Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh

Đề bài

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 ĐIỂM)

Câu 1. (0,75 điểm) Rút gọn biểu thức với .

Câu 2. (0,75 điểm) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (0,75 điểm) Giải bất phương trình:

Câu 4. (0,75 điểm) Cho phương trình có hai nghiệm (). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức:

Câu 5. (1,0 điểm) Một bể bơi có thể tích là . Ban đầu bể chưa có nước, hai máy bơm cùng hoạt động để bơm nước vào bể, sau 2 giờ lượng nước trong bể là . Nếu mỗi máy hoạt động riêng thì thời gian bơm đầy bể của máy thứ hai nhiều hơn thời gian bơm đầy bể của máy thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu máy bơm thứ nhất hoạt động riêng thì cần bao nhiêu giờ để bơm đầy bể?

Câu 6. (2,5 điểm) Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BC của đường tròn (O), đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại điểm D khác C. Gọi H là giao điểm của AB và MO.

a) Chứng minh .

b) Chứng minh tứ giác MDHB nội tiếp và .

c) Đường thẳng qua C song song với DH cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh A là trung điểm của EH.

Câu 7. (0,5 điểm) Một công ty cần vận chuyển hàng từ kho hàng đến trung tâm phân phối Trên bản đồ, hai điểm và nằm cùng phía đối với tuyến đường thẳng Biết khoảng cách từ kho hàng đến tuyến đường là , khoảng cách từ trung tâm phân phối đến tuyến đường là , độ dài bằng . Công ty dự định xây dựng lộ trình cho xe vận chuyển đi theo đường gấp khúc , trong đó thuộc đoạn (như hình vẽ). Tốc độ trung bình của xe trên các đoạn lần lượt là , và . Hãy xác định vị trí các điểm trên đoạn sao cho thời gian di chuyển từ đến là nhỏ nhất.

 

-HẾT-

Lời giải

Lời giải chi tiết:

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – TỈNH QUẢNG NINH

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

 

I. TRẮC NGHIỆM:

 

II. TỰ LUẬN: 

Câu 1. (0,75 điểm) Rút gọn biểu thức với .

Lời giải:

Với , ta có:

Vậy với thì .

Câu 2. (0,75 điểm) Giải hệ phương trình: .

Lời giải:

Từ phương trình (2), biểu diễn x theo y:

.

Thế vào phương trình (1), được:

.

Thay vào biểu thức , ta được:

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .

Câu 3. (0,75 điểm) Giải bất phương trình: .

Lời giải:

.

Vập nghiệm của bất phương trình là .

Câu 4. (0,75 điểm) Cho phương trình có hai nghiệm (). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức:

Lời giải:

Ta có , do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Vì và nên ta suy ra .

Suy ra

Từ hệ thức Vi-ét, ta có .

Thay vào biểu thức dưới dấu căn, ta được:

Do nên ta có:

Vì là nghiệm của phương trình nên .

Suy ra

Thay và vào biểu thức , ta được:

Vậy giá trị của biểu thức là .

Câu 5. (1,0 điểm) Một bể bơi có thể tích là . Ban đầu bể chưa có nước, hai máy bơm cùng hoạt động để bơm nước vào bể, sau 2 giờ lượng nước trong bể là . Nếu mỗi máy hoạt động riêng thì thời gian bơm đầy bể của máy thứ hai nhiều hơn thời gian bơm đầy bể của máy thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu máy bơm thứ nhất hoạt động riêng thì cần bao nhiêu giờ để bơm đầy bể?

Lời giải:

Gọi thời gian máy bơm thứ nhất hoạt động riêng một mình để đầy bể là (giờ). (Điều kiện: )

Vì nếu hoạt động riêng, thời gian máy thứ hai bơm đầy bể nhiều hơn máy thứ nhất là 4 giờ, nên thời gian máy thứ hai hoạt động riêng một mình để đầy bể là: (giờ)

Vì thể tích của bể bơi là nên:

Trong 1 giờ, máy thứ nhất bơm được: ()

Trong 1 giờ, máy thứ hai bơm được: ()

Vì nếu cả hai máy cùng hoạt động thì sau 2 giờ lượng nước trong bể là nên trong 1 giờ cả hai máy cùng hoạt động sẽ bơm được:

Từ đó, ta có phương trình về tổng lượng nước 2 máy bơm được trong 1 giờ:

TH1:

(Thỏa mãn)

TH2:

(Không thỏa mãn)

Vậy nếu máy bơm thứ nhất hoạt động riêng thì cần 8 giờ để bơm đầy bể.

Câu 6. (2,5 điểm) Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BC của đường tròn (O), đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại điểm D khác C. Gọi H là giao điểm của AB và MO.

a) Chứng minh .

b) Chứng minh tứ giác MDHB nội tiếp và .

c) Đường thẳng qua C song song với DH cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh A là trung điểm của EH.

