Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Trị

Đề bài

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – QUẢNG TRỊ

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

I. TRẮC NGHIỆM:

II. TỰ LUẬN: 

Câu 17 (1,5 điểm). Cho biểu thức \(A = \frac{3}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{12}}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4\).

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A = \frac{3}{5}\).

Lời giải:

a) Với \(x \ge 0,x \ne 4\), ta có:

\(A = \frac{{3(\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}} - \frac{{12}}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x  + 6 - 12}}{{x - 4}}\)\( = \frac{{3\sqrt x  - 6}}{{x - 4}}\)

\( = \frac{{3(\sqrt x  - 2)}}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\)\( = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vậy \(A = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4\)

b) Thay biểu thức A đã rút gọn vào phương trình \(A = \frac{3}{5}\):

\(\frac{3}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{3}{5}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 = 5\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  = 3\)

\( \Leftrightarrow x = 9\) (thoả mãn điều kiện \(x \ge 0,x \ne 4\))

Vậy \(x = 9\) thì \(A = \frac{3}{5}\).

Câu 18 (1,5 điểm). Nhân dịp tổng kết cuối năm học 2025 - 2026, các bạn học sinh lớp 9A đặt mua một tấm vải hình chữ nhật để làm phông nền trang trí lớp học. Biết tấm vải đó có chiều dài gấp đôi chiều rộng, chu vi của nó bằng \(12{\rm{ mét}}\) và mỗi mét vuông vải có giá \(30\) nghìn đồng. Tính chiều dài, chiều rộng của tấm vải và số tiền mua tấm vải đó.

Lời giải:

Gọi chiều rộng của tấm vải là x (mét), điều kiện \(x > 0\).

Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài là 2x (mét).

Chu vi hình chữ nhật là 12m, ta có phương trình:

\(2(x + 2x) = 12\)

\(2 \cdot 3x = 12\)

\(6x = 12\)

\(x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy chiều rộng là 2m và chiều dài là 4m.

Diện tích tấm vải là: \(S = 4.2 = 8({m^2})\).

Vì mỗi mét vuông vải có giá 30000 đồng nên số tiền mua vải là:

\(8.30000 = 240000\) (đồng)

Vậy tấm vải có chiều rộng là 2m, chiều dài là 4m, số tiền mua vải là 240000 đồng.

Câu 19 (2,0 điểm).

a) Một bức tường đang xây dở có dạng hình thang vuông \(MNPQ\), vuông góc ở \(M\) và \(Q\), \(MN = 2{\rm{ m}}\), \(PQ = 5{\rm{ m}}\), \(MQ = 4{\rm{ m}}\) (hình vẽ bên). Tính độ dài cạnh \(NP\).

b) Cho tam giác \(ABC\) có \(E,{\rm{ }}F\) là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ \(B\) và \(C\) xuống \(AC\) và \(AB\). Biết \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\); \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\) và \(J\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Chứng minh \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn và \(IJ\) vuông góc với \(EF\).

Lời giải:

a)

Kẻ \(NR \bot PQ\,\,\left( {R \in PQ} \right)\)

Khi đó \(MNRQ\) là hình chữ nhật nên \(RQ = MN = 2\left( m \right),\,\,NR = MQ = 4\left( m \right)\)

Suy ra \(PR = PQ - RQ = 5 - 2 = 3\left( m \right)\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(PNR\) vuông tại \(R\) ta được

\(P{N^2} = P{R^2} + N{R^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2}\)

Do đó \(PN = 5\left( m \right)\)

b)

Vì tam giác \(BFC\) vuông tại \(F\) nên \(B,F,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) (1)

Vì tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) nên \(B,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) (2)

Từ (1) và (2) ta được \(B,F,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Hay tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn \(\left( J \right)\) (do \(J\) là trung điểm của \(BC\))

Do đó \(JE = JF\) (3)

Chứng minh tương tự ta được \(AEHF\) nội tiếp \(\left( I \right)\)

Do đó \(IE = IF\) (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(IJ\) là đường trung trực của \(EF\)

Như vậy \(IJ\) vuông góc với \(EF\) (đpcm)

Câu 20 (1,0 điểm) Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm mười hình quạt bằng nhau, đánh số từ 1 đến 10 và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm (hình vẽ bên). Bạn An quay tấm bìa hai lần, quan sát và ghi lại số của hình quạt mà mũi tên chỉ vào (Quy ước nếu mũi tên chỉ đúng vào bán kính chung của hai hình quạt thì được tính là chỉ vào hình quạt phía bên trái mũi tên). Tính xác suất của các biến cố:

a) E: "Số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng nhau".

b) F: "Số ghi trên hình quạt ở lần quay sau chia hết cho số ghi trên hình quạt ở lần quay trước".

