Đề thi vào 10 môn Toán Thái Bình

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

Cho biểu thức với

a) Chứng minh:

b) Tính giá trị của biểu thức khi

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 2 (2 điểm):

a) Giải phương trình:

b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng Nếu giảm chiều dài đi và tăng chiều rộng lên thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Câu 3 (2 điểm):

Cho parabol và đường thẳng với là tham số.

a) Tìm để đường thẳng và parabol cùng đi qua điểm có hoành độ

b) Chứng minh đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt với mọi

Gọi là các hoành độ giao điểm, tìm để

Câu 4 (3,5 điểm):

Cho nội tiếp đường tròn tâm đường kính cố định, điểm bất kì thuộc cung nhỏ Tia cắt tia tại điểm Điểm là giao điểm của và Kẻ vuông góc với tại điểm đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên là giao điểm của và Chứng minh:

a) Tứ giác nội tiếp đường tròn.

b)

c) Ba điểm thẳng hàng.

d) Đường tròn ngoại tiếp luôn đi qua một điểm cố định khác khi điểm di động trên cung nhỏ

Câu 5 (0,5 điểm):

Giải phương trình .

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

a) Xác định mẫu thức chung, thực hiện quy đồng sau rút gọn được biểu thức

b) Vận dụng hẳng đẳng thức , xác định được

Thay giá trị của vào biểu thức , tính được giá trị của biểu thức .

c) Từ điều kiện , nhận xét được mẫu thức của từ đó suy ra giá trị lớn nhất của

Cách giải:

a) Điều kiện:

Vậy với thì

b) Điều kiện:

Ta có: thỏa mãn điều kiện.

Thay vào biểu thức ta được:

Vậy với thì

c) Điều kiện:

Ta có:

Với ta có:

Dấu “=” xảy ra

Vậy với thì giá trị lớn nhất của là

Câu 2

Phương pháp:

a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tìm nghiệm của phương trình.

b) Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là

+ Chu vi của mảnh vườn là Nửa chu vi của mảnh vườn, từ đó lập được phương trình (1)

+ Nếu giảm chiều dài đi và tăng chiều rộng lên thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta lập phương trình (2)

+ Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình. Giải hệ phương trình, tìm nghiệm và kết luận.

Cách giải:

a) Phương trình có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và

Vậy phương trình có tập nghiệm:

b) Nửa chu vi của mảnh vườn đã cho là:

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là

Nếu giảm chiều dài đi và tăng chiều rộng lên thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có phương trình:

Từ và ta có hệ phương trình:

Vậy chiều dài mảnh vườn là và chiều rộng mảnh vườn là

Câu 3:

Phương pháp:

a) + Gọi là điểm mà đường thẳng và parabol đều đi qua.

+

+ Thay và tung độ vừa tìm được vào đường thẳng tìm được và kết luận.

b) + Xét phương trình hoành độ giao điểm của và : phương trình (*) (là một phương trình bậc hai một ẩn )

+ Đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt với mọi có hai nghiệm phân biệt

+ Gọi là các hoành độ giao điểm của và là các nghiệm của phương trình

(1)

+ Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được theo tham số (2)

+ Thay (1) và (2) vào hệ thức của đề bài, tìm được tham số .

Cách giải:

a) Gọi là điểm mà đường thẳng và parabol đều đi qua.

Khi đó ta có:

Lại có:

Vậy thỏa mãn bài toán.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Phương trình có:

luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi

Gọi là các hoành độ giao điểm của và là các nghiệm của phương trình

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn bài toán.

Câu 4:

Phương pháp:

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp: chứng minh là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: ;

c) Chứng minh: và thằng hàng.

d) Chứng minh:

là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm cố định.

Cách giải:

a) Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà (hai góc cùng phụ )

Xét và có:

c) Ta có: (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua điểm ở chính giữa của cung căng dây đó).

(hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau).