Lời giải:

 

a) Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Lại có (bán kính của đường tròn ).

Suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó tại H.

Xét đường tròn có BC là đường kính nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra .

Vì và nên .

b) +) Tứ giác MDHB nội tiếp:

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vì M, D, C thẳng hàng nên (hai góc kề bù).

Suy ra .

Có tại H, hay .

Tứ giác MDHB có

Vậy tứ giác MDHB nội tiếp đường tròn đường kính BM.

+) :

Xét và có:

chung;

(cùng phụ với ).

Suy ra (g.g)

.

Xét vuông tại có đường cao BH, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

Từ đó suy ra .

Xét và có:

chung;

Suy ra (c.g.c).

c) Gọi I là giao điểm của CE và MO.

Vì , áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác MCI ta có .

Kết hợp với các hệ thức và ta có:

.

Trong tam giác MBC vuông tại B, ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MBO có đường cao BH:

.

Khi đó:

.

Thay vào biểu thức tính MI ta được:

.

Suy ra .

Xét có O là trung điểm của BC và (do ) nên OH là đường trung bình của

Do đó H là trung điểm của AB và .

Vì hay , áp dụng hệ quả định lí Ta-lét cho tam giác EAC ta có

Suy ra .

Mà điểm A nằm giữa E và H nên .

Từ đó ta có .

Vậy A là trung điểm của EH.

Câu 7. (0,5 điểm) Một công ty cần vận chuyển hàng từ kho hàng đến trung tâm phân phối Trên bản đồ, hai điểm và nằm cùng phía đối với tuyến đường thẳng Biết khoảng cách từ kho hàng đến tuyến đường là , khoảng cách từ trung tâm phân phối đến tuyến đường là , độ dài bằng . Công ty dự định xây dựng lộ trình cho xe vận chuyển đi theo đường gấp khúc , trong đó thuộc đoạn (như hình vẽ). Tốc độ trung bình của xe trên các đoạn lần lượt là , và . Hãy xác định vị trí các điểm trên đoạn sao cho thời gian di chuyển từ đến là nhỏ nhất.

 

Lời giải:

Đặt với ; với .

Vì tổng độ dài nên (điều kiện ).

Áp dụng định lý Pythagore cho hai tam giác vuông (vuông tại ) và (vuông tại ), ta có:

Vì tốc độ trung bình của xe trên các đoạn lần lượt là , và nên thời gian của xe trên các đoạn lần lượt là , , (giờ).

Khi đó ta có biểu thức tổng thời gian di chuyển của xe là:

Đặt ; .

Để T nhỏ nhất thì M, N nhỏ nhất:

+) Ta có:

Xét bất đẳng thức:

Vì cả hai vế đều dương (do ), ta bình phương hai vế:

hay (luôn đúng với mọi )

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

(Thỏa mãn)

Giá trị nhỏ nhất của đạt được khi .

+) Ta có:

Xét bất đẳng thức:

Vì cả hai vế đều dương (do ), ta bình phương hai vế:

hay (luôn đúng với mọi )

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

(Thỏa mãn)

Giá trị nhỏ nhất của đạt được khi .

Vậy để thời gian di chuyển từ kho đến trung tâm phân phối là ngắn nhất thì điểm , nằm trên đoạn sao cho ; .

—HẾT—

Đề bài

Câu 1: a) Thực hiện phép tính .

b) Xác định hệ số a của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;2).

c) Giải hệ phương trình

d) Rút gọn biểu thức với .

Câu 2: Cho phuơng trình , với là tham số.)

a) Giải phương trình khi ;

b) Tìm các giá trị của để phuơng trình có nghiệm ;

c) Tìm các giá trị của để phuơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho và .

Câu 3: Hai địa điểm A và B cách nhau 280 km. Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B. Biết vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai 10 km/h và xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe?

Câu 4: Cho nửa đuờng tròn tâm , đuờng kính BC. Trên nửa đường tròn (O) lấy A (A khác B và ), gọi là hình chiếu của trên B C. Trên cung AC của nửa đường tròn (O) lấy điểm D (D khác và ), gọi là hình chiếu của trên BD, I là giao điểm của hai đường thằng AH và BD.

a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp;

b) Chứng minh BI.BD = BH.BC.

c) Chứng minh hai tam giác AHE và ACD đồng dạng;

d) Hai đường thẳng AE và DH cắt nhau tại . Chứng minh .

Câu 5: Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ một cây sắt dài 100 dm thành các đoạn để hàn lại thành khung một hình lập phương và một hình hộp chữ nhật. Biết hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp 6 lần chiều rộng và chiều cao bằng chiều rộng (hình vẽ minh họa). Tìm độ dài của các đoạn sắt sao cho tổng thể tích cùa hai hình thu được nhỏ nhất?

