 B. 5m                                      C. 7m                                     D. 8m

Câu 9. Cho hình vẽ như Hình 4. Đẳng thức nào sau đây là sai?

 

Câu 10. Trên đường tròn đường kính AB lấy các điểm C, D sao cho . Gọi H là giao điểm của AD và BC (Hình 5). Khẳng định nào sau đây là sai?

     A.        B. C.                     D.

Câu 11. Tính diện tích phần tô đậm được tạo bởi nửa đường tròn đường kính OB, đoạn thẳng OA và cung tròn AB, biết (Hình 6)

     A.                B.                   C.                   D.

Câu 12. Một chiếc bàn hình tròn, đường kính bằng 1m. Người ta nới rộng mặt bàn bằng cách ghép thêm vào giữa một mặt hình chữ nhật có một cạnh bằng 1m (Hình 7). Để diện tích mặt bàn tăng gấp đôi thì cạnh còn lại của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu mét (cho )?

     A.    B.              C.              D.

II. TỰ LUẬN (7,00 điểm):

Câu 13. (1,5 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a)                              b) c)

Câu 14. (2,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng (d)

a) Xác định m biết đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –2

b) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được ở câu a

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d)

Câu 15. (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

     Trong một thư viện có hai máy in A và B. Để in 100 trang giấy thì máy A in nhanh hơn máy B là 1 phút. Khi cùng in, thì trong 1 phút cả hai máy in được tổng cộng 45 trang giấy. Tính thời gian để máy A in được 100 trang giấy.

Câu 16. (2,0 điểm) Cho đường tròn , đường kính . Trên lấy điểm sao cho . Trên đoạn thẳng lấy điểm cố định ( khác ). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại , cắt tại

a) Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác với ( khác ). Chứng minh rằng tam giác cân.

c) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên (O) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF chạy trên một đường thẳng cố định. 

Lời giải

I. TRẮC NGHIỆM (3,00 điểm)

 

Câu 1:

Phương pháp:

Áp dụng công thức

Cách giải:

Ta có

Chọn C.

Câu 2:

Phương pháp:

Rút gọn biểu thức chứa dấu căn

Cách giải:

Ta thấy

Chọn C.

Câu 3:

Phương pháp: Thay tọa độ vào hàm số để tìm

Cách giải:

Đồ thị hàm số đi qua điểm nên

Chọn C.

Câu 4:

Phương pháp:

Cho , tính theo

Cách giải:

 

Ta có

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

Quan sát trực tiếp vào đồ thị

Cách giải:

Nhìn vào đồ thị ta thấy hai giao điểm của 2 đồ thị là (–1;1) và (2; 4)

Chọn A.

Câu 6:

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức Vi ét và tính giá trị biểu thức

Cách giải:

Áp dụng định lý Vi-ét ta có:

Chọn A.

Câu 7:

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cách giải::

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Chọn A.

Câu 8:

Phương pháp:

Áp dụng định lý Pitago

Cách giải:

Áp dụng định lý Pitago, ta có đoạn cột điện từ chỗ gãy đến ngọn có độ dài là

Độ dài của cả cột điện là:

Chọn D.

Câu 9:

Phương pháp:

Áp dụng công thức góc nội tiếp, góc ngoài tam giác

Cách giải:

Vì góc BEC là góc ngoài tam giác AEC nên:

Khẳng định D là sai

Chọn D.

Câu 10:

Phương pháp:

Tính số đo các góc, từ đó giải tam giác ACH

Cách giải:

Ta có:  

Mặt khác tam giác ACH vuông do (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Chọn B.

Câu 11:

Phương pháp:

Diện tích phần tô đậm là hiệu của diện tích cung tròn OAB với diện tích nửa đường tròn đường kính OB

Cách giải:

Diện tích phần tô đậm là

Chọn B.

Câu 12 Diện tích hình tròn

Phương pháp:

Để diện tích mặt bàn tăng gấp đôi thì diện tích hình chữ nhật phải bằng diện tích hình tròn ban đầu.

Cách giải:

Diện tích chiếc bàn tròn ban đầu là

Chiều dài hình chữ nhật phải tăng thêm là

Chọn D.