Hay

là tức giác nội tiếp. (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

. Mà

Xét có

là trực tâm

Từ và thằng hàng. (đpcm)

d) Ta có: (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

cân tại

Lại có:

Vì

Từ và

là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm cố định. (đpcm)

Câu 5:

Phương pháp:

+ Xác định điều kiện của phương trình, có nghĩa

+ Đặt , biến đổi phương trình ban đầu theo

+ Giải phương trình bậc hai ẩn với tham số , tìm được mối liên hệ của

+ Với ta tìm được nghiệm , đối chiếu và kết luận.

Cách giải:

ĐKXĐ: (luôn đúng).

Đặt ta có

.

Khi đó phương trình trở thành:

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn với tham số ta có

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm

+) TH1:

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

+) TH2: .

Khi đó ta có

Ta có nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là . 

Đề bài

Câu 1: 

Cho và (với ).

a) Tính giá trị của biểu thức A khi .

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm để giá trị của A và B trái dấu.

Câu 2: 

Cho hệ phương trình   với là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi

b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn

Câu 3:  

Cho parabol và đường thẳng ( là tham số).

a) Tìm để đường thẳng đi qua điểm

b) Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn

Câu 4: 

Qua điểm M nằm bên ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến ( là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến không đi qua tâm ( nằm giữa và ).

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và .

b) Chứng minh .

c) Gọi là trung điểm của dây cung và là giao điểm của hai đường thẳng và . Tính độ dài đoan thẳng theo khi .

d) Qua tâm kẻ đường thẳng vuông góc với cắt đường thẳng lần lượt tại và . Tìm vị trí điểm để diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5: 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho và (với ).

a) Tính giá trị của biểu thức A khi .

Thay vào biểu thức A ta có:

.

Vậy khi thì .

b) Rút gọn biểu thức B.

Với thì:

Vậy với thì .

c) Tìm để giá trị của A và B trái dấu.

Để giá trị của A và B trái dấu thì .

Vì nên .

Kết hợp điều kiện ta có .

Vậy để giá trị của A và B trái dấu thì .

Câu 2 (2 điểm)

Cách giải:

Cho hệ phương trình  với là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi

Với ta có hệ phương trình:

Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn

Ta có:

Từ phương trình ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Với mọi thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

Theo đề bài ta có:

Điều kiện:

Vậy và thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 3 (2 điểm)

Cách giải:

Cho parabol và đường thẳng ( là tham số).

a) Tìm để đường thẳng đi qua điểm

Đường thẳng đi qua điểm

Phương trình có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy hoặc thỏa mãn bài toán.

b) Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là

có hai nghiệm phân biệt

Với mọi thì luôn cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ là

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình ta có:

Theo đề bài ta có:

Phương trình có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy và thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4 (3,5 điểm)

Cách giải:

Qua điểm M nằm bên ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến ( là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến không đi qua tâm ( nằm giữa và ).

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và .

Vì là các tiếp tuyến của nên .

Xét tứ giác có: .

là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

Vì thuộc trung trực của .

     (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) thuộc trung trực của .

là trung trực của đoạn thẳng .

Vậy (đpcm).

b) Chứng minh .

Xét và có:

chung;

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

(hai cạnh tương ứng) .

c) Gọi là trung điểm của dây cung và là giao điểm của hai đường thẳng và . Tính độ dài đoan thẳng theo khi .

Gọi , theo ý a) ta có tại .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , đường cao ta có: .

Mà nên .

Xét và có: chung; (cmt).

(hai góc tương ứng).

Vì là trung điểm của nên (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

vuông tại .

Lại có: (do tam giác vuông tại ).

Mà nên .

Từ (1) và (2) .

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các goác bằng nhau).

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

vuông tại , có đường cao .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

.

Vậy khi thì .

d) Qua tâm kẻ đường thẳng vuông góc với cắt đường thẳng lần lượt tại và . Tìm vị trí điểm để diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.