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) Khai phương căn bậc hai

b) Thay tọa độ A vào hàm số tìm a

c) Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số

d) Tìm mẫu số chung quy đồng và rút gọn biểu thức.

Cách giải:

a) Thực hiện phép tính .

b) Xác định hệ số a của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;2).

Thay x = 1, y = 2 vào hàm số ta có:

Vậy a = 2.

c) Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

d) Rút gọn biểu thức với .

Với ta có:

Vậy với thì .

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

a) Thay m = 3 vào phương trình và giải phương trình bậc 2

b) Thay x =  2 vào phương trình tìm m

c) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu và sử dụng hệ thức viet

Cách giải:

a) Giải phương trình khi ;

Khi phương trình trở thành: , ta có:

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

b) Tìm các giá trị của để phuơng trình có nghiệm ;

Phương trình có nghiệm nên thay vào phương trình ta có:

Vậy để phương trình có nghiệm thì .

c) Tìm các giá trị của để phuơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho và .

Xét phương trình có nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu Áp dụng hệ thức viet ta có

Do

Để

Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho và .

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

Gọi vận tốc của xe thứ hai là (km/h, ).

Biểu diễn vận tốc, thời gian của 2 xe theo x và lập phương trình tìm x.

Cách giải:

Gọi vận tốc của xe thứ hai là (km/h, ).

Vì vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nên vận tốc của xe thứ nhất là (km/h)

Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: (giờ)

Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: (giờ)

Vì xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 30 phút = giờ nên ta có:

       

Vậy vận tốc xe thứ nhất là 80km/h, vận tốc xe thứ hai là 70km/h.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

a) Sử dụng tính chất hai góc kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới 2 góc bằng nhau

b) Chứng minh

c) Chứng minh

d) Chứng minh I là trực tâm của tam giác và sử dụng định lý Talet

Cách giải:

a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp;

Do

Mà là 2 đỉnh kề nhau, cùng nhìn dưới 2 góc bằng nhau nên cùng thuộc một đường tròn (dhnb)

Hay tứ giác ABHE nội tiếp (đpcm).

b) Chứng minh BI.BD = BH.BC.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét và có:

chung

(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

c) Chứng minh hai tam giác AHE và ACD đồng dạng;

Do ABHE nội tiếp (cmt) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE).

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).

Do ABHE nội tiếp (cmt) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE).

Lại có tứ giác ABCD nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Xét tam giác và tam giác có:

d) Hai đường thẳng AE và DH cắt nhau tại . Chứng minh .

Xét tam giác có: là trực tâm của tam giác .

(SI là đường cao thứ ba).

Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

(từ vuông góc đến song song).

định lí Ta-lét ).

Ta có: (từ vuông góc đến song song).

định lí Ta-lét)

Từ (1) và (2)

Lại có: (hai góc so le trong bằng nhau)

(hai góc so le trong bằng nhau)

Từ (3) và (4) (c.g.c) (hai góc tương ứng)

Ta có:

Mà hai góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau.

Vậy IF // AD (đpcm).

Câu 5 (VDC):

Cách giải:

Gọi cạnh hình lập phương bằng x (dm) (ĐK: x > 0).

=> Hình hộp chữ nhật có: Chiều cao = chiều rộng = y (dm) (ĐK: y > 0).

=> Chiều dài hình hộp chữ nhật bằng 6y (dm).

Hình lập phương có 12 cạnh có độ dài bằng x (dm).

Hình hộp chữ nhật có 8 cạnh có độ dài bằng y (dm) và 4 cạnh có độ dài 6y (dm).

Người thợ cắt vừa đủ một cây sắt dài 100m nên ta có:

Thể tích khối lập phương là .

Thể tích khối hộp chữ nhật là .

Tổng thể tích hai hình là: .

Ta có:

Cộng vế theo vế hai bất phương trình ta được:

Dấu “=” xảy ra .

Vậy tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất bằng khi độ dài cạnh hình lập phương bằng , độ dài chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật bằng , chiều dài hình hộp chữ nhật bằng .

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Thực hiện phép tính:

b) Rút gọn biểu thức: với

c) Giải hệ phương trình:

Bài 2 (2,0 điểm):

Cho phương trình , với là tham số.

a)  Giải phương trình với .

b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Câu 3 (2 điểm):

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Lớp 9B có 42 học sinh. Vừa qua lớp đã phát động phong trào tặng sách cho các bạn đang cách ly vì dịch bệnh Covid-19. Tại buổi phát động, mỗi học sinh trong lớp đều tặng 3 quyển sách hoặc 5 quyển sách. Kết quả cả lớp tặng được 146 quyển sách. Hỏi lớp 9B có bao nhiêu bạn tặng 3 quyển sách và bao nhiêu bạn tặng 5 quyển sách?