 

II. TỰ LUẬN (7,00 điểm)

Câu 13. (1,50 điểm)

Cách giải:

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a)

Ta có:

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

b)

Ta có: .

Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

c) .

Đặt , phương trình đã cho trở thành: .

Nhận xét: nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt .

Với .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Câu 14. (2,00 điểm)

Cách giải:

Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng .

a) Xác định m biết đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .

Vì đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng nên đường thẳng đi qua điểm có tọa độ .

Vậy .

b) Vẽ đồ thị hàm số với vừa thu được ở câu a.

Theo câu a) ta có , khi đó hàm số trở thành .

Ta có bảng giá trị sau:

Do đó đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ và .

Đồ thị hàm số:

 

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng cắt trục hoành tại điểm và cắt trục tung tại điểm .

.

 

Kẻ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại , đường cao ta có:

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng bằng và bằng .

Câu 15. (1,50 điểm)

Cách giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Trong một thư viện có hai máy in A và B. Để in 100 trang giấy thì máy A in nhanh hơn máy B là 1 phút. Khi cùng in, thì trong 1 phút cả hai máy in được tổng cộng 45 trang giấy. Tính thời gian để máy A in được 100 trang giấy.

Gọi thời gian máy A in được 100 trang giấy là (phút) (ĐK: ).

Thời gian máy B in được 100 trang giấy là (phút).

Khi cùng in, trong 1 phút:

Máy A in được: (trang giấy)

Máy B in được: (trang giấy)

Trong 1 phút, cả hai máy in được (trang giấy)

Vì trong 1 phút, cả hai máy in được tổng cộng 45 trang giấy nên ta có phương trình:

Vậy thời gian để máy A in được 100 trang giấy là 4 phút.

Câu 16. (2,00 điểm)

Cách giải:

Cho đường tròn , đường kính . Trên lấy điểm sao cho . Trên đoạn thẳng lấy điểm cố định ( khác ). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại , cắt tại .

 

a) Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên .

Xét tứ giác có: .

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

b) Gọi là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác với ( khác ). Chứng minh rằng tam giác cân.

Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp (các điểm cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp ) nên (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Ta lại có:

(do tam giác vuông tại ).

(do tam giác vuông tại ).

(cùng phụ với ).

.

Từ (1) và (2) .

cân tại (định nghĩa) (đpcm).

c) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên (O) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF chạy trên một đường thẳng cố định.

Ta có: cân tại (cmt), mà nên là trung điểm của (đường cao đồng thời là trung tuyến)  là điểm đối xứng với qua và .

Mà cố định không đổi không đổi.

Lại có cố định cố định.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua điểm , nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường trung trực của .

Vì cố định nên trung trực của là cố định.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc trung trực của cố định, với là điểm đối xứng với qua .

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Học sinh chọn một phương án đúng nhất ở mỗi câu và viết phương án chọn vào bài làm:

Câu 1: Tìm x để biểu thức   có nghĩa.

A.                           B.                              C.                                    D.

Câu 2:   Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?

A.                                  B.                                    C.                            D.  

Câu 3:  Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình

A.                              B.                           C.                            D.   

Câu 4:  Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A.                    B.                         C.                  D.

Câu 5: Cho hàm số Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến với mọi                                        B. Hàm số nghịch biến với mọi                        

C. Hàm số đồng biến khi                                         D. Hàm số nghịch biến khi

Câu 6:   Phương trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt?

A.                    B.                     C.                      D.

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 2, HC = 4. Đặt BH = x. Tính x.

A.                                   B.                  

C.                              D.  

Câu 8:  Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A.                          B.              

C.                                     D.  

Câu 9:  Tính chu vi C của tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn có bán kính bằng

A.                                      B.                                 

C.                                D.  

Câu 10:  Cho đường tròn tâm O đường kính 10cm. Gọi H là trung điểm của dây AB. Tính độ dài đoạn OH, biết AB = 6cm.

A.                     B.         

C.                   D.  

Câu 11:  Cho đường tròn và đường tròn có đoạn nối tâm   Biết đường tròn và cắt lần lượt tại Tính độ dài  

A.                                B.

C.                                     D.

Câu 12:  Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Khẳng định nào sau đây không đúng?

