Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ngãi

Đề bài

Câu 1: 

1) Thực hiện phép tính .                   

2) Vẽ đồ thị của hàm số .

3) Cho hai đường thẳng và .Tìm a, b biết song song với và đi qua điểm .

Câu 2: 

1) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)

b)

2) Cho phương trình , với là tham số.

a) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Khi phương trình có hai nghiệm , tìm tất cả các giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: Hai đội công nhân cùng thi công một đoạn đường nông thôn và dự định hoàn thành công việc đó trong 16 ngày. Khi làm được 12 ngày thì đội I được điều động đi làm việc ở nơi khác. Những ngày sau đó, đội II làm việc với năng suất gấp 1,5 lần năng suất ban đầu nên đã hoàn thành công việc đúng thời gian dự định. Hỏi theo năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải bao nhiêu ngày mới hoàn thành công việc trên?

Câu 4: 

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4cm, HC = 5cm (như hình vẽ). Tính độ dài AB và AH.

2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Hai đường cao AE và BF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.

b) Kẻ đường kính AD của đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. Biết , tính AH theo R.

c) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng CH và AB, K là giao điểm của hai đường thẳng BC và FN. Chứng minh BK.CE = BE.CK.

Câu 5: Giải phương trình .

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

1) Tính toán với căn bậc hai

2) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị tương ứng giữa và .

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

Chú ý: vì đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìn một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.

3) Hai đường thẳng song song khi

Thay giá trị của điểm đi qua vào đường thẳng.

Cách giải:

1) Ta có:

2) Xét hàm số .

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bề cong hướng lên.

Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

3) Vì song song với nên hay phương trình có dạng: với )

Vì đi qua điểm nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được:

(thỏa mãn )

Vậy và

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

1)

a) Giải PT bằng cách đặt ẩn, đưa về PT bậc hai một ẩn.

Sử dụng phương pháp tính nhẩm thì PT có một nghiệm là ; nghiệm còn lại là

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

2)

a) PT có hai nghiệm phân biệt khi

Công thức

b) PT có hai nghiệm khi

Hệ thức Vi-ét

Biến đổi biểu thức đề bài

Cách giải:

1) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) (1)

Đặt

Khi đó

Do nên phương trình có 2 nghiệm phân biết

Với (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b)

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

2) Cho phương trình , với là tham số.

a) Xét

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Vậy thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Để phương trình có 2 nghiệm thì

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có

Ta có

Do

Dấu bằng xảy ra khi m = 1 (thỏa mãn )

Vậy khi m = 1.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

- Quy ước công việc cần hoàn thành là 1 đơn vị

- Tìm 1 trong 1 giờ (1 ngày, 1 phút, ...) mỗi người làm được bao nhiêu phần công việc

Cách giải:

Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x (, ngày)

Gọi thời gian đội II hoàn thành công việc một mình là y (, ngày)

Một ngày đội I làm một mình được (công việc)

Một ngày đội II làm một mình được (công việc)

Suy ra 1 ngày 2 đội làm được (công việc)

Do 2 đội cùng thi công đoạn đường thì hoàn thành công việc trong 16 ngày nên ta có phương trình

 (1)

Ta có 2 đội làm cùng nhau trong 12 ngày được (công việc)

Đội II tăng năng suất lên 1,5 lần nên mỗi ngày đội 2 làm được (công việc)

Để hoàn thành công việc trong 16 ngày như dự định thì đội II phải hoàn thành nốt công việc trong 4 ngày

Khi đó ta có phương trình (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Vậy đội I hoàn thành công việc một mình trong 48 ngày, đội II hoàn thành công việc trong 24 ngày.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

1) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có đường cao.

2) a) Chứng minh tứ giác CEHF có tổng hai góc đối bằng

Gọi I là trung điểm của CH. Khi đó tứ giá CEHF nội tiếp đường tròn tâm I.

b) Chứng minh tứ giác BHCH có hai cặp cạnh đối song song với nhau.

Tính AH thông qua OM. Chứng minh OM là đường trung bình .

Áp dụng định lí Py-ta-go trong vuông tại M tính OM.

c) Chứng minh NB là phân giác trong tại đỉnh N của tam giác NEK

Chứng minh NC là phân giác ngoài tại định N của tam giác NEK

Cách giải:

1)

Ta có .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:

Vậy AB = 6 cm, AH = cm.

2)

a) Ta có

Xét tứ giác CEHF có:

.

Mà E, F là hai đỉnh đối nhau của tứ giác CEHF.

Suy ra CEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Gọi I là trung điểm của CH.

Do tam giác HEC vuông tại E, có trung tuyến EI nên .

Do tam giác HFC vuông tại F, có trung tuyến FI nên .

.

Vậy tứ giác CEHF nội tiếp đường tròn có tâm I là trung điểm của HC.

b) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

.

Mà (do H là trực tâm của tam giác ABC).