Câu 4 (3,5 điểm):

Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn. Qua kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm). Qua kẻ đường thẳng song song với đường thẳng này cắt đường tròn tại ( khác ). Đường thẳng cắt đường  tròn tại điểm ( khác ). Gọi là hình chiếu của lên .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh .

c) Chứng minh .

d)  Vẽ đường kính của đường tròn . Chứng minh hai tam giác và đồng dạng.

Câu 5 (0,5 điểm):

Cho các số thực không âm . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

a) Khai phương biểu thức trong căn để tính giá trị của biểu thức

b) Quy đồng các phân thức đại số, cộng các phân thức đại số để rút gọn biểu thức

c) Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm , sau đó thay vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm nghiệm và kết luận

Cách giải:

a) Ta có:

b) Điều kiện:

Vậy

c)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Câu 2:

Phương pháp:

a) Thay vào phương trình, sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn hoặc đưa phương trình về phương trình tích để giải tìm nghiệm.

b) Tính (hoặc ), phương trình có hai nghiệm phân biệt khi (hoặc ), theo hệ thức vi – ét xác định tổng và tích của hai nghiệm của phương trình; biến đổi , khi tìm được chú ý kiểm tra lại điều kiện.

Cách giải:

a) Với phương trình trở thành:

 Ta có: , phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy với , phương trình có tập nghiệm .

b) Xét phương trình:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi- ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy với thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3:

Phương pháp:

Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là (học sinh), , số học sinh tặng 5 quyển sách là (học sinh), , sau đó lập hệ phương trình để tìm ra và

Cách giải:

Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là (học sinh),

       số học sinh tặng 5 quyển sách là (học sinh),

Tổng số bạn học sinh của lớp 9B là 42 bạn nên ta có:

Số sách mà học sinh tặng được là: (quyển).

Số sách mà học sinh tặng được là: (quyển).

Tổng số sách lớp 9B tặng được là 146 quyển nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy lớp 9B có 32 học sinh tặng 3 quyển sách và 10 học sinh tặng 10 quyển sách.

Câu 4:

Phương pháp:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau

b) Chứng minh để suy ra hệ thức của đề bài

c) Chứng minh để suy ra

d) Chứng minh và 

Cách giải:

 

a) Ta có: là hình chiếu của trên hay

Tứ giác có

Suy ra tứ giác nội tiếp (hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau).

b) Xét và ta có:

(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng, góc nội tiếp cùng chắn cung )

(đpcm).

c) Ta có: (do tứ giác nội tiếp)

Lại có: (hai góc so le trong)

Xét ta có: (cmt)

Lại có:

(đpcm).

d) Ta có: tứ giác nội tiếp nên ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Ta có: ( hai góc kề bù)

Từ đó suy ra:

Xét và có:

Suy ra

(hai cạnh tương ứng)

Tam giác có nên tam giác cân tại , có

Nên đồng thời là đường trung tuyến

Hay do

Từ suy ra: .

Câu 5:

Phương pháp:

Biến đổi tử số và mẫu số sao cho có nhân tử , sau đó rút gọn để tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức

Cách giải:

Ta có:

Lại có:

Dấu  “=” xảy ra khi .

Vậy . 

Đề bài

Câu 1:

1. Thực hiện phép tính

2. Rút gọn biểu thức với

3. Giải hệ phương trình

Câu 2: 

Cho phương trình , với là tham số.

1. Giải phương trình với .

2. Tìm giá trị của để phương trình đã cho có một nghiệm .

3. Tìm giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho .

Câu 3:

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 32 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lập tức quay về bến A. Kể từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Câu 4: 

Cho đường tròn và là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến và với đường tròn ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và . Kẻ đường kính của đường tròn , cắt đường tròn tại điểm thứ hai là .

a. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

b. Tính độ dài biết

c. Chứng minh

d. Tia cắt tại . Chứng tỏ là trung điểm của

Câu 5: 

Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm)

Cách giải:

1. Thực hiện phép tính

Ta có:

2. Rút gọn biểu thức với

Điều kiện:  

Vậy với

3. Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2 (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho phương trình , với là tham số.

1. Giải phương trình với .

Thay vào phương trình đã cho ta có:

Vậy khi thì tập nghiệm của phương trình là .

2. Tìm giá trị của để phương trình đã cho có một nghiệm .

Vì là một nghiệm của phương trình nên thay vào phương trình ta có:

Vậy khi thì phương trình đã cho có một nghiệm .

3. Tìm giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho .

Ta có: .

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì .

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có: .

Thế vào hệ (*) ta có:

Vậy .