A.                                       B.              

C.                                 D.  

II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Câu 13 (1,50 điểm)

a) So sánh 5 và

b) Giải phương trình

Câu 14 (1,50 điểm)

Cho phương trình (m là tham số)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.

Câu 15 (2,00 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ 30 phút. Hỏi nếu mở từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể.

Câu 16 (2,00 điểm)

Cho đường tròn đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại A, C là điểm chuyển động trên đường thẳng d. BC cắt (O) tại D . Gọi E là trung điểm của BD.

a) Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng

c) Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.

Đề bài

Câu 1:

Phương pháp:

+) Biểu thức có nghĩa  

Cách giải:

Tìm x để biểu thức   có nghĩa.

A.                           B.                              C.                                    D.

Biểu thức có nghĩa

Chọn D.

Câu 2:

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng

Cách giải:

Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?

A.                                  B.                                    C.                            D.  

Theo khái niệm hàm số thì đáp án B đúng.

Chọn B.

Câu 3:

Phương pháp:

Thay từng cặp số trong mỗi đáp án vào phương trình. Cặp nào thỏa mãn phương trình thì là nghiệm của phương trình trên.

Cách giải:

Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình

A.                              B.                           C.                            D.

Đáp án A: A thỏa mãn.

Đáp án B: B thỏa mãn.

Đáp án C: C không thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 4:

Phương pháp:

Xét trong các đáp án ta thấy hệ phương trình có dạng:

Nghiệm của hệ phương trình là số giao điểm của đường thẳng

Hệ phương trình vô nghiệm  

Cách giải:

Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A.                    B.                         C.                  D.

Nhìn vào các đáp án trên chỉ có đáp án B có hệ phương trình  vô nghiệm.

Chọn B

Câu 5:

Phương pháp:

Xét hàm số có:

+) Với thì hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi

+) Với thì hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi

Cách giải:

Cho hàm số Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến với mọi                                      B. Hàm số nghịch biến với mọi                      

C. Hàm số đồng biến khi                                       D. Hàm số nghịch biến khi

Xét hàm số có:

+) Với thì hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi

Chọn C.

Câu 6:

Phương pháp:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cách giải:

Phương trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt?

A.                    B.                     C.                      D.

+) Đáp án A có: phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Câu 7:

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cách giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 2, HC = 4. Đặt BH = x. Tính x. A.                          B.                    C.                                  D.

Ta có: 

Chọn B.

Câu 8:

Phương pháp:

Sử dụng các công thức hệ thức lượng của góc nhọn trong tam giác vuông để chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây là sai? A.                                 B.              C.                                 D.

Xét tam giác vuông tại có: đáp án A đúng.

đáp án B đúng.

Xét tam giác vuông tại có:   đáp án C đúng.

đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 9:

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến và định lý Pi-ta-go để tính độ dài các cạnh của tam giác.

Chu vi tam giác là:

Cách giải:

Tính chu vi C của tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn có bán kính bằng A.                            B.                                     C.                                 D.

 

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều

Khi đó O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

(tính chất đường trung tuyến trong tam giác).

Áp dụng định lý Pi-ta-go đối với tam giác vuông vuông tại ta có:

Chu vi tam giác đều là:  

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài đoạn thẳng OH.

Cách giải:

Cho đường tròn tâm O đường kính 10cm. Gọi H là trung điểm của dây AB. Tính độ dài đoạn OH, biết AB = 6cm. A.                       B.            C.                     D.

 

Xét đường tròn (O) ta có H là trung điểm của dây cung AB

(mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông tại H có:

Chọn A.

Câu 11:

Phương pháp:

Sử dụng các công thức cộng đoạn thẳng.

Cách giải:

Cho đường tròn và đường tròn có đoạn nối tâm   Biết đường tròn và cắt lần lượt tại Tính độ dài   A.                                  B. C.                                     D.

 

Ta có:

Lại có:

Chọn B.

Câu 12:

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.

Cách giải:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Khẳng định nào sau đây không đúng? A.                                               B.              C.                               D.

 

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ta có:

(hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp) đáp án A sai.

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) đáp án B đúng.

Chọn A.

II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Câu 13.