BD // CH (từ vuông góc đến song song) (1)

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

.

Mà

CD // BH (từ vuông góc đến song song) (2)

Từ (1), (2) => BHCD là hình bình hành (dhnb) (đpcm).

Gọi M là trung điểm của BC và HD (tính chất hình bình hành).

Ta có:

O là trung điểm của AD (gt)

M là trung điểm của HD (cmt)

=> OM là đường trung bình của tam giác AHD (định nghĩa).

(tính chất đường trung bình của tam giác).

Vì M là trung điểm của BC (cmt) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

vuông tại M, có OB = R, .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBM ta có:

Vậy

c) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên tại N hay .

Xét tứ giác ANHF có:

Mà hai đỉnh N, F là hai đỉnh đối diện của tứ giác ANHF.

=> ANHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung FH).

Chứng minh tương tự đối với tứ giác BEHN có:

Mà hai đỉnh N, E là hai đỉnh đối diện của tứ giác BEHN

=> BEHN là tứ giác nội tiếp (dhnb).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE).

Mà (cùng phụ với ).

.

là phân giác của góc ENF.

Mà kề bù với , .

là phân giác trong của , NH là phân giác ngoài của .

Áp dụng định lí đường phân giác ta có: .

Vậy BK.CE = BE.CK (đpcm).

Câu 5 (VDC):

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta ()

Để ta chứng minh

Cách giải:

ĐKXĐ:

Ta chứng minh .

Thật vây, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số a, b không âm ta được:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Vì với mọi và với mọi nên ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Ta có:

Suy ra phương trình có hai nghiệm là: và

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là:  .

Đề bài

Bài 1 (2,0 điểm):

1)  Thực hiện phép tính

2) Cho hàm số có đồ thị

a) Vẽ

b) Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm giữa và đường thẳng .

Bài 2 (2,0 điểm):

1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)

b)

2. Cho phương trình (ẩn ):

a) Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm để .

Bài 3 (1,5 điểm):

Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km, một đoạn bằng phẳng dài 3 km và một đoạn xuống dốc dài 6km (như hình vẽ). Một người đi xe đạp từ A đến B và quay về A ngay hết tổng cộng 130 phút. Biết rằng vận tốc người đó đi trên đoạn đường bằng phẳng là 12km/h và vận tốc xuống dốc lớn hơn vận tốc lên dốc 5km/h (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc của người đó.

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn, . Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Trong trường hợp , tính độ dài đoạn thẳng theo .

c) Gọi là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng cắt đường tròn tại ( khác ). Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh rằng .

d) Tìm mối liên hệ giữa và để tứ giác là hình thoi.

Bài 5 (1,0 điểm):

Cho là số thực bất kì. Tìm GTNN của biểu thức:  

Lời giải chi tiết

Bài 1:

Phương pháp:

1) Vận dụng hằng đẳng thức để biến đổi, rút gọn biểu thức

2) a) Lập bảng giá trị của và , tìm được các điểm mà đi qua từ đó vẽ được đồ thị hàm số .

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa và đường thẳng

Tìm nghiệm của phương trình, suy ra tọa độ giao điểm của và đường thẳng .

Cách giải:

1) Ta có: .

2)

a) Parabol có bề lõm hướng lên và nhận làm trục đối xứng.

Ta có bảng giá trị sau:

Parabol đi qua các điểm , , , , .

Đồ thị Parabol :

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa và đường thẳng ta được:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với ta có .

Với ta có .

Vậy đồ thị cắt tại hai điểm .

Bài 2:

Phương pháp:

1) a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình.

b) Phối hợp phương pháp cộng đại số và phương pháp thế để giải hệ phương trình.

2) a) Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt

b) Vận dụng hệ thức Vi – ét để tìm sau đó thay vào hệ thức của đề bài để tìm giá trị tham số .

Cách giải:

1)

2)

a) Phương trình có: .

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với, theo định lí Vi-et ta có:

Theo bài ra ta có:

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy .

Bài 3:

Phương pháp:

Đổi các đại lượng thời gian về cùng một đơn vị

Gọi vận tốc lúc lên dốc của người đó là .

Lập phương trình ẩn , giải phương trình đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Đổi 130 phút =

Gọi vận tốc lúc lên dốc của người đó là . Thì vận tốc lúc xuông dốc là .

Thời gian lúc lên dốc, xuống dốc trên quãng đường 4km lần lượt là: và  .

Thời gian lúc đi trên quãng đường 3km là

Thời gian lúc lên và xuống dốc trên quãng đường 6km lần lượt là: và .

Tổng thời gian đi từ A đến B là:

Tổng thời gian đi từ B đến A là:

Tổng thời gian cả đi cả về là bằng nên ta có phương trình:

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy vận tốc lúc lên dốc là 10 km/h và vận tốc lúc xuống dốc là 15 km/h.