 Đặt . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , đường cao ta có:

Xét tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên là tam giác cân tại , do đó đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến.

.

Khi đó .

Ta có: .

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương và ta có:

.

Khi đó .

Dấu “=” xảy ra .

Vậy diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi cách tâm một khoảng bằng .

Câu 5 (0,5 điểm)

Cách giải:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Điều kiện:

Vì

Dấu “=” xảy ra

Vậy khi và  

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

Cho và với

a) Tính giá trị của biểu thức khi  

b) Rút gọn biểu thức

c) Tìm sao cho biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

Câu 2 (2 điểm):

a. Giải hệ phương trình: (không sử dụng máy tính cầm tay).

b. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 150 m^2. Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều chiều rộng mảnh vườn là 5m. Tính chiều rộng mảnh vườn.

Câu 3 (2 điểm)  Cho hàm số (m là tham số)

a. Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên R.

b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol   tại hai điểm phân biệt. Gọi là hoành độ các giao điểm, tìm m sao cho

c. Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng . Chứng minh  khoảng cách từ điểm đến không lớn hơn

Câu 4 (3,5 điểm):  Cho đường tròn tâm , đường kính . Kẻ dây cung vuông góc với tại ( nằm giữa và , khác và ). Lấy điểm thuộc đoạn ( khác và ), tia cắt đường tròn tại khác .

a. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh .

c. Đoạn thẳng cắt đường tròn tâm tại khác . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

d. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của và lên đường thẳng . Chứng minh .

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng . 

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm)

Phương pháp:

a) Thay giá trị vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức.

b) Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

c) Tính biểu thức đánh giá giá trị của biểu thức sau đó tìm để

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Cho và với

a) Tính giá trị của biểu thức khi  

Điều kiện:

Khi ta thay vào biểu thức ta được:

Vật với thì

b) Rút gọn biểu thức

Điều kiện:

c) Tìm sao cho biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

Điều kiện:

Ta có:

Với

Vậy thì nhận giá trị nguyên.

Câu 2 (2,0 điểm)

Phương pháp:

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

b) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là:

Khi đó chiều dài mảnh vườn là:

Dựa vào giả thiết bài toán để lập phương trình.

Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

a. Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: .

b. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 150 m^2. Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều chiều rộng mảnh vườn là 5m. Tính chiều rộng mảnh vườn.

Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là:

Khi đó chiều dài mảnh vườn là:

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là nên ta có phương trình:

Vậy chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là 10m.

Câu 3 (2,0 điểm)

Phương pháp:

a) Hàm số đồng biến

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

cắt tại hai điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi-et để tìm

c) Vẽ đồ thị hàm số, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh bài toán.

Cách giải:

Cho hàm số (m là tham số)

a. Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên R.

Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên R khi

b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol   tại hai điểm phân biệt. Gọi là hoành độ các giao điểm, tìm m sao cho

Gọi đồ thị hàm số là đường thẳng (d).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (d) và parabol (P):

Số giao điểm của (d) và  (P) đồng thời cũng là số nghiệm của phương trình (*).

Có các hệ số: .

Ta có:

Ta có: .

Vậy phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt   hay (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình  (*) ta có:

Theo đề ra ta có:

Vậy là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c. Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng Chứng minh khoảng cách từ điểm đến không lớn hơn

Ta có:

+) Xét TH ta có:   là đường thẳng song song với trục hoành

với

+) Xét TH ta có:

Gọi   giao điểm của đường thẳng với trục  

Gọi   giao điểm của đường thẳng với trục

Gọi là chân đường vuông góc hạ từ đến đường thẳng Khi đó ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao ta có:

Giả sử khoảng cách từ đến đường thẳng không lớn hơn

Ta có:

không lớn với mọi

Kết hợp hai trường hợp trên ta được khoảng cách từ đến đường thẳng không lớn hơn

Câu 4 (3,5 điểm)

Phương pháp:

a) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh các tam giác đồng dạng để từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác.