Phương pháp:

a) Đưa về so sánh và

b) Đặt .

Cách giải:

a) So sánh 5 và

Ta có

Vì

b) Giải phương trình

Đặt , khi đó phương trình trở thành

Khi .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Câu 14.

Phương pháp:

a) Phương trình có nghiệm kép

b) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm , sau đó áp dụng hệ thức Vi-et

Cách giải:

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?

Ta có

Để phương trình có nghiệm kép

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.

Để phương trình có nghiệm .

Theo hệ thức Vi-et ta có

Khi đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là :

Trong trường hợp phương trình có nghiệm kép thì hoặc , khi đó ta có hoặc .

Câu 15.

Phương pháp:

+) Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể là x (h) (ĐK: )

    Gọi thời gian vòi thứ hai chảy 1 mình đầy bể là y (h) (ĐK: )

+) Tính trong 1h mỗi vòi chảy được bao nhiêu phần của bể.

+) Dựa vào các dữ kiện đã cho lập hệ phương trình và giải hệ phương trình.

Cách giải:

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể là x (h) (ĐK: )

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy 1 mình đầy bể là y (h) (ĐK: )

Khi đó mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bể và vòi thứ hai chảy được bể.

Vì nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy nên mỗi giờ cả hai vòi chảy được bể, do đó ta có phương trình .

Vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ 30 phút = nên ta có phương trình

Thay (2) vào (1) ta có

Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đày bể là 5 giờ và thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 7,5h.

Câu 16.

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác OACE là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tam giác BOE đồng dạng với tam giác BCA.

c) Chứng minh I di chuyển trên trung trực của OA.

Cách giải:

 

a) Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp.

Vì E là trung điểm của BD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tứ giác OACE có Tứ giác OACE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh rằng

Xét tam giác BOE và tam giác BCA có:

chung;

;

 

c) Chứng minh I di chuyển trên trung trực của OA.

Ta có tứ giác OACE nội tiếp Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OACE.

Tâm I thuộc đường trung trực của OA.

Mà OA cố định Trung trực của OA cố định.

Vậy khi C di chuyển trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE di chuyển trên trung trực của OA.

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (3,00 điểm)

Học sinh chọn một phương án đúng nhất ở mỗi câu và viết phương án chọn vào bài làm (Ví dụ: Câu 1: A, Câu 2: B, Câu 3: D...).

Câu 1: Biểu thức nào sau đây có giá trị khác với các biểu thức còn lại?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 2: Cho bất đẳng thức . Kết luận nào sau đây là không đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 3: Số nào sau đây không phải là một nghiệm của bất phương trình ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 4: Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 5: Giả sử đồ thị của hàm số là parabol như Hình 1. Giá trị của bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 6: Tam giác vuông tại có đường cao (Hình 2). Khẳng định nào sau đây sai?

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 7: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường nào trong tam giác đó?

A. Đường phân giác.

B. Đường trung trực.

C. Đường cao.

D. Đường trung tuyến.

Câu 8: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là cm và cm. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó bằng

A. cm.

B. cm.

C. cm.

D. cm.

Câu 9: Mỗi hình a), b), c), d) trên Hình 3 là hai đường tròn phân biệt và . Hình nào có đoạn nối tâm và hai bán kính thỏa mãn ?

A. Hình 3a).

B. Hình 3b).

C. Hình 3c).

D. Hình 3d).

Câu 10: Cho tam giác có ; nội tiếp đường tròn tâm (Hình 4). Số đo của góc bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 11: Thể tích của một hình trụ có đường kính đáy bằng 4 cm và chiều cao bằng 8 cm (Hình 5) là

A.

B.

C.

D.

Câu 12: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7” là

A. 0

B.

C.

D.

II. TỰ LUẬN (7,00 điểm)

Câu 13: (1,50 điểm)
1) Rút gọn biểu thức .
2) Cho phương trình bậc hai (ẩn ): .
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho .
Câu 14: (1,50 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) ;

b) ;

c) .
Câu 15: (2,00 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Để xây dựng công viên từ một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20 m; người ta làm hai lối đi có bề rộng như nhau (hai lối đi này lần lượt song song với chiều dài và chiều rộng của mảnh đất), phần đất còn lại để trồng hoa (Hình 6). Xác định bề rộng của lối đi để phần đất trồng hoa có diện tích là 504 .