Bài 4:

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: chứng minh tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ), suy ra cùng thuộc một đường tròn.

b) Vận dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Áp dụng kiến thức góc – đường tròn

Kiến thức về tam giác đồng dạng để suy ra các tỷ lệ cạnh tương ứng từ đó chứng minh được hệ thức của đề bài.

d) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi, các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

a) Tứ giác có :

Suy ra tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

Suy ra điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi là giao điểm giữa và

Có là hai tiếp tuyến cắt nhau nên thuộc trung trực của .

nên thuộc trung trực của .

là trung trực của

và là trung điểm của .

Tam giác vuông tại nên

Ta giác vuông tại có: nên

Vậy .

c) Tứ giác nội tiếp (cmt) nên ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Trong có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mặt khác (hai góc đối đỉnh)

Suy ra .

Xét và có:

.

d) Theo ý c) ta có: .

Để là hình thoi thì .

Mà (cùng phụ với ) .

(2 góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung bị chắn bằng nhau).

(2 cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Mà là trung trực của .

(từ vuông góc đến song song) .

Mà (do là hình thoi).

là hình bình hành (dhnb) (2 cạnh đối của hình bình hành).

.

Xét tam giác vuông tại , đường cao có: (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Xét tam giác vuông , đường cao   ta có: (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

.

Thay vào (*) ta có:

Vậy để là hình thoi thì .

Bài 5:

Phương pháp:

Áp dụng BĐT Co-si cho hai số và để tìm giá trị nhot nhất của biểu thức.

Cách giải:

Áp dụng BĐT Co-si ta có:

Đặt:

(Bất đẳng thức cô-si)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy .

Đề bài

Câu 1:

1. Thực hiện phép tính

2. Cho hàm số , với là tham số

a) Tìm để đồ thị hàm số qua điểm

b) Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị tìm được.

Câu 2:

1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)

b) 

2. Cho phương trình , với là tham số

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc .

Câu 3:

Để chuẩn bị vào năm học mới, bạn An muốn mua một cái cặp và một đôi giày. Bạn đã tìm hiểu, theo giá niêm yết thì tổng số tiền để mua hai vật dụng trên là 850.000 đồng. Khi bạn An đến mua thì của hàng có chương trình giảm giá: cái cặp được giảm 15.000 đồng, đôi giày được giảm 10% so với giá niêm yết. Do đó bạn An mua hai vật dụng trên chỉ với số tiền 785.000 đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi vật dụng trên là bao nhiêu?

Câu 4:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó (với và ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax. Tía BM cắt Ax tại I, tia phân giác của góc cắt nửa đường tròn tại E và cắt tia BM tại F, tia BE cắt AM tại K và cắt Ax tại H.

a) Chứng minh tứ giác EFMK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh ABF là tam giác cân.

c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.

d) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp được đường tròn.

Câu 5:

Cho hai số thực thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức:

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm)

Cách giải:

1. Thực hiện phép tính

Ta có:

2. Cho hàm số , với là tham số

a) Tìm để đồ thị hàm số qua điểm

Thay vào hàm số ta được:

Vậy

b) Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị tìm được.

Với (câu a) ta có hàm số

Bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số là parabol đi qua 5 điểm

Câu 2 (2 điểm)

Cách giải:

1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)

Vậy phương trình có nghiệm

b) 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2. Cho phương trình , với là tham số

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

Xét phương trình

Ta có:

Vì với mọi nên với mọi

Hay với mọi nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc .

Theo câu a) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi

Gọi là hai nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Ta có:

Vậy không phụ thuộc vào

Câu 3 (1,5 điểm)

Cách giải:

Để chuẩn bị vào năm học mới, bạn An muốn mua một cái cặp và một đôi giày. Bạn đã tìm hiểu, theo giá niêm yết thì tổng số tiền để mua hai vật dụng trên là 850.000 đồng. Khi bạn An đến mua thì của hàng có chương trình giảm giá: cái cặp được giảm 15.000 đồng, đôi giày được giảm 10% so với giá niêm yết. Do đó bạn An mua hai vật dụng trên chỉ với số tiền 785.000 đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi vật dụng trên là bao nhiêu?

Gọi giá niêm yết của một cái cặp bạn An muốn mua là: (đồng),

      Giá niêm yết của một đôi giày bạn An muốn mua là: (đồng),

Giá niêm yết của một chiếc cặp và một đôi giày là đồng nên ta có phương trình:

Giá của chiếc cặp sau khi giảm giá đồng là: (đồng).

Giá của đôi giày sau khi giảm giá là: (đồng).

Sau khi giảm giá bạn An trả tiền cho chiếc cặp và đôi giày là đồng nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy giá niêm yết bạn An mua một cặp sách là 350 000 đồng và một đôi giày là 500 000 đồng.