Lời giải:

a) Phép thử ở đây là quay tấm bìa 2 lần và ghi lại số mà mũi tên chỉ vào ở mỗi lần quay. Gọi kết quả của phép thử là cặp số \((a,b)\), trong đó a là số ghi được ở lần quay thứ nhất và b là số ghi được ở lần quay thứ hai. Vì trên tấm bìa có các số từ 1 đến 10, nên a và b đều có thể nhận các giá trị thuộc tập hợp \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \)

Lần quay thứ nhất có 10 kết quả có thể xảy ra. Ứng với mỗi kết quả của lần quay thứ nhất, lần quay thứ hai cũng có 10 kết quả có thể xảy ra. Do đó, số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là: \(n(\Omega ) = 10 \times 10 = 100\)

Do tấm bìa được chia làm mười hình quạt bằng nhau và diện tích các hình quạt bằng nhau nên khả năng mũi tên dừng lại ở mỗi hình quạt trong một lần quay là hoàn toàn như nhau.

Quy ước "chỉ vào ranh giới thì tính là hình quạt bên trái" đảm bảo mỗi lần quay luôn cho ra đúng 1 kết quả duy nhất.

Hai lần quay là hai hành động độc lập, không ảnh hưởng lẫn nhau. Từ những điều này, ta suy ra 100 kết quả của phép thử (không gian mẫu) là các kết quả đồng khả năng.

Biến cố E: "Số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng nhau".

Điều này có nghĩa là kết quả của lần quay thứ nhất phải giống hệt kết quả của lần quay thứ hai (a = b).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố E bao gồm các cặp số: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10).

Đếm các cặp số trên, ta thấy số kết quả thuận lợi cho biến cố E là: n(E) = 10

Xác suất của biến cố E được tính bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho E và tổng số kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \)).

Ta có: \(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{10}}{{100}} = \frac{1}{{10}}\)

Vậy xác suất của biến cố E là \(\frac{1}{{10}}\)

b) F: "Số ghi trên hình quạt ở lần quay sau chia hết cho số ghi trên hình quạt ở lần quay trước".

Nghĩa là kết quả (a, b) phải thỏa mãn điều kiện: b chia hết cho a. Ta sẽ liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố F dựa vào giá trị của a (lần quay 1):

• Nếu a = 1: b có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 10 (có 10 kết quả).
• Nếu a = 2: \(b \in \{ 2,4,6,8,10\} \) (có 5 kết quả).
• Nếu a = 3: \(b \in \{ 3,6,9\} \) (có 3 kết quả).
• Nếu a = 4: \(b \in \{ 4,8\} \) (có 2 kết quả).
• Nếu a = 5: \(b \in \{ 5,10\} \) (có 2 kết quả).
• Nếu a = 6: b = 6 (có 1 kết quả).
• Nếu a = 7: b = 7 (có 1 kết quả).
• Nếu a = 8: b = 8 (có 1 kết quả).
• Nếu a = 9: b = 9 (có 1 kết quả).
• Nếu a = 10: b = 10 (có 1 kết quả).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố F là tổng của tất cả các trường hợp trên:

\(n(F) = 10 + 5 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 27\)

Xác suất của biến cố F là: \(P(F) = \frac{{n(F)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{27}}{{100}}\)

—HẾT—

Đề bài

Câu 1: Xét hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Cung lớn hơn căng dây nhỏ hơn.

B. Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

C. Dây lớn hơn căng cung nhỏ hơn.

D. Cung nhỏ hơn căng dây lớn hơn.

Câu 2: Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc ở tâm.

B. Góc có đỉnh nằm trên đường tròn được gọi là góc ở tâm.

C. Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn được gọi là góc ở tâm.

D. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Câu 3: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a \ne 0\) thì \({x_1} + {x_2}\) bằng

A. \( - \frac{c}{a}\).

B. \( - \frac{b}{a}\).

C. \(\frac{b}{a}\).

D. \(\frac{c}{a}\).

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại \(A\) và có đường cao AH. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2} + A{C^2}}}\).