Cách giải:

Cho đường tròn tâm , đường kính . Kẻ dây cung vuông góc với tại ( nằm giữa và , khác và ). Lấy điểm thuộc đoạn ( khác và ), tia cắt đường tròn tại khác .

a. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) .

Có tại

Xét tứ giác có: Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

b. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh .

Dễ thấy tứ giác nội tiếp đường tròn (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Xét tam giác và tam giác có:

c. Đoạn thẳng cắt đường tròn tâm tại khác . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (1).

Xét tam giác có hai đường cao và cắt nhau tại là trực tâm của tam giác .

hay (2)

Từ (1) và (2) qua kẻ được 2 đường thẳng và cùng vuông góc với .

hay thẳng hàng .

Xét tứ giác có: Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

là phân giác của (*)

Tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

là phân giác của (**)

Từ (*) và (**) là giao điểm của hai đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Câu 5 (0,5 điểm)

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh.

Cách giải:

Ta có:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

Đặt ta có :

Kết hợp điều kiện .

Theo bài ra ta có :

.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: .

Tương tự : .

.

Ta cần chứng minh .

Với .

Vậy đẳng thức được chứng minh.  Dấu "=" xảy ra . 

Đề bài

Câu 1: (2 điểm) Cho hai biểu thức và , với

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Chứng minh rằng .

c) Đặt . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Số bài tập về nhà môn Toán đã làm của 40 học sinh trong lớp 9A vào tuần trước được thống kê trong bảng tần số sau:

Lập bảng tần số tương đối của bảng số liệu trên.

b) Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số tự nhiên từ 1 đến 12, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra chia hết cho 3”

c) Một bình thủy tinh hình trụ đang chứa nước có bán kính đáy bên trong là đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Bạn Nam thả chìm hoàn toàn một viên bi sắt đặc dạng hình cầu có bán kính vào trong bình thì thấy nước trong bình dâng lên và không tràn ra ngoài. Tính thể tích của viên bi sắt và tìm giá trị của .

Câu 3: (2 điểm)

a) Trong thư viện có một giá sách được chia thành hai ngăn I và II. Ban đầu số cuốn sách ở ngăn I nhiều hơn số cuốn sách ở ngăn II là 100 cuốn. Sau khi người ta chuyển 25% số cuốn sách ở ngăn I sang ngăn II thì số cuốn sách ở ngăn I bằng 75% số cuốn sách ở ngăn II. Tính số cuốn sách ở mỗi ngăn lúc ban đầu.

b) Ở một hội chợ thương mại, người ta dựng trên mặt sân một cái cổng có dạng parabol (như hình vẽ bên). Biết chiếc cổng có chiều cao OH = 8m, và khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 6m. Người ta treo trên cồng một dây đèn trang trí song song với đường thẳng AB, từ điểm M đến điểm N, khoảng cách MN = 3m. Tính giá trị của a và khoảng cách từ dây đèn đến mặt sân.

Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC (M khác B và M khác C). Đoạn thẳng MD cắt đoạn thẳng OB tại I, đoạn thẳng OC cắt đoạn thẳng AM tại K.

a) Chứng minh tứ giác OBMK nội tiếp.

b) Chứng minh rằng .

c) Tia phân giác của góc cắt MI tại điểm E. Chứng minh rằng

d) Cho . Tính tỉ số .

Câu 5: (0,5 điểm)  Cho là các số không âm thoả mãn: . Chứng minh rà̀ng:

-------- Hết --------

Lời giải

Câu 1. Cho hai biểu thức và , với .

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9.

b) Chứng minh rằng .

c) Đặt . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Phương pháp:

a) Kiểm tra xem có thoả mãn điều kiện xác định hay không.