Câu 4 (3,5 điểm)

Cách giải:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó (với và ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax. Tía BM cắt Ax tại I, tia phân giác của góc cắt nửa đường tròn tại E và cắt tia BM tại F, tia BE cắt AM tại K và cắt Ax tại H.

a) Chứng minh tứ giác EFMK nội tiếp đường tròn.

Xét đường tròn ta có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác EFMK có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng )

Vậy tứ giác EFMK nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Chứng minh ABF là tam giác cân.

Tứ giác AEMB nội tiếp nên (cùng chắn cung EM)

Mà AF là tia phân giác của nên

Mà

Nên .

Tam giác ABF có nên là tam giác cân tại B (đpcm).

c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.

Tam giác ABF cân tại B (câu b) nên vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

là trung điểm AF.

Tam giác AHK có vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại

cũng là đường trung tuyến của tam giác

là trung điểm của HK.

Tứ giác AKFH có hai đường chéo AF, HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà nên tứ giác AKFH là hình thoi (dhnb) (đpcm).

d) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp được đường tròn.

AKFH là hình thoi nên nên tứ giác AKFI là hình thang.

Để tứ giác AKFI là tứ giác nội tiếp thì

Mà (kề bù)

Nên hay

Do đó tam giác vuông cân

là điểm chính giữa cung AB.

Câu 5 (1 điểm)

Cách giải:

Cho hai số thực thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức:

Ta có:

 Vậy .

Đề bài

Bài 1 (1,0 điểm):

a) Cho biểu thức . So sánh với .

b) Giải hệ phương trình .

Bài 2 (2,5 điểm):

1. Cho parabol và đường thẳng

    a) Vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ

    b) Viết phương trình đường thẳng song song với và tiếp xúc với

2. Cho phương trình ( là tham số)

    a) Biết phương trình có một nghiệm bằng Tính nghiệm còn lại.

    b) Xác định để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Bài 3 (2,0 điểm):

Một đội công nhân đặt kế hoạch sản xuất 250 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu, họ thực hiện đúng kế hoạch. Mỗi ngày sau đó, họ đều làm vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội công nhân đó làm được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau?

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho tam giác nhọn đường cao , nội tiếp đường tròn Gọi và thứ tự là hình chiếu vuông góc của lên và

a) Chứng minh các tứ giác và nội tiếp được đường tròn.

b) Vẽ đường kính của đường tròn Chứng minh và

c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh là trung điểm của đoạn thẳng

d) Tính bán kính của đường tròn biết

Bài 5 (1 điểm):

Cho hình vuông . Gọi là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và CD ; là diện tích phần còn lại của hình vuông ABCD nằm ngoài hai nửa hình tròn nói trên (như hình vẽ bên). Tính tỉ số . 

Lời giải chi tiết

Bài 1:

Phương pháp:

a) Rút gọn , sử dụng hẳng đẳng thức .

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Cách giải:

a) Cho biểu thức . So sánh với .

Ta có: .

Vậy .

b) Giải hệ phương trình .

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

Bài 2:

Phương pháp:

1. a) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số

    b) Đường thẳng và đường thẳng song song với nhau khi

    Đường thẳng tiếp xúc với parabol khi phương trình hoành độ giao điểm của và có nghiệm kép.

2. a) Thay vào phương trình ta tìm được Giải phương trình với tìm được ta tính được nghiệm còn lại.

    b) Biến đổi để có tổng và tích hai nghiệm, sau đó sử dụng hệ thức Vi-ét.

Cách giải:

1. Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ

Bảng giá trị của hàm số

Vẽ đường cong qua các điểm có tọa độ ta được parabol và parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Bảng giá trị của hàm số

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ ta được đường thẳng

Vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Viết phương trình đường thẳng song song với và tiếp xúc với

Gọi phương trình đường thẳng .

Vì nên   suy ra .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol ta có

(*)

Để đường thẳng tiếp xúc với parabol thì phương trình (*) có nghiệm kép

Vậy phương trình đường thẳng .

2. Cho phương trình (1) ( là tham số)

a) Biết phương trình có một nghiệm bằng Tính nghiệm còn lại.

Thay vào phương trình (1) ta được

Thay vào phương trình (1) ta có phương trình :

Vậy nghiệm còn lại là

b) Xác định để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Xét phương trình (1) có

Để phương trình (1) có hai nghiệm thì

Khi đó, theo hệ thức Vi-et ta có

Theo bài ra ta có:

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 3:

Phương pháp:

+) Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được theo kế hoạch là x (sản phẩm) . Tính số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được thực tế.

+) Tính số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch và thực tế.

+) Dựa vào giả thiết “đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày”, lập và giải phương trình.

+) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được theo kế hoạch là x (sản phẩm) .

Khi đó số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được thực tế là (sản phẩm).

Số ngày làm hết 250 sản phẩm theo kế hoạch là (ngày).

Trong 4 ngày đầu đội công nhân làm được: (sản phẩm).

Số sản phẩm cần làm thêm để hoàn thành kế hoạch là (sản phẩm).