B. \(\frac{1}{{A{H^2}}} = A{B^2} + A{C^2}\).

C. \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} - \frac{1}{{A{C^2}}}\).

D. \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

Câu 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(y = 3{x^2}\).

B. \(y = {\rm{ \;}} - 2x + 1\).

C. \(y = 3x - 5\).

D. \(y = {\rm{ \;}} - x + 1\).

Câu 6: Cho góc BIC có đỉnh \(I\) nằm bên trong đường tròn \((O)\). Hai cung bị chắn của góc BIC là \(\widehat {BnC}\) và \(\widehat {AmD}\) (hình vẽ).

Số đo cùa \(\widehat {BIC}\) được tính theo công thức nào dưới đây?

A. \(\angle BIC = \frac{1}{2}sdc{\mkern 1mu} BnC\).

B. \(\angle BIC = \frac{1}{2}(sdcBnC + sdcAmD)\)

C. \(\widehat {BIC} = \frac{1}{2}(sdcBnC - sdcAmD)\).

D. \(\angle BIC = \frac{1}{2}\;{\rm{sd}}cAmD\).

Câu 7: Hệ số góc của đường thẳng \(y = {\rm{ \;}} - \frac{3}{4}x - 2023\) bằng

A. -2023 .

B. 2023 .

C. \( - \frac{3}{4}\).

D. \(\frac{3}{4}\).

Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. \(\cos 60^\circ  = \tan 30^\circ \).

B. \(\cos 60^\circ  = \cot 30^\circ \).

C. \(\cos 60^\circ  = \cos 30^\circ \).

D. \(\cos 60^\circ  = \sin 30^\circ \).

Câu 9: Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc nhất theo hai ẩn \(x\) và \(y\) ?

A. \({x^2} - 4y = 1\).

B. \(4x + 3{y^2} = 2\).

C. \({x^2} + {y^2} = 10\).

D. \(3x - y = 5\).

Câu 10: Cặp số \((x;y)\) nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y = 5}\\{x - 2y = {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right.\) ?

A. \((x;y) = ( - 1;1)\).

B. \((x;y) = (1;1)\).

C. \((x;y) = ( - 1; - 1)\).

D. \((x;y) = (1; - 1)\).

Câu 11: Trong một đường tròn. Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Đường kính đi qua trung điểm của một đây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

B. Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

C. Đường kính là dây lớn nhất.

D. Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.

Câu 12: Cho hàm số \(y = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}{x^2}\). Khẳng định nào đưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến khi \(x < 0\).

B. Hàm số đồng biến khi \(x > 0\).

C. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

D. Hàm số đồng biến khi \(x < 0\).

Câu 13: Bằng các phép biến đổi đại số, rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \sqrt 8 {\rm{ \;}} - \sqrt 2 \)

b)  \(B = \frac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a {\rm{ \;}} + 2}}\)

Câu 14: a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).

b) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

Câu 15: Một xe khách và một xe tải xuất phát cùng một thời điểm từ A đến B. Do vận tốc xe khách lớn hơn vận tốc xe tải \(10km/h\) nên xe khách đến sớm hơn xe tải 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường từ A đến B dài \(180\;{\rm{km}}\).

Câu 16: 

Cho phương trình \({x^2} - 3\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 7m = 0\)  (1) (với x là ẩn, m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và  \(3{x_1} - 3x_2^2 + (9m + 20){x_2} - 3{m^2} - 21m - 19 = 0\)

Câu 17: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và có đường cao AH. Kẻ \(HD \bot AB{\mkern 1mu} \)và \(HE \bot AC{\mkern 1mu} \)\({\mkern 1mu} \left( {D \in AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} E \in AC} \right)\)

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

b) Tính số đo \(\angle EDB\), biết \(\angle ACB = 40^\circ \)

c) Đường thẳng qua E và vuông góc với AB cắt tia AO tại M. Chứng minh \(DM \bot AE.{\mkern 1mu} \)

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Lý thuyết về quan hệ hai dây cung trong đường tròn.

Cách giải:

Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

Chọn B.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Lý thuyết góc ở tâm, góc nội tiếp.