Nếu có, thay vào B để tính giá trị biểu thức.

b) Sử dụng cách biến đổi căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

c) Rút gọn P, biến đổi để tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu thức suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Lời giải:

a) Với x = 9 (TMĐK) thay vào biểu thức B, ta có:

Vậy khi

b)

Vậy với thì

c) Với thì và nên , ta có:

TH1: x = 0 suy ra P = 0

TH2: x ≠ 0, ta có:

Vì với mọi x nên với mọi x.

Suy ra .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay hay (TMĐK)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là: khi

Câu 2.

a) Số bài tập về nhà môn Toán đã làm của 40 học sinh trong lớp 9A vào tuần trước được thống kê trong bảng tần số sau:

Lập bảng tần số tương đối của bảng số liệu trên.

b) Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số tự nhiên từ 1 đến 12, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra chia hết cho 3".

c) Một bình thủy tinh hình trụ đang chứa nước có bán kính đáy bên trong là cm đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Bạn Nam thả chìm hoàn toàn một viên bi sắt đặc dạng hình cầu có bán kính cm vào trong bình thì thấy nước trong bình dâng lên x cm (x > 0) và không tràn ra ngoài. Tính thể tích của viên bi sắt và tìm giá trị của x.

Phương pháp:

a) Tính các tần số tương đối tương ứng, sau đó lập bảng tần số tương đối.

(m là tần số của x, n là cỡ mẫu).

b) Tính số kết quả có thể, số kết quả thuận lợi chon biến cố A.

Xác suất của biến cố A = số kết quả thuận lợi : số kết quả có thể.

c) Tính thể tích viên bi sắt.

Vì thể tích nước dâng lên bằng thể tích của viên bi nên ta giải phương trình để tìm x.

Lời giải:

a) Bảng tần số tương đối của bảng số liệu đã cho là:

b) Không gian mẫu của phép thử là: có 12 phần tử.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 3; 6; 9; 12.

Xác suất của biến cố A là:

c) Thể tích của viên bi sắt là:

Vì thể tích nước dâng lên bằng thể tích của viên bi nên ta có

Suy ra: x = 2 (cm)

Câu 3.

a) Trong thư viện có một giá sách được chia thành hai ngăn I và II. Ban đầu số cuốn sách ở ngăn 1 nhiều hơn số cuốn sách ở ngăn II là 100 cuốn. Sau khi người ta chuyển 25% số cuốn sách ở ngăn I sang ngăn II thì số cuốn sách ở ngăn I bằng 75% số cuốn sách ở ngăn II. Tính số cuốn sách ở mỗi ngăn lúc ban đầu.

b) Ở một hội chợ thương mại, người ta dựng trên mặt sân một cái cổng có dạng parabol (như hình vẽ bên). Biết chiếc cổng có chiều cao OH = 8 m, và khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 6m. Người ta treo trên cổng một dây đèn trang trí song song với đường thẳng AB, từ điểm M đến điểm N, khoảng cách MN = 3 m. Tính giá trị của a và khoảng cách từ dây đèn đến mặt sân.

Phương pháp:

a) Gọi số cuốn sách ban đầu ở ngăn I là: x (cuốn) ĐK: x > 100 và .

Số cuốn sách ban đầu ở ngăn II là: y (cuốn) ĐK: .

Số cuốn sách ở ngăn 1 nhiều hơn số cuốn sách ở ngăn II là 100 cuốn nên ta có:

Sau khi chuyển, số cuốn sách ở ngăn I bằng 75% số cuốn sách ở ngăn II nên ta lập được phương trình.

Thế vào phương trình trên để tìm x.

Tìm giá trị tương ứng.

b) Khoảng cách giữa hai chân cổng là: AB = 6m, suy ra AH = 3m.

Điểm A có hoành độ bằng 3, tung độ bằng - 8, A thuộc parabol nên ta giải tìm a.

Điểm N thuộc parabol nên ta tìm được toạ độ điểm N.

Suy ra khoảng cách từ dây đèn đến mặt sân.

Lời giải:

a) Gọi số cuốn sách ban đầu ở ngăn I là: x (cuốn) ĐK: x > 100 và .