Số ngày làm xong sản phẩm là (ngày).

Do đội đó hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày nên  ta có phương trình :

Vậy số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được theo kế hoạch là 25 sản phẩm.

Bài 4:

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng các dấu hiệu nhận biết.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

Cách giải:

a) Chứng minh các tứ giác và nội tiếp được đường tròn.

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp (cmt)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lại có (cùng phụ với )

.

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (đpcm)

b) Vẽ đường kính của đường tròn Chứng minh và

+) Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại có đường cao ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại có đường cao ta có:

Mà

+) Chứng minh  

Gọi .

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (cmt) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) .

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vuông tại .

.

vuông tại .

c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi là trung điểm của (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Lại có (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

thẳng hàng . Mà .

Xét tam giác có:

là trung điểm của ;

;

là trung điểm của (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).

d) Tính bán kính của đường tròn biết

Bài 5:

Phương pháp:

Gọi là tâm hình vuông.

Tính các diện tích bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa diện tích các hình. Từ đó suy ra tỉ số.

Cách giải:

Gọi là giao điểm của và , gọi là trung điểm của và .

Suy ra tại

nằm trên các đường tròn đường kính và đường tròn đường kính (cùng nhìn và dưới các góc vuông).

Không mất tính tổng quát, giả sử hình vuông có cạnh bằng suy ra .

.

Ta có là đường trung bình của tam giác .

Xét tam giác vuông tại có .

Diện tích hình quạt

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây và cung trong hình tròn đường kính là

.

Tương tự, diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây và cung trong hình tròn đường kính là .

Suy ra .

Diện tích tam giác là .

CMTT: Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây và cung là

Diện tích phần còn lại giới hạn tam giác và hình viên phân giới hạn bởi dây và cung là .

Tương tự, diện tích phần còn lại giới hạn tam giác và hình viên phân giới hạn bởi dây và cung là

Suy ra

.

Vậy . 

Đề bài

Bài 1. (2 điểm)

1. a) Thực hiện phép tính \(3\sqrt {25}  + \sqrt[3]{8}\).

b) Rút gọn biểu thức \(Q = 1 + \frac{{x - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\), với mọi \(x \ge 0\).

2. Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d): \(y =  - x + 2\).

Bài 2. (2,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{2x - y = 3}\end{array}} \right.\).

2. Chứng minh phương trình \({x^2} - 12x + 35 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\).

3. Một xe ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B với quãng đường AB dài 160 km. Do vận tốc của xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B trước xe máy 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Bài 3. (1 điểm) Một công ty du lịch cần chọn 3 trong 4 địa điểm là Lý Sơn (LS), Hội An (HA), Phú Yên (PY), Quy Nhơn (QN) để tổ chức các chuyến du lịch nhân dịp lễ Quốc Khánh 2-9. Công ty tiến hành khảo sát 30 gia đình. Kết quả khảo sát được liệt kê dưới đây:

a) Hãy lập bảng tần số cho kết quả khảo sát trên.

b) Ba địa điểm được chọn nhiều nhất theo kết quả khảo sát trên được công ty chọn để tổ chức các chuyến đi. Gia đình bạn Long và gia đình bạn Phượng mỗi gia đình chọn ngẫu nhiên một trong ba địa điểm đó để đi du lịch. Tính xác suất để cả hai gia đình cùng chọn một địa điểm.

Bài 4. (3,5 điểm)

1. Một thùng nhựa dạng hình trụ có bán kính đáy 10 cm và chiều cao 30 cm.

a) Tính thể tích của thùng nhựa.

b) Bác Hoa mua một thúng muối vun đầy, cái thúng có dạng nửa hình cầu với đường kính 48 cm, phần muối vun lên có dạng hình nón với chiều cao 14 cm (hình vẽ bên). Bác Hoa cần phải sử dụng ít nhất bao nhiêu thùng nhựa như trên để đựng hết lượng muối đã mua.

(Bỏ qua bề dày của thùng nhựa và thúng)

2. Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 2R. Gọi D là trung điểm của OB, vẽ đường thẳng a qua D và vuông góc với AB. Trên đường thẳng a, lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O). Hai đường thẳng AC, BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại E, F (với E khác A và F khác B ). Gọi H là giao điểm của AF và CD.

a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp.

b) Chứng minh \(AE \cdot AC = 3{R^2}\).

c) Vẽ EI vuông góc với AB tại I, cho biết \(EI = 8\;{\rm{cm}}\) và \(R = 10\;{\rm{cm}}\). Đường thẳng qua E cắt hai tia DA, DC lần lượt tại M, N. Đặt \(IM = x\;{\rm{cm}}\), tính DN theo x và tìm x để diện tích tam giác DMN nhỏ nhất.