Câu 16: (2,00 điểm) Cho hình chữ nhật có . Trên tia đối của tia lấy điểm (). Đường thẳng qua và vuông góc với cắt đường thẳng tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng .
a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và . Chứng minh .
c) Chứng minh rằng khi điểm di chuyển trên tia đối của tia thì điểm luôn chạy trên một đường cố định.

----------HẾT----------

Lời giải

I. TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Biểu thức nào sau đây có giá trị khác với các biểu thức còn lại?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của căn bậc hai để xác định.

Lời giải:

Ta có:

Vậy có giá trị khác với các biểu thức còn lại.

Đáp án: D

Câu 2: Cho bất đẳng thức . Kết luận nào sau đây là không đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức với phép cộng, phép nhân.

Lời giải:

Vì và nên .

Vì nên nên B sai.

Vì nên .

Vì và nên .

Đáp án: B

Câu 3: Số nào sau đây không phải là một nghiệm của bất phương trình ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Giải để tìm nghiệm của bất phương trình.

So sánh các đáp án với nghiệm của bất phương trình.

Lời giải:

Ta có:

           

             

Trong các số trên, số không thoả mãn .

Vậy không phải là một nghiệm của bất phương trình.

Đáp án: C

Câu 4: Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Đối với bài tập trắc nghiệm, ta sử dụng máy tính cầm tay để tính nghiệm.

Lời giải:

Sử dụng máy tính cầm tay, ta được .

Đáp án: A

Câu 5: Giả sử đồ thị của hàm số là parabol như Hình 1. Giá trị của bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị ta thấy điểm A(1;2) thuộc đồ thị hàm số nên ta xác định được hàm số.

Xác định tung độ tương ứng với hoành độ .

Thay vào hàm số để tìm .

Lời giải:

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm nên ta có: , suy ra .

Do đó đồ thị này của hàm số .

Vì giá trị của tại là nên ta có: , suy ra , suy ra (do ).

Đáp án: D

Câu 6: Tam giác vuông tại có đường cao (Hình 2). Khẳng định nào sau đây sai?

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức về tỉ số lượng giác trong tam giác.

Lời giải:

Ta có:

nên A đúng.

nên B đúng.

nên C đúng.

nên D sai.

Đáp án: D

Câu 7: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường nào trong tam giác đó?

A. Đường phân giác.

B. Đường trung trực.

C. Đường cao.

D. Đường trung tuyến.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về đường tròn nội tiếp tam giác.

Lời giải:

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác.

Đáp án: A

Câu 8: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là cm và cm. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó bằng

A. cm.

B. cm.

C. cm.

D. cm.

Phương pháp:

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền.

Lời giải:

Cạnh huyền của tam giác vuông đó là: (cm)

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó là: 13 : 2 = 6,5 (cm)

Đáp án: B

Câu 9: Mỗi hình a), b), c), d) trên Hình 3 là hai đường tròn phân biệt và . Hình nào có đoạn nối tâm và hai bán kính thỏa mãn ?

A. Hình 3a).

B. Hình 3b).

C. Hình 3c).

D. Hình 3d).

Phương pháp:

Dựa vào mối liên hệ giữa OO’ với R + R’.

Lời giải:

Vì nên hai đường tròn không giao nhau nên hình biểu diễn là hình 3c).

Đáp án: C

Câu 10: Cho tam giác có ; nội tiếp đường tròn tâm (Hình 4). Số đo của góc bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Dựa vào định lí tổng ba góc trong tam giác bằng suy ra .

Góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

suy ra

Vì và lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung AB nên .

Đáp án: B

Câu 11: Thể tích của một hình trụ có đường kính đáy bằng 4 cm và chiều cao bằng 8 cm (Hình 5) là

A.

B.

C.

D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ: .

Lời giải:

Bán kính đáy của hình trụ là:

Thể tích của hình trụ là: .

Đáp án: B

Câu 12: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7” là

A. 0

B.

C.

D.

Phương pháp:

Xác định số phần tử của không gian mẫu.

Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

Không gian mẫu của phép thử là:

Không gian mẫu có 36 phần tử.

Không có kết quả nào thuận lợi cho biến cố “tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”.

Do đó xác suất của biến cố A là 0.

Đáp án: A

II. TỰ LUẬN: 

Câu 13: (1,50 điểm)
1) Rút gọn biểu thức .
2) Cho phương trình bậc hai (ẩn ): .
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho .
Phương pháp:

1) Khi rút gọn biểu thức, ta cần thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu cần);

+ Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung rồi quy đồng;

+ Bước 3: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) phân thức kết hoặc các phép biến đổi khai căn để rút gọn phân thức.

2)

a) Chứng minh với mọi giá trị của b.

b) Áp dụng định lí Viète, ta có: .

Thay vào để tìm b.

Lời giải:

1)

.

Vậy .

2)

a) Ta có với mọi nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của .

b) Áp dụng định lí Viète, ta có: .

Để thì , suy ra .

Câu 14: (1,50 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) ;
b) ;
c) .
Phương pháp:

a) Giải phương trình tích: thì hoặc .

b) Tìm điều kiện xác định, đưa phương trình chứa ẩn ở mẫu về phương trình bậc nhất một ẩn để giải.

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải:

a) Để giải phương trình trên ta giải hai phương trình sau:

+) suy ra

+) suy ra

Vậy phương trình có nghiệm và

b) ĐK:

(tmđk)

Vậy nghiệm của phương trình là .

c)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Câu 15: (2,00 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Để xây dựng công viên từ một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20 m; người ta làm hai lối đi có bề rộng như nhau (hai lối đi này lần lượt song song với chiều dài và chiều rộng của mảnh đất), phần đất còn lại để trồng hoa (Hình 6). Xác định bề rộng của lối đi để phần đất trồng hoa có diện tích là 504 .

Phương pháp:

Gọi bề rộng của lối đi là , .

Tính diện tích của một phần đất trồng hoa.

Biểu diễn chiều dài của một phần đất trồng hoa sau khi làm lối đi, chiều rộng của một phần đất trồng hoa sau khi làm lối đi theo suy ra diện tích của một phần đất trồng hoa sau khi làm lối đi.

Vì diện tích một phần đất trồng hoa là nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm .

Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi bề rộng của lối đi là , .

Diện tích của một phần đất trồng hoa là:

Chiều dài của một phần đất trồng hoa sau khi làm lối đi là , chiều rộng của một phần đất trồng hoa sau khi làm lối đi là .

Diện tích của một phần đất trồng hoa sau khi làm lối đi là: .

Vì diện tích một phần đất trồng hoa là nên ta có phương trình:

Giải phương trình, ta được: (loại do ); (thoả mãn)

Vậy bề rộng của lối đi là 2m.

Câu 16: (2,00 điểm) Cho hình chữ nhật có . Trên tia đối của tia lấy điểm (). Đường thẳng qua và vuông góc với cắt đường thẳng tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng .
a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và . Chứng minh .
c) Chứng minh rằng khi điểm di chuyển trên tia đối của tia thì điểm luôn chạy trên một đường cố định.

Phương pháp:

a) Chứng minh vuông tại D, vuông tại B nên E, F, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

b) Chứng minh nên

Chứng minh nên

Chứng minh nên

Suy ra

c) Chứng minh tứ giác AHFD nội tiếp đường tròn đường kính FD.

Suy ra . Từ đó suy ra

Kết hợp với suy ra

hay H, A, C thẳng hàng.

Kết luận điểm H luôn chạy trên một đường cố định AC.

Lời giải:

a) Do nên vuông tại D. Khi đó E, F, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF

Có vuông tại B (ABCD là hình chữ nhật) nên B, E, F  cùng thuộc đường tròn đường kính EF

Vậy E, F, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

b) Xét và có chung và

Suy ra nên hay   (1)

Tương tự ( chung và ) nên   (2)

( chung và ) nên    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

c) Ta có

Do đó A, H, F, D thuộc đường tròn đường kính FD hay tứ giác AHFD nội tiếp đường tròn đường kính FD.

Suy ra

Mà ,

Nên

Hay H, A, C thẳng hàng.

Vậy khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định A