Câu 3 (2 điểm)

Cách giải:

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 32 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lập tức quay về bến A. Kể từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Gọi vận tốc của canô khi nước yên lặng là (km/h)

Vận tốc canô khi xuôi dòng là (km/h)

Vận tốc canô khi ngược dòng là (km/h)

Thời gian canô xuôi dòng từ bến A đến bến B là giờ

Thời gian canô ngược dòng từ bến B về bến A là giờ

Vì từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của canô khi nước yên lặng là 12 km/h.

Câu 4 (3,5 điểm)

Cách giải:

Cho đường tròn và là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến và với đường tròn ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và . Kẻ đường kính của đường tròn , cắt đường tròn tại điểm thứ hai là .

 

a. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn có và là các tiếp tuyến, là các tiếp điểm tương ứng nên

Xét tứ giác có mà hai góc đối nhau nên tứ giác là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b. Tính độ dài biết

Xét đường tròn có và là hai tiếp tuyến cắt nhau tại

Suy ra (tính chất), mà nên là đường trung trực của đoạn

Do đó tại

Xét tam giác vuông tại , theo định lý Pytago ta có:

Xét tam giác vuông tại có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Vậy .

c. Chứng minh

Xét tam giác vuông tại có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: (1)

Xét tam giác và tam giác có:

chung

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung trong đường tròn )

Suy ra  

(2)

Từ (1) và (2) suy ra .

d. Tia cắt tại . Chứng tỏ là trung điểm của

Xét đường tròn có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra

Lại có nên

Suy ra (so le trong)

Xét có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

Suy ra

Xét và có:

chung

(cmt)

Suy ra

Theo câu b ta có

Suy ra

Suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)

Suy ra (cùng phụ với )

Xét đường tròn có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )

Lại có (do vuông tại )

Nên   hay

Xét tam giác vuông tại H có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

(**)

Từ (*) và (**) suy ra là trung điểm .

Câu 5 (0,5 điểm)

Cách giải:

Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi .

Vậy khi . 

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

1. Thực hiện phép tính:

2. Rút gọn biểu thức: với

3. Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số và đồ thị hàm số

Câu 2 (2 điểm): Cho phương trình với là tham số.

1. Giải phương trình với

2. Tìm giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn 

Câu 3 (2 điểm): Hai người thợ cùng làm một công việc trong 9 ngày thì làm xong. Mỗi ngày, lượng công việc của người thứ hai làm được nhiều gấp 3 lần lượng công việc của người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm xong công việc đó trong bao nhiêu ngày?

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn hai đường kính và vuông góc với nhau. là điểm thuộc cung nhỏ tiếp tuyến của đường tròn tại cắt đường thẳng tại Gọi là giao điểm của và là điểm thuộc đường thẳng sao cho vuông góc với

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Chứng minh

d) Gọi là giao điểm của với tính khi  

Câu 5 (0,5 điểm): Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

1, 2. Sử dụng công thức:

3. Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số để tìm hoành độ giao điểm rồi thế vào 1 trong 2 công thức hàm số để tìm tung độ giao điểm rồi kết luận.

Cách giải:

1. Thực hiện phép tính:

Ta có:

2. Rút gọn biểu thức: với

Vậy với thì

3. Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số và đồ thị hàm số

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ta có:

 

Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Câu 2:

Phương pháp:

1. Thay vào phương trình bài cho rồi giải phương trình bậc hai.

2) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét và biến đổi biểu thức bài cho để tìm Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận giá trị của

Cách giải:

1) Giải phương trình với .

Với ta có phương trình:

Vậy với phương trình có tập nghiệm

2) Tìm giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn 

Phương trình:

Có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và  

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Có . Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là:

Kết hợp với điều kiện ta thấy thỏa mãn.

Vậy  thỏa mãn bài toán.

Câu 3:

Phương pháp:

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là (ngày) .

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là (ngày) .

Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết.

Dựa vào giả thiết để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập được. Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là (ngày) .

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là (ngày) .

Mỗi ngày người thứ nhất làm được (công việc).

      Mỗi ngày người thứ hai làm được (công việc).

Vì hai người cùng làm một công việc trong 9 ngày thì xong nên mỗi ngày hai người làm chung được công việc, do đó ta có phương trình: .

Lại có mỗi ngày, lượng công việc của người thứ hai làm được gấp ba lần lượng công việc của người thứ nhất nên ta có phương trình: .

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 36 ngày và người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 12 ngày.

Câu 4:

Cách giải:

 

a. Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Do là tiếp tuyến của .

Lại có Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn dưới góc .

thuộc đường tròn đường kính hay tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh .

Tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Ta có cân tại .

.

c. Chứng minh .

Nối . Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tam giác và tam giác có :

chung;

 ;

d. Gọi là giao điểm của với , tính khi .

Ta có là trung trực của . Mà cân tại .

Mà (cmt) Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau  cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

Mà tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

cùng thuộc đường tròn đường kinh (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác có : Tứ giác là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông). Mà M là trung điểm của .

Gọi là trung điểm của là đường trung bình của tam giác và .