Bài 5. (1 điểm) Ở một giải vô địch bóng đá, có 5 đội bóng tham gia là A, B, C, D, E. Các đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (mỗi đội thi đấu đúng một trận với các đội còn lại). Trong mỗi trận đấu, đội thua không có điểm, hai đội hòa nhau mỗi đội được một điểm và đội thắng được ba điểm. Khi kết thúc giải, các đội A, B, C, D, E có số điểm tương ứng là 8, 6, 4, 3, 5. Khi đó, có bao nhiêu trận đấu được phân định thắng thua và kết quả của hai trận đấu A gặp C và B gặp D là gì? Vì sao?

----HẾT----

Lời giải

Bài 1. (2 điểm)

1. a) Thực hiện phép tính \(3\sqrt {25}  + \sqrt[3]{8}\).

b) Rút gọn biểu thức \(Q = 1 + \frac{{x - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\), với mọi \(x \ge 0\).

2. Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d): \(y =  - x + 2\).

Lời giải:

1.

a) \(3\sqrt {25}  + \sqrt[3]{8} = 3.5 + 2 = 17\)

b) \(Q = 1 + \frac{{x - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) (với \(x \ge 0\))

\( = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( = \sqrt x \).

Vậy \(Q = \sqrt x \) với \(x \ge 0\).

2.

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

\(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;4} \right);\,\,B\left( { - 1;1} \right);C\left( {1;1} \right);\,\,D\left( {2;4} \right)\)

Hệ số \(a = 1 > 0\) nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^2} =  - x + 2\)

\({x^2} + x - 2 = 0\) (*)

Xét phương trình (*) có a = 1, b = 1, c = -2:

Ta có \(a + b + c = 1 + 1 + ( - 2) = 0\) nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = 1\); \({x_2} =  - 2\).

Vậy (d) giao với (P) tại hai điểm lần lượt có hoành độ là \({x_1} = 1\), \({x_2} =  - 2\).

Với \({x_1} = 1\), ta có \({y_1} = {x_1}^2 = {1^2} = 1\).

Với \({x_2} =  - 2\), ta có \({y_2} = {x_2}^2 = {( - 2)^2} = 4\).

Vậy các giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là C(1;1) và A(-2;4).

Bài 2. (2,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{2x - y = 3}\end{array}} \right.\).

2. Chứng minh phương trình \({x^2} - 12x + 35 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\).

3. Một xe ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B với quãng đường AB dài 160 km. Do vận tốc của xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B trước xe máy 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Lời giải:

1. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{2x - y = 3}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{4x - 2y = 6}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x = 14}\\{4x - 2y = 6}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{4x - 2y = 6}\end{array}} \right.\end{array}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{4.2 - 2y = 6}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{2y = 2}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right).\)

2. Phương trình \({x^2} - 12x + 35 = 0\) có \(\Delta  = {\left( { - 12} \right)^2} - 4.35 = 4 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo Viete, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 12\\{x_1}{x_2} = 35\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\\A = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 + {x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}\\A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}\\A = {12^2} - 35\\A = 109\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức A là 109.

3. Gọi vận tốc của ô tô là \(x\) (km/h), \(x > 10\)

Khi đó vận tốc của xe máy là \(x - 10\) (km/h)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường là \(\frac{{160}}{x}\) (giờ)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường là \(\frac{{160}}{{x - 10}}\) (giờ)

Xe ô tô đến trước xe máy 48 phút = \(\frac{4}{5}\) giờ.

Ta có phương trình: \(\frac{{160}}{{x - 10}} - \frac{{160}}{x} = \frac{4}{5}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{160}}{{x - 10}} - \frac{{160}}{x} = \frac{4}{5}\\160.5x - 160.5\left( {x - 10} \right) = 4x\left( {x - 10} \right)\\4{x^2} - 40x - 8000 = 0\end{array}\)

Giải phương trình \(4{x^2} - 40x - 8000 = 0\) ta được \(x = 50\) (tmđk) và \(x =  - 40\) (loại).

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là 40 km/h.

Bài 3. (1 điểm) Một công ty du lịch cần chọn 3 trong 4 địa điểm là Lý Sơn (LS), Hội An (HA), Phú Yên (PY), Quy Nhơn (QN) để tổ chức các chuyến du lịch nhân dịp lễ Quốc Khánh 2-9. Công ty tiến hành khảo sát 30 gia đình. Kết quả khảo sát được liệt kê dưới đây:

a) Hãy lập bảng tần số cho kết quả khảo sát trên.

b) Ba địa điểm được chọn nhiều nhất theo kết quả khảo sát trên được công ty chọn để tổ chức các chuyến đi. Gia đình bạn Long và gia đình bạn Phượng mỗi gia đình chọn ngẫu nhiên một trong ba địa điểm đó để đi du lịch. Tính xác suất để cả hai gia đình cùng chọn một địa điểm.

Lời giải:

a) Bảng tần số cho kết quả khảo sát trên là:

b) Ba địa điểm được chọn nhiều nhất là Lý Sơn, Hội An và Quy Nhơn.