Cách giải:

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Chọn D.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Hệ thức Viet

Cách giải:

\(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm \({x_1},{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\rm{ \;}} - \frac{b}{a}\)

Chọn B.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cách giải:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)

Chọn D.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến khi \(a > 0\)

Cách giải:

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến khi \(a > 0\) nên \(y = 3x - 5\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Công thức góc có đỉnh bên trong đường tròn

Chú ý khi giải:

\(\angle BIC = \frac{1}{2}(sdcBnC + sdcAmD)\)

Chọn B.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc \(k = a\)

Cách giải:

Hệ số góc của đường thẳng \(y = {\rm{ \;}} - \frac{3}{4}x - 2023\) bằng \( - \frac{3}{4}\)

Chọn C.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Tính chất hai góc phụ nhau

Cách giải:

Hai góc phụ nhau thì chéo nhau nên \(\cos 60^\circ  = \sin 30^\circ \)

Chọn D.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng \(ax + by = c\)

Cách giải:

\(3x - y = 5\) là phương trình nào dưới đây là phương trình bậc nhất theo hai ẩn \(x\) và \(y\).

Chọn D.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số hoặc bằng casio

Cách giải:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y = 5}\\{x - 2y = {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y = 5}\\{2x - 4y = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7y = 7}\\{x = 2y - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Chọn B.

Câu 11 (NB):

Phương pháp:

Quan hệ đường kính và dây cung

Cách giải:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy là sai vì dây đó phải không đi qua tâm đường tròn.

Chọn D.

Câu 12 (NB):

Phương pháp:

Hàm số \(y = a{x^2}\) có \(a < 0\) đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\)

Cách giải:

Hàm số \(y = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}{x^2}\) có \(a < 0\) đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\)

Chọn D.

Câu 13 (TH):

Cách giải:

a, \(A = \sqrt 8 {\rm{\;}} - \sqrt 2 \)

Ta có: \(A = \sqrt 8 {\rm{\;}} - \sqrt 2 {\rm{\;}} = \sqrt {{2^2}.2} {\rm{\;}} - \sqrt 2 \) \( = 2.\sqrt 2 {\rm{\;}} - \sqrt 2 {\rm{\;}} = \sqrt 2 \).

b,  \(B = \frac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a {\rm{\;}} + 2}}\)

Ta có: \(B = \frac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a {\rm{\;}} + 2}}\) (Điều kiện: \(a \ge 0\))

            \( = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a {\rm{\;}} + 2} \right)}}{{\sqrt a {\rm{\;}} + 2}} = \sqrt a \)

Vậy \(B = \sqrt a \) với \(a \ge 0\)

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị x, y và vẽ đồ thị, kết luận

b) Dùng phương pháp nhẩm nghiệm.

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O{\mkern 1mu} \left( {0;0} \right);A\left( { - 2;8} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( { - 1;2} \right);C\left( {1;2} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D\left( {2;8} \right)\)

Hệ số \(a = 2 > 0\)nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) như sau:

b) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} - 5x + 6 = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3x + 6 = 0}\\{ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 = 0}\\{x - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{x = 2}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Vậy phương trình là: \(S = \left\{ {2;3} \right\}\).

Câu 15 (TH):

Cách giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe tải.

Do vận tốc xe khách lớn hơn vận tốc xe tải \(10km/h\) nên xe khách có vận tốc là: \(x + 10{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {km/h} \right)\).

Thời gian đi của xe tải là: \(\frac{{180}}{x}\) (giờ).

Thời gian đi của xe khách là: \(\frac{{180}}{{x + 10}}\) (giờ).

Đổi 36 phút = 0,6 giờ.

Vì xe khách đến sớm hơn xe tải 36 phút nên ta có: \(\frac{{180}}{x} - \frac{{180}}{{x + 10}} = 0,6\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{180\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{180x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = 0,6\\ \Leftrightarrow \frac{{180\left( {x + 10} \right) - 180x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = 0,6\\ \Leftrightarrow \frac{{180x + 1800 - 180x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = 0,6\\ \Leftrightarrow \frac{{1800}}{{{x^2} + 10x}} = 0,6\\ \Leftrightarrow 0,6\left( {{x^2} + 10x} \right) = 1800\\ \Leftrightarrow 0,6{x^2} + 6x - 1800 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 50\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{x =  - 60\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy vận tốc của xe tải là 50 km/h; vận tốc của xe khách là 60km/h.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi \(ac < 0\)

b) Áp dụng hệ thức Viet

Cách giải:

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

để phương trình có hai nghiệm trái dâu thì \(a.c < 0 \Leftrightarrow 1\left( {{m^2} + 7m} \right) < 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow m\left( {m + 7} \right) < 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m + 7 < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m + 7 > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m < {\rm{ \;}} - 7}\end{array}} \right.\left( {VL} \right)}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m > {\rm{ \;}} - 7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - 7 < m < 0}\end{array}\)