Xét tam giác vuông có : .

là hình chữ nhật .

Xét tam giác vuông có vuông cân tại .

.

.

Ta có: .

Xét tam giác vuông ()  có:

Vậy .

Câu 5: Cho là các số dương thỏa mãn . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Cách giải:

Ta chứng minh BĐT phụ : .

Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương   và

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi .

Ta có:

Ta có:

Dấu "=" xảy ra . 

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi  

Đề bài

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3 ĐIỂM)

Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1. Kết quả của phép tính là

A. 1.

B. 3.

C. 7.

D. 5.

Câu 2. Giá trị của biểu thức tại là

A. 4.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Câu 3. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 4. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x)

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 5. Nghiệm của bất phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 6. Tủ quần áo của bạn An có 5 áo màu xanh, 4 áo màu hồng và 3 áo màu trắng. Bạn An lấy ngẫu nhiên một áo. Xác suất của biến cố: “Bạn An lấy được áo màu hồng” là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 7. Thống kê điểm thi môn Toán của 50 học sinh ở một lớp, thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

Tần số tương đối của nhóm là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 8. Số đo mỗi góc của một hình vuông là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 9. Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính , chiều cao là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 10. Khi tăng bán kính của một hình cầu lên gấp 2 lần thì thể tích của hình cầu tăng gấp

A. 4 lần.

B. 8 lần.

C. 2 lần.

D. 6 lần.

Câu 11. Giá trị của là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 12. Cho tam giác vuông tại . Biết , . Độ dài (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét) là

A. .

B. .

C. .

D. .

PHẦN II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Câu 1 (0,75 điểm). Rút gọn biểu thức với .

Câu 2 (0,75 điểm). Giải hệ phương trình .

Câu 3 (0,75 điểm). Giải bất phương trình .

Câu 4 (0,75 điểm). Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt dương . Chứng minh hai số và là hai nghiệm của phương trình .

Câu 5 (1,0 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 12 m. Ở chính giữa mảnh đất người ta làm một vườn hoa hình vuông cạnh bằng 2 m (minh họa hình bên). Biết diện tích còn lại của mảnh đất (không tính phần đất làm vườn hoa) là 104 , tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Câu 6 (2,5 điểm). Cho đường tròn đường kính , điểm nằm trên đường tròn sao cho ( khác ). Kẻ đường cao của tam giác (). Qua điểm kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng tại điểm .

a) Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn;

b) Điểm là giao điểm của các đường thẳng và . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh và ;

c) Qua điểm kẻ đường thẳng song song với đường thẳng , qua điểm kẻ đường thẳng song song với đường thẳng , hai đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh tam giác cân.

Câu 7 (0,5 điểm). Trên bàn có 40 thẻ chia thành 10 nhóm, mỗi nhóm có 4 thẻ. Mỗi thẻ của nhóm 1 được đánh số 1, mỗi thẻ của nhóm 2 được đánh số 2, cứ như vậy mỗi thẻ của nhóm 10 được đánh số 10. Mỗi lần, người chơi lấy ra 3 thẻ trên bàn sao cho tổng các số ghi trên 3 thẻ bằng 9 hoặc 19 rồi bỏ cả 3 thẻ này ra khỏi bàn. Cuối cùng, trên bàn còn đúng một thẻ. Hỏi thẻ còn lại trên bàn được đánh số bao nhiêu? Giải thích tại sao và chỉ ra một cách lấy thẻ thỏa mãn kết quả đưa ra.

----- HẾT -----

Lời giải

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3 ĐIỂM)

Câu 1. Kết quả của phép tính là

A. 1.

B. 3.

C. 7.

D. 5.

Phương pháp:

Tính căn bậc hai.

Lời giải:

Ta có: .

Đáp án: A

Câu 2. Giá trị của biểu thức tại là

A. 4.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Phương pháp:

Thay vào biểu thức để tính giá trị.

Lời giải:

Ta có: .

Đáp án: D

Câu 3. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số .

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Thay toạ độ các điểm vào hàm số để kiểm tra.

Lời giải:

Tại thì nên không thuộc đồ thị hàm số .

Tại thì nên thuộc đồ thị hàm số .

Tại thì nên không thuộc đồ thị hàm số .

Tại thì nên không thuộc đồ thị hàm số .

Đáp án: B

Câu 4. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x) .

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x) có dạng .

Lời giải:

Trong các bất phương trình trên, chỉ có là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án: D

Câu 5. Nghiệm của bất phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Chuyển vế để tìm nghiệm của bất phương trình.

Lời giải:

Ta có: nên .

Đáp án: D

Câu 6. Tủ quần áo của bạn An có 5 áo màu xanh, 4 áo màu hồng và 3 áo màu trắng. Bạn An lấy ngẫu nhiên một áo. Xác suất của biến cố: “Bạn An lấy được áo màu hồng” là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Xác suất của biến cố bằng số kết quả thuận lợi : số kết quả có thể.