Các kết quả có thể khi gia đình bạn Long và gia đình bạn Phương chọn một trong ba địa điểm trên là:

(LS, LS); (LS; HA); (LS, QN); (HA, LS); (HA, HA); (HA, QN); (QN, LS); (QN, HA); (QN, QN).

Có 9 kết quả có thể khi gia đình bạn Long và gia đình bạn Phương chọn một địa điểm để đi du lịch.

Có 3 kết quả hai gia đình cùng chọn một địa điểm, đó là: (LS, LS); (HA, HA); (QN, QN).

Xác suất để cả hai gia đình cùng chọn một địa điểm là: \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

Bài 4. (3,5 điểm)

1. Một thùng nhựa dạng hình trụ có bán kính đáy 10 cm và chiều cao 30 cm.

a) Tính thể tích của thùng nhựa.

b) Bác Hoa mua một thúng muối vun đầy, cái thúng có dạng nửa hình cầu với đường kính 48 cm, phần muối vun lên có dạng hình nón với chiều cao 14 cm (hình vẽ bên). Bác Hoa cần phải sử dụng ít nhất bao nhiêu thùng nhựa như trên để đựng hết lượng muối đã mua.

(Bỏ qua bề dày của thùng nhựa và thúng)

2. Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 2R. Gọi D là trung điểm của OB, vẽ đường thẳng a qua D và vuông góc với AB. Trên đường thẳng a, lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O). Hai đường thẳng AC, BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại E, F (với E khác A và F khác B ). Gọi H là giao điểm của AF và CD.

a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp.

b) Chứng minh \(AE \cdot AC = 3{R^2}\).

c) Vẽ EI vuông góc với AB tại I, cho biết \(EI = 8\;{\rm{cm}}\) và \(R = 10\;{\rm{cm}}\). Đường thẳng qua E cắt hai tia DA, DC lần lượt tại M, N. Đặt \(IM = x\;{\rm{cm}}\), tính DN theo x và tìm x để diện tích tam giác DMN nhỏ nhất.

Lời giải:

1.

a) Thể tích của thùng nhựa: \(V = \pi {R^2}h\)

\(V = \pi {.10^2}.30 = 3000.\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)

b) Chia thúng muối thành hai phần:

Bán kính thúng là: \(48:2 = 24\left( {cm} \right)\)

Thể tích thúng muối là: \({V_1} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi .{R^3} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}.\pi .{\left( {24} \right)^3} = 9216\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Phần muối vun lên có thể tích là: \({V_2} = \frac{1}{3}\pi .{R^2}.h = \frac{1}{3}\pi {.24^2}.14 = 2688\pi \left( {c{n^3}} \right)\)

Thể tích muối: \(V = {V_1} + {V_2} = 9216\pi  + 2688\pi  = 11904\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Số thùng nhựa cần để chứa hết muối là: \(\frac{{11904\pi }}{{3000\pi }} = 3,968\)

Vậy cần ít nhất 4 thùng mới đựng đủ số muối trên.

2.

a) Do \(E,F \in \left( O \right)\) nên \(\angle AEB = \angle AFB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Khi đó \(\Delta BHF\) vuông tại F nên B, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính BH

Và \(\Delta HDB\) vuông tại D nên H, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính BH

Vậy B, D, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính BH hay tứ giác BDHF nội tiếp.

b) Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta ADC\) có

\(\angle DAC\) là góc chung

\(\angle AEB = \angle ADC\left( { = 90^\circ } \right)\)

Suy ra $\Delta AEB\backsim \Delta ADC\left( g.g \right)$

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AE.AC = AD.AB\)

Do D là trung điểm của OB nên \(OD = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}R\) suy ra

\(AD = OA + OD = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R\)

Suy ra \(AE.AC = AD.AB = \frac{3}{2}R.2R = 3{R^2}\)

c) Ta có \(\angle EAI = \angle IEB\) (do cùng cộng với \(\angle AEI\) bằng \(90^\circ \))

Suy ra $\Delta AEI\backsim \Delta EBI\left( g.g \right)$. Khi đó \(\frac{{IE}}{{IB}} = \frac{{IA}}{{IE}}\) hay \(I{E^2} = IA.IB\)

Suy ra \(IA.IB = {8^2} = 64\)

Mà \(IA + IB = AB = 2.10 = 20\)

Nên độ dài \(IA,IB\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 20X + 64 = 0\)

Giải phương trình ta được \(X = 16\) và \(X = 4\)

Vậy \(IA = 4\) cm và \(IB = 16\)cm (Do \(IA < IB\))

Do \(IM = x\) nên \(MA = IM - IA = x - 4\) (cm)

Suy ra \(MD = IM + ID = x + IB - DB = x + 16 - 5 = x + 11\) (cm)