Số cuốn sách ban đầu ở ngăn II là: y (cuốn) ĐK: .

Có y = x – 100.

Chuyển 25% số sách ngăn I sang ngăn II, khi đó số cuốn sách còn lại ở ngăn I là: x - 0,25x = 0,75x (Cuốn).

Số cuốn sách ở ngăn II là: y + 0,25x (cuốn).

Sau khi chuyển, số cuốn sách ở ngăn I bằng 75% số cuốn sách ở ngăn II, ta có phương trình: (1).

Thay y = x - 100 vào phương trình (1) ta có:

(TMĐK)

Suy ra: y = 400 – 100 = 300 (TMĐK)

Vậy số sách ban đầu ở ngăn I là 400 cuốn, số sách ban đầu ở ngăn II là 300 cuốn.

b) Khoảng cách giữa hai chân cổng là: AB = 6m, suy ra AH = 3m.

Điểm A có hoành độ bằng 3, tung độ bằng - 8, A thuộc parabol nên ta có:

suy ra:

Suy ra parabol:

Có MN = 3m suy ra điểm N có hoành độ bằng – 1,5 và tung độ

Điểm N thuộc parabol nên ta có:

Suy ra toạ độ của dây đèn thấp hơn chiếc cổng là 2m

Vậy khoảng cách từ dây đèn đến mặt sân là: 8 – 2 = 6 (m)

Câu 4. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC (M khác B và M khác C). Đoạn thẳng MD cắt đoạn thẳng OB tại I, đoạn thẳng OC cắt đoạn thẳng AM tại K.

a) Chứng minh tứ giác OBMK nội tiếp.

b) Chứng minh rằng .

c) Tia phân giác của góc IOM cắt MI tại điểm E. Chứng minh rằng

d) Cho . Tính tỉ số

Phương pháp:

a) Chứng minh ΔKOB vuông tại O, ΔMKB vuông tại M nên M, K, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính KB hay tứ giác OBMK nội tiếp.

b) Áp dụng tính chất góc nội tiếp chắn cung để tính và , suy ra

Chứng minh suy ra:

Áp dụng định lí Pythagore, chứng minh

Suy ra:

c) Áp dụng tính chất đường phân giác, chứng minh

Áp dụng tỉ số lượng giác, chứng minh (6)

suy ra:

d) Đặt IO = x thì IB = 2.IO = 2.x.

Tính và theo và .

Chứng minh suy ra theo và .

Từ tỉ số lượng giác suy ra theo và .

Suy ra tính .

Lời giải:

a) Do tại O nên ΔKOB vuông tại O hay O, K, B cùng thuộc đường tròn đường kính KB.

Có nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Khi đó ΔMKB vuông tại M nên M, K, B cùng thuộc đường tròn đường kính KB.

Vậy M, K, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính KB hay tứ giác OBMK nội tiếp.

b) Ta có: và

Nên

Xét và có (cmt) và chung

Suy ra: suy ra: hay (3)

Có vuông tại O (gt), theo định lí Pythagore ta có: (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

c) Do OE là tia phân giác của nên (tính chất đường phân giác) (5)

Mà vuông tại O nên (6)

Từ (5) và (6) suy ra:

d) Đặt IO = x thì IB = 2.IO = 2.x.

Khi đó và

Theo b) ta có: nên

Suy ra (7)

Ta có: và

Suy ra

Suy ra: (8)

Từ (7) và (8) suy ra:

Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

.

Phương pháp:

Thay 3 = a + b + c vào .

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, chứng minh .

Tương tự, và .

Suy ra .

Lời giải:

Ta có:

Đặt

Vì a + b + c = 3 nên ta có:

(Vì a, b, c không âm)

Tương tự ta có: và

Khi đó:

 Dấu “=” xảy ra khi: a = b = 0; c = 3 hoặc b = c = 0 ; a = 3 hoặc a = c = 0; b = 3.