Lời giải:

Xác suất của biến cố: “Bạn An lấy được áo màu hồng” là: .

Đáp án: C

Câu 7. Thống kê điểm thi môn Toán của 50 học sinh ở một lớp, thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

Tần số tương đối của nhóm là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Tính tần số tương đối của nhóm x là: (m là tần số của nhóm x, N là cỡ mẫu).

Lời giải:

Tần số tương đối của nhóm là: .

Đáp án: A

Câu 8. Số đo mỗi góc của một hình vuông là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức về hình vuông.

Lời giải:

Số đo mỗi góc của hình vuông là .

Đáp án: D

Câu 9. Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính , chiều cao là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình trụ là: .

Lời giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ là: .

Đáp án: D

Câu 10. Khi tăng bán kính của một hình cầu lên gấp 2 lần thì thể tích của hình cầu tăng gấp

A. 4 lần.

B. 8 lần.

C. 2 lần.

D. 6 lần.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích của hình cầu: .

Lời giải:

Gọi bán kính của hình cầu ban đầu là r thì bán kính sau khi tăng là .

Thể tích ban đầu của hình cầu là: .

Thể tích của hình cầu sau khi tăng là: .

Vậy thể tích hình cầu tăng gấp 8 lần thể tích ban đầu.

Đáp án: B

Câu 11. Giá trị của là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Dựa vào bảng giá trị lượng giác đặc biệt hoặc sử dụng máy tính cầm tay để tính tỉ số lượng giác.

Lời giải:

Ta có: .

Đáp án: B

Câu 12. Cho tam giác vuông tại . Biết , . Độ dài (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét) là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng liên quan đến cạnh AB, BC và để tính BC.

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:

.

Đáp án: C

 

PHẦN II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Câu 1 (0,75 điểm). Rút gọn biểu thức với .

Phương pháp:

Khi rút gọn biểu thức, ta cần thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu cần);

+ Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung rồi quy đồng;

+ Bước 3: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) phân thức kết hoặc các phép biến đổi khai căn để rút gọn phân thức.

Lời giải:

(với )

Vậy với thì .

Câu 2 (0,75 điểm). Giải hệ phương trình .

Phương pháp:

- Nhân cả hai vế của phương trình thứ 2 với 2.

- Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.

Lời giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là .

Câu 3 (0,75 điểm). Giải bất phương trình .

Phương pháp:

Quy đồng mẫu bất phương trình, đưa bất phương trình về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Giải bất phương trình một ẩn.

Lời giải:

Vậy nghiệm của bất phương trình là .

Câu 4 (0,75 điểm). Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt dương . Chứng minh hai số và là hai nghiệm của phương trình .

Phương pháp:

Sử dụng định lí Viète để có tổng và tích hai nghiệm.

Từ và biến đổi để tính tổng và tích của a và b.

Từ đó chứng minh a, b là hai nghiệm của phương trình dựa vào tổng và tích của a và b.

Lời giải:

Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng định lý Viète ta có:

Ta có:

Mà nên .

Suy ra .

Lại có:

Vậy và là hai nghiệm của phương trình , tức là .

Câu 5 (1,0 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 12 m. Ở chính giữa mảnh đất người ta làm một vườn hoa hình vuông cạnh bằng 2 m (minh họa hình bên). Biết diện tích còn lại của mảnh đất (không tính phần đất làm vườn hoa) là 104 , tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Phương pháp:

Gọi chiều dài của mảnh đất là , , suy ra chiều rộng của mảnh đất.

Tính diện tích mảnh đất, diện tích vườn hoa hình vuông suy ra diện tích phần còn lại của mảnh đất.

Vì diện tích còn lại của mảnh đất là nên ta lập được phương trình bậc hai một ẩn.

Giải phương trình, kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi chiều dài của mảnh đất là , .

Chiều rộng của mảnh đất là .

Diện tích mảnh đất là .

Diện tích vườn hoa hình vuông là .

Diện tích phần còn lại của mảnh đất là .

Diện tích phần còn lại của mảnh đất là nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được (TM); (Loại).

Vậy chiều dài mảnh đất là 18 m, chiều rộng mảnh đất là m.

Câu 6 (2,5 điểm). Cho đường tròn đường kính , điểm nằm trên đường tròn sao cho ( khác ). Kẻ đường cao của tam giác (). Qua điểm kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng tại điểm .

a) Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn;

b) Điểm là giao điểm của các đường thẳng và . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh và ;

c) Qua điểm kẻ đường thẳng song song với đường thẳng , qua điểm kẻ đường thẳng song song với đường thẳng , hai đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh tam giác cân.