Ta có \(EI\parallel DN\) (do cùng vuông góc với AB) nên \(\frac{{MI}}{{MD}} = \frac{{EI}}{{ND}}\)

Suy ra \(\frac{8}{{ND}} = \frac{x}{{x + 11}}\) hay \(ND = \frac{{8\left( {x + 11} \right)}}{x}\) (cm)

Khi đó diện tích tam giác DMN là

\(S = \frac{1}{2}DM.DN = \frac{1}{2}\left( {x + 11} \right).\frac{{8\left( {x + 11} \right)}}{x} = 4.\frac{{{{\left( {x + 11} \right)}^2}}}{x}\) cm²

Ta có

\(\frac{{4{{\left( {x + 11} \right)}^2}}}{x} = 4.\frac{{{x^2} + 22x + 121}}{x} = 4.\left( {x + \frac{{121}}{x} + 22} \right) \ge 4.\left( {2\sqrt {x.\frac{{121}}{x}}  + 22} \right) = 176\) (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy). Dấu bằng có khi \(x = \frac{{121}}{x}\) hay \(x = 11\)

Vậy \(x = 11\) thì diện tích tam giác DMN nhỏ nhất.

Bài 5. (1 điểm) Ở một giải vô địch bóng đá, có 5 đội bóng tham gia là A, B, C, D, E. Các đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (mỗi đội thi đấu đúng một trận với các đội còn lại). Trong mỗi trận đấu, đội thua không có điểm, hai đội hòa nhau mỗi đội được một điểm và đội thắng được ba điểm. Khi kết thúc giải, các đội A, B, C, D, E có số điểm tương ứng là 8, 6, 4, 3, 5. Khi đó, có bao nhiêu trận đấu được phân định thắng thua và kết quả của hai trận đấu A gặp C và B gặp D là gì? Vì sao?

Lời giải:

Có 5 đội bóng nên sẽ có tất cả 10 trận đấu gồm các trận đấu là \(A - B;A - C,A - D,A - E,B - C,B - D,B - E,C - D,C - E,D - E\)

Mỗi trận sẽ có tổng cộng 3 điểm nếu có thắng thua, và 2 điểm nếu hòa nên tổng điểm các đội là

\(A + B + C + D + E = 8 + 6 + 4 + 3 + 5 = 26\) điểm

Gọi \(x\) là số trận phân định thắng hoặc thua và y là số trận hoà \(\left( {x,y \in \mathbb{N},x,y < 10} \right)\)

Mỗi trận thắng - thua có 3 điểm, hòa có 2 điểm ⇒ tổng điểm từ tất cả trận là \(3x + 2y = 26\)

Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 10\\3x + 2y = 26\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được \(x = 6\) và \(y = 4\) tức là có tất cả 6 trận thắng hoặc thua và 4 trận hoà.

Do đội A được 8 điểm nên A thắng 2 trận và hoà 2 trận

Đội E được 5 điểm nên E thắng 1, hoà 2, thua 1 trận

Do D được 3 điểm nên D thắng 1, thua 3 hoặc D hoà 3 thua 1

Đội B được 6 điểm nên B thắng 2, hoà 0, thua 2 hoặc B thắng 1 hoà 3, thua 0

Đội C được 4 điểm nên C hoà 4 hoặc C thắng 1, hoà 1, thua 2

TH1: Nếu C hoà 4 trận thì B thắng 1 hoà 3, thua 0 và D hoà 3 thua 1

Mà B không thắng A nên B thua A => mâu thuẫn với B thua 0 trận nên vô lý

TH2: Ta có C thắng 1, hoà 1, thua 2.

     A thắng 2 trận và hoà 2 trận

     E thắng 1, hoà 2, thua 1 trận

KN1: Vậy B phải thắng 1 hoà 3, thua 0 thì đủ 4 trận hoà nên D không được hoà hay D thắng 1, thua 3

- Nếu B thắng A thì A có 1 trận thua nên vô lý => B Thua A => vô lý vì B không có trận thua

- Nếu B thắng C thì B hoà A, B hoà D => vô lý vì D không hoà

- Nếu B thắng E thì B hoà A, C, D => vô lý vì D không có trận hoà

=> Vậy B phải thắng D. Khi đó B hoà A, hoà C, hoà E.

Giả sử A hoà C thì C có 2 trận hoà => mâu thuẫn vậy A thắng C

Kết luận vậy A thắng C và B thắng D.

KN2: Nếu B thắng 2, hoà 0, thua 2 thì có 5 điểm hoà của 2 đội suy ra D phải hoà 3 thua 1

- Nếu D thua A, C hoặc E thì D hoà B=> vô lý vì B không có trận hoà

Vậy D phải thua B. Tức là D hoà A, C, E.

Vì C hoà D nên C thắng A thì vô lý vì A không có trận thua nên A phải thắng C

Kết luận vậy A thắng C và B thắng D.

Vậy A luôn luôn phải thắng C bà B luôn thắng D.