Vậy \( - 7 < m < 0\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.

b) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và  \(3{x_1} - 3x_2^2 + (9m + 20){x_2} - 3{m^2} - 21m - 19 = 0\)

Phương trình (1) có

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta {\rm{ \;}} = {{\left( { - 3\left( {m + 2} \right)} \right)}^2} - 4.1.\left( {{m^2} + 7m} \right)}\\{ = 9\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) - 4{m^2} - 28m}\\{ = 5{m^2} + 8m + 36}\\{ = 5\left( {{m^2} + \frac{8}{5}m + \frac{{36}}{5}} \right)}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = 5\left( {{m^2} + \frac{8}{5}m + \frac{{16}}{{25}} + \frac{{164}}{{25}}} \right)}\\{ = 5{{\left( {m + \frac{4}{5}} \right)}^2} + \frac{{164}}{5}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m}\end{array}\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Giả sử 2 nghiệm đó là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\)

Theo hệ thức Viet ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3\left( {m + 2} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + 7m}\end{array}} \right.\)      (2)

Do \({x_2}\) là nghiệm của (1) nên \({x_2}^2 - 3\left( {m + 2} \right){x_2} + {m^2} + 7m = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 3\left( {{x_2}^2 - 3\left( {m + 2} \right){x_2} + {m^2} + 7m} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow 3{x_2}^2 - \left( {9m + 18} \right){x_2} + 3{m^2} + 21m = 0}\\{ \Leftrightarrow 3{x_2}^2 - \left( {9m + 20} \right){x_2} + 3{m^2} + 21m = {\rm{ \;}} - 2{x_2}}\end{array}\)

Để \(3{x_1} - 3x_2^2 + (9m + 20){x_2} - 3{m^2} - 21m - 19 = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 3{x_1} - 19 = 3x_2^2 - (9m + 20){x_2} + 3{m^2} + 21m}\\{ \Leftrightarrow 3{x_1} - 19 = {\rm{ \;}} - 2{x_2}}\\{ \Leftrightarrow 3{x_1} + 2{x_2} = 19}\end{array}\)

Kết hợp với (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3\left( {m + 2} \right)}\\{3{x_1} + 2{x_2} = 19}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x_1} + 2{x_2} = 6\left( {m + 2} \right)}\\{3{x_1} + 2{x_2} = 19}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} = 3\left( {m + 2} \right) - {x_1}}\\{{x_1} = 7 - 6m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 7 - 6m}\\{{x_2} = 9m - 1}\end{array}} \right.\)

Thay \({x_1},{x_2}\) vào phương trình \({x_1}{x_2} = {m^2} + 7m\) ta được

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {7 - 6m} \right)\left( {9m - 1} \right) = {m^2} + 7m}\\{ \Leftrightarrow 63m - 7 - 54{m^2} + 6m = {m^2} + 7m}\\{ \Leftrightarrow 55{m^2} - 62m + 7 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {55m - 7} \right) = 0}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = \frac{7}{{55}}}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = \frac{7}{{55}}}\end{array}} \right.\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và

\(3{x_1} - 3x_2^2 + (9m + 20){x_2} - 3{m^2} - 21m - 19 = 0\)

Câu 17 (VD):

Cách giải:

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

Từ giả thiết ta có:

\(HD \bot AB{\mkern 1mu}  \Rightarrow \angle ADH = 90^\circ \)(tính chất)

\(HE \bot AC{\mkern 1mu}  \Rightarrow \angle AEH = 90^\circ \)(tính chất)

\( \Rightarrow \angle ADH + \angle AEH = 90^\circ  + 90^\circ {\rm{\;}} = 180^\circ \)

Mà \(\angle ADH\) và \(\angle AEH\)ở vị trí đối nhau nên tứ giác ADHE nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b) Tính số đo \(\angle EDB\), biết \(\angle ACB = 40^\circ \)

Ta có: \(HD \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow \angle BDH = 90^\circ \)(tính chất)

Tam giác AHC vuông tại H nên \(\angle ACH + \angle CAH = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

\( \Rightarrow \angle CAH = 90^\circ  - \angle ACH = 90^\circ  - 40^\circ {\rm{\;}} = 50^\circ \) hay \(\angle EAH = 50^\circ \)

Vì tứ giác ADHE nội tiếp (chứng minh câu a) nên \(\angle EDH = \angle EAH = {50^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

\( \Rightarrow \angle EDB = \angle BDH + \angle EDH = 90^\circ  + 50^\circ  = 140^\circ \)

c) Đường thẳng qua E và vuông góc với AB cắt tia AO tại M. Chứng minh \(DM \bot AE.{\mkern 1mu} \)

Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow Ax \bot AO\) (tính chất)

Do ADHE nội tiếp nên \(\angle ADE = \angle AHE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

Mà \(\angle AHE = \angle ACH\) (cùng phụ với \(\angle EHC\))

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle ACH = \angle ACB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { = \angle AHE} \right)\)

Mà \(\angle ACB = \angle BAx\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

\( \Rightarrow \angle BAx = \angle ADE{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { = \angle ACB} \right)\), mà hai góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau.

\( \Rightarrow Ax\parallel DE\) (dhnb)

Mà \(Ax \bot AO\) (theo cách vẽ) nên \(DE \bot AO\) (từ vuông góc đến song song).

Xét \(\Delta ADE\) có \(DE \bot AO\), \(EM \bot AB\left( {gt} \right)\), DE cắt AO tại M nên M là trực tâm của \(\Delta ADE\).

\( \Rightarrow DM \bot AE\) (đpcm).

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:

a)

b) với

Câu 2 (1,0 điểm):

Giải phương trình:

Câu 3 (3,0 điểm): 

Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng (m là tham số)

a) Vẽ .

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

c) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ và sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (1,0 điểm):

Nhằm phục vụ khán giả cổ vũ giải bóng đá U23 châu Á, một xưởng may phải may áo cổ động viên trong một số ngày quy định. Trong ba ngày đầu, mỗi ngày xưởng may đúng số áo theo kế hoạch. Từ ngày thứ tư, nhờ cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, trước khi hết thời hạn một ngày, xưởng đã may được áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu áo?

Câu 5 (3,0 điểm): 

Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm P sao cho AP > R. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ hai kẻ từ P của đường tròn (O).

a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh BM//OP.

c) Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N, OM cắt PN tại J.

i) Chứng minh AONP là hình chữ nhật.

ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AOPN và I là giao điểm của PM và ON. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Lời giải

Câu 1 (TH): 

Phương pháp:

a) Sử dụng hằng đẳng thức:

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

b) Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

Cách giải:

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:

a)

b) với

Câu 2 (TH): 

Phương pháp:

Đưa phương trình ban đầu về phương trình tích:

Cách giải:

Giải phương trình:

Vậy phương trình có tập nghiệm là

Câu 3 (VD): 

Phương pháp:

a) Vẽ đồ thị của hàm số

+ Nhận xét về hệ số và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của và

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

b) Thay vào phương trình đường thẳng (d) tìm được m.

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) (1)

Yêu cầu đề bài phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính theo m

Thay vào biểu thức Q, tìm giá trị lớn nhất.

Cách giải:

Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng (m là tham số)

a) Vẽ .

Xét  parabol

Hệ số nên hàm số đồng biến khi , nghịch biến khi và có bề lõm hướng lên trên.

Bảng giá trị:

Parabol (P) là đường cong đi qua các điểm .

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên đi qua điểm .

Thay vào phương trình đường thẳng (d) ta có: .

Vậy .

c) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ và sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm và thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

.

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: .

Theo giả thiết ta có:

Ta có:

Do đó . Dấu “=” xảy ra khi .

Vậy thì Q đạt giá trị lớn nhất bằng .

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Gọi số áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là (chiếc áo) (, )

Tính số áo mỗi ngày xưởng may được trong ba ngày đầu.

Tính số áo mỗi ngày xưởng may được từ ngày thứ tư.

Tính thời gian may hoàn thành theo kế hoạch và trên thực tế.

Tính số áo xưởng may được theo thực tế.

Lập phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Nhằm phục vụ khán giả cổ vũ giải bóng đá U23 châu Á, một xưởng may phải may áo cổ động viên trong một số ngày quy định. Trong ba ngày đầu, mỗi ngày xưởng may đúng số áo theo kế hoạch. Từ ngày thứ tư, nhờ cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, trước khi hết thời hạn một ngày, xưởng đã may được áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu áo?

Gọi số áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là (chiếc áo) (, )

Khi đó: theo kế hoạch, thời gian xưởng may hoàn thành chiếc áo là (ngày)

Từ ngày thứ tư, mỗi ngày xưởng may được (chiếc áo)

Trên thực tế, xưởng may hết trước thời hạn 1 ngày nên thời gian xưởng may là (ngày)

Do 3 ngày đầu, xưởng may đúng số áo theo kế hoạch và từ ngày thứ tư thì xưởng may được mỗi ngày (chiếc áo) nên tổng số áo may được là: (áo)

Trên thực tế, xưởng may được chiếc áo nên ta có phương trình:

Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may chiếc áo.

Câu 5 (VD): 

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

c) i)Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc bằng 90 độ là hình chữ nhật.

ii) JK đi qua trung tâm I của tam giác PJO nên J, I, K thẳng hàng

Cách giải:

Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm P sao cho AP > R. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ hai kẻ từ P của đường tròn (O).

a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp.

AP là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A

MP là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M

Xét tứ giác AOMP có: mà hai góc này đối nhau

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Chứng minh BM//OP.

Tứ giác AOMP nội tiếp (cmt) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AP)

Xét (O) có: (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)

Suy ra mà hai góc này ở vị trí đồng vị

(đpcm)

c) Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N, OM cắt PN tại J.

i) Chứng minh AONP là hình chữ nhật.

là tiếp tuyến của đường tròn (O) là phân giác của

Xét và có:

(hai góc tương ứng)     (2)

Từ (1) và (2), suy ra

Xét tứ giác OPNM có: mà hai góc này có hai đỉnh P, N kề nhau cùng nhìn cung OM

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Ta có: tại

Xét tứ giác AONP có:

là hình chữ nhật

ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AOPN và I là giao điểm của PM và ON. Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Xét tam giác có:

là trực tâm của tam giác OIP

AONP là hình chữ nhật (cmt) (hai góc so le trong)

PA, PM là tiếp tuyến của đường tròn (O) là tia phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra hay

cân tại

Lại có K là giao điểm của AN và OP nên K là trung điểm của OP

là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác PJO

đi qua trực tâm I

thẳng hàng.

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

Bằng các phép biến đổi đại số, rút các biểu thức sau:

với

Câu 2 (1,5 điểm):

Cho hàm số .          (1)

1. Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến khi x > 0.

2. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng tại điểm có tung độ bằng 2?

Câu 3 (1,5 điểm):

Cho phương trình (ẩn )

1. Giải phương trình khi .

2. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4 (1,0 điểm):

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau lần bắn là điểm. Kết quả cụ thể ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *).

 Hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

Câu 5 (3,5 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ EF vuông góc với BC tại E. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. Đường thẳng BF cắt (O) tại điểm thứ hai là D, DE cắt AC tại H.

1. Chứng minh ABEF là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh

3. Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.

4. Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm thứ hai là G , FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H thẳng hàng.

Câu 6 (0,5 điểm):

Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng

Lời giải

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

Vận dụng hằng thức để biến đổi, tính giá trị biểu thức.

Biến đổi, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

Cách giải:

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

1) Hàm số đồng biến khi hệ số .

2) Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng .

Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được vào (1), từ đó xác định được giá trị của tham số .

Cách giải:

1) Hàm số đồng biến khi nếu hệ số .

Vậy hàm số đồng biến khi khi thì .

2) Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng tại điểm có tung độ bằng 2 nên điểm đó thỏa mãn phương trình đường thẳng .

Hay . Điểm đó là .

Thay tọa độ A vào (1) ta được: .

Vậy thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng tại điểm có tung độ bằng 2.

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

1) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tính nghiệm của phương trình bậc hai.

2) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm

Áp dụng hệ thức Vi – ét tính được: và

Thay vào biểu thức cần tính, tìm được giá trị của tham số , đối chiếu điều kiện, kết luận.

Cách giải:

1) Thay vào phương trình đã cho ta được:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

2) Phương trình: có: nên phương trình luôn có nghiệm.

Theo định lí Vi-ét ta có:

Khi đó ta có:

Ta có

.

. Dấu “=” xảy ra khi .

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Gọi số lần bắn trong ô với điểm số là là

Gọi số lần bắn trong ô với điểm số là là 

Tổng số lần bắn của vận động viên đó là nên lập được một phương trình

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau lần  bắn là nên lập được một phương trình

Từ đó, ta có hệ phương trình, giải hệ phương trình đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi số lần bắn trong ô với điểm số là là

Gọi số lần bắn trong ô với điểm số là là 

Tổng số lần bắn của vận động viên đó là nên ta có:

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau lần  bắn là nên ta có phương trình

Từ ta có hệ phương trình:

Vậy số lần bắn trong ô điểm 9 là 7 lần, số lần bắn trong ô điểm 7 là 11 lần.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp.

2) + 3) Vận dụng mối quan hệ góc – đường tròn.

4) Vận dụng tính của tứ giác nội tiếp và mối quan hệ góc – đường tròn.

Cách giải:

1) Ta có (vì tam giác vuông tại )

          (vì ).

là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

.

là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (Tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn dưới một góc ).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

3) Ta có: cân tại (tổng 3 góc trong một tam giác).

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung )

(do tam giác vuông tại ).

Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của tứ giác nội tiếp )

.

Xét tam giác và tam giác ta có:

chung;

.

4) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính ) .

Mà và nên là trực tâm của tam giác .

là đường cao thứ 3 của tam giác      (1)

Ta có

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ).

là phân giác của

Ta lại có (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp ).

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay   (2)

Từ (1) và (2) ta có thẳng hàng.

Câu 6 (VDC):

Phương pháp:

Từ giả thiết của đề bài, đánh giá từng bất đẳng thức.

Cách giải:

Vì

   (1)

Lại có    (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được

Dấu “=” xảy ra tại hoặc và các hoán vị của nó.

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:

với

Câu 2 (2,5 điểm): Cho hàm số có đồ thị .

a) Vẽ

b) Tìm tọa độ giao điểm của và đường thẳng .

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng : cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ và thỏa mãn .

Câu 3 (1,5 điểm): Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là và diện tích là . Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó.

Câu 4 (3 điểm): Từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đến các tiếp tuyến và cát tuyến không đi qua tâm (  thuộc ). Gọi là trung điểm của là giao điểm của và

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác và đồng dạng với nhau.

c) Giả sử và là trung điểm của Tính theo

Câu 5 (1 điểm): Giải phương trình

Lời giải

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng công thức:

Cách giải:

Với ta có:

Vậy và .

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Tìm các điểm đi qua của Parabol và vẽ đồ thị hàm số.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm, giải phương trình tìm và suy ra . Từ đó kết luận giao điểm.

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác và không là nghiệm của phương trình.

Biến đổi điều kiện bài cho làm xuất hiện và rồi áp dụng Vi – et tìm .

Kiểm tra điều kiện của và kết luận.

Cách giải:

a) Vẽ

Cho nhận các giá trị ta có bảng sau:

Do đó đồ thị hàm số đi qua các điểm .

Đồ thị:

b) Tìm tọa độ giao điểm của và đường thẳng .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng :

Với thì nên

Với thì nên

Vậy giao điểm của và lần lượt là và .

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng : cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ và thỏa mãn .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì .

Từ yêu cầu bài toán ta suy ra nên  phương trình không nhận làm nghiệm hay.

Theo hệ thức Vi – et ta có: .

Khi đó:

Vậy là giá trị cần tìm.

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là ;

        chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là .

Điều kiện: .

Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là : nên .

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là  nên: .

Theo bài ra ta có hệ phương trình

Khi đó là nghiệm của phương trình:

Vì nên :

Vậy chiều rộng mảnh đất là  chiều dài mảnh đất là  .

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc

c) Chứng minh hai tam giác và đồng dạng từ đó suy ra tỉ lệ cạnh và tính

Cách giải:

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Vì là hai tiếp tuyến của nên

Xét tứ giác có mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh hai tam giác và đồng dạng với nhau.

Xét có là dây và là trung điểm nên tại (quan hệ giữa đường kính và dây)

Ta có nên 5 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính

Suy ra (góc nội tiếp cùng chắn cung ) (1)

Ta lại có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cân tại (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Xét và có chung và (cmt) nên

c) Giả sử và là trung điểm của Tính theo

Xét đường tròn có (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung )

Xét và có chung và (cmt)

Suy ra

mà là trung điểm của nên

Do đó,

Suy ra

Vậy

Câu 5 (VDC):

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ.

- Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện.

- Đưa phương trình về phương trình ẩn .

- Giải phương trình ẩn tìm và suy ra .

Cách giải:

Điều kiện:

Đặt ta có:

Điều kiện: , kết hợp ta được .

Khi đó

Thay vào phương trình đã cho ta được:

(do nên )

Suy ra

Vậy phương trình có nghiệm .