Phương pháp:

a) Chứng minh vuông tại , vuông tại nên cùng thuộc đường tròn đường kính .

b) * Chứng minh , nên .

Chứng minh suy ra .

Chứng minh suy ra .

Suy ra .

* Áp dụng tính chất của đường trung bình suy ra I là trung điểm BF, A là trung điểm MF nên AM = AF.

c) Chứng minh là trực tâm, nên là đường trung trực của . Suy ra .

Chứng minh OK là trung trực của BC hay KB = KC

Suy ra nên cân tại .

Lời giải:

a)

Do nên vuông tại nên cùng thuộc đường tròn đường kính .

Do nên vuông tại nên cùng thuộc đường tròn đường kính .

Suy ra cùng thuộc đường tròn đường kính .

b)

Do nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét vuông tại có .

Xét vuông tại (tính chất tiếp tuyến) có .

Suy ra .

Xét và có: và

Nên suy ra hay (1).

Xét và có: và chung

Nên suy ra hay (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Do , nên .

Mà O là trung điểm BC nên OI là đường trung bình của tam giác FBC suy ra I là trung điểm BF

Lại có nên AI là đường trung bình của tam giác FMB suy ra A là trung điểm MF.

Vậy AM = AF.

c)

Xét có là đường cao cắt nhau tại nên là trực tâm.

Suy ra . Mà nên .

Ta có là trung điểm của (cmt).

Vậy là đường trung trực của . Suy ra (3).

Do mà nên .

Ta có (so le trong).

Mà (do cân tại có là đường cao nên đồng thời là phân giác).

Suy ra .

Gọi là giao điểm của và thì tam giác INO cân tại N nên NI = NO

Từ suy ra (cặp góc so le trọng của IO || BK)

Suy ra cân tại N hay NB = NK

Suy ra OB = IK

Mà OB = OA nên IK = OA

Kết hợp OA || IK nên AOKI là hình bình hành

Suy ra OK || AH. Mà nên

Suy ra OK là trung trực của BC hay KB = KC (4)

Từ (3) và (4) suy ra . Vậy cân tại .

Câu 7 (0,5 điểm). Trên bàn có 40 thẻ chia thành 10 nhóm, mỗi nhóm có 4 thẻ. Mỗi thẻ của nhóm 1 được đánh số 1, mỗi thẻ của nhóm 2 được đánh số 2, cứ như vậy mỗi thẻ của nhóm 10 được đánh số 10. Mỗi lần, người chơi lấy ra 3 thẻ trên bàn sao cho tổng các số ghi trên 3 thẻ bằng 9 hoặc 19 rồi bỏ cả 3 thẻ này ra khỏi bàn. Cuối cùng, trên bàn còn đúng một thẻ. Hỏi thẻ còn lại trên bàn được đánh số bao nhiêu? Giải thích tại sao và chỉ ra một cách lấy thẻ thỏa mãn kết quả đưa ra.

Phương pháp:

* Tìm thẻ còn lại

Tính tổng tất cả các số của thẻ theo công thức tính tổng.

Tính số lần lấy thẻ.

Gọi (lần) là số lần lấy thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là 9; (lần) là số lần lấy thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là 19 (, ).

Biểu diễn tổng giá trị các thẻ lấy ra.

Gọi là số trên thẻ còn lại .

Tính giá trị của theo .

Từ tổng số lần lấy thẻ là 13 suy ra .

Thế vào để biểu diễn theo .

Vì số trên thẻ từ 1 đến 10 nên ta có bất phương trình:

Giải bất phương trình để tìm a, suy ra giá trị của .

* Chỉ ra một cách lấy thẻ thoả mãn

Lấy ví dụ bất kì thoả mãn.

Lời giải:

* Tìm thẻ còn lại

Tổng tất cả các số của thẻ là: .

Vì cuối cùng trên bàn còn đúng 1 thẻ nên số lần lấy thẻ là: (lần).

Gọi (lần) là số lần lấy thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là 9; (lần) là số lần lấy thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là 19 (, ).

Tổng giá trị các thẻ lấy ra là: .

Gọi là số trên thẻ còn lại .

Số trên thẻ còn lại trên bàn là: (1).

Tổng số lần lấy thẻ là: nên ta có .

Thế vào (1), ta được:

.

Vì số trên thẻ từ 1 đến 10 nên ta có bất phương trình:

.

Suy ra (vì là số tự nhiên).

Thay vào , ta được:

.

Vậy thẻ còn lại được đánh số 3.

* Chỉ ra một cách lấy thẻ thoả mãn:

+) 3 lần lấy tổng 9 (1,2,6), (2,3,4), (1,1,7),

+) 13 – 3 = 10 lần lấy tổng bằng 19 là (10;6;3); (9;5;5); (7;7;5); (8;6;5); (10;5;4); (6;6;7); (8;8;3); (9;6;4); (10;7;2); (6;